Գլխավոր > Փաստաթուղթ

ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

Կախարդական կամ կախարդական քառակուսին քառակուսի աղյուսակ է, որը լցված է թվերով այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, յուրաքանչյուր սյունակի և երկու անկյունագծերի թվերի գումարը նույնն է:

Յուրաքանչյուր տողի, սյունակի և անկյունագծի թվերի գումարը կոչվում է մոգական հաստատուն՝ M:

3x3 կախարդական քառակուսու ամենափոքր կախարդական հաստատունը 15 է, 4x4 քառակուսինը՝ 34, 5x5 քառակուսինը՝ 65,

Եթե ​​քառակուսու թվերի գումարները հավասար են միայն տողերում և սյունակներում, ապա այն կոչվում է կիսակախարդական:

Կառուցեք 3 x 3 կախարդական քառակուսի ամենափոքրով

կախարդական հաստատուն

Գտե՛ք 3x3 կախարդական քառակուսու ամենափոքր կախարդական հաստատունը

1 ճանապարհ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15:

Մեջտեղում գրված թիվը 15 է : 3 = 5

Որոշել է, որ մեջտեղում գրված է 5 թիվը։

որտեղ n-ը տողերի թիվն է

Եթե ​​դուք կարող եք կառուցել մեկ կախարդական քառակուսի, ապա դժվար չէ դրանցից որևէ քանակ կառուցել: Հետեւաբար, հիշեք շինարարական տեխնիկան

3x3 կախարդական քառակուսի 15 հաստատունով:

1 ճանապարհշինարարություն։ Անկյուններում նախ դրեք զույգ թվերը

2,4,8,6 և 5-ը մեջտեղում: Գործընթացի մնացած մասը պարզ թվաբանություն է:

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 ճանապարհլուծումներ

Օգտագործելով 15 հաստատունով գտնված կախարդական քառակուսին, կարող եք շատ բազմազան առաջադրանքներ դնել.

Օրինակ.Կառուցեք նոր տարբեր կախարդական քառակուսիներ 3 x 3

Լուծում.

Կախարդական քառակուսու յուրաքանչյուր թիվ գումարելով կամ նույն թվով բազմապատկելով՝ ստանում ենք նոր կախարդական քառակուսի։

Օրինակ 1Կառուցեք 3 x 3 չափսի կախարդական քառակուսի, որի թիվը մեջտեղում 13 է:

Լուծում.

Եկեք կառուցենք ծանոթ կախարդանք

քառակուսի հաստատուն 15-ով:

Գտեք այն թիվը, որը գտնվում է

ցանկալի քառակուսու կեսը

13 – 5 = 8.

Յուրաքանչյուր կախարդական համարին

ավելացնել 8 քառակուսի:

Օրինակ 2Լրացրեք կախարդական վանդակները

քառակուսիներ՝ իմանալով կախարդական հաստատունը:

Լուծում.Եկեք գտնենք համարը

մեջտեղում գրված է 42՝ 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

առաջադրանքներ անկախ լուծման համար

Օրինակներ. 1. Լրացրեք կախարդական քառակուսիների բջիջները մոգությամբ

հաստատուն M =15.

1) 2) 3)

2. Գտեք կախարդական քառակուսիների կախարդական հաստատունը:

1) 2) 3)

3. Լրացրե՛ք կախարդական քառակուսիների բջիջները՝ իմանալով կախարդական հաստատունը

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Կառուցեք 3x3 կախարդական քառակուսի, իմանալով, որ կախարդական հաստատունն է

հավասար է 21-ի։

Լուծում. Հիշեք, թե ինչպես է կառուցվում կախարդական 3x3 քառակուսին ըստ ամենափոքրի

հաստատուն 15. Ծայրահեղ դաշտերում գրվում են զույգ թվեր

2, 4, 6, 8, իսկ մեջտեղում 5 թիվը (15 : 3).

Ըստ պայմանի՝ անհրաժեշտ է քառակուսի կառուցել ըստ կախարդական հաստատունի

21. Ցանկալի քառակուսու կենտրոնում պետք է լինի 7 թիվը (21 : 3).

Եկեք պարզենք, թե որքան շատ է ցանկալի քառակուսի յուրաքանչյուր անդամ

յուրաքանչյուր անդամ ամենափոքր կախարդական հաստատունով 7 - 5 = 2:

Մենք կառուցում ենք անհրաժեշտ կախարդական հրապարակը.

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Կառուցեք 3x3 կախարդական քառակուսիներ՝ իմանալով դրանց կախարդական հաստատունները

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Կառուցեք 4 x 4 կախարդական քառակուսի ամենափոքրով

կախարդական հաստատուն

Գտեք 4x4 կախարդական քառակուսու ամենափոքր կախարդական հաստատունը

և այս հրապարակի մեջտեղում գտնվող թիվը։

1 ճանապարհ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

որտեղ n-ը n = 4 տողերի թիվն է:

Թվերի գումարը ցանկացած հորիզոնականի վրա,

ուղղահայաց, իսկ անկյունագիծը 34 է:

Այս գումարը նույնպես առկա է բոլորի մեջ

անկյունային քառակուսիներ 2×2, կենտրոնում

քառակուսի (10+11+6+7), քառակուսի ից

անկյունային բջիջներ (16+13+4+1):

Ցանկացած 4x4 կախարդական քառակուսի կառուցելու համար անհրաժեշտ է՝ կառուցեք մեկը

34 հաստատունով:

Օրինակ.Կառուցեք նոր տարբեր 4 x 4 կախարդական քառակուսիներ:

Լուծում.

Գտնված յուրաքանչյուր թվի գումարում

կախարդական քառակուսի 4 x 4 կամ

բազմապատկելով այն նույն թվով,

ստացեք նոր կախարդական հրապարակ:

Օրինակ.Կառուցեք կախարդական

4 x 4 քառակուսի, որն ունի կախարդանք

հաստատունը 46 է։

Լուծում.Կառուցել է ծանոթ կախարդական

34 հաստատունով քառակուսի:

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Կախարդական քառակուսու յուրաքանչյուր թվին

եկեք ավելացնենք 3.

Նախքան 4 x 4 կախարդական քառակուսիների վրա ավելի բարդ օրինակներ լուծելը, նորից ստուգեք այն հատկությունները, որոնք նա ունի, եթե M = 34:

Օրինակներ. 1. Լրացրեք կախարդական քառակուսի բջիջները մոգությամբ

հաստատուն M =38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

բ = 38-(11+7+16)=4 դ = 38-(5+7+12)=14 գ = 38-(6+11+12)=9

սեփականություն 1,3,1 հատկություններ 2,1,1 տ =38-(14+9+13)=2

հատկություններ 1,1,1,1

Պատասխանել.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Լրացրեք կախարդական քառակուսի բջիջները, եթե կախարդանքը հայտնի է

մշտական

K = 46 K = 58 K = 62

Հանդիպեք 5x5 և 6x6 կախարդական քառակուսիներին

Կախարդական քառակուսիների մի քանի տարբեր դասակարգումներ կան:

հինգերորդ կարգը, որը նախատեսված է դրանք ինչ-որ կերպ համակարգելու համար: Գրքում

Մարտին Գարդներ [GM90, pp. 244-345] նկարագրում է այս մեթոդներից մեկը.

ըստ կենտրոնական հրապարակի թվի։ Մեթոդը հետաքրքիր է, բայց ոչ ավելին:

Վեցերորդ կարգի քանի քառակուսի գոյություն ունի դեռևս անհայտ է, բայց կան մոտավորապես 1,77 x 1019: Թիվը հսկայական է, ուստի սպառիչ որոնման միջոցով դրանք հաշվելու հույս չկա, բայց ոչ ոք չկարողացավ գտնել կախարդական քառակուսիների հաշվարկման բանաձև:

Ինչպե՞ս պատրաստել կախարդական քառակուսի:

Կախարդական քառակուսիներ կառուցելու բազմաթիվ եղանակներ կան: Կախարդական քառակուսիներ պատրաստելու ամենահեշտ ձևը տարօրինակ կարգ. Մենք կկիրառենք 17-րդ դարի ֆրանսիացի գիտնականի առաջարկած մեթոդը A. de la Louber (De La Loubère).Այն հիմնված է հինգ կանոնների վրա, որոնց գործողությունը մենք կքննարկենք ամենապարզ կախարդական քառակուսի 3 x 3 բջիջների վրա:

Կանոն 1. Առաջին շարքի միջին սյունակում դրեք 1-ը (նկ. 5.7):

Բրինձ. 5.7. Առաջին համարը

Կանոն 2. Հաջորդ թիվը, հնարավորության դեպքում, դրեք ընթացիկին կից բջիջում՝ անկյունագծով դեպի աջ և վեր (նկ. 5.8):

Բրինձ. 5.8. Փորձում ենք դնել երկրորդ համարը

Կանոն 3. Եթե նոր բջիջը դուրս է գալիս վերևի քառակուսու սահմաններից, ապա թիվը գրեք հենց ներքևի տողում և հաջորդ սյունակում (նկ. 5.9):

Բրինձ. 5.9. Մենք դնում ենք երկրորդ համարը

Կանոն 4. Եթե բջիջը դուրս է գալիս աջ կողմի քառակուսու սահմաններից, ապա թիվը գրեք հենց առաջին սյունակում և նախորդ տողում (նկ. 5.10):

Բրինձ. 5.10. Մենք դնում ենք երրորդ համարը

Կանոն 5. Եթե բջիջն արդեն զբաղված է, ապա ընթացիկ բջիջի տակ գրեք հաջորդ թիվը (նկ. 5.11):

Բրինձ. 5.11. Մենք դնում ենք չորրորդ թիվը

Բրինձ. 5.12. Մենք դնում ենք հինգերորդ և վեցերորդ թիվը

Կրկին հետևեք 3, 4, 5 կանոններին, մինչև լրացնեք ամբողջ քառակուսին (նկ.

Չէ՞ որ կանոնները շատ պարզ ու հստակ են, բայց նույնիսկ 9 թվեր դասավորելը դեռ բավականին հոգնեցուցիչ է։ Սակայն, իմանալով կախարդական քառակուսիների կառուցման ալգորիթմը, մենք հեշտությամբ կարող ենք համակարգչին վստահել բոլոր առօրյա աշխատանքները՝ մեզ թողնելով միայն ստեղծագործական աշխատանք, այսինքն՝ ծրագիր գրելը։

Բրինձ. 5.13. Լրացրո՛ւ հրապարակը հետևյալ թվերով

Project Magic Squares (Magic)

Ծրագրի համար նախատեսված դաշտ կախարդական հրապարակներմիանգամայն ակնհայտ.

// ԾՐԱԳԻՐ ՍԵՐՆԴԻ ՀԱՄԱՐ

// ԿՈՆԱԿԱՆ ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

// ԴԵ ԼԱ ԼՈՒԲԵՐՏԻ ՄԵԹՈԴՈՎ

հանրային մասնակի դաս Ձև 1. Ձև

//Մաքս. քառակուսի չափսեր՝ const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // քառակուսի կարգ int [,] mq; // կախարդական քառակուսի

int համարը=0; // ընթացիկ թիվը քառակուսի

intcol=0; // ընթացիկ սյունակ int տող=0; // ընթացիկ գիծ

De la Louber մեթոդը հարմար է ցանկացած չափի կենտ քառակուսիներ պատրաստելու համար, այնպես որ մենք կարող ենք թույլ տալ օգտվողին ընտրել քառակուսիների հերթականությունը՝ միաժամանակ ողջամտորեն սահմանափակելով ընտրության ազատությունը մինչև 27 բջիջ:

Այն բանից հետո, երբ օգտագործողը սեղմում է բաղձալի կոճակը btnGen Generate! , btnGen_Click մեթոդը ստեղծում է զանգված՝ թվերը պահելու համար և անցնում է գեներացնող մեթոդին՝

// ՍԵՂՄԵՔ «ՍՏԵՂԾԵԼ» կոճակը

private void btnGen_Click(օբյեկտ ուղարկող, EventArgs e)

//հրապարակի կարգը:

n = (int)udNum.Value;

//ստեղծել զանգված.

mq = նոր int;

//գեներացնել կախարդական քառակուսի. առաջացնել();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Այստեղ մենք սկսում ենք գործել ըստ դե լա Լուբերի կանոնների և հրապարակի առաջին շարքի (կամ զանգվածի, եթե ցանկանում եք) միջին բջիջում գրել առաջին թիվը՝ մեկ.

//Ստեղծեք կախարդական քառակուսի void generate()(

//առաջին համարը՝ համար=1;

//սյունակ առաջին համարի համար - միջին. col = n / 2 + 1;

//տող առաջին համարի համար - առաջինը՝ տող=1;

//քառակուսի այն՝ mq= թիվ;

Այժմ մենք հաջորդաբար ավելացնում ենք բջիջների մնացած բջիջները՝ երկուսից մինչև n * n:

// անցնել հաջորդ համարին.

Մենք հիշում ենք, ամեն դեպքում, բուն բջջի կոորդինատները

int tc=col; int tr = տող;

և անցեք հաջորդ բջիջը անկյունագծով.

Մենք ստուգում ենք երրորդ կանոնի կատարումը.

եթե (շար< 1) row= n;

Եվ հետո չորրորդը.

if (col > n) (col=1;

goto կանոն3;

Եվ հինգերորդ.

եթե (mq != 0) (col=tc;

տող=tr+1; goto կանոն3;

Ինչպե՞ս իմանանք, որ քառակուսի վանդակում արդեն թիվ կա։ - Շատ պարզ. մենք խելամտորեն գրել ենք զրոներ բոլոր վանդակներում, իսկ ավարտված քառակուսու թվերը զրոյից մեծ են: Այսպիսով, զանգվածի տարրի արժեքով մենք անմիջապես կորոշենք՝ բջիջը դատարկ է, թե արդեն թվով: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ մեզ անհրաժեշտ են այն բջիջների կոորդինատները, որոնք մենք հիշում էինք հաջորդ համարի բջիջը փնտրելուց առաջ:

Վաղ թե ուշ մենք կգտնենք թվի համար համապատասխան բջիջ և կգրենք այն համապատասխան զանգվածի բջիջում.

//քառակուսի: mq = թիվ;

Փորձեք մեկ այլ եղանակ կազմակերպել անցման թույլատրելիության ստուգումը

վայ բջիջ!

Եթե ​​այս համարը վերջինն էր, ապա ծրագիրը կատարել է իր պարտավորությունները, հակառակ դեպքում կամովին անցնում է բջջի տրամադրմանը հետևյալ համարով.

//եթե ոչ բոլոր թվերն են սահմանված, ապա եթե (համար< n*n)

//գնալ հաջորդ համարին. goto nextNumber;

Եվ հիմա հրապարակը պատրաստ է: Մենք հաշվարկում ենք դրա կախարդական գումարը և տպում այն ​​էկրանին.

) //առաջացնել ()

Զանգվածի տարրերը տպելը շատ պարզ է, բայց կարևոր է հաշվի առնել տարբեր «երկարությունների» թվերի հավասարեցումը, քանի որ քառակուսին կարող է պարունակել մեկ, երկնիշ և եռանիշ թվեր.

//Տպել կախարդական քառակուսի void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Գույն .Սև;

string s = "Magic sum =" + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// տպել կախարդական քառակուսին. for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

համար (int j= 1; j<= n; ++j){

եթե (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && մք< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Մենք գործարկում ենք ծրագիրը. քառակուսիները ձեռք են բերվում արագ և զվարճանում են աչքերի համար (նկ.

Բրինձ. 5.14. Բավական քառակուսի՜

Ս.Գուդմանի, Ս.Հիդետնիեմիի գրքումԱլգորիթմների մշակման և վերլուծության ներածություն

mov , 297-299 էջերում մենք կգտնենք նույն ալգորիթմը, բայց «կրճատված» ներկայացմամբ։ Այն այնքան էլ «թափանցիկ» չէ, որքան մեր տարբերակը, բայց ճիշտ է աշխատում։

Ավելացնել կոճակ btnGen2 Generate 2! և գրիր ալգորիթմը լեզվով

C-sharp դեպի btnGen2_Click մեթոդ.

//Ալգորիթմ ODDMS

private void btnGen2_Click(օբյեկտ ուղարկող, EventArgs e)

//քառակուսու կարգը՝ n = (int )udNum.Value;

//ստեղծել զանգված.

mq = նոր int;

//գեներացնել կախարդական քառակուսի` int row = 1;

int col = (n+1)/2;

համար (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; եթե (i % n == 0)

եթե (տող == 1) տող = n;

եթե (col == n) col = 1;

//քառակուսի ավարտված է. writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Մենք սեղմում ենք կոճակը և համոզվում, որ «մեր» քառակուսիները ստեղծվել են (նկ.

Բրինձ. 5.15. Հին ալգորիթմը նոր կերպարանքով

«Թիվ 41 գիմնազիա» քաղաքային ուսումնական հաստատություն.

կախարդական հրապարակներ

Վերահսկիչ՝ ,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Նովուրալսկ, 2012 թ

Ներածություն 3

1. Ընդհանուր տեղեկություններ կախարդական քառակուսիների մասին 4

1.1. Կախարդական քառակուսի հայեցակարգ 4

1.2. Կախարդական քառակուսիների պատմությունից 4

1.3. Կախարդական քառակուսիների տեսակները 6

2. Կախարդական քառակուսիների լուծում 6

2.1. Կախարդական քառակուսիների լուծում (Բաշետ դե Մեզիրակի մեթոդ) 7

2.2. Խնդրի հայտարարություն 8

2.3. Կախարդական քառակուսիների լուծման ալգորիթմ 8

2.4. Ալգորիթմի ապացույց (հանրահաշվական ձևով) 9

2.5. Ալգորիթմ 10-ի միջոցով կախարդական քառակուսի լուծելու օրինակ

3. Կախարդական քառակուսիների օգտագործում 11

3.1. Կախարդական քառակուսիների ընդհանրացման տարբեր դեպքեր 11

3.2. Լատինական քառակուսիների կիրառում 12

4. Ընդհանուր եզրակացություններ 13

5. Եզրակացություն 14

6. Հղումներ 15

Հավելված 1

Հավելված 2

Հավելված 3

Ներածություն

Մաթեմատիկական շրջանի դասերին հանդիպեցինք հատուկ կանոններով հրապարակի վանդակները լրացնելու հետ կապված խնդիրների։ Առաջարկվող թվերը պետք է մուտքագրվեին այնպես, որ արդյունքը բավարարի միանգամից մի քանի պայմանների.

Եթե ​​յուրաքանչյուր տողում գումարեք բոլոր թվերը,

Եթե ​​գումարեք յուրաքանչյուր սյունակի բոլոր թվերը,

Եթե ​​բոլոր թվերը գումարեք երկու անկյունագծով,

ապա այս բոլոր գումարները հավասար կլինեն նույն թվին։

Չնայած նրան, որ խնդիրները տարբերվում էին սկզբնական թվերով, թվերի հերթականությամբ, տրված գումարով, դրանք բոլորը նման էին, իսկ լուծումները՝ նույն տեսակի։

Գաղափարն առաջացել է ոչ միայն յուրաքանչյուր առաջադրանք լուծելու, այլև լուծման ընդհանուր ալգորիթմ ստեղծելու, ինչպես նաև գրականության մեջ այս տեսակի խնդիրների մասին պատմական տեղեկություններ գտնելու համար։

Պարզվեց, որ մեզ հետաքրքրող ֆիգուրները կոչվում են հնագույն ժամանակներից հայտնի կախարդական քառակուսիներ։ Դրանք կքննարկվեն աշխատանքում։

Նպատակը:համակարգել կախարդական քառակուսիների մասին տեղեկատվությունը, մշակել դրանք լուծելու ալգորիթմ:

Առաջադրանքներ:

1. Ուսումնասիրեք կախարդական քառակուսիների առաջացման պատմությունը:

2. Բացահայտեք կախարդական քառակուսիների տեսակները:

3. Իմացեք, թե ինչպես լուծել կախարդական քառակուսիները:

4. Մշակեք և ապացուցեք ձեր լուծման ալգորիթմը:

5. Որոշեք կախարդական քառակուսիների օգտագործումը:

1. Ընդհանուր տեղեկություններ կախարդական քառակուսիների մասին

1.1. Կախարդական քառակուսի հայեցակարգը

Կախարդական հրապարակները շատ տարածված են նույնիսկ այսօր: Սրանք քառակուսիներ են, որոնց յուրաքանչյուր բջիջում թվերը գրված են այնպես, որ ցանկացած հորիզոնական, ցանկացած ուղղահայաց և ցանկացած անկյունագծով թվերի գումարները հավասար լինեն: Ամենահայտնին գերմանացի նկարիչ Ա.Դյուրերի «Մելանխոլիա» (Հավելված 1) փորագրության վրա պատկերված կախարդական քառակուսին է։

1.2. Կախարդական հրապարակների պատմությունից

Թվերն այնքան են մտել մարդու կյանք, որ սկսել են նրանց վերագրել ամեն տեսակ կախարդական հատկություններ։ Արդեն մի քանի հազար տարի առաջ Հին Չինաստանում նրանց տարել էին կախարդական քառակուսիներ գծելով: Չինաստանում և Հնդկաստանում հնագիտական ​​պեղումների ժամանակ հայտնաբերվել են քառակուսի ամուլետներ։ Քառակուսին բաժանված էր ինը փոքր քառակուսուների, որոնցից յուրաքանչյուրում գրված էին 1-ից 9 թվերը։Հատկանշական է, որ բոլոր թվերի գումարները ցանկացած ուղղահայաց, հորիզոնական և անկյունագծով հավասար էին նույն 15 թվին (Նկար 1)։

Նկար 1.

Կախարդական հրապարակները շատ տարածված էին միջնադարում: Կախարդական հրապարակներից մեկը պատկերված է գերմանացի հայտնի նկարիչ Ալբրեխտ Դյուրերի «Մելանխոլիա» փորագրության մեջ։ Քառակուսու 16 բջիջները պարունակում են 1-ից մինչև 16 թվեր, իսկ բոլոր ուղղություններով թվերի գումարը 34 է։ Հետաքրքիր է, որ ներքևի տողի մեջտեղի երկու թվերը ցույց են տալիս նկարի ստեղծման տարին՝ 1514։ կախարդական քառակուսիները մաթեմատիկոսների շրջանում տարածված ժամանց էին, ստեղծվեցին հսկայական քառակուսիներ, օրինակ՝ 43x43, որոնք պարունակում էին 1-ից մինչև 1849 թվեր, և բացի կախարդական քառակուսիների նշված հատկություններից, նրանք ունեն նաև բազմաթիվ լրացուցիչ հատկություններ: Ստեղծվել են ցանկացած չափի կախարդական քառակուսիներ կառուցելու ուղիներ, սակայն մինչ այժմ չի գտնվել որևէ բանաձև, որով կարելի է գտնել տվյալ չափի կախարդական քառակուսիների թիվը: Հայտնի է, և դուք հեշտությամբ կարող եք դա ցույց տալ, որ 2x2 կախարդական քառակուսիներ չկան, կա ուղիղ մեկ 3x3 կախարդական քառակուսի, մնացած նման քառակուսիները ստացվում են դրանից պտույտներով և համաչափություններով: Արդեն կա 800 4x4 կախարդական քառակուսի, իսկ 5x5 քառակուսիների թիվը մոտ է քառորդ միլիոնին։

1.3. Կախարդական քառակուսիների տեսակները

Կախարդական(կախարդական քառակուսի) n 2 թիվ այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, յուրաքանչյուր սյունակի և երկու անկյունագծերի թվերի գումարը նույնն է:

կիսակախարդական քառակուսիէ nxn քառակուսի աղյուսակը լցված n 2 թիվ այնպես, որ թվերի գումարները հավասար լինեն միայն տողերում և սյունակներում:

Նորմալկախարդական քառակուսի է, որը լցված է 1-ից մինչև ամբողջ թվերով n 2.

Ասոցիատիվ (սիմետրիկ) -կախարդական քառակուսի, որում հրապարակի կենտրոնի նկատմամբ սիմետրիկորեն տեղակայված ցանկացած երկու թվերի գումարը հավասար է n 2 + 1.

Սատանայական (պանդիագոնալ) կախարդական քառակուսի- կախարդական քառակուսի, որում կոտրված անկյունագծերի երկայնքով թվերի գումարները (անկյունագծերը, որոնք ձևավորվում են, երբ քառակուսին ծալվում է տորուսի մեջ) երկու ուղղություններով նույնպես համընկնում են կախարդական հաստատունի հետ:

Կան 48 4x4 սատանայի կախարդական քառակուսիներ, որոնք ճշգրիտ են պտույտների և արտացոլումների համար: Եթե ​​հաշվի առնենք նաև դրանց լրացուցիչ համաչափությունը՝ տորիկ զուգահեռ թարգմանությունները, ապա կմնան միայն 3 էապես տարբեր քառակուսիներ (Նկար 2):

Նկար 2.

Չորրորդ կարգի պանդիագոնալ քառակուսիները ունեն մի շարք լրացուցիչ հատկություններ, որոնց համար կոչվում են կատարված. Կենտ կարգի կատարյալ քառակուսիներ գոյություն չունեն: 4-ից բարձր կրկնակի հավասարության պանդիագոնալ քառակուսիների մեջ կան կատարյալներ:

Կան հինգերորդ կարգի 3600 պանդիանկյուն քառակուսիներ։Հաշվի առնելով տորական զուգահեռ թարգմանությունները՝ կան 144 տարբեր պանդիանկյուն քառակուսիներ։

2.Կախարդական քառակուսիների լուծում

2.1 Կախարդական քառակուսիների լուծում (Բախեր դե Մեզիրաքի մեթոդ)

Կախարդական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիաների՝ կախված նրանից, թե քառակուսիների հերթականությունը կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնակի կամ կենտ թվի քառապատիկին։ Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդը անհայտ է, թեև լայնորեն կիրառվում են տարբեր սխեմաներ: Հնարավոր է գտնել n կարգի բոլոր կախարդական քառակուսիները միայն n ≤ 4-ի համար:

Կամայական մեծ չափերի նորմալ կախարդական քառակուսիներ լուծելու համար մենք օգտագործում ենք ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Կլոդ Բաշետ դե Մեզիրաքի 1612 թվականին նկարագրված մեթոդը։ Նրա գրքի ռուսերեն թարգմանությունը տպագրվել է Սանկտ Պետերբուրգում 1877 թվականին՝ «Խաղեր և խնդիրներ՝ հիմնված մաթեմատիկայի վրա» վերնագրով։

Հարմար է քառակուսի թղթի վրա կախարդական քառակուսի կառուցել։ Թող n-ը լինի կենտ թիվ, և դուք պետք է 1-ից մինչև n2 թվերով nxn քառակուսի կառուցեք, մենք քայլ առ քայլ ենք անում:

1. 1-ից մինչև n2 բոլոր թվերը վանդակների մեջ գրում ենք անկյունագծով (n թիվ անընդմեջ), որպեսզի ձևավորվի շեղանկյուն քառակուսի:

2. Ընտրեք nxn քառակուսի իր կենտրոնում: Սա ապագա կախարդական հրապարակի հիմքն է (դեռ ոչ բոլոր բջիջներն են լցված):

3. Կենտրոնական հրապարակից դուրս գտնվող յուրաքանչյուր թվային «անկյուն» խնամքով տեղափոխվում է դեպի ներս՝ հրապարակի հակառակ կողմ: Այս անկյունների համարները պետք է լրացնեն բոլոր դատարկ բջիջները: Կառուցված է կախարդական հրապարակը։

Բերենք 3x3 քառակուսի 1-ից 9-ը թվերով լրացնելու օրինակ: Դա անելու համար քառակուսին ավելացրե՛ք լրացուցիչ բջիջներ՝ շեղանկյուններ ստանալու համար: Նախ, անկյունագծային բջիջները լրացրեք 1-ից 9 թվերով (Նկար 3), այնուհետև «անկյունները ծալեք» քառակուսու դատարկ բջիջների մեջ դեպի ներս՝ դեպի հակառակ կողմը (Նկար 4):

Նկար 3. Նկար 4.

2.2. Խնդրի ձևակերպում.

Եկեք նկարագրենք կախարդական քառակուսիների լուծման մեր սեփական ձևը: Եկեք անդրադառնանք 3x3 կախարդական քառակուսիների մաթեմատիկական մոդելի ուսումնասիրությանը:

Խնդրի ընդհանուր ձևակերպում.

Կան ինը համարներ: Անհրաժեշտ է դրանք դասավորել 3x3 քառակուսի բջիջներում, որպեսզի ցանկացած ուղղահայաց, հորիզոնական և անկյունագծային գծերի երկայնքով թվերի գումարները հավասար լինեն:

2.3. Կախարդական քառակուսի ալգորիթմ

Ալգորիթմի բանավոր նկարագրություն

1. Թվերը դասակարգել աճման կարգով:

2. Գտի՛ր կենտրոնական թիվը (հինգերորդը հերթականությամբ):

3. Կանոնով որոշի՛ր զույգեր՝ 1 զույգ՝ առաջին թիվը և իններորդը,

2 զույգ - երկրորդ համարը և ութերորդը,

3 զույգ - երրորդ համարը և յոթերորդը,

4 զույգ - չորրորդ համարը և վեցերորդը:

4. Պարզիր թվերի գումարը (S), որը պետք է ստացվի՝ յուրաքանչյուր ուղղահայաց, հորիզոնական, անկյունագծով թվեր գումարելով՝ գումարի՛ր ամենափոքր, կենտրոնական, ամենամեծ թիվը, այսինքն՝ կենտրոնական թվով զույգի 1 թիվը։

5. Կենտրոնական թիվը դրե՛ք հրապարակի կենտրոնում։

6. Կենտրոնական հորիզոնական (կամ ուղղահայաց) ազատ բջիջներում մուտքագրեք թվերի առաջին զույգը:

7. Թվերի երկրորդ զույգը գրի՛ր ցանկացած անկյունագծով (որպեսզի առաջին զույգի ավելի մեծ թիվը լինի երկրորդ զույգի փոքր թվով սյունակում):

8. Հաշվի՛ր ծայրահեղ սյունակներից մեկում գրվող թիվը՝ համաձայն կանոնի.

S-ից հանեք սյունակի բջիջներում պարունակվող երկու թվերի գումարը, ստացեք թիվը։

9. Ստացված թվին անկյունագծով գրի՛ր նրա զույգի երկրորդ թիվը։

10. Մնացած բջիջներում թվերի վերջին զույգը մուտքագրեք ըստ կանոնի՝ փոքրի հետ տողում գտնվող զույգից ավելի մեծ թիվը, իսկ մնացած դատարկ վանդակում փոքր թիվը:

2.4. Կախարդական հրապարակը լրացնելու ճիշտության ապացույց

(Խնդրի լուծումը ընդհանուր ձևով)

Մենք կապացուցենք, որ ալգորիթմի արդյունքում քառակուսու ուղղահայաց, հորիզոնական և անկյունագծով տեղակայված թվերի գումարները հավասար կլինեն։

Թող պատվիրելուց հետո յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ նախորդից տարբերվի հաստատուն արժեքով X. Եկեք արտահայտենք բոլոր թվերը թվերով ա1(ամենափոքր թիվը) և X:

a1, a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

ա9 = ա1 +8 x.

Գտնենք գումարը Սև արտահայտիր այն թվերով ա1և X: Ս= ա1 + ա5 + ա9 =3 ա1 +12 x.

Թող կախարդական քառակուսին լրացվի առաջարկվող ալգորիթմի համաձայն:

Փաստենք, որ քառակուսու հորիզոնական, ուղղահայաց և անկյունագծով տեղակայված թվերի գումարները հավասար են Ս.

Ուղղահայաց՝

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Հորիզոնական:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Անկյունագծով.

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3ա1 +12x=Ս

Նույնքան էլ ստացանք։ Պնդումն ապացուցված է.

Նշում.

Այս կերպ կազմակերպված թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց։ Այս հաջորդականությամբ (պատվիրելուց հետո) a1-ը թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամն է, x-ը՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը։ Թվերի համար, որոնք թվաբանական պրոգրեսիա չեն կազմում, ալգորիթմը չի աշխատում։

2.5. Կախարդական քառակուսիների լուծման օրինակ

Տրված թվեր՝ 5,2,4,8,1,3,7,9,6։ Լրացրո՛ւ կախարդական քառակուսին տրված թվերով։

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Ստացա կենտրոնական թիվ 5:

3. Զույգեր՝ 1 և 9, 2 և 8, 3 և 7, 4 և 6։

4.S=5+1+9= 15 - գումար.

8. 15-(9+2)=4

Այս ալգորիթմը զգալիորեն տարբերվում է Bachet de Meziriac մեթոդից։ Մի կողմից՝ այն պահանջում է լրացուցիչ հաշվարկներ (մեթոդի թերություն), մյուս կողմից՝ մեր մեթոդը չի պահանջում լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ (անկյունագծային քառակուսի)։ Ավելին, մեթոդը կիրառելի է ոչ միայն 1-ից 9-ը հաջորդող բնական թվերի, այլ նաև թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ հանդիսացող ցանկացած ինը թվերի համար, որոնցում մենք տեսնում ենք դրա առավելությունները: Բացի այդ, ավտոմատ կերպով որոշվում է կախարդական հաստատուն՝ յուրաքանչյուր անկյունագծով, ուղղահայաց, հորիզոնական թվերի գումարը:

3. Կախարդական քառակուսիների օգտագործումը

3.1. Կախարդական քառակուսիների ընդհանրացման տարբեր դեպքեր

Կախարդական քառակուսիներ կազմելու և նկարագրելու խնդիրները հնագույն ժամանակներից հետաքրքրել են մաթեմատիկոսներին։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր կախարդական հրապարակների բոլոր նշաձողերի ամբողջական նկարագրությունը մինչ օրս չի ստացվել: Քանի որ քառակուսու չափը (բջիջների թիվը) մեծանում է, հնարավոր կախարդական քառակուսիների թիվը արագորեն աճում է: Մեծ քառակուսիների մեջ կան հետաքրքիր հատկություններով հրապարակներ։ Օրինակ՝ թիվ 5 նկարի քառակուսու վրա հավասար են ոչ միայն տողերի, սյունակների և անկյունագծերի թվերի գումարները, այլև նկարում գունավոր գծերով միացված «կոտրված» անկյունագծերի երկայնքով հինգերի գումարները։

Նկար 5. Նկար 6.

Լատինական քառակուսին n x n բջիջներից բաղկացած քառակուսի է, որում գրված են 1, 2, ..., n թվերը, ընդ որում, այնպես, որ այս բոլոր թվերը յուրաքանչյուր տողում և սյունակում մեկ անգամ են լինում։ (Նկար 6) վրա պատկերված են 4x4 նման երկու լատինական քառակուսիներ: Նրանք ունեն մի հետաքրքիր առանձնահատկություն. եթե մի քառակուսին դրվում է մյուսի վրա, ապա ստացված թվերի բոլոր զույգերը տարբեր են լինում։ Լատինական քառակուսիների նման զույգերը կոչվում են ուղղանկյուն։ Ուղղանկյուն լատինատառ քառակուսիներ գտնելու խնդիրն առաջին անգամ դրել է Լ. Էյլերը, և այսպիսի զվարճալի ձևակերպմամբ. գնդապետներ, մայորներ, կապիտաններ, լեյտենանտներ և երկրորդ լեյտենանտներ, իսկ ծառայության յուրաքանչյուր ճյուղ ներկայացված է բոլոր վեց աստիճանի սպաներով: Հնարավո՞ր է արդյոք այս սպաներին 6x6 քառակուսու վրա այնպես դասավորել, որ բոլոր աստիճանների սպաները հանդիպեն ցանկացած սյունակում: (Հավելված 2):

Լ.Էյլերը չկարողացավ լուծում գտնել այս խնդրին։ 1901 թվականին ապացուցվեց, որ նման լուծում գոյություն չունի։

3.2. Լատինական քառակուսիների կիրառում

Կախարդական և լատինական քառակուսիները մերձավոր ազգականներ են: Լատինական քառակուսիների տեսությունը բազմաթիվ կիրառություններ է գտել ինչպես բուն մաթեմատիկայի, այնպես էլ դրա կիրառման մեջ։ Օրինակ բերենք. Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք փորձարկել ցորենի երկու սորտերի արտադրողականությունը տվյալ տարածքում, և ցանկանում ենք հաշվի առնել մշակաբույսերի նոսրության աստիճանի և երկու տեսակի պարարտանյութերի ազդեցությունը։ Դա անելու համար մենք քառակուսի հատվածը բաժանում ենք 16 հավասար մասերի (Նկար 7): Ցորենի առաջին տեսակը կտնկենք ստորին հորիզոնական շերտին համապատասխան հողատարածքների վրա, հաջորդ սորտը կտնկենք հաջորդ շերտին համապատասխան չորս հողամասերի վրա և այլն (նկարում սորտը նշված է գույնով):

Գյուղատնտեսություն" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">գյուղատնտեսություն, ֆիզիկա, քիմիա և տեխնոլոգիա.

4. Ընդհանուր եզրակացություններ

Աշխատանքի ընթացքում ծանոթացա կախարդական քառակուսիների տարբեր տեսակների հետ, սովորեցի, թե ինչպես լուծել նորմալ կախարդական քառակուսիներ Բաշետ դե Մեզիրաքի մեթոդով։ Քանի որ 3x3 կախարդական քառակուսիների մեր լուծումը տարբերվում էր նշված մեթոդից, բայց ամեն անգամ, երբ դա մեզ թույլ էր տալիս ճիշտ լրացնել քառակուսի բջիջները, ցանկություն առաջացավ մշակել մեր սեփական ալգորիթմը։ Այս ալգորիթմը մանրամասն նկարագրված է աշխատության մեջ՝ ապացուցված հանրահաշվական ձևով։ Պարզվեց, որ դա վերաբերում է ոչ միայն նորմալ, այլև 3x3 քառակուսիներին, որտեղ թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց։ Մեզ հաջողվեց գտնել նաև կախարդական և լատինական քառակուսիների կիրառման օրինակներ։

Ես սովորեցի՝ լուծել մի քանի կախարդական քառակուսիներ, մշակել և նկարագրել ալգորիթմներ, ապացուցել պնդումները հանրահաշվական ձևով: Սովորեցի նոր հասկացություններ՝ թվաբանական պրոգրեսիա, կախարդական քառակուսի, կախարդական հաստատուն, ուսումնասիրեցի քառակուսիների տեսակները:

Ցավոք, ոչ իմ մշակած ալգորիթմը, ոչ էլ Բաշետ դե Մեզիրաքի մեթոդը չեն կարող լուծել 4x4 կախարդական քառակուսիներ: Ուստի ես ուզում էի հետագայում մշակել նման քառակուսիների լուծման ալգորիթմ:

5. Եզրակացություն

Այս աշխատանքում ուսումնասիրվել են կախարդական հրապարակները, դիտարկվել դրանց ծագման պատմությունը։ Սահմանվեցին կախարդական քառակուսիների տեսակները՝ կախարդական կամ կախարդական քառակուսի, կիսակախարդական քառակուսի, նորմալ, ասոցիատիվ, դիվային կախարդական քառակուսի, կատարյալ։

Դրանց լուծման առկա մեթոդներից ընտրվել է Բաշե դե Մեզիրիակի մեթոդը, այն փորձարկվել է օրինակների վրա։ Բացի այդ, 3x3 կախարդական քառակուսիներ լուծելու համար առաջարկվում է լուծման սեփական ալգորիթմ, և տրված է մաթեմատիկական ապացույց հանրահաշվական տեսքով։

Առաջարկվող ալգորիթմը զգալիորեն տարբերվում է Bacher de Meziriac մեթոդից։ Այն մի կողմից պահանջում է լրացուցիչ հաշվարկներ (մեթոդի թերություն), մյուս կողմից՝ լրացուցիչ կոնստրուկցիաների կարիք չկա։ Մեթոդը կիրառելի է ոչ միայն 1-ից 9-ը հաջորդող բնական թվերի, այլ նաև թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ հանդիսացող ցանկացած ինը թվերի համար, որոնցում մենք տեսնում ենք դրա առավելությունները։ Բացի այդ, ավտոմատ կերպով որոշվում է կախարդական հաստատուն՝ յուրաքանչյուր անկյունագծով, ուղղահայաց, հորիզոնական թվերի գումարը:

Աշխատանքում ներկայացված է կախարդական քառակուսիների՝ լատինական քառակուսիների ընդհանրացում և նկարագրվում է դրանց գործնական կիրառությունը։

Այս աշխատանքը կարող է օգտագործվել մաթեմատիկայի դասերին որպես լրացուցիչ նյութ, ինչպես նաև դասարանում և սովորողների հետ անհատական ​​աշխատանքում։

6. Հղումներ

1. Թվերի աշխարհի հանելուկներ / Կոմպ. - Դ .: Stalker, 1997.-448s.

2. Երիտասարդ մաթեմատիկոսի հանրագիտարանային բառարան / Comp. - Մ .: Մանկավարժություն, 1989 - 352 էջ: հիվանդ.

3. Հանրագիտարան երեխաների համար. T11. Մաթեմատիկա / Գլուխ. խմբ. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: հիվանդ:

4. Ես ճանաչում եմ աշխարհը. Մանկական հանրագիտարան. Մաթեմատիկա / Կոմպ. - և ուրիշներ - Մ.՝ ԱՍՏ, 1996. - 480-ական թթ.՝ հիվանդ.

Կախարդական հրապարակ,ամբողջ թվերի քառակուսի աղյուսակ, որտեղ ցանկացած տողի, ցանկացած սյունակի և երկու հիմնական անկյունագծերի երկայնքով թվերի գումարները հավասար են նույն թվին:

Կախարդական հրապարակը հին չինական ծագում ունի։ Ըստ լեգենդի՝ Յու կայսրի օրոք (մ.թ.ա. մոտ 2200 թ.) Դեղին գետի ջրերից դուրս է եկել մի սուրբ կրիա, որի պատյանի վրա գրված են եղել առեղծվածային հիերոգլիֆներ (նկ. 1. ա), և այս նշանները հայտնի են որպես lo-shu և համարժեք են նկ. մեկ, բ. 11-րդ դարում նրանք կախարդական հրապարակների մասին իմացան Հնդկաստանում, իսկ հետո Ճապոնիայում, որտեղ 16-րդ դ. Կախարդական քառակուսիները եղել են լայնածավալ գրականության թեմա: Նա եվրոպացիներին ներկայացրեց կախարդական հրապարակները 15-րդ դարում: Բյուզանդացի գրող Է.Մոսխոպուլոս. Եվրոպացու հորինած առաջին հրապարակը Ա. Դյուրերի հրապարակն է (նկ. 2), որը պատկերված է նրա հայտնի փորագրության վրա։ Մելամաղձություն 1. Ներքեւի տողի երկու կենտրոնական վանդակներում թվերով նշվում է փորագրության ամսաթիվը (1514թ.): Կախարդական քառակուսիներին վերագրվում էին տարբեր առեղծվածային հատկություններ: 16-րդ դարում Կոռնելիուս Հենրիխ Ագրիպպան կառուցեց 3-րդ, 4-րդ, 5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ կարգերի քառակուսիներ, որոնք կապված էին 7 մոլորակների աստղագիտության հետ։ Կար համոզմունք, որ արծաթի վրա փորագրված կախարդական քառակուսին պաշտպանված է ժանտախտից։ Այսօր էլ եվրոպացի գուշակների ատրիբուտներից կարելի է տեսնել կախարդական քառակուսիներ։

19-րդ և 20-րդ դարերում Կախարդական հրապարակների նկատմամբ հետաքրքրությունը բռնկվեց նոր ուժով: Դրանք սկսեցին ուսումնասիրվել՝ օգտագործելով բարձրագույն հանրահաշվի և գործառնական հաշվարկի մեթոդները։

Կախարդական քառակուսու յուրաքանչյուր տարր կոչվում է բջիջ: Քառակուսի, որի կողմն է nբջիջներ, պարունակում է n 2 բջիջ և կոչվում է քառակուսի n-րդ կարգը. Կախարդական քառակուսիներից շատերն օգտագործում են առաջինը nհաջորդական բնական թվեր. Գումար ՍԹվերը յուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունակում և ցանկացած անկյունագծի վրա կոչվում է քառակուսի հաստատուն և հավասար է Ս = n(n 2 + 1)/2. Դա ապացուցեց n i 3. 3 կարգի քառակուսու համար Ս= 15, 4-րդ կարգ - Ս= 34, 5-րդ կարգ - Ս = 65.

Քառակուսու կենտրոնով անցնող երկու անկյունագծերը կոչվում են հիմնական անկյունագծեր։ Կտրված գիծը այն անկյունագիծն է, որը, հասնելով քառակուսու եզրին, շարունակվում է հակառակ եզրից առաջին հատվածին զուգահեռ (նկար 3-ի ստվերված վանդակներով նման անկյունագիծ է գոյանում): Այն բջիջները, որոնք սիմետրիկ են քառակուսու կենտրոնի նկատմամբ, կոչվում են թեք-սիմետրիկ: Օրինակ՝ բջիջները աև բնկ. 3.

Կախարդական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիաների՝ կախված նրանից, թե քառակուսիների հերթականությունը կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնակի կամ կենտ թվի քառապատիկին։ Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդը անհայտ է, թեև լայնորեն օգտագործվում են տարբեր սխեմաներ, որոնցից մի քանիսը մենք կքննարկենք ստորև:

Կենտ կարգի կախարդական քառակուսիները կարող են կառուցվել 17-րդ դարի ֆրանսիական երկրաչափի մեթոդով: A. de la Lubera. Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով 5-րդ կարգի քառակուսու օրինակը (նկ. 4): Թիվ 1-ը տեղադրված է վերին շարքի կենտրոնական բջիջում: Բոլոր բնական թվերը դասավորված են բնական հերթականությամբ՝ ներքևից վերև, աջից ձախ անկյունագծերի բջիջներում: Հասնելով քառակուսու վերին եզրին (ինչպես թիվ 1-ի դեպքում) մենք շարունակում ենք լրացնել անկյունագիծը՝ սկսած հաջորդ սյունակի ներքևի բջիջից։ Հասնելով քառակուսու աջ եզրին (թիվ 3) մենք շարունակում ենք վերևի տողով լրացնել ձախ բջիջից եկող անկյունագիծը։ Հասնելով լցված բջիջ (թիվ 5) կամ անկյուն (թիվ 15), հետագիծն իջնում ​​է մեկ բջիջ ներքև, որից հետո լցման գործընթացը շարունակվում է:

F. de la Ira-ի (1640-1718) մեթոդը հիմնված է երկու բնօրինակ քառակուսիների վրա։ Նկ. Նկար 5-ը ցույց է տալիս, թե ինչպես է այս մեթոդով կառուցվում 5-րդ կարգի քառակուսի: 1-ից 5 թվերը մուտքագրվում են առաջին քառակուսի բջիջում այնպես, որ 3-րդ թիվը կրկնվում է դեպի աջ բարձրացող հիմնական անկյունագծի բջիջներում, և ոչ մի թիվ չի լինում երկու անգամ մեկ տողում կամ մեկ սյունակում: Մենք նույնն ենք անում 0, 5, 10, 15, 20 թվերի հետ միայն այն տարբերությամբ, որ 10 թիվը այժմ կրկնվում է վերևից ներքև ընթացող հիմնական անկյունագծի բջիջներում (նկ. 5, բ) Այս երկու քառակուսիների բջիջ առ բջիջ գումարը (նկ. 5, մեջ) կազմում է կախարդական քառակուսի: Այս մեթոդը կիրառվում է նաև հավասար կարգի քառակուսիների կառուցման ժամանակ։

Եթե ​​հայտնի է կարգի քառակուսիների կառուցման մեթոդ մև պատվիրել n, ապա մենք կարող ենք կառուցել կարգի քառակուսի մґ n. Այս մեթոդի էությունը ներկայացված է Նկ. 6. Այստեղ մ= 3 և n= 3. 3-րդ կարգի ավելի մեծ քառակուսի (պարզված թվերով) կառուցված է դե լա Լուբերի մեթոդով։ 1ў թվով քառակուսին (վերին շարքի կենտրոնական վանդակը) մակագրված է 1-ից 9 թվերի 3-րդ կարգի քառակուսու վրա, որը նույնպես կառուցված է դե լա Լուբեր մեթոդով։ 3-րդ կարգի քառակուսին 10-ից 18 թվերով մուտքագրվում է 2ў թվով բջիջ (աջ՝ ներքևի տողում); 3ў թվով բջիջ՝ 19-ից 27 թվերի քառակուսի և այլն: Արդյունքում ստանում ենք 9-րդ կարգի քառակուսի։ Նման քառակուսիները կոչվում են կոմպոզիտային:

Ներածություն

Անտիկ դարաշրջանի մեծ գիտնականները քանակական հարաբերությունները համարում էին աշխարհի էության հիմքը։ Ուստի թվերն ու դրանց հարաբերակցությունը զբաղեցրել են մարդկության մեծագույն միտքը։ «Իմ երիտասարդության օրերին ես զվարճանում էի իմ ազատ ժամանակ՝ պատրաստելով ... կախարդական քառակուսիներ», - գրել է Բենջամին Ֆրանկլինը: Կախարդական քառակուսին այն քառակուսին է, որի թվերի գումարը յուրաքանչյուր հորիզոնական շարքում, յուրաքանչյուր ուղղահայաց տողում և անկյունագծերից յուրաքանչյուրի երկայնքով նույնն է:

Որոշ ականավոր մաթեմատիկոսներ իրենց աշխատանքները նվիրեցին կախարդական քառակուսիներին, և դրանց արդյունքները ազդեցին խմբերի, կառուցվածքների, լատինական քառակուսիների, որոշիչների, բաժանումների, մատրիցների, համեմատությունների և մաթեմատիկայի այլ ոչ տրիվիալ բաժինների զարգացման վրա:

Այս շարադրության նպատակն է ներկայացնել տարբեր կախարդական քառակուսիներ, լատինական քառակուսիներ և ուսումնասիրել դրանց կիրառման ոլորտները:

կախարդական հրապարակներ

Բոլոր հնարավոր կախարդական քառակուսիների ամբողջական նկարագրությունը մինչ օրս չի ստացվել: Չկան 2x2 կախարդական քառակուսիներ: Կա մեկ 3x3 կախարդական քառակուսի, քանի որ մնացած 3x3 կախարդական քառակուսիները ստացվում են դրանից կամ կենտրոնի շուրջ պտտվելով կամ նրա համաչափության առանցքներից մեկի շուրջ արտացոլմամբ:

1-ից 9-ը 3x3 կախարդական քառակուսու վրա բնական թվերը դասավորելու 8 տարբեր եղանակ կա.

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

3x3 կախարդական քառակուսու մեջ կախարդական հաստատուն 15-ը պետք է հավասար լինի երեք թվերի գումարին 8 ուղղություններով՝ 3 տող, 3 սյունակ և 2 անկյունագիծ։ Քանի որ կենտրոնում գտնվող թիվը պատկանում է 1 տողին, 1 սյունակին և 2 անկյունագծին, այն ներառված է 8 եռյակներից 4-ում, որոնք գումարվում են կախարդական հաստատունին: Այդպիսի թիվը միայն մեկն է՝ դա 5 է։ Հետևաբար, 3x3 կախարդական քառակուսու կենտրոնում թիվն արդեն հայտնի է՝ այն հավասար է 5-ի։

Դիտարկենք 9 թիվը։ Այն ներառված է միայն 2 եռյակ թվերի մեջ։ Մենք չենք կարող այն տեղադրել անկյունում, քանի որ յուրաքանչյուր անկյունային բջիջը պատկանում է 3 եռակի՝ տող, սյունակ և անկյունագիծ: Հետևաբար, 9 թիվը պետք է լինի իր մեջտեղի քառակուսու կողմին հարող մի խցում: Քառակուսու համաչափության պատճառով կարևոր չէ, թե որ կողմն ենք ընտրում, ուստի կենտրոնական վանդակում 5 թվից վեր գրում ենք 9: Վերևի գծի իննի երկու կողմերում մենք կարող ենք մուտքագրել միայն 2 և 4 թվերը: Այս երկու թվերից որն է լինելու վերևի աջ անկյունում, իսկ որը ձախում, դարձյալ կարևոր չէ, քանի որ մեկ դասավորություն թվերը մտնում են մյուսի մեջ, երբ արտացոլվում են: Մնացած բջիջները լրացվում են ավտոմատ կերպով: 3x3 կախարդական քառակուսու մեր պարզ կառուցումն ապացուցում է իր յուրահատկությունը:

Նման կախարդական քառակուսին հին չինացիների շրջանում մեծ նշանակություն ուներ։ Մեջտեղում գտնվող 5 թիվը նշանակում էր երկիրը, և դրա շուրջը խիստ հավասարակշռված էին կրակը (2 և 7), ջուրը (1 և 6),

փայտ (3 և 8), մետաղ (4 և 9):

Քանի որ քառակուսու չափը (բջիջների թիվը) մեծանում է, այդ չափի հնարավոր կախարդական քառակուսիների թիվը արագորեն աճում է: Կան 4-րդ կարգի 880 և 5-րդ կարգի 275,305,224 կախարդական քառակուսիներ: Ավելին, միջնադարում հայտնի են եղել 5x5 քառակուսիներ: Մուսուլմանները, օրինակ, շատ ակնածանքով էին վերաբերվում նման քառակուսիին, որի մեջտեղում 1 թիվն էր՝ այն համարելով Ալլահի միասնության խորհրդանիշ:

Պյութագորասի կախարդական հրապարակ

Մեծ գիտնական Պյութագորասը, ով հիմնել է կրոնական և փիլիսոփայական ուսմունքը, որը քանակական հարաբերությունները հռչակում էր իրերի էության հիմքում, կարծում էր, որ մարդու էությունը կայանում է նաև թվի մեջ՝ ծննդյան ամսաթվի մեջ։ Հետևաբար, Պյութագորասի կախարդական քառակուսու օգնությամբ կարելի է իմանալ մարդու բնավորությունը, ազատված առողջության աստիճանը և դրա հնարավորությունները, բացահայտել առավելություններն ու թերությունները և դրանով իսկ պարզել, թե ինչ պետք է արվի այն բարելավելու համար:

Որպեսզի հասկանանք, թե որն է Պյութագորասի կախարդական քառակուսին և ինչպես են հաշվարկվում դրա ցուցիչները, ես կհաշվեմ այն ​​իմ օրինակով։ Եվ որպեսզի համոզվեմ, որ հաշվարկի արդյունքներն իսկապես համապատասխանում են այս կամ այն ​​մարդու իրական բնավորությանը, նախ ինքս կստուգեմ դա։ Դա անելու համար ես հաշվարկը կանեմ ըստ իմ ծննդյան ամսաթվի: Այսպիսով, իմ ծննդյան ամսաթիվը 20.08.1986թ. Գումարենք ծննդյան օրվա, ամսվա և տարվա թվերը (առանց զրոների)՝ 2+8+1+9+8+6=34։ Հաջորդը, ավելացրեք արդյունքի թվերը՝ 3 + 4 = 7: Այնուհետեւ առաջին գումարից հանում ենք ծննդյան օրվա կրկնապատկված առաջին թվանշանը՝ 34-4=30։ Եվ կրկին ավելացրեք վերջին թվի համարները.

3+0=3. Մնում է կատարել վերջին լրացումները՝ 1-ին և 3-րդ և 2-րդ և 4-րդ գումարումները՝ 34+30=64, 7+3=10։ Ստացել ենք 08/20/1986,34,7,30, 64,10 համարները։

և կազմիր կախարդական քառակուսի այնպես, որ այս թվերի բոլոր միավորները ներառվեն 1-ին բջիջում, բոլոր երկուսը լինեն 2-րդ բջիջում և այլն: Զրոները հաշվի չեն առնվում: Արդյունքում իմ հրապարակը կունենա հետևյալ տեսքը.

Քառակուսի բջիջները նշանակում են հետևյալը.

Բջջ 1 - նպատակասլացություն, կամք, հաստատակամություն, եսասիրություն:

• 1 - ամբողջական էգոիստներ, ձգտեք առավելագույն օգուտ քաղել ցանկացած իրավիճակից:
• 11 - էգոիստականին մոտ կերպար:
• 111 - «ոսկե միջին»: Բնավորությունը հանգիստ է, ճկուն, շփվող։
• 1111 - ուժեղ բնավորության մարդիկ, ուժեղ կամքի տեր մարդիկ: Նման բնավորությամբ տղամարդիկ հարմար են ռազմական մասնագետի դերին, իսկ կանայք բռունցքի մեջ են պահում իրենց ընտանիքը։
• 11111 - բռնակալ, բռնակալ։
• 111111 - դաժան մարդ, որն ընդունակ է անել անհնարինը. հաճախ ընկնում է ինչ-որ գաղափարի ազդեցության տակ:

Բջջ 2 - բիոէներգետիկա, հուզականություն, անկեղծություն, զգայականություն: Երկուսի թիվը որոշում է բիոէներգետիկության մակարդակը։

Դյուզներ չկան. բիոէներգետիկ ինտենսիվ հավաքածուի ալիքը բաց է: Այս մարդիկ իրենց էությամբ կիրթ ու վեհանձն են։

• 2 - սովորական մարդիկ կենսաէներգետիկ առումով. Նման մարդիկ շատ զգայուն են մթնոլորտի փոփոխությունների նկատմամբ։
• 22 - բիոէներգիայի համեմատաբար մեծ պաշար: Այդպիսի մարդկանցից լավ բժիշկներ, բուժքույրեր, կարգապահներ են ստացվում։ Նման մարդկանց ընտանիքում հազվադեպ է լինում, ով նյարդային սթրես է ունենում։
• 222-ը էքստրասենսի նշան է։

Բջջ 3 - ճշգրտություն, կոնկրետություն, կազմակերպվածություն, ճշգրտություն, ճշտապահություն, մաքրություն, ժլատություն, անընդհատ «արդարությունը վերականգնելու» միտում:

Եռյակների աճը բարձրացնում է այս բոլոր հատկությունները։ Դրանցով մարդ իմաստ ունի փնտրել իրեն գիտությունների մեջ, հատկապես՝ ճշգրիտ։ Եռյակների գերակշռությունը ծնում է պեդանտներ, գործի մեջ գտնվող մարդիկ։

Բջջ 4 - առողջություն. Դա պայմանավորված է էգրեգորով, այսինքն՝ նախնիների կողմից մշակված և մարդուն պաշտպանող էներգետիկ տարածությամբ։ Չորսի բացակայությունը վկայում է մարդու ցավոտության մասին։

• 4 - միջին առողջություն, անհրաժեշտ է կոփել մարմինը: Առաջարկվող սպորտաձևերն են լողն ու վազքը:
• 44 - լավ առողջություն:
• 444 և ավելի՝ շատ լավ առողջություն ունեցող մարդիկ։

Բջջ 5 - ինտուիցիա, պայծառատեսություն, որը նման մարդկանց մոտ սկսում է դրսևորվել արդեն երեք հինգի մակարդակում:

Հինգեր չկան՝ տարածության հետ կապի ալիքը փակ է։ Այս մարդիկ հաճախ են

սխալ են.

• 5 - կապի ալիքը բաց է. Այս մարդիկ կարող են ճիշտ հաշվարկել իրավիճակը՝ դրանից առավելագույն օգուտ քաղելու համար։
• 55 - բարձր զարգացած ինտուիցիա: Երբ նրանք տեսնում են «մարգարեական երազներ», նրանք կարող են կանխատեսել իրադարձությունների ընթացքը։ Նրանց հարմար մասնագիտություններն են՝ իրավաբանը, քննիչը։
• 555 - գրեթե պայծառատես:
• 5555 - պայծառատեսներ.

Բջջ 6 - հիմնավորվածություն, նյութականություն, հաշվարկ, աշխարհի քանակական զարգացման միտում և որակական թռիչքների անվստահություն, և առավել ևս հոգևոր կարգի հրաշքների նկատմամբ:

Վեցեր չկան՝ այս մարդիկ ֆիզիկական աշխատանքի կարիք ունեն, թեև սովորաբար դա նրանց դուր չի գալիս։ Նրանք օժտված են արտասովոր երեւակայությամբ, ֆանտազիայով, գեղարվեստական ​​ճաշակով։ Նուրբ բնություններ, նրանք, այնուամենայնիվ, ընդունակ են գործել:

• 6 - կարող է զբաղվել ստեղծագործությամբ կամ ճշգրիտ գիտություններով, բայց ֆիզիկական աշխատանքը գոյության նախապայման է։
• 66 - մարդիկ շատ հիմնավոր են, տարված են ֆիզիկական աշխատանքի, թեև դա նրանց համար պարտադիր չէ. մտավոր գործունեության կամ արվեստի պարապմունքները ցանկալի են:
• 666 - Սատանայի նշան, հատուկ և չարաբաստիկ նշան: Այս մարդիկ ունեն բարձր խառնվածք, հմայիչ են, անփոփոխ դառնում են հասարակության ուշադրության կենտրոնում։
• 6666 - այս մարդիկ իրենց նախորդ մարմնավորումներում չափազանց մեծ հիմքեր ձեռք բերեցին, նրանք շատ քրտնաջան աշխատեցին և չեն կարող պատկերացնել իրենց կյանքը առանց աշխատանքի: Եթե ​​նրանց քառակուսին ունի

ինը, նրանք անպայման պետք է մտավոր գործունեությամբ զբաղվեն, զարգացնեն խելքը, գոնե բարձրագույն կրթություն ստանան։

Բջջ 7 - յոթների թիվը որոշում է տաղանդի չափը:

• 7 - որքան շատ են նրանք աշխատում, այնքան ավելի շատ են ստանում հետո:
• 77 - շատ շնորհալի, երաժշտական ​​մարդիկ, ունեն նուրբ գեղարվեստական ​​ճաշակ, կարող են հակվածություն ունենալ դեպի կերպարվեստը։
• 777 - այս մարդիկ, որպես կանոն, Երկիր են գալիս կարճ ժամանակով: Նրանք բարի են, հանդարտ, ցավագին են ընկալում ցանկացած անարդարություն։ Նրանք զգայուն են, սիրում են երազել, միշտ չէ, որ իրականությունն են զգում։
• 7777-ը Հրեշտակի նշանն է։ Այս նշանի մարդիկ մահանում են մանկության տարիներին, իսկ եթե նրանք ապրում են, ուրեմն նրանց կյանքը մշտապես վտանգի տակ է։

Բջջ 8 - կարմա, պարտականություն, պարտականություն, պատասխանատվություն: Ութների թիվը որոշում է պարտքի զգացման աստիճանը։

Ութնյակներ չկան. այս մարդկանց մոտ գրեթե բացակայում է պարտքի զգացումը:

• 8 - պատասխանատու, բարեխիղճ, ճշգրիտ բնույթ:
• 88 - այս մարդիկ ունեն պարտականության զարգացած զգացում, նրանք միշտ առանձնանում են ուրիշներին օգնելու ցանկությամբ, հատկապես թույլերին, հիվանդներին, միայնակներին:
• 888 - մեծ պարտքի նշան, ժողովրդին ծառայելու նշան: Երեք ությակ ունեցող քանոնը ակնառու արդյունքների է հասնում։
• 8888 - այս մարդիկ ունեն պարահոգեբանական ունակություններ և բացառիկ զգայունություն ճշգրիտ գիտությունների նկատմամբ: Նրանց առջեւ բաց են գերբնական ճանապարհները:

Բջջ 9 - միտք, իմաստություն: Ինըների բացակայությունը վկայում է այն մասին, որ մտավոր կարողությունները չափազանց սահմանափակ են:

• 9 - այս մարդիկ պետք է ամբողջ կյանքում քրտնաջան աշխատեն, որպեսզի լրացնեն խելքի պակասը:
• 99 - այս մարդիկ ի ծնե խելացի են: Նրանք միշտ դժկամությամբ են սովորում, քանի որ գիտելիքը նրանց հեշտությամբ է տրվում։ Նրանք օժտված են հեգնական հպումով հումորի զգացումով, անկախ։
• 999-ը շատ խելացի են: Սովորելու համար ընդհանրապես ջանք չի գործադրվում: Գերազանց զրուցակիցներ.
• 9999 - ճշմարտությունը բացահայտված է այս մարդկանց. Եթե ​​նրանք նաև ունեն զարգացած ինտուիցիա, ապա երաշխավորված են ձախողման իրենց ցանկացած ձեռնարկում: Այս ամենի հետ մեկտեղ նրանք սովորաբար բավականին հաճելի են, քանի որ սուր միտքը նրանց դարձնում է կոպիտ, անողորմ ու դաժան։

Այսպիսով, կազմելով Պյութագորասի կախարդական քառակուսին և իմանալով նրա բջիջներում ներառված թվերի բոլոր համակցությունների նշանակությունը, դուք կկարողանաք համարժեքորեն գնահատել ձեր բնության այն հատկությունները, որոնք օժտել ​​է մայր բնությունը:

լատինական քառակուսիներ

Չնայած այն հանգամանքին, որ մաթեմատիկոսները հիմնականում հետաքրքրված էին կախարդական քառակուսիներով, լատիներեն քառակուսիները ամենամեծ կիրառությունը գտան գիտության և տեխնիկայի մեջ:

Լատինական քառակուսին nxn բջիջների քառակուսին է, որում գրված են 1, 2, ..., n թվերը, ընդ որում, այնպես, որ այս բոլոր թվերը յուրաքանչյուր տողում և սյունակում մեկ անգամ են լինում։ Նկար 3-ում ներկայացված են երկու նման 4x4 քառակուսիներ: Նրանք ունեն մի հետաքրքիր առանձնահատկություն. եթե մի քառակուսին դրվում է մյուսի վրա, ապա ստացված թվերի բոլոր զույգերը տարբեր են լինում։ Լատինական քառակուսիների նման զույգերը կոչվում են ուղղանկյուն։

Ուղղանկյուն լատիներեն քառակուսիներ գտնելու խնդիրն առաջինը դրել է Լ. Էյլերը, և այսպիսի զվարճալի ձևակերպմամբ. «36 սպաների մեջ կան հավասարապես նիզակներ, վիշապներ, հուսարներ, կուրասիերներ, հեծելազորային պահակներ և նռնականետներ, և բացի այդ, նույնքան գեներալներ. , գնդապետներ, մայորներ, կապիտաններ, լեյտենանտներ և երկրորդ լեյտենանտներ, և ծառայության յուրաքանչյուր մասնաճյուղ ներկայացված է բոլոր վեց կոչում ունեցող սպաներով: Հնարավո՞ր է արդյոք բոլոր սպաներին շարել 6 x 6 քառակուսու մեջ այնպես, որ բոլոր աստիճանների սպաները հանդիպեն ցանկացած սյունակում և ցանկացած տողում:

Էյլերը չկարողացավ լուծում գտնել այս խնդրին։ 1901 թվականին ապացուցվեց, որ նման լուծում գոյություն չունի։ Միևնույն ժամանակ, Էյլերն ապացուցեց, որ n-ի բոլոր կենտ արժեքների և n-ի զույգ արժեքների համար գոյություն ունեն լատիներեն քառակուսիների ուղղանկյուն զույգեր, որոնք բաժանվում են 4-ի: Էյլերը ենթադրեց, որ n-ի մնացած արժեքների համար, այսինքն. , եթե n թիվը 4-ի բաժանելիս տալիս է 2-ի մնացորդը, ապա ուղղանկյուն քառակուսիներ չկան։ 1901 թվականին ապացուցվեց, որ 6 6 ուղղանկյուն քառակուսիները գոյություն չունեն, և դա մեծացրեց վստահությունը Էյլերի ենթադրության վավերականության նկատմամբ։ Սակայն 1959 թվականին համակարգչի միջոցով սկզբում գտնվեցին 10x10, ապա 14x14, 18x18, 22x22 ուղղանկյուն քառակուսիներ։ Եվ հետո ցույց տրվեց, որ ցանկացած n-ի համար, բացի 6-ից, կան nxn ուղղանկյուն քառակուսիներ:

Կախարդական և լատինական քառակուսիները մերձավոր ազգականներ են: Թող ունենանք երկու ուղղանկյուն քառակուսի: Լրացրեք նույն չափի նոր քառակուսի բջիջները հետևյալ կերպ. Այնտեղ դնենք n(a - 1) + b թիվը, որտեղ a-ն առաջին քառակուսու նման վանդակի թիվն է, իսկ b-ն երկրորդ քառակուսու նույն վանդակի թիվն է։ Հեշտ է հասկանալ, որ ստացված քառակուսիում տողերի և սյունակների թվերի գումարները (բայց պարտադիր չէ, որ անկյունագծերի վրա) նույնն են:

Լատինական քառակուսիների տեսությունը բազմաթիվ կիրառություններ է գտել ինչպես բուն մաթեմատիկայի, այնպես էլ դրա կիրառման մեջ: Օրինակ բերենք. Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք ստուգել ցորենի 4 սորտերի արտադրողականությունը տվյալ տարածքում և ուզում ենք հաշվի առնել մշակաբույսերի նոսրության աստիճանի և երկու տեսակի պարարտանյութերի ազդեցությունը։ Դա անելու համար քառակուսի հողամասը կբաժանենք 16 հողամասերի (նկ. 4): Ցորենի առաջին տեսակը կտնկենք ստորին հորիզոնական շերտին համապատասխան հողամասերի վրա, հաջորդ սորտը` հաջորդ շերտին համապատասխան չորս հողամասերի վրա և այլն (նկարում սորտը նշված է գույնով): Այս դեպքում թող ցանքի առավելագույն խտությունը լինի այն հողատարածքների վրա, որոնք համապատասխանում են նկարի ձախ ուղղահայաց սյունին, և նվազի աջ շարժվելիս (նկարում դա համապատասխանում է գույնի ինտենսիվության նվազմանը): Նկարի բջիջներում թվերը նշանակում են.

առաջինը այս տարածքում կիրառվող առաջին տեսակի պարարտանյութի կիլոգրամների քանակն է, իսկ երկրորդը՝ երկրորդ տեսակի պարարտանյութի քանակությունը: Հեշտ է հասկանալ, որ այս դեպքում իրականանում են և՛ սորտի, և՛ ցանքի խտության և այլ բաղադրիչների բոլոր հնարավոր զույգերը՝ առաջին տեսակի սորտ և պարարտանյութ, առաջին և երկրորդ տեսակի պարարտանյութ, խտություն և երկրորդ տեսակի պարարտանյութ։ .

Ուղղանկյուն լատինական քառակուսիների օգտագործումը օգնում է հաշվի առնել բոլոր հնարավոր տարբերակները գյուղատնտեսության, ֆիզիկայի, քիմիայի և տեխնիկայի փորձերում:

քառակուսի կախարդական pythagoras լատիներեն

Եզրակացություն

Այս շարադրությունը վերաբերում է մաթեմատիկայի հիմնախնդիրներից մեկի զարգացման պատմությանը վերաբերող հարցերին, որոնք զբաղեցրել են այդքան մեծ մարդկանց՝ կախարդական հրապարակների միտքը։ Չնայած այն հանգամանքին, որ կախարդական քառակուսիներն իրենք լայն կիրառություն չեն գտել գիտության և տեխնիկայի մեջ, նրանք ոգեշնչեցին շատ նշանավոր մարդկանց մաթեմատիկա ուսումնասիրելու և նպաստեցին մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի զարգացմանը (խմբերի տեսություն, որոշիչներ, մատրիցներ և այլն):

Կախարդական քառակուսիների ամենամոտ ազգականները՝ լատիներեն քառակուսիները, բազմաթիվ կիրառություններ են գտել ինչպես մաթեմատիկայի, այնպես էլ փորձերի արդյունքների ստեղծման և մշակման մեջ դրա կիրառման մեջ: Աբստրակտը տալիս է նման փորձի ստեղծման օրինակ:

Ռեֆերատը դիտարկում է նաև Պյութագորասի հրապարակի հարցը, որը պատմական հետաքրքրություն է ներկայացնում և, հավանաբար, օգտակար է մարդու հոգեբանական դիմանկարը կազմելու համար։

Մատենագիտություն

• 1. Երիտասարդ մաթեմատիկոսի հանրագիտարանային բառարան. Մ., «Մանկավարժություն», 1989։
• 2. Մ.Գարդներ «Ժամանակի ճանապարհորդություն», Մ., «Միր», 1990 թ.
• 3. Ֆիզիկական կուլտուրա եւ սպորտ թիվ 10, 1998 թ