Во машинството, заедно со цилиндричните, широко се користат делови со конусни површини во форма на надворешни конуси или во форма на конусни дупки. На пример, центарот на струг има два надворешни конуси, од кои едниот служи за инсталирање и прицврстување во конусната дупка на вретеното; дупчалката, мијалникот, бришачот итн. имаат и надворешен конус за вградување и прицврстување.

1. Концептот на конус и неговите елементи

Елементи на конус. Ако го ротирате правоаголниот триаголник ABC околу кракот AB (сл. 202, а), тогаш се формира тело ABG, т.н. полн конус. Правата AB се нарекува оска или висина на конусот, линија AB - генератрикс на конусот. Точката А е врвот на конусот.

Кога кракот BV ротира околу оската AB, се формира кружна површина, наречена основата на конусот.

Аголот VAG помеѓу страничните страни AB и AG се нарекува конусен аголи се означува со 2α. Се нарекува половина од овој агол формиран од страничната страна AG и оската AB конусен аголи се означува со α. Аглите се изразуваат во степени, минути и секунди.

Ако го отсечеме неговиот горен дел од целосен конус со рамнина паралелна со основата (сл. 202, б), ќе добиеме тело т.н. скратен конус. Има две основи, горна и долна. Растојанието OO 1 долж оската помеѓу основите се нарекува висина на скратен конус. Бидејќи во машинското инженерство најмногу треба да се занимаваме со делови од конуси, т.е. скратени конуси, тие обично се нарекуваат едноставно конуси; Отсега сите конусни површини ќе ги нарекуваме конуси.

Врската помеѓу елементите на конусот. Цртежот обично означува три главни димензии на конусот: поголемиот дијаметар D, помалиот дијаметар d и висината на конусот l (сл. 203).

Понекогаш цртежот означува само еден од дијаметрите на конусот, на пример, поголемиот D, висината на конусот l и т.н. Конусот е односот на разликата помеѓу дијаметрите на конусот и неговата должина. Тогаш, да го означиме заостреното со буквата К

Ако конусот има димензии: D = 80 mm, d = 70 mm и l = 100 mm, тогаш според формулата (10):

Тоа значи дека на должина од 10 mm дијаметарот на конусот се намалува за 1 mm или за секој милиметар од должината на конусот разликата помеѓу неговите дијаметри се менува за

Понекогаш на цртежот, наместо аголот на конусот, се означува конусна падина. Наклонот на конусот го покажува степенот до кој генератриксот на конусот отстапува од неговата оска.
Наклонот на конусот се одредува со формулата

каде tan α е наклонот на конусот;


l е висината на конусот во mm.

Користејќи ја формулата (11), можете да користите тригонометриски табели за да го одредите аголот a на конусот.

Пример 6.Дадено D = 80 mm; d=70mm; l= 100 mm. Користејќи ја формулата (11), ја имаме Од табелата на тангенти ја наоѓаме вредноста најблиску до tan α = 0,05, односно tan α = 0,049, што одговара на аголот на наклонот на конусот α = 2°50". Според тоа, аголот на конусот 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

Наклонот и конусот на конусот обично се изразуваат како едноставна дропка, на пример: 1:10; 1:50, или децимална дропка, на пример, 0,1; 0,05; 0,02, итн.

2. Методи за производство на конусни површини на струг

На струг, конусните површини се обработуваат на еден од следниве начини:
а) вртење на горниот дел од дебеломерот;
б) попречно поместување на куќиштето на опашката;
в) користење на конусен владетел;
г) користење на широк секач.

3. Обработка на конусни површини со вртење на горниот дел од дебеломерот

Кога правите кратки надворешни и внатрешни конусни површини со голем агол на наклон на струг, треба да го ротирате горниот дел од носачот во однос на оската на машината под агол α од наклонот на конусот (види слика 204). Со овој начин на работа, хранењето може да се врши само рачно, со ротирање на рачката на оловната завртка на горниот дел од носачот, а само најсовремените стругови имаат механичко напојување на горниот дел од носачот.

За да го поставите горниот дел од дебеломерот 1 на потребниот агол, можете да ги користите поделбите означени на прирабницата 2 на ротирачкиот дел од дебеломерот (сл. 204). Ако аголот на наклон α на конусот е наведен според цртежот, тогаш горниот дел од дебеломерот се ротира заедно со неговиот ротирачки дел за потребниот број на поделби што укажуваат на степени. Бројот на поделби се брои во однос на ознаката означена на дното на дебеломерот.

Ако аголот α не е даден на цртежот, но се означени поголемите и помалите дијаметри на конусот и должината на неговиот конусен дел, тогаш вредноста на аголот на вртење на дебеломер се одредува со формулата (11).

Пример 7.Дадените дијаметри на конусот се D = 80 mm, d = 66 mm, должина на конусот l = 112 mm. Имаме: Користејќи ја табелата на тангенти наоѓаме приближно: a = 3°35". Затоа, горниот дел од дебеломерот мора да се ротира за 3°35".

Начинот на вртење на конусни површини со вртење на горниот дел од дебеломерот ги има следните недостатоци: обично дозволува користење само на рачна храна, што влијае на продуктивноста на трудот и на чистотата на обработената површина; ви овозможува да мелете релативно кратки конусни површини ограничени со должината на ударот на горниот дел од дебеломерот.

4. Обработка на конусни површини со методот на попречно поместување на телото на опашката

За да се добие конусна површина на струг, при ротирање на работното парче, неопходно е да се помести врвот на секачот не паралелно, туку под одреден агол до оската на центрите. Овој агол мора да биде еднаков на аголот на наклон α на конусот. Наједноставниот начин да се добие аголот помеѓу централната оска и насоката на напојување е да се помести централната линија со поместување на задниот центар во попречна насока. Со поместување на задниот центар кон секачот (кон себе), како резултат на мелење, се добива конус, чија поголема основа е насочена кон главата; кога задниот центар е поместен во спротивна насока, т.е. подалеку од секачот (далеку од вас), поголемата основа на конусот ќе биде на страната на опашката (сл. 205).

Поместувањето на телото на опашката се одредува со формулата

каде што S е поместување на телото на опашката од оската на вретеното на главата во mm;
D е дијаметарот на големата основа на конусот во mm;
d е дијаметарот на малата основа на конусот во mm;
L е должината на целиот дел или растојанието помеѓу центрите во mm;
l е должината на конусниот дел од делот во mm.

Пример 8.Определете го поместувањето на центарот на опашката за вртење на скратен конус ако D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm и l = 200 mm. Користејќи ја формулата (12) наоѓаме:

Куќиштето на опашката се поместува со помош на ознаките 1 (слика 206) означени на крајот на основната плоча и ознаката 2 на крајот на куќиштето на опашката.

Ако нема поделби на крајот на плочата, тогаш поместете го телото на опашката со помош на мерен линијар, како што е прикажано на сл. 207.

Предноста на обработката на конусните површини со поместување на телото на опашката е што овој метод може да се користи за вртење долги конуси и мелење со механичка храна.

Недостатоци на овој метод: неможност да се отворат конусни дупки; губење на време за преуредување на опашката; способност да се обработуваат само плитки конуси; неусогласеност на центрите во централните дупки, што доведува до брзо и нерамномерно абење на центрите и централните дупки и предизвикува дефекти при секундарната инсталација на делот во истите централни дупки.

Нерамномерното абење на централните дупки може да се избегне ако се користи специјален центар за топчиња наместо вообичаениот (сл. 208). Ваквите центри главно се користат при обработка на прецизни конуси.

5. Обработка на конусни површини со помош на конусен линијар

За обработка на конусни површини со агол на наклон до 10-12 °, современите стругови обично имаат посебен уред наречен конусен владетел. Шемата за обработка на конус со помош на конусен владетел е прикажана на сл. 209.

Плоча 11 е прикачена на машинскиот кревет, на кој е монтиран конусен линијар 9. Линијарот може да се ротира околу иглата 8 под потребниот агол a во однос на оската на работното парче. За прицврстување на линијарот во потребната положба, се користат две завртки 4 и 10 Лизгачот 7 слободно се лизга по линијарот, поврзувајќи се со долниот попречен дел 12 на дебеломерот со помош на шипка 5 и стегач 6. Така што овој дел од. дебеломерот може слободно да се лизга по водилките, се исклучува од кочијата 3 со одвртување на вкрстената завртка или со откачување на нејзината навртка од дебеломерот.

Ако на кочијата му дадете надолжно напојување, тогаш лизгачот 7, фатен со шипката 5, ќе почне да се движи по линијарот 9. Бидејќи лизгачот е прикачен на попречниот лизгач на дебеломерот, тие заедно со секачот ќе движете се паралелно со линијарот 9. Благодарение на ова, секачот ќе обработи конусна површина со агол на наклон , еднаков на аголот α на ротација на конусниот линијар.

По секое поминување, секачот се поставува на длабочината на сечењето со помош на рачката 1 од горниот дел 2 на дебеломерот. Овој дел од дебеломерот мора да се ротира за 90° во однос на нормалната положба, т.е., како што е прикажано на сл. 209.

Ако се дадени дијаметрите на основите на конусот D и d и неговата должина l, тогаш аголот на вртење на линијарот може да се најде со формулата (11).

Откако ја пресметавме вредноста на tan α, лесно е да се одреди вредноста на аголот α со помош на табелата со тангенти.
Употребата на конусен владетел има голем број на предности:
1) поставувањето на владетелот е погодно и брзо;
2) при префрлување на конуси за обработка, нема потреба да се нарушува нормалното поставување на машината, т.е., нема потреба да се поместува телото на опашката; центрите на машината остануваат во нормална положба, односно на истата оска, поради што централните дупки во делот и центрите на машината не работат;
3) користејќи конусен владетел, не само што можете да ги мелете надворешните конусни површини, туку и да отворите конусни дупки;
4) можно е да се работи со надолжна самоодна машина, што ја зголемува продуктивноста на трудот и го подобрува квалитетот на обработката.

Недостаток на заострениот линијар е потребата да се исклучи лизгачот на дебеломер од вкрстената завртка за напојување. Овој недостаток е елиминиран во дизајнот на некои стругови, во кои завртката не е цврсто поврзана со рачното тркало и со запчаниците на попречната самоодна машина.

6. Обработка на конусни површини со широк секач

Обработката на конусни површини (надворешни и внатрешни) со кратка должина на конусот може да се направи со широк секач со плански агол што одговара на аголот на наклон α на конусот (сл. 210). Напојувањето на секачот може да биде надолжно или попречно.

Сепак, употребата на широк секач кај конвенционалните машини е можна само со должина на конус што не надминува приближно 20 mm. Пошироките секачи може да се користат само на особено крути машини и делови ако тоа не предизвикува вибрации на секачот и на работното парче.

7. Здодевно и вадење на заострените дупки

Обработката на заострените дупки е една од најтешките работи за вртење; тоа е многу потешко од обработката на надворешни конуси.

Обработката на конусните дупки на струговите во повеќето случаи се изведува со дупчење со секач со вртење на горниот дел од носачот и, поретко, со помош на заострен линијар. Сите пресметки поврзани со вртење на горниот дел од дебеломерот или заострениот линијар се изведуваат на ист начин како и при вртење на надворешните конусни површини.

Ако дупката мора да биде во цврст материјал, тогаш најпрво се дупчи цилиндрична дупка, која потоа се вкопува во конус со секач или се обработува со конусни мијалници и копчиња.

За да го забрзате здодевноста или преоблекувањето, прво треба да вежбате дупка со дупчалка, со дијаметар d, што е 1-2 mm помалку од дијаметарот на малата основа на конусот (сл. 211, а). По ова, дупчете ја дупката со една (слика 211, б) или две (слика 211, в) дупчалки за да добиете чекори.

По завршувањето на досадувањето на конусот, тој се преобликува со помош на конусен гребач со соодветниот конус. За конуси со мала заостреност, попрофитабилно е да се обработат конусните дупки веднаш по дупчењето со сет на специјални копчиња, како што е прикажано на сл. 212.

8. Режими на сечење при обработка на дупчиња со конусни копчиња

Конусните отсекувачи работат под потешки услови од цилиндричните отсекувачи: додека цилиндричните отсекувачи отстрануваат мала количина со мали рабови за сечење, конусните рабови ја сечат целата должина на нивните рабови за сечење лоцирани на генератриксот на конусот. Затоа, кога се работи со конусни копчиња, напојувањата и брзините на сечење се користат помалку отколку кога се работи со цилиндрични препарати.

Кога се обработуваат дупките со конусни копчиња, внесувањето се врши рачно со ротирање на рачното тркало на опашката. Неопходно е да се обезбеди рамномерно да се движи опашката на опашката.

Напојувањето при премачкување на челик е 0,1-0,2 мм/вртежи, при премачкување на леано железо 0,2-0,4 мм/врт.

Брзината на сечење при преобложување на конусни дупки со челични копчиња со голема брзина е 6-10 m/min.

Ладењето треба да се користи за да се олесни работата на конусните прегради и да се добие чиста, мазна површина. При обработка на челик и леано железо, се користи емулзија или сулфофризол.

9. Мерење на конусни површини

Површините на конусите се проверуваат со шаблони и мерачи; мерењето и истовремено проверувањето на аглите на конусот се врши со помош на транспортери. На сл. 213 покажува метод за проверка на конус со помош на шаблон.

Надворешните и внатрешните агли на различни делови може да се измерат со универзален гониометар (сл. 214). Се состои од основа 1, на која главната скала е означена на лак 130. Правилникот 5 е цврсто прикачен на основата 1. Секторот 4 се движи по лакот на основата, носи нор 3. Квадрат 2 може да се прицврсти на секторот 4 со помош на држач 7, во кој, пак, отстранлив линијар 5 е фиксиран Квадратот 2 и отстранливиот линијар 5 имаат способност да се движат по работ на секторот 4.

Преку различни комбинации при вградувањето на мерните делови на транспортерот се овозможува мерење на агли од 0 до 320°. Читачката вредност на норот е 2". Читањето добиено при мерење на аглите се прави со помош на скалата и нор (сл. 215) на следниов начин: нулта потег на норот го покажува бројот на степени, а норниот удар, што се совпаѓа со ударот на основната скала, го покажува бројот на минути е 76°22".

На сл. 216 прикажува комбинации на мерни делови на универзален транспортер, што овозможува мерење на различни агли од 0 до 320°.

За попрецизно тестирање на конуси во масовно производство, се користат специјални мерачи. На сл. 217, и покажува конусен мерач на черупка за проверка на надворешните конуси, а на Сл. 217, б-конусен приклучок за проверка на конусни дупки.

На мерачите се прават корнизи 1 и 2 на краевите или се нанесуваат ознаки 3 кои служат за одредување на точноста на површините што се проверуваат.

Вклучено. оризот. 218 дава пример за проверка на конусна дупка со мерач на приклучок.

За да се провери дупката, мерач (види слика 218), кој има полицата 1 на одредено растојание од крајот 2 и две ознаки 3, се вметнува во дупката со мал притисок и се проверува дали мерачот се ниша во дупка. Ниту едно нишање не покажува дека аголот на конусот е точен. Откако ќе бидете сигурни дека аголот на конусот е точен, продолжете со проверка на неговата големина. За да го направите ова, набљудувајте до која точка мерачот ќе влезе во делот што се тестира. Ако крајот на конусот на делот се совпаѓа со левиот крај на полицата 1 или со една од ознаките 3 или се наоѓа помеѓу ознаките, тогаш димензиите на конусот се точни. Но, може да се случи мерачот да влезе во делот толку длабоко што двете ознаки 3 да влезат во дупката или двата краја на полицата 1 да излезат од неа. Ова покажува дека дијаметарот на дупката е поголем од наведеното. Ако, напротив, двата ризици се надвор од дупката или ниту еден од краевите на полицата не излегува од неа, тогаш дијаметарот на дупката е помал од потребниот.

За прецизно да го проверите конусот, користете го следниов метод. На површината на делот или мерачот што треба да се мери, нацртајте две или три линии со креда или молив по должината на генератриксот на конусот, потоа вметнете го или ставете го мерачот на делот и свртете го дел од кривината. Ако линиите се избришат нерамномерно, тоа значи дека конусот на делот не е прецизно обработен и треба да се коригира. Бришењето на линиите на краевите на мерачот укажува на неправилно стеснување; бришењето на линиите во средишниот дел на калибарот покажува дека заостреноста има мала вдлабнатина, која најчесто е предизвикана од неточната локација на врвот на секачот по висината на центрите. Наместо линии со креда, можете да нанесете тенок слој специјална боја (сина) на целата конусна површина на делот или мерачот. Овој метод дава поголема точност на мерењето.

10. Дефекти во обработката на конусните површини и мерки за нивно спречување

При обработка на конусни површини, покрај наведените типови на дефекти за цилиндрични површини, дополнително се можни и следните видови дефекти:
1) неправилно стеснување;
2) отстапувања во димензиите на конусот;
3) отстапувања во дијаметрите на основите со правилен заострен;
4) неисправност на генератриксот на конусната површина.

1. Неправилното стеснување главно се должи на неточно неусогласување на куќиштето на опашката, неточна ротација на горниот дел од дебеломерот, неправилно поставување на конусниот линијар, неправилно острење или поставување на широкиот секач. Затоа, со прецизно позиционирање на куќиштето на опашката, горниот дел на дебеломерот или линијарот на конусот пред да започнете со обработката, може да се спречат дефекти. Овој тип на дефект може да се коригира само ако грешката по целата должина на конусот е насочена во телото на делот, односно сите дијаметри на ракавот се помали, а оние на конусната шипка се поголеми од потребното.

2. Погрешна големина на конусот со правилен агол, т.е. погрешна големина на дијаметрите по целата должина на конусот, се јавува доколку не се отстрани доволно или премногу материјал. Дефектите може да се спречат само со внимателно поставување на длабочината на сечењето по должината на бројчаникот на завршните пропусници. Ќе го исправиме дефектот доколку не е снимен доволно материјал.

3. Може да испадне дека со правилен заострен и точни димензии на едниот крај на конусот, дијаметарот на вториот крај е неточен. Единствената причина е неуспехот да се усогласи со потребната должина на целиот конусен пресек на делот. Ќе го поправиме дефектот ако делот е предолг. За да се избегне овој тип на дефект, потребно е внимателно да се провери неговата должина пред да се обработи конусот.

4. Неисправноста на генератриксот на конусот што се обработува се добива кога секачот е инсталиран над (сл. 219, б) или под (сл. 219, в) центарот (на овие слики, за поголема јасност, изобличувањата на генератриксот на конусот се прикажани во многу претерана форма). Така, овој тип на дефект е резултат на невнимателната работа на превртувачот.

Безбедносни прашања 1. На кои начини може да се обработуваат конусните површини на стругови?
2. Во кои случаи се препорачува ротирање на горниот дел од дебеломерот?
3. Како се пресметува аголот на вртење на горниот дел од носачот за вртење конус?
4. Како проверувате дали горниот дел од дебеломерот е правилно завртен?
5. Како да се провери поместувањето на куќиштето на опашката?
6. Кои се главните елементи на конусен линијар? Како да поставите заострен линијар за овој дел?
7. Поставете ги следните агли на универзалниот транспортер: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Кои алатки се користат за мерење на конусни површини?
9. Зошто има корнизи или ризици на конусните мерачи и како да се користат?
10. Наведете ги видовите на дефекти при обработка на конусни површини. Како да ги избегнете?

Тема на часот: Конус и неговите елементи

Цели на лекцијата:воведување на концептите на конус, генератрикс, висина и основа; воведете го концептот на областа на страничната површина на конусот како област на нејзиниот развој; развиваат вештина за решавање проблеми за пронаоѓање на елементите на конус.

Тип на лекција:комбинирано.

Опрема:Компјутер, мултимедијален проектор, интерактивна табла, конусни модели.

Напредокот на лекцијата:

1. 
   Проверка на домашната задача на табла.
2. 
   Самостојна работа (Прилог 1.)
3. 
   Објаснување на нов материјал.

• 
  Поими на конус, неговите елементи (врв, оска, генератори, основа, странична површина). Конусна слика.

Конус(поточно, кружен конус) е тело кое се состои од круг - основата на конусот, точка што не лежи во рамнината на овој круг - врвот на конусот и сите сегменти што го поврзуваат врвот на конусот со точките на основата (сл. 1).

Се нарекуваат отсечките што го поврзуваат темето на конусот со точките на основната кружница формирањеконус Површината на конусот се состои од основа и странична површина.

Конусот се нарекува директно, ако правата линија што го поврзува врвот на конусот со центарот на основата е нормална на рамнината на основата. Во продолжение, ќе го разгледаме само правиот конус, нарекувајќи го едноставно конус за краткост. Визуелно, прав кружен конус може да се замисли како тело добиено со вртење правоаголен триаголник околу неговата нога како оска (сл. 2).

Висинана конусот се нарекува нормалната спуштена од нејзиниот врв до рамнината на основата. За правилен конус, основата на висината се совпаѓа со центарот на основата. Оската на десниот кружен конус е права линија што ја содржи неговата висина.

• 
  ^ Пресек на конус со различни рамнини.

  Пресекот на конус со рамнина што минува низ неговото теме е рамнокрак триаголник, чии страни го формираат конусот (сл. 3). Особено, аксијалниот дел на конусот е рамнокрак триаголник. Ова е дел што минува низ оската на конусот (сл. 4).

Теорема.Рамнина паралелна на рамнината на основата на конусот го пресекува конусот во круг, а страничната површина - во круг со центарот на оската на конусот.

Доказ.Нека - рамнина паралелна со рамнината на основата на конусот и што го пресекува конусот (сл. 5). Трансформација на хомотеност во однос на темето на конусот, комбинирање на рамнината

Дефиниции:
Дефиниција 1. Конус
Дефиниција 2. Кружен конус
Дефиниција 3. Висина на конусот
Дефиниција 4. Прав конус
Дефиниција 5. Десен кружен конус
Теорема 1. Генератори на конусот
Теорема 1.1. Аксијален пресек на конусот

Волумен и површина:
Теорема 2. Волумен на конус
Теорема 3. Површина на страничната површина на конус

Скратен конус:
Теорема 4. Пресек паралелен со основата
Дефиниција 6. Скратен конус
Теорема 5. Волумен на скратен конус
Теорема 6. Странична површина на скратен конус

Дефиниции
Тело ограничено од страните со конусна површина земена помеѓу нејзиниот врв и рамнината на водилката, а рамната основа на водилката формирана од затворена крива, се нарекува конус.

Основни концепти
Кружен конус е тело кое се состои од круг (основа), точка што не лежи во рамнината на основата (теме) и сите отсечки што го поврзуваат темето со точките на основата.

Прав конус е конус чија висина го содржи центарот на основата на конусот.

Размислете за која било линија (крива, скршена или мешана) (на пример, л), лежи во одредена рамнина и произволна точка (на пример, М) што не лежи во оваа рамнина. Сите можни прави линии што ја поврзуваат точката М со сите точки на дадена права л, форма површина наречена канонска. Точката М е темето на таква површина и дадената права л - водич. Сите прави линии што ја поврзуваат точката М со сите точки на правата л, повикан формирање. Канонската површина не е ограничена ниту со нејзиното теме, ниту со нејзиниот водич. Се протега на неодредено време во двете насоки од врвот. Сега водичот нека биде затворена конвексна линија. Ако водичот е скршена линија, тогаш телото ограничено од страните со канонична површина земена помеѓу нејзиниот врв и рамнината на водичот, и рамна основа во рамнината на водичот, се нарекува пирамида.
Ако водилката е крива или мешана линија, тогаш телото ограничено од страните со канонична површина земена помеѓу нејзиниот врв и рамнината на водичот и рамна основа во рамнината на водилката, се нарекува конус или
Дефиниција 1 . Конус е тело кое се состои од основа - рамна фигура ограничена со затворена линија (крива или мешана), теме - точка што не лежи во рамнината на основата и сите отсечки што го поврзуваат темето со сите можни точки. на основата.
Сите прави линии што минуваат низ темето на конусот и која било од точките на кривата што ја ограничува фигурата на основата на конусот се нарекуваат генератори на конусот. Најчесто кај геометриските проблеми, генератрикс на права линија значи сегмент од оваа права линија, затворен помеѓу темето и рамнината на основата на конусот.
Основата на ограничена мешана линија е многу редок случај. Овде е означено само затоа што може да се разгледа во геометријата. Почесто се разгледува случајот со заоблен водич. Иако, и случајот со произволна крива и случајот со мешано упатство се од мала корист и тешко е да се извлечат какви било обрасци од нив. Меѓу конусите, десниот кружен конус се изучува во текот на елементарната геометрија.

Познато е дека кругот е посебен случај на затворена крива линија. Круг е рамна фигура ограничена со круг. Земајќи го кругот како водич, можеме да дефинираме кружен конус.
Дефиниција 2 . Кружен конус е тело кое се состои од круг (основа), точка што не лежи во рамнината на основата (теме) и сите отсечки што го поврзуваат темето со точките на основата.
Дефиниција 3 . Висината на конусот е нормалната спуштена од врвот до рамнината на основата на конусот. Можете да изберете конус, чија висина паѓа во центарот на рамната фигура на основата.
Дефиниција 4 . Прав конус е конус чија висина го содржи центарот на основата на конусот.
Ако ги споиме овие две дефиниции, добиваме конус, чија основа е круг, а висината паѓа во центарот на овој круг.
Дефиниција 5 . Десен кружен конус е конус чија основа е круг, а неговата висина ги поврзува врвот и центарот на основата на овој конус. Таков конус се добива со ротирање правоаголен триаголник околу една од неговите краци. Затоа, десниот кружен конус е тело на револуција и се нарекува и конус на револуција. Освен ако не е поинаку наведено, за краткост во следново едноставно велиме конус.
Еве некои својства на конусот:
Теорема 1. Сите генератори на конусот се еднакви. Доказ. Висината на MO е нормална на сите прави линии на основата, по дефиниција, права линија нормална на рамнината. Според тоа, триаголниците MOA, MOB и MOS се правоаголни и еднакви на две катети (MO е општата, OA=OB=OS се радиусите на основата. Затоа и хипотенусите, т.е. генераторите се исто така еднакви.
Радиусот на основата на конусот понекогаш се нарекува радиус на конусот. Висината на конусот исто така се нарекува конусна оска, затоа се нарекува секој дел што минува низ висината аксијален пресек. Секој аксијален дел ја пресекува основата во дијаметар (бидејќи правата линија по која аксијалниот пресек и рамнината на основата се сечат поминува низ центарот на кругот) и формира рамнокрак триаголник.
Теорема 1.1. Аксијалниот дел на конусот е рамнокрак триаголник. Значи, триаголникот AMB е рамнокрак, затоа што неговите две страни MB и MA се генератори. Агол AMB е аголот на темето на аксијалниот пресек.

Во оваа лекција ќе се запознаеме со таква фигура како конус. Ајде да ги проучиме елементите на конусот и видовите на неговите делови. И ќе дознаеме со која фигура конусот има многу заеднички својства.

Сл.1. Предмети во форма на конус

Во светот огромен број работи се обликувани како конус. Честопати не ги ни забележуваме. Конуси на патиштата предупредување за работи на патишта, покриви на замоци и куќи, шишарки за сладолед - сите овие предмети се обликувани како конус (види слика 1).

Ориз. 2. Права триаголник

Размислете за произволен правоаголен триаголник со краци и (види слика 2).

Ориз. 3. Прав кружен конус

Со ротирање на даден триаголник околу една од катетите (без губење на општоста, нека биде крак), хипотенузата ќе ја опише површината, а кракот ќе го опише кругот. Така, ќе се добие тело што се нарекува десен кружен конус (види слика 3).

Ориз. 4. Видови конуси

Бидејќи зборуваме за прав кружен конус, очигледно има и индиректен и некружен? Ако основата на конусот е круг, но темето не е проектирано во центарот на овој круг, тогаш таквиот конус се нарекува наклонет. Ако основата не е круг, туку произволна фигура, тогаш таквото тело понекогаш се нарекува и конус, но, се разбира, не кружно (види слика 4).

Така, повторно доаѓаме до аналогијата што ни е веќе позната од работата со цилиндри. Всушност, конусот е нешто како пирамида, само што пирамидата има многуаголник во основата, а конусот (кој ќе го разгледаме) има круг (види слика 5).

Сегментот на оската на ротација (во нашиот случај ова е кракот) затворен во внатрешноста на конусот се нарекува оска на конусот (види слика 6).

Ориз. 5. Конус и пирамида

Ориз. 6. - конусна оска

Ориз. 7. Основа на конусот

Кругот формиран со ротација на вториот крак () се нарекува основа на конусот (види слика 7).

И должината на оваа нога е радиусот на основата на конусот (или, поедноставно, радиусот на конусот) (види слика 8).

Ориз. 8. - радиус на конус

Ориз. 9. - врвот на конусот

Темето на остар агол на ротирачкиот триаголник што лежи на оската на ротација се нарекува теме на конус (види слика 9).

Ориз. 10. - висина на конус

Висината на конусот е сегмент извлечен од врвот на конусот нормално на неговата основа (види слика 10).

Овде може да имате прашање: како тогаш сегментот на оската на ротација се разликува од висината на конусот? Всушност, тие се совпаѓаат само во случај на правилен конус, ако погледнете на наклонет конус, ќе забележите дека тоа се два сосема различни сегменти (види Сл. 11).

Ориз. 11. Висина во наклонет конус

Да се ​​вратиме на правиот конус.

Ориз. 12. Генератори на конусот

Сегментите што го поврзуваат темето на конусот со точките на кругот на неговата основа се нарекуваат генератори на конусот. Патем, сите генератори на десниот конус се еднакви една со друга (види слика 12).

Ориз. 13. Природни предмети слични на конуси

Конос во превод од грчки значи „борова шишарка“. Во природата има доволно предмети кои имаат облик на конус: смрека, планина, мравјалник итн. (види Сл. 13).

Но, ние сме навикнати на фактот дека конусот е исправен. Има еднакви генератрики, а неговата висина се совпаѓа со оската. Таков конус го нарековме правилен конус. Во курсевите по училишна геометрија, обично се земаат предвид правите конуси, а стандардно секој конус се смета за десен кружен. Но, веќе рековме дека не постојат само прави конуси, туку и наклонети.

Ориз. 14. Нормален пресек

Да се ​​вратиме на прави конуси. Да го „пресечеме“ конусот со рамнина нормална на оската (види слика 14).

Која фигура ќе биде на сечењето? Се разбира, тоа е круг! Да се ​​потсетиме дека рамнината тече нормално на оската, а со тоа и паралелна со основата, која е круг.

Ориз. 15. Наклонет пресек

Сега постепено да ја навалуваме рамнината на пресекот. Тогаш нашиот круг ќе почне постепено да се претвора во се повеќе издолжен овал. Но само додека рамнината на пресекот не се судри со основниот круг (види слика 15).

Ориз. 16. Видови делови користејќи го примерот на морков

Оние кои сакаат експериментално да го истражуваат светот можат да го потврдат тоа со помош на морков и нож (обидете се да исечете парчиња од морков под различни агли) (види Сл. 16).

Ориз. 17. Аксијален пресек на конусот

Пресекот на конус со рамнина што минува низ неговата оска се нарекува аксијален пресек на конусот (види Сл. 17).

Ориз. 18. Рамнокрак триаголник - пресек фигура

Овде добиваме сосема поинаква пресечна фигура: триаголник. Овој триаголник е рамнокрак (види Сл. 18).

Во оваа лекција научивме за цилиндричната површина, видовите цилиндри, елементите на цилиндарот и сличноста на цилиндарот со призмата.

Генератријата на конусот е 12 cm и е наклонета кон рамнината на основата под агол од 30 степени. Најдете ја областа на аксијалниот пресек на конусот.

Решение

Дозволете ни да го разгледаме потребниот аксијален дел. Ова е рамнокрак триаголник во кој страните се 12 степени, а аголот на основата е 30 степени. Потоа можете да продолжите на различни начини. Или можете да ја нацртате висината, да ја пронајдете (половина од хипотенузата, 6), потоа основата (со помош на Питагоровата теорема), а потоа областа.

Ориз. 19. Илустрација за проблемот

Или веднаш пронајдете го аголот на темето - 120 степени - и пресметајте ја плоштината како полупроизвод на страните и синусот на аголот меѓу нив (одговорот ќе биде ист).

1. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение. Атанасјан Л.С. и други 18-ти ед. - М.: Образование, 2009. - 255 стр.
2. Геометрија 11 одделение, А.В. Погорелов, М.: Образование, 2002 година
3. Работна тетратка по геометрија 11 одделение, В.Ф. Бутузов, Ју.А. Глазков

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Домашна задача

Кои излегуваат од една точка (врвот на конусот) и кои минуваат низ рамна површина.

Се случува конусот да е дел од телото што има ограничен волумен и се добива со комбинирање на секој сегмент што ги поврзува темето и точките на рамна површина. Последново, во овој случај, е основата на конусот, и се вели дека конусот лежи на оваа основа.

Кога основата на конусот е многуаголник, тоа е веќе пирамида .

Кружен конус- ова е тело кое се состои од круг (основата на конусот), точка што не лежи во рамнината на овој круг (врвот на конусот и сите отсечки што го поврзуваат врвот на конусот со точките на основа). Се нарекуваат отсечките кои го поврзуваат темето на конусот и точките на основната кружница формирање на конус. Површината на конусот се состои од основа и странична површина.

Површината на страничната површина е точна n-јаглеродна пирамида впишана во конус:

S n =½P n l n,

Каде Pn- периметарот на основата на пирамидата, и l n- апотема.

По истиот принцип: за страничната површина на скратен конус со базни радиуси R 1, R 2и формирање лја добиваме следната формула:

S=(R1 +R2)l.

Прави и коси кружни конуси со еднаква основа и висина. Овие тела имаат ист волумен:

Својства на конус.

• Кога површината на основата има граница, тоа значи дека и волуменот на конусот има граница и е еднаков на третиот дел од производот на висината и површината на основата.

Каде С- основна површина, Х- висина.

Така, секој конус што лежи на оваа основа и има теме што се наоѓа на рамнина паралелна со основата има еднаков волумен, бидејќи нивните висини се исти.

• Тежиштето на секој конус со волумен што има граница се наоѓа на четвртина од висината од основата.
• Цврстиот агол на темето на прав кружен конус може да се изрази со следнава формула:

Каде α - агол на отворање на конусот.

• Страничната површина на таков конус, формула:

и вкупната површина (односно збирот на површините на страничната површина и основата), формулата:

S=πR(l+R),

Каде Р- радиус на основата, л- должина на генератриксот.

• Волумен на кружен конус, формула:

• За скратен конус (не само прав или кружен), волумен, формула:

Каде С 1И С 2- површина на горните и долните основи,

чИ Х- растојанија од рамнината на горната и долната основа до врвот.

• Пресекот на рамнина со десен кружен конус е еден од конусните делови.