Tekintsünk egy R sugarú és h magasságú forgási hengert (383. ábra). Ennek a hengernek a tövébe írunk egy szabályos sokszöget (a 383. ábrán egy hatszöget), és a segítségével megszerkesztünk egy a hengerbe írt szabályos prizmát. Ugyanígy lehetséges olyan szabályos prizmák leírása is, amelyek egy henger körül tetszőlegesen sok oldallappal rendelkeznek.

A definíció szerint a henger oldalfelületének területe az a határ, amelyre a köré írt és körülírt szabályos prizmák oldalfelületeinek területe hajlik, ahogy oldallapjaik száma végtelenül megduplázódik (vagy általában nő). ).

Most bebizonyítjuk, hogy létezik ilyen határ. Ha egy szabályos háromszögre épített szabályos prizmát veszünk alapnak, akkor annak oldalfelületére a kifejezést kapjuk, ahol a henger alapjának körébe írt szabályos háromszög kerülete. Nál nél . Pontosan ugyanaz a számítás a leírt prizmára ugyanazt az eredményt adja. Tehát a forgóhenger oldalsó felületének területét a képlet fejezi ki

A henger oldalfelülete egyenlő a generatrix hosszának és az alap kerületének (azaz kerületének) szorzatával.

1. feladat A henger felső és alsó talpának A és B átmérőjű pontjait összekötő szakasz (384. ábra) 10 cm, és 60°-os szöget zár be az alap síkjához. Keresse meg a henger oldalfelületének területét.

Megoldás. Rajzoljunk keresztmetszetet az L szakaszon a henger alapjára merőleges síkkal. Abból a háromszögből, ami van

ahol a henger oldalfelületére találjuk

2. feladat Az ABC háromszög, melynek A és B csúcsai a henger alsó talpának átmérőjének végei, C csúcsa pedig a felső alaplap átmérőjének rá merőleges vége, egyenlő oldalú az a oldallal,

Határozza meg a henger oldalsó és teljes felületének területét. Megoldás. A henger alapjának sugara egyenlő: Az ABC háromszög magassága (385. ábra) egyenlő és a henger generatrixát a következőképpen számítjuk ki:

Ezért a henger oldalfelülete egyenlő

és a teljes felület (amely egyenlő az oldalfelület területének és a henger két alapterületének összegével) egyenlő

Feladatok

1. Egy téglalap alakú paralelepipedon oldallapjainak átlói az alap síkjához képest -val egyenlő szögben vannak. Határozza meg a dőlésszöget a paralelepipedon átlójának azonos síkjához képest!

2. Egy derékszögű paralelepipedonban az alap hegyesszöge egyenlő a-val, és az alap egyik oldala egyenlő a-val. Az ezen az oldalon és a felső alaplap szemközti élén áthúzott metszet Q területű, és síkja az alap síkjához képest szögben dől el. Határozza meg a paralelepipedon térfogatát és teljes felületét!

3. A ferde háromszög hasáb alapja egyenlő szárú derékszögű háromszög, és az egyik oldalélnek az alap síkjára vetítése egybeesik a háromszög egyik szárának m mediánjával. Határozza meg az oldalbordák dőlésszögét az alap síkjához képest, ha a prizma térfogata V-vel egyenlő.

4. Szabályos hatszögletű prizmában két szakaszt húzunk át az alapoldalon: 1) amely tartalmazza a felső alap átellenes oldalát, 2) tartalmazza a felső alap közepét. A prizma melyik magasságában a legnagyobb a metszetsíkok közötti szög, és mennyivel egyenlő ebben az esetben?

A henger sugarának képlete:
ahol V a henger térfogata, h a magassága

A henger egy geometriai test, amelyet egy téglalap oldala körüli elforgatásával kapunk. A henger egy hengeres felület és két párhuzamos sík által határolt test. Ez a felület akkor jön létre, amikor egy egyenes önmagával párhuzamosan mozog. Ebben az esetben az egyenes kiválasztott pontja egy bizonyos síkgörbe (guide) mentén mozog. Ezt az egyenest a hengeres felület generátorának nevezzük.
A henger sugarának képlete:
ahol Sb az oldalfelület, h a magasság

A henger egy geometriai test, amelyet egy téglalap oldala körüli elforgatásával kapunk. A henger egy hengeres felület és két párhuzamos sík által határolt test. Ez a felület akkor jön létre, amikor egy egyenes önmagával párhuzamosan mozog. Ebben az esetben az egyenes kiválasztott pontja egy bizonyos síkgörbe (guide) mentén mozog. Ezt az egyenest a hengeres felület generátorának nevezzük.
A henger sugarának képlete:
ahol S a teljes felület, h a magasság

Ez egy geometriai test, amelyet két párhuzamos sík és egy hengeres felület határol.

A henger egy oldalfelületből és két alapból áll. A henger felületének képlete magában foglalja az alap és az oldalfelület területének külön számítását. Mivel a henger alapjai egyenlőek, a teljes területét a következő képlettel számítjuk ki:

Megvizsgálunk egy példát a henger területének kiszámítására, miután megismertük az összes szükséges képletet. Először is szükségünk van egy képletre a henger alapterületére. Mivel a henger alapja egy kör, a következőket kell alkalmaznunk:
Emlékezzünk arra, hogy ezekben a számításokban a Π = 3,1415926 állandó számot használjuk, amelyet a kör kerületének és átmérőjének arányaként számítunk ki. Ez a szám egy matematikai állandó. Kicsit később megnézünk egy példát a henger alapterületének kiszámítására is.

A henger oldalfelülete

A henger oldalfelületének területének képlete az alap hosszának és magasságának szorzata:

Most nézzünk meg egy problémát, amelyben ki kell számítanunk egy henger teljes területét. A megadott ábrán a magasság h = 4 cm, r = 2 cm Határozzuk meg a henger teljes területét.
Először is számítsuk ki az alapok területét:
Most nézzünk egy példát a henger oldalsó felületének kiszámítására. Kibontva egy téglalapot ábrázol. Területét a fenti képlet alapján számítjuk ki. Helyettesítsük be az összes adatot:
A kör teljes területe az alap és az oldal területének kétszeresének összege:

Így az ábra alapjainak területére és oldalfelületére vonatkozó képletek segítségével meg tudtuk találni a henger teljes felületét.
A henger tengelyirányú metszete egy téglalap, amelyben az oldalak megegyeznek a henger magasságával és átmérőjével.

A henger tengelyirányú keresztmetszeti területének képlete a számítási képletből származik:

Ennek a cikknek a témája a henger felületének kiszámítása. Minden matematikai feladatnál az adatok megadásával kell kezdenie, meg kell határoznia, hogy mi az, ami ismert, és mivel kell dolgozni a jövőben, és csak ezután folytassa közvetlenül a számítással.

Ez a térfogattest egy hengeres geometriai alak, amelyet felül és alul két párhuzamos sík határol. Ha egy kis fantáziát alkalmazunk, észrevehetjük, hogy egy geometriai test egy téglalap tengely körüli elforgatásával jön létre, amelynek egyik oldala a tengely.

Ebből következik, hogy a fent és a henger alatt leírt görbe egy kör lesz, amelynek fő mutatója a sugár vagy átmérő.

Egy henger felülete - online számológép

Ez a funkció végül leegyszerűsíti a számítási folyamatot, és mindez az ábra alapjának magasságának és sugarának (átmérőjének) automatikusan helyettesíti a megadott értékeket. Az egyetlen dolog, amire szükség van, az az adatok pontos meghatározása, és a számok bevitelekor ne kövess el hibákat.

A henger oldalfelülete

Először is el kell képzelnie, hogyan néz ki egy szkennelés a kétdimenziós térben.

Ez nem más, mint egy téglalap, amelynek egyik oldala egyenlő a kerületével. Képletét ősidők óta ismerték - 2π *r, Ahol r- a kör sugara. A téglalap másik oldala egyenlő a magassággal h. Nem lesz nehéz megtalálni, amit keres.

Soldal= 2π *r*h,

hol a szám π = 3,14.

Egy henger teljes felülete

A henger teljes területének meghatározásához az eredményt kell használni S oldal Adjuk össze két kör területét, a henger tetejét és alját, amelyeket a képlet alapján számítunk ki S o =2π * r 2 .

A végső képlet így néz ki:

Spadló= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Egy henger területe - képlet az átmérőn keresztül

A számítások megkönnyítése érdekében néha szükség van az átmérőn keresztüli számításokra. Például van egy ismert átmérőjű üreges csődarab.

Anélkül, hogy felesleges számításokkal kínlódnánk, van egy kész képletünk. Az 5. osztályos algebra segít.

Snem = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Ahelyett r be kell szúrnia az értéket a teljes képletbe r =d/2.

Példák egy henger területének kiszámítására

Tudással felvértezve kezdjük el a gyakorlást.

1. példa Ki kell számítani egy csonka csődarab, azaz egy henger területét.

Nálunk r = 24 mm, h = 100 mm. A képletet a sugáron keresztül kell használnia:

S padló = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

A szokásos m2-re átváltva 0,01868928-at kapunk, körülbelül 0,02 m2-t.

2. példa Meg kell találni az azbeszt kályhacső belső felületének területét, amelynek falai tűzálló téglával vannak bélelve.

Az adatok a következők: átmérő 0,2 m; magasság 2 m Az átmérőre vonatkozó képletet használjuk:

S padló = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

3. példa Hogyan lehet megtudni, hogy mennyi anyag szükséges egy táska varrásához, r = 1 m és 1 m magas.

Egy pillanat, van egy képlet:

S oldal = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Következtetés

A cikk végén felvetődött a kérdés: valóban szükségesek ezek a számítások és az egyik érték átváltása a másikra? Miért van szükség erre, és ami a legfontosabb, kinek? De ne hanyagolja el és ne felejtse el a középiskola egyszerű képleteit.

A világ az elemi tudáson állt és fog állni, beleértve a matematikát is. És minden fontos munka megkezdésekor soha nem árt felfrissíteni az emlékezetet ezekről a számításokról, nagy eredménnyel alkalmazva azokat a gyakorlatban. Pontosság – a királyok udvariassága.

Számos probléma kapcsolódik a hengerhez. Ezekben meg kell találnia a test sugarát és magasságát vagy szakaszának típusát. Ezenkívül néha ki kell számítania egy henger területét és térfogatát.

Melyik test a henger?

Az iskolai tantervben egy körhengert, azaz egy alján lévő hengert tanulmányoznak. De ennek az alaknak az elliptikus megjelenése is megkülönböztethető. A névből egyértelműen kiderül, hogy az alapja ellipszis vagy ovális lesz.

A hengernek két alapja van. Egyenlőek egymással, és szegmensekkel vannak összekötve, amelyek egyesítik az alapok megfelelő pontjait. Ezeket a henger generátorainak nevezik. Minden generátor párhuzamos egymással és egyenlő. Ezek alkotják a test oldalsó felületét.

Általában a henger egy ferde test. Ha a generátorok derékszöget zárnak be az alapokkal, akkor egyenes alakról beszélünk.

Érdekes módon egy körhenger egy forradalomtest. Ezt úgy kapjuk meg, hogy egy téglalapot az egyik oldala körül forgatunk.

A henger fő elemei

A henger fő elemei így néznek ki.

1. Magasság. Ez a legrövidebb távolság a henger alapjai között. Ha egyenes, akkor a magasság egybeesik a generatrixszal.
2. Sugár. Egybeesik az alapnál rajzolhatóval.
3. Tengely. Ez egy egyenes vonal, amely mindkét bázis középpontját tartalmazza. A tengely mindig párhuzamos az összes generátorral. Egyenes hengerben merőleges az alapokra.
4. Axiális szakasz. Akkor jön létre, amikor egy henger egy tengelyt tartalmazó síkot metsz.
5. Érintő sík. Áthalad az egyik generatrixon, és merőleges a tengelyirányú metszetre, amelyet ezen a generatrixon keresztül húzunk.

Hogyan írható bele vagy írható le egy prizmához kapcsolódó henger?

Néha vannak olyan problémák, amelyekben ki kell számítani egy henger területét, de a kapcsolódó prizma egyes elemei ismertek. Hogyan kapcsolódnak ezek a számok?

Ha egy prizma egy hengerbe van írva, akkor alapjai egyenlő sokszögek. Ezenkívül a henger megfelelő alapjaiba vannak beírva. A prizma oldalsó élei egybeesnek a generátorokkal.

A leírt prizma alapjában szabályos sokszögek vannak. A henger alapját képező körök körül vannak leírva. A prizma lapjait tartalmazó síkok generátoraik mentén érintik a hengert.

A jobb oldali körhenger oldalfelületének és alapjának területén

Ha kibontja az oldalfelületet, téglalapot kap. Oldalai egybeesnek a generatrixszal és az alap kerületével. Ezért a henger oldalsó területe egyenlő lesz e két mennyiség szorzatával. Ha leírod a képletet, a következőt kapod:

S oldal = l * n,

ahol n a generátor, l a kerülete.

Ezenkívül az utolsó paramétert a következő képlettel számítják ki:

l = 2 π * r,

itt r a kör sugara, π a „pi” szám, amely 3,14.

Mivel az alap egy kör, területét a következő kifejezéssel számítjuk ki:

S fő = π * r 2 .

Egy jobb oldali körhenger teljes felületén

Mivel két alapból és egy oldalfelületből áll, ezt a három mennyiséget hozzá kell adni. Vagyis a henger teljes területét a következő képlettel számítják ki:

S emelet = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Gyakran más formában írják:

S emelet = 2 π * r (n + r).

A ferde körhenger területein

Ami az alapokat illeti, minden képlet ugyanaz, mert ezek még mindig körök. De az oldalfelület már nem ad téglalapot.

A ferde henger oldalsó felületének területének kiszámításához meg kell szoroznia a generatrix értékeit és a szakasz kerületét, amely merőleges lesz a kiválasztott generatrixra.

A képlet így néz ki:

S oldal = x * P,

ahol x a hengergeneratrix hossza, P a szakasz kerülete.

Mellesleg, jobb olyan szakaszt választani, amely ellipszist alkot. Ezután a kerületének kiszámítása egyszerűsödik. Az ellipszis hosszát egy hozzávetőleges választ adó képlet segítségével számítjuk ki. De gyakran elegendő egy iskolai tanfolyam feladataihoz:

l = π * (a + b),

ahol „a” és „b” az ellipszis féltengelyei, vagyis a középponttól a legközelebbi és legtávolabbi pontok távolsága.

A teljes felület területét a következő kifejezéssel kell kiszámítani:

S emelet = 2 π * r 2 + x * R.

Melyek a jobb oldali körhenger egyes szakaszai?

Amikor egy szakasz áthalad egy tengelyen, a területét a generatrix és az alap átmérőjének szorzataként határozzuk meg. Ez azzal magyarázható, hogy téglalap alakú, amelynek oldalai egybeesnek a kijelölt elemekkel.

Az axiális hengerrel párhuzamos henger keresztmetszeti területének meghatározásához egy téglalap képletére is szüksége lesz. Ebben a helyzetben az egyik oldala továbbra is egybeesik a magassággal, a másik pedig egyenlő lesz az alap húrjával. Ez utóbbi egybeesik az alap mentén húzódó metszetvonallal.

Ha a metszet merőleges a tengelyre, úgy néz ki, mint egy kör. Ráadásul a területe megegyezik az ábra alapjával.

Az is lehetséges, hogy a tengelyhez képest bizonyos szögben metssze. Ekkor a keresztmetszet egy oválist vagy annak egy részét eredményezi.

Minta problémák

1. számú feladat. Adott egy egyenes henger, amelynek alapterülete 12,56 cm 2. Ki kell számítani a henger teljes területét, ha magassága 3 cm.

Megoldás. A képletet egy kör alakú egyenes henger teljes területére kell használni. De hiányoznak az adatok, nevezetesen az alap sugara. De a kör területe ismert. Ebből könnyű kiszámolni a sugarat.

Kiderül, hogy egyenlő a hányados négyzetgyökével, amelyet úgy kapunk, hogy az alap területét elosztjuk pi-vel. Miután 12,56-ot elosztjuk 3,14-gyel, az eredmény 4. 4 négyzetgyöke 2. Ezért a sugárnak ez az értéke lesz.

Válasz: S padló = 50,24 cm 2.

2. feladat. Egy 5 cm sugarú hengert a tengellyel párhuzamos sík vág. A metszet távolsága a tengelytől 3 cm A henger magassága 4 cm Meg kell találni a keresztmetszeti területet.

Megoldás. A keresztmetszeti forma téglalap alakú. Egyik oldala egybeesik a henger magasságával, a másik pedig egyenlő a húrral. Ha az első mennyiség ismert, akkor a másodikat meg kell találni.

Ehhez további építkezést kell végezni. Az alapnál két szegmenst rajzolunk. Mindketten a kör közepétől indulnak. Az első az akkord közepén végződik, és megegyezik a tengely ismert távolságával. A második az akkord végén van.

Egy derékszögű háromszöget kapsz. Ismeretes benne a hypotenus és az egyik láb. A hipotenusz egybeesik a sugárral. A második láb egyenlő az akkord felével. Az ismeretlen láb 2-vel szorozva megadja a kívánt húrhosszt. Számítsuk ki az értékét.

Az ismeretlen láb megtalálásához négyzetre kell emelni a hipotenuszt és az ismert szárat, ki kell vonni a másodikat az elsőből, és meg kell venni a négyzetgyököt. A négyzetek 25 és 9. Különbségük 16. A négyzetgyök felvétele után 4 marad. Ez a kívánt láb.

Az akkord 4 * 2 = 8 (cm) lesz. Most kiszámolhatja a keresztmetszeti területet: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Válasz: S kereszt egyenlő 32 cm 2-rel.

3. feladat. Ki kell számítani a henger tengelyirányú keresztmetszeti területét. Ismeretes, hogy 10 cm élű kocka van beleírva.

Megoldás. A henger tengelyirányú metszete egybeesik egy téglalappal, amely áthalad a kocka négy csúcsán, és tartalmazza az alapjainak átlóit. A kocka oldala a henger generatrixa, az alap átlója pedig egybeesik az átmérővel. E két mennyiség szorzata adja meg azt a területet, amelyet a feladatban meg kell találnia.

Az átmérő meghatározásához tudnia kell, hogy a kocka alapja négyzet, átlója pedig egyenlő oldalú derékszögű háromszöget alkot. Befogója az ábra kívánt átlója.

Kiszámításához szüksége lesz a Pitagorasz-tétel képletére. Négyzetre kell tenni a kocka oldalát, meg kell szorozni 2-vel, és ki kell venni a négyzetgyököt. Tíz a második hatványhoz száz. 2-vel megszorozva kétszáz. 200 négyzetgyöke 10√2.

A metszet ismét egy téglalap, melynek oldalai 10 és 10√2. Területe ezen értékek szorzásával könnyen kiszámítható.

Válasz. S szakasz = 100√2 cm 2.