Área geométrica- una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie delimitada por un contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas del área del triángulo

1. fórmula del área del triángulo para lado y altura
   Area de un triangulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo y la longitud de la altura trazada a este lado
   
2. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio del círculo circunscrito
   
3. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio de un círculo inscrito
   Area de un triangulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
   
donde S es el área del triángulo,
- las longitudes de los lados del triángulo,
- la altura del triángulo,
- el ángulo entre los lados y,
- radio de la circunferencia inscrita,
R - radio del círculo circunscrito,

fórmulas de área cuadrada

1. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de un lado
   área cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
2. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de la diagonal
   área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

donde S es el área del cuadrado,
es la longitud del lado del cuadrado,
es la longitud de la diagonal del cuadrado.

fórmula del área del rectángulo

área del rectángulo es igual al producto de las longitudes de sus dos lados adyacentes

donde S es el área del rectángulo,
son las longitudes de los lados del rectángulo.

Fórmulas para el área de un paralelogramo

1. Fórmula del área del paralelogramo para la longitud y la altura del lado
   área del paralelogramo
2. La fórmula para el área de un paralelogramo dados dos lados y el ángulo entre ellos
   área del paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados por el seno del ángulo que los forma.
   

   a b sinα

donde S es el área del paralelogramo,
son las longitudes de los lados del paralelogramo,
es la altura del paralelogramo,
es el ángulo entre los lados del paralelogramo.

Formulas para el area de un rombo

1. Fórmula del área del rombo dada la longitud y la altura del lado
   área de rombo es igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
2. La formula del area de un rombo dada la longitud del lado y el angulo
   área de rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
3. La fórmula para el área de un rombo a partir de las longitudes de sus diagonales.
   área de rombo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.
donde S es el área del rombo,
- longitud del lado del rombo,
- la longitud de la altura del rombo,
- el ángulo entre los lados del rombo,
1, 2 - las longitudes de las diagonales.

Fórmulas del área del trapecio

1. Fórmula de Heron para un trapecio

   Donde S es el área del trapezoide,
   - la longitud de las bases del trapezoide,
   - la longitud de los lados del trapezoide,
   

Para resolver problemas de geometría, debe conocer fórmulas, como el área de un triángulo o el área de un paralelogramo, así como trucos simples, de los cuales hablaremos.

Primero, aprendamos las fórmulas para las áreas de las figuras. Los hemos recogido especialmente en una tabla conveniente. ¡Imprime, aprende y aplica!

Por supuesto, no todas las fórmulas de geometría están en nuestra tabla. Por ejemplo, para resolver problemas de geometría y estereometría en la segunda parte del examen de perfil en matemáticas también se utilizan otras fórmulas para el área de un triángulo. Seguro que te contamos sobre ellos.

Pero, ¿qué sucede si necesita encontrar no el área de un trapezoide o un triángulo, sino el área de una figura compleja? ¡Hay formas universales! Los mostraremos usando ejemplos del banco de tareas FIPI.

1. ¿Cómo encontrar el área de una figura no estándar? Por ejemplo, ¿un cuadrilátero arbitrario? Una técnica simple: dividamos esta figura en las que todos conocemos y encontremos su área, como la suma de las áreas de estas figuras.

Divide este cuadrilátero por una línea horizontal en dos triángulos con una base común igual a . Las alturas de estos triángulos son Y . Entonces el área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos: .

Respuesta: .

2. En algunos casos, el área de la figura se puede representar como la diferencia de cualquier área.

¡No es tan fácil calcular a qué equivalen la base y la altura en este triángulo! Pero podemos decir que su área es igual a la diferencia entre las áreas de un cuadrado de lado y tres triángulos rectángulos. ¿Los ves en la imagen? Obtenemos: .

Respuesta: .

3. A veces, en una tarea, es necesario encontrar el área no de toda la figura, sino de su parte. Por lo general, estamos hablando del área del sector, parte del círculo. Encuentra el área del sector del círculo del radio, cuya longitud de arco es igual a .

En esta imagen vemos parte de un círculo. El área de todo el círculo es igual a , ya que . Queda por descubrir qué parte del círculo está representada. Dado que la longitud de todo el círculo es (desde), y la longitud del arco de este sector es , por lo tanto, la longitud del arco es varias veces menor que la longitud del círculo completo. El ángulo en el que descansa este arco es también veces menor que un círculo completo (es decir, grados). Esto significa que el área del sector será varias veces menor que el área del círculo completo.

Las áreas de las figuras geométricas son valores numéricos que caracterizan su tamaño en un espacio bidimensional. Este valor se puede medir en unidades del sistema y fuera del sistema. Entonces, por ejemplo, una unidad de área fuera del sistema es cien, una hectárea. Este es el caso si la superficie medida es un terreno. La unidad de área del sistema es el cuadrado de la longitud. En el sistema SI se acostumbra considerar que la unidad de área de una superficie plana es el metro cuadrado. En el CGS, la unidad de área se expresa en centímetros cuadrados.

Las fórmulas de geometría y área están indisolublemente unidas. Esta conexión radica en que el cálculo de las áreas de las figuras planas se basa precisamente en su aplicación. Para muchas figuras, se derivan varias opciones, según las cuales se calculan sus tamaños cuadrados. Con base en los datos del enunciado del problema, podemos determinar la forma más sencilla de resolverlo. Esto facilita el cálculo y reduce al mínimo la probabilidad de errores de cálculo. Para hacer esto, considere el área principal de figuras en geometría.

Las fórmulas para encontrar el área de cualquier triángulo se presentan de varias maneras:

1) El área de un triángulo se calcula a partir de la base a y la altura h. La base es el lado de la figura sobre el que se baja la altura. Entonces el área del triángulo es:

2) El área de un triángulo rectángulo se calcula exactamente de la misma manera si se considera la base a la hipotenusa. Sin embargo, si se toma el cateto como base, entonces el área del triángulo rectángulo será igual al producto de los catetos divididos por la mitad.

Las fórmulas para calcular el área de cualquier triángulo no acaban ahí. Otra expresión contiene los lados a,b y la función sinusoidal del ángulo γ entre a y b. El valor del seno se encuentra en las tablas. También se puede encontrar usando una calculadora. Entonces el área del triángulo es:

De acuerdo con esta igualdad, también puedes asegurarte de que el área de un triángulo rectángulo esté determinada por las longitudes de los catetos. Porque el ángulo γ es un ángulo recto, por lo que el área de un triángulo rectángulo se calcula sin multiplicar por la función seno.

3) Considere un caso especial: un triángulo regular, en el que el lado a se conoce por condición o su longitud se puede encontrar al resolver. No se sabe nada más sobre la figura en el problema de geometría. Entonces, ¿cómo encontrar el área bajo esta condición? En este caso, se aplica la fórmula para el área de un triángulo regular:

Rectángulo

¿Cómo encontrar el área de un rectángulo y usar las dimensiones de los lados que tienen un vértice común? La expresión para el cálculo es:

Si desea utilizar las longitudes de las diagonales para calcular el área de un rectángulo, necesita la función seno del ángulo formado cuando se cruzan. La fórmula del área de un rectángulo es:

Cuadrado

El área de un cuadrado se define como la segunda potencia de la longitud del lado:

La prueba se sigue de la definición de que un rectángulo se llama cuadrado. Todos los lados que forman un cuadrado tienen las mismas dimensiones. Por tanto, el cálculo del área de tal rectángulo se reduce a multiplicar uno por el otro, es decir, a la segunda potencia del lado. Y la fórmula para calcular el área de un cuadrado tomará la forma deseada.

El área de un cuadrado se puede encontrar de otra forma, por ejemplo, si usas una diagonal:

¿Cómo calcular el área de una figura que está formada por una parte de un plano delimitada por una circunferencia? Para calcular el área, las fórmulas son:

Paralelogramo

Para un paralelogramo, la fórmula contiene las dimensiones lineales del lado, la altura y la operación matemática: la multiplicación. Si se desconoce la altura, ¿cómo encontrar el área del paralelogramo? Hay otra forma de calcular. Se requiere un valor determinado, que será tomado por la función trigonométrica del ángulo formado por los lados adyacentes, así como por su longitud.

Las fórmulas para el área de un paralelogramo son:

Rombo

¿Cómo encontrar el área de un cuadrilátero llamado rombo? El área de un rombo se determina mediante operaciones matemáticas simples con diagonales. La prueba se basa en el hecho de que los segmentos diagonales en d1 y d2 se cortan en ángulo recto. La tabla de senos muestra que para un ángulo recto, esta función es igual a uno. Por lo tanto, el área de un rombo se calcula de la siguiente manera:

El área de un rombo también se puede encontrar de otra forma. Tampoco es difícil probar esto, dado que sus lados tienen la misma longitud. Luego sustituye su producto en una expresión similar para un paralelogramo. Después de todo, un caso especial de esta figura particular es un rombo. Aquí γ es el ángulo interior del rombo. El área de un rombo se determina de la siguiente manera:

Trapecio

¿Cómo encontrar el área de un trapezoide a través de las bases (a y b), si sus longitudes están indicadas en el problema? Aquí, sin un valor conocido de la longitud de la altura h, no será posible calcular el área de dicho trapezoide. Porque este valor contiene la expresión para el cálculo:

El tamaño del cuadrado de un trapezoide rectangular también se puede calcular de la misma manera. Al mismo tiempo, se tiene en cuenta que en un trapezoide rectangular se combinan los conceptos de altura y lado. Por lo tanto, para un trapezoide rectangular, debe especificar la longitud del lado en lugar de la altura.

Cilindro y paralelepípedo

Considere lo que se necesita para calcular la superficie de todo el cilindro. El área de esta figura es un par de círculos, llamados bases, y una superficie lateral. Los círculos que forman círculos tienen longitudes de radio iguales a r. Para el área de un cilindro, se realiza el siguiente cálculo:

¿Cómo encontrar el área de un paralelepípedo que consta de tres pares de caras? Sus medidas son consistentes con un par en particular. Las caras que son opuestas tienen los mismos parámetros. Primero encuentre S(1), S(2), S(3) - dimensiones cuadradas de caras desiguales. Entonces el área de la superficie del paralelepípedo:

Anillo

Dos círculos con un centro común forman un anillo. También limitan el área del ring. En este caso, ambas fórmulas de cálculo tienen en cuenta las dimensiones de cada círculo. El primero, que calcula el área del anillo, contiene radios R más grandes y r más pequeños. Más a menudo se les llama externos e internos. En la segunda expresión, el área del anillo se calcula utilizando los diámetros D mayor y D menor. Así, el área del anillo según radios conocidos se calcula de la siguiente manera:

El área del anillo, utilizando las longitudes de los diámetros, se determina de la siguiente manera:

Polígono

¿Cómo encontrar el área de un polígono cuya forma no es correcta? No existe una fórmula general para el área de tales figuras. Pero si se representa en un plano de coordenadas, por ejemplo, puede ser papel cuadriculado, entonces, ¿cómo encontrar el área de superficie en este caso? Aquí usan un método que no requiere medir aproximadamente la figura. Hacen esto: si encuentran puntos que caen en la esquina de la celda o tienen coordenadas enteras, solo se tienen en cuenta. Para luego saber cuál es el área, usa la fórmula demostrada por Pick. Es necesario sumar el número de puntos ubicados dentro de la polilínea con la mitad de los puntos sobre ella, y restar uno, es decir, se calcula de esta manera:

donde C, D - el número de puntos ubicados dentro y en toda la polilínea, respectivamente.

Fórmula del área es necesario determinar el área de una figura, que es una función de valor real definida sobre cierta clase de figuras en el plano euclidiano y que cumple 4 condiciones:

1. Positivo: el área no puede ser menor que cero;
2. Normalización: un cuadrado con un lado de la unidad tiene un área de 1;
3. Congruencia - las figuras congruentes tienen igual área;
4. Aditividad: el área de la unión de 2 figuras sin puntos internos comunes es igual a la suma de las áreas de estas figuras.

Fórmulas para el área de formas geométricas.

figura geométrica	Fórmula	Dibujo
El resultado de sumar las distancias entre los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo será igual a su semiperímetro.
Sector circular. El área de un sector de un círculo es igual al producto de su arco por la mitad del radio.
segmento circular Para obtener el área del segmento ASB, basta con restar el área del triángulo AOB del área del sector AOB.	S = 1 / 2 R(s - CA)
El área de una elipse es igual al producto de las longitudes de los semiejes mayor y menor de la elipse por pi.
Elipse. Otra opción de cómo calcular el área de una elipse es a través de sus dos radios.
Triángulo. A través de la base y la altura. La fórmula para el área de un círculo en términos de su radio y diámetro.
Cuadrado. A través de su costado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Cuadrado. por su diagonal. El área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
polígono regular. Para determinar el área de la correcta polígono es necesario partirlo en triángulos iguales, que tendrían un vértice común en el centro de la circunferencia inscrita.	S= r p = 1/2 r n a