Elméleti mechanika. Statika:

Konvergáló erők rendszere
Definíció és három erő tétel
A konvergáló erők eredőjének grafikus definíciója
Erőelemző feladat
A konvergáló erők eredőjének analitikai meghatározása
Feltételek és egyensúlyi egyenletek konvergáló erőrendszerhez
Problémamegoldás
★ Egyensúly konvergáló erőrendszer hatására

Kényszerpár elmélet

Az erőpár és tulajdonságai
Párekvivalencia tételek
Erőpárok összeadása
Páros rendszerek egyensúlya

Egy sík erőrendszer hozása
Poinsot Lemma
Tétel egy sík erőrendszer redukciójáról
Egy sík erőrendszer redukciójának speciális esetei
Kiegyensúlyozott erőrendszer

Lapos rúdrendszerek alátámasztási reakcióinak meghatározása
★ Egyensúly egy síkon párhuzamos erőrendszer hatására
Párhuzamos erőrendszer
Önkényes lapos erőrendszer
Önkényes lapos erőrendszer. RGR 1
★ Sík tetszőleges erőrendszer egyensúlya
Kompozit rendszerek számítása
Kompozit rendszerek számítása. RGR 2
★ A testek rendszerének egyensúlya 1
★ Testrendszer egyensúlya 2
★ A testek rendszerének egyensúlya 3
Támogatási reakciók grafikus meghatározása

tárgyak:termeh:statics:moment_of_force_relative_to_center

Tekintsünk egy testet, amely az O középpontban van rögzítve, és az O ponton átmenő, a rajzsíkra merőleges tengely körül foroghat. Határozzuk meg ennek a testnek az A pontjában a P erőt, és nézzük meg, mi határozza meg ennek az erőnek a forgási hatását ( 1. ábra).

Nyilvánvaló, hogy egy erőnek a testre gyakorolt ​​hatása nemcsak a nagyságától függ, hanem attól is, hogy hogyan irányul, és végső soron a testre gyakorolt ​​hatása határozza meg. pillanat a központról O.

Definíció 1. A P erőnyomaték az O középponthoz viszonyítva az erő modulusának és a vállának a $\pm$ előjellel vett szorzata - vagyis a nyomatékponttól az egyenesre süllyesztett merőleges hossza. az erő hatásáról.

Előjelszabály: az erőnyomaték pozitívnak tekinthető, ha az erő hajlamos a testet az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni, és negatívnak, ha a testet az óramutató járásával megegyező irányba forgatja.

Ennek a definíciónak megfelelően az erőnyomaték numerikusan egyenlő az OAB háromszög kettős területével, amelyet a P erővektorra szerkesztünk, amelynek csúcsa a pillanatpontban: $M_0(P) = P\cdot d = 2S \Delta_(OAB)$ .

Vegye figyelembe, hogy az O ponthoz viszonyított erőnyomaték egyenlő nullával, ha az erő hatásvonala átmegy a nyomatékponton.

Az erőnyomaték figyelembe vett definíciója csak sík erőrendszerre alkalmas. Általános esetben, hogy egy erő forgási hatását egyértelműen leírjuk, a következő definíciót vezetjük be.

2. definíció. A P erőnek az O középponthoz viszonyított momentuma egy olyan vektor, amely:

az erővektoron felépített háromszög síkjára merőleges O pillanatpontban, amelynek csúcsa a pillanatpontban van;

a jobb oldali csavar szabálya szerint irányítva;

nagysága megegyezik az O középponthoz viszonyított P erőnyomatékkal (1a ábra).

Jobb csavaros szabály, fizika tanfolyamokról is ismert, mint gimlet szabály, azt jelenti, hogy ha a $\vec(M_0)(\vec(P))$ vektormomentum felé nézünk, akkor a hatás síkjának az óramutató járásával ellentétes irányban bekövetkező $\vec(P)$ erő általi elfordulását látjuk. .

Jelöljük $\vec(r)$ a $\vec(P)$ erő alkalmazási pontjának sugárvektorát, és bizonyítsuk be, hogy igaz

1. Tétel. A $\vec(P)$ erő vektornyomatéka a középponthoz viszonyítva RÓL RŐL egyenlő a $\vec(r)$ sugárvektor és a $\vec(P)$ erővektor vektorszorzatával:

$$\vec(M_0)(\vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P))$$

Emlékezzünk vissza, hogy a $\vec(a)\text( és )\vec(b)$ vektorok vektorszorzata a $\vec(c)$ vektor, amely ( 2b):

merőleges a $\vec(a)\text( és )\vec(b)$ vektorokra;

jobb oldali vektorhármast képez velük, vagyis úgy van irányítva, hogy e vektor felé nézve elfordulást látunk a $\vec(a)$ vektortól a $\vec( b)$ a legkisebb szögben, az óramutató járásával ellentétes irányban;

nagysága megegyezik az ezen vektorokon felépített háromszög területének kétszeresével:

$$|\vec(c)| = |\vec(a) \times \vec(b)| = |\vec(a)|\cdot|\vec(b)|\cdot\sin(\vec(a),\,\vec(b))$$

A tétel bizonyításához először is megjegyezzük, hogy a $\vec(r)\text( és )\vec(P)$ vektorok vektorszorzatával megegyező vektor kollineáris lesz a $\vec(M_0) vektorral. (\vec(P))$ .

Ennek ellenőrzéséhez elegendő ezeket a vektorokat egy pontból ábrázolni ( 1c). Tehát $(\vec(r) \times \vec(P)) \uparrow \uparrow \vec(M_0)(\vec(P))$.

Másodszor, ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatának modulusa egyenlő lesz:

$$|\vec(r) \times \vec(P)| = |\vec(r)|\cdot|\vec(P)|\cdot\sin(\vec(r),\,\vec(P)) = P \cdot d =|\vec(M_0)(\ vec(P))|$$

Itt következik a tétel összefüggése.

Ennek a tételnek a következménye:

Varignon tétele (a konvergáló erők eredőjének nyomatékáról). A konvergáló erők eredő rendszerének egy tetszőleges O középponthoz viszonyított vektor-nyomatéka egyenlő a rendszer összes erőjének vektormomentumainak geometriai összegével ehhez a középponthoz képest:

$$\vec(M_0)(\vec(R)) = \sum_(i=1)^(i=n)\vec(M_(0\,\,i))(\vec(P_i))$$

Valójában az eredő pillanata, figyelembe véve 1. tételés a konvergáló erők eredőjének analitikai definíciója egyenlő lesz:

$$ \vec(M_0)(\vec(R))= \vec(R)\times\vec(r) \,\,\,\;\;\text( , mert ) \vec(M_0 )(\ vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P)) \\ \vec(R)\times\vec(r)= \vec(r)\times\sum_(i= 1)^ (i=n)\vec(P_i) \,\,\,\;\;\text( , mert ) (\vec(P_1), \vec(P_2), \dots, \vec (P_n)) \sim \vec(R) = \sum_(i=1)^(i=n) \vec(P_i) \\ \vec(r)\times\sum_(i=1)^(i= n)\vec(P_i) ) = \sum_(i=1)^(i=n)(\vec(r)\times\vec(P_i)) = \sum_(i=1)^(i=n)\ vec(M_(0\) ,\,i))(\vec(P_i)) $$

Egy konvergáló erők síkrendszere esetén a geometriai összeg in Varignon tétele bemegy az algebraiba:

$$M_0(R)=\sum_(i=1)^(i=n)M_(0\,\,i)(\vec(P_i))$$

jegyzet

Az oktatási irodalomban a „pillanat” kifejezést mind az erő, mind a vektor-nyomaték jelölésére használják.

Subjects/termeh/statics/moment_of_force_relative_to_center.txt · Utolsó módosítások: 2013/07/19 19:53 - ¶

Tehát egy tengelyre rögzített test egyensúlya szempontjából nem maga az erőmodulus a fontos, hanem az erőmodulus és a tengelytől az erő hatását végző egyenes távolságának szorzata (115. ábra; feltételezzük, hogy az erő a forgástengelyre merőleges síkban fekszik). Ezt a szorzatot a tengely körüli erőnyomatéknak vagy egyszerűen az erőnyomatéknak nevezzük. A távolságot tőkeáttételnek nevezzük. Az erőnyomatékot betűvel jelölve kapjuk

Állapodjunk meg abban, hogy pozitívnak tekintjük az erőnyomatékot, ha ez az erő külön hatva az óramutató járásával megegyező irányba forgatná a testet, ellenkező esetben negatívnak (ebben az esetben előre meg kell állapodnunk, hogy melyik oldalról nézzük a testet). Például az erők és az ábrán. 116-hoz pozitív momentumot kell rendelni, negatívat pedig erőltetni.

Rizs. 115. Az erőnyomaték egyenlő a modulusa és a kar szorzatával

Rizs. 116. Az erőnyomatékok és pozitívak, az erőnyomatékok negatívak

Rizs. 117. Az erőnyomaték egyenlő az erőkomponens modulusának és a sugárvektor modulusának szorzatával

Az erőnyomatéknak más definíció is megadható. Rajzoljunk egy irányított szakaszt a tengelyen az erővel azonos síkban fekvő pontból az erő alkalmazási pontjába (117. ábra). Ezt a szakaszt az erő alkalmazási pontjának sugárvektorának nevezzük. A vektormodulus egyenlő a tengely és az erő alkalmazási pontja közötti távolsággal. Most konstruáljuk meg a sugárvektorra merőleges erőkomponenst. Jelöljük ezt az összetevőt -vel. Az ábrán jól látható, hogy a . Mindkét kifejezést megszorozva azt kapjuk, hogy .

Így az erőnyomaték úgy ábrázolható

ahol az erő alkalmazási pontjának sugárvektorára merőleges erőkomponens modulusa, a sugárvektor modulusa. Vegye figyelembe, hogy a szorzat numerikusan egyenlő a és a vektorokon felépített paralelogramma területével (117. ábra). ábrán. A 118. ábra olyan erőket mutat, amelyeknek a tengely körüli nyomatékai azonosak. ábrából 119 világos, hogy az erő alkalmazási pontjának iránya mentén mozgatása nem változtatja meg a nyomatékát. Ha az erő iránya átmegy a forgástengelyen, akkor az erő áttétele nulla; ezért az erőnyomaték is egyenlő nullával. Láttuk, hogy ebben az esetben az erő nem okozza a test forgását: az az erő, amelynek egy adott tengely körüli nyomatéka egyenlő nullával, nem okoz e tengely körüli forgást.

Rizs. 118. Kényszerít és ugyanazokkal a nyomatékokkal rendelkezik a tengely körül

Rizs. 119. Azonos vállú egyenlő erőknek egyenlő nyomatékaik vannak a tengely körül

Az erőnyomaték fogalmával új módon fogalmazhatjuk meg egy tengelyen rögzített és két erő hatására kialakuló test egyensúlyi feltételeit. A (76.1) képlettel kifejezett egyensúlyi feltételben nincs más, mint a megfelelő erők vállai. Következésképpen ez a feltétel abban áll, hogy mindkét erő momentumának abszolút értéke egyenlő. Ezen túlmenően, hogy a forgás ne forduljon elő, a nyomatékok irányának ellentétesnek kell lennie, vagyis a nyomatékoknak előjelben kell különbözniük. Így egy tengelyen rögzített test egyensúlyához a rá ható erők nyomatékainak algebrai összegének nullával kell egyenlőnek lennie.

Mivel az erőnyomatékot az erőmodulus és a váll szorzata határozza meg, az erőnyomaték mértékegységét úgy kapjuk meg, hogy eggyel egyenlő erőt veszünk fel, amelynek a válla is eggyel egyenlő. Ezért az erőnyomaték SI egysége az az erőnyomaték, amely egyenlő egy newtonnal és egy méteres karra hat. Newtonméternek (Nm) hívják.

Ha egy tengelyen rögzített testre sok erő hat, akkor a tapasztalatok szerint az egyensúlyi feltétel ugyanaz marad, mint két erő esetén: egy tengelyre rögzített test egyensúlyi állapota esetén a test algebrai összege a testre ható összes erő nyomatékának nullával kell egyenlőnek lennie. A testre ható több nyomaték (összetevő momentumok) eredő nyomatékát az alkotó momentumok algebrai összegének nevezzük. Az így létrejövő nyomaték hatására a test ugyanúgy forog a tengely körül, ahogyan az összes alkotó momentum egyidejű hatására forogna. Különösen, ha a kapott nyomaték nulla, akkor a tengelyhez rögzített test vagy nyugalomban van, vagy egyenletesen forog.

Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték olyan vektor, amelynek modulusa egyenlő az erőmodulus és a váll szorzatával - az O ponttól az erő hatásvonaláig terjedő legrövidebb távolság. Az erőnyomatékvektor iránya merőleges az erő pontján és hatásvonalán áthaladó síkra, így a nyomatékvektor irányába nézve az O pont körüli erő által végzett forgás az óramutató járásával megegyező irányban történik.

Ha ismert a sugárvektor Az erő O ponthoz viszonyított pontja, akkor ennek az erőnek az O-hoz viszonyított nyomatékát a következőképpen fejezzük ki:

Valójában ennek a keresztszorzatnak a modulusa:

. (1.9)

A kép szerint tehát:

A vektor, akárcsak a keresztszorzat eredménye, merőleges a Π síkhoz tartozó vektorokra. A vektor iránya olyan, hogy ennek a vektornak az irányába nézve a legrövidebb forgás az óramutató járásával megegyező irányban történik. Más szóval, a vektor a () vektorrendszert a jobb oldali hármasig egészíti ki.

Ismerve a koordinátarendszerben az erő alkalmazási pontjának koordinátáit, amelynek origója egybeesik az O ponttal, és az erő vetületét ezekre a koordinátatengelyekre, az erőnyomaték a következőképpen határozható meg:

. (1.11)

A tengely körüli erőnyomaték

Az erőnyomaték egy pontra való vetületét valamely ezen a ponton áthaladó tengelyre a tengely körüli erőnyomatéknak nevezzük.

A tengelyhez viszonyított erőnyomatékot az erőnek a tengelyre merőleges Π síkra való vetítési nyomatékaként kell kiszámítani, a tengelynek a Π síkkal való metszéspontjához képest:

A nyomaték előjelét az a forgásirány határozza meg, amelyet az F⃗ Π erő kölcsönöz a testnek. Ha az Óz tengely irányába nézve az erő az óramutató járásával megegyező irányba forgatja a testet, akkor a pillanatot pluszjellel veszik, ellenkező esetben - mínusz.

1.2 A probléma megfogalmazása.

Tartók és csukló C reakcióinak meghatározása.

1.3 Algoritmus a probléma megoldásához.

Osszuk a szerkezetet részekre, és vegyük figyelembe az egyes szerkezetek egyensúlyát.

Tekintsük a teljes szerkezet egyensúlyát, mint egészet. (1.1. ábra)

Hozzunk létre 3 egyensúlyi egyenletet a teljes szerkezet egészére:

Tekintsük a szerkezet jobb oldalának egyensúlyát (1.2. ábra).

Hozzunk létre 3 egyensúlyi egyenletet a szerkezet jobb oldalára.

Amely egyenlő az erő vállának szorzatával.

Az erőnyomaték kiszámítása a következő képlettel történik:

Ahol F- Kényszerítés, l- az erő vállát.

A hatalom válla- ez a legrövidebb távolság az erő hatásvonalától a test forgástengelyéig. Az alábbi ábrán egy merev test látható, amely egy tengely körül foroghat. Ennek a testnek a forgástengelye merőleges az ábra síkjára, és átmegy az O betűvel jelölt ponton. Az erő válla Ft itt a távolság l, a forgástengelytől az erő hatásvonaláig. Így van meghatározva. Az első lépés az erő hatásvonalának megrajzolása, majd az O pontból, amelyen a test forgástengelye áthalad, eresszünk le egy merőlegest az erő hatásvonalára. Ennek a merőlegesnek a hossza egy adott erő karjának bizonyul.

Az erőnyomaték egy erő forgó hatását jellemzi. Ez a művelet az erőtől és a tőkeáttételtől is függ. Minél nagyobb a kar, annál kisebb erőt kell kifejteni a kívánt eredmény, azaz azonos erőnyomaték eléréséhez (lásd a fenti ábrát). Éppen ezért sokkal nehezebb kinyitni egy ajtót a zsanérok közelében tolva, mint a kilincset megfogva, és sokkal könnyebb egy anyát lecsavarni egy hosszúval, mint egy rövid kulccsal.

Az SI erőnyomaték mértékegysége 1 N erőnyomaték, amelynek karja 1 m - newtonméter (N m).

Pillanatok szabálya.

Egy rögzített tengely körül forogni tudó merev test egyensúlyban van, ha az erőnyomaték M 1 az óramutató járásával megegyező irányba forgatva egyenlő az erőnyomatékkal M 2 , amely az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja:

A pillanatok szabálya a mechanika egyik tételének a következménye, amelyet P. Varignon francia tudós fogalmazott meg 1687-ben.

Pár erő.

Ha egy testre 2 egyenlő és egymással ellentétes irányú erő hat, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, akkor az ilyen test nincs egyensúlyban, mivel ezeknek az erőknek a nyomatéka egyetlen tengelyhez képest sem nulla. mindkét erőnek vannak ugyanabba az irányba irányuló nyomatékai . Két ilyen, egy testre egyidejűleg ható erőt nevezünk pár erő. Ha a test egy tengelyhez van rögzítve, akkor egy pár erő hatására forog. Ha egy szabad testre néhány erő hat, akkor az a tengelye körül forog. áthaladva a test súlypontján, ábra b.

Egy erőpár nyomatéka azonos a pár síkjára merőleges bármely tengely körül. Teljes pillanat M pár mindig egyenlő az egyik erő szorzatával F a távolba l erők között, amit ún pár vállát, nem számít, milyen szegmensek l, és megosztja a pár vállának tengelyének helyzetét:

Több olyan erő nyomatéka, amelyek eredője nulla, minden egymással párhuzamos tengelyhez képest azonos lesz, ezért ezeknek az erőknek a testre gyakorolt ​​hatása helyettesíthető egy azonos erőpár hatásával. pillanat.