A páros négyzeteket sokkal nehezebb megépíteni, mint a páratlanokat. Felépítésük alapelveit sokféleképpen lehet megmagyarázni. Ez a cikk egy 4 x 4-es varázsnégyzet készítésének szórakoztató módját írja le.
Kezdjük azzal, hogy beírunk egyet a felső sor bal szélső cellájába. A kettes a következő cellában található, a 3-as és a 4-es pedig a következő cellában. Ily módon a felső sor elkészül. A következő sorba írja be az 5, 6, 7 és 8 számokat.
Addig folytassa, amíg az összes cellát ki nem töltötte (1. ábra).
1. ábra
Ezután az összes külső sorban el kell távolítani két számot a középső cellákból, azaz a felső sorból a 2-es és a 3-as, az alsó sorból a 14-es és 15-ös számok eltávolításra kerülnek. Végül a bal szélső sorban az 5-ös számok és 9 eltávolításra kerül, és a jobb szélső sorban - 8 és 12 (2. ábra).
2. ábra Most ezek a számok meglehetősen érdekes módon rendezhetők. A 2-es és 3-as számok azokat a cellákat foglalják el, amelyek korábban a 14-es és 15-ös számokat tartalmazták. Így az alsó sor a 13, 3, 2 és 16 számokból áll. A 14 és 15 számok ugyanazon elv szerint vannak elrendezve, azaz , azokat a cellákat foglalják el, amelyek korábban a 2-es és 3-as számokat tartalmazták. Ennek eredményeként a felső sor az 1, 15, 14 és 4 számokból áll. Remélem, már érted, hogyan épül tovább a varázsnégyzet. A 8-as és 12-es számok azokat a cellákat foglalják el, amelyek korábban az 5-ös és 9-es számokat tartalmazták. Végül az 5-ös és 9-es számok a jobb szélső oszlop két cellájába illeszkednek (3. ábra).
3. ábra Kérjük, vegye figyelembe, hogy ebben a varázslatos négyzetben a számok összege bármely sorozatban 34.
Ugyanígy létrehozhat egy 4 * 4-es négyzetet úgy, hogy egyszerűen elrendez tizenhat számot egymás után, bármely számtól kezdve. Ha egy varázsnégyzetet építesz, ahol a számok a 3, 6, 9, 12 stb. sorrendben vannak, akkor látni fogod, hogy bármely sorozatban a számok összege 102 lesz.
Sokféleképpen lehet akár mágikus négyzeteket is felépíteni. Némelyikük nagyon összetett, időigényes és csak a matematikusok számára érdekes. Szerencsére a születési dátum alapján varázslatos jantra négyzetek létrehozásának módja rendkívül egyszerű.
Feladatok:
1. Tanulj meg varázslatos négyzeteket kitölteni.
2. A megfigyelőkészség és az általánosítás képességének fejlesztése.
3. Vágyat keltsen új dolgok elsajátítására és érdeklődést a matematika iránt.
Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor vetítővászonnal, PowerPoint bemutató (1. melléklet).
Az ókorban, miután megtanultak számolni és számtani műveleteket végezni, az emberek meglepődve fedezték fel, hogy a számoknak önálló, csodálatos és titokzatos életük van. Különböző számokat összeadva, egymás után vagy egymás alá helyezve néha ugyanannyit kaptak. Végül a számokat vonalakkal elosztva úgy, hogy mindegyik külön cellában legyen, egy négyzetet láttak, amelynek bármelyik száma két összegben, az átlók mentén elhelyezkedő számok pedig még háromban is részt vettek, és minden összeg egyenlő volt. egymáshoz! Nem véletlenül tulajdonítottak titokzatos és mágikus tulajdonságokat az ókori kínaiak, indiaiak és utánuk az arabok az ilyen építményeknek. (1. dia)
A mágikus négyzetek már korszakunk előtt megjelentek az ókori Keleten. Az egyik fennmaradt legenda szerint amikor a Shang-dinasztia Yu császára (Kr. e. 2000) a Sárga-folyó egyik mellékfolyójának, Luo partján állt, hirtelen megjelent egy nagy hal (más változatokban egy hatalmas teknős) két misztikus szimbólum rajza volt - fekete és fehér körök (2. dia), amely aztán egy 3-as rendű varázsnégyzet képeként valósult meg. (3. dia)
Az első konkrét említést egy ilyen térről a Kr.e. 1. század környékén találták. 10. századig. a mágikus négyzetek amulettekben és varázslatokban testesültek meg. India-szerte talizmánként használták őket. Szerencsekancsókra és gyógyszeres bögrékre festették őket. Egyes keleti népek ma is használják talizmánként. A nagy személyszállító hajók fedélzetén játszótérként megtalálhatóak.
Tehát varázslat alatt olyan négyzeteket értünk, amelyekben a számok összege bármely oszlopban vagy sorban, valamint az átlók mentén megegyezik.
Eddig a varázsnégyzeteket használtad leggyakrabban gondolati számításokhoz. Ebben az esetben több szám, köztük a középső is, már a négyzet celláiba kerül. A fennmaradó számokat úgy kell elrendeznie, hogy egy bizonyos összeget bármilyen irányban elérjen.
1. feladat. Adott a számok 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezek egy része a cellákba kerül. A fennmaradó számokat úgy kell elhelyezni, hogy az összeg 15 legyen. (4. dia)
Kiderült, hogy az összes többi, azonos számokból álló varázsnégyzet ebből szimmetrikusan megkapható egy sorhoz, oszlophoz vagy átlóhoz, tehát minden mezőben ugyanazok a szabályok szerint vannak elrendezve a számok. (6. dia)
Számos mintát észlelhet, amelyek megkönnyítik a négyzet alakú cellák kitöltését, vagy lehetővé teszik a probléma megoldását kevesebb adattal a feltételben.
Például az előzőhöz hasonló problémák körülményei között nem kell feltüntetni, hogy melyik irányba mekkora összeget kell megszerezni.
2. feladat. Találja meg a módját az előző feladat sorai, oszlopai és átlói összegének kiszámítására.
A következőképpen érvelhet: a számok összege minden sorban azonos, 3 ilyen sor van, ami azt jelenti, hogy az egyes sorokban lévő számok összege háromszor kisebb, mint az összes szám összege. Ezért példánkban az egyes sorok összege 15 (45:3). De ezt a számot más módon is megtalálhatjuk: összeadjuk a három központi számot (4, 5 és 6), vagy megszorozzuk a központi 5-öt 3-mal.
3. feladat. Adott számok: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. A négyzet celláiba kell illeszteni őket úgy, hogy az összeg minden irányban ugyanannyi legyen. A számok egy része már be van írva a négyzetbe. (7. dia)
4. feladat. A megadott számok 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Ezek közül kettő négyzet alakú cellákba van írva. Írja be a többit úgy, hogy minden irányban ugyanazt a számot kapja összesen. (9. dia)
Nézzük meg mindhárom kitöltött négyzetet, és próbáljunk meg számos más mintát találni, amelyek segítik a négyzetet még kevesebb számmal kitölteni a négyzetbe. (11. dia)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Nézd, melyik szám van a négyzet közepén? Hol található a megadott számok sorozatában? (12. dia) (A négyzet közepére mindig azt a számot írjuk, amelyik a sorozatunk ötödik helyén van, azaz egyenlő távolságra a jobb és bal szélétől.)
Számos egyéb jellemző is megfigyelhető: a négyzetben, a középső szám ellentétes oldalán, a sorozat bal és jobb szélétől egyenlő távolságra lévő számok találhatók. Mutassuk meg a megfelelő számpárokat egy négyzet 1-től 9-ig terjedő számokkal való kitöltésének példájával: (13. dia)
Ennek ismeretében szinte számolás nélkül is kitöltheti a négyzetet.
Nézze meg, hogyan helyezkednek el a négyzetben a középső melletti számok, valamint a tőlük egy számmal elválasztott számok. Felül vonalakkal vannak összekötve. (A négyzet átlói mentén helyezkednek el.) Hol vannak a fennmaradó számok, amelyeket az alábbi vonalak kötnek össze? (Függőlegesen és vízszintesen helyezkednek el.)
Vizsgáljuk meg, hogy ezek a minták igazak-e más négyzetekre. (14. dia)
(Igen, ezek a minták igazak.)
Tehát összegezzük. A mágikus négyzetek milyen tulajdonságait fedeztük fel?
1) Az egyes oszlopokban vagy sorokban lévő számok összegének meghatározásához megszorozhatja a központi számot 3-mal.
2) A négyzet közepén a sor ötödik helyére írt szám található.
3) A négyzetben a középső szám ellentétes oldalán olyan számok vannak, amelyek egyenlő távolságra vannak a sorozat bal és jobb szélétől.
4) A középső melletti és egymás utáni számok a négyzet átlói mentén helyezkednek el. A szélén és egymás után elhelyezkedő számok egy négyzetben függőlegesen és vízszintesen helyezkednek el.
5. feladat. Adott számok: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Írd be a négyzet celláiba úgy, hogy bármely irányban ugyanaz a szám legyen! (15. dia)
(Nézzük meg, mekkora összeget kapunk az egyes irányokban. Ehhez szorozzuk meg a központi 7-es számot 3-mal. Eredményként 21-et kapunk. A négyzet közepére tesszük a 7-es számot, egy átló mentén a 6-os számokat. és 8, a másikon - 4 és 10. Marad a hiányzó számok elhelyezése: az első sorba írt számok összege 10, a 11 hiányzik a 21-ből, ami azt jelenti, hogy a felső sor üres cellájában írjuk be a 11-es számot (jobbról először), majd az alsó sorba írjuk a 3-ast (balról először), a bal oldali oszlopba írjuk az 5-ös számot ( 21 – (6 + 10)), majd a a jobb oldali oszlopban marad a 9-es szám beírása. Így a varázsnégyzet celláiba mind a 9 számot elhelyeztük, míg a négyzetbe egyetlen szám sem került a feladat feltételei szerint.)
A feladatnak több megoldása is van, de az összes négyzetet a középvonalak vagy átlók szimmetriájával kapjuk meg másoktól. (16. dia)
6. feladat. Adott a 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 számok. Írja be őket a négyzet celláiba úgy, hogy bármelyik irányban összesen ugyanannyit kapjon.
Az egyik megoldás a dián található. (17. dia)
7. feladat. Hasonlítsa össze az 1. és 6. feladat feltételeit, és gondolja át, hogyan tudná megoldani a problémát, ha ismerné az 1. feladat megoldását.
(A 6. feladatban szereplő számok kétszer akkorák, mint az 1. feladat megfelelő számai. Ezért egyszerűen megduplázhatja az 1. feladat négyzetének minden számát, és megkaphatja a szükséges négyzetet.)
Különböző módok léteznek a mágikus négyzetek felépítésére. Gondoljunk csak a teraszos módszerre, amelyet az ókori kínaiak találtak fel. Ezt a módszert követve fél derékszöggel el kell forgatni a „természetes” számnégyzetet a középponthoz képest (19. dia)és válassza le a 3´3 asztalt négyzet alakú kerettel. (20. dia) A kereten kívülre írt és kiemelkedéseket („teraszokat”) képező számokkal kitöltjük a táblázat másik oldalán lévő üres cellákat. (21. dia)
Hasonlóképpen bármilyen páratlan sorrendű négyzetet megszerkeszthet. Töltsük meg egy 5´5-ös varázsnégyzet celláit 1-től 25-ig terjedő számokkal. (22., 23., 24. dia)
A 4×4-es varázsnégyzet megalkotásához a legegyszerűbb és leginkább hozzáférhető módszer a következő módszer: egy „természetes” négyzetben a főátlókon további számok felcserélődnek, a többi változatlan marad. (25., 26. dia)
Összegezve a tanulságot
A mágikus négyzetek milyen titkát fedezted fel ma az órán? Mi segített ebben?
Tesztelés Chaturanga Shorin Alexanderrel
5.2.1 A számok varázslatáról. Mik azok a mágikus négyzetek
Sokat beszélhetünk a számok varázsáról. Példaként a tanulmány elején már említettük a 4-es számot. Bármely számról sok hasonló módon elmondható.
Például az 1-es szám egy, mindennek a kezdete. A 2-es szám az elkülönülés, a két nem szembenállása. 3 – háromszög... És így tovább. Ez egy nagyon termékeny téma, amiben vég nélkül elmélyülhetsz.
Ezért hagyjuk ezt, és térjünk át a varázslatos négyzetekre, amelyek közvetlenül kapcsolódnak Chaturangához.
A mágikus négyzetek egész számok négyzetes táblázatai, amelyek egyedi tulajdonságokkal rendelkeznek: például bármely sor, oszlop és a két fő átló bármelyikének összege azonos számmal.
Úgy tartják, hogy a mágikus négyzeteket az ókori Kínában találták fel, és ismerték az ókori Indiában is, ahonnan Chaturanga származik. Ezt különösen N. M. Rudin bizonyítja „A varázstértől a sakkig” című könyvében.
A legenda szerint Yu császár uralkodása alatt (Kr. e. 2200 körül) egy szent teknős bukkant fel a Sárga-folyó (Sárga-folyó) vizéből, melynek héjára titokzatos hieroglifákat írtak. Ezeket a jeleket lo-shu néven ismerik, és egy mágikus négyzetnek felelnek meg. A 11. században Indiában, majd Japánban tanultak a varázsterekről, ahol a XVI. Kiterjedt irodalmat szenteltek a mágikus négyzeteknek. Az európaiak a 15. században ismerkedtek meg a varázslatos terekkel. E. Moschopoulos bizánci író. Az első európai által feltalált négyzetnek A. Durer négyzetét tekintik, amelyet a „Melankólia 1” című híres metszete ábrázol. A metszet keletkezésének dátumát (1514) az alsó sor két középső cellájában lévő számok jelzik. A mágikus négyzeteknek különféle misztikus tulajdonságokat tulajdonítottak. A 16. században Cornelius Heinrich Agrippa 3., 4., 5., 6., 7., 8. és 9. rendű négyzeteket épített, amelyek a 7 bolygó asztrológiájához kapcsolódnak. Úgy tartották, hogy az ezüstbe vésett varázslatos négyzet véd a pestis ellen. Az európai jövendőmondók attribútumai között még ma is láthatók varázsnégyzetek.
A 19–20. újult erővel lobbant fel az érdeklődés a varázsterek iránt. Tanulmányozni kezdték a magasabb algebra és a műveleti számítás módszereivel.
A varázsnégyzet minden elemét cellának nevezzük. Egy négyzet, amelynek oldala áll n sejteket, tartalmaz n 2 cella, és négyzetnek nevezzük n-edik sorrend. A legtöbb mágikus négyzet az elsőt használja n egymást követő természetes számok. Összeg S az egyes sorokban, oszlopokban és bármely átlón lévő számokat négyzetállandónak nevezzük, és egyenlő S= n(n 2 + 1)/2. Az bebizonyosodott n– 3. 3. rendű négyzetre S= 15, 4. rend – S= 34, 5. rend – S= 65.
A négyzet közepén áthaladó két átlót főátlónak nevezzük. A szaggatott vonal olyan átló, amely a négyzet szélét elérve párhuzamosan folytatódik a szemközti él első szakaszával. A négyzet közepére szimmetrikus cellákat ferde-szimmetrikusnak nevezzük.
Mágikus négyzetek konstruálhatók például egy 17. századi francia geometria módszerével. A. de la Lubera.
A. de la Loubert módszerével egy 5?5 mágikus négyzet a következőképpen szerkeszthető meg:
Az 1-es szám a felső sor középső cellájába kerül. Minden természetes szám természetes sorrendben van elrendezve, ciklikusan alulról felfelé, jobbról balra átlós cellákba. A négyzet felső széléhez érve (mint az 1-es szám esetében) folytatjuk az átló kitöltését a következő oszlop alsó cellájától kezdve. A négyzet jobb széléhez érve (3-as szám) folytatjuk a fenti sorban a bal cellából érkező átló kitöltését. Egy kitöltött cellához (5-ös) vagy egy sarokba (15-ös) elérve a pálya egy cellával lejjebb megy, majd a kitöltési folyamat folytatódik.
Ez egy varázslatos négyzetet eredményez:
Használhatja F. de la Hire (1640–1718) módszerét is, amely két eredeti négyzeten alapul. Az 1-től 5-ig terjedő számokat úgy írjuk be az első négyzet cellájába, hogy a 3-as szám ismétlődjön a főátló jobbra felfelé haladó celláiban, és egyetlen szám se jelenjen meg kétszer ugyanabban a sorban vagy ugyanabban. oszlop. Ugyanezt tesszük a 0, 5, 10, 15, 20 számokkal, azzal a különbséggel, hogy a 10-es szám ismétlődik a főátló celláiban fentről lefelé haladva. E két négyzet cellánkénti összege varázsnégyzetet alkot. Ezt a módszert egyenletes sorrendű négyzetek készítésére is használják.
Az álmok mestere című könyvből. Álom szótár. szerző Szmirnov Terenty LeonidovicsA fekete mágia álomértelmezése (a fekete mágia álmai szimbólumai) Sok spirituális kereső, akit elragadtatnak a népszerű ezoterikus fogalmak, nem is sejti, hogy álomfejlődésében valódi fekete mágiát gyakorol! Ez a legteljesebben vonatkozik
A modern boszorkány gyakorlati mágiája című könyvből. Rítusok, szertartások, próféciák szerző Mironova DariaTalizmánok és mágikus négyzetek A talizmánok varázsa szorosan összefügg a számmisztika hagyományával. Az ábécé számjai és betűi, valamint a speciális szimbólumok, amelyek nélkül az amulett gyártása nélkülözhetetlen, megvédik tulajdonosát a rossz hatásoktól. Sok talizmán úgy néz ki, mint
A pénzvarázs szertartásai című könyvből szerző Zolotukhina ZoyaA számok varázsa Az Ön varázsszáma A numerológusok szerint mindannyiunk számára van egyfajta kulcs a dédelgetett titokhoz - egy varázslatos számjegy. Ennek meghatározásához össze kell adnia születési dátumának összes számát. Addig add hozzá, amíg meg nem kapod
A Tudd meg a jövőd című könyvből. Tedd a Fortune-t az Ön számára szerző Korovina Elena AnatoljevnaSzámok és betűk aránya
A Védelem csillaga és a Pénztalizmán című könyvből. Válságellenes numerológia szerző Korovina Elena AnatoljevnaSzámok és betűk aránya táblázat
A születési dátum a könyvből a kulcs az ember megértéséhez szerző Alekszandrov Alekszandr FedorovicsA SZÁMOK ÁTMENETEI Gratulálunk ahhoz, hogy a számok összes jellemzőjét tanulmányoztuk. Nyugodtan kezdje el kiszámolni szerettei, barátai, ismerősei, idegenei és ellenségei születési dátumát. Nagy! Most mindenki felfedi „rejtett lényegét”. Kezdje természetesen önmagával – és azonnal megteszi
A szláv karmikus numerológia című könyvből. Javítsd sorsod mátrixát szerző Maslova Natalya NikolaevnaAZ 5. ÉS 9. SZÁM VISZONYA Az utolsó átmenetet nem nevezhetjük önmagának átmenetnek, hiszen nem egyik számjegynek a másikba való átmenetéről beszélünk, hanem egyik számjegynek a másikon keresztül történő megerősödéséről. Tekintsük az 5-ös (logika) és a 9-es számok (memória) kölcsönös hatását egymásra. Mielőtt meghatároznánk
A Mit tudhat meg az emberről a születési dátuma és neve alapján című könyvből szerző Zyurnyaeva TamaraKönyvtár. A számok jelentése Ez a jellem ereje, az ember yang energiája, a nap. Az egységek jelenléte a mátrixban meghatározza az ember elszántságát, önbecsülését, a vezetői tulajdonságok jelenlétét,
A Matematika misztikusoknak című könyvből. A szent geometria titkai írta Chesso RennaA számok varázsa vagy a matematika? Ősidők óta az emberek a számokhoz fordultak, és szent jelentést adtak nekik. A számok titkának megfejtése az élet titkának megfejtését jelentette. Már az ókori görög bölcs, Püthagorasz is azt hitte, hogy a világon minden a számokon keresztül ismert.
Mudra könyvéből. Minden egy könyvben. Valósítson meg minden kívánságot szerző Levin Peter5. fejezet Mágikus négyzetek Varázsnégyzeteknek vagy bolygónégyzeteknek nevezzük őket. Vagy pecsétek, kameák, asztalok. Sok más mágikus hangszerhez hasonlóan ezeket is más-más néven ismerik a különböző rendszerekben, de akárhogy is hívják őket
A numerikus születési kód és befolyása a sorsra című könyvből. Hogyan számítsd ki a szerencsédet szerző Mikheeva Irina Firsovna A varázslatról vicces, a mágiáról komoly szerző Kartavcev VlagyiszlavSzámok energiája Egy születésnap genetikai számának meghatározásához mindenekelőtt magának a számnak a jelentését, állapotát és energiatartalmát kell meghatározni. A mindennapi életünk felfogása szerint az egyes számértékek „súlya” az érték növekedésével nő.
A Tesztelés Chaturangával című könyvből szerző Shorin SándorA számok jellemzői Az 1-es szám piros. A teljes digitális felépítmény valóságpontja, alapja, magja, amely meghatározza ennek vagy annak az energiaáramlásnak a Típusát. Az 1-es szám célja, hogy meghatározza a kialakuló valóság jelentését, fontosságát és súlyát. Tehát az üzlet világában
A szerző könyvéből„Mágikus bizonyítékok” vagy „Mágikus bizonyítékok” „Rossz ember vagy!” Vagy: „Ő egy rossz ember” Vagy: „Ő egy jó ember!” Vagy: „Te jó ember vagy!” Választ! Mit szeretsz jobban? Hát nem vicces nézni a „rituális zulu táncot
A szerző könyvéből5.2. Varázslatos négyzetek Chaturangában. Chaturanga mint jóslás 5.2.1 A számok varázslatáról. Mik azok a varázsnégyzetek?Sokat lehet beszélni a számok varázslatáról. Példaként a tanulmány elején már említettük a 4-es számot. Hasonló módon sok minden elmondható
A szerző könyvéből5.2.2. Mágikus négyzetek a Chaturanga-ban 5.2.2.1 A nem varázslatos négyzet varázslatja Érdekes, hogy a legegyszerűbb (nem varázslatos) 5?5 négyzet, ahol a számok egyszerűen egymás után mennek - 1-től 25-ig - szintén szokatlan tulajdonságokkal rendelkezhetnek . Tehát ebben az egyszerű négyzetben az „Elefántkereszt” összege
Mágikus, vagy varázstér- négyzet alakú asztal n × n (\displaystyle n\times n), amelyet különböző számokkal töltenek ki oly módon, hogy az egyes sorokban, oszlopokban és mindkét átlón lévő számok összege azonos legyen. Ha egy négyzetben a számok összege csak sorokban és oszlopokban egyenlő, akkor hívják félig varázslatos. Normál-ból természetes számokkal töltött varázsnégyzetnek nevezik 1 (\displaystyle 1) előtt n 2 (\displaystyle n^(2)). A bűvös négyzet az ún asszociációs vagy szimmetrikus, ha a négyzet középpontjára szimmetrikusan elhelyezkedő bármely két szám összege egyenlő n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Normál mágikus négyzetek léteznek minden rendhez n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), kivéve a n = 2 (\displaystyle n=2), bár az eset n = 1 (\displaystyle n=1) triviális - a négyzet egy számból áll. A minimális, nem triviális eset az alábbiakban látható, ez a 3-as sorrend.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle \jobbra nyíl ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle \jobbra nyíl ) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Az egyes sorokban, oszlopokban és átlókban lévő számok összegét mágikus állandónak nevezzük. M. Egy normál mágikus négyzet mágikus állandója csak attól függ nés a képlet határozza meg
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\megjelenítési stílus M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Miért van ez így? |
|
|---|---|
Legyen egy négyzet oldallal n. (\displaystyle n.) Akkor lesz n 2 (\displaystyle n^(2)) számok. Egyrészt a számok összege S = 1 + 2 + 3 + … + n 2 = n 2 2 (n 2 + 1) . (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) A másik oldalon, S = n M. (\displaystyle S=nM.) Egyenlítéssel megkapjuk a kívánt képletet. |
|
A mágikus állandók első értékeit a következő táblázat tartalmazza (A006003 sorozat az OEIS-ben):
| Rendelés n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Enciklopédiai YouTube
1 / 5
✪ Magic square - party trükk
✪ Parker Square
✪ 35. oldal Margó feladat (első négyzet) – Matematika 3. osztály Moreau – Tankönyv 1. rész
✪ Magic square - új módszer
✪ Mágikus négyzetek. Nyílt óra.
Feliratok
Történelmileg jelentős mágikus négyzetek
Luo Shu tér
Yang Hui varázslatos tere (Kína)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Albrecht Durer tér
Az Albrecht Dürer „Melankólia I” című metszetén ábrázolt 4x4-es mágikus négyzet az európai művészet legrégebbinek számít. Az alsó sorban található két középső szám a gravírozás készítésének dátumát jelzi ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Bármely vízszintes, függőleges és átlós számok összege 34. Ez az összeg minden 2x2-es saroknégyzetben, a központi négyzetben (10+11+6+7), a sarokcellák négyzetében (16+13+) is előfordul. 4+1 ), a „lovagmozdulattal” megszerkesztett négyzetekben (2+12+15+5 és 3+8+14+9), az átlókkal párhuzamos téglalapok csúcsaiban (2+8+15+9 ill. 3+12+14+5 ), a szemközti oldalon lévő középső cellapárokból álló téglalapokban (3+2+15+14 és 5+8+9+12). A legtöbb további szimmetria abból adódik, hogy bármely két központilag szimmetrikusan elhelyezkedő szám összege 17.
Henry E. Dudeney és Allan W. Johnson, Jr. négyzetei
Ha négyzetmátrixba n × n nem szigorúan természetes számsor, akkor ez a varázsnégyzet az nem szokványos. Az alábbiakban két ilyen mágikus négyzet látható prímszámokkal (bár az 1-et nem tekintik prímszámnak a modern számelméletben). Az elsőnek van rendje n=3(Dudeney tér); második (méret 4x4) - Johnson tér. Mindkettőt a huszadik század elején fejlesztették ki:
|
|
Van még több hasonló példa:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Az utolsó négyzet, amelyet 1913-ban épített J. N. Muncy, arról nevezetes, hogy 143 egymást követő prímből áll, kivéve két dolgot: az egyiket, amely nem prím, használták, és az egyetlen páros prímet, a 2-t nem használták.
Négyzetek további tulajdonságokkal
Ördög bűvös négyzete
Ördög tere vagy pandiagonális négyzet- bűvös négyzet, amelyben a törött átlók (a négyzet tóruszba hajtásakor keletkező átlók) menti számok összegei mindkét irányban szintén egybeesnek a varázsállandóval.
48 db 4x4-es ördögi négyzet van, forgási és tükrözési pontossággal. Ha a tórikus párhuzamos fordítások szimmetriáját is figyelembe vesszük, akkor csak 3 egymástól jelentősen eltérő négyzet marad:
|
|
|
Pandiagonális négyzetek léteznek páratlan n>3 sorrendhez, bármely kettős paritási sorrendhez, n=4k (k=1,2,3...), és nem léteznek egyetlen paritási sorrendhez n = 4 k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=1,2,3,\pontok)).
A negyedrendű pandiagonális négyzeteknek számos további tulajdonságuk van, amelyekre meghívjuk őket tökéletes. Nincsenek tökéletes páratlan sorrendű négyzetek. A 4 feletti kettős paritású pandiagonális négyzetek között vannak tökéletesek.
3600 ötödrendű pandiagonális négyzet van, a tórikus párhuzamos fordításokat figyelembe véve 144 különböző pandiagonális négyzet van. Ezek egyike az alábbiakban látható.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Ha a pandiagonális négyzet is asszociatív, akkor ún ideál. Példa egy tökéletes mágikus négyzetre:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Köztudott, hogy a rendnek nincsenek ideális varázsnégyei n = 4k+2és a rend négyzete n=4. Ugyanakkor vannak ideális négyzetek a sorrendben n=8. Az összetett négyzetek szerkesztésének módszerével egy adott nyolcadrendű négyzet alapján lehet ideális négyzeteket alkotni. n = 8k, k = 5,7,9…és rendelj n = 8^p, p = 2,3,4… 2008-ban egy kombinatorikus módszer ideális sorrendi négyzetek felépítésére n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Varázslatos négyzetek építése
Teraszos módszer
Yu. V. Chebrakov leírta „A mágikus mátrixok elméletében”.
Adott páratlan n-re rajzoljunk egy n-szeres négyzettáblát. Adjunk hozzá teraszokat (piramisokat) ehhez az asztalhoz mind a négy oldalon. Ennek eredményeként lépcsőzetes szimmetrikus alakot kapunk.
|
A lépcsős ábra bal csúcsától kiindulva töltse ki az átlós sorait egymást követő természetes számokkal 1-től N 2 (\displaystyle N^(2)).
Ezt követően, hogy egy klasszikus N-edrendű mátrixot kapjunk, az NxN táblázat azon helyeire helyezzük a teraszok számait, amelyekben megjelennének, ha a teraszokkal együtt mozgatnánk őket addig, amíg a teraszok alapjai az ellenkező oldalra nem csatlakoznak. az asztalról.
|
|
Ráadásul ez a módszer akkor is helyes, ha a varázsnégyzetet nem 1-től N-ig terjedő számokból kell összeállítani, hanem K-től N-ig is, ahol 1<= K< N.
Egyéb módszerek
A varázsnégyzetek felépítésének szabályai három kategóriába sorolhatók, attól függően, hogy a négyzet sorrendje páratlan, páratlan szám kétszeresével vagy páratlan szám négyszeresével egyenlő. Az összes négyzet felépítésének általános módszere nem ismert, bár különféle sémákat széles körben használnak. Találja meg az összes varázslatos négyzetet n (\displaystyle n) csak azért sikerül n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), ezért különleges eljárások a varázsnégyzetek felépítéséhez n > 4 (\displaystyle n>4). A legegyszerűbb konstrukció egy páratlan sorrendű varázsnégyzethez való. Kell egy cella koordinátákkal (i , j) (\displaystyle (i,j))(Ahol i (\displaystyle i)És j (\displaystyle j) 1-től változhat n (\displaystyle n)) írja be a számot
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Még egyszerűbb megépíteni a következőképpen. Egy n x n mátrixot veszünk. Lépcsőzetes rombusz épül benne. Ebben a cellák balról felfelé az átlók mentén páratlan számsorral vannak kitöltve. Meghatározzuk a központi cella C értékét, majd a varázsnégyzet sarkaiban a következő értékek jelennek meg: jobb felső cella C-1; bal alsó cella C+1 ; jobb alsó cella C-n; bal felső C+n cella. A lépcsős sarokháromszögek üres celláinak kitöltése egyszerű szabályok szerint történik: 1) a vonalak mentén a számok balról jobbra n + 1 lépésekben növekednek; 2) a felülről lefelé haladó oszlopokban a számok n-1 lépésekben nőnek.
Algoritmusokat is kifejlesztettek a pandiagonális négyzetek és az ideális 9x9-es varázsnégyzetek felépítésére. Ezek az eredmények lehetővé teszik számunkra, hogy a rend ideális varázsnégyzeteit konstruáljuk n = 9 (2 k + 1) (\displaystyle n=9 (2k+1)) Mert k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=0,1,2,3,\pontok). Vannak általános módszerek is a páratlan sorrendű ideális varázsnégyzetek elrendezésére. n > 3 (\displaystyle n>3). Módszereket dolgoztak ki ideális varázslatos sorrendi négyzetek felépítésére n=8k, k=1,2,3…és tökéletes mágikus négyzetek. Pandiagonális és ideális négyzetek páros-páratlan sorrendben csak akkor rakhatók össze, ha nem hagyományosak. Lehetséges azonban szinte pandiagonális négyzeteket találni.Az ideálisan tökéletes mágikus négyzetek (hagyományos és nem hagyományos) egy speciális csoportját találtuk.
Példák bonyolultabb négyzetekre
A páratlan sorrendű és a kettős paritású mágikus négyzeteket módszeresen és szigorúan dolgozták ki. Az egyparitású négyzetek formalizálása sokkal nehezebb, amint azt a következő diagramok szemléltetik:
|
|
|
Több tucat másik módszer is létezik a varázsnégyzetek felépítésére
Az ókorban a nagy tudósok a számokat tekintették a világ lényegének alapjául. Ezt a lényeget hordozza a varázsnégyzet, amelynek titka az, hogy a kapott négyzetben lévő számok összege minden vízszintesben, függőlegesen és átlónként azonos.
De a mágikus négyzetek teljes leírása még nem létezik.
A gazdagság energiáját „vonzó” Pythagoras varázsterét az alapító állította össze
A nagy tudós, aki megalapította a vallási és filozófiai doktrínát, és a mennyiségi viszonyokat hirdette a dolgok alapjául, úgy vélte, hogy az ember születési dátuma a lényege.
A mágikus négyzet működésének ismeretében nemcsak az ember jellemvonásait, egészségi állapotát, intellektuális és kreatív képességeit ismerheti meg, hanem programot is készíthet fejlesztésére és fejlődésére. A speciális módon négyzetbe írt számok nemcsak a gazdagságot vonzzák, hanem a szükséges energiaáramlást is. Például Paracelsus az egészség talizmánjaként ábrázolta négyzetét. A számok három sort alkotnak, azaz összesen kilenc szám van a négyzetben. A numerológiai kód meghatározásához ki kell számítania ezt a kilenc számot.
Hogyan működik a varázslatos négyzet?
A négyzet első vízszintes sorát számok alkotják: egy személy születésének napja, hónapja és éve. Például egy személy születési dátuma 1971.08.09. Ekkor a négyzet első száma 9 lesz, ami az első cellába van írva. A második szám a hónap napja, azaz a 8.
Érdemes odafigyelni arra, hogy ha egy személy születési hónapja decembernek felel meg, azaz a 12-es számnak, akkor azt összeadás segítségével át kell alakítani egyszerű 3-as számmá. A harmadik számjegy az év számának felel meg. . Ehhez az 1971-et fel kell bontani komponensszámaira és ezek összösszege 18-ra, majd le kell egyszerűsíteni 1+8=9-re. Töltse ki a négyzet felső vízszintes mezőjét a kapott számokkal: 9,8,9.
A négyzet második sorába olyan számokat írnak, amelyek a számmisztika szerint megfelelnek a személy keresztnevének, családnevének és vezetéknevének. Minden betűnek megvan a maga digitális jelentése. A számokat a számmisztika betűk és számok közötti megfelelési táblázatából kaphatjuk meg. Ezután összegeznie kell a keresztnév, a középső név és a vezetéknév számait, és egyszerű értékekre kell vinnie őket.
A kapott számokkal kitöltjük a négyzet második sorát. A negyedik szám a keresztnévnek, az ötödik a családnévnek, a hatodik a vezetéknévnek felel meg. Most megvan az energianégyzet második sora.
A mágikus négyzet működésének egy további elve az asztrológián alapul.
A hetedik számjegy a személy csillagjegyének számának felel meg. A Kos az első jegy 1-es számmal, majd a Halak jegyéig - 12. A négyzet harmadik sorának kitöltésekor a kétjegyű számokat nem szabad prímszámokká redukálni, mindegyiknek megvan a sajátja. jelentése.
A nyolcadik számjegy a jel száma, vagyis a mi változatunkban 1971 a Disznó éve.
A kilencedik számjegy egy személy vágyának numerológiai kódját jelöli. Például egy személy arra törekszik, hogy kiváló egészsége legyen, ezért meg kell találnia a szó betűinek megfelelő számokat. A kapott összeg 49, amelyet ezután leegyszerűsítünk, ha hozzáadjuk a 4-hez. A 10-től 12-ig terjedő számokat, mint egy személy csillagjegye esetében, nem kell csökkenteni. Most, hogy tudja, hogyan működik egy varázslatos négyzet, könnyedén megkomponálhatja, és magával viheti talizmánként, vagy bekeretezheti festményként és felakaszthatja otthon.
