A geometriai alakzatok területei számértékek, amelyek a méretüket jellemzik kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy rendszeren kívüli területegység száz, hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A terület rendszeregysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben szokás úgy tekinteni, hogy a sík felület területegysége négyzetméter. A CGS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkfigurák területének kiszámítása pontosan az alkalmazásukon alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származtatott, amelyek alapján kiszámítják a négyzetméretüket. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a legegyszerűbb megoldási módot. Ez megkönnyíti a számítást és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe az ábrák fő területét a geometriában.

A háromszög területének meghatározására szolgáló képletek többféleképpen is bemutathatók:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alap az ábra azon oldala, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét pontosan ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha azonban a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza az a,b oldalakat és az a és b közötti γ szög szinuszfüggvényét. A szinusz értéke a táblázatokban található. Számológép segítségével is megkereshető. Ekkor a háromszög területe:

Ennek az egyenlőségnek megfelelően arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert a γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Tekintsünk egy speciális esetet - egy szabályos háromszöget, amelyben az a oldal feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítás kifejezése a következő:

Ha az átlók hosszát szeretné használni egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség van a metszésükkor kialakuló szög szinuszfüggvényére. A téglalap területének képlete:

Négyzet

A négyzet területe az oldalhossz második hatványa:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a téglalapot négyzetnek nevezzük. A négyzetet alkotó minden oldal mérete azonos. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása az egyik szorzásra csökken, azaz az oldal második hatványára. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha átlót használ:

Hogyan lehet kiszámítani egy olyan alak területét, amelyet egy sík kör által határolt része alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre van szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikai műveletekkel határozzák meg átlókkal. A bizonyítás azon alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszok derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy derékszög esetén ez a függvény eggyel egyenlő. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt bizonyítani sem nehéz, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ a rombusz belső szöge. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az alapokon (a és b), ha a hosszuk a feladatban van feltüntetve? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számításhoz szükséges kifejezést:

Ugyanígy számítható ki egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Ugyanakkor figyelembe veszik, hogy egy téglalap alakú trapézban a magasság és az oldal fogalma kombinálódik. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Fontolja meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy körpár, amelyet alapoknak neveznek, és egy oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara egyenlő r-rel. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérései összhangban vannak egy adott párral. Az egymással szemben lévő arcoknak ugyanazok a paraméterei. Először keresse meg az S(1), S(2), S(3) - egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ezután a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két közös középpontú kör gyűrűt alkot. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Az első, amely a gyűrű területét számítja ki, nagyobb R és kisebb r sugarakat tartalmaz. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők segítségével számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak szerint a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem megfelelő? Az ilyen számok területére nincs általános képlet. De ha például koordinátasíkon van ábrázolva, akkor lehet kockás papír, akkor hogy lehet ebben az esetben megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy egész koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. A Pick által bizonyított képlet segítségével megtudhatja, mi a terület. Össze kell adni a vonalláncon belül található pontok számát úgy, hogy a rajta fekvő pontok fele van, és ki kell vonni egyet, vagyis a következő módon számítjuk ki:

ahol C, D - a vonalon belül és a teljes vonalláncon elhelyezkedő pontok száma.

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű trükköket, amelyekről beszélni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a matematika profilvizsga második részében a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához más képleteket is használnak a háromszög területére. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika – bontsuk fel ezt az ábrát azokra, amelyekről mindannyian ismerünk, és keressük meg a területét – ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a négyszöget vízszintes vonallal két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága És . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Bizonyos esetekben az ábra területe bármely terület különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ebben a háromszögben mekkora alap és magasság! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalú négyzet és három derékszögű háromszög területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Előfordul, hogy egy feladatban nem az egész ábra területét kell megkeresni, hanem annak egy részét. Általában a szektor területéről beszélünk - a kör egy részének. Keresse meg a sugarú kör szektorának területét, amelynek ívhossza egyenlő .

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. Az egész kör területe egyenlő , mivel . Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza (mivel ), és ennek a szektornak az ívének a hossza , ezért az ív hossza többszöröse a teljes kör hosszának. Az a szög, amelyen ez az ív nyugszik, szintén többszörösen kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

A Föld mérésének ismerete az ókorban jelent meg, és fokozatosan formálódott a geometria tudományában. A görög nyelvből ezt a szót földmérésnek fordítják.

A Föld sík területének hosszának és szélességének mértéke a terület. A matematikában általában a latin S betűvel (az angol "square" - "terület", "négyzet" szóból) vagy a görög σ (szigma) betűvel jelölik. Az S egy síkon lévő ábra területét vagy egy test felületét jelöli, σ pedig egy huzal keresztmetszete a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások is, például az anyagok szilárdsága terén, A a profil keresztmetszete.

Kapcsolatban áll

Számítási képletek

Az egyszerű ábrák területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit.. Az ókori matematikusok képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, a négyszög, a sokszög, a kör.

Egy összetett lapos figura területének meghatározásához számos egyszerű formára kell bontani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután a matematikai módszerek képletet vezetnek le ennek az ábrának a területén. Hasonló módszert alkalmaznak nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb formával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk egy tetszőleges ABC háromszöget, amelynek oldala AB=a, BC=b és AC=c (∆ ABC). Területének megtalálásához idézzük fel az iskolai matematika tantárgyból ismert szinusz- és koszinusztételeket. Minden számítástól eltekintve a következő képletekhez jutunk:

• S=√ - mindenki által ismert Heron-képlet, ahol p=(a+b+c)/2 - egy háromszög fél kerülete;
• S=a h/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
• S=a b (sin γ)/2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
• S=a b/2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
• S=b² (sin (2 β))/2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
• S=a² √¾ ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Egy tetszőleges 4-szög S területének megkereséséhez fel kell osztani egy átlóval két olyan háromszögre, amelyek S1 és S2 területei általában nem egyenlőek.

Ezután a képletek segítségével számolja ki és adja össze, azaz S=S1+S2. Ha azonban a quad egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területét a korábban ismert képletekkel találhatja meg:

• S=(a+c) h/2=e h, ha a négyes trapéz (itt a és c az alapok, e a trapéz középvonala, h a trapéz egyik alapjára süllyesztett magasság ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldal közötti szög, h az a oldalra süllyesztett magasság, d1 és d2 átlók);
• S=a b=d²/2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ha ABCD rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik sarka, P a kerülete);
• S=a²=P²/16=d²/2, ha az ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok a legegyszerűbb egyenlő háromszögekre bontják, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályosok osztályába tartozik, akkor a képletet használják:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h az apotéma , azaz a sokszög középpontjától annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal.. Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát a sokszög terület képletében, ahol az n oldalak száma a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör hosszává változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P=2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. A következőket kapjuk:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n→∞ határértékét. Ehhez figyelembe vesszük, hogy lim (cos (180°/n)) n→∞ esetén cos 0°=1 (lim a határ előjele), és lim = lim n→∞ esetén egyenlő 1/π (a fokmértéket radiánra fordítottuk, π rad=180° arányban, és az első figyelemre méltó határértéket lim (sin x)/x=1 x→∞-nál alkalmaztuk). A kapott értékeket S utolsó kifejezésébe behelyettesítve a jól ismert képlethez jutunk:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Egységek

Rendszeres és nem rendszerszintű mértékegységeket kell alkalmazni. A rendszeregységekre SI (System International) néven hivatkozunk. Ez egy négyzetméter (négyzetméter, m²) és az abból származó mértékegységek: mm², cm², km².

Négyzetmilliméterben (mm²) mérik például a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméterben (cm²) - a gerenda keresztmetszetét a szerkezeti mechanikában, négyzetméterben (m²) ) - egy lakás vagy ház négyzetkilométerben (km²) - egy terület a földrajzban .

Néha azonban nem rendszerszintű mértékegységeket is használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). A következő arányokat adjuk meg:

• 1 szövés \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 hektár = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektár = 0,405 ha.

Területi képlet szükséges egy ábra területének meghatározásához, amely egy valós értékű függvény, amely az euklideszi síkon az ábrák egy osztályán van definiálva, és 4 feltételnek eleget tesz:

1. Pozitív – a terület nem lehet kisebb nullánál;
2. Normalizálás - az egység oldalával rendelkező négyzet területe 1;
3. Egybevágóság – az egybevágó figurák területe egyenlő;
4. Additivitás - 2 közös belső pont nélküli alakzat egyesülésének területe megegyezik ezen alakzatok területének összegével.

Képletek a geometriai formák területének.

Geometriai ábra	Képlet	Rajz
A konvex négyszög szemközti oldalai felezőpontjai közötti távolságok összeadásának eredménye egyenlő lesz a fél kerületével.
Kör szektor. Egy kör szektorának területe megegyezik az ívének és a sugarának felével.
körszakasz. Az ASB szegmens területének megszerzéséhez elegendő az AOB háromszög területét kivonni az AOB szektor területéből.	S = 1/2 R(s - AC)
Az ellipszis területe megegyezik az ellipszis fő- és kisféltengelyeinek hosszának szorzatával pi-vel.
Ellipszis. Egy másik lehetőség az ellipszis területének kiszámítására a két sugarán keresztül.
Háromszög. Alapon és magasságon keresztül. A kör területének képlete sugara és átmérője szerint.
Négyzet . Az ő oldalán keresztül. Egy négyzet területe egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
Négyzet. Átlóján keresztül. Egy négyzet területe az átlója hosszának a fele.
szabályos sokszög. Egy szabályos sokszög területének meghatározásához egyenlő háromszögekre kell osztani, amelyeknek közös csúcsuk lenne a beírt kör közepén.	S= r p = 1/2 r n a

Geometriai terület- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. A háromszög területének képlete három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,