dia 1

Frakciók Babilonban, Egyiptomban, Rómában. A tizedes törtek feltárása BEMUTATKOZÁS TANFOLYAMON KÍVÜLI TEVÉKENYSÉGEK VIZUÁLIS SEGÍTSÉGÉNEK HASZNÁLATÁRA
Markelova G.V., matematikatanár, az MBOU középiskola Gremyachinsky ága, p. Kulcsok

2. dia

3. dia

A törtek eredetéről
A törtszámok iránti igény az emberi gyakorlati tevékenység eredményeként merült fel. A vadászat utáni zsákmányosztásakor megjelent őseinknél az egy egység részvényeinek megtalálásának igénye. A törtszámok megjelenésének második jelentős okának a mennyiségek mérését kell tekinteni a választott mértékegység segítségével. Így születtek a törtek.

4. dia

A pontosabb mérések szükségessége oda vezetett, hogy a kezdeti mértékegységeket 2, 3 vagy több részre osztották. A töredezettség eredményeként kapott kisebb mértékegység egyedi nevet kapott, és már ezzel a kisebb mértékegységgel mérték az értékeket. Ezzel a szükséges munkával kapcsolatban az emberek elkezdték használni a következő kifejezéseket: fél, harmadik, két és fél lépés. Ahonnan arra lehetett következtetni, hogy a mennyiségek mérése következtében törtszámok keletkeztek. A népek a törtek felvételének sokféle módján mentek keresztül, amíg el nem jutottak a modern jelölésig.

5. dia

A törtszámok fejlődésének történetében háromféle törttel találkozunk:
1) törtek vagy egységtörtek, amelyekben a számláló egy, de a nevező bármilyen egész szám lehet; 2) szisztematikus törtek, amelyekben a számlálók tetszőleges számok lehetnek, míg a nevezők csak egy bizonyos típusú számok, például tízes vagy hatvanas hatványok;
3) általános alak törtjei, amelyekben a számláló és a nevező tetszőleges szám lehet. E három különböző típusú tört feltalálása különböző nehézségi fokot jelentett az emberiség számára, így a különböző korszakokban különböző típusú törtek jelentek meg.

6. dia

Frakciók Babilonban
A babilóniaiak csak két számot használtak. A függőleges kötőjel egy egységet, a két fekvő vonal szöge pedig a tízet jelölte. Ezeket a sorokat ék formájában kapták, mert a babilóniaiak éles pálcával írtak nedves agyagtáblákra, amelyeket aztán megszárítottak és kiégettek.

7. dia

Frakciók az ókori Egyiptomban
Az ókori Egyiptomban az építészet magas fejlettségi szintet ért el. A grandiózus piramisok és templomok építéséhez, az alakzatok hosszának, területének és térfogatának kiszámításához számtani ismeretekre volt szükség. A papiruszokon megfejtett információkból a tudósok megtudták, hogy az egyiptomiak 4000 évvel ezelőtt tizedes (de nem helyzeti) számrendszerrel rendelkeztek, és számos építőipari, kereskedelmi és katonai szükségletekkel kapcsolatos problémát meg tudtak oldani.

8. dia

Hexadecimális törtek
Az ókori Babilonban a 60-as állandó nevezőt részesítették előnyben. A Babilonból örökölt hathatós törteket görög és arab matematikusok és csillagászok használták. A kutatók különböző módon magyarázzák a hatszázalékos számrendszer megjelenését a babilóniaiak körében. Valószínűleg itt a 60-as bázist vették figyelembe, ami 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60 többszöröse, ami nagyban leegyszerűsíti mindenféle számítást. Ebből a szempontból a hatszázalékos törtek összehasonlíthatók a mi tizedes törteinkkel. A „hatvanad”, „háromezer-hatszázad” szavak helyett röviden azt mondták: „első kis részek”, „második kis részek”. Ebből származtak a "perc" (latinul "kisebb") és a "második" (latinul "második") szavunk. Tehát a törtek jelölésének babiloni módja a mai napig megőrizte értelmét.

9. dia

"egyiptomi frakciók"
Az ókori Egyiptomban néhány törtnek saját speciális neve volt - nevezetesen 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 és 1/8, amelyek gyakran előfordulnak a gyakorlatban. Ezenkívül az egyiptomiak tudták, hogyan kell operálni az 1 / n típusú úgynevezett aliquot frakciókkal (a latin aliquot - több) - ezért néha "egyiptomi"-nak is nevezik őket; ezeknek a törteknek saját írásmódjuk volt: megnyúlt vízszintes ovális és alatta a nevező megjelölése. A maradék törtrészeket részvények összegeként írták le. A 7/8-as tört részvényként került felírásra: ½+1/4+1/8.

10. dia

Törtek az ókori Rómában
Érdekes törtrendszer volt az ókori Rómában. A súlyegység 12 részre való felosztásán alapult, amit szamárnak neveztek. Az ász tizenkettedikét unciának nevezték. És a módot, az időt és az egyéb mennyiségeket egy vizuális dologgal - a súllyal - hasonlították össze. Például egy római azt mondhatja, hogy hét uncianyit gyalogolt az úton, vagy öt uncia könyvet olvasott. Ugyanakkor persze nem az ösvény vagy a könyv mérlegeléséről volt szó. Ez azt jelentette, hogy az út 7/12-ét vagy a könyv 5/12-ét elolvasták. A 12-es nevezőjű törtek redukálásával vagy a tizenkettedek kisebbekre való felosztásával kapott törtek esetében pedig külön elnevezések voltak.
1 troy uncia arany a nemesfémek tömegének mértéke

dia 11

A tizedesjegyek felfedezése
Az emberiség több évezred óta törtszámokat használt, de jóval később gondolta, hogy ezeket kényelmesen tizedesjegyekkel írja le. Ma természetesen és szabadon használjuk a tizedesjegyeket. Nyugat-Európa a 16. században Az egész számok ábrázolására szolgáló, széles körben elterjedt decimális rendszer mellett a hatszázalékos törteket is mindenütt használták a számításokhoz, a babiloniak ősi hagyományáig visszanyúlóan.

dia 12

Simon Stevin holland matematikus okos elméje kellett ahhoz, hogy az egész és a tört számok rekordját egyetlen rendszerbe hozza.

dia 13

Tizedesjegyek alkalmazása
A 17. század elejétől megkezdődik a tizedestörtek intenzív behatolása a tudományba és a gyakorlatba. Angliában egy pontot vezettek be az egész részt a tört résztől elválasztó jelként. A vesszőt, akárcsak a pontot, Napier matematikus javasolta elválasztónak 1617-ben. sokkal gyakrabban, mint a közönséges törtek.
Az ipar és a kereskedelem, a tudomány és a technika fejlődése egyre körülményesebb számításokat igényelt, melyeket a tizedestörtek segítségével könnyebben elvégezhető volt. A tizedes törteket a 19. században a hozzájuk szorosan kapcsolódó mérték- és súlymérőrendszer bevezetése után széles körben használták. Például hazánkban, a mezőgazdaságban és az iparban a tizedes törteket és azok sajátos alakját - százalékokat - sokkal gyakrabban használják, mint a közönséges törteket.

14. dia

Tizedesjegyek alkalmazása
A 17. század elejétől megkezdődik a tizedestörtek intenzív behatolása a tudományba és a gyakorlatba. Angliában egy pontot vezettek be az egész részt a tört résztől elválasztó jelként. A vesszőt, akárcsak a pontot, Napier matematikus javasolta elválasztónak 1617-ben. Az ipar és a kereskedelem, a tudomány és a technika fejlődése egyre körülményesebb számításokat igényelt, melyeket a tizedestörtek segítségével könnyebben elvégezhető volt. A tizedes törteket a 19. században a hozzájuk szorosan kapcsolódó mérték- és súlymérőrendszer bevezetése után széles körben használták. Például hazánkban, a mezőgazdaságban és az iparban a tizedes törteket és azok sajátos alakját - százalékokat - sokkal gyakrabban használják, mint a közönséges törteket.

dia 15

Források listája
M.Ya.Vygodsky "Aritmetika és algebra az ókori világban". G.I.Gleizer "A matematika története az iskolában". I.Ya.Depman "Az aritmetika története". Vilenkin N.Ya. "A törtek történetéből" Fridman L.M. "Matektanulás" Frakciók Babilonban, Egyiptomban, Rómában. A tizedesjegyek felfedezése... prezentacii.com›Törtek Babilon, Egyiptom, Róma. Tizedes törtek felfedezése"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egyiptom, Ókori Róma, Babilon. Tizedestörtek felfedezése."... uchportal.ru›Módszertani fejlesztések›Tizedestörtek felfedezése. Matematika története: ...Róma, Babilon. Tizedestörtek felfedezése... rusedu.ru›detail_23107.html 9Bemutató: .. .Az ókori Róma, Babilon Tizedesjegyek felfedezése... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Törtek Babilonban, Egyiptomban, Rómában A tizedesjegyek felfedezése... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej…

A törtek a mai napig a matematika egyik legnehezebb szakaszának számítanak. A törtek története több mint egy évezredre nyúlik vissza. Az ókori Egyiptom és Babilon területén felmerült az a képesség, hogy az egészet részekre osztják. Az évek során a törtekkel végzett műveletek bonyolultabbá váltak, felvételük formája megváltozott. Mindegyiknek megvolt a maga sajátossága a matematika ezen ágával való "kapcsolatában".

Mi az a tört?

Amikor szükségessé vált az egész részekre osztása felesleges erőfeszítés nélkül, akkor megjelentek a törtek. A törtek története elválaszthatatlanul összefügg a haszonelvű problémák megoldásával. Maga a "töredék" kifejezés arab gyökerű, és egy olyan szóból származik, amely azt jelenti, hogy "törés, felosztás". Az ókor óta ebben az értelemben alig változott. A modern definíció a következő: a tört egy egység része vagy részeinek összege. Ennek megfelelően a törteket tartalmazó példák matematikai műveletek szekvenciális végrehajtását jelentik számok törteivel.

Ma már kétféleképpen rögzíthetjük őket. különböző időkben keletkeztek: az elsők ősibbek.

Az ókorból jött

Először Egyiptom és Babilon területén kezdtek frakciókkal dolgozni. A két állam matematikusainak szemlélete jelentős eltéréseket mutatott. A kezdet azonban ott-ott ugyanaz volt. Az első töredék fele vagy 1/2 volt. Aztán jött egy negyed, egy harmadik és így tovább. A régészeti ásatások szerint a töredékek megjelenésének története körülbelül 5 ezer éves. Először találhatók egy szám töredékei az egyiptomi papiruszokban és a babiloni agyagtáblákon.

Az ókori Egyiptom

A közönséges törtek típusai ma az úgynevezett egyiptomi. Ezek több, 1/n alakú tag összege. A számláló mindig egy, a nevező pedig egy természetes szám. Az ilyen törtek megjelentek, bármennyire is nehéz kitalálni, az ókori Egyiptomban. Az összes részesedés kiszámításakor igyekeztek ezeket ilyen összegek formájában leírni (például 1/2 + 1/4 + 1/8). Csak a 2/3 és a 3/4 törtnek volt külön megnevezése, a többit tagokra osztották. Voltak speciális táblázatok, amelyekben egy szám törtrészeit összegként mutatták be.

Az ilyen rendszerre vonatkozó legrégebbi ismert utalás a Rhindai Matematikai Papiruszban található, amely az időszámításunk előtti második évezred elejére datálható. Tartalmaz egy táblázatot a törtekről és a matematikai feladatokról, a megoldásokkal és válaszokkal törtösszegként. Az egyiptomiak tudták, hogyan kell egy szám törtjeit összeadni, osztani és szorozni. A Nílus völgyében a törteket hieroglifákkal írták.

A szám törtrészének az ókori Egyiptomra jellemző, 1/n alakú tagok összegeként való ábrázolását a matematikusok nem csak ebben az országban használták. A középkorig az egyiptomi frakciókat Görögországban és más államokban használták.

A matematika fejlődése Babilonban

A matematika másképp nézett ki a babiloni királyságban. A törtek megjelenésének története itt közvetlenül összefügg az ókori állam által elődjétől, a sumér-akkád civilizációtól örökölt számrendszer sajátosságaival. A számítástechnika Babilonban kényelmesebb és tökéletesebb volt, mint Egyiptomban. A matematika ebben az országban sokkal szélesebb körű problémákat oldott meg.

A babiloniak mai teljesítményét a fennmaradt ékírással töltött agyagtáblák alapján lehet megítélni. Az anyag sajátosságaiból adódóan nagy számban érkeztek hozzánk. Egyesek szerint Babilonban egy jól ismert tételt fedeztek fel Pitagorasz előtt, amely kétségtelenül a tudomány fejlődéséről tanúskodik ebben az ősi államban.

Törtek: a törtek története Babilonban

Babilonban a számrendszer hatszázalékos volt. Minden új kategória 60-kal különbözött az előzőtől. A modern világban megmaradt egy ilyen rendszer az idő és a szögek jelzésére. A töredékek szintén hatszázalékosak voltak. A felvételhez speciális ikonokat használtak. Egyiptomhoz hasonlóan a törtpéldák külön szimbólumokat tartalmaztak az 1/2, 1/3 és 2/3 számára.

A babiloni rendszer nem tűnt el az állammal együtt. A 60. rendszerben írt törteket ókori és arab csillagászok és matematikusok használták.

Ókori Görögország

A közönséges törtek története nem sokat gazdagodott az ókori Görögországban. Hellas lakói úgy gondolták, hogy a matematikának csak egész számokkal kell működnie. Ezért az ókori görög traktátusok oldalain a törteket tartalmazó kifejezések gyakorlatilag nem fordultak elő. A püthagoreusok azonban bizonyos mértékben hozzájárultak a matematikának ehhez az ágához. A törteket aránynak vagy aránynak értették, és az egységet is oszthatatlannak tartották. Pythagoras és tanítványai felépítették a törtek általános elméletét, megtanulták mind a négy aritmetikai művelet végrehajtását, valamint a törtek összehasonlítását közös nevezőre redukálva.

Szent Római Birodalom

A római törtrendszert a "szamárnak" nevezett tömegmértékkel társították. 12 részvényre oszlott. 1/12 assa-t unciának hívták. 18 név volt a törteknek. Itt van néhány közülük:

félig - az assa fele;

sextante – assa hatodik része;

fél uncia - fél uncia vagy 1/24 segg.

Egy ilyen rendszer kényelmetlensége az volt, hogy nem lehetett egy számot törtként ábrázolni 10-es vagy 100-as nevezővel. A római matematikusok a százalékok használatával hárították el a nehézséget.

Közönséges törtek írása

Az ókorban a törteket már ismerős módon írták: egyik szám a másik fölé. Volt azonban egy lényeges különbség. A számláló a nevező alatt volt. A törteket először az ókori Indiában kezdték ilyen módon írni. Az arabok a modern módszert kezdték használni számunkra. De egyik nép sem használt vízszintes vonalat a számláló és a nevező elválasztására. Először Pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci írásaiban jelenik meg 1202-ben.

Kína

Ha a közönséges törtek megjelenésének története Egyiptomban kezdődött, akkor a tizedesjegyek először Kínában jelentek meg. Az Égi Birodalomban a Kr.e. 3. századtól kezdték használni. A tizedes törtek története Liu Hui kínai matematikussal kezdődött, aki azt javasolta, hogy használják őket négyzetgyökök kinyerésekor.

A Krisztus utáni 3. században Kínában a tizedes törteket kezdték használni a súly és a térfogat kiszámítására. Fokozatosan egyre mélyebbre kezdtek behatolni a matematikába. Európában azonban a tizedesjegyeket jóval később kezdték el használni.

Al-Kashi Szamarkandból

A kínai elődöktől függetlenül a tizedes törteket az ősi Szamarkand városából származó al-Kashi csillagász fedezte fel. A XV. században élt és alkotott. A tudós elméletét az 1427-ben megjelent "A számtan kulcsa" című értekezésében vázolta fel. Al-Kashi új jelölési formát javasolt a törtekhez. Az egész és a tört részek most egy sorba kerültek. A szamarkandi csillagász nem használt vesszőt az elválasztásukra. Az egész számot és a tört részt különböző színekkel, fekete és piros tintával írta. Néha al-Kashi függőleges vonallal is elválasztotta őket.

Tizedesjegyek Európában

Az európai matematikusok munkáiban a 13. századtól kezdtek megjelenni egy újfajta törtek. Meg kell jegyezni, hogy nem ismerték sem al-Kashi műveit, sem a kínaiak találmányát. A tizedes törtek Jordan Nemorarius írásaiban jelentek meg. Aztán már a 16. században használták.A francia tudós megírta a matematikai kánont, amely trigonometrikus táblázatokat tartalmazott. Ezekben Viet tizedes törteket használt. Az egész és a tört részek elkülönítésére a tudós függőleges vonalat, valamint eltérő betűméretet használt.

Ezek azonban csak speciális tudományos felhasználási esetek voltak. A mindennapi problémák megoldására Európában a tizedestörteket valamivel később kezdték használni. Ez Simon Stevin holland tudósnak köszönhetően történt a 16. század végén. 1585-ben adta ki a Tizedik című matematikai munkát. Ebben a tudós felvázolta a tizedes törtek alkalmazásának elméletét az aritmetikában, a monetáris rendszerben, valamint a mértékek és súlyok meghatározásában.

Pont, pont, vessző

Stevin sem használt vesszőt. A tört két részét nulla bekarikázással választotta el.

Először csak 1592-ben választotta el vessző a tizedes tört két részét. Angliában viszont a pontot használták helyette. Az Egyesült Államokban a tizedes törteket még mindig így írják.

John Napier skót matematikus volt az egyik kezdeményezője annak, hogy mindkét írásjelet az egész és a tört részek elkülönítésére használják. Javaslatát 1616-1617-ben tette meg. Egy német tudós is vesszőt használt

Frakciók Oroszországban

Orosz földön Kirik novgorodi szerzetes volt az első matematikus, aki felvázolta az egész részekre bontását. 1136-ban írt egy munkát, amelyben felvázolta az "évszámítás" módszerét. Kirik a kronológia és a naptár kérdéseivel foglalkozott. Művében az óra részekre osztását is idézte: kvintekre, huszonötödekre stb.

Az egész részekre bontását az adó összegének kiszámításakor a XV-XVII. Az összeadás, kivonás, osztás és szorzás törtrészekkel végzett műveleteket használtam.

A „töredék” szó a VIII. században jelent meg Oroszországban. Az "összetörni, részekre osztani" igéből származik. Őseink speciális szavakat használtak a törtek elnevezésére. Például az 1/2 fél vagy fél, 1/4 - négy, 1/8 - fél óra, 1/16 - fél óra stb.

A törtek teljes elméletét, amely nem sokban különbözik a moderntől, az első aritmetikai tankönyvben mutatták be, amelyet Leonty Filippovich Magnitsky írt 1701-ben. Az „aritmetika” több részből állt. A szerző részletesen beszél a törtekről a „Szaggatott vonalak számáról vagy törtekkel” című részben. Magnyitszkij műveleteket ad "tört" számokkal, azok különböző jelöléseivel.

A törtek ma is a matematika legnehezebb részei közé tartoznak. A törtek története sem volt egyszerű. A különböző népek, hol egymástól függetlenül, hol elődeik tapasztalatait kölcsönözve jutottak el a szám törteinek bevezetésének, elsajátításának és használatának szükségességéig. A törtek tana mindig is gyakorlati megfigyelésekből és a sürgető problémáknak köszönhetően nőtt ki. Kellett kenyeret osztani, egyenlő telkeket kijelölni, adót számolni, időt mérni stb. A törtek használatának jellemzői és a velük végzett matematikai műveletek az állam számrendszerétől és a matematika általános fejlettségi szintjétől függtek. Így vagy úgy, több mint ezer év leküzdése után kialakult, fejlődött és sikeresen alkalmazzák napjainkban számos gyakorlati és elméleti igényre az algebra számtörteinek szentelt része.

1 csúszda

2 csúszda

* * http://aida.ucoz.ru Horatius A „költészettudományból” „Albin fia! Mondd, ha öt unciát veszünk és kivonunk egyet, mi marad? - "Az ász harmadik része." "Csodálatos! Hát nem fogod elherdálni a birtokodat! És ha az előző öthöz hozzáadunk egyet, mennyi lesz az összesen? - "Fél". (Fordította: M. Dmitriev.) http://aida.ucoz.ru

3 csúszda

* http://aida.ucoz.ru * A fiatal rómainak igaza volt! Ezt a feladatot megoldva azt is kaptuk, hogy: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 csúszda

* http://aida.ucoz.ru "Aprólékosan" Szinonimák: pontos, finom, óvatos, pontos, lelkiismeretes, ékszer, pontos, pedáns, filigrán, hiányzó. És ez a furcsa szó „aggodalmasan” az 1/288 assa - „scrupulus” római névből származik. http://aida.ucoz.ru

5 csúszda

* http://aida.ucoz.ru * Ilyen nevek is voltak használatban: „semis” - a szamár fele, „sextans” - a hatodik rész, „hét uncia” - fél uncia, azaz 1/ 24 a szamár stb. .d. Összesen 18 különböző frakciónevet használtak. A törtekkel való munkavégzéshez emlékezni kellett az összeadási táblázatra és a szorzótáblára. Ezért a római kereskedők biztosan tudták, hogy egy trience (1/3 ass) és szextánok összeadásakor félértéket kapunk, és ha egy best (2/3 ass) megszorozunk egy sescutionnal (2/3 uncia, azaz 1/8 segg), egy unciát kapunk. A munka megkönnyítésére speciális táblázatokat állítottunk össze, amelyek egy része hozzánk is eljutott. http://aida.ucoz.ru

6 csúszda

A győzelem után Gaius Julius Caesar úgy döntött, hogy megjutalmazza élcsapatát, és először 24 unciát, majd további 36 unciát osztott ki nekik. Hány ászt kapott a különítmény? Döntés: 24 uncia 2 szamár, 36 uncia 3 szamár, 3 + 2 = 5 assz kapott a különítmény. Válasz: 5 segg. Misha Ivanov problémája

7 csúszda

Angelina Glibina feladata Az ókori Rómában a harcban erőt és bátorságot felmutató harcosokat kitüntetésben részesítettek. Hány ász kellett 6 harcos megjutalmazásához, ha mindegyik kapott 2 ászt és 6 unciát. Megoldás: megszorozzuk a 6-ot 2 szamárral, kapunk 12 szamarat - ez csak 6 harcosra van megadva, majd megszorozzuk a 6-ot 6-tal, így 36 unciát kapunk, és egy szamárban - 12 uncia, kapunk 3 szamarat, adjunk hozzá 3-at 12, kapunk 15 szamarat. Válasz: 15 ass.

Törtek az ókori Rómában. Érdekes törtrendszer volt az ókori Rómában. A súlyegység 12 részre való felosztásán alapult, amit szamárnak neveztek. Az ász tizenkettedikét unciának nevezték. És a módot, az időt és az egyéb mennyiségeket egy vizuális dologgal - a súllyal - hasonlították össze. Például egy római azt mondhatja, hogy hét uncianyit gyalogolt az úton, vagy öt uncia könyvet olvasott. Ebben az esetben természetesen nem az ösvény vagy a könyv mérlegeléséről volt szó. Ez azt jelentette, hogy az út 7/12-ét vagy a könyv 5/12-ét elolvasták. A 12-es nevezőjű törtek redukálásával vagy a tizenkettedek kisebbekre való felosztásával kapott törtek esetében pedig külön elnevezések voltak.

dia 12 az előadásból "A törtek története". Az archívum mérete a prezentációval együtt 403 KB.

Matematika 6. évfolyam

egyéb előadások összefoglalója

"Forradalmi kúp teste" - Kúp. Az r derékszögű háromszög második szára a kúp alapjának sugara. A kúp generátorainak egyesülését a kúp generatrix (vagy oldalsó) felületének nevezzük. Az alap tetejét és határát összekötő szakaszt a kúp generatrixának nevezzük. Letapogatás. A szektor szögét a kúp oldalfelületének alakulásában a következő képlet határozza meg: ? = 360° (r/l). A kúp generatrixa egy kúpos felület.

„Matematikai agygyűrű” – a zsűri választása. Vizsga. Sarok. Háromszög és négyzet. Százalék. Találja ki a matematikai fogalmakat. Kúp. Hány vágást csináltál? Hibák. Hívás. Komoly téma. Csapat. Töredék. Kapitányok versenye. Mi nehezebb, mint egy kilogramm köröm vagy vatta. Anagramma. Versenytábla. Bemelegítés. Öt perc. Anagrammák. Centiméter. Parancs bemutató. Egy szám, amely nem prím és nem összetett. A legkisebb természetes szám.

"Párhuzamos vonalak egy síkon" - Pappus (Kr. u. III. század). Modern meghatározás. (Eukleidész). A párhuzamos egyenesek különböző meghatározásai... Az életben gyakran találkozunk a párhuzamosság fogalmával. "Két vonal egy síkban fekszik és egyenlő távolságra van egymástól." Vonatbaleset. Rövidzárlat, nincs áram. A párhuzamos vonalak történetéből. W. Outred (1575-1660). Elindult. Eukleidész (Kr. e. lll. században). Párhuzamosak a Parthenon (Ókori Görögország, i.e. 447-438) oszlopai is.

"Mértékegységek" - Mértékegységek. Időegységek. Feladatok az időegységek arányához. Feladatok hosszegységekre. Melyik században szüntették meg a jobbágyságot Oroszországban. Egy törpemajom testhossza. Hosszúság mértékegységei. területegységek. Térfogategységek. Akvárium méretei.

"Problémák az ábrák területén" - Szó szerinti kifejezés az S és P megtalálásához. Írja le az ábrák területére és kerületére vonatkozó képleteket. Téglalap alakú paralelepipedon. A kertes telket kerítés veszi körül. 39 m szőnyeget vásároltam. Keresse meg az egész ábra S és P értékét! Négyzet és téglalap. Lakóépület építésére egy földterületet különítettek el. Keresse meg az árnyékolt ábra területét. Az üdülőhely úszómedencével rendelkezik. Paralelepipedon. A gyerekszobában a padlót szőnyeggel kell szigetelni.

"Kapcsolat a matematikában" - Vagy melyik rész az első szám a másodikból. Bemelegítés. Mit mutat két szám aránya? Baráti kapcsolatok. Hányszor nagyobb az első szám, mint a második. Mit mutat a hozzáállás? A tanár szigorú a tanulókkal szemben. Melyik rész első száma a másodiknak. Hosszúság aránya. Családi kapcsolatok. Tömegarány. A választ tizedesben vagy százalékban is felírhatjuk. 2 m-t vágtak le egy 5 m hosszú ruhadarabról A ruhadarab melyik részét vágták le?

A törtek keletkezésének története

Bevezetés

A törtszámok iránti igény az emberben a fejlődés igen korai szakaszában jelentkezett. Már a több elejtett állatból álló zsákmánymegosztás a vadászat résztvevői között, amikor kiderült, hogy az állatok száma nem volt többszöröse a vadászok számának, elvezethette a primitív embert a törtszám fogalmához.

A tárgyak megszámlálásának szükségessége mellett az ókorban az embereknek szükségük van hossz, terület, térfogat, idő és egyéb mennyiségek mérésére. A mérések eredményét nem mindig lehet természetes számmal kifejezni, és a használt mérték egyes részeit is figyelembe kell venni. Történelmileg a frakciók a mérési folyamat során keletkeztek.

A pontosabb mérések szükségessége oda vezetett, hogy a kezdeti mértékegységeket 2, 3 vagy több részre osztották. A töredezettség eredményeként kapott kisebb mértékegység egyedi nevet kapott, és már ezzel a kisebb mértékegységgel mérték az értékeket.

Törtek az ókori Rómában

A rómaiaknál a tömeg fő mértékegysége, valamint a pénzegység "szamárként" szolgált. A szamarat 12 egyenlő részre osztották - unciára. Ezek közül az összes 12-es nevezővel rendelkező tört hozzáadásra került, azaz 1/12, 2/12, 3/12 ... Idővel unciákat kezdték használni bármilyen mennyiség mérésére.

Így a római duodecimális törtek, vagyis olyan törtek, amelyeknek nevezője mindig egy szám 12 . A rómaiak 1/12 helyett „egy uncia”, 5/12 – „öt uncia” stb. Három unciát negyednek, négy unciát harmadnak, hat unciát félnek neveztek.

Csak 18 különböző frakció volt használatban:

SIMIS - fél ász;

SEKSTANCE - hatodik részvénye;

SESSION - a nyolcadik;

TRIENCE – egy ász harmada;

BES - kétharmad;

uncia - egy szamár tizenkettedik része;

FÉLUNCE - fél uncia.

Frakciók az ókori Egyiptomban

Sok évszázadon át az egyiptomiak a törteket „tört számoknak” nevezték, és az első tört, amellyel találkoztak, az 1/2 volt. Utána következett az 1/4, 1/8, 1/16, ..., majd 1/3, 1/6, ..., azaz. a legegyszerűbb törteket egységnek, ill alaptörtek. A számlálójuk mindig egy. Csak jóval később a görögöknél, majd az indiánoknál és más népeknél kezdték el használni az általános formájú, közönséges törteknek nevezett törteket, amelyekben a számláló és a nevező bármilyen természetes szám lehet.

Az ókori Egyiptomban az építészet magas fejlettségi szintet ért el. A grandiózus piramisok és templomok építéséhez, az alakzatok hosszának, területének és térfogatának kiszámításához számtani ismeretekre volt szükség.

A papiruszokon megfejtett információkból a tudósok megtudták, hogy az egyiptomiak 4000 évvel ezelőtt tizedes (de nem helyzeti) számrendszerrel rendelkeztek, és számos építőipari, kereskedelmi és katonai szükségletekkel kapcsolatos problémát meg tudtak oldani.

Az egyik legkorábbi ismert utalás az egyiptomi törtekre a Rhind matematikai papirusz. Három régebbi szöveg, amely az egyiptomi törteket említi: az egyiptomi matematikai bőrtekercs, a moszkvai matematikai papirusz és az Akhmim fatábla. A Rhinda papirusz tartalmaz egy táblázatot az egyiptomi törtekből a 2/ alakú racionális számokhoz n, valamint 84 matematikai feladat, azok megoldásai és válaszai, egyiptomi törtek formájában.

Az egyiptomiak a hieroglifát ( ep, "[egy] of" vagy újra, száj) a szám felett az egységtört jelölésére közönséges jelölésben, szent szövegekben pedig sort használtak. Például:

Az 1/2-es, 2/3-as és 3/4-es törtekre is voltak speciális szimbólumok, amelyekkel más (1/2-nél nagyobb) törteket is lehetett írni.

A maradék törtrészeket részvények összegeként írták le. A törtet így írták
, de a "+" jel nem volt feltüntetve. És az összeg
formában rögzítik . Ezért a vegyes számok ilyen rekordja (a "+" jel nélkül) azóta is fennmaradt.

Babilóniai hatszázalékos törtek

Az ókori Babilon, Kr.e. háromezer év körüli lakói a mi metrikusunkhoz hasonló mértékrendszert hoztak létre, csak ez nem a 10-es, hanem a 60-as számra épült, amelyben a kisebb mértékegység a magasabb egység része. Ezt a rendszert a babilóniaiak teljes mértékben fenntartották az idő és a szögek mérésére, és tőlük örököltük az óra és a fok 60 percre, a percek 60 másodpercre való felosztását.

A kutatók különböző módon magyarázzák a hatszázalékos számrendszer megjelenését a babilóniaiak körében. Valószínűleg itt a 60-as bázist vették figyelembe, ami 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60 többszöröse, ami nagyban leegyszerűsíti mindenféle számítást.

A hatvanas évek általánosak voltak a babilóniaiak életében. Ezért használták hatvanas olyan törtek, amelyekben mindig a 60-as szám vagy annak hatványai szerepelnek nevezőként: 60 2, 60 3 stb. Ebből a szempontból a hatszázalékos törtek összehasonlíthatók a mi tizedes törteinkkel.

A babiloni matematika hatással volt a görög matematikára. A babiloni hatszázalékos számrendszer nyomai megmaradtak a modern tudományban az idő- és szögmérésben. A mai napig megmaradt az óra felosztása 60 percre, egy perc 60 másodpercre, egy kör 360 fokra, egy fok 60 percre, egy perc 60 másodpercre.

A babilóniaiak értékes hozzájárulást adtak a csillagászat fejlődéséhez. A hatszázalékos törteket a 17. századig minden nép tudósa használták a csillagászatban. csillagászati törtek. Ezzel szemben az általunk használt általános törtek ún rendes.

Számozás és törtek az ókori Görögországban

Mivel a görögök csak szórványosan foglalkoztak törtekkel, eltérő jelöléseket használtak. Heron és Diophantus, az ókori görög matematikusok leghíresebb aritmetikusai, a törteket betűrendben írták, a nevező alatt a számlálóval. De elvileg előnyben részesítették vagy az egyetlen számlálóval rendelkező törteket, vagy a hatszázalékos törteket.

A törtszámok görög jelölésének hiányosságai, ideértve a hatszázalékos törtek használatát a tizedes számrendszerben, nem az alapelvek hibáira vezethetők vissza. A görög számrendszer hiányosságai inkább a szigor iránti makacs vágyukra vezethetők vissza, ami jelentősen megnövelte az összemérhetetlen mennyiségek arányának elemzésével járó nehézségeket. A görögök a „szám” szót egységek halmazának értették, így amit ma egyetlen racionális számnak – törtnek – tekintünk, azt a görögök két egész szám arányaként értették. Ez megmagyarázza, hogy a közönséges törtek miért ritkák a görög aritmetikában.

Frakciók Oroszországban

A 17. századi orosz kézírásos aritmetikában a törteket törteknek, később "tört számoknak" nevezték. A régi kézikönyvekben a következő oroszországi frakcióneveket találjuk:

1/2 - fele, fele

1/3 - harmadik

1/4 - négy

1/6 - fél harmada

1/8 - fél óra

1/12 - fél harmada

1/16 - fél óra

1/24 - fél félharmad (kis harmada)

1/32 - fél és fél és fél (kis negyed)

1/5 - öt

1/7 - hét

1/10 - tized

A szláv számozást Oroszországban egészen a 16. századig használták, majd fokozatosan kezdett behatolni az országba a decimális helyzetszámrendszer. Végül lecserélte a szláv számozást I. Péter alatt.

Törtszámok az ókor más államaiban

A kínai „Mathematics in Nine Sections”-ben már megtörtént a törtcsökkentés és minden törttel végzett művelet.

Brahmagupta indiai matematikusnál egy meglehetősen fejlett törtrendszert találunk. Különféle törtjei vannak: alap- és származékai is bármilyen számlálóval. A számlálót és a nevezőt ugyanúgy írjuk, mint most, de vízszintes vonal nélkül, hanem egyszerűen egymás fölé helyezve.

Az arabok voltak az elsők, akik oszloppal választották el a számlálót a nevezőtől.

A pisai Leonardo már törteket ír le, vegyes szám esetén az egész számot jobbra teszi, de úgy olvassa, ahogy szoktuk. Jordan Nemorarius (XIII. század) úgy osztja el a törteket, hogy a számlálót elosztja a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, az osztást a szorzáshoz hasonlítja. Ehhez ki kell egészítenie az első tört feltételeit tényezőkkel:

A 15-16. században a törtek doktrínája a számunkra már megszokott formát ölti, és nagyjából éppen azokban a részekben ölt testet, amelyek tankönyveinkben találhatók.

Meg kell jegyezni, hogy az aritmetika törtekre való felosztása régóta az egyik legnehezebb. Nem csoda, hogy a németek megtartották a mondást: „Frakciókra esni”, ami azt jelentette, hogy reménytelen helyzetbe kerülünk. Úgy tartották, hogy aki nem ismeri a törteket, az nem tud számtani sem.

Tizedesjegyek

A tizedes törtek a középkorban jelentek meg az arab matematikusok munkáiban, és egymástól függetlenül az ókori Kínában. De még korábban, az ókori Babilonban ugyanilyen típusú, csak hatszázalékos frakciókat használtak.

Később Hartmann Beyer (1563-1625) tudós publikálta a „Decimális logisztika” című esszét, ahol a következőket írta: „... Észrevettem, hogy a technikusok és a kézművesek bármilyen hosszúság mérésénél nagyon ritkán és csak kivételes esetekben fejezik ki egész számokkal. azonos nevű; általában vagy kis intézkedéseket kell tenniük, vagy töredékekhez kell folyamodniuk. Ugyanígy a csillagászok a mennyiségeket nemcsak fokokban, hanem a fok törtrészében is mérik, azaz. percek, másodpercek stb. 60 részre osztásuk nem olyan kényelmes, mint a 10, 100 részre stb., mert az utóbbi esetben sokkal könnyebb összeadni, kivonni és általában számtani műveleteket végezni; Számomra úgy tűnik, hogy ha hatszázalékos helyett tizedesjegyeket vezetnek be, akkor nemcsak a csillagászatban, hanem mindenféle számításban is hasznosak lennének.

Ma természetesen és szabadon használjuk a tizedesjegyeket. Ami azonban számunkra természetesnek tűnik, az igazi buktatóként szolgált a középkor tudósai számára. Nyugat-Európa a 16. században Az egész számok ábrázolására szolgáló, széles körben elterjedt decimális rendszer mellett a hatszázalékos törteket is mindenütt használták a számításokhoz, a babiloniak ősi hagyományáig visszanyúlóan. Simon Stevin holland matematikus okos elméje kellett ahhoz, hogy az egész és a tört számok rekordját egyetlen rendszerbe hozza. Nyilvánvalóan az általa összeállított kamatos kamattáblázatok adták a lendületet a tizedes törtek létrehozásának. 1585-ben kiadta a „Tized” című könyvet, amelyben a tizedes törteket magyarázta.

A 17. század elejétől megkezdődik a tizedestörtek intenzív behatolása a tudományba és a gyakorlatba. Angliában egy pontot vezettek be az egész részt a tört résztől elválasztó jelként. A vesszőt, akárcsak a pontot, Napier matematikus javasolta elválasztónak 1617-ben.

Az ipar és a kereskedelem, a tudomány és a technika fejlődése egyre körülményesebb számításokat igényelt, melyeket a tizedestörtek segítségével könnyebben elvégezhető volt. A tizedes törteket a 19. században a hozzájuk szorosan kapcsolódó mérték- és súlymérőrendszer bevezetése után széles körben használták. Például hazánkban, a mezőgazdaságban és az iparban a tizedes törteket és azok sajátos alakját - százalékokat - sokkal gyakrabban használják, mint a közönséges törteket.

Irodalom:

M. Ya. Vygodsky „Aritmetika és algebra az ókori világban” (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer „A matematika története az iskolában” (M. Education, 1964)

I.Ya.Depman „Az aritmetika története” (M. Enlightenment, 1959)