যদিও এটা বিশ্বাস করবেন না মামলাএই সব নিবন্ধ মনোযোগ সহকারে পড়ুন. তখন তা উজ্জ্বল সূর্যের মতো পরিষ্কার হয়ে যাবে।

সব মানুষের হাত ও মস্তিষ্কের যেমন রহস্যময় ক্ষমতা থাকে না, তেমনি দুলও সব মানুষের হাতে রহস্যময় হয়ে উঠতে পারে না। এই শক্তি অর্জিত হয় না, কিন্তু একজন ব্যক্তির সাথে জন্ম হয়। একটি পরিবারে, একজন ধনী এবং অন্যজন দরিদ্র। প্রাকৃতিকভাবে ধনীকে দরিদ্র বা তদ্বিপরীত করার ক্ষমতা কারো নেই। এখন আপনি বুঝতে পেরেছেন যে আমি আপনাকে কি বলতে চেয়েছিলাম। না বুঝলে নিজেকে দোষারোপ করো, তুমি এভাবেই জন্মেছো।

পেন্ডুলাম কি? এটা কি দিয়ে তৈরি? একটি পেন্ডুলাম হল একটি স্ট্রিংয়ের সাথে সংযুক্ত যেকোন স্বাধীনভাবে চলমান দেহ। একজন মাস্টারের হাতে, এমনকি একটি সাধারণ খাগড়াও কোকিলের মতো গান করে। এছাড়াও, একজন প্রতিভাবান বায়োমাস্টারের হাতে, একটি পেন্ডুলাম মানুষের অস্তিত্ব এবং অস্তিত্বের ক্ষেত্রে অবিশ্বাস্য প্রভাব ফেলে।

এটা সবসময় ঘটবে না যে আপনি আপনার সাথে একটি পেন্ডুলাম বহন করেন। তাই আমাকে একটি পরিবার থেকে একটি হারানো আংটি খুঁজে বের করতে হয়েছিল, কিন্তু আমার সাথে পেন্ডুলামটি ছিল না। আমি চারপাশে তাকালাম এবং একটি ওয়াইন কর্ক আমার নজর কেড়েছে। কর্কের মাঝখানে থেকে, আমি একটি ছুরি দিয়ে একটি ছোট কাটা তৈরি করেছি এবং থ্রেডটি সংযুক্ত করেছি। পেন্ডুলাম প্রস্তুত।
আমি তাকে জিজ্ঞাসা করলাম: "আপনি কি আমার সাথে সততার সাথে কাজ করবেন?" তিনি ইতিবাচক এবং দৃঢ়ভাবে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলেন, যেন প্রফুল্লভাবে সাড়া দিচ্ছেন। মানসিকভাবে তাকে জানান: "আসুন তাহলে হারিয়ে যাওয়া আংটিটি খুঁজে বের করি।" চুক্তির চিহ্ন হিসেবে পেন্ডুলাম আবার সরে গেল। উঠানে ঘুরতে লাগলাম।

কারণ মেয়ের জামাই বলেছিল যে সে এখনও ঘরে ঢোকেনি যখন সে লক্ষ্য করল তার আঙুলে আংটি নেই। তিনি আরও বলেছিলেন যে তিনি দীর্ঘদিন ধরে জুয়েলারের কাছে যেতে চেয়েছিলেন, কারণ তার আঙ্গুলগুলি পাতলা হয়ে গিয়েছিল এবং আংটিটি পড়ে যেতে শুরু করেছিল। হঠাৎ আমার হাতে পেন্ডুলামটা একটু সরে গেল, একটু পিছিয়ে গেল, পেন্ডুলামটা চুপ হয়ে গেল। আমি এগিয়ে গেলাম, কিন্তু পেন্ডুলাম আবার সরে গেল। সে চলল, আবার চুপ হয়ে গেল, আমি অবাক হয়ে গেলাম। বামদিকে পেন্ডুলামটি নীরব, সামনে এটি নীরব। ডানদিকে কোথাও যাবেন না। সেখানে একটি ছোট খাদ বয়ে গেছে। হঠাৎ টের পেলাম এবং পেন্ডুলামটা সরাসরি জলের উপরে ধরে রাখলাম। পেন্ডুলামটি ঘড়ির কাঁটার দিকে নিবিড়ভাবে ঘুরতে শুরু করে। আমি আমার পুত্রবধূকে ডেকে আংটির অবস্থান দেখালাম।
তার চোখে আনন্দে, সে খাদের মধ্যে দিয়ে গজগজ করতে লাগল এবং দ্রুত আংটিটি খুঁজে পেল। দেখা যাচ্ছে যে তিনি একটি খাদে হাত ধুচ্ছিলেন, এবং সেই সময় আংটিটি পড়েছিল, কিন্তু সে লক্ষ্য করেনি। উপস্থিত সবাই ওয়াইন কর্কের কাজের প্রশংসা করেন।

সব মানুষ জন্মগতভাবে ভবিষ্যদ্বাণী বা ভবিষ্যতবিদ হয় না। সকল ভবিষ্যৎ বিদ বা ভবিষ্যৎ বলকারী সফল হয় না। কিছু ভবিষ্যদ্বাণীকারী ছোট ত্রুটির সাথে কাজ করে, কিন্তু অনেকে জিপসির মতো প্রতারণা করে। পেন্ডুলামও তাই। একজন অযোগ্য ব্যক্তির কাছে এটি একটি অকেজো জিনিস হিসাবে রয়েছে, যদিও এটি সোনার তৈরি, এর কোনও অর্থ নেই। একজন সত্যিকারের মাস্টারের হাতে, সাধারণ পাথর বা বাদামের টুকরো বিস্ময়কর কাজ করে।
গতকালের মতই মনে আছে। এক সমাবেশে আমি আমার জ্যাকেট খুলে কিছুক্ষণের জন্য বেরিয়ে পড়লাম। আমি যখন ফিরে এলাম, আমি অনুভব করলাম আমার হৃদয়ে কিছু ভুল ছিল। যান্ত্রিকভাবে সে পকেটে গুঁজে দিতে লাগল। দেখা গেল কেউ আমার রূপার পেন্ডুলাম নিয়ে গেছে। আমি চুপ হয়ে গেলাম এবং যা ঘটেছে তা কাউকে বলিনি।
অনেক দিন কেটে গেল, আর একদিন সেই লোকেদের মধ্যে যারা আমাদের সাথে সেই সমাবেশে বসেছিল যেখানে আমার পেন্ডুলাম হারিয়ে গিয়েছিল। তিনি গভীরভাবে ক্ষমা চেয়েছিলেন এবং আমাকে পেন্ডুলামটি দিয়েছিলেন। দেখা যাচ্ছে যে তিনি ভেবেছিলেন যে সমস্ত শক্তি আমার পেন্ডুলামে রয়েছে এবং ভেবেছিলেন যে এই পেন্ডুলামটিও আমার মতো তার জন্য কাজ করবে।
যখন সে তার ভুল বুঝতে পেরেছিল, তার বিবেক তাকে দীর্ঘ সময়ের জন্য যন্ত্রণা দিয়েছিল এবং অবশেষে পেন্ডুলামটি তার মালিকের কাছে ফেরত দেওয়ার সিদ্ধান্ত নেয়। আমি তার ক্ষমাপ্রার্থনা গ্রহণ করেছি এবং তাকে চা খাওয়ানোর ব্যবস্থাও করেছি এবং এমনকি তার রোগ নির্ণয়ও করেছি। আমি পেন্ডুলাম দিয়ে তার অনেক অসুখ খুঁজে পেয়েছি এবং তার জন্য যথাযথ ওষুধ প্রস্তুত করেছি।
কিছু মানুষের নিরাময় এবং ভবিষ্যদ্বাণী জন্য একটি প্রাকৃতিক উপহার আছে. এই প্রতিভা বছরের পর বছর বের হয় না। কখনও কখনও, দৈবক্রমে, তারা একজন বিশেষজ্ঞের মুখোমুখি হয় এবং সে তাকে জীবনের তার নির্ধারিত পথ দেখায়।
সম্প্রতি একজন মধ্যবয়সী মহিলা রোগ নির্ণয়ের জন্য আসেন। আপনি তার চেহারা দেখে বলতে পারবেন না যে তিনি অসুস্থ। তিনি তার অঙ্গপ্রত্যঙ্গে উচ্চ উষ্ণতার অভিযোগ করেছিলেন, ক্রমাগত তাপ তার হাতের তালু এবং পায়ের পাতা থেকে বেরিয়ে আসছে এবং তিনি প্রায়শই মুকুট অঞ্চলে তার মাথায় বুনো ফেটে যাওয়া ব্যথা অনুভব করতেন। প্রথমে নাড়ি দ্বারা এটি নির্ণয় করার পরে, ভাস্কুলার টোন বৃদ্ধি লক্ষ্য করে, আমি একটি আধা-স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের সাহায্যে রক্তচাপ পরিমাপ করতে শুরু করি। সিস্টোলিক এবং ডায়াস্টোলিক উভয়ই মানগুলি শেষ পর্যন্ত স্কেলে চলে যায়। তারা 135 থেকে 241 নির্দেশ করেছে, এবং হৃদস্পন্দন এই জাতীয় উচ্চ রক্তচাপের জন্য আদর্শের নীচে পরিণত হয়েছে: প্রতি মিনিটে 62 বীট। এমন উচ্চ রক্তচাপের একজন মহিলা আমার সামনে শান্তভাবে বসলেন। যেন আমার ভাস্কুলার অবস্থা থেকে কোনো অস্বস্তি অনুভব না করে। অপরিহার্য (অব্যক্ত) উচ্চ রক্তচাপ তাকে হতাশ করেনি।

আমি তার নাড়ির সাথে এবং পালস ডায়াগনস্টিকসের সময়ও কিছু ভুল লক্ষ্য করিনি। আমি তাকে একটি কম সাধারণ অপরিহার্য (অব্যক্ত কারণ) উচ্চ রক্তচাপ নির্ণয় করেছি। যদি একজন নিয়মিত ডাক্তার তার রক্তচাপ পরিমাপ করতেন, তিনি অবিলম্বে একটি অ্যাম্বুলেন্স ডেকে তাকে স্ট্রেচারে রাখতেন। এমনকি তিনি তাকে নড়াচড়া করতেও দেবেন না। আসল বিষয়টি হ'ল রক্তচাপের এই জাতীয় বৃদ্ধি সহ একজন ব্যক্তির হাইপারটেনসিভ সংকট বলে মনে করা হয়। এর পরে সেরিব্রাল স্ট্রোক বা হার্ট অ্যাটাক হতে পারে।
তার মতে, নিয়মিত অ্যান্টিহাইপারটেনসিভ ওষুধগুলি তাকে এতটাই খারাপ করে যে সেগুলি তাকে বমি বমি ভাব করে। তার ছেলের পীড়াপীড়িতে, সে একটি পেন্ডুলাম ব্যবহার করতে শিখেছিল যখন তার মাথা খারাপভাবে ব্যাথা করে, সে পেন্ডুলামকে জিজ্ঞাসা করে যে অ্যাসপিরিন বা পেন্টালগিন পান করবে কিনা। খুব কমই, পেন্ডুলামের সম্মতিতে, তিনি উইলো পাতার একটি ক্বাথ বা লতাপাতার একটি ক্বাথ গ্রহণ করেন, যা চার বছর আগে ডাক্তার মুহিদ্দীন তাকে সুপারিশ করেছিলেন। যদি তার মাথা খারাপভাবে ব্যাথা করে, তবে তিনি অত্যন্ত গুরুতর ক্ষেত্রে অ্যাসপিরিন পান করেন, তিনি পেন্টালগিন গ্রহণ করেন। হাইপারটেনসিভ রোগীর ডাক্তার এবং প্রতিবেশীরা তার স্ব-ওষুধ দেখে হাসে।
মাথাব্যথা এবং উচ্চ রক্তচাপের জন্য সে যে ওষুধগুলি গ্রহণ করে তা পরীক্ষা করার জন্য আমি আমার পেন্ডুলাম ব্যবহার করেছি। তাদের সব কার্যকর হতে পরিণত.আমিও পেন্ডুলামকে জিজ্ঞেস করলাম। "তার স্বাস্থ্যের উন্নতি হবে যদি সে তার উষ্ণতা দিয়ে মানুষকে নিরাময় করতে শুরু করে?", পেন্ডুলামটি অবিলম্বে ঘড়ির কাঁটার দিকে দৃঢ়ভাবে দোলালো, ইতিবাচকভাবে। তাই আমি নিজের জন্য তার চিকিত্সার পরামর্শ দিয়েছি, অপরিহার্য উচ্চ রক্তচাপ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য, তাকে অবশ্যই অন্য লোকের রোগের চিকিত্সা করতে হবে, তাদের গায়ে হাত বা পা রাখতে হবে। এখন আমি প্রায়ই রোগীদের তার কাছে রেফার করি এবং সে সফলভাবে তাদের চিকিত্সা করে মানসিক পাস. তিনি তার হাতের উষ্ণতাকে কোমর পর্যন্ত রোগের দিকে নির্দেশ করেন, কোমরের নীচের রোগে, রোগীর উপর শুয়ে থাকা অবস্থায়, তিনি সমস্যাযুক্ত এলাকায় যথাক্রমে ডান বা বাম পা ধরেন।
তিনি এবং রোগী উভয়ই ফলাফল নিয়ে সন্তুষ্ট। এখন দুই বছর ধরে তিনি অ্যাসপিরিন বা পেন্টালগিন গ্রহণ করেননি, এবং পেন্ডুলাম কখনও কখনও তাকে সামান্য মাথাব্যথার জন্য উইলো বা কুইন্স পাতার ক্বাথ পান করতে দেয়।
কার তার সাহায্যের প্রয়োজন, আমাকে লিখুন, সে আপনাকে অল্প পারিশ্রমিকে সাহায্য করবে। এমনকি আমি তাকে শিখিয়েছি কিভাবে খুব দূরত্বের মানুষের সাথে যোগাযোগহীন উপায়ে আচরণ করতে হয়।
যে ব্যক্তি সত্যিই পেন্ডুলামের অপারেশনের সময় একটি পেন্ডুলামের সাথে কাজ করে তাকে অবশ্যই এটির সাথে সিঙ্ক্রোনাস যোগাযোগে থাকতে হবে এবং এই মুহুর্তে পেন্ডুলামের ক্রিয়াগুলি কোন দিকে পরিচালিত হচ্ছে তা আগে থেকেই জানতে এবং অনুভব করতে হবে। তার মস্তিষ্কের অনলস শক্তির সাথে, পেন্ডুলামের সুতো ধরে থাকা ব্যক্তিটিকে অবচেতনভাবে তাকে সাহায্য করা উচিত, এবং অনুমানমূলকভাবে নয়, এই বস্তুর আরও ক্রিয়াকলাপে, এবং দর্শক হিসাবে পেন্ডুলামের ক্রিয়াকে উদাসীনভাবে তাকাবেন না।
পেন্ডুলামটি মেসোপটেমিয়া, অ্যাসিরিয়া, উরার্তু, ভারত, চীন, জাপান, প্রাচীন রোম, মিশর, গ্রীস, এশিয়া, আফ্রিকা, আমেরিকা, ইউরোপ, প্রাচ্য এবং বিশ্বের অনেক দেশে প্রায় সমস্ত বিখ্যাত ব্যক্তিদের দ্বারা ছিল এবং এখনও ব্যবহার করা হয়।
এই কারণে যে অনেক বিশিষ্ট আন্তর্জাতিক প্রতিষ্ঠান, বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিশিষ্ট ব্যক্তিবর্গ এখনও চারপাশের প্রকৃতির সাথে সহানুভূতিশীল এবং সুরেলাভাবে মানবতার সহাবস্থানের পক্ষে পেন্ডুলামের ক্রিয়া এবং উদ্দেশ্যকে যথেষ্ট প্রশংসা করেননি। আধুনিক প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের স্তরে সর্বজনীন স্বাভাবিকের মহাবিশ্ব সম্পর্কে মানবতা এখনও সম্পূর্ণরূপে ছদ্ম বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিভঙ্গি পরিত্যাগ করেনি। ধর্ম, গুপ্ততত্ত্ব এবং প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের মধ্যে জ্ঞানের রেখাকে অস্পষ্ট করার একটি পর্যায় রয়েছে। স্বাভাবিকভাবেই, প্রাকৃতিক বিজ্ঞান কোন পার্শ্ব দৃষ্টিভঙ্গি ছাড়াই সমস্ত মৌলিক বিজ্ঞানের ভিত্তি হওয়া উচিত।
আশা করা যায় যে পেন্ডুলামের বিজ্ঞান তথ্য বিজ্ঞানের সাথে মানুষের জীবনেও তার সঠিক স্থান করে নেবে। সর্বোপরি, এমন একটি সময় ছিল যখন আমাদের বহুজাতিক দেশের নেতারা সাইবারনেটিক্সকে একটি ছদ্মবিজ্ঞান ঘোষণা করেছিলেন এবং এটিকে কেবল অধ্যয়নই নয়, এমনকি শিক্ষা প্রতিষ্ঠানেও অধ্যয়ন করার অনুমতি দেননি।
তাই এখন, আধুনিক বিজ্ঞানের সর্বোচ্চ স্তরের স্তরে, তারা একটি পেন্ডুলামের ধারণাটিকে এমনভাবে দেখেন যেন এটি একটি পশ্চাৎপদ শিল্প। কম্পিউটার বিজ্ঞানের একক বিভাগের অধীনে পেন্ডুলাম, ডাউজিং এবং ফ্রেমকে সিস্টেমেটাইজ করা প্রয়োজন এবং একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম মডিউল তৈরি করা প্রয়োজন।
এই মডিউলটির সাহায্যে, যে কেউ হারিয়ে যাওয়া জিনিসগুলি খুঁজে পেতে, বস্তুর অবস্থান নির্ধারণ করতে এবং অবশেষে, মানুষ, প্রাণী, পাখি, কীটপতঙ্গ এবং সাধারণভাবে সমস্ত প্রকৃতির নির্ণয় করতে পারে।
এটি করার জন্য, আপনাকে বহুমাত্রিক ওষুধ সম্পর্কে এলজি পুচকোর ধারণা এবং মানসিক গেলারের কাজ, পাশাপাশি বুলগেরিয়ান নিরাময়কারী কানালিভের ধারণা এবং আরও অনেক লোকের কাজ যারা এর সাহায্যে আশ্চর্যজনক ফলাফল অর্জন করেছে অধ্যয়ন করতে হবে। একটি পেন্ডুলাম

গণিতের পেন্ডুলামপৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে অবস্থিত একটি ওজনহীন এবং অক্ষম সুতার উপর স্থগিত একটি বস্তুগত বিন্দু। একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম একটি আদর্শ মডেল যা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে একটি বাস্তব পেন্ডুলামকে সঠিকভাবে বর্ণনা করে। একটি বাস্তব পেন্ডুলামকে গাণিতিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যদি থ্রেডের দৈর্ঘ্য এটিতে স্থগিত শরীরের আকারের চেয়ে অনেক বেশি হয়, থ্রেডের ভর শরীরের ভরের তুলনায় নগণ্য হয় এবং থ্রেডের বিকৃতি এত ছোট হয়। যাতে তারা সম্পূর্ণরূপে অবহেলিত হতে পারে।

এই ক্ষেত্রে অসিলেটরি সিস্টেমটি একটি থ্রেড, এটির সাথে সংযুক্ত একটি শরীর এবং পৃথিবীর দ্বারা গঠিত হয়, যা ছাড়া এই সিস্টেমটি পেন্ডুলাম হিসাবে কাজ করতে পারে না।

যেখানে ক এক্স – ত্বরণ, g - বিনামূল্যে পতনের ত্বরণ, এক্স- স্থানচ্যুতি, l- পেন্ডুলাম থ্রেডের দৈর্ঘ্য।

এই সমীকরণ বলা হয় একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের সমীকরণ।নিম্নলিখিত অনুমানগুলি পূরণ হলেই এটি প্রশ্নের মধ্যে কম্পনগুলিকে সঠিকভাবে বর্ণনা করে:

2) একটি ছোট সুইং কোণ সহ পেন্ডুলামের শুধুমাত্র ছোট দোলন বিবেচনা করা হয়।

যেকোনো সিস্টেমের মুক্ত কম্পন সব ক্ষেত্রেই অনুরূপ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের কারণগুলি হল:

1. পেন্ডুলামের উপর টান এবং মাধ্যাকর্ষণ প্রভাব, এটিকে ভারসাম্যের অবস্থান থেকে সরতে বাধা দেয় এবং আবার পড়ে যেতে বাধ্য করে।

2. পেন্ডুলামের জড়তা, যার কারণে এটি, তার গতি বজায় রাখে, ভারসাম্যের অবস্থানে থামে না, বরং এটির মধ্য দিয়ে যায়।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের সময়কাল

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের সময়কাল তার ভরের উপর নির্ভর করে না, তবে শুধুমাত্র থ্রেডের দৈর্ঘ্য এবং পেন্ডুলামটি যেখানে অবস্থিত সেখানে অভিকর্ষের ত্বরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

সুরেলা দোলনের সময় শক্তি রূপান্তর

একটি স্প্রিং পেন্ডুলামের সুরেলা দোলনের সময়, একটি স্থিতিস্থাপকভাবে বিকৃত শরীরের সম্ভাব্য শক্তি তার গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়, যেখানে k – স্থিতিস্থাপকতা সহগ, এক্স -ভারসাম্য অবস্থান থেকে পেন্ডুলামের স্থানচ্যুতির মডুলাস, মি- পেন্ডুলামের ভর, v- এর গতি। হারমোনিক কম্পন সমীকরণ অনুযায়ী:

, .

একটি স্প্রিং পেন্ডুলামের মোট শক্তি:

.

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের জন্য মোট শক্তি:

গাণিতিক পেন্ডুলামের ক্ষেত্রে

একটি স্প্রিং পেন্ডুলামের দোলনের সময় শক্তির রূপান্তরগুলি যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণের আইন অনুসারে ঘটে ( ) যখন একটি পেন্ডুলাম তার ভারসাম্য অবস্থান থেকে নিচে বা উপরে চলে যায়, তখন এর সম্ভাব্য শক্তি বৃদ্ধি পায় এবং এর গতিশক্তি হ্রাস পায়। যখন পেন্ডুলাম ভারসাম্য অবস্থান অতিক্রম করে ( এক্স= 0), এর সম্ভাব্য শক্তি শূন্য এবং পেন্ডুলামের গতিশক্তির সর্বাধিক মান রয়েছে, এটির মোট শক্তির সমান।

এইভাবে, পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের প্রক্রিয়ায়, এর সম্ভাব্য শক্তি গতিতে পরিণত হয়, গতি শক্তিতে পরিণত হয়, সম্ভাব্য তারপর গতিশক্তিতে পরিণত হয় ইত্যাদি। কিন্তু মোট যান্ত্রিক শক্তি অপরিবর্তিত থাকে।

জোরপূর্বক কম্পন। অনুরণন।

বাহ্যিক পর্যায়ক্রমিক বলের প্রভাবে ঘটে যাওয়া দোলনকে বলা হয় জোরপূর্বক দোলনা. একটি বাহ্যিক পর্যায়ক্রমিক বল, যাকে চালিকা শক্তি বলা হয়, দোলনতন্ত্রে অতিরিক্ত শক্তি সরবরাহ করে, যা ঘর্ষণের কারণে ঘটে যাওয়া শক্তির ক্ষতি পূরণ করতে যায়। সাইন বা কোসাইনের নিয়ম অনুসারে যদি চালিকা শক্তি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, তাহলে জোরপূর্বক দোলনগুলি হবে সুরেলা এবং অনাবৃত।

মুক্ত দোলনের বিপরীতে, যখন সিস্টেমটি শুধুমাত্র একবার শক্তি গ্রহণ করে (যখন সিস্টেমটি ভারসাম্যের বাইরে আনা হয়), জোরপূর্বক দোলনের ক্ষেত্রে সিস্টেমটি এই শক্তিকে বাহ্যিক পর্যায়ক্রমিক বলের উত্স থেকে ক্রমাগত শোষণ করে। এই শক্তি ঘর্ষণ কাটিয়ে ওঠার জন্য ব্যয় করা ক্ষতি পূরণ করে, এবং সেইজন্য দোলনা ব্যবস্থার মোট শক্তি এখনও অপরিবর্তিত রয়েছে।

জোরপূর্বক দোলনের ফ্রিকোয়েন্সি চালিকা শক্তির কম্পাঙ্কের সমান. ক্ষেত্রে যেখানে চালিকা শক্তি ফ্রিকোয়েন্সি υ দোলক সিস্টেমের প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সির সাথে মিলে যায় υ 0 , জোরপূর্বক দোলনের প্রশস্ততায় তীব্র বৃদ্ধি রয়েছে - অনুরণন. যে কারণে অনুরণন ঘটে যখন υ = υ 0 বাহ্যিক শক্তি, মুক্ত কম্পনের সাথে সময়মত কাজ করে, সর্বদা দোদুল্যমান দেহের গতির সাথে সারিবদ্ধ থাকে এবং ইতিবাচক কাজ করে: দোদুল্যমান দেহের শক্তি বৃদ্ধি পায় এবং এর দোলনের প্রশস্ততা বড় হয়। জোরপূর্বক দোলনের প্রশস্ততার গ্রাফ ক টি চালিকা শক্তি ফ্রিকোয়েন্সি উপর υ চিত্রে উপস্থাপিত, এই গ্রাফটিকে অনুরণন বক্ররেখা বলা হয়:

অনুরণনের ঘটনাটি অনেকগুলি প্রাকৃতিক, বৈজ্ঞানিক এবং শিল্প প্রক্রিয়ায় একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, লোডের অধীনে কম্পন অনুভব করে এমন সেতু, বিল্ডিং এবং অন্যান্য কাঠামো ডিজাইন করার সময় অনুরণনের ঘটনাটি বিবেচনায় নেওয়া প্রয়োজন, অন্যথায় নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে এই কাঠামোগুলি ধ্বংস হতে পারে।

গাণিতিক পেন্ডুলামসাসপেনশনের সাথে সংযুক্ত একটি ওজনহীন এবং অক্ষম থ্রেডের উপর স্থগিত এবং মাধ্যাকর্ষণ (বা অন্যান্য বল) ক্ষেত্রে অবস্থিত একটি বস্তুগত বিন্দুকে কল করুন।

আসুন আমরা একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের দোলনগুলিকে একটি জড়ীয় রেফারেন্সের ফ্রেমে অধ্যয়ন করি, যার সাপেক্ষে এর সাসপেনশনের বিন্দুটি বিশ্রামে থাকে বা একটি সরল রেখায় সমানভাবে চলে। আমরা বায়ু প্রতিরোধের শক্তিকে অবহেলা করব (আদর্শ গাণিতিক পেন্ডুলাম)। প্রাথমিকভাবে, পেন্ডুলামটি ভারসাম্যের অবস্থান C-তে বিশ্রামে থাকে। এই ক্ষেত্রে, মাধ্যাকর্ষণ বল এবং এটির উপর কাজ করা থ্রেডের স্থিতিস্থাপক বল F?ynp পারস্পরিকভাবে ক্ষতিপূরণ পায়।

আসুন ভারসাম্য অবস্থান থেকে পেন্ডুলামটি সরিয়ে ফেলি (এটিকে বিচ্যুত করে, উদাহরণস্বরূপ, A অবস্থানে) এবং এটিকে প্রাথমিক গতি ছাড়াই ছেড়ে দিন (চিত্র 1)। এই ক্ষেত্রে, বাহিনী একে অপরের ভারসাম্য রাখে না। মহাকর্ষের স্পর্শক উপাদান, পেন্ডুলামের উপর কাজ করে, এটিকে স্পর্শক ত্বরণ দেয়? (গাণিতিক পেন্ডুলামের গতিপথের স্পর্শক বরাবর নির্দেশিত মোট ত্বরণের উপাদান), এবং পেন্ডুলামটি পরম মান বৃদ্ধির গতির সাথে ভারসাম্য অবস্থানের দিকে অগ্রসর হতে শুরু করে। মাধ্যাকর্ষণ স্পর্শক উপাদান এইভাবে একটি পুনরুদ্ধার শক্তি. অভিকর্ষের স্বাভাবিক উপাদান ইলাস্টিক বলের বিরুদ্ধে থ্রেড বরাবর নির্দেশিত হয়। বলগুলির ফলাফল পেন্ডুলামকে স্বাভাবিক ত্বরণ দেয়, যা বেগ ভেক্টরের দিক পরিবর্তন করে এবং পেন্ডুলামটি চাপ ABCD বরাবর চলে।

পেন্ডুলামটি ভারসাম্যের অবস্থান C এর যত কাছে আসবে, স্পর্শক উপাদানটির মান তত ছোট হবে। ভারসাম্যের অবস্থানে, এটি শূন্যের সমান, এবং গতি তার সর্বোচ্চ মান পর্যন্ত পৌঁছায়, এবং পেন্ডুলাম জড়তা দ্বারা আরও এগিয়ে যায়, একটি ঊর্ধ্বমুখী চাপে উঠতে থাকে। এই ক্ষেত্রে, উপাদানটি গতির বিরুদ্ধে নির্দেশিত হয়। বিক্ষেপণের কোণ a বাড়ার সাথে সাথে বলের মাত্রা বাড়তে থাকে এবং বেগের মাত্রা হ্রাস পায় এবং D বিন্দুতে পেন্ডুলামের গতি শূন্য হয়ে যায়। পেন্ডুলাম এক মুহুর্তের জন্য থেমে যায় এবং তারপরে ভারসাম্য অবস্থানের বিপরীত দিকে যেতে শুরু করে। জড়তা দ্বারা এটিকে আবার পাস করার পরে, পেন্ডুলাম, তার গতি কমিয়ে, বিন্দু A-তে পৌঁছাবে (কোনও ঘর্ষণ নেই), অর্থাৎ একটি সম্পূর্ণ সুইং সম্পন্ন হবে. এর পরে, পেন্ডুলামের গতিবিধি ইতিমধ্যে বর্ণিত ক্রমটিতে পুনরাবৃত্তি করা হবে।

আসুন একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলন বর্ণনা করে একটি সমীকরণ পাই।

একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে পেন্ডুলামটি B বিন্দুতে থাকুক। এই মুহুর্তে ভারসাম্য অবস্থান থেকে এর স্থানচ্যুতি Sটি চাপ SV এর দৈর্ঘ্যের সমান (যেমন S = |SV|)। সাসপেনশন থ্রেডের দৈর্ঘ্যকে l এবং পেন্ডুলামের ভরকে m হিসাবে চিহ্নিত করা যাক।

চিত্র 1 থেকে এটা স্পষ্ট যে, কোথায়. ছোট কোণে () পেন্ডুলাম বিচ্যুত হয়, তাই

এই সূত্রে বিয়োগ চিহ্নটি স্থাপন করা হয়েছে কারণ অভিকর্ষের স্পর্শক উপাদানটি ভারসাম্য অবস্থানের দিকে পরিচালিত হয় এবং স্থানচ্যুতিটি ভারসাম্য অবস্থান থেকে গণনা করা হয়।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে। আসুন আমরা এই সমীকরণের ভেক্টর পরিমাণগুলিকে গাণিতিক পেন্ডুলামের ট্র্যাজেক্টোরিতে স্পর্শকের অভিমুখে প্রজেক্ট করি

এই সমীকরণ থেকে আমরা পেতে

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের গতির গতিশীল সমীকরণ। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের স্পর্শক ত্বরণ তার স্থানচ্যুতির সমানুপাতিক এবং ভারসাম্য অবস্থানের দিকে পরিচালিত হয়। এই সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে

সুরেলা কম্পন সমীকরণের সাথে তুলনা করা , আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে গাণিতিক পেন্ডুলাম সুরেলা দোলন সম্পাদন করে। এবং যেহেতু পেন্ডুলামের বিবেচিত দোলনগুলি শুধুমাত্র অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রভাবে ঘটেছিল, তাই এগুলি পেন্ডুলামের মুক্ত দোলন ছিল। ফলস্বরূপ, ছোট বিচ্যুতি সহ একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনগুলি সুরেলা।

এর উল্লেখ করা যাক

পেন্ডুলাম দোলনের সাইক্লিক ফ্রিকোয়েন্সি।

একটি পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল। তাই,

এই অভিব্যক্তিকে বলা হয় Huygens' সূত্র। এটি একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মুক্ত দোলনের সময়কাল নির্ধারণ করে। সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভারসাম্য অবস্থান থেকে বিচ্যুতির ছোট কোণে, একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল হল:

1. এর ভর এবং কম্পনের প্রশস্ততার উপর নির্ভর করে না;
2. পেন্ডুলামের দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক এবং অভিকর্ষের ত্বরণের বর্গমূলের বিপরীত সমানুপাতিক।

এটি একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের ছোট দোলনের পরীক্ষামূলক নিয়মের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা জি. গ্যালিলিও আবিষ্কার করেছিলেন।

আমরা জোর দিয়েছি যে এই সূত্রটি সময়কাল গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি দুটি শর্ত একই সাথে পূরণ করা হয়:

1. পেন্ডুলামের দোলনগুলি ছোট হওয়া উচিত;
2. পেন্ডুলামের সাসপেনশন পয়েন্টটি অবশ্যই বিশ্রামে থাকতে হবে বা এটি অবস্থিত রেফারেন্সের জড় ফ্রেমের সাথে সম্পর্কিত একটি সরল রেখায় সমানভাবে সরাতে হবে।

যদি একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের সাসপেনশন বিন্দু ত্বরণের সাথে চলে, তবে থ্রেডের টান বল পরিবর্তিত হয়, যা পুনরুদ্ধারকারী বলের পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করে এবং ফলস্বরূপ, দোলনের ফ্রিকোয়েন্সি এবং সময়কাল। হিসাবের হিসাবে দেখায়, এই ক্ষেত্রে পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

যেখানে একটি অ-জড়তা রেফারেন্স ফ্রেমে পেন্ডুলামের "কার্যকর" ত্বরণ। এটি অভিকর্ষের ত্বরণের জ্যামিতিক যোগফল এবং ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টরের সমান। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম একটি সাধারণ পেন্ডুলামের একটি মডেল। একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম হল একটি বস্তুগত বিন্দু যা একটি দীর্ঘ ওজনহীন এবং অক্ষম সুতার উপর স্থগিত থাকে।

আসুন বলটিকে তার ভারসাম্যের অবস্থান থেকে সরান এবং ছেড়ে দিন। দুটি শক্তি বলের উপর কাজ করবে: মাধ্যাকর্ষণ এবং থ্রেডের টান। যখন পেন্ডুলাম নড়াচড়া করবে, তখনও বায়ু ঘর্ষণ শক্তি এটিতে কাজ করবে। তবে আমরা এটিকে খুব ছোট বিবেচনা করব।

আসুন আমরা দুটি উপাদানে অভিকর্ষ বলকে বিভক্ত করি: একটি বল সুতার বরাবর নির্দেশিত, এবং একটি বল যা বলের গতিপথের স্পর্শকটির সাথে লম্বভাবে নির্দেশিত।

এই দুটি শক্তি মাধ্যাকর্ষণ শক্তি যোগ করে। থ্রেডের স্থিতিস্থাপক শক্তি এবং মাধ্যাকর্ষণ উপাদান Fn বলটিকে কেন্দ্রীভূত ত্বরণ প্রদান করে। এই বাহিনী দ্বারা সম্পন্ন কাজ শূন্য হবে, এবং তাই তারা শুধুমাত্র বেগ ভেক্টরের দিক পরিবর্তন করবে। যেকোনো মুহূর্তে, এটি স্পর্শকভাবে বৃত্তের চাপের দিকে পরিচালিত হবে।

মাধ্যাকর্ষণ উপাদান Fτ-এর প্রভাবে বলটি একটি বৃত্তাকার চাপ বরাবর গতিবেগ বৃদ্ধির সাথে গতিবেগ করবে। ভারসাম্য অবস্থানের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় এই বলের মান সর্বদা পরিবর্তিত হয়, এটি শূন্যের সমান।

দোলক গতির গতিবিদ্যা

একটি স্থিতিস্থাপক বলের ক্রিয়ায় দোদুল্যমান দেহের গতির সমীকরণ।

গতির সাধারণ সমীকরণ:

সিস্টেমে কম্পনগুলি ইলাস্টিক বলের প্রভাবে ঘটে, যা হুকের আইন অনুসারে লোডের স্থানচ্যুতির সাথে সরাসরি সমানুপাতিক।

তারপর বলের গতির সমীকরণটি নিম্নলিখিত রূপ নেবে:

এই সমীকরণটি m দ্বারা ভাগ করুন, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই:

এবং যেহেতু ভর এবং স্থিতিস্থাপকতা সহগ ধ্রুবক পরিমাণ, অনুপাত (-k/m)ও ধ্রুবক হবে। আমরা একটি সমীকরণ পেয়েছি যা ইলাস্টিক বলের ক্রিয়ায় একটি শরীরের কম্পন বর্ণনা করে।

শরীরের ত্বরণের অভিক্ষেপ তার স্থানাঙ্কের সরাসরি সমানুপাতিক হবে, বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হবে।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের গতির সমীকরণ

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের গতির সমীকরণ নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:

এই সমীকরণটি স্প্রিং-এ ভরের গতির সমীকরণের মতোই রয়েছে। ফলস্বরূপ, পেন্ডুলামের দোলন এবং স্প্রিং-এ বলের নড়াচড়া একইভাবে ঘটে।

বসন্তে বলের স্থানচ্যুতি এবং ভারসাম্যের অবস্থান থেকে পেন্ডুলাম বডির স্থানচ্যুতি একই নিয়ম অনুসারে সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়।

একটি যান্ত্রিক সিস্টেম যা একটি বস্তুগত বিন্দু (দেহ) নিয়ে গঠিত যা একটি অভিন্ন মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে একটি অক্ষম ওজনহীন সুতার উপর ঝুলে থাকে (এর ভর শরীরের ওজনের তুলনায় নগণ্য) তাকে গাণিতিক পেন্ডুলাম বলা হয় (অন্য নাম একটি অসিলেটর)। এই ডিভাইস অন্যান্য ধরনের আছে. একটি সুতার পরিবর্তে, একটি ওজনহীন রড ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম স্পষ্টভাবে অনেক আকর্ষণীয় ঘটনার সারমর্ম প্রকাশ করতে পারে। যখন কম্পনের প্রশস্ততা ছোট হয়, তখন এর গতিকে বলা হয় সুরেলা।

যান্ত্রিক সিস্টেম ওভারভিউ

এই পেন্ডুলামের দোলনের সময়কালের সূত্রটি ডাচ বিজ্ঞানী হাইজেনস (1629-1695) দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। আই. নিউটনের এই সমসাময়িক এই যান্ত্রিক ব্যবস্থায় খুবই আগ্রহী ছিলেন। 1656 সালে তিনি একটি পেন্ডুলাম মেকানিজম সহ প্রথম ঘড়ি তৈরি করেন। তারা সেই সময়ের জন্য ব্যতিক্রমী নির্ভুলতার সাথে সময় পরিমাপ করেছিল। এই আবিষ্কারটি শারীরিক পরীক্ষা-নিরীক্ষা এবং ব্যবহারিক ক্রিয়াকলাপের বিকাশের একটি প্রধান পর্যায়ে পরিণত হয়েছিল।

যদি পেন্ডুলামটি ভারসাম্যের অবস্থানে থাকে (উল্লম্বভাবে ঝুলে থাকে), তবে এটি থ্রেডের টান বল দ্বারা ভারসাম্যপূর্ণ হবে। একটি অক্ষম সুতার উপর একটি সমতল পেন্ডুলাম হল এমন একটি সিস্টেম যার মধ্যে দুটি ডিগ্রী স্বাধীনতার সাথে কাপলিং। যখন আপনি শুধুমাত্র একটি উপাদান পরিবর্তন করেন, তখন এর সমস্ত অংশের বৈশিষ্ট্য পরিবর্তিত হয়। সুতরাং, যদি থ্রেডটি একটি রড দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়, তবে এই যান্ত্রিক সিস্টেমের স্বাধীনতার মাত্র 1 ডিগ্রি থাকবে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের কী কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে? এই সহজ পদ্ধতিতে পর্যায়ক্রমিক ব্যাঘাতের প্রভাবে বিশৃঙ্খলা দেখা দেয়। ক্ষেত্রে যখন সাসপেনশন বিন্দু সরে না, কিন্তু দোলা দেয়, পেন্ডুলামের একটি নতুন ভারসাম্য অবস্থান থাকে। উপরে এবং নীচে দ্রুত দোলনের সাথে, এই যান্ত্রিক সিস্টেমটি একটি স্থিতিশীল "উল্টানো" অবস্থান অর্জন করে। এর নিজস্ব নামও আছে। একে বলা হয় কাপিটজা পেন্ডুলাম।

একটি পেন্ডুলামের বৈশিষ্ট্য

গাণিতিক পেন্ডুলামের খুব আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তাদের সব পরিচিত শারীরিক আইন দ্বারা নিশ্চিত করা হয়. অন্য কোনো পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল বিভিন্ন পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে, যেমন শরীরের আকার এবং আকৃতি, সাসপেনশন বিন্দু এবং মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব এবং এই বিন্দুর সাপেক্ষে ভরের বন্টন। এ কারণে একটি লাশের ঝুলন্ত সময়কাল নির্ধারণ করা বেশ কঠিন কাজ। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের সময়কাল গণনা করা অনেক সহজ, যার সূত্রটি নীচে দেওয়া হবে। অনুরূপ যান্ত্রিক সিস্টেমের পর্যবেক্ষণের ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত নিদর্শনগুলি প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে:

যদি, পেন্ডুলামের একই দৈর্ঘ্য বজায় রাখার সময়, আমরা বিভিন্ন ওজন ঝুলিয়ে রাখি, তবে তাদের দোলনের সময়কাল একই হবে, যদিও তাদের ভর ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হবে। ফলস্বরূপ, এই জাতীয় পেন্ডুলামের সময়কাল লোডের ভরের উপর নির্ভর করে না।

যদি, সিস্টেমটি শুরু করার সময়, পেন্ডুলামটি খুব বড় নয়, তবে বিভিন্ন কোণে বিচ্যুত হয়, তবে এটি একই সময়ের সাথে, তবে বিভিন্ন প্রশস্ততার সাথে দোলাতে শুরু করবে। যতক্ষণ পর্যন্ত ভারসাম্যের কেন্দ্র থেকে বিচ্যুতিগুলি খুব বড় না হয়, ততক্ষণ তাদের আকারে কম্পনগুলি সুরেলাগুলির কাছাকাছি হবে। এই ধরনের একটি পেন্ডুলামের সময়কাল কোনভাবেই দোলক প্রশস্ততার উপর নির্ভর করে না। একটি প্রদত্ত যান্ত্রিক সিস্টেমের এই বৈশিষ্ট্যটিকে আইসোক্রোনিজম বলা হয় (গ্রীক "ক্রোনোস" - সময়, "আইসোস" - সমান) থেকে অনুবাদ করা হয়েছে।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের সময়কাল

এই সূচকটি সময়ের প্রতিনিধিত্ব করে জটিল গঠন সত্ত্বেও, প্রক্রিয়াটি নিজেই খুব সহজ। যদি একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের থ্রেডের দৈর্ঘ্য L হয় এবং মুক্ত পতনের ত্বরণ g হয়, তাহলে এই মানটি সমান:

ছোট প্রাকৃতিক দোলনের সময়কাল কোনভাবেই পেন্ডুলামের ভর এবং দোলনের প্রশস্ততার উপর নির্ভর করে না। এই ক্ষেত্রে, পেন্ডুলামটি একটি কম দৈর্ঘ্য সহ গাণিতিক এক হিসাবে চলে।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের দোলনা

একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম দোদুল্যমান, যা একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে:

x + ω2 sin x = 0,

যেখানে x (t) একটি অজানা ফাংশন (এটি টি মুহুর্তে নিম্ন ভারসাম্য অবস্থান থেকে বিচ্যুতির কোণ, রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়); ω হল একটি ধনাত্মক ধ্রুবক, যা পেন্ডুলামের পরামিতি (ω = √g/L, যেখানে g হল অভিকর্ষের ত্বরণ, এবং L হল গাণিতিক পেন্ডুলামের দৈর্ঘ্য (সাসপেনশন)।

ভারসাম্য অবস্থানের কাছাকাছি ছোট কম্পনের সমীকরণ (হারমোনিক সমীকরণ) এইরকম দেখায়:

x + ω2 sin x = 0

একটি পেন্ডুলামের অসিলেটরি নড়াচড়া

একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম, যা ছোট ছোট দোলন তৈরি করে, একটি সাইনোসয়েড বরাবর চলে। দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি এই জাতীয় আন্দোলনের সমস্ত প্রয়োজনীয়তা এবং পরামিতিগুলি পূরণ করে। ট্র্যাজেক্টোরি নির্ধারণ করতে, গতি সেট করা এবং সমন্বয় করা প্রয়োজন, যেখান থেকে স্বাধীন ধ্রুবক নির্ধারণ করা হয়:

x = A sin (θ 0 + ωt),

যেখানে θ 0 হল প্রাথমিক পর্যায়, A হল দোলন প্রশস্ততা, ω হল গতির সমীকরণ থেকে নির্ধারিত চক্রীয় কম্পাঙ্ক।

গাণিতিক পেন্ডুলাম (বড় প্রশস্ততার সূত্র)

এই যান্ত্রিক সিস্টেম, যা একটি উল্লেখযোগ্য প্রশস্ততা সঙ্গে oscillates, গতি আরো জটিল আইন সাপেক্ষে. এই জাতীয় পেন্ডুলামের জন্য তারা সূত্র অনুসারে গণনা করা হয়:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

যেখানে sn হল জ্যাকোবি সাইন, যা আপনার জন্য< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

যেখানে ε = E/mL2 (mL2 হল পেন্ডুলামের শক্তি)।

একটি অরৈখিক পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল সূত্রটি ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়:

যেখানে Ω = π/2 * ω/2K(u), K হল উপবৃত্তাকার অখণ্ড, π - 3,14.

একটি সেপারাট্রিক্স বরাবর একটি পেন্ডুলামের নড়াচড়া

একটি সেপারাট্রিক্স হল একটি গতিশীল সিস্টেমের ট্র্যাজেক্টোরি যার একটি দ্বি-মাত্রিক পর্যায় স্থান রয়েছে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম অ-পর্যায়ক্রমে এটি বরাবর চলে। সময়ের একটি অসীম দূরবর্তী মুহুর্তে, এটি তার সর্বোচ্চ অবস্থান থেকে শূন্য গতিতে পাশে পড়ে, তারপর ধীরে ধীরে এটি অর্জন করে। এটি শেষ পর্যন্ত থেমে যায়, তার আসল অবস্থানে ফিরে আসে।

যদি পেন্ডুলামের দোলনের প্রশস্ততা সংখ্যার কাছে আসে π , এটি নির্দেশ করে যে ফেজ প্লেনের গতি সেপারাট্রিক্সের কাছে আসছে। এই ক্ষেত্রে, একটি ছোট ড্রাইভিং পর্যায়ক্রমিক শক্তির প্রভাবের অধীনে, যান্ত্রিক সিস্টেম বিশৃঙ্খল আচরণ প্রদর্শন করে।

যখন একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম একটি নির্দিষ্ট কোণ φ সহ ভারসাম্য অবস্থান থেকে বিচ্যুত হয়, তখন মাধ্যাকর্ষণ Fτ = -mg sin φ এর একটি স্পর্শক বল দেখা দেয়। বিয়োগ চিহ্নের অর্থ হল এই স্পর্শক উপাদানটি পেন্ডুলামের বিচ্যুতির বিপরীত দিকে নির্দেশিত। L ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তাকার চাপ বরাবর পেন্ডুলামের স্থানচ্যুতিকে x দ্বারা চিহ্নিত করার সময়, এর কৌণিক স্থানচ্যুতি φ = x/L এর সমান। দ্বিতীয় আইন, অনুমান এবং শক্তির উদ্দেশ্যে, পছন্দসই মান দেবে:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

এই সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে, এটা স্পষ্ট যে এই পেন্ডুলামটি একটি অরৈখিক সিস্টেম, যেহেতু বল যেটি এটিকে ভারসাম্যের অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে থাকে তা সর্বদা স্থানচ্যুতি x এর সমানুপাতিক নয়, তবে sin x/L এর সাথে সমানুপাতিক।

শুধুমাত্র যখন একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম ছোট দোলন সঞ্চালন করে তখন এটি একটি সুরেলা অসিলেটর। অন্য কথায়, এটি একটি যান্ত্রিক সিস্টেমে পরিণত হয় যা সুরেলা দোলন সম্পাদন করতে সক্ষম। এই আনুমানিক 15-20° কোণের জন্য কার্যত বৈধ। বড় প্রশস্ততা সহ একটি পেন্ডুলামের দোলন সুরেলা নয়।

একটি পেন্ডুলামের ছোট দোলনের জন্য নিউটনের সূত্র

যদি একটি প্রদত্ত যান্ত্রিক সিস্টেম ছোট কম্পন সঞ্চালন করে, নিউটনের 2য় সূত্রটি দেখতে এইরকম হবে:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x।

এর উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম একটি বিয়োগ চিহ্নের সাথে তার স্থানচ্যুতির সমানুপাতিক। এই অবস্থা যার কারণে সিস্টেমটি একটি সুরেলা অসিলেটর হয়ে ওঠে। স্থানচ্যুতি এবং ত্বরণের মধ্যে সমানুপাতিক সহগের মডুলাস বৃত্তাকার কম্পাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমান:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

এই সূত্রটি এই ধরণের পেন্ডুলামের ছোট দোলনের স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করে। এর উপর ভিত্তি করে,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

শক্তি সংরক্ষণ আইনের উপর ভিত্তি করে গণনা

একটি পেন্ডুলামের বৈশিষ্ট্যগুলিও শক্তি সংরক্ষণের আইন ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে। এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের পেন্ডুলাম সমান:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

মোট সমান গতি বা সর্বোচ্চ সম্ভাব্য: Epmax = Ekmsx = E

শক্তি সংরক্ষণের আইন লেখার পরে, সমীকরণের ডান এবং বাম দিকের ডেরিভেটিভ নিন:

যেহেতু ধ্রুবক পরিমাণের ডেরিভেটিভ 0 এর সমান, তাহলে (Ep + Ek)" = 0। যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2*2v*v" = mv*α,

তাই:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0।

শেষ সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা খুঁজে পাই: α = - g/L*x।

একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের ব্যবহারিক প্রয়োগ

ত্বরণ অক্ষাংশের সাথে পরিবর্তিত হয় কারণ পৃথিবীর ভূত্বকের ঘনত্ব সমগ্র গ্রহ জুড়ে একই নয়। যেখানে বেশি ঘনত্বের শিলা দেখা দেয়, সেখানে তা একটু বেশি হবে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের ত্বরণ প্রায়ই ভূতাত্ত্বিক অনুসন্ধানের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি বিভিন্ন খনিজ অনুসন্ধান করতে ব্যবহৃত হয়। শুধু একটি পেন্ডুলামের দোলনের সংখ্যা গণনা করে, কেউ পৃথিবীর অন্ত্রে কয়লা বা আকরিক সনাক্ত করতে পারে। এটি এই কারণে যে এই ধরনের জীবাশ্মগুলির ঘনত্ব এবং ভর অন্তর্নিহিত আলগা শিলাগুলির চেয়ে বেশি।

গাণিতিক পেন্ডুলামটি সক্রেটিস, অ্যারিস্টটল, প্লেটো, প্লুটার্ক, আর্কিমিডিসের মতো অসামান্য বিজ্ঞানীরা ব্যবহার করেছিলেন। তাদের মধ্যে অনেকেই বিশ্বাস করতেন যে এই যান্ত্রিক ব্যবস্থা একজন ব্যক্তির ভাগ্য এবং জীবনকে প্রভাবিত করতে পারে। আর্কিমিডিস তার গণনায় একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম ব্যবহার করেছিলেন। আজকাল, অনেক জাদুবিদ এবং মনস্তাত্ত্বিকরা তাদের ভবিষ্যদ্বাণীগুলি পূরণ করতে বা নিখোঁজ ব্যক্তিদের সন্ধান করতে এই যান্ত্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে।

বিখ্যাত ফরাসি জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং প্রকৃতিবিদ কে. ফ্ল্যামারিয়নও তার গবেষণার জন্য একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম ব্যবহার করেছিলেন। তিনি দাবি করেছিলেন যে এর সাহায্যে তিনি একটি নতুন গ্রহের আবিষ্কার, তুঙ্গুস্কা উল্কাপিণ্ডের উপস্থিতি এবং অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ ঘটনাগুলির ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম হয়েছেন। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময়, জার্মানিতে (বার্লিন) একটি বিশেষায়িত পেন্ডুলাম ইনস্টিটিউট পরিচালিত হয়েছিল। আজকাল, মিউনিখ ইনস্টিটিউট অফ প্যারাসাইকোলজি অনুরূপ গবেষণায় নিযুক্ত রয়েছে। এই প্রতিষ্ঠানের কর্মীরা পেন্ডুলামের সাথে তাদের কাজকে "রেডিস্থেসিয়া" বলে।