geloof het echter niet geval. Lees al deze artikelen aandachtig. Dan wordt het zo helder als de stralende zon.

Net zoals de hand en het brein van niet alle mensen een mysterieuze kracht hebben, kan ook de slinger in de handen van niet alle mensen mysterieus worden. Deze kracht wordt niet verworven, maar geboren met een persoon. In het ene gezin wordt de een rijk geboren en de ander arm. Niemand heeft de macht om de van nature rijken arm te maken of andersom. Nu begrijp je hiermee wat ik je wilde vertellen. Als je het niet begrijpt, geef jezelf dan de schuld, je bent zo geboren.

Wat is een slinger? Waar is het van gemaakt? Een slinger is een vrij bewegend lichaam dat aan een touwtje is bevestigd. In de handen van een meester zingt zelfs een eenvoudig riet als een nachtegaal. Ook maakt een slinger in de handen van een getalenteerde biomaster ongelooflijke effecten op het gebied van het menselijk bestaan ​​en bestaan.

Het komt niet altijd voor dat je een slinger bij je draagt. Ik moest dus een verloren ring van één familie vinden, maar ik had de slinger niet bij me. Ik keek om me heen en een wijnkurk trok mijn aandacht. Vanaf ongeveer het midden van de kurk heb ik met een mes een kleine snede gemaakt en de draad vastgemaakt. De slinger is klaar.
Ik vroeg hem: “Wil je eerlijk met mij samenwerken?” Hij draaide krachtig met de klok mee, alsof hij opgewekt reageerde. Laat hem mentaal weten: "Laten we dan de ontbrekende ring vinden." De slinger bewoog opnieuw als teken van instemming. Ik begon door de tuin te lopen.

Omdat de schoondochter zei dat ze het huis nog niet was binnengegaan toen ze merkte dat ze geen ring aan haar vinger had. Ze zei ook dat ze al heel lang naar de juwelier wilde, omdat haar vingers dunner waren geworden en de ring eraf begon te vallen. Plotseling bewoog de slinger in mijn handen een beetje, draaide een beetje terug, de slinger viel stil. Ik ging vooruit, maar de slinger bewoog weer. Hij liep verder, werd weer stil, ik was verbaasd. Links is de slinger stil, voorwaarts is hij stil. Rechts ga nergens heen. Er stroomt daar een klein slootje. Plotseling besefte ik het en hield de slinger recht boven het water. De slinger begon intensief met de klok mee te draaien. Ik belde mijn schoondochter en liet me de locatie van de ring zien.
Met vreugde in haar ogen begon ze door de greppel te rommelen en vond snel de ring. Het blijkt dat ze haar handen aan het wassen was in een greppel, en op dat moment viel de ring, maar ze merkte het niet. Alle aanwezigen bewonderden het werk van de wijnkurk.

Niet alle mensen zijn geboren waarzeggers of waarzeggers. Niet alle waarzeggers of waarzeggers zijn succesvol. Een paar voorspellers werken met kleinere fouten, maar velen spelen vals als zigeuners. Zo ook de slinger. Een incompetent persoon beschouwt het als een nutteloos iets, ook al is het van goud gemaakt, het heeft geen betekenis. In de handen van een echte meester doet een stukje gewone steen of noot wonderen.
Ik herinner het mij als de dag van gisteren. Op een bijeenkomst trok ik mijn jas uit en ging een tijdje naar buiten. Toen ik terugkwam, voelde ik dat er iets mis was in mijn hart. Werktuiglijk begon hij in zijn zak te graaien. Het bleek dat iemand mijn zilveren slinger had afgepakt. Ik viel stil en vertelde niemand wat er was gebeurd.
Vele dagen gingen voorbij en op een dag kwam een ​​van de mensen die bij ons zaten op de bijeenkomst waar mijn slinger verloren was, naar mijn huis. Hij verontschuldigde zich diep en overhandigde mij de slinger. Het bleek dat hij dacht dat alle kracht op mijn slinger zat en dacht dat deze slinger net als de mijne ook voor hem zou werken.
Toen hij zich zijn fout realiseerde, kwelde zijn geweten hem lange tijd en besloot uiteindelijk de slinger terug te geven aan de eigenaar. Ik accepteerde zijn verontschuldiging en trakteerde hem ook op thee en stelde zelfs een diagnose. Ik ontdekte veel ziekten bij hem met een slinger en maakte de juiste medicijnen voor hem klaar.
Sommige mensen hebben een natuurlijke gave voor genezing en waarzeggerij. Dit talent komt al jaren niet meer naar buiten. Soms komen ze toevallig een expert tegen, en hij laat hem zijn voorbestemde levenspad zien.
Onlangs kwam een ​​vrouw van middelbare leeftijd voor een diagnose. Aan haar uiterlijk kun je niet zien dat ze ziek is. Ze klaagde over een hoge warmte in haar ledematen, er kwam voortdurend hitte uit haar handpalmen en voetzolen, en ze voelde vaak hevige, barstende pijnen in haar hoofd rond de kruin. Nadat ik het eerst aan de hand van de hartslag had gediagnosticeerd en een toename van de vasculaire tonus had opgemerkt, begon ik de bloeddruk te meten met een halfautomatisch apparaat. De waarden gingen uiteindelijk buiten de schaal, zowel systolisch als diastolisch. Ze gaven 135 tot 241 aan, en de hartslag bleek onder de norm voor dergelijke hypertensie: 62 slagen per minuut. Een vrouw met zo'n hoge bloeddruk zat rustig voor me. Alsof ik geen enkel ongemak voel van mijn vaataandoening. Essentiële (onverklaarde) hypertensie maakte haar niet depressief.

Aan haar pols heb ik niets gemerkt, ook niet tijdens de polsdiagnostiek. Ik diagnosticeerde haar met een minder vaak voorkomende essentiële (onverklaarbare oorzaak) hypertensie. Als een reguliere arts haar bloeddruk had gemeten, had hij direct een ambulance gebeld en haar op een brancard gelegd. Hij liet haar niet eens bewegen. Feit is dat van een persoon met een dergelijke stijging van de bloeddruk wordt aangenomen dat hij een hypertensieve crisis heeft. Het kan worden gevolgd door een herseninfarct of een hartaanval.
Volgens haar zorgen reguliere antihypertensiva ervoor dat ze zich zo veel slechter voelt dat ze er zelfs misselijk van wordt. Op aandringen van haar zoon leerde ze een slinger te gebruiken; als haar hoofd erg pijn doet, vraagt ​​ze aan de slinger of ze wel of niet aspirine of pentalgin wil drinken. Meer zelden neemt ze, met toestemming van de slinger, een afkooksel van wilgenbladeren of een afkooksel van kweepeerbladeren, dat haar vier jaar geleden werd aanbevolen door de dokter Muhiddin. Als haar hoofd erg pijn doet, drinkt ze aspirine; in extreem ernstige gevallen neemt ze pentalgin. Artsen en buren van een hypertensieve patiënt lachen om haar zelfmedicatie.
Ik gebruikte mijn slinger om alle medicijnen te controleren die ze slikt tegen hoofdpijn en hoge bloeddruk. Ze bleken allemaal effectief te zijn.Ik vroeg het ook aan de slinger. “Zal haar gezondheid verbeteren als ze mensen begint te genezen met haar warmte?”, zwaaide de slinger onmiddellijk krachtig met de klok mee, bevestigend. Dus schreef ik haar behandeling voor zichzelf voor, om van essentiële hypertensie af te komen, moet ze de ziekten van andere mensen behandelen door er handen of voeten op te leggen. Nu verwijs ik patiënten vaak naar haar en zij behandelt ze met succes psychische voorbijgangen. Hij richt de warmte van zijn hand op ziekten tot aan de taille, op ziekten onder de taille, in liggende positie boven de patiënt houdt hij respectievelijk het rechter- of linkerbeen in het probleemgebied.
Zowel zij als de patiënten zijn tevreden met de resultaten. Sinds twee jaar heeft ze geen aspirine of pentalgin meer geslikt, en dankzij de slinger mag ze soms een afkooksel van wilgen- of kweepeerblaadjes drinken tegen lichte hoofdpijn.
Wie haar hulp nodig heeft, schrijf mij, zij zal je helpen tegen een schamele vergoeding. Ik heb haar zelfs geleerd hoe je mensen op grote afstand contactloos kunt behandelen.
Iemand die werkelijk met een slinger werkt tijdens de werking van de slinger, moet daarmee synchroon communiceren en van tevoren weten en voelen in welke richting de bewegingen van de slinger op dat moment zijn gericht. Met het energetische vermogen van zijn hersenen moet de persoon die de draad van de slinger vasthoudt hem onbewust, en niet speculatief, helpen bij verdere acties op dit object, en niet als toeschouwer onverschillig naar de werking van de slinger kijken.
De slinger werd en wordt nog steeds gebruikt door bijna alle beroemde mensen in Mesopotamië, Assyrië, Urartu, India, China, Japan, het oude Rome, Egypte, Griekenland, Azië, Afrika, Amerika, Europa, het Oosten en vele landen over de hele wereld.
Vanwege het feit dat veel vooraanstaande internationale instellingen, prominente figuren uit verschillende wetenschapsgebieden de werking en het doel van de slinger ten gunste van het symbiotisch en harmonieus naast elkaar bestaan ​​van de mensheid met de omringende natuur nog niet voldoende hebben gewaardeerd. De mensheid heeft de pseudowetenschappelijke opvattingen over het universum van het Universele Normaal op het niveau van de moderne natuurwetenschappen nog niet volledig opgegeven. Er is een stadium waarin de kennisgrens tussen religie, esoterie en natuurwetenschap vervaagt. Uiteraard moet de natuurwetenschap de basis worden van alle fundamentele wetenschappen, zonder enige bijzin.
Er is hoop dat de wetenschap van de slinger ook zijn rechtmatige plaats zal innemen in het leven van mensen, samen met de informatiewetenschap. Er was tenslotte een tijd dat de leiders van ons multinationale land cybernetica tot een pseudowetenschap verklaarden en niet toestonden dat het niet alleen werd bestudeerd, maar zelfs werd bestudeerd in onderwijsinstellingen.
Dus nu, op het niveau van het hoogste echelon van de moderne wetenschap, kijken ze naar het idee van een slinger alsof het een achterlijke industrie is. Het is noodzakelijk om de slinger, het wichelroedelopen en het frame onder één enkele sectie van de informatica te systematiseren, en het is noodzakelijk om een ​​computerprogrammamodule te creëren.
Met behulp van deze module kan iedereen ontbrekende dingen vinden, de locatie van objecten bepalen en uiteindelijk een diagnose stellen van mensen, dieren, vogels, insecten en de hele natuur in het algemeen.
Om dit te doen, moet je de ideeën van L. G. Puchko over multidimensionale geneeskunde en het werk van de paranormale Geller bestuderen, evenals de ideeën van de Bulgaarse genezer Kanaliev en het werk van vele andere mensen die verbazingwekkende resultaten hebben bereikt met de hulp van een slinger.

Wiskundige slinger is een materieel punt dat is opgehangen aan een gewichtloze en onuitrekbare draad die zich in het zwaartekrachtveld van de aarde bevindt. Een wiskundige slinger is een geïdealiseerd model dat alleen onder bepaalde omstandigheden een echte slinger correct beschrijft. Een echte slinger kan als wiskundig worden beschouwd als de lengte van de draad veel groter is dan de grootte van het lichaam dat eraan hangt, de massa van de draad verwaarloosbaar is in vergelijking met de massa van het lichaam en de vervormingen van de draad zo klein zijn. dat ze geheel verwaarloosd kunnen worden.

Het oscillerende systeem wordt in dit geval gevormd door een draad, een daaraan bevestigd lichaam en de aarde, zonder welke dit systeem niet als slinger zou kunnen dienen.

Waar A X – versnelling, G – versnelling van de vrije val, X- verplaatsing, l– lengte van de slingerdraad.

Deze vergelijking wordt genoemd vergelijking van vrije oscillaties van een wiskundige slinger. Het beschrijft de trillingen in kwestie alleen correct als aan de volgende aannames wordt voldaan:

2) Er wordt alleen rekening gehouden met kleine oscillaties van de slinger met een kleine draaihoek.

Vrije trillingen van alle systemen worden in alle gevallen beschreven door soortgelijke vergelijkingen.

De oorzaken van vrije oscillaties van een wiskundige slinger zijn:

1. Het effect van spanning en zwaartekracht op de slinger, waardoor deze niet uit de evenwichtspositie kan bewegen en opnieuw moet vallen.

2. De traagheid van de slinger, waardoor hij, met behoud van zijn snelheid, niet stopt in de evenwichtspositie, maar er verder doorheen gaat.

Periode van vrije oscillaties van een wiskundige slinger

De periode van vrije oscillatie van een wiskundige slinger hangt niet af van zijn massa, maar wordt alleen bepaald door de lengte van de draad en de versnelling van de zwaartekracht op de plaats waar de slinger zich bevindt.

Energieconversie tijdens harmonische oscillaties

Tijdens harmonische trillingen van een veerslinger wordt de potentiële energie van een elastisch vervormd lichaam omgezet in zijn kinetische energie, waarbij k – elasticiteitscoëfficiënt, X - verplaatsingsmodulus van de slinger vanuit de evenwichtspositie, M- massa van de slinger, v- zijn snelheid. Volgens de harmonische trillingsvergelijking:

, .

Totale energie van een veerslinger:

.

Totale energie voor een wiskundige slinger:

In het geval van een wiskundige slinger

Energietransformaties tijdens trillingen van een veerslinger vinden plaats in overeenstemming met de wet van behoud van mechanische energie ( ). Wanneer een slinger vanuit zijn evenwichtspositie naar beneden of naar boven beweegt, neemt zijn potentiële energie toe en neemt zijn kinetische energie af. Wanneer de slinger de evenwichtspositie passeert ( X= 0), de potentiële energie is nul en de kinetische energie van de slinger heeft de grootste waarde, gelijk aan de totale energie.

Dus tijdens het proces van vrije oscillaties van de slinger verandert zijn potentiële energie in kinetisch, kinetisch in potentieel, potentieel en vervolgens weer in kinetisch, enz. Maar de totale mechanische energie blijft onveranderd.

Geforceerde trillingen. Resonantie.

Oscillaties die optreden onder invloed van een externe periodieke kracht worden genoemd geforceerde oscillaties. Een externe periodieke kracht, een drijvende kracht genoemd, verleent extra energie aan het oscillerende systeem, dat de energieverliezen aanvult die optreden als gevolg van wrijving. Als de drijvende kracht in de loop van de tijd verandert volgens de wet van sinus of cosinus, zullen de gedwongen oscillaties harmonisch en ongedempt zijn.

In tegenstelling tot vrije oscillaties, wanneer het systeem slechts één keer energie ontvangt (wanneer het systeem uit evenwicht wordt gebracht), absorbeert het systeem in het geval van gedwongen oscillaties deze energie continu van een bron van externe periodieke kracht. Deze energie compenseert de verliezen die worden besteed aan het overwinnen van wrijving, en daarom blijft de totale energie van het oscillerende systeem nog steeds onveranderd.

De frequentie van gedwongen oscillaties is gelijk aan de frequentie van de drijvende kracht. In het geval dat de aandrijfkrachtfrequentie υ valt samen met de natuurlijke frequentie van het oscillerende systeem υ 0 , er is een scherpe toename in de amplitude van geforceerde oscillaties - resonantie. Resonantie treedt op vanwege het feit dat wanneer υ = υ 0 de externe kracht, die in de tijd met vrije trillingen werkt, is altijd uitgelijnd met de snelheid van het oscillerende lichaam en doet positief werk: de energie van het oscillerende lichaam neemt toe en de amplitude van zijn oscillaties wordt groot. Grafiek van de amplitude van gedwongen oscillaties A T op de aandrijfkrachtfrequentie υ weergegeven in de figuur, wordt deze grafiek de resonantiecurve genoemd:

Het fenomeen resonantie speelt een belangrijke rol in een aantal natuurlijke, wetenschappelijke en industriële processen. Het is bijvoorbeeld noodzakelijk om rekening te houden met het fenomeen resonantie bij het ontwerpen van bruggen, gebouwen en andere constructies die trillingen ervaren onder belasting, anders kunnen deze constructies onder bepaalde omstandigheden worden vernietigd.

Wiskundige slinger noem een ​​materieel punt dat is opgehangen aan een gewichtloze en niet-rekbare draad die aan de ophanging is bevestigd en zich in het veld van de zwaartekracht (of een andere kracht) bevindt.

Laten we de trillingen van een wiskundige slinger bestuderen in een inertiaal referentiekader, ten opzichte waarvan het ophangpunt in rust is of gelijkmatig in een rechte lijn beweegt. We zullen de kracht van de luchtweerstand (ideale wiskundige slinger) verwaarlozen. Aanvankelijk bevindt de slinger zich in rust in de evenwichtspositie C. In dit geval worden de daarop inwerkende zwaartekracht en de elastische kracht F?ynp van de draad wederzijds gecompenseerd.

Laten we de slinger uit de evenwichtspositie halen (door hem bijvoorbeeld naar positie A te buigen) en hem loslaten zonder beginsnelheid (Fig. 1). In dit geval zijn de krachten niet met elkaar in evenwicht. De tangentiële component van de zwaartekracht, die op de slinger inwerkt, geeft deze een tangentiële versnelling van een? (component van de totale versnelling gericht langs de raaklijn aan het traject van de wiskundige slinger), en de slinger begint met toenemende snelheid naar de evenwichtspositie te bewegen. De tangentiële component van de zwaartekracht is dus een herstellende kracht. De normale zwaartekrachtcomponent is tegen de elastische kracht langs de draad gericht. De resultante van de krachten geeft de slinger een normale versnelling, waardoor de richting van de snelheidsvector verandert, en de slinger beweegt langs de boog ABCD.

Hoe dichter de slinger bij de evenwichtspositie C komt, hoe kleiner de waarde van de tangentiële component wordt. In de evenwichtspositie is deze gelijk aan nul en bereikt de snelheid zijn maximale waarde, en beweegt de slinger verder door traagheid en stijgt in een boog omhoog. In dit geval is het onderdeel tegen de snelheid gericht. Naarmate de afbuighoek a groter wordt, neemt de grootte van de kracht toe en neemt de grootte van de snelheid af, en in punt D wordt de snelheid van de slinger nul. De slinger stopt even en begint dan in de tegenovergestelde richting van de evenwichtspositie te bewegen. Nadat de slinger hem opnieuw door traagheid is gepasseerd, zal hij, door zijn beweging te vertragen, punt A bereiken (er is geen wrijving), d.w.z. zal een complete swing voltooien. Hierna wordt de beweging van de slinger herhaald in de reeds beschreven volgorde.

Laten we een vergelijking verkrijgen die de vrije oscillaties van een wiskundige slinger beschrijft.

Laat de slinger zich op een gegeven moment in punt B bevinden. De verplaatsing S vanuit de evenwichtspositie op dat moment is gelijk aan de lengte van de boog SV (d.w.z. S = |SV|). Laten we de lengte van de ophangdraad aangeven als l, en de massa van de slinger als m.

Uit figuur 1 blijkt duidelijk dat , waar . Bij kleine hoeken () buigt de slinger dus door

Het minteken wordt in deze formule geplaatst omdat de tangentiële component van de zwaartekracht naar de evenwichtspositie is gericht en de verplaatsing wordt geteld vanaf de evenwichtspositie.

Volgens de tweede wet van Newton. Laten we de vectorgrootheden van deze vergelijking projecteren op de richting van de raaklijn aan het traject van de wiskundige slinger

Uit deze vergelijkingen krijgen we

Dynamische bewegingsvergelijking van een wiskundige slinger. De tangentiële versnelling van een wiskundige slinger is evenredig met de verplaatsing ervan en is gericht op de evenwichtspositie. Deze vergelijking kan worden geschreven als

Vergelijk het met de harmonische trillingsvergelijking kunnen we concluderen dat de wiskundige slinger harmonische oscillaties uitvoert. En aangezien de beschouwde oscillaties van de slinger plaatsvonden onder invloed van alleen interne krachten, waren dit vrije oscillaties van de slinger. Bijgevolg zijn vrije oscillaties van een wiskundige slinger met kleine afwijkingen harmonisch.

Laten we aanduiden

Cyclische frequentie van slingertrillingen.

Periode van oscillatie van een slinger. Vandaar,

Deze uitdrukking wordt de formule van Huygens genoemd. Het bepaalt de periode van vrije oscillaties van een wiskundige slinger. Uit de formule volgt dat bij kleine afwijkingen van de evenwichtspositie de oscillatieperiode van een wiskundige slinger is:

1. is niet afhankelijk van de massa en trillingsamplitude;
2. is evenredig met de vierkantswortel van de lengte van de slinger en omgekeerd evenredig met de vierkantswortel van de versnelling van de zwaartekracht.

Dit komt overeen met de experimentele wetten van kleine trillingen van een wiskundige slinger, die werden ontdekt door G. Galileo.

We benadrukken dat deze formule kan worden gebruikt om de periode te berekenen als aan twee voorwaarden tegelijkertijd wordt voldaan:

1. de oscillaties van de slinger moeten klein zijn;
2. het ophangpunt van de slinger moet in rust zijn of gelijkmatig in een rechte lijn bewegen ten opzichte van het traagheidsreferentieframe waarin deze zich bevindt.

Als het ophangpunt van een wiskundige slinger met versnelling beweegt, verandert de spankracht van de draad, wat leidt tot een verandering in de herstelkracht, en bijgevolg in de frequentie en periode van oscillaties. Zoals uit berekeningen blijkt, kan de slingerperiode van de slinger in dit geval worden berekend met behulp van de formule

waar is de "effectieve" versnelling van de slinger in een niet-traagheidsreferentieframe. Het is gelijk aan de geometrische som van de versnelling van de vrije val en de vector tegengesteld aan de vector, d.w.z. het kan worden berekend met behulp van de formule

Een wiskundige slinger is een model van een gewone slinger. Een wiskundige slinger is een materieel punt dat aan een lange, gewichtloze en niet-rekbare draad hangt.

Laten we de bal uit zijn evenwichtspositie halen en loslaten. Er zullen twee krachten op de bal inwerken: de zwaartekracht en de spanning van de draad. Wanneer de slinger beweegt, zal de kracht van luchtwrijving er nog steeds op inwerken. Maar we zullen het als heel klein beschouwen.

Laten we de zwaartekracht ontleden in twee componenten: een kracht die langs de draad is gericht, en een kracht die loodrecht op de raaklijn aan de baan van de bal is gericht.

Deze twee krachten vormen samen de zwaartekracht. De elastische krachten van de draad en de zwaartekrachtcomponent Fn zorgen voor een centripetale versnelling van de bal. De arbeid die door deze krachten wordt verricht, zal nul zijn en daarom zullen ze alleen de richting van de snelheidsvector veranderen. Op elk moment zal het tangentiaal op de boog van de cirkel worden gericht.

Onder invloed van de zwaartekrachtcomponent Fτ zal de bal langs een cirkelboog bewegen met een snelheid die in omvang toeneemt. De waarde van deze kracht verandert altijd van grootte; wanneer deze door de evenwichtspositie gaat, is deze gelijk aan nul.

Dynamiek van oscillerende beweging

Bewegingsvergelijking van een lichaam dat oscilleert onder invloed van een elastische kracht.

Algemene bewegingsvergelijking:

Trillingen in het systeem treden op onder invloed van elastische kracht, die volgens de wet van Hooke recht evenredig is met de verplaatsing van de last

Dan zal de bewegingsvergelijking van de bal de volgende vorm aannemen:

Deel deze vergelijking door m, we krijgen de volgende formule:

En aangezien de massa- en elasticiteitscoëfficiënt constante waarden zijn, zal de verhouding (-k/m) ook constant zijn. We hebben een vergelijking verkregen die de trillingen van een lichaam beschrijft onder invloed van elastische kracht.

De projectie van de versnelling van het lichaam zal recht evenredig zijn met zijn coördinaat, genomen met het tegenovergestelde teken.

Bewegingsvergelijking van een wiskundige slinger

De bewegingsvergelijking van een wiskundige slinger wordt beschreven door de volgende formule:

Deze vergelijking heeft dezelfde vorm als de bewegingsvergelijking van een massa op een veer. Bijgevolg vinden de trillingen van de slinger en de bewegingen van de bal op de veer op dezelfde manier plaats.

De verplaatsing van de kogel op de veer en de verplaatsing van het slingerlichaam vanuit de evenwichtspositie veranderen in de tijd volgens dezelfde wetten.

Een mechanisch systeem dat bestaat uit een materieel punt (lichaam) dat aan een onuitrekbare gewichtloze draad hangt (de massa is verwaarloosbaar vergeleken met het gewicht van het lichaam) in een uniform zwaartekrachtveld wordt een wiskundige slinger genoemd (een andere naam is een oscillator). Er zijn andere typen van dit apparaat. In plaats van een draad kan een gewichtloze staaf worden gebruikt. Een wiskundige slinger kan de essentie van veel interessante verschijnselen duidelijk onthullen. Wanneer de trillingsamplitude klein is, wordt de beweging ervan harmonisch genoemd.

Overzicht mechanisch systeem

De formule voor de slingerperiode van deze slinger is afgeleid door de Nederlandse wetenschapper Huygens (1629-1695). Deze tijdgenoot van I. Newton was zeer geïnteresseerd in dit mechanische systeem. In 1656 creëerde hij de eerste klok met een slingermechanisme. Ze maten de tijd met uitzonderlijke precisie voor die tijd. Deze uitvinding werd een belangrijke fase in de ontwikkeling van fysieke experimenten en praktische activiteiten.

Als de slinger zich in de evenwichtspositie bevindt (verticaal hangend), wordt deze in evenwicht gehouden door de spankracht van de draad. Een platte slinger op een niet-rekbare draad is een systeem met twee vrijheidsgraden met koppeling. Wanneer u slechts één onderdeel wijzigt, veranderen de kenmerken van alle onderdelen. Dus als de draad wordt vervangen door een staaf, heeft dit mechanische systeem slechts 1 vrijheidsgraad. Welke eigenschappen heeft een wiskundige slinger? In dit eenvoudigste systeem ontstaat chaos onder invloed van periodieke verstoringen. In het geval dat het ophangpunt niet beweegt, maar oscilleert, heeft de slinger een nieuwe evenwichtspositie. Door snelle op- en neergaande bewegingen verkrijgt dit mechanische systeem een ​​stabiele “ondersteboven” positie. Het heeft ook een eigen naam. Het wordt de Kapitsa-slinger genoemd.

Eigenschappen van een slinger

De wiskundige slinger heeft zeer interessante eigenschappen. Ze worden allemaal bevestigd door bekende natuurkundige wetten. De slingerperiode van elke andere slinger hangt af van verschillende omstandigheden, zoals de grootte en vorm van het lichaam, de afstand tussen het ophangpunt en het zwaartepunt, en de verdeling van de massa ten opzichte van dit punt. Daarom is het bepalen van de ophangperiode van een lichaam een ​​behoorlijk lastige opgave. Het is veel gemakkelijker om de periode van een wiskundige slinger te berekenen, waarvan de formule hieronder wordt gegeven. Als resultaat van observaties van vergelijkbare mechanische systemen kunnen de volgende patronen worden vastgesteld:

Als we, terwijl we dezelfde lengte van de slinger behouden, verschillende gewichten ophangen, zal de periode van hun oscillaties hetzelfde zijn, hoewel hun massa sterk zal variëren. De duur van een dergelijke slinger hangt dus niet af van de massa van de last.

Als de slinger bij het starten van het systeem onder niet te grote, maar onder verschillende hoeken wordt afgebogen, dan zal hij met dezelfde periode beginnen te oscilleren, maar met verschillende amplitudes. Zolang de afwijkingen van het evenwichtscentrum niet te groot zijn, zullen de trillingen in hun vorm vrij dicht bij de harmonische liggen. De periode van een dergelijke slinger hangt op geen enkele manier af van de oscillerende amplitude. Deze eigenschap van een bepaald mechanisch systeem wordt isochronisme genoemd (vertaald uit het Grieks "chronos" - tijd, "isos" - gelijk).

Periode van een wiskundige slinger

Deze indicator vertegenwoordigt de periode. Ondanks de complexe formulering is het proces zelf heel eenvoudig. Als de lengte van de draad van een wiskundige slinger L is, en de versnelling van de vrije val g is, dan is deze waarde gelijk aan:

De periode van kleine natuurlijke trillingen hangt op geen enkele manier af van de massa van de slinger en de amplitude van de trillingen. In dit geval beweegt de slinger als een wiskundige slinger met een kleinere lengte.

Oscillaties van een wiskundige slinger

Een wiskundige slinger oscilleert, wat kan worden beschreven door een eenvoudige differentiaalvergelijking:

x + ω2 zonde x = 0,

waarbij x (t) een onbekende functie is (dit is de afwijkingshoek van de lagere evenwichtspositie op moment t, uitgedrukt in radialen); ω is een positieve constante, die wordt bepaald uit de parameters van de slinger (ω = √g/L, waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is, en L de lengte van de wiskundige slinger (ophanging).

De vergelijking voor kleine trillingen nabij de evenwichtspositie (harmonische vergelijking) ziet er als volgt uit:

x + ω2 zonde x = 0

Oscillerende bewegingen van een slinger

Een wiskundige slinger, die kleine oscillaties maakt, beweegt langs een sinusoïde. De differentiaalvergelijking van de tweede orde voldoet aan alle vereisten en parameters van een dergelijke beweging. Om het traject te bepalen, is het noodzakelijk om de snelheid en coördinaat in te stellen, waaruit vervolgens onafhankelijke constanten worden bepaald:

x = Een zonde (θ 0 + ωt),

waarbij θ 0 de initiële fase is, A de oscillatieamplitude is, ω de cyclische frequentie is, bepaald op basis van de bewegingsvergelijking.

Wiskundige slinger (formules voor grote amplitudes)

Dit mechanische systeem, dat met een aanzienlijke amplitude oscilleert, is onderworpen aan complexere bewegingswetten. Voor zo'n slinger worden ze berekend volgens de formule:

zonde x/2 = u * sn(ωt/u),

waarbij sn de Jacobi-sinus is, die voor u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

waarbij ε = E/mL2 (mL2 is de energie van de slinger).

De oscillatieperiode van een niet-lineaire slinger wordt bepaald met behulp van de formule:

waarbij Ω = π/2 * ω/2K(u), K de elliptische integraal is, π - 3,14.

Beweging van een slinger langs een separatrix

Een separatrix is ​​het traject van een dynamisch systeem dat een tweedimensionale faseruimte heeft. Een wiskundige slinger beweegt er niet-periodiek langs. Op een oneindig ver verwijderd moment in de tijd valt het van zijn hoogste positie naar de zijkant zonder snelheid, om het vervolgens geleidelijk te winnen. Uiteindelijk stopt het en keert het terug naar zijn oorspronkelijke positie.

Als de amplitude van de oscillaties van de slinger het getal nadert π geeft dit aan dat de beweging op het fasevlak de separatrix nadert. In dit geval vertoont het mechanische systeem, onder invloed van een kleine drijvende periodieke kracht, chaotisch gedrag.

Wanneer een wiskundige slinger met een bepaalde hoek φ afwijkt van de evenwichtspositie, ontstaat er een tangentiële zwaartekracht Fτ = -mg sin φ. Het minteken betekent dat deze tangentiële component in de richting tegengesteld aan de uitwijking van de slinger is gericht. Wanneer we met x de verplaatsing van de slinger langs een cirkelboog met straal L aangeven, is de hoekverplaatsing gelijk aan φ = x/L. De tweede wet, bedoeld voor projecties en kracht, geeft de gewenste waarde:

mg τ = Fτ = -mg sin x/l

Op basis van deze relatie is het duidelijk dat deze slinger een niet-lineair systeem is, aangezien de kracht die de neiging heeft om de slinger terug te brengen naar de evenwichtspositie altijd evenredig is, niet met de verplaatsing x, maar met sin x/L.

Alleen wanneer een wiskundige slinger kleine trillingen uitvoert, is hij een harmonische oscillator. Met andere woorden, het wordt een mechanisch systeem dat harmonische oscillaties kan uitvoeren. Deze benadering is praktisch geldig voor hoeken van 15-20°. Oscillaties van een slinger met grote amplitudes zijn niet harmonisch.

De wet van Newton voor kleine trillingen van een slinger

Als een bepaald mechanisch systeem kleine oscillaties uitvoert, ziet de tweede wet van Newton er als volgt uit:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Op basis hiervan kunnen we concluderen dat een wiskundige slinger evenredig is aan zijn verplaatsing met een minteken. Dit is de toestand waardoor het systeem een ​​harmonische oscillator wordt. De modulus van de evenredigheidscoëfficiënt tussen verplaatsing en versnelling is gelijk aan het kwadraat van de cirkelfrequentie:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.

Deze formule weerspiegelt de natuurlijke frequentie van kleine trillingen van dit type slinger. Op basis hiervan,

T = 2π/ ω0 = 2π√g/L.

Berekeningen gebaseerd op de wet van behoud van energie

De eigenschappen van een slinger kunnen ook worden beschreven met behulp van de wet van behoud van energie. Er moet rekening mee worden gehouden dat de slinger in het zwaartekrachtveld gelijk is aan:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Totaal is gelijk aan kinetisch of maximaal potentieel: Epmax = Ekmsx = E

Nadat de wet van behoud van energie is geschreven, neemt u de afgeleide van de rechter- en linkerkant van de vergelijking:

Omdat de afgeleide van constante grootheden gelijk is aan 0, dan is (Ep + Ek)" = 0. De afgeleide van de som is gelijk aan de som van de afgeleiden:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

vandaar:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Op basis van de laatste formule vinden we: α = - g/L*x.

Praktische toepassing van een wiskundige slinger

De versnelling varieert met de breedtegraad, omdat de dichtheid van de aardkorst niet op de hele planeet hetzelfde is. Waar gesteenten met een hogere dichtheid voorkomen, zal deze iets hoger zijn. De versnelling van een wiskundige slinger wordt vaak gebruikt voor geologische verkenning. Het wordt gebruikt om naar verschillende mineralen te zoeken. Door simpelweg het aantal trillingen van een slinger te tellen, kun je steenkool of erts in de ingewanden van de aarde detecteren. Dit komt door het feit dat dergelijke fossielen een grotere dichtheid en massa hebben dan de onderliggende losse gesteenten.

De wiskundige slinger werd gebruikt door vooraanstaande wetenschappers als Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus en Archimedes. Velen van hen geloofden dat dit mechanische systeem het lot en het leven van een persoon kon beïnvloeden. Archimedes gebruikte bij zijn berekeningen een wiskundige slinger. Tegenwoordig gebruiken veel occultisten en helderzienden dit mechanische systeem om hun profetieën te vervullen of om vermiste mensen te zoeken.

Ook de beroemde Franse astronoom en natuuronderzoeker K. Flammarion gebruikte voor zijn onderzoek een wiskundige slinger. Hij beweerde dat hij met zijn hulp de ontdekking van een nieuwe planeet, de verschijning van de Tunguska-meteoriet en andere belangrijke gebeurtenissen kon voorspellen. Tijdens de Tweede Wereldoorlog was er in Duitsland (Berlijn) een gespecialiseerd Slingerinstituut actief. Tegenwoordig houdt het Münchener Instituut voor Parapsychologie zich bezig met soortgelijk onderzoek. De medewerkers van dit etablissement noemen hun werk met de slinger ‘radiesthesie’.