Magický čtverec 4 čísel. Magické čtverce (3) - Dokument. Co je to za hádanku

Domů > Dokument

KOUZELNÉ NÁMĚSTÍ

Magický nebo magický čtverec je čtvercová tabulka vyplněná čísly tak, že součet čísel v každém řádku, každém sloupci a obou úhlopříčkách je stejný.

Součet čísel v každém řádku, sloupci a diagonále se nazývá magická konstanta M.

Nejmenší magická konstanta magického čtverce 3x3 je 15, čtverce 4x4 je 34, čtverce 5x5 je 65,

Pokud se součty čísel ve čtverci rovnají pouze v řádcích a sloupcích, nazývá se to polomagie.

Postavte magický čtverec 3 x 3 s nejmenším

magická konstanta

Najděte nejmenší magickou konstantu magického čtverce 3x3

1 způsob

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Číslo napsané uprostřed je 15 : 3 = 5

Určeno, že uprostřed je napsáno číslo 5.

kde n je počet řádků

Pokud dokážete postavit jedno magické pole, pak není těžké postavit jich libovolný počet. Proto pamatujte na stavební techniky

Magický čtverec 3x3 s konstantní 15.

1 způsob konstrukce. Do rohů dejte nejprve sudá čísla

Uprostřed 2,4,8,6 a 5. Zbytek procesu je jednoduchá aritmetika.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 způsobemřešení

Pomocí nalezeného magického čtverce s konstantou 15 můžete nastavit mnoho různých úkolů:

Příklad. Postavte nové různé magické čtverce 3 x 3

Řešení.

Sečtením každého čísla magického čtverce nebo jeho vynásobením stejným číslem získáme nový magický čtverec.

Příklad 1 Sestavte magický čtverec 3 x 3, jehož číslo uprostřed je 13.

Řešení.

Vytvořme známé kouzlo

čtverec s konstantou 15.

Najděte číslo, které je v

uprostřed požadovaného čtverce

13 – 5 = 8.

Ke každému magickému číslu

přidejte 8 čtverců.

Příklad 2 Naplňte klece magie

čtverce, se znalostí magické konstanty.

Řešení. Pojďme najít číslo

psáno uprostřed 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

úkoly pro samostatné rozhodování

Příklady. 1. Naplňte buňky magických čtverců magií

konstanta M = 15.

1) 2) 3)

2. Najděte magickou konstantu magických čtverců.

1) 2) 3)

3. Vyplňte buňky magických čtverců se znalostí magické konstanty

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Sestavte magický čtverec 3x3 s vědomím, že magická konstanta je

rovná se 21.

Řešení. Připomeňte si, jak se magický čtverec 3x3 staví podle nejmenšího

konstanta 15. Sudá čísla se zapisují do krajních polí

2, 4, 6, 8 a uprostřed číslo 5 (15 : 3).

Podle podmínky je nutné sestrojit čtverec podle magické konstanty

21. Uprostřed požadovaného čtverce by mělo být číslo 7 (21 : 3).

Pojďme zjistit, o kolik více každý člen požadovaného čtverce

každý člen s nejmenší magickou konstantou 7 - 5 = 2.

Postavíme požadovaný magický čtverec:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Sestavte 3x3 magické čtverce se znalostí jejich magických konstant

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Sestavení magického čtverce 4 x 4 s nejmenším

magická konstanta

Najděte nejmenší magickou konstantu magického čtverce 4x4

a číslo umístěné uprostřed tohoto čtverce.

1 způsob

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

kde n je počet řádků n = 4.

Součet čísel na libovolné vodorovné rovině,

vertikální a diagonální je 34.

Toto množství se také vyskytuje ve všech

rohové čtverce 2×2, ve střed

na druhou (10+11+6+7), na druhou od

rohové buňky (16+13+4+1).

Chcete-li postavit jakékoli magické pole 4x4, musíte: jedno postavit

s konstantou 34.

Příklad. Postavte nové různé magické čtverce 4 x 4.

Řešení.

Sečtením každého nalezeného čísla

magický čtverec 4 x 4 popř

vynásobím to stejným číslem,

získat nový magický čtverec.

Příklad. Sestavte si magické

čtverec 4 x 4, který má kouzlo

konstanta je 46.

Řešení. Postavil známou magii

čtverec s konstantou 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Ke každému číslu magického čtverce

přidáme 3.

Než přistoupíte k řešení složitějších příkladů na magických polích 4 x 4, znovu zkontrolujte vlastnosti, které má, když M = 34.

Příklady. 1. Naplňte buňky magického čtverce magií

konstanta M = 38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

vlastnost 1,3,1 vlastnosti 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

vlastnosti 1,1,1,1

Odpovědět.

Úkoly pro samostatné řešení

Vyplňte buňky magického čtverce, pokud je kouzlo známé

konstantní

K = 46 K = 58 K = 62

Seznamte se s magickými čtverci 5x5 a 6x6

Existuje několik různých klasifikací magických čtverců.

pátého řádu, navržený tak, aby je nějak systematizoval. V knize

Martin Gardner [GM90, pp. 244-345] popisuje jednu z těchto metod -

podle čísla na centrálním náměstí. Metoda je to kuriózní, ale nic víc.

Kolik čtverců šestého řádu existuje, je stále neznámé, ale je jich přibližně 1,77 x 1019. Číslo je obrovské, takže není naděje na jejich sčítání pomocí vyčerpávajícího hledání, ale nikdo nedokázal přijít na vzorec pro výpočet magických čtverců.

Jak vyrobit kouzelný čtverec?

Existuje mnoho způsobů, jak vytvořit magické čtverce. Nejjednodušší způsob, jak vytvořit magické čtverce liché pořadí. Použijeme metodu navrženou francouzským vědcem 17. století A. de la Louber (De La Loubère). Je založen na pěti pravidlech, jejichž fungování budeme uvažovat na nejjednodušším magickém čtverci 3 x 3 buňky.

Pravidlo 1. Vložte 1 do prostředního sloupce první řady (obr. 5.7).

Rýže. 5.7. První číslo

Pravidlo 2. Umístěte další číslo, pokud je to možné, do buňky sousedící s aktuálním diagonálně vpravo a výše (obr. 5.8).

Rýže. 5.8. Zkouším zadat druhé číslo

Pravidlo 3. Pokud nová buňka přesahuje výše uvedený čtverec, zapište číslo do úplně spodního řádku a do dalšího sloupce (obr. 5.9).

Rýže. 5.9. Vložíme druhé číslo

Pravidlo 4. Pokud buňka přesahuje čtverec vpravo, zapište číslo hned do prvního sloupce a do předchozího řádku (obr. 5.10).

Rýže. 5.10. Vložili jsme třetí číslo

Pravidlo 5. Pokud je buňka již obsazena, zapište si další číslo pod aktuální buňku (obr. 5.11).

Rýže. 5.11. Vložili jsme čtvrté číslo

Rýže. 5.12. Vložíme páté a šesté číslo

Postupujte znovu podle pravidel 3, 4, 5, dokud nedokončíte celý čtverec (obr.

Není to pravda, pravidla jsou velmi jednoduchá a jasná, ale pořád je docela zdlouhavé uspořádat třeba i 9 čísel. Se znalostí algoritmu pro konstrukci magických čtverců však můžeme snadno svěřit veškerou rutinní práci počítači a nám zůstane pouze kreativní práce, tedy psaní programu.

Rýže. 5.13. Doplňte do čtverce následující čísla

Project Magic squares (Magic)

Sada polí pro program magické čtverce zcela zřejmé:

// PROGRAM PRO GENEROVÁNÍ

// LICHÉ MAGICKÉ NÁMĚSTÍ

// DE LA LOUBERTOVOU METODOU

veřejná částečná třída Form1 : Form

//Max. rozměry čtverce: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // pořadí čtverce int [,] mq; // magický čtverec

int číslo=0; // aktuální číslo na druhou

intcol=0; // aktuální sloupec int row=0; // aktuální řádek

Metoda de la Loubera je vhodná pro vytváření lichých čtverců libovolné velikosti, takže můžeme nechat uživatele vybrat si pořadí čtverce, přičemž svobodu výběru přiměřeně omezíme na 27 buněk.

Poté, co uživatel stiskne kýžené tlačítko btnGen Generate! , metoda btnGen_Click vytvoří pole pro uložení čísel a přejde do metody generování:

// STISKNĚTE TLAČÍTKO "GENEROVAT".

private void btnGen_Click(odesílatel objektu, EventArgs e)

//pořadí čtverce:

n = (int)udNum.Value;

//vytvoř pole:

mq = new int ;

//vygenerování magického čtverce: vygenerovat();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Zde začneme jednat podle pravidel de la Loubera a zapíšeme první číslo - jedna - do prostřední buňky prvního řádku čtverce (nebo pole, chcete-li):

//Vygenerování magického čtverce void generation()(

//prvni cislo: cislo=1;

//sloupec pro první číslo - uprostřed: col = n / 2 + 1;

//řádek pro první číslo - první: row=1;

//odmocni to: mq= číslo;

Nyní postupně přidáme zbytek buněk v buňkách - od dvou do n * n:

// přechod na další číslo:

Pro jistotu si pamatujeme souřadnice aktuální buňky

int tc=col; int tr = řádek;

a přejděte do další buňky diagonálně:

Kontrolujeme implementaci třetího pravidla:

pokud (řádek< 1) row= n;

A pak čtvrtý:

if (col > n) ( col=1;

goto pravidlo3;

A za páté:

if (mq != 0) ( col=tc;

řádek=tr+1; goto pravidlo3;

Jak poznáme, že v buňce čtverce je již číslo? - Velmi jednoduché: do všech buněk jsme prozíravě napsali nuly a čísla v hotovém čtverci jsou větší než nula. Takže podle hodnoty prvku pole okamžitě určíme, zda je buňka prázdná nebo již s číslem! Vezměte prosím na vědomí, že zde potřebujeme souřadnice buňky, které jsme si zapamatovali před hledáním buňky pro další číslo.

Dříve nebo později najdeme vhodnou buňku pro číslo a zapíšeme ji do odpovídající buňky pole:

//odmocni to: mq = číslo;

Zkuste jiný způsob, jak zorganizovat kontrolu přípustnosti přechodu na

wow buňka!

Pokud bylo toto číslo poslední, program splnil své povinnosti, jinak dobrovolně přistoupí k tomu, že buňce poskytne následující číslo:

//pokud nejsou nastavena všechna čísla, pak if (číslo< n*n)

//přejde na další číslo: goto nextNumber;

A nyní je náměstí připraveno! Vypočítáme jeho magický součet a vytiskneme jej na obrazovku:

) //generovat()

Tisk prvků pole je velmi jednoduchý, ale je důležité vzít v úvahu zarovnání čísel různých "délek", protože čtverec může obsahovat jedno-, dvou- a tříciferná čísla:

//Vytiskne magický čtverec void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Barva .Černá;

string s = "Magický součet = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// vytiskne magický čtverec: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

pro (int j= 1; j<= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Spouštíme program - čtverečky se získávají rychle a pastva pro oči (obr.

Rýže. 5.14. Docela čtverec!

V knize S. Goodmana, S. HidetniemiÚvod do vývoje a analýzy algoritmů

mov , na stranách 297-299 najdeme stejný algoritmus, ale v "redukovaném" podání. Není tak "transparentní" jako naše verze, ale funguje správně.

Přidat tlačítko btnGen2 Generate 2! a napsat algoritmus v jazyce

C-shap na metodu btnGen2_Click:

//Algoritmus ODDMS

private void btnGen2_Click(odesílatel objektu, EventArgs e)

//pořadí čtverce: n = (int )udNum.Value;

//vytvoř pole:

mq = new int ;

//vygenerování magického čtverce: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; if (i % n == 0)

if (řádek == 1) řádek = n;

if (col == n) col = 1;

//čtverec dokončen: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Klikneme na tlačítko a ujistíme se, že se vygenerují „naše“ čtverce (obr.

Rýže. 5.15. Starý algoritmus v novém kabátě

Městský vzdělávací ústav "Gymnázium č. 41"

magické čtverce

Dozorce: ,

učitel matematiky

Novouralsk, 2012

Úvod 3

1. Obecné informace o magických čtvercích 4

1.1. Koncept magického čtverce 4

1.2. Z historie magických čtverců 4

1.3. Druhy magických čtverců 6

2. Řešení magických čtverců 6

2.1. Řešení magických čtverců (metoda Bachet de Mezirac) 7

2.2. Prohlášení o problému 8

2.3. Algoritmus pro řešení magických čtverců 8

2.4. Důkaz algoritmu (v algebraické formě) 9

2.5. Příklad řešení magického čtverce pomocí Algoritmu 10

3. Použití magických čtverců 11

3.1. Různé případy zobecnění magických čtverců 11

3.2. Aplikace latinských čtverců 12

4. Obecné závěry 13

5. Závěr 14

6. Reference 15

Příloha 1

Příloha 2

Příloha 3

Úvod

V hodinách matematického kroužku jsme se setkali s problémy souvisejícími s vyplňováním buněk čtverce podle zvláštních pravidel. Navrhovaná čísla bylo nutné zadat tak, aby výsledek splňoval několik podmínek najednou:

Pokud sečtete všechna čísla v každém řádku,

Pokud sečtete všechna čísla v každém sloupci,

Pokud sečtete všechna čísla ve dvou úhlopříčkách,

pak se všechny tyto součty budou rovnat stejnému číslu.

Přestože se úlohy lišily v počátečních číslech, pořadí čísel, daném součtu, všechny byly podobné a řešení byla stejného typu.

Vznikl nápad nejen vyřešit každý úkol, ale také přijít s obecným algoritmem řešení a také najít historické informace o problémech tohoto typu v literatuře.

Ukázalo se, že postavy, které nás zajímají, se nazývají magické čtverce, známé již od starověku. Budou probrány v práci.

Objektivní: systematizovat informace o magických čtvercích, vyvinout algoritmus pro jejich řešení.

Úkoly:

1. Prostudujte si historii vzniku magických čtverců.

2. Určete typy magických čtverců.

3. Naučte se řešit magické čtverce.

4. Vytvořte a dokažte svůj algoritmus řešení.

5. Určete použití magických čtverců.

1. Obecné informace o magických čtvercích

1.1. Koncept magického čtverce

Magické čtverce jsou velmi oblíbené i dnes. Jsou to čtverce, v jejichž každé buňce jsou čísla vepsána tak, že součty čísel podél libovolné vodorovné, svislé a jakékoli úhlopříčky jsou stejné. Nejznámější je magický čtverec vyobrazený na rytině německého umělce A. Dürera „Melancholia“ (příloha 1).

1.2. Z historie magických čtverců

Čísla vstoupila do života člověka natolik, že jim začala přisuzovat nejrůznější magické vlastnosti. Již před několika tisíci lety ve staré Číně byli uneseni kreslením magických čtverců. Během archeologických vykopávek v Číně a Indii byly nalezeny čtvercové amulety. Čtverec byl rozdělen na devět malých čtverečků, do každého z nich byla zapsána čísla od 1 do 9. Je pozoruhodné, že součty všech čísel v libovolné svislé, vodorovné a diagonální se rovnaly stejnému číslu 15 (obrázek 1).

Obrázek 1.

Magické čtverce byly ve středověku velmi oblíbené. Jeden z magických čtverců je vyobrazen na rytině slavného německého umělce Albrechta Dürera „Melancholie“. 16 buněk čtverce obsahuje čísla od 1 do 16 a součet čísel ve všech směrech je 34. Je zvláštní, že dvě čísla uprostřed spodního řádku označují rok vytvoření obrázku - 1514. Získání magické čtverce byly oblíbenou zábavou matematiků, vznikaly obrovské čtverce, např. 43x43, obsahující čísla od 1 do 1849 a kromě naznačených vlastností magických čtverců mají i mnoho dalších vlastností. Byly vymyšleny způsoby, jak sestrojit magické čtverce libovolné velikosti, ale zatím nebyl nalezen žádný vzorec, kterým by se dal zjistit počet magických čtverců dané velikosti. Je známo, a můžete to sami snadno ukázat, že neexistují žádná magická pole 2x2, existuje přesně jedno magické pole 3x3, zbytek takových polí se z něj získává rotací a symetrií. Magických políček 4x4 je již 800 a počet políček 5x5 se blíží čtvrt milionu.

1.3. Druhy magických čtverců

Magický(magický čtverec) n 2 čísla tak, aby součet čísel v každém řádku, každém sloupci a obou úhlopříčkách byl stejný.

polomagický čtverec je nxn čtvercová tabulka vyplněná n 2 čísla tak, aby se součty čísel rovnaly pouze v řádcích a sloupcích.

Normální je magický čtverec plný celých čísel od 1 do n 2.

Asociativní (symetrický) - magický čtverec, ve kterém je součet libovolných dvou čísel umístěných symetricky kolem středu čtverce roven n 2 + 1.

Ďábelský (pandiagonální) magický čtverec- magický čtverec, ve kterém se součty čísel podél přerušených úhlopříček (úhlopříčky, které se tvoří při složení čtverce do torusu) v obou směrech také shodují s magickou konstantou.

K dispozici je 48 čtverců ďábelské magie 4x4, přesných na rotace a odrazy. Pokud vezmeme v úvahu i jejich dodatečnou symetrii – torické paralelní translace, pak zbudou pouze 3 v podstatě odlišné čtverce (obrázek 2).

Obrázek 2

Pandiagonální čtverce čtvrtého řádu mají řadu dalších vlastností, pro které jsou nazývány angažovaný. Dokonalé čtverce lichého řádu neexistují. Mezi pandiagonálními čtverci s dvojitou paritou nad 4 jsou dokonalé.

Pandiagonálních čtverců pátého řádu je 3600. Když vezmeme v úvahu torické paralelní translace, existuje 144 různých pandiagonálních čtverců.

2.Řešení magických čtverců

2.1 Řešení magických čtverců (Bacher de Meziracova metoda)

Pravidla pro stavbu magických čtverců spadají do tří kategorií podle toho, zda je pořadí čtverce liché, rovné dvojnásobku lichého čísla nebo rovné čtyřnásobku lichého čísla. Obecná metoda pro konstrukci všech čtverců není známa, i když se široce používají různá schémata. Je možné najít všechny magické čtverce řádu n pouze pro n ≤ 4.

K řešení normálních magických čtverců libovolně velké velikosti používáme metodu, kterou v roce 1612 popsal francouzský matematik Claude Bachet de Mezirac. Ruský překlad jeho knihy vyšel v Petrohradě v roce 1877 pod názvem „Hry a problémy založené na matematice“.

Je vhodné postavit magický čtverec na čtverečkovaný papír. Nechť n je liché číslo a potřebujete sestavit nxn čtverec s čísly od 1 do n2, postupujeme krok za krokem.

1. Všechna čísla od 1 do n2 zapíšeme do buněk diagonálně (n čísel v řadě), abychom vytvořili diagonální čtverec.

2. Vyberte čtverec nxn v jeho středu. To je základ (ještě nejsou zaplněny všechny buňky) budoucího magického čtverce.

3. Každý číselný „roh“ umístěný mimo centrální čtverec je opatrně přenesen dovnitř - na opačnou stranu čtverce. Čísla těchto rohů by měla vyplnit všechny prázdné buňky. Magický čtverec je postaven.

Uveďme příklad vyplnění čtverce 3x3 čísly od 1 do 9. Chcete-li to provést, přidejte do čtverce další buňky, abyste získali úhlopříčky. Nejprve vyplňte diagonální buňky čísly od 1 do 9 (obrázek 3), poté „přeložte rohy“ do prázdných buněk čtverce dovnitř na opačnou stranu (obrázek 4).

Obrázek 3. Obrázek 4.

2.2. Formulace problému.

Pojďme si popsat vlastní způsob řešení magických čtverců. Zastavme se u studia matematického modelu magických čtverců 3x3.

Obecná formulace problému.

Je tam devět čísel. Je nutné je uspořádat do buněk čtverce 3x3 tak, aby součty čísel podél všech vertikálních, horizontálních a diagonálních čar byly stejné.

2.3. Algoritmus magického čtverce

Slovní popis algoritmu

1. Seřaďte čísla ve vzestupném pořadí.

2. Najděte centrální číslo (páté v pořadí).

3. Určete dvojice podle pravidla: 1 dvojice - první číslo a deváté,

2 páry - druhé číslo a osmé,

3 páry - třetí číslo a sedmé,

4 páry - čtvrté číslo a šesté.

4. Zjistěte součet čísel (S), který bychom měli získat sečtením čísel podél každé svislé, vodorovné, diagonální: sečtěte nejmenší, středové, největší číslo, tedy číslo 1 z dvojice se středovým číslem.

5. Umístěte centrální číslo do středu čtverce.

6. Na středové vodorovné (nebo svislé) do volných buněk zadejte první dvojici čísel.

7. Napište druhou dvojici čísel podél libovolné úhlopříčky (tak, aby větší číslo první dvojice bylo ve sloupci s menším číslem druhé dvojice).

8. Vypočítejte číslo, které se má zapsat do jednoho z krajních sloupců, podle pravidla:

od S odečtěte součet dvou čísel obsažených v buňkách sloupce, získáte číslo.

9. Diagonálně k výslednému číslu zapište druhé číslo jeho dvojice.

10. Do zbývajících buněk zadejte poslední dvojici čísel podle pravidla: větší číslo z dvojice zadejte do řádku s menším a menší číslo do zbývající prázdné buňky.

2.4. Důkaz správnosti vyplnění magického čtverce

(Řešení problému v obecné podobě)

Dokážeme, že součty čísel umístěných podél svislic, horizontál a úhlopříček čtverce jako výsledek algoritmu budou stejné.

Nechť se po objednání každé následující číslo liší od předchozího konstantní hodnotou X. Vyjádřeme všechna čísla v termínech a1(nejmenší číslo) a X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

A9 = A1 +8 X.

Pojďme najít součet S a vyjádřit to čísly a1 a X: S= A1 + A5 + A9 =3 A1 +12 X.

Nechť je magický čtverec vyplněn podle navrženého algoritmu.

Dokažme, že součty čísel umístěných podél vodorovné, svislé a úhlopříčky čtverce se rovnají S.

Vertikálně:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Horizontálně:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Diagonálně:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3A1 +12x=S

Dostali jsme stejnou částku. Tvrzení bylo prokázáno.

Poznámka.

Takto organizovaná čísla tvoří aritmetický postup. V této posloupnosti (po seřazení) je a1 první člen aritmetické posloupnosti, x je rozdíl aritmetické posloupnosti. Pro čísla, která nepředstavují aritmetickou posloupnost, algoritmus nefunguje.

2.5. Příklad řešení magických čtverců

Daná čísla: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Vyplňte magický čtverec danými čísly.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Mám centrální číslo 5.

3. Páry: 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7, 4 a 6.

4.S=5+1+9= 15 - součet.

8. 15-(9+2)=4

Tento algoritmus se výrazně liší od metody Bachet de Meziriac. Na jednu stranu vyžaduje dodatečné výpočty (nevýhoda metody), na druhou stranu naše metoda nevyžaduje dodatečné konstrukce (diagonální čtverec). Navíc je metoda použitelná nejen na po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 9, ale také na libovolných devět čísel, která jsou členy aritmetické posloupnosti, v čemž vidíme její výhody. Navíc se automaticky určí magická konstanta – součet čísel podél každé úhlopříčky, svisle, vodorovně.

3. Použití magických čtverců

3.1. Různé případy zobecnění magických čtverců

Problémy sestavování a popisu magických čtverců byly předmětem zájmu matematiků již od starověku. Úplný popis všech milníků možných magických čtverců se však dodnes nepodařilo získat. Jak se zvětšuje velikost (počet buněk) čtverce, počet možných magických čtverců rychle roste. Mezi velkými čtverci jsou čtverce se zajímavými vlastnostmi. Například ve čtverci na obrázku č. 5 se rovnají nejen součty čísel v řádcích, sloupcích a úhlopříčkách, ale i součty pěti podél „přerušených“ úhlopříček spojených na obrázku barevnými čarami.

Obrázek 5. Obrázek 6.

Latinský čtverec je čtverec o n x n buňkách, ve kterém jsou zapsána čísla 1, 2, ..., n, navíc tak, že se všechna tato čísla vyskytují v každém řádku a sloupci jednou. Na (obrázek 6) jsou zobrazeny dva takové latinské čtverce 4x4. Mají zajímavou vlastnost: pokud je jeden čtverec překrytý na druhém, pak se všechny dvojice výsledných čísel ukáží jako různé. Takové dvojice latinských čtverců se nazývají ortogonální. Úkol najít pravoúhlé latinské čtverce si jako první vytyčil L. Euler a v takovéto zábavné formulaci: „Mezi 36 důstojníky jsou stejně kopiníci, dragouni, husaři, kyrysníci, kavaleristé a granátníci a navíc stejně generálové, plukovníků, majorů, kapitánů, poručíků a podporučíků a každá služební větev je zastoupena důstojníky všech šesti hodností. Je možné tyto důstojníky uspořádat do čtverce 6x6 tak, aby se v libovolné koloně sešli důstojníci všech hodností? (Příloha 2).

L. Euler nedokázal najít řešení tohoto problému. V roce 1901 se ukázalo, že takové řešení neexistuje.

3.2. Aplikace latinských čtverců

Magické a latinské čtverce jsou blízcí příbuzní. Teorie latinských čtverců našla četné aplikace, a to jak v matematice samotné, tak v jejích aplikacích. Vezměme si příklad. Předpokládejme, že chceme testovat dvě odrůdy pšenice na produktivitu v dané oblasti a chceme vzít v úvahu vliv stupně řídkosti plodin a vliv dvou typů hnojiv. Za tímto účelem rozdělíme čtvercovou část na 16 stejných částí (obrázek 7). První odrůdu pšenice vysadíme na pozemky odpovídající spodnímu vodorovnému pruhu, další odrůdu vysadíme na čtyři pozemky odpovídající dalšímu pruhu atd. (na obrázku je odrůda označena barvou.)

Zemědělství" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">zemědělství, fyzika, chemie a technologie.

4. Obecné závěry

V průběhu práce jsem se seznámil s různými typy magických čtverců, naučil se řešit normální magické čtverce metodou Bachet de Mezirac. Protože se naše řešení magických čtverců 3x3 lišilo od zadané metody, ale pokaždé nám umožnilo správně vyplnit buňky čtverce, vyvstala touha vyvinout vlastní algoritmus. Tento algoritmus je v práci podrobně popsán, dokázán v algebraické podobě. Ukázalo se, že to platí nejen pro normální čtverce, ale také pro čtverce 3x3, kde čísla tvoří aritmetický postup. Podařilo se najít i ukázky použití magie a latinských čtverců.

Naučil jsem se: řešit některé magické čtverce, vyvíjet a popisovat algoritmy, dokazovat tvrzení v algebraické formě. Naučil jsem se nové pojmy: aritmetický postup, magický čtverec, magická konstanta, studoval jsem typy čtverců.

Bohužel ani můj vyvinutý algoritmus, ani metoda Bacheta de Meziraca neumí vyřešit 4x4 magické čtverce. Proto jsem chtěl dále vyvinout algoritmus pro řešení takových čtverců.

5. Závěr

V této práci byly studovány magické čtverce, byla zvažována historie jejich vzniku. Byly definovány typy magických čtverců: magický nebo magický čtverec, polomagický čtverec, normální, asociativní, ďábelský magický čtverec, dokonalý.

Z existujících metod jejich řešení byla zvolena metoda Basche de Meziriac, byla vyzkoušena na příkladech. Kromě toho je pro řešení magických čtverců 3x3 navržen vlastní algoritmus řešení a je uveden matematický důkaz v algebraické formě.

Navržený algoritmus se výrazně liší od metody Bacher de Meziriac. Na jednu stranu to vyžaduje dodatečné výpočty (nevýhoda metody), na druhou stranu nejsou potřeba žádné dodatečné konstrukce. Metoda je použitelná nejen pro po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 9, ale také pro libovolných devět čísel, která jsou členy aritmetické posloupnosti, v čemž vidíme její výhody. Navíc se automaticky určí magická konstanta – součet čísel podél každé úhlopříčky, svisle, vodorovně.

Článek představuje zobecnění magických čtverců - latinských čtverců a popisuje jejich praktickou aplikaci.

Tuto práci lze využít v hodinách matematiky jako doplňkový materiál, dále ve třídě a při samostatné práci se studenty.

6. Reference

1. Hádanky světa čísel / Komp. - D .: Stalker, 1997.-448s.

2. Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. - M .: Pedagogika, 1989 - 352 s.: nemoc.

3. Encyklopedie pro děti. T11. Matematika / Kapitola. vyd. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: nemoc.

4. Znám svět: Dětská encyklopedie: Matematika / Komp. - a další - M.: AST, 1996. - 480. léta: ill.

MAGICKÉ NÁMĚSTÍ,čtvercová tabulka celých čísel, ve které se součty čísel podél libovolného řádku, libovolného sloupce a kterékoli ze dvou hlavních úhlopříček rovnají stejnému číslu.

Magický čtverec je starověkého čínského původu. Podle legendy se za vlády císaře Yu (asi 2200 př. n. l.) z vod Žluté řeky vynořila posvátná želva, na jejíž krunýři byly vepsány tajemné hieroglyfy (obr. 1, Obr. A), a tyto znaky jsou známé jako lo-shu a jsou ekvivalentní magickému čtverci zobrazenému na obr. jeden, b. V 11. stol o magických čtvercích se dozvěděli v Indii a poté v Japonsku, kde se v 16. stol. Magické čtverce byly předmětem rozsáhlé literatury. V 15. století seznámil Evropany s magickými čtverci. Byzantský spisovatel E. Moskhopoulos. První čtverec vynalezený Evropanem je čtverec A. Durera (obr. 2), vyobrazený na jeho slavné rytině Melancholie 1. Datum rytiny (1514) je označeno čísly ve dvou středových buňkách spodního řádku. Magickým čtvercům byly připisovány různé mystické vlastnosti. V 16. stol Cornelius Heinrich Agrippa postavil čtverce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. řádu, které byly spojeny s astrologií 7 planet. Panovalo přesvědčení, že magický čtverec vyrytý na stříbře chrání před morem. I dnes lze mezi atributy evropských věštců spatřit magické čtverce.

V 19. a 20. stol zájem o magické čtverce vzplál s novou silou. Začaly se zkoumat pomocí metod vyšší algebry a operačního počtu.

Každý prvek magického čtverce se nazývá buňka. Čtverec, jehož strana je n buňky, obsahuje n 2 buňky a nazývá se čtverec n-tý řád. Většina magických čtverců používá první n po sobě jdoucích přirozených čísel. Součet Sčísla v každém řádku, každém sloupci a na jakékoli diagonále se nazývá konstanta čtverce a je rovna S = n(n 2 + 1)/2. Dokázal to n i 3. Pro čtverec řádu 3 S= 15, 4. řád - S= 34, 5. řád - S = 65.

Dvě úhlopříčky procházející středem čtverce se nazývají hlavní úhlopříčky. Přerušovaná čára je úhlopříčka, která po dosažení okraje čtverce pokračuje rovnoběžně s prvním segmentem od protilehlého okraje (takovou úhlopříčku tvoří šrafované buňky na obr. 3). Buňky, které jsou symetrické ke středu čtverce, se nazývají šikmo symetrické. Například buňky A a b na Obr. 3.

Pravidla pro stavbu magických čtverců spadají do tří kategorií podle toho, zda je pořadí čtverce liché, rovné dvojnásobku lichého čísla nebo rovné čtyřnásobku lichého čísla. Obecná metoda pro konstrukci všech čtverců je neznámá, i když se široce používají různá schémata, z nichž některá budeme zvažovat níže.

Magické čtverce lichého řádu lze sestavit pomocí metody francouzského geometru ze 17. století. A. de la Lubera. Zvažte tuto metodu na příkladu čtverce 5. řádu (obr. 4). Číslo 1 je umístěno ve střední buňce v horním řádku. Všechna přirozená čísla jsou uspořádána v přirozeném pořadí cyklicky zdola nahoru v buňkách úhlopříček zprava doleva. Po dosažení horního okraje čtverce (jako v případě čísla 1) pokračujeme ve vyplňování úhlopříčky od spodní buňky dalšího sloupce. Po dosažení pravého okraje čtverce (číslo 3) pokračujeme ve vyplňování úhlopříčky z levé buňky o čáru nahoře. Po dosažení vyplněné buňky (číslo 5) nebo rohu (číslo 15) trajektorie sestoupí o jednu buňku dolů, načež proces plnění pokračuje.

Metoda F. de la Ira (1640-1718) je založena na dvou původních čtvercích. Na Obr. Obrázek 5 ukazuje, jak je pomocí této metody konstruován čtverec 5. řádu. Čísla od 1 do 5 se zapisují do buňky prvního čtverce tak, aby se číslo 3 opakovalo v buňkách hlavní diagonály jdoucích doprava a ani jedno číslo se nevyskytovalo dvakrát v jednom řádku nebo v jednom sloupci. Totéž uděláme s čísly 0, 5, 10, 15, 20, jen s tím rozdílem, že číslo 10 se nyní opakuje v buňkách hlavní diagonály jdoucích shora dolů (obr. b). Součet těchto dvou čtverců po buňce (obr. 5, v) tvoří magický čtverec. Tato metoda se také používá při konstrukci čtverců sudého řádu.

Pokud je známa metoda pro konstrukci čtverců řádu m a objednat n, pak můžeme sestrojit čtverec řádu mґ n. Podstata této metody je znázorněna na Obr. 6. Tady m= 3 a n= 3. Větší čtverec 3. řádu (s prvočísly) sestrojí de la Louberovou metodou. Čtverec s číslem 1ў (střední buňka horní řady) je vepsán do čtverce 3. řádu z čísel od 1 do 9, rovněž sestrojeného de la Louberovou metodou. Do buňky s číslem 2ў (vpravo ve spodním řádku) se zapíše čtverec 3. řádu s čísly od 10 do 18; do buňky s číslem 3ў - čtverec čísel od 19 do 27 atd. V důsledku toho dostaneme čtverec 9. řádu. Takové čtverce se nazývají složené.

Úvod

Velcí vědci starověku považovali kvantitativní vztahy za základ podstaty světa. Proto čísla a jejich poměry zaměstnávaly největší mysli lidstva. „V dobách mého mládí jsem se ve volném čase bavil vytvářením... kouzelných čtverců,“ napsal Benjamin Franklin. Magický čtverec je čtverec, jehož součet čísel v každé vodorovné řadě, v každé svislé řadě a podél každé z úhlopříček je stejný.

Někteří význační matematici věnovali svá díla magickým čtvercům a jejich výsledky ovlivnily vývoj grup, struktur, latinských čtverců, determinantů, oddílů, matic, srovnání a dalších netriviálních úseků matematiky.

Účelem této eseje je představit různé magické čtverce, latinské čtverce a studovat oblasti jejich použití.

magické čtverce

Kompletní popis všech možných magických čtverců nebyl dodnes získán. Neexistují žádné magické čtverce 2x2. Existuje jeden magický čtverec 3x3, protože zbytek magických čtverců 3x3 se z něj získá buď rotací kolem středu, nebo odrazem kolem jedné z jeho os symetrie.

Existuje 8 různých způsobů, jak uspořádat přirozená čísla od 1 do 9 do magického čtverce 3x3:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

V magickém čtverci 3x3 se magická konstanta 15 musí rovnat součtu tří čísel v 8 směrech: 3 řádky, 3 sloupce a 2 úhlopříčky. Vzhledem k tomu, že číslo uprostřed patří do 1 řádku, 1 sloupce a 2 úhlopříček, je zahrnuto do 4 z 8 trojic, které dohromady tvoří magickou konstantu. Existuje pouze jedno takové číslo: je to 5. Proto je číslo ve středu magického čtverce 3x3 již známé: je rovno 5.

Uvažujme číslo 9. Je zahrnuto pouze ve 2 trojicích čísel. Nemůžeme to umístit do rohu, protože každá rohová buňka patří do 3 trojic: řádek, sloupec a diagonála. Proto musí být číslo 9 v nějaké buňce sousedící se stranou čtverce v jeho středu. Kvůli symetrii čtverce je jedno, jakou stranu zvolíme, proto nad číslo 5 do středové buňky napíšeme 9. Na obou stranách devítky v horním řádku můžeme zadat pouze čísla 2 a 4. Které z těchto dvou čísel bude v pravém horním rohu a které v levém, opět je jedno, jelikož jedno uspořádání čísla při zrcadlení přejdou do jiného. Zbývající buňky se doplní automaticky. Naše jednoduchá konstrukce magického čtverce 3x3 dokazuje jeho jedinečnost.

Takový magický čtverec byl symbolem velkého významu mezi starými Číňany. Číslo 5 uprostřed znamenalo zemi a kolem ní byly v přísné rovnováze oheň (2 a 7), voda (1 a 6),

dřevo (3 a 8), kov (4 a 9).

Jak se zvětšuje velikost čtverce (počet buněk), počet možných magických čtverců této velikosti rychle roste. Existuje 880 magických polí řádu 4 a 275 305 224 magických polí řádu 5. Navíc ve středověku bylo známo 5x5 polí. Například muslimové byli k takovému čtverci s číslem 1 uprostřed velmi uctiví, považovali ho za symbol jednoty Alláha.

Kouzelný Pythagorův čtverec

Velký vědec Pythagoras, který založil náboženskou a filozofickou doktrínu, která hlásala kvantitativní vztahy za základ podstaty věcí, věřil, že podstata člověka spočívá také v čísle - datu narození. S pomocí kouzelného Pythagorova čtverce lze tedy poznat charakter člověka, míru uvolněného zdraví a jeho potenciály, odhalit výhody a nevýhody, a tím určit, co je třeba udělat pro jeho zlepšení.

Abych pochopil, co je magický čtverec Pythagoras a jak se počítají jeho ukazatele, vypočítám jej na svém vlastním příkladu. A abych se ujistil, že výsledky výpočtu skutečně odpovídají skutečnému charakteru toho či onoho člověka, ověřím si to nejprve na sobě. K tomu udělám výpočet podle mého data narození. Takže mé datum narození je 20.8.1986. Sečteme čísla dne, měsíce a roku narození (bez nul): 2+8+1+9+8+6=34. Dále sečtěte čísla výsledku: 3 + 4 = 7. Poté od prvního součtu odečteme zdvojenou první číslici narozenin: 34-4=30. A znovu přidejte čísla posledního čísla:

3+0=3. Zbývá provést poslední sčítání - 1. a 3. a 2. a 4. součet: 34+30=64, 7+3=10. Dostali jsme čísla 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

a poskládat magický čtverec tak, aby všechny jednotky těchto čísel byly obsaženy v buňce 1, všechny dvojky v buňce 2 atd. K nulám se nepřihlíží. Ve výsledku bude můj čtverec vypadat takto:

Buňky čtverce znamenají následující:

Buňka 1 - cílevědomost, vůle, vytrvalost, sobectví.

  • 1 - úplní egoisté, snažte se získat maximální užitek z jakékoli situace.
  • 11 - postava blízká egoismu.
  • 111 - "zlatá střední cesta". Povaha je klidná, flexibilní, společenská.
  • 1111 - lidé silného charakteru, silné vůle. Muži s takovým charakterem se hodí do role vojenských profesionálů a ženy drží rodinu v pěst.
  • 11111 - diktátor, tyran.
  • 111111 - krutý člověk, schopný udělat nemožné; často spadá pod vliv nějaké myšlenky.

Buňka 2 - bioenergetika, emocionalita, upřímnost, smyslnost. Počet dvojek určuje úroveň bioenergetiky.

Neexistují žádné dvojky - kanál pro intenzivní sadu bioenergetiky je otevřený. Tito lidé jsou od přírody vzdělaní a ušlechtilí.

  • 2 - obyčejní lidé z hlediska bioenergetiky. Takoví lidé jsou velmi citliví na změny atmosféry.
  • 22 - poměrně velká zásoba bioenergie. Z takových lidí jsou dobří lékaři, sestry, sanitáři. V rodině takových lidí má zřídka někdo nervový stres.
  • 222 je znakem psychiky.

Buňka 3 – přesnost, specifičnost, organizace, přesnost, dochvilnost, čistota, lakomost, tendence neustále „obnovovat spravedlnost“.

Růst trojčat zvyšuje všechny tyto vlastnosti. U nich má člověk smysl hledat sám sebe ve vědách, zejména těch exaktních. Převaha trojic dává vzniknout pedantům, lidem v případu.

Buňka 4 – zdraví. Může za to egregor, tedy energetický prostor vyvinutý předky a chránící člověka. Absence čtyřek ukazuje na bolestivost člověka.

  • 4 - průměrné zdraví, je nutné tělo temperovat. Doporučené sporty jsou plavání a běh.
  • 44 - dobrý zdravotní stav.
  • 444 a více - lidé s velmi dobrým zdravím.

Buňka 5 - intuice, jasnozřivost, která se u takových lidí začíná projevovat již na úrovni tří pětek.

Neexistují žádné pětky - komunikační kanál s prostorem je uzavřen. Tito lidé jsou často

jsou špatné.

  • 5 - komunikační kanál je otevřen. Tito lidé dokážou správně spočítat situaci, aby z ní vytěžili maximum.
  • 55 - vysoce vyvinutá intuice. Když vidí „prorocké sny“, dokážou předvídat průběh událostí. Jsou pro ně vhodné profese právník, vyšetřovatel.
  • 555 - téměř jasnovidec.
  • 5555 - jasnovidci.

Buňka 6 - zakotvenost, věcnost, vypočítavost, sklon ke kvantitativnímu vývoji světa a nedůvěra ke kvalitativním skokům a ještě více k zázrakům duchovního řádu.

Neexistují žádné šestky - tito lidé potřebují fyzickou práci, i když to obvykle nemají rádi. Jsou obdařeni mimořádnou představivostí, fantazií, uměleckým vkusem. Jemné povahy, přesto jsou schopné akce.

  • 6 - může se věnovat kreativitě nebo exaktním vědám, ale fyzická práce je předpokladem existence.
  • 66 - lidé jsou velmi uzemnění, přitahováni k fyzické práci, i když to pro ně není povinné; mentální aktivity nebo výtvarné kurzy jsou žádoucí.
  • 666 - znamení Satana, zvláštní a zlověstné znamení. Tito lidé mají vysoký temperament, jsou okouzlující a vždy se stávají středem pozornosti společnosti.
  • 6666 - tito lidé ve svých předchozích inkarnacích získali příliš mnoho základů, pracovali velmi tvrdě a nedokážou si představit svůj život bez práce. Pokud má jejich čtverec

devítky, rozhodně se potřebují věnovat duševní činnosti, rozvíjet inteligenci, alespoň získat vyšší vzdělání.

Buňka 7 - počet sedmiček určuje míru talentu.

  • 7 - čím více pracují, tím více pak dostanou.
  • 77 - velmi nadaní, hudební lidé, mají jemný umělecký vkus, mohou mít sklony k výtvarnému umění.
  • 777 - tito lidé zpravidla přicházejí na Zemi na krátkou dobu. Jsou laskaví, vyrovnaní, bolestně vnímají jakoukoli nespravedlnost. Jsou citliví, rádi sní, ne vždy cítí realitu.
  • 7777 je znamení anděla. Lidé s tímto znamením umírají v kojeneckém věku, a pokud žijí, pak jsou jejich životy neustále v ohrožení.

Buňka 8 - karma, povinnost, povinnost, odpovědnost. Počet osmiček určuje míru smyslu pro povinnost.

Nejsou tu žádné osmičky – tito lidé téměř úplně postrádají smysl pro povinnost.

  • 8 - odpovědné, svědomité, přesné povahy.
  • 88 - tito lidé mají vyvinutý smysl pro povinnost, vždy se vyznačují touhou pomáhat druhým, zejména slabým, nemocným, osamělým.
  • 888 - znamení velké povinnosti, znamení služby lidem. Pravítko se třemi osmičkami dosahuje vynikajících výsledků.
  • 8888 - tito lidé mají parapsychologické schopnosti a výjimečnou náchylnost k exaktním vědám. Otevírají se jim nadpřirozené cesty.

Buňka 9 - mysl, moudrost. Absence devítek je důkazem toho, že mentální schopnosti jsou extrémně omezené.

  • 9 - tito lidé musí celý život tvrdě pracovat, aby nahradili nedostatek inteligence.
  • 99 - tito lidé jsou chytří od narození. Vždy se zdráhají učit, protože znalosti se jim dávají snadno. Jsou obdařeni smyslem pro humor s ironickým nádechem, nezávislí.
  • 999 jsou velmi chytré. Do učení se nevkládá vůbec žádné úsilí. Skvělí řečníci.
  • 9999 - těmto lidem je odhalena pravda. Pokud mají navíc vyvinutou intuici, pak mají záruku, že se jim v jakémkoliv jejich snažení nezdaří. S tím vším jsou obvykle docela příjemní, protože bystrá mysl je činí hrubými, nemilosrdnými a krutými.

Takže po sestavení magického čtverce Pythagoras a znalosti významu všech kombinací čísel obsažených v jeho buňkách budete schopni adekvátně ocenit vlastnosti své přírody, které matka příroda obdařila.

latinské čtverce

Navzdory tomu, že matematiky zajímaly především magické čtverce, latinské čtverce našly největší uplatnění ve vědě a technice.

Latinský čtverec je čtverec nxn buněk, ve kterém jsou zapsána čísla 1, 2, ..., n, navíc tak, že se všechna tato čísla vyskytují v každém řádku a sloupci jednou. Obrázek 3 ukazuje dva takové čtverce 4x4. Mají zajímavou vlastnost: pokud je jeden čtverec překrytý na druhém, pak se všechny dvojice výsledných čísel ukáží jako různé. Takové dvojice latinských čtverců se nazývají ortogonální.

Úkol najít ortogonální latinské čtverce si jako první stanovil L. Euler, a to v takovéto zábavné formulaci: „Mezi 36 důstojníky jsou stejně kopiníci, dragouni, husaři, kyrysníci, kavaleristé a granátníci a navíc stejně generálové , plukovníky, majory, kapitány, poručíky a podporučíky a každou služební větev zastupují důstojníci všech šesti hodností. Je možné seřadit všechny důstojníky do čtverce 6 x 6 tak, aby se důstojníci všech hodností sešli v libovolné koloně a jakékoli řadě?

Euler nebyl schopen najít řešení tohoto problému. V roce 1901 se ukázalo, že takové řešení neexistuje. Euler zároveň dokázal, že ortogonální dvojice latinských čtverců existují pro všechny liché hodnoty n a pro sudé hodnoty n, které jsou dělitelné 4. Euler předpokládal, že pro zbývající hodnoty n, tj. , jestliže číslo n při dělení 4 dává zbytek 2, neexistují žádné ortogonální čtverce. V roce 1901 bylo prokázáno, že ortogonální čtverce 6 6 neexistují, a to zvýšilo důvěru v platnost Eulerovy domněnky. V roce 1959 však byly pomocí počítače nalezeny nejprve ortogonální čtverce 10x10, poté 14x14, 18x18, 22x22. A pak se ukázalo, že pro každé n kromě 6 existuje nxn ortogonálních čtverců.

Magické a latinské čtverce jsou blízcí příbuzní. Mějme dva ortogonální čtverce. Vyplňte buňky nového čtverce stejné velikosti následovně. Dodejme tam číslo n(a - 1) + b, kde a je číslo v takové buňce prvního čtverce a b je číslo ve stejné buňce druhého čtverce. Je snadné pochopit, že ve výsledném čtverci budou součty čísel v řádcích a sloupcích (ne však nutně na úhlopříčkách) stejné.

Teorie latinských čtverců našla četné aplikace jak v matematice samotné, tak v jejích aplikacích. Vezměme si příklad. Předpokládejme, že chceme testovat 4 odrůdy pšenice na produktivitu v dané oblasti a chceme vzít v úvahu vliv stupně řídkosti plodin a vliv dvou druhů hnojiv. K tomu si rozdělíme čtvercový pozemek na 16 parcel (obr. 4). První odrůdu pšenice vysadíme na pozemky odpovídající spodnímu vodorovnému pruhu, další odrůdu - na čtyři pozemky odpovídající dalšímu pruhu atd. (na obrázku je odrůda označena barvou). V tomto případě nechejte maximální hustotu výsevu na těch pozemcích, které odpovídají levému svislému sloupci obrázku, a při pohybu doprava se snižujte (na obrázku to odpovídá snížení intenzity barvy). Čísla v buňkách obrázku nechť znamenají:

první je počet kilogramů hnojiva prvního typu aplikovaného na tuto plochu a druhý je množství aplikovaného hnojiva druhého typu. Je snadné pochopit, že v tomto případě jsou realizovány všechny možné dvojice kombinací odrůdy a hustoty setí a dalších složek: odrůda a hnojiva prvního typu, hnojiva prvního a druhého typu, hustota a hnojiva druhého typu .

Použití ortogonálních latinských čtverců pomáhá zohlednit všechny možné možnosti v experimentech v zemědělství, fyzice, chemii a technologii.

čtvercová magie pythagoras latin

Závěr

Tato esej se zabývá otázkami souvisejícími s historií vývoje jedné z otázek matematiky, která zaměstnávala mysl tolika velkých lidí – magických čtverců. Navzdory tomu, že magické čtverce samy o sobě nenašly široké uplatnění ve vědě a technice, inspirovaly mnoho vynikajících lidí ke studiu matematiky a přispěly k rozvoji dalších odvětví matematiky (teorie grup, determinantů, matic atd.).

Nejbližší příbuzní magických čtverců, latinské čtverce, nalezli četné uplatnění jak v matematice, tak v jejích aplikacích při nastavování a zpracovávání výsledků experimentů. Abstrakt poskytuje příklad nastavení takového experimentu.

Abstrakt se také zabývá otázkou Pythagorova náměstí, která je historicky zajímavá a možná užitečná pro vypracování psychologického portrétu člověka.

Bibliografie

  • 1. Encyklopedický slovník mladého matematika. M., "Pedagogika", 1989.
  • 2. M. Gardner "Cestování časem", M., "Mir", 1990.
  • 3. Tělesná kultura a sport č. 10, 1998

Přečtěte si také