Тема многоугольники - 8-й класс:

Линия из смежных отрезков, не лежащих на одной прямой, называется ломаной линией .

Концы отрезков является вершинами .

Каждый отрезок - звеном .

А все суммы длин отрезков составляют общую длину ломаной. Например, AM + ME + EK + KO = длина ломаной

Если отрезки замкнутые, то это многоугольник (см. выше).

Звенья в многоугольнике называются сторонами .

Суммы длин сторон - периметр многоугольника.

Вершины, лежащие у одной стороны, являются соседними .

Отрезок, соединяющий не соседние вершины, называется диагональю .

Многоугольники называют по количеству сторон : пятиугольник, шестиугольник и т.д.

Все что внутри многоугольника - это внутренняя часть плоскости , а все что снаружи - внешняя часть плоскости .

Обратите внимание! На рисунке ниже - это НЕ многоугольник, так как там есть дополнительные общие точки на одной прямой у несмежных отрезков.

Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой. Для его определения мысленно (или чертежом) продолжаем каждую сторону.

В многоугольнике углов столько же, сколько и сторон .

В выпуклом многоугольнике сумма всех внутренних углов равна (n-2)*180° . n - это количество углов.

Многоугольник называется правильным , если все его стороны и углы равны. Так что вычисление его внутренних углов проводится по формуле (где n - кол-во углов): 180° * (n-2) / n

Ниже указаны многоугольники, сумма их углов и чему равен один угол.

Внешние углы выпуклых многоугольников вычисляются так:

​​​​​​​

На вопрос что такое многоугольник заданный автором Европейский лучший ответ это

Плоская замкнутая ломаная;


Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.
Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон) ;
он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
Правильный многоугольник с самопересечениями называется звёздчатым, например, правильные пятиконечная и восьмиконечная звёзды.
Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Ответ от Микроскоп [гуру]
Многоуго́льник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:
Плоская замкнутая ломаная;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.

Ответ от Владислав Боровик [новичек]
многоугольник это фигура у которой несколько сторон и углов

Ответ от Бракосочетание [новичек]
много угольник это то где много углов

Ответ от саша сафенрайдер [новичек]
много угольник этото где много углов

Многоугольник. Вершины, углы, стороны и диагонали
многоугольника. Периметр многоугольника.
Простой многоугольник. Выпуклый многоугольник.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником . В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником , четырёхугольником , пятиугольником , шестиугольником и т.д. На рис.17 показан шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, C, D, E, F – вершины

Многоугольника ; углы A , B , C , D, E , F – углы многоугольника ; отрезки AC, AD, BE и т.д. - диагонали ; AB, BC, CD, DE, EF, FA – стороны многоугольника ; сумма длин сторон AB + BC + … + FA называется периметром и обозначается p (иногда обозначают – 2p , тогда p – полупериметр ). В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, контуры которых не имеют самопересечений, как показано на рис.18. Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым . Шестиугольник на рис.17 выпуклый; пятиугольник ABCDE на рис.19 не выпуклый, так как его диагональ AD лежит снаружи. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º ( n – 2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.

Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.

Квадрат. Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.

Параллелограмм (ABCD, рис.32) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями , а расстояние между ними – высотой (BE, рис.32).

Свойства параллелограмма.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D).

3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон :

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .

Признаки параллелограмма.

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны (AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D).

3. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD, AB || CD).

4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).

Прямоугольник.

Br />
Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые (почему?). Такой параллелограмм называется прямоугольником (рис.33) .

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (см. выше теорему Пифагора):

AC 2 = AD 2 + DC 2 .

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом (рис.34) .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC BD) и делят их углы пополам (DCA = BCA, ABD = CBD и т.д.).

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами (рис.35). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

R />
Трапеция - это четырёхугольник, у которого е противоположные сто роны параллельны (рис.36).

Здесь AD || BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие (AB и CD) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями (BM) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E и F

Боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им: EF || AD и EF || BC.

Трапеция с равными боковыми сторонами (AB = CD) называется равнобоч ной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине го основания и параллельна ему. о свойство вытекает из предыдущего

Пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.

Вписанный в круг многоугольник .

Описанный около круга многоугольник .

Описанный около многоугольника круг.

Вписанный в многоугольник круг.

Радиус вписанного в треугольник круга .

Радиус описанного около треугольника круга .
Правильный многоугольник.

Центр и апофема правильного многоугольника.
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников .

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности рис.54). Описанным около круга называется ногоугольник, стороны которого являются касательными к окружности

(рис.55).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника (рис.54), называется описанной около многоугольника ; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными (рис.55) , на зывается вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность . Для треуголь ника это всегда возможно.

Радиус r вписанного круга выражается через стороны a, b, c треугольника:

Радиус R описанного круга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180º. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, еслитолько она равнобочная.r />

Правильный многоугольник то многоугольник с равными сторонами и углами.

На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180º (n – 2) / n ,где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O (рис. 56), равноудалённая от всех его вершин (OA = OB = OC = … = OF), которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон (OP = OQ = OR = …). Отрезки OP, OQ, OR, … называются апофемами ; отрезки OA, OB, OC, …– радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.

П р и м е р. Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга

Диаметром 40 см?

Р е ш е н и е. Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный

Квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его

Сторона равна:

Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно вырезать

Из круга диаметром 40 см.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Любая диагональ делит на два многоугольника и. За и обозначим количество вершин в и соответственно. Многоугольник является -монотонным, если в нём отсутствуют split и merge вершины.

ВЕРШИНА - ВЕРШИНА, в математике точка, в которой сходятся две стороны треугольника или другого многоугольника, либо пересекаются три и более сторон пирамиды или другого многогранника. Алгоритм точки в многоугольнике - Проверка принадлежности данной точки данному многоугольнику На плоскости даны многоугольник и точка. Многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

ДИАГОНАЛЬ - (греч., от dia чрез, и gonia угол). 1) прямая линия, соединяющая в прямолинейной фигуре вершины двух углов, не лежащие на одной прямой. Определение. Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). Отрезки (звенья) замкнутой ломаной линии называются сторонами многоугольника, а общие точки двух отрезков - его вершинами.

Определение. Четырехугольник - это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника). У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.

Линии и многоугольники

1) β n-угольника β-стороной или γ-стороной в соответствии с тем, какой угол примыкает к её левому концу (если смотреть изнутри). Если он ориентирован не так, как ABC, то его верхняя сторона, равная и параллельная AB, является стороной P, а тогда n чётно (в правильном нечётноугольнике нет параллельных сторон).

Многоугольник, заданный одной ломаной

Докажем что из каждой вершины многоугольника выходит не меньше двух диагоналей. Но тогда каждая сторона n-угольника лежит в треугольнике разбиения, содержащем ещё одну его сторону. Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны.

Таким образом, углы соответствующие разным сторонам, не накладываются. Будем двигать прямую, параллельную m, и смотреть на длину отрезка, высекаемого на ней многоугольником.

Цвет заливки многоугольника

Триангуляция любого многоугольника не единственна. В этом можно убедиться из примера на рисунке. Простым многоугольником является фигура, ограниченная одной замкнутой ломаной, стороны которой не пересекаются.

Задание стиля многоугольника

У любого простого -вершинного многоугольника всегда существует триангуляция, причём количество треугольников в ней независимо от самой триангуляции. В общем случае в произвольном -угольнике всего возможных вариантов построения диагоналей. Для некоторых классов многоугольников предыдущую оценку можно улучшить. Например, если многоугольник выпуклый, то достаточно лишь выбирать одну его вершину и соединять со всеми остальными, кроме его соседей.

Тогда докажем, что содержит split и merge вершины. Чтобы сделать многоугольник монотонным, нужно избавиться от split и merge вершин путём проведения непересекающихся дигоналей из таких вершин. Рассмотрим горизонтальную заметающую прямую, будем перемещать её сверху вниз вдоль плоскости на которой лежит исходный многоугольник. Будем останавливать её в каждой вершине многоугольника.

Добавление многоугольника на карту

Пусть и - ближайшее левое и правое ребро относительно split вершины, которые пересекает в данный момент. Тип вершины, хранящийся в не имеет значения. Таким образом, чтобы построить диагональ для split вершины нужно обратиться к указателю её левого ребра, которое пересекает в данный момент.

В подходе, описанном выше, требуется находить пересечения заметающей прямой и левых ребёр многоугольника. Создадим приоритетную очередь из вершин, в которой приоритетом будет -координата вершины. Если две вершины имеют одинаковые -координаты, больший приоритет у левой. Вершины будут добавляться на «остановках» заметающей прямой.

Отсюда не пересекает ни одну из сторон в посторонних точках. Поскольку внутри никаких вершин вершин находиться не может, и оба конца любой добавленной ранее диагонали должны лежать выше, диагональ не может пересекать никакую из ранее добавленных диагоналей.

Будем проходить сверху вниз по вершинам многоугольника проводя диагонали где это возможно. Следовательно, наш многоугольник лежит в полосе с границами b и c, откуда получаем, что P – наиболее удаленная от прямой b, содержащей сторону a , вершина многоугольника.