Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az alakzat méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
   
3. A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete oldalhosszonként
   Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
2. Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
   Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy paralelogramma területe
2. A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
   Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával.
   

   a b sin α

ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
   Rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,
   

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például egy háromszög területét vagy egy paralelogramma területét -, valamint egyszerű technikákat, amelyekkel foglalkozni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához az Egységes államvizsga matematikában profil második részében más képleteket használnak a háromszög területének meghatározására. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika - osszuk fel ezt a figurát olyanokra, amelyekről mindent tudunk, és keressük meg a területét - ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a vízszintes vonallal ellátott négyszöget két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő És . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Egyes esetekben az ábra területe egyes területek különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ennek a háromszögnek mekkora alapja és magassága! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalas és három derékszögű háromszögű négyzet területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Néha egy feladatban nem a teljes figura területét kell megtalálnia, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - egy kör részéről, keresse meg egy olyan kör sugarú szektorának területét, amelynek ívhossza egyenlő .

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. A teljes kör területe egyenlő. Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza egyenlő (mivel ), és egy adott szektor ívének hossza egyenlő , ezért az ív hossza többszöröse a teljes kör hosszának. Az a szög, amelyben ez az ív nyugszik, szintén kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

A geometriai alakzatok területei számértékek, amelyek a méretüket jellemzik kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy nem rendszerszintű területegység egy század, egy hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A terület rendszeregysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben a sík felület mértékegysége a négyzetméter. A GHS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkidomok területének számítása pontosan ezek alkalmazásán alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származik, amelyekből kiszámítják a négyzet méretét. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a lehető legegyszerűbb megoldást. Ez megkönnyíti a számítást, és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe a geometria ábráinak fő területeit.

A képletek bármely háromszög területének megtalálására több lehetőségben is bemutatásra kerülnek:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alapnak azt az oldalát tekintjük, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza az a,b oldalakat és az a és b közötti γ szög szinuszfüggvényét. A szinuszérték a táblázatokban található. Számológép segítségével is megtudhatja. Ekkor a háromszög területe:

Ezzel az egyenlőséggel arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Tekintsünk egy speciális esetet - egy szabályos háromszöget, amelynek a oldala feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítási kifejezés a következő:

Ha az átlók hosszát kell használnia egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség lesz a metszéskor kialakult szög szinuszának függvényére. A téglalap területének képlete a következő:

Négyzet

A négyzet területét az oldalhossz második hatványaként határozzuk meg:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a négyzet téglalap. Minden oldal, amely négyzetet alkot, azonos méretű. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása az egyiket a másikkal szorozza, azaz az oldal második hatványával. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha az átlót használja:

Hogyan lehet kiszámítani egy olyan alak területét, amelyet egy sík kör által határolt része alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre lesz szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikával, átlókkal határozzuk meg. A bizonyítás azon a tényen alapszik, hogy a d1 és d2 átlós szakaszai derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy derékszög esetén ez a függvény egyenlő az egységgel. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt sem nehéz bizonyítani, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ a rombusz belső szöge. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz alakú

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az (a és b) alapokon keresztül, ha a probléma a hosszukat jelzi? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számítási kifejezést:

Ugyanígy kiszámítható egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Figyelembe kell venni, hogy egy téglalap alakú trapézben a magasság és az oldal fogalma egyesül. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldaloldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Nézzük meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy alapnak nevezett körpár és egy oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara egyenlő r-rel. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérete megegyezik az adott párral. Az ellentétes arcok ugyanazokkal a paraméterekkel rendelkeznek. Először keresse meg az S(1), S(2), S(3) - az egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ekkor a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két közös középpontú kör gyűrűt alkot. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Közülük az első, amely a gyűrű területét számítja, a nagyobb R és a kisebb r sugarakat tartalmazza. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők alapján számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak alapján a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem szabályos? Az ilyen számok területére nincs általános képlet. De ha koordinátasíkon van ábrázolva, például lehet kockás papír, akkor ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy teljes koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. Ha meg szeretné tudni, mi az a terület, használja a Peake által bizonyított képletet. Össze kell adni a szaggatott vonalon belül található pontok számát, amelyen a pontok fele található, és ki kell vonni egyet, azaz a következőképpen számítjuk ki:

ahol B, G - a pontok száma a teljes szaggatott vonalon belül és a teljes vonalon.

Területi képlet Egy ábra területének meghatározásához szükséges, amely egy valós értékű függvény, amely az euklideszi sík alakzatainak egy bizonyos osztályán van definiálva, és 4 feltételnek eleget tesz:

1. Pozitivitás – a terület nem lehet kisebb nullánál;
2. Normalizálás - az oldalegységgel rendelkező négyzet területe 1;
3. Egybevágóság – az egybevágó figurák területe egyenlő;
4. Additivitás - a közös belső pontok nélküli 2 figura egyesülésének területe megegyezik ezen figurák területének összegével.

Képletek a geometriai alakzatok területének.

Geometriai ábra	Képlet	Rajz
A konvex négyszög szemközti oldalai felezőpontjai közötti távolságok összeadásának eredménye egyenlő lesz a fél kerületével.
Kör szektor. Egy kör szektorának területe megegyezik az ívének és a sugarának a felével.
Kör szakasz. Az ASB szegmens területének megszerzéséhez elegendő az AOB háromszög területét kivonni az AOB szektor területéből.	S = 1/2 R(s - AC)
Az ellipszis területe megegyezik az ellipszis fő- és kisféltengelyei hosszának és a pi számnak a szorzatával.
Ellipszis. Egy másik lehetőség az ellipszis területének kiszámítására annak két sugarán keresztül.
Háromszög. Az alapon és a magasságon keresztül. A kör területének képlete a sugara és átmérője alapján.
Négyzet. Az ő oldalán keresztül. Egy négyzet területe egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
Négyzet. Átlóin keresztül. Egy négyzet területe egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
Szabályos sokszög. A megfelelő terület meghatározásához poligon egyenlő háromszögekre kell osztani, amelyeknek közös csúcsuk lenne a beírt kör közepén.	S= r p = 1/2 r n a