Jaký byl systém zlomků ve starém Římě? Zlomky: historie zlomků. Historie vzhledu obyčejných zlomků. O původu zlomků

Snímek 1

Zlomky v Babylonu, Egyptě, Římě. Objevování desetinných míst PREZENTACE PRO POUŽITÍ JAKO VIZUÁLNÍ POMOC PŘI MIMOŠKOLNÍCH AKTIVITÁCH
Markelova G.V., učitelka matematiky Gremyachinsky pobočky SPŠ MBOU. Klíče

Snímek 2

Snímek 3

O původu zlomků
Potřeba zlomkových čísel vznikla v důsledku praktické lidské činnosti. Potřeba najít podíly jednotky se objevila u našich předků při dělení kořisti po honu. Za druhý významný důvod výskytu zlomkových čísel je třeba považovat měření veličin pomocí zvolené měrné jednotky. Tak vznikly zlomky.

Snímek 4

Potřeba přesnějších měření vedla k tomu, že se počáteční měrné jednotky začaly dělit na 2, 3 nebo více částí. Menší měrná jednotka, která byla získána v důsledku fragmentace, dostala individuální název a veličiny byly měřeny touto menší jednotkou.

V souvislosti s touto nutnou prací lidé začali používat výrazy: půl, třetina, dva a půl kroku. Odkud se dalo usuzovat, že zlomková čísla vznikla jako výsledek měření veličin. Národy prošly mnoha variantami psaní zlomků, až dospěly k moderní notaci.

Snímek 5
V historii vývoje zlomkových čísel se setkáváme se zlomky tří typů:
1) zlomky nebo jednotkové zlomky, ve kterých je čitatel jedna, ale jmenovatel může být libovolné celé číslo; 2) systematické zlomky, ve kterých mohou být čitateli libovolná čísla, ale jmenovateli mohou být pouze čísla určitého typu, například mocniny deseti nebo šedesáti;

3) obecné zlomky, ve kterých mohou být čitateli a jmenovateli libovolná čísla. Vynález těchto tří různých typů zlomků představoval pro lidstvo různé stupně obtížnosti, takže různé typy zlomků se objevily v různých dobách.

Snímek 6
Zlomky v Babylonu

Babyloňané používali pouze dvě čísla. Svislá čára znamenala jednu jednotku a úhel dvou ležících čar znamenal deset. Tyto řádky vytvářeli ve formě klínů, protože Babyloňané psali ostrým dřívkem na vlhké hliněné tabulky, které se pak sušily a vypalovaly.

Snímek 7
Ve starověkém Egyptě dosáhla architektura vysokého stupně rozvoje. Aby bylo možné postavit grandiózní pyramidy a chrámy, aby bylo možné vypočítat délky, plochy a objemy postav, bylo nutné znát aritmetiku. Z rozluštěných informací na papyrech se vědci dozvěděli, že Egypťané před 4000 lety měli desítkovou (nikoli však poziční) číselnou soustavu a byli schopni vyřešit mnoho problémů souvisejících s potřebami stavebnictví, obchodu a vojenských záležitostí.

Snímek 8

Sexagesimální zlomky
Ve starověkém Babylonu dávali přednost konstantnímu jmenovateli 60. Sexagesimální zlomky, zděděné z Babylonu, používali řečtí a arabští matematici a astronomové. Badatelé vysvětlují různými způsoby vzhled systému šestinásobných čísel mezi Babyloňany. S největší pravděpodobností se zde počítalo se základem 60, což je násobek 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, což značně zjednodušuje veškeré výpočty. V tomto ohledu se dají šestileté zlomky přirovnat k našim desetinným zlomkům. Místo slov „šedesátky“, „tři tisíce šest setin“ řekli stručně: „první malé zlomky“, „druhé malé zlomky“. Odtud pocházejí naše slova „minuta“ (latinsky „menší“) a „druhá“ (latinsky „druhá“). Babylonský způsob zápisu zlomků si tedy udržel svůj význam dodnes.

Snímek 9

"egyptské zlomky"
Ve starověkém Egyptě měly některé zlomky svá zvláštní jména – konkrétně 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 a 1/8, která se v praxi často objevují. Egypťané navíc uměli pracovat s tzv. alikvotními zlomky (z latinského alikvot - několik) typu 1/n - někdy se jim proto také říká „egyptské“; tyto zlomky měly svůj vlastní pravopis: protáhlý vodorovný ovál a pod ním označení jmenovatele. Zbývající zlomky napsali jako součet podílů. Zlomek 7/8 byl zapsán jako zlomky: 1/2+1/4+1/8.

Snímek 10

Zlomky ve starověkém Římě
Zajímavý systém zlomků byl ve starém Římě. Vycházel z rozdělení jednotky hmotnosti na 12 dílů, kterým se říkalo zadek. Dvanáctá část esa se nazývala unce. A dráha, čas a další veličiny byly srovnávány s vizuální věcí – hmotností. Říman by například mohl říci, že ušel sedm uncí cesty nebo přečetl pět uncí knihy. V tomto případě samozřejmě nešlo o vážení cesty nebo knihy. To znamenalo, že 7/12 cesty bylo dokončeno nebo 5/12 knihy bylo přečteno. A pro zlomky získané redukcí zlomků se jmenovatelem 12 nebo dělením dvanáctin na menší byly zvláštní názvy.
1 trojská unce zlata – míra hmotnosti drahých kovů

Snímek 11

Objevování desetinných míst
Po několik tisíciletí lidstvo používá zlomková čísla, ale na myšlenku jejich zápisu ve vhodných desetinných číslech přišli mnohem později. Dnes používáme desetinná místa přirozeně a volně. V západní Evropě 16. stol. Spolu s rozšířeným desítkovým systémem pro reprezentaci celých čísel se všude ve výpočtech používaly šestinásobné zlomky, které sahají až do starověké tradice Babyloňanů.

Snímek 12

Bylo zapotřebí bystrého rozumu nizozemského matematika Simona Stevina, aby záznam jak celých, tak zlomkových čísel do jediného systému.

Snímek 13

Použití desetinných míst
Od počátku 17. století začalo intenzivní pronikání desetinných zlomků do vědy i praxe. V Anglii byla zavedena tečka jako znak oddělující část celého čísla od části zlomkové. Čárku, stejně jako tečku, navrhl jako dělicí znak v roce 1617 matematik Napier. mnohem častěji než běžné zlomky.
Rozvoj průmyslu a obchodu, vědy a techniky vyžadoval stále těžkopádnější výpočty, které se snáze prováděly pomocí desetinných zlomků. Desetinné zlomky se staly široce používanými v 19. století po zavedení úzce souvisejícího metrického systému vah a mír. Například u nás v zemědělství a průmyslu se mnohem častěji než obyčejné zlomky používají desetinné zlomky a jejich speciální forma - procenta.

Snímek 14

Použití desetinných míst
Od počátku 17. století začalo intenzivní pronikání desetinných zlomků do vědy i praxe. V Anglii byla zavedena tečka jako znak oddělující část celého čísla od části zlomkové. Čárku, stejně jako tečku, navrhl jako dělicí znak v roce 1617 matematik Napier. Rozvoj průmyslu a obchodu, vědy a techniky vyžadoval stále těžkopádnější výpočty, které se snáze prováděly pomocí desetinných zlomků. Desetinné zlomky se staly široce používanými v 19. století po zavedení úzce souvisejícího metrického systému vah a mír. Například u nás v zemědělství a průmyslu se mnohem častěji než obyčejné zlomky používají desetinné zlomky a jejich speciální forma - procenta.

Snímek 15

Seznam zdrojů
M.Ya.Vygodsky "Aritmetika a algebra ve starověkém světě." G.I. Glazer "Historie matematiky ve škole." I.Ya Depman „Historie aritmetiky“. Vilenkin N.Ya. „Z historie zlomků“ Friedman L.M. "Učíme se matematiku." Zlomky v Babylonu, Egyptě, Římě. Objev desetinných zlomků... prezentacii.com›Historie›Objev desetinných zlomků...matematika "Zlomky v Babylonu, Egypt, Řím. Objev desetinných míst... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Zlomky v Babylonu, Egypt, Řím. Objev desetinných zlomků."... uchportal.ru›Metodologický vývoj›Objev desetinných zlomků. Historie matematiky: ...Řím, Babylon. Objev desetinných zlomků... rusedu.ru›detail_23107.html 9Prezentace: .. .Starověký Řím, Babylon. Objev desetinných zlomků... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Zlomky v Babylonu, Egypt, Řím, objev desetinných čísel... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej. …

Zlomky jsou stále považovány za jednu z nejobtížnějších oblastí matematiky. Historie zlomků sahá více než tisíc let do minulosti. Schopnost rozdělit celek na části vznikla na území starověkého Egypta a Babylonu. V průběhu let se operace prováděné se zlomky staly složitějšími a změnila se forma jejich záznamu. Každý měl své vlastní charakteristiky ve svém „vztahu“ k tomuto odvětví matematiky.

Co je zlomek?

Když vznikla potřeba rozdělit celek na části bez zvláštního úsilí, objevily se zlomky. Historie zlomků je nerozlučně spjata s řešením utilitárních problémů. Samotný výraz „frakce“ má arabské kořeny a pochází ze slova, které znamená „rozbít, rozdělit“. Od pradávna se v tomto smyslu změnilo jen málo. Moderní definice je následující: zlomek je část nebo součet částí jednotky. V souladu s tím příklady se zlomky představují postupné provádění matematických operací se zlomky čísel.

Dnes existují dva způsoby, jak je zaznamenat. vznikly v různých dobách: první jsou starší.

Pocházel od nepaměti

Poprvé začali operovat s frakcemi v Egyptě a Babylonu. Přístup matematiků obou zemí měl značné rozdíly. Začátek byl však v obou případech proveden stejně. První zlomek byl poloviční nebo 1/2. Pak vznikla čtvrtina, třetina a tak dále. Podle archeologických vykopávek sahá historie původu zlomků asi 5 tisíc let zpět. Poprvé se zlomky čísla nacházejí v egyptských papyrech a na babylonských hliněných tabulkách.

Starověký Egypt

Mezi typy obyčejných zlomků dnes patří tzv. egyptské. Představují součet několika členů tvaru 1/n. Čitatel je vždy jedna a jmenovatel přirozené číslo. Je těžké uhodnout, že se takové zlomky objevily ve starověkém Egyptě. Při výpočtu jsme se snažili zapsat všechny podíly v podobě takových částek (například 1/2 + 1/4 + 1/8). Pouze zlomky 2/3 a 3/4 měly samostatná označení, zbytek byl rozdělen na termíny. Existovaly speciální tabulky, ve kterých byly zlomky čísla prezentovány jako součet.

Nejstarší známá zmínka o takovém systému se nachází v Rhindově matematickém papyru z počátku druhého tisíciletí před naším letopočtem. Obsahuje tabulku zlomků a matematické úlohy s řešeními a odpověďmi prezentovanými jako součty zlomků. Egypťané věděli, jak sčítat, dělit a násobit zlomky čísla. Zlomky v údolí Nilu byly psány pomocí hieroglyfů.

Znázornění zlomku čísla jako součtu členů tvaru 1/n, charakteristické pro starověký Egypt, používali matematici nejen u nás. Až do středověku se v Řecku a dalších zemích používaly egyptské zlomky.

Vývoj matematiky v Babylonu

Matematika vypadala v babylonském království jinak. Historie vzniku zlomků zde přímo souvisí se zvláštnostmi číselného systému, který starověký stát zdědil od svého předchůdce, sumersko-akkadské civilizace. Technologie výpočtů v Babylonu byla pohodlnější a pokročilejší než v Egyptě. Matematika v této zemi řešila mnohem širší spektrum problémů.

Úspěchy dnešních Babyloňanů lze posoudit podle dochovaných hliněných tabulek vyplněných klínovým písmem. Díky zvláštnostem materiálu se k nám dostaly ve velkém. Podle některých byla v Babylonu před Pythagorem objevena známá věta, která nepochybně svědčí o rozvoji vědy v tomto starověkém státě.

Zlomky: Historie zlomků v Babylonu

Číselný systém v Babylonu byl šestinásobný. Každá nová číslice se od předchozí lišila o 60. Tento systém se v moderním světě zachoval pro označení času a úhlů. Zlomky byly také šestinásobné. Pro nahrávání byly použity speciální ikony. Stejně jako v Egyptě obsahovaly příklady se zlomky samostatné symboly pro 1/2, 1/3 a 2/3.

Babylonský systém nezmizel spolu se státem. Zlomky zapsané v 60místném systému používali starověcí a arabští astronomové a matematici.

Starověké Řecko

Historie obyčejných zlomků byla ve starověkém Řecku málo obohacena. Obyvatelé Hellas věřili, že matematika by měla pracovat pouze s celými čísly. Proto se výrazy se zlomky na stránkách starověkých řeckých pojednání prakticky nikdy nenacházely. Pythagorejci však do tohoto odvětví matematiky určitým způsobem přispěli. Zlomky chápali jako poměry nebo proporce a jednotka byla také považována za nedělitelnou. Pythagoras a jeho studenti vybudovali obecnou teorii zlomků, naučili se provádět všechny čtyři aritmetické operace a také porovnávat zlomky jejich redukcí na společného jmenovatele.

Svatá říše římská

Římský systém zlomků byl spojen s mírou hmotnosti zvanou „zadek“. Byla rozdělena na 12 akcií. 1/12 esa se nazývala unce. Pro zlomky bylo 18 jmen. Zde jsou některé z nich:

semis - půlka zadku;

sextante — šestá část zadku;

sedm uncí - půl unce nebo 1/24 zadku.

Nevýhodou takového systému byla nemožnost reprezentovat číslo jako zlomek se jmenovatelem 10 nebo 100. Římští matematici obtížnost překonávali používáním procent.

Psaní běžných zlomků

Již ve starověku se zlomky psaly známým způsobem: jedno číslo přes druhé. Byl tu však jeden podstatný rozdíl. Čitatel byl umístěn pod jmenovatelem. Poprvé takto začali psát zlomky ve starověké Indii. Moderní metodu používali Arabové. Ale žádný ze jmenovaných národů nepoužil vodorovnou čáru k oddělení čitatele a jmenovatele. Poprvé se objevuje ve spisech Leonarda z Pisy, známějšího jako Fibonacci, v roce 1202.

Čína

Pokud historie vzniku obyčejných zlomků začala v Egyptě, pak se desetinná čísla poprvé objevila v Číně. V Nebeské říši se začaly používat kolem 3. století před naším letopočtem. Historie desetinných zlomků začala u čínského matematika Liu Hui, který navrhl jejich použití při získávání odmocnin.

Ve 3. století našeho letopočtu se v Číně začaly pro výpočet hmotnosti a objemu používat desetinné zlomky. Postupně začali pronikat hlouběji a hlouběji do matematiky. V Evropě se však desetinná čísla začala používat mnohem později.

Al-Kashi ze Samarkandu

Bez ohledu na čínské předchůdce byly desetinné zlomky objeveny astronomem al-Kashi ze starověkého města Samarkand. Žil a tvořil v 15. století. Vědec nastínil svou teorii v pojednání „Klíč k aritmetice“, které bylo zveřejněno v roce 1427. Al-Kashi navrhl použít novou formu psaní zlomků. Celé číslo i zlomkové části byly nyní psány na stejném řádku. Samarkandský astronom k jejich oddělení nepoužil čárku. Napsal celé číslo a zlomkovou část v různých barvách pomocí černého a červeného inkoustu. Někdy al-Kashi také používal svislou čáru k oddělení.

Desetinná čísla v Evropě

Ve 13. století se v dílech evropských matematiků začal objevovat nový typ zlomků. Je třeba poznamenat, že nebyli obeznámeni s díly al-Kashi, stejně jako s vynálezem Číňanů. Desetinné zlomky se objevily ve spisech Jordana Nemorariuse. Poté je již v 16. století použil francouzský vědec, který napsal „Matematický kánon“, který obsahoval trigonometrické tabulky. Vieth v nich používal desetinné zlomky. K oddělení celých a dílčích částí použil vědec svislou čáru a také různé velikosti písma.

Jednalo se však pouze o zvláštní případy vědeckého použití. Desetinné zlomky se v Evropě začaly používat k řešení každodenních problémů o něco později. Stalo se tak zásluhou holandského vědce Simona Stevina na konci 16. století. Vydal matematické dílo „Desátý“ v roce 1585. V něm vědec nastínil teorii použití desetinných zlomků v aritmetice, v peněžním systému a pro určování vah a mír.

Tečka, tečka, čárka

Stevin také nepoužil čárku. Oddělil dvě části zlomku pomocí nuly obklopené kružnicí.

Poprvé čárka oddělovala dvě části desetinného zlomku v roce 1592. V Anglii však místo toho začali používat tečku. Ve Spojených státech se takto stále píší desetinná místa.

Jedním z iniciátorů použití obou interpunkčních znamének k oddělení celočíselné a zlomkové části byl skotský matematik John Napier. Svůj návrh vyjádřil v letech 1616-1617. Čárku použil i německý vědec

zlomky v ruštině

Na ruské půdě byl prvním matematikem, který vysvětlil rozdělení celku na části, novgorodský mnich Kirik. V roce 1136 napsal dílo, ve kterém nastínil metodu „počítání let“. Kirik se zabýval otázkami chronologie a kalendáře. Ve své práci také uvedl rozdělení hodiny na části: kvinty, pětadvacáté a tak dále.

Rozdělení celku na části se používalo při výpočtu výše daně v 15.-17. Byly použity operace sčítání, odčítání, dělení a násobení se zlomky.

Samotné slovo „frakce“ se objevilo v Rusku v 8. století. Pochází ze slovesa „rozdělit, rozdělit na části“. Naši předkové používali k pojmenování zlomků speciální slova. Například 1/2 byla označena jako polovina nebo polovina, 1/4 jako čtvrtina, 1/8 jako polovina, 1/16 jako polovina a tak dále.

Kompletní teorie zlomků, která se příliš neliší od té moderní, byla představena v první učebnici aritmetiky, kterou v roce 1701 napsal Leonty Filippovich Magnitsky. „Aritmetika“ se skládala z několika částí. Autor podrobně hovoří o zlomcích v části „O lomených číslech nebo se zlomky“. Magnitsky uvádí operace s „přerušenými“ čísly a jejich různá označení.

Zlomky dnes stále patří k nejobtížnějším odvětvím matematiky. Ani historie zlomků nebyla jednoduchá. Různé národy, někdy nezávisle na sobě a někdy vypůjčující si zkušenosti svých předchůdců, dospěly k potřebě zavést, ovládat a používat zlomky čísel. Studium zlomků vždy vyrostlo z praktických pozorování a díky naléhavým problémům. Bylo třeba rozdělit chleba, vytyčit rovné pozemky, vypočítat daně, měřit čas a tak dále. Specifika používání zlomků a matematických operací s nimi závisela na číselné soustavě ve státě a na obecné úrovni rozvoje matematiky. Tak či onak, po překonání více než jednoho tisíce let, byla vytvořena, rozvinuta a dnes úspěšně používána sekce algebry věnovaná zlomkům čísel pro různé potřeby, praktické i teoretické.

1 snímek

2 snímek

* * http://aida.ucoz.ru Horace Z „Vědy o poezii“ „Syn Albinův! Řekni mi: když vezmeme pět uncí a odečteme jednu, co zbyde? - "Třetí část esa." "Nádherné! Dobře, nepromarníte svůj majetek! A když k předchozím pěti přidáme jednu, jaký bude celkový součet?“ - "Napůl." (Překlad M. Dmitriev.) http://aida.ucoz.ru

3 snímek

* http://aida.ucoz.ru * Mladý Roman měl pravdu! Řešením tohoto problému jsme také dostali: 5/12-1/12=1/3; 5/12 + 1/12 = 1/2. http://aida.ucoz.ru

4 snímek

* http://aida.ucoz.ru Synonyma „pečlivý“: přesný, jemný, důkladný, úhledný, svědomitý, šperkařský, dochvilný, pedantský, filigránský, nezapomenutelný. A toto zvláštní slovo „skrupulózní“ pochází z římského názvu pro 1/288 assa – „scrupulus“. http://aida.ucoz.ru

5 snímek

* http://aida.ucoz.ru * Používaly se také následující názvy: „semis“ – půl esa, „sextance“ – jeho šestina, „semiounce“ – půl unce, tedy 1/24 esa atd. .d. Celkem bylo použito 18 různých názvů zlomků. Pro práci se zlomky jste si museli zapamatovat tabulku sčítání a tabulku násobení. Římští kupci proto s jistotou věděli, že při sečtení trienů (1/3 assa) a sextanů je výsledek semi a při vynásobení démona (2/3 assa) sescunce (2/3 unce, tedy 1/). 8 assa), výsledkem je unce. Pro usnadnění práce byly sestaveny speciální tabulky, z nichž některé se k nám dostaly. http://aida.ucoz.ru

6 snímek

Po vítězství se Gaius Julius Caesar rozhodl odměnit svůj předvoj a přidělil jim nejprve 24 uncí a poté 36 uncí. Kolik es obdrželo oddělení? Řešení: 24 uncí jsou 2 osly a 36 uncí jsou 3 esa, 3 +2 = 5 osů obdržených družstvem. Odpověď: 5 es. Problém Mishy Ivanova

7 snímek

Úkol Angeliny Glibiny Ve starém Římě byli vyznamenáni válečníci, kteří v bitvě prokázali sílu a odvahu. Kolik es bylo potřeba k ocenění 6 válečníků, pokud každý dostal 2 esa a 6 uncí? Řešení: 6 násobeno 2 esy, dostaneme 12 es - to bylo dáno pouze pro 6 válečníků, pak vynásobíme 6 6, dostaneme 36 uncí a v jednom esu je 12 uncí, dostaneme 3 osly, přidáme 3 do 12, dostaneme 15 oslů. Odpověď: 15 es.

Zlomky ve starověkém Římě. Zajímavý systém zlomků byl ve starém Římě. Vycházel z rozdělení jednotky hmotnosti na 12 dílů, kterým se říkalo zadek. Dvanáctá část esa se nazývala unce. A dráha, čas a další veličiny byly srovnávány s vizuální věcí – hmotností. Říman by například mohl říci, že ušel sedm uncí cesty nebo přečetl pět uncí knihy. V tomto případě samozřejmě nešlo o vážení cesty nebo knihy. To znamenalo, že 7/12 cesty bylo dokončeno nebo 5/12 knihy bylo přečteno. A pro zlomky získané redukcí zlomků se jmenovatelem 12 nebo dělením dvanáctin na menší byly zvláštní názvy.

Snímek 12 z prezentace "Historie zlomků".

Velikost archivu s prezentací je 403 KB.

Matematika 6. třída

shrnutí dalších prezentací

"Mathematical Brain Ring" - volba poroty. Zkouška. Roh. Trojúhelník a čtverec. procent. Vymyslete matematické pojmy. Kužel. Kolik řezů jsi udělal? Chyby. Volání. Vážné téma. Tým. Zlomek. Soutěž kapitánů. Co je těžší než jeden kilogram hřebíků nebo vaty? Anagram. Turnajová tabulka. Zahřejte se. Pět minut. Anagramy. Centimetr. Prezentace týmu. Číslo, které není ani prvočíslo, ani složené. Nejmenší přirozené číslo.

„Paralelní čáry v rovině“ - Pappus (III. století našeho letopočtu). Moderní definice. (Euklides). Různé definice rovnoběžek... V životě se často setkáváme s pojmem rovnoběžnost. "Dvě přímky ležící ve stejné rovině a stejně vzdálené od sebe." Nehoda vlaku. Zkrat, žádná elektřina. Z historie paralelních linií. W. Oughtred (1575-1660). Zahájeno. Euklides (III století před naším letopočtem). Rovnoběžné jsou také sloupy Parthenonu (starověké Řecko, 447-438 př. n. l.).

„Jednotky měření veličin“ - Jednotky měření. Jednotky času. Problémy týkající se poměru jednotek času. Problémy s jednotkami délky. Ve kterém století bylo v Rusku zrušeno nevolnictví? Délka těla trpasličí opice. Jednotky délky. Jednotky plochy. Jednotky objemu. Rozměry akvária.

„Problémy s plochou obrazců“ - Písmenný výraz pro nalezení S a P. Zapište si vzorce pro plochu a obvod obrazců. Obdélníkový rovnoběžnostěn. Pozemek zahrady je obehnán plotem. Koupili jsme 39 m koberce. Najděte S a P celého obrázku. Čtverec a obdélník. Pro výstavbu bytového domu byl přidělen pozemek. Najděte oblast stínovaného obrázku. Na území sanatoria se nachází bazén. Rovnoběžné. V dětském pokoji by měla být podlaha izolována kobercem.

"Poměr v matematice" - Nebo jaká je část prvního čísla od druhého. Zahřejte se. Co ukazuje poměr dvou čísel? Přátelské vztahy. Kolikrát je první číslo větší než druhé? Co ukazuje postoj? Učitel je na své žáky přísný. Jaká část prvního čísla je druhá. Poměr délky Rodinné vztahy. Hmotnostní poměr Odpověď lze také zapsat jako desetinné číslo nebo procento. Z kusu látky dlouhého 5 m byly ustřiženy 2 m Jaká část kusu látky byla odříznuta?

Historie vzniku zlomků

Zavedení

Potřeba zlomkových čísel vznikla u lidí ve velmi raném stádiu vývoje. Již rozdělení kořisti, skládající se z několika zabitých zvířat, mezi účastníky lovu, kdy se ukázalo, že počet zvířat není násobkem počtu lovců, mohlo vést primitivního člověka ke konceptu zlomkového čísla.

Spolu s potřebou počítat předměty měli lidé od pradávna potřebu měřit délku, plochu, objem, čas a další veličiny. Výsledek měření nelze vždy vyjádřit přirozeným číslem, je třeba vzít v úvahu i části použité míry. Historicky frakce pocházely z procesu měření.

Zlomky ve starověkém Římě

Římané používali základní jednotku měření hmotnosti, a také peněžní jednotka byla „zadek“. Zadek byl rozdělen na 12 stejných částí - uncí. Z nich se sčítaly všechny zlomky se jmenovatelem 12, tedy 1/12, 2/12, 3/12... Postupem času se k měření jakékoli veličiny začaly používat unce.

Tak vznikli Římané duodecimální zlomky, tedy zlomky, jejichž jmenovatelem bylo vždy číslo 12 . Místo 1/12 říkali Římané „jedna unce“, 5/12 – „pět uncí“ atd. Tři unce se nazývaly čtvrtina, čtyři unce třetina, šest uncí polovina.

Používalo se pouze 18 různých frakcí:

SIMIS - poloviční eso;

SEXSTANCE je jeho šestá část;

SEKUNKCE – osmá;

TRIENS - třetina zadku;

BES – dvě třetiny;

OUNCE – dvanáctina esa;

SEVEN UNC – půl unce.

Zlomky ve starověkém Egyptě

Po mnoho staletí Egypťané nazývali zlomky „lomená čísla“ a první zlomek, se kterým se seznámili, byla 1/2. Následovala 1/4, 1/8, 1/16, ..., poté 1/3, 1/6, ..., tzn. nejjednodušší zlomky zvané jednotkové resp základní zlomky. Jejich čitatel je vždy jedna. Teprve mnohem později začali Řekové, poté Indové a další národy používat zlomky obecného tvaru, zvaného obyčejný, v němž čitatelem i jmenovatelem mohou být jakákoli přirozená čísla.

Ve starověkém Egyptě dosáhla architektura vysokého stupně rozvoje. Aby bylo možné postavit grandiózní pyramidy a chrámy, aby bylo možné vypočítat délky, plochy a objemy postav, bylo nutné znát aritmetiku.

Z rozluštěných informací na papyrech se vědci dozvěděli, že Egypťané před 4000 lety měli desítkovou (nikoli však poziční) číselnou soustavu a byli schopni vyřešit mnoho problémů souvisejících s potřebami stavebnictví, obchodu a vojenských záležitostí.

Jedním z prvních známých odkazů na egyptské zlomky je matematický Rhindův papyrus. Tři starší texty, které zmiňují egyptské zlomky, jsou Egyptský matematický kožený svitek, Moskevský matematický papyrus a Akhmimská dřevěná tabulka. Rhindův papyrus obsahuje tabulku egyptských zlomků pro racionální čísla ve tvaru 2/ n, dále 84 matematických úloh, jejich řešení a odpovědí, psaných ve formě egyptských zlomků.

Egypťané umístili hieroglyf ( ehm, "[jeden] z" nebo re, ústa) nad číslem k označení jednotkového zlomku v běžné notaci, ale v posvátných textech se používal řádek. Například:

Měli také speciální symboly pro zlomky 1/2, 2/3 a 3/4, které se daly použít i k zápisu jiných zlomků (větších než 1/2).

Zbývající zlomky napsali jako součet podílů. Zlomek zapsali do tvaru
, ale znaménko „+“ nebylo uvedeno. A částka
napsaný ve formuláři . V důsledku toho se tento zápis smíšených čísel (bez znaménka „+“) od té doby zachoval.

Babylonské šestinásobné zlomky

Obyvatelé starověkého Babylonu asi tři tisíce let před naším letopočtem vytvořili systém měr podobný našemu metrickému, jen nevycházel z čísla 10, ale z čísla 60, ve kterém byla menší měrná jednotka součástí vyšší jednotky. Tento systém zcela následovali Babyloňané pro měření času a úhlů a my jsme od nich zdědili dělení hodin a stupňů na 60 minut a minut na 60 sekund.

Badatelé vysvětlují různými způsoby vzhled systému šestinásobných čísel mezi Babyloňany. S největší pravděpodobností se zde počítalo se základem 60, což je násobek 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, což značně zjednodušuje veškeré výpočty.

Šedesáté roky byly v životě Babyloňanů běžné. Proto použili šestinedělí zlomky, jejichž jmenovatelem je vždy číslo 60 nebo jeho mocniny: 60 2, 60 3 atd. V tomto ohledu se dají šestileté zlomky přirovnat k našim desetinným zlomkům.

Babylonská matematika ovlivnila řeckou matematiku. Stopy babylonského šestinásobného číselného systému přetrvaly v moderní vědě při měření času a úhlů. Dělení hodin na 60 minut, minut na 60 sekund, kruhů na 360 stupňů, stupňů na 60 minut, minut na 60 sekund se zachovalo dodnes.

Babyloňané cenným způsobem přispěli k rozvoji astronomie. Vědci všech národů používali šestileté zlomky v astronomii až do 17. století a nazývali je astronomický ve zlomcích. Naproti tomu obecné zlomky, které používáme, se nazývaly obyčejný.

Číslování a zlomky ve starověkém Řecku

Protože Řekové pracovali se zlomky jen sporadicky, používali různé zápisy. Heron a Diophantus, nejslavnější aritmetici mezi starověkými řeckými matematiky, psali zlomky v abecední formě, s čitatelem umístěným pod jmenovatelem. Ale v zásadě byly upřednostňovány buď zlomky s jednotkovým čitatelem, nebo šestinásobné zlomky.

Nedostatky řeckého zlomkového zápisu, včetně použití šestinásobných zlomků v desítkové soustavě, nebyly způsobeny nedostatky v základních principech. Nedostatky řeckého číselného systému lze spíše přičíst jejich trvání na přísnosti, což výrazně zvýšilo obtíže spojené s analýzou vztahu nesouměřitelných veličin. Řekové chápali slovo „číslo“ jako soubor jednotek, takže to, co dnes považujeme za jediné racionální číslo – zlomek – chápali Řekové jako podíl dvou celých čísel. To vysvětluje, proč se zlomky v řecké aritmetice nacházely jen zřídka.

zlomky v ruštině

V ruské ručně psané aritmetice 17. století se zlomky nazývaly zlomky, později „lomená čísla“. Ve starých příručkách najdeme následující názvy zlomků v Rus:

1/2 - polovina, polovina

1/3 – třetí

1/4 – sudá

1/6 – půl třetiny

1/8 - polovina

1/12 – půl třetiny

1/16 - půl půlka

1/24 – půl a půl třetiny (malá třetina)

1/32 – polovina polovina polovina (malá polovina)

1/5 – pyatina

1/7 - týden

1/10 - desátek

Slovanské číslování se v Rusku používalo do 16. století, poté začal do země postupně pronikat desítkový poziční číselný systém. To nakonec nahradilo slovanské číslování za Petra I.

Zlomky v jiných starověkých státech

V čínské „Matematice v devíti oddílech“ již probíhají redukce zlomků a všechny operace se zlomky.

U indického matematika Brahmagupty najdeme dosti rozvinutou soustavu zlomků. Narazí na různé zlomky: jak základní, tak odvozené s libovolným čitatelem. Čitatel a jmenovatel se zapisují stejně jako nyní, ale bez vodorovné čáry, ale jsou jednoduše umístěny nad sebou.

Arabové byli první, kdo oddělil čitatel od jmenovatele čárou.

Leonardo z Pisy už píše zlomky, v případě smíšeného čísla umisťuje celé číslo vpravo, ale čte je stejně, jak je u nás zvykem. Jordan Nemorarius (XIII. století) dělí zlomky dělením čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem, což přirovnává dělení k násobení. Chcete-li to provést, musíte doplnit členy prvního zlomku faktory:

Studium zlomků nabývá v 15. – 16. století již známé podoby a je formalizováno do přibližně stejných oddílů, jaké se nacházejí v našich učebnicích.

Je třeba poznamenat, že část aritmetiky o zlomcích byla dlouho jednou z nejobtížnějších. Ne nadarmo mají Němci přísloví: „Dostat se do zlomků“, což znamenalo dostat se do bezvýchodné situace. Věřilo se, že kdo nezná zlomky, nezná aritmetiku.

Desetinná čísla

Desetinné zlomky se objevily v dílech arabských matematiků ve středověku a nezávisle na nich ve staré Číně. Ale ještě dříve, ve starověkém Babylonu, se používaly zlomky stejného typu, pouze šestileté.

Později vědec Hartmann Beyer (1563-1625) publikoval dílo „Decimal Logistics“, kde napsal: „... Všiml jsem si, že technici a řemeslníci při měření jakékoli délky velmi zřídka a jen výjimečně ji vyjadřují celými čísly. stejného jména; Obvykle musí buď přijmout malá opatření, nebo se uchýlit ke zlomkům. Stejně tak astronomové měří veličiny nejen ve stupních, ale i ve zlomcích stupně, tzn. minuty, sekundy atd. Dělit je na 60 dílů není tak pohodlné jako je dělit na 10, 100 dílů atd., protože ve druhém případě je mnohem jednodušší sčítat, odečítat a obecně provádět aritmetické operace; Zdá se mi, že pokud by byly zavedeny desetinné zlomky místo šestinásobných, byly by užitečné nejen pro astronomii, ale také pro všechny druhy výpočtů.“

Dnes používáme desetinná místa přirozeně a volně. Co se nám však zdá přirozené, sloužilo vědcům středověku jako skutečný kámen úrazu. V západní Evropě 16. stol. Spolu s rozšířeným desítkovým systémem pro reprezentaci celých čísel se všude ve výpočtech používaly šestinásobné zlomky, které sahají až do starověké tradice Babyloňanů. Bylo zapotřebí bystrého rozumu nizozemského matematika Simona Stevina, aby záznam jak celých, tak zlomkových čísel do jediného systému. Impulsem k vytvoření desetinných zlomků byly zřejmě jím sestavené tabulky složeného úročení. V roce 1585 vydal knihu Desátky, ve které vysvětlil desetinné zlomky.

Od počátku 17. století začalo intenzivní pronikání desetinných zlomků do vědy i praxe. V Anglii byla zavedena tečka jako znak oddělující část celého čísla od části zlomkové. Čárku, stejně jako tečku, navrhl jako dělicí znak v roce 1617 matematik Napier.

Rozvoj průmyslu a obchodu, vědy a techniky vyžadoval stále těžkopádnější výpočty, které se snáze prováděly pomocí desetinných zlomků. Desetinné zlomky se staly široce používanými v 19. století po zavedení úzce souvisejícího metrického systému vah a mír. Například u nás v zemědělství a průmyslu se mnohem častěji než obyčejné zlomky používají desetinné zlomky a jejich speciální forma - procenta.

Literatura:

M.Ya.Vygodsky „Aritmetika a algebra ve starověkém světě“ (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer „Historie matematiky ve škole“ (M. Prosveshcheniye, 1964)

I.Ya Depman „Historie aritmetiky“ (M. Enlightenment, 1959)