Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A matematikában vannak olyan problémák, amelyekben lineáris és másodfokú egyenletekre kell megoldást keresni általános formában, vagy meg kell keresni, hogy egy egyenletnek hány gyöke van egy paraméter értékétől függően. Mindezek a feladatok paraméterekkel.

Tekintsük szemléltető példaként a következő egyenleteket:

\[y = kx,\] ahol \ változók, \ egy paraméter;

\[y = kx + b,\] ahol \ változók, \ paraméter;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] ahol \ egy változó, \[а, b, с\] egy paraméter.

Egy egyenlet paraméterrel való megoldása általában egy végtelen egyenlethalmaz megoldását jelenti.

Egy bizonyos algoritmust követve azonban könnyedén megoldhatja a következő egyenleteket:

1. Határozza meg a paraméter „kontroll” értékeit.

2. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekkel.

3. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre.

Tegyük fel, hogy a következő egyenletet kapjuk:

\[\közép 6 - x \közép = a.\]

A kezdeti adatok elemzése után egyértelmű, hogy a \[\ge 0.\]

A modulus szabály szerint kifejezzük \

Válasz: \hol\

Hol tudok online megoldani egy paraméteres egyenletet?

Az egyenletet a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.

1. Paraméteres lineáris egyenletrendszerek

A paraméteres lineáris egyenletrendszereket ugyanazokkal az alapvető módszerekkel oldjuk meg, mint a közönséges egyenletrendszereket: a helyettesítési módszerrel, az egyenletösszeadás módszerével és a grafikus módszerrel. A lineáris rendszerek grafikus értelmezésének ismerete megkönnyíti a gyökök számára és létezésére vonatkozó kérdés megválaszolását.

1. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek nincs megoldása.

(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.

Megoldás.

Nézzünk több módot ennek a feladatnak a megoldására.

1 út. A tulajdonságot használjuk: a rendszernek nincs megoldása, ha az x előtti együtthatók aránya egyenlő az y előtti együtthatók arányával, de nem egyenlő a szabad tagok arányával (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Akkor nálunk van:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 vagy rendszer

(és 2-3 = 1,
(a ≠ 2.

Az első egyenletből a 2 = 4, tehát figyelembe véve azt a feltételt, hogy a ≠ 2, megkapjuk a választ.

Válasz: a = -2.

2. módszer. Helyettesítő módszerrel oldjuk meg.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Miután az első egyenletben a zárójelekből kivettük az y közös tényezőt, a következőt kapjuk:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

A rendszernek nincsenek megoldásai, ha az első egyenletnek nincsenek megoldásai, azaz

(és 2-4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Nyilván a = ±2, de a második feltételt figyelembe véve a válasz csak mínusz választ ad.

Válasz: a = -2.

2. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Megoldás.

A tulajdonság szerint, ha x és y együtthatóinak aránya azonos, és egyenlő a rendszer szabad tagjainak arányával, akkor végtelen számú megoldása van (azaz a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Ezért 8/a = a/2 = 2/1. Az egyes kapott egyenleteket megoldva azt találjuk, hogy ebben a példában a = 4 a válasz.

Válasz: a = 4.

2. Paraméteres racionális egyenletrendszerek

3. példa

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Megoldás.

Szorozzuk meg a rendszer első egyenletét 2-vel:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

A második egyenletet az elsőből kivonva 5|x|-t kapunk = 4 – a. Ennek az egyenletnek egyedi megoldása lesz a = 4-re. Más esetekben ennek az egyenletnek két megoldása lesz (egy< 4) или ни одного (при а > 4).

Válasz: a = 4.

4. példa

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszernek egyedi megoldása van.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Megoldás.

Ezt a rendszert grafikus módszerrel oldjuk meg. Így a rendszer második egyenletének grafikonja egy parabola, amelyet az Oy tengely mentén egy egységnyi szegmenssel felfelé emelünk. Az első egyenlet az y = -x egyenessel párhuzamos egyenesek halmazát adja meg (1. kép). Az ábrán jól látható, hogy a rendszernek akkor van megoldása, ha az y = -x + a egyenes egy (-0,5, 1,25) koordinátájú pontban érinti a parabolát. Ezeket a koordinátákat behelyettesítve az egyenes egyenletbe x és y helyett, megkapjuk az a paraméter értékét:

1,25 = 0,5 + a;

Válasz: a = 0,75.

5. példa

A helyettesítési módszerrel derítsük ki, hogy az a paraméter melyik értékénél van egyedi megoldása a rendszernek.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Megoldás.

Az első egyenletből kifejezzük y-t és behelyettesítjük a másodikba:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.

A második egyenletet redukáljuk kx = b alakra, aminek egyedi megoldása lesz k ≠ 0-ra.

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Az a 2 + 3a + 2 négyzetháromságot zárójelek szorzataként ábrázoljuk

(a + 2)(a + 1), a bal oldalon pedig kivesszük az x-et a zárójelekből:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Nyilvánvaló, hogy a 2 + 3a nem lehet egyenlő nullával, ezért

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ami azt jelenti, hogy a ≠ 0 és ≠ -3.

Válasz: a ≠ 0; ≠ -3.

6. példa.

A grafikus megoldási módszerrel határozza meg, hogy az a paraméter mely értékénél van a rendszer egyedi megoldása.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Megoldás.

A feltétel alapján megszerkesztünk egy kört, amelynek középpontja az origóban van, és a sugara 3 egységnyi szakaszból áll, ezt adja meg a rendszer első egyenlete

x 2 + y 2 = 9. A rendszer második egyenlete (y = |x| + a) egy szaggatott vonal. Használva 2. ábra A körhöz viszonyított elhelyezkedésének minden lehetséges esetét figyelembe vesszük. Könnyen belátható, hogy a = 3.

Válasz: a = 3.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenletrendszereket megoldani?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Cél:

• két változós lineáris egyenletrendszerek megismétlése
• definiáljon lineáris egyenletrendszert paraméterekkel
• megtanítja, hogyan kell lineáris egyenletrendszereket megoldani paraméterekkel.

Az órák alatt

1. Idő szervezése
2. Ismétlés
3. Új téma magyarázata
4. Konszolidáció
5. Óra összefoglalója
6. Házi feladat

2. Ismétlés:

I. Lineáris egyenlet egy változóval:

1. Határozzon meg egy változós lineáris egyenletet!

[Az ax=b formájú egyenletet, ahol x egy változó, a és b néhány szám, egy változós lineáris egyenletnek nevezzük]

2. Hány gyöke lehet egy lineáris egyenletnek?

[- Ha a=0, b0, akkor az egyenletnek nincs megoldása, x

Ha a=0, b=0, akkor x R

Ha a0, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van, x =

3. Nézze meg, hány gyöke van az egyenletnek (opciók szerint)

II. Lineáris egyenlet 2 változóval és lineáris egyenletrendszer 2 változóval.

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet két változóból! Adj egy példát.

[A két változós lineáris egyenlet az ax + by = c alakú egyenlet, ahol x és y változók, a, b és c néhány szám. Például x-y=5]

2. Mit nevezünk kétváltozós egyenlet megoldásának?

[A két változós egyenlet megoldása egy olyan változó értékpár, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja.]

3. Az x = 7, y = 3 változók értékpárja a 2x + y = 17 egyenlet megoldása?

4. Hogyan nevezzük egy kétváltozós egyenlet gráfját?

[Egy két változós egyenlet grafikonja a koordinátasíkon azon pontok halmaza, amelyek koordinátái ennek az egyenletnek a megoldásai.]

5. Nézze meg, mi az egyenlet grafikonja:

[Kifejezzük az y változót x-ig: y=-1,5x+3

Az y=-1,5x+3 képlet egy lineáris függvény, melynek grafikonja egy egyenes. Mivel a 3x+2y=6 és y=-1.5x+3 egyenletek ekvivalensek, ez az egyenes egyben a 3x+2y=6 egyenlet grafikonja is]

6. Mi az ax+bу=c egyenlet grafikonja x és y változókkal, ahol a0 vagy b0?

[Egy olyan két változós lineáris egyenlet grafikonja, amelyben a változók legalább egyik együtthatója nem nulla, egy egyenes.]

7. Mit nevezünk kétváltozós egyenletrendszer megoldásának?

[A kétváltozós egyenletrendszer megoldása egy olyan változó értékpár, amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja]

8. Mit jelent egyenletrendszer megoldása?

[Egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások.]

9. Nézze meg, hogy egy ilyen rendszernek mindig van-e megoldása, és ha igen, hány (grafikus)!

10. Hány megoldása lehet egy két változós lineáris egyenletrendszernek?

[Az egyetlen megoldás, ha a vonalak metszik egymást; nincs megoldása, ha az egyenesek párhuzamosak; végtelenül sok, ha a vonalak egybeesnek]

11. Milyen egyenlet definiál általában egy egyenest?

12. Hozzon létre kapcsolatot a szögegyütthatók és a szabad tagok között:

I. lehetőség: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2, b 1 b 2, nincs megoldás;

II. lehetőség: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2, egy megoldás;

III. lehetőség: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, sok megoldás.

Következtetés:

1. Ha a függvények grafikonját képező egyenesek szögegyütthatói eltérőek, akkor ezek az egyenesek metszik egymást, és a rendszernek egyedi megoldása van.
2. Ha az egyenesek szögegyütthatói azonosak, és az y tengellyel való metszéspontok eltérőek, akkor az egyenesek párhuzamosak, és a rendszernek nincs megoldása.
3. Ha a szögegyütthatók és az y tengellyel való metszéspontok megegyeznek, akkor az egyenesek egybeesnek, és a rendszernek végtelen sok megoldása van.

A táblán van egy táblázat, amelyet a tanár és a tanulók fokozatosan kitöltenek.

III. Új téma magyarázata.

Definíció: Nézet rendszer

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

ahol A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 a paraméterektől függő kifejezések, x és y pedig ismeretlenek, két lineáris algebrai egyenletből álló rendszernek nevezzük, két ismeretlennel a paraméterekben.

A következő esetek lehetségesek:

1) Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van

2) Ha , akkor a rendszernek nincs megoldása

3) Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.

IV. Konszolidáció

1. példa

Az a paraméter milyen értékeinél működik a rendszer

• 2x - 3y = 7
• ah - 6 év = 14

a) végtelen számú megoldása van;

b) egyedi megoldása van

Válasz:

a) ha a=4, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van;

b) ha a4, akkor csak egy megoldás van.

2. példa

Oldja meg az egyenletrendszert!

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Megoldás: a) , azaz. Az m1 esetében a rendszer egyedi megoldást kínál.

b), azaz m=1 (2=m+1) és n1 esetén az eredeti rendszernek nincs megoldása

c) , m=1 és n=1 esetén a rendszernek végtelen sok megoldása van.

Válasz: a) ha m=1 és n1, akkor nincs megoldás

b) m=1 és n=1, akkor a megoldás egy végtelen halmaz

• y - bármilyen
• x=n-2y

c) ha m1 és n bármely, akkor

3. példa

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Megoldás: A II egyenletből x = 1-аy és az I egyenletet helyettesítjük az egyenletbe

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Lehetséges esetek:

1) a=0. Ekkor az egyenlet így néz ki: 0*y=3 [y]

Ezért a=0 esetén a rendszernek nincs megoldása

2) a=-3. Ekkor 0*y=0.

Ezért y. Ebben az esetben x=1-ау=1+3у

3) a0 és a-3. Ekkor y=-, x=1-a(-=1+1=2

Válasz:

1) ha a=0, akkor (x; y)

2) ha a=-3, akkor x=1+3y, y

3) ha a0 és a?-3, majd x=2, y=-

Tekintsük az (1) rendszer második megoldási módját.

Oldjuk meg az (1) rendszert algebrai összeadás módszerével: először szorozzuk meg a rendszer első egyenletét B 2-vel, a másodikat B 1-gyel, és adjuk össze ezeket az egyenleteket tagonként, így kiküszöböljük az y változót:

Mert A 1 B 2 -A 2 B 1 0, akkor x =

Most szüntessük meg az x változót. Ehhez szorozza meg az (1) rendszer első egyenletét A 2-vel, a másodikat pedig A 1-gyel, és adja össze mindkét egyenletet tagonként:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

mert A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Az (1) megoldás megkönnyítése érdekében a következő jelölést vezetjük be:

- fő meghatározó

Most az (1) rendszer megoldása determinánsok segítségével írható fel:

A megadott képleteket Cramer-képleteknek nevezzük.

Ha , akkor az (1) rendszernek egyedi megoldása van: x=; y=

Ha , vagy , akkor az (1) rendszernek nincs megoldása

Ha , , , , akkor az (1) rendszernek végtelen számú megoldása van.

Ebben az esetben a rendszert tovább kell vizsgálni. Ebben az esetben általában egy lineáris egyenletre redukálódik. Ebben az esetben gyakran célszerű a rendszert a következő módon tanulmányozni: az egyenlet megoldásával megtaláljuk a paraméterek konkrét értékeit, vagy az egyik paramétert a többivel fejezzük ki, és ezeket a paraméterértékeket behelyettesítjük. a rendszer. Ekkor egy meghatározott numerikus együtthatós vagy kisebb számú paraméterű rendszert kapunk, amit tanulmányozni kell.

Ha a rendszer A 1 , A 2 , B 1 , B 2 együtthatói több paramétertől függenek, akkor célszerű a rendszert a rendszer determinánsaival tanulmányozni.

4. példa

Az a paraméter összes értékére oldja meg az egyenletrendszert

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Megoldás: Keressük meg a rendszer meghatározóját:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Önkormányzati autonóm oktatási intézmény Gimnázium

Matematika részleg

Egyenletrendszerek megoldása paraméterrel

A munkát készítette: "A" 11. osztályos tanuló

Csirkova Elizaveta Vasziljevna

Vezetője: matematikatanár

Batalova Elena Vladimirovna

Csajkovszkij, 2012

Tartalomjegyzék

• Bevezetés
• I. Elméleti rész
• II. Gyakorlati rész
• Következtetés

Bevezetés

Életünkben fontos a felsőfokú végzettség megszerzése. A sikerhez pedig felsőoktatási intézményt kell elvégezni. De előtte nagyon fontos az egységes államvizsga letétele. És csak a nagyon jó felkészülés segít az egységes államvizsga letételében. A matematika egységes államvizsgán a legtöbb pontot a C részért lehet szerezni. A C részben pedig fokozott bonyolultságú problémák adódhatnak egy változóval.

Kutatómunkámban csak paraméteres rendszereket veszek figyelembe.

Probléma: A paraméterekkel kapcsolatos problémák nagy nehézséget okoznak a tanulóknak. Ez annak köszönhető, hogy az ilyen problémák megoldásához nemcsak a függvények és egyenletek tulajdonságainak ismeretére, algebrai transzformációk végrehajtásának képességére van szükség, hanem magas logikai kultúrára és jó kutatási technikákra is.

Tanulmányi terület: sztereometria területe.

Tanulmányi tárgy: paraméterrel rendelkező rendszerek.

Cél: Módszerek és módszerek keresése paraméteres rendszerek megoldására; cselekvési algoritmus azonosítása.

Hipotézis: Az ismeretlen paraméterű rendszerek megoldhatók, ha ismeri a rendszer megoldására szolgáló különféle módszereket és módszereket.

A céllal és a feltett hipotézissel kapcsolatban a következők fogalmazódtak meg: feladatok:

1. A témával kapcsolatos tudományos irodalom tanulmányozása.

2. Olyan fogalmak tanulmányozása, mint: henger, kúp, golyó, felépítésük.

3. A forgástestekkel kapcsolatos problémák keresése a szakirodalomban.

4. A talált feladatok megoldása különböző módokon.

Kutatási módszerek:

1. Irodalmi és internetes források elemzése.

2. Modellezés.

3. Összehasonlítás.

4. Adatvizualizációs módszerek.

5. Leírás.

I. Elméleti rész

Lineáris függvény: - szögegyütthatós egyenes egyenlete. A szögegyüttható egyenlő az egyenes dőlésszögének érintőjével a tengely pozitív irányához .

Lineáris egyenletek paraméterekkel

Az egyenlet

Ha , az egyenletnek van Az egyetlen dolog megoldás.

Ha , azt az egyenletet nincsenek megoldásai, Amikor , és az egyenletnek van végtelenül sok megoldás, Amikor .

Néha az egyenletekben egyes együtthatókat nem adott számértékekkel adnak meg, hanem betűkkel jelölik.

Példa:ax+b=c.

Ebben az egyenletben x- ismeretlen, ABC- együtthatók, amelyek különböző számértékeket vehetnek fel. Az így meghatározott együtthatók ún paramétereket.

A paraméteres lineáris egyenletrendszereket ugyanazokkal az alapvető módszerekkel oldjuk meg, mint a közönséges egyenletrendszereket: a helyettesítési módszerrel, az egyenletösszeadás módszerével és a grafikus módszerrel. A lineáris rendszerek grafikus értelmezésének ismerete megkönnyíti a gyökök számára és létezésére vonatkozó kérdés megválaszolását.

Egy egyenlet megoldása paraméterekkel a következőket jelenti:

1. Jelölje meg, hogy az egyenletnek milyen paraméterértékeken van gyökere, és hány van a különböző paraméterértékeknél.

2. Keresse meg a gyökök összes kifejezését, és jelölje meg mindegyikhez azokat a paraméterértékeket, amelyeknél ez a kifejezés meghatározza az egyenlet gyökerét.

Térjünk rá a már megadott paraméteres egyenletre ax+b=cés megoldjuk.

rendszeregyenlet paraméter gyökér

Ha A 0, akkor. Ha a= 0, akkor kapunk b=c, ha ez igaz, akkor az egyenlet gyöke tetszőleges valós szám, de ha b c, akkor az egyenletnek nincsenek megoldásai.

Így kaptuk: -val A 0 , ; nál nél a=0És b=c, x- bármilyen valós szám; nál nél a=0És b c, az egyenletnek nincs gyökere.

Ennek az egyenletnek a megoldása során elkülönítettük a paraméter értékét a=0, amelynél az egyenletben minőségi változás következik be, a továbbiakban a paraméter ezen értékét „kontroll”-nak nevezzük. Attól függően, hogy milyen egyenletünk van, a paraméter „kontroll” értékei eltérően találhatók. Tekintsünk különböző típusú egyenleteket, és mutassunk egy módszert a „kontroll” paraméterértékek megtalálására.

II. Gyakorlati rész

1. számú feladat. A rendszer

nál nél = x 2 - 2x 2,

x 2 + nál nél 2 + A 2 = 2x + 2ау

vannak megoldásai?

Megoldás.

Írjuk át az eredeti rendszert a formába

(x - 1 2 = nál nél + 1,

(nál nél - A) 2 + (x - 1 ) 2 = 1 .

Innen érkezünk a rendszerhez

(nál nél - A) 2 + nál nél +1= 1

U + 1 ? 0 .

vagy a rendszerhez

nál nél 2 + (1-2a) nál nél + A 2 = 0,

nál nél ? - 1 .

Ennek a rendszernek az első egyenletét megoldva azt találjuk nál nél 1,2 = .

A feladatkövetelmény akkor teljesül, ha az utolsó vegyes rendszerben van legalább egy megoldás. Értékek keresése A az egyenlőtlenségből származnak

1, amelynek megoldásával kapunk A [ -2, ].

Válasz:A [ -2, ].

2. feladat. Milyen paraméterértékeken AÉs b végtelen sok megoldása van a rendszernek?

Megoldás.

A koordinátasíkon xOy a rendszer bármely egyenletét kielégítő pontok halmaza egyenesek. És akkor a rendszer megoldása ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjai lesz. Ezért az eredeti rendszernek akkor és csak akkor lesz végtelen számú megoldása, ha ezek az egyenesek egybeesnek. Általános esetben az és egyenletek által meghatározott két egyenes egybeesik, ha, és (egy metszéspontjuk van, a és nincs metszéspontjuk). Következésképpen a rendszernek végtelen sok megoldása lesz abban az esetben, ha a rendszer konzisztens

A rendszert megoldva azt kapjuk,.

Válasz:, .

3. feladat. Milyen paraméterértékeken A a c paraméter legalább egy értékére a rendszer a paraméter bármely értékére rendelkezik megoldásokkal b?

Megoldás.

Ha a második egyenletet megszorozzuk bés a kapott egyenletből kivonjuk a rendszer első egyenletét, akkor meglesz

Ha megszorzod vele b az első egyenletet, és a kapott egyenletből vonjuk ki a rendszer második egyenletét, majd

Így az eredeti rendszer egyenértékű a rendszerrel

Mindenesetre a rendszernek mindig van egyedi megoldása. Ha, akkor a rendszernek lesznek megoldásai az egyenletre

Ha a c paraméterhez képest másodfokúnak tekintjük, arra a következtetésre jutunk, hogy lesz legalább egy megoldása, ha és, azaz. Ha.

Amikor az egyenlethez érkezünk

Ebben az esetben a hol egyenlőtlenséget megoldva azt találjuk.

Válasz:.

4. feladat. Milyen paraméterértékeken A négy megoldása van a rendszernek?

Megoldás.

Feltéve, hogy átírjuk a rendszert a formába

Jegyezze meg most, hogy ha egy pár megoldása egy rendszernek, akkor a pár ennek a rendszernek is megoldása. Ezért, ha - a rendszer megoldása olyan, hogy és, akkor a rendszernek nyolc megoldása lesz.

Így az eredeti rendszernek négy megoldása lesz a következő két esetben: , vagy.

És akkor, ha; Hogy. Ha vagy, akkor.

Válasz:, .

5. feladat. A, amelyek mindegyikére egyedi megoldást kínál a rendszer.

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti rendszert:

Az egyenlet megad egy pár metsző egyenest és.

meghatározza ezeknek a soroknak a sortól jobbra elhelyezkedő részeit, pl. sugarak D.B.És C.E.(pontok nélkül BÉs VAL VEL), lásd az ábrát.

Az egyenlet egy egyenest határoz meg m lejtéssel a ponton áthaladva. Keresse meg az összes értéket A, amelyek mindegyikére az egyenes m egyetlen közös pontja van a sugarak egyesülésével BDÉs SE.

a) Közvetlen AB m egy sugár sem fog átkelni BD, nincs gerenda SE.

b) Közvetlen AC egyenlet adja meg. Ezért amikor egyenes m keresztezi a gerendát BD, de nem lép át a sugáron SE.

c) Amikor egyenes m leállítja a sugarat BD, és gerenda SE.

d) Végül egyenes vonallal m csak keresztezi a gerendát SE, és amikor nem keresztez egyetlen gerendát sem BD, nincs gerenda SE.

Válasz:, .

6. feladat. Keresse meg az összes paraméterértéket a, amelyek mindegyikére az egyenletrendszernek pontosan két megoldása van.

Megoldás.

Helyettesítsük az első egyenletet a különbséggel, a másodikat pedig az eredeti egyenletek összegével:

Amikor a rendszer második egyenlete, és ezért az egész rendszernek nincs megoldása. Amikor megkapjuk:

Jól látható (lásd az ábrát), hogy ha a rendszernek négy megoldása (pontkoordinátája) van A, B, CÉs D), és at - két megoldás (pontok koordinátái). MÉs N).

Válasz:.

Következtetés

A fiatalabb generáció ajkán ott van minden tudomány királynőjének neve. Egyesek számára a legmagasabb iskolai végzettségig nem adják meg. De ebből a tárgyból mindenkinek egységes államvizsgát kell tennie. A matematika egységes államvizsga pedig nem olyan egyszerű. Ezért akinek még van egy éve, vagy kevesebb, vagy több, az már kezdi a felkészülést. Ez pedig megerősíti, hogy az általam választott kutatási téma releváns.

Kutatómunkámban minden ábra elválaszthatatlanul kapcsolódik a planimetriához, de ennek a tudománynak a megértéséhez ismernie kell a sztereometriát. A munkavégzés során fontos fogalmakat, képleteket tanultam meg bizonyos figurákkal: golyó, kúp, henger. A feladatok megoldásában olyan technikák és módszerek segítettek, mint: geometriai alakzatokkal végzett műveletek végrehajtásának képessége; planimetriai feladatok megoldása geometriai mennyiségek (hosszak, szögek, területek) megtalálására; a legegyszerűbb sztereometriai feladatok megoldása geometriai mennyiségek (hosszak, szögek, területek, térfogatok) megtalálásához; térbeli alakok képe; kocka, prizma, piramis metszetei; háromszög területe, kör, kúp felülete, henger; henger, kúp, gömb térfogata. Az általam választott problémákat erre vagy arra az ábrára vonatkozó fogalmak és képletek segítségével oldottam meg, ami megerősíti hipotézisemet.

Hasonló dokumentumok

Szabványos módszerek egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására. Algoritmus egyenlet paraméteres megoldására. Az egyenlet tartománya. Egyenlőtlenségek megoldása paraméterekkel. A paraméter hatása az eredményre. A változó érvényes értékei. Grafikonok metszéspontjai.

teszt, hozzáadva: 2011.12.15


Bevezetés az egyenletekbe és paramétereikbe. Elsőfokú egyenletek megoldása egy ismeretlennel, az ismeretlen megengedett értékeinek halmazának meghatározása. Egy szám modulusának fogalma, lineáris egyenletek modulussal és másodfokú egyenletek megoldása paraméterrel.

teszt, hozzáadva: 2011.09.03


Kétváltozós egyenletrendszer megoldási módszerei. Az egyenes olyan, mint egy lineáris egyenlet grafikonja. Behelyettesítési és összeadási módszerek alkalmazása kétváltozós lineáris egyenletrendszerek megoldása során. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszerrel.

absztrakt, hozzáadva: 2009.11.10


Paraméteres egyenlet fogalmának meghatározása. Ezen egyenletek megoldásának elve általános esetekben. Egyenletek megoldása az exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények tulajdonságaihoz kapcsolódó paraméterekkel. Kilenc példa az egyenletek megoldására.

absztrakt, hozzáadva: 2009.02.09


Hozzávetőleges számok és műveletek rajtuk. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása. Függvények interpolációja és extrapolációja. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása. Egyenlet gyökének szétválasztása. Keresse meg az eredmény hibáját.

teszt, hozzáadva 2012.10.18


A gyökerek hozzávetőleges értékei. A dichotómia módszere (vagy egy szakasz felezése), egyszerű iteráció és Newton. Egy szakasz felezésének módszere egy egyenlet megoldásához. Newton-módszer konvergenciájának vizsgálata. Több egymást követő közelítés megalkotása.

laboratóriumi munka, hozzáadva 2009.07.15


Alapvető definíciók. Megoldási algoritmus. Egyenlőtlenségek a paraméterekkel. Alapvető definíciók. Megoldási algoritmus. Ez csak az egyik algoritmus a paraméterekkel való egyenlőtlenségek megoldására az xOa koordinátarendszer segítségével.

tanfolyami munka, hozzáadva 2002.12.11


Egyenletrendszer alapmegoldásának keresése, egyenes egyenlet felállítása, kanonikus formába hozása és görbe felépítése. Sajátértékek és lineáris transzformációs vektorok. A testtérfogat és az esemény bekövetkezésének valószínűségének kiszámítása.

teszt, hozzáadva: 2012.11.12


Irracionális egyenletek megoldási módszerei. Változó helyettesítési módszer. Két vagy több gyök lineáris kombinációi. Egyenlet egy gyökkel. Konjugált kifejezésével szorozva. Módszer egyenletek megoldására tökéletes négyzetek gyökjel alatti elkülönítésével.

teszt, hozzáadva 2016.02.15


Az egyenlet numerikus megoldása Euler és Runge-Kutta módszerrel Excelben. Program Turbo Pascal nyelven. Algoritmus folyamatábra. Runge-Kutta módszer másodrendű differenciálegyenlethez. A "ragadozó-zsákmány" típusú modell, figyelembe véve az intraspecifikus interakciót.