Kwadraty parzyste są znacznie trudniejsze do zbudowania niż kwadraty nieparzyste. Istnieje wiele sposobów wyjaśnienia zasad ich budowy. W tym artykule opisano zabawny sposób na zbudowanie magicznego kwadratu 4 x 4.
Zaczynamy od wpisania jednostki w skrajnej lewej komórce górnego rzędu. Dwójka znajduje się w następnej komórce, a cyfry 3 i 4 w następnej. W ten sposób górny rząd zostanie zakończony. W kolejnym rzędzie wpisujemy cyfry 5, 6, 7 i 8.
Kontynuuj, aż wypełnisz wszystkie pola (rys. 1).
Ryc.1
Następnie we wszystkich skrajnych rzędach należy usunąć dwie liczby ze środkowych komórek, to znaczy w górnym rzędzie są usuwane liczby 2 i 3, a w dolnym 14 i 15. Wreszcie liczby 5 i 9 są usunięte w lewym skrajnym rzędzie, aw prawym skrajnym - 8 i 12 (ryc. 2).
Ryc.2 Teraz te liczby można ułożyć w dość interesujący sposób. Liczby 2 i 3 zajmują komórki, które poprzednio zawierały cyfry 14 i 15. Zatem dolny rząd będzie się składał z liczb 13,3,2 i 16. Liczby 14 i 15 są ułożone według tej samej zasady, tj. , zajmują te komórki, które wcześniej zawierały cyfry 2 i 3. W rezultacie górny rząd będzie się składał z liczb 1,15,14 i 4. Mam nadzieję, że już rozumiesz, jak dalej będzie budowany magiczny kwadrat. Liczby 8 i 12 zajmą te komórki, które wcześniej zawierały cyfry 5 i 9. Ostatecznie liczby 5 i 9 mieszczą się w dwóch komórkach w skrajnej prawej kolumnie (ryc. 3).
Ryc.3 Zauważ, że w tym magicznym kwadracie suma liczb w dowolnym rzędzie wynosi 34.
W ten sam sposób możesz utworzyć kwadrat 4*4, po prostu umieszczając szesnaście liczb w sekwencji, zaczynając od dowolnej liczby. Jeśli zbudujesz magiczny kwadrat, w którym liczby układają się w sekwencję 3, 6, 9, 12 itd., Zobaczysz, że suma liczb w dowolnym szeregu wyniesie 102.
Istnieje wiele sposobów konstruowania nawet magicznych kwadratów. Niektóre z nich są bardzo złożone, czasochłonne i interesujące tylko dla matematyków. Na szczęście oparty na dacie urodzenia sposób tworzenia magicznych kwadratów yantry jest tak prosty, jak to tylko możliwe.
Zadania:
1. Naucz, jak wypełniać magiczne kwadraty.
2. Rozwijaj obserwację, umiejętność uogólniania.
3. Zaszczep pragnienie nowej wiedzy, zainteresowanie matematyką.
Ekwipunek: komputer, rzutnik multimedialny z ekranem, prezentacja PowerPoint (załącznik 1).
W czasach starożytnych, po nauczeniu się liczenia i wykonywania działań arytmetycznych, ludzie byli zaskoczeni, gdy odkryli, że liczby mają niezależne życie, niesamowite i tajemnicze. Dodając różne numery, umieszczając je jeden pod drugim lub jeden pod drugim, otrzymywali czasem tę samą kwotę. Na koniec dzieląc liczby liniami tak, aby każda znajdowała się w osobnej komórce, zobaczyli kwadrat, z którego każda z liczb brała udział w dwóch sumach, a te położone wzdłuż przekątnych nawet w trzech, a wszystkie sumy są równe nawzajem! Nic dziwnego, że starożytni Chińczycy, Hindusi, a po nich Arabowie przypisywali takim budowlom tajemnicze i magiczne właściwości. (slajd 1)
Magiczne kwadraty pojawiły się na starożytnym Wschodzie jeszcze przed naszą erą. Jedna z zachowanych legend głosi, że gdy cesarz Yu z dynastii Shang (2000 p.n.e.) stał nad brzegiem Luo, dopływu Żółtej Rzeki, nagle pojawiła się duża ryba (w innych wersjach ogromny żółw), na której był rysunek dwóch mistycznych symboli - czarnego i białego koła (slajd 2), który następnie został zrealizowany jako obraz magicznego kwadratu rzędu 3. (slajd 3)
Pierwsza szczególna wzmianka o takim placu została znaleziona około I wieku pne. Aż do X wieku naszej ery. magiczne kwadraty były zawarte w amuletach, zaklęciach. Były używane jako talizmany w całych Indiach. Malowano je na dzbanach szczęścia, kubkach medycznych. Do tej pory są używane przez niektóre ludy Wschodu jako talizman. Można je znaleźć na pokładach dużych statków pasażerskich jako place zabaw.
Tak więc przez magię rozumiemy kwadraty, w których sumy liczb w dowolnej kolumnie lub w dowolnym rzędzie, a także wzdłuż przekątnych są takie same.
Do tej pory najczęściej używałeś magicznych kwadratów do liczenia w pamięci. Jednocześnie kilka liczb, w tym centralna, jest już umieszczonych w komórkach kwadratu. Pozostałe liczby należy ułożyć tak, aby w dowolnym kierunku uzyskać określoną ilość.
Zadanie 1. Podano liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Część z nich ułożona jest w komórki, pozostałe należy tak ułożyć, aby suma wyniosła 15. (slajd 4)
Okazuje się, że wszystkie inne magiczne kwadraty złożone z tych samych liczb można otrzymać z podanego przez symetrię względem rzędu, kolumny lub przekątnej, więc liczby we wszystkich kwadratach są ułożone według tych samych zasad. (slajd 6)
Można zauważyć szereg wzorców, które ułatwiają wypełnianie komórek kwadratu lub umożliwiają rozwiązanie problemu z mniejszą liczbą danych w warunku.
Na przykład w warunkach problemów podobnych do poprzedniego nie trzeba wskazywać, jaką kwotę należy uzyskać w dowolnym kierunku.
Zadanie 2. Znajdź sposób na obliczenie sumy wierszy, kolumn i przekątnych z poprzedniego zadania.
Można argumentować w następujący sposób: suma liczb w każdym wierszu jest taka sama, są 3 takie wiersze, co oznacza, że suma liczb w każdym wierszu jest trzy razy mniejsza niż suma wszystkich liczb. Dlatego w naszym przykładzie suma w każdym wierszu wynosi 15 (45:3). Ale tę liczbę można znaleźć na inne sposoby: dodaj trzy centralne liczby 4, 5 i 6 lub pomnóż centralną liczbę 5 przez 3.
Zadanie 3. Podaje się liczby: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Należy je wpisać w pola kwadratu tak, aby w dowolnym kierunku suma była tą samą liczbą. Niektóre liczby są już wpisane w kwadrat. (slajd 7)
Zadanie 4. Podane są liczby 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Dwie z nich są wpisane w komórki kwadratu. Resztę napisz tak, aby w dowolnym kierunku suma była tą samą liczbą. (slajd 9)
Przyjrzyjmy się wszystkim trzem wypełnionym kwadratom i spróbujmy znaleźć kilka wzorów, które pomogą wypełnić kwadrat jeszcze mniejszą liczbą wpisanych w niego liczb. (slajd 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Zobacz, jaka liczba znajduje się na środku kwadratu? Jak znajduje się w szeregu danych liczb? (slajd 12) (Na środku kwadratu zawsze zapisywana jest liczba, która znajduje się na piątym miejscu w naszym ciągu, czyli równo odsunięta od lewej i prawej krawędzi.)
Można zauważyć szereg innych cech: w kwadracie po przeciwnych stronach centralnej liczby znajdują się liczby, które są jednakowo oddalone od lewej i prawej krawędzi ciągu. Pokażmy pary odpowiednich liczb na przykładzie wypełnienia kwadratu liczbami od 1 do 9: (slajd 13)
Wiedząc o tym, możesz wypełnić kwadrat, prawie bez liczenia.
Zobacz, jak liczby obok środkowego znajdują się na kwadracie, a także liczby zapisane z nich za pomocą jednej liczby. Są one połączone liniami u góry. (Znajdują się one wzdłuż przekątnych kwadratu.) A gdzie są pozostałe liczby, które są połączone liniami od dołu? (Są one ułożone pionowo i poziomo.)
Sprawdźmy, czy takie wzorce obserwuje się w innych kwadratach. (slajd 14)
(Tak, takie wzorce się utrzymują).
Więc podsumujmy to. Jakie właściwości magicznych kwadratów odkryliśmy?
1) Aby znaleźć sumę liczb w każdej kolumnie lub rzędzie, możesz pomnożyć środkową liczbę przez 3.
2) Na środku kwadratu znajduje się liczba zapisana w piątym rzędzie.
3) W kwadracie po przeciwnych stronach centralnej liczby znajdują się liczby, które są jednakowo oddalone od lewej i prawej krawędzi ciągu.
4) Liczby obok centralnej i jedna z niej znajdują się wzdłuż przekątnych kwadratu. Liczby stojące na krawędzi i przechodzące przez jedną z niej znajdują się w kwadracie w pionie i poziomie.
Zadanie 5. Podano liczby: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Wpisz je w polach kwadratu, aby uzyskać tę samą liczbę w dowolnym kierunku. (slajd 15)
(Zastanówmy się, jaką kwotę należy uzyskać w każdym kierunku. Aby to zrobić, pomnóż środkową liczbę 7 przez 3. W rezultacie otrzymamy 21. Umieść liczbę 7 na środku kwadratu, na jednej przekątnej liczb 6 i 8, z drugiej - 4 i 10. Pozostaje ułożyć brakujące liczby: suma liczb zapisanych w pierwszym wierszu wynosi 10, przed 21 brakuje 11, co oznacza, że w pustej komórce górnego wiersza wpisz liczbę 11 (pierwsza po prawej). Następnie w dolnym wierszu wpisujemy liczbę 3 (pierwsza po lewej). W lewej kolumnie wpisujemy liczbę 5 ( 21 - (6 + 10)), potem pozostaje aby w prawej kolumnie wpisać liczbę 9. W ten sposób umieściliśmy wszystkie 9 liczb w komórkach magicznego kwadratu, podczas gdy ani jedna liczba nie została umieszczona w kwadracie zgodnie ze stanem problemu.)
Problem ma kilka rozwiązań, ale wszystkie kwadraty są uzyskiwane z innych przez symetrię względem linii środkowych lub przekątnej. (slajd 16)
Zadanie 6. Biorąc pod uwagę liczby 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Wpisz je w polach kwadratu, aby w dowolnym kierunku uzyskać w sumie tę samą liczbę.
Jedno z rozwiązań na slajdzie. (slajd 17)
Zadanie 7. Porównaj warunki problemów 1 i 6 i zastanów się, jak możesz rozwiązać problem, znając rozwiązanie problemu 1.
(Liczby z zadania 6 są dwa razy większe od odpowiadających im liczb z zadania 1. Dlatego możesz po prostu podwoić każdą liczbę kwadratu z zadania 1 i uzyskać żądany kwadrat).
Istnieją różne sposoby konstruowania magicznych kwadratów. Rozważ metodę tarasów, która została wynaleziona przez starożytnych Chińczyków. Zgodnie z tą metodą konieczne jest obrócenie „naturalnego” kwadratu liczbowego wokół środka o pół kąta prostego (slajd 19) i oddziel stół 3´3 kwadratową ramą. (slajd 20) Liczbami wypisanymi poza ramką i tworzącymi występy („tarasy”) wypełniamy puste pola po przeciwnej stronie stołu. (slajd 21)
Podobnie można zbudować dowolny kwadrat o nieparzystym porządku. Wypełnijmy pola magicznego kwadratu 5´5 liczbami od 1 do 25. (slajdy 22, 23, 24)
Aby zbudować magiczny kwadrat 4´4, najprostszą i najbardziej dostępną metodą jest następująca metoda: w „naturalnym” kwadracie dodatkowe liczby na głównych przekątnych są zamienione miejscami, podczas gdy reszta pozostaje niezmieniona. (slajdy 25, 26)
Podsumowanie lekcji
Jaki sekret magicznych kwadratów odkryłeś dzisiaj na zajęciach? Co Ci w tym pomogło?
Testowanie z Chaturanga Shorinem Alexandrem
5.2.1 O magii liczb. Co to są magiczne kwadraty
O magii liczb można mówić wiele. Jako przykład, na początku tego opracowania wspomnieliśmy już o liczbie 4. W ten sposób wiele można powiedzieć o dowolnej liczbie.
Na przykład liczba 1 to jeden, początek wszystkiego. Numer 2 - separacja, przeciwieństwo obu płci. 3 - trójkąt ... I tak dalej. To bardzo płodny temat, w który można się zagłębiać w nieskończoność.
Dlatego zostawmy to i przejdźmy do magicznych kwadratów, które są bezpośrednio związane z Chaturanga.
Magiczne kwadraty to kwadratowe tablice liczb całkowitych, które mają unikalne właściwości: na przykład sumy liczb wzdłuż dowolnego wiersza, dowolnej kolumny i dowolnej z dwóch głównych przekątnych są równe tej samej liczbie.
Uważa się, że magiczne kwadraty zostały wynalezione w starożytnych Chinach, znane były także w starożytnych Indiach, skąd wywodzi się Chaturanga. W szczególności udowadnia to N. M. Rudin w swojej książce „Od magicznego kwadratu do szachów”.
Według legendy za panowania cesarza Yu (ok. 2200 pne) z wód Żółtej Rzeki wynurzył się święty żółw, na którego skorupie wyryto tajemnicze hieroglify. Te znaki są znane jako lo-shu i są odpowiednikiem magicznego kwadratu. w XI wieku o magicznych kwadratach dowiedzieli się w Indiach, a następnie w Japonii, gdzie w XVI wieku. Magiczne kwadraty były przedmiotem obszernej literatury. W XV wieku zapoznał Europejczyków z magicznymi kwadratami. pisarz bizantyjski E. Moshopoulos. Pierwszym kwadratem wymyślonym przez Europejczyka jest kwadrat A. Dürera przedstawiony na jego słynnym rycinie „Melancholia 1”. Datę ryciny (1514) wskazują cyfry w dwóch środkowych komórkach dolnej linii. Magicznym kwadratom przypisywano różne mistyczne właściwości. w XVI wieku Korneliusz Heinrich Agryppa zbudował kwadraty trzeciego, czwartego, piątego, szóstego, siódmego, ósmego i dziewiątego rzędu, które były związane z astrologią 7 planet. Istniało przekonanie, że magiczny kwadrat wyryty na srebrze chronił przed zarazą. Do dziś wśród atrybutów europejskich wróżbitów można dostrzec magiczne kwadraty.
W XIX i XX wieku zainteresowanie magicznymi kwadratami rozgorzało z nową energią. Zaczęto je badać metodami algebry wyższej i rachunku operacyjnego.
Każdy element magicznego kwadratu nazywany jest komórką. Kwadrat, którego bok to n komórki, zawiera n 2 komórki i nazywa się kwadratem n-te zamówienie. Większość magicznych kwadratów używa pierwszego n kolejne liczby naturalne. Suma S liczby w każdym rzędzie, każdej kolumnie i na dowolnej przekątnej nazywa się stałą kwadratu i jest równa S= n(n 2 + 1)/2. Udowodniłem to n– 3. Dla kwadratu 3 rzędu S= 15, 4. rząd - S= 34, 5. rząd - S= 65.
Dwie przekątne przechodzące przez środek kwadratu nazywane są głównymi przekątnymi. Linia przerywana to przekątna, która po osiągnięciu krawędzi kwadratu biegnie równolegle do pierwszego odcinka od przeciwnej krawędzi. Komórki, które są symetryczne względem środka kwadratu, nazywane są skośno-symetrycznymi.
Magiczne kwadraty można konstruować na przykład metodą XVII-wiecznego francuskiego geometra. A. de la Lubera.
Zgodnie z metodą A. de la Louberta magiczny kwadrat 5 × 5 można zbudować w następujący sposób:
Cyfra 1 jest umieszczona w centralnej komórce górnego rzędu. Wszystkie liczby naturalne są ułożone w naturalnym porządku cyklicznie od dołu do góry w komórkach przekątnych od prawej do lewej. Po dotarciu do górnej krawędzi kwadratu (jak w przypadku cyfry 1) kontynuujemy wypełnianie przekątnej zaczynając od dolnej komórki następnej kolumny. Po dotarciu do prawej krawędzi kwadratu (numer 3) kontynuujemy uzupełnianie kreską powyżej przekątnej wychodzącej z lewej komórki. Po dotarciu do wypełnionej komórki (numer 5) lub narożnika (numer 15) trajektoria opada o jedną komórkę w dół, po czym proces napełniania jest kontynuowany.
Okazuje się, że taki magiczny kwadrat:
Można również skorzystać z metody F. de la Hire (1640-1718), która opiera się na dwóch oryginalnych kwadratach. Liczby od 1 do 5 wpisuje się do komórki pierwszego kwadratu tak, aby liczba 3 powtórzyła się w komórkach głównej przekątnej idącej w górę w prawo, a żadna liczba nie wystąpiła dwukrotnie w jednym rzędzie lub w jednej kolumnie. To samo robimy z liczbami 0, 5, 10, 15, 20 z tą tylko różnicą, że liczba 10 jest teraz powtarzana w komórkach głównej przekątnej idąc od góry do dołu. Suma komórka po komórce tych dwóch kwadratów tworzy magiczny kwadrat. Metodę tę stosuje się również przy konstruowaniu kwadratów parzystego rzędu.
Z książki Mistrz snów. Słownik snów. autor Smirnow Terenty LeonidowiczInterpretacja snów czarnej magii (symbole snów czarnej magii) Wielu duchowych poszukiwaczy, którzy są zafascynowani popularnymi koncepcjami ezoterycznymi, sami nie podejrzewają, że praktykują prawdziwą czarną magię w swoim rozwoju snów! Dotyczy to w pełni
Z książki Praktyczna magia współczesnej czarownicy. Ceremonie, rytuały, proroctwa autor Mironova DariaTalizmany i magiczne kwadraty Magia talizmanów jest ściśle związana z tradycją numerologii. Cyfry i litery alfabetu, a także znaki specjalne, bez których wykonanie amuletu jest niezbędne, chronią jego właściciela przed złymi wpływami.Wiele talizmanów wygląda jak
Z książki Rytuały magii pieniędzy autor Zolotukhina ZoyaMagia liczb Twoja magiczna liczba Dla każdego z nas, według numerologów, istnieje swego rodzaju klucz do cenionej tajemnicy - magiczny znak liczbowy. Aby to ustalić, musisz dodać wszystkie liczby swojej daty urodzenia.Dodawaj do skutku
Z książki Poznaj swoją przyszłość. Spraw, aby Fortuna pracowała dla Ciebie autor Korowina Elena AnatolijewnaStosunek cyfr i liter
Z książki Gwiazda ochrony i talizman pieniędzy. Numerologia antykryzysowa autor Korowina Elena AnatolijewnaStosunek cyfr i liter Tabela
Z książki Data urodzenia jest kluczem do zrozumienia osoby autor Aleksandrow Aleksander FiodorowiczPRZEJŚCIA LICZB Możemy pogratulować Ci faktu, że wszystkie cechy liczb zostały zbadane. Możesz zacząć obliczać daty urodzenia wszystkich swoich krewnych, przyjaciół, znajomych, nieznajomych i wrogów. Świetny! Teraz każdy ujawni swoją „ukrytą esencję”. Zacznij oczywiście od siebie - a zrobisz to od razu
Z książki Słowiańska numerologia karmiczna. Popraw swoją matrycę przeznaczenia autor Masłowa Natalia NikołajewnaRELACJE LICZB 5 I 9 Ostatniego przejścia nie można nazwać przejściem właściwym, gdyż nie będzie ono polegało na przejściu jednej cyfry na drugą, ale na wzmocnieniu jednej cyfry przez drugą. Rozważ wzajemny wpływ liczb 5 (logika) i 9 (pamięć). Zanim zdefiniujemy
Z książki Czego możesz dowiedzieć się o osobie według daty urodzenia i imienia autor Zyurniajewa TamaraInformator. Znaczenie liczb To jest siła charakteru, energia yang osoby, jej słońce. Obecność jednostek w matrycy określa celowość osoby, jej samoocenę, cechy przywódcze, stopień jej
Z książki Matematyka dla mistyków. Sekrety świętej geometrii przez Chesso RennęMagia liczb czy matematyka? Od czasów starożytnych ludzie zwracali się ku liczbom i przypisywali im święte znaczenie. Rozwikłać tajemnicę liczby oznaczało rozwikłać tajemnicę życia. Nawet starożytny grecki mędrzec Pitagoras wierzył, że wszystko na świecie poznaje się za pomocą liczb.
Z Księgi Mądrości. Wszystko w jednej książce. Spełnij każde życzenie autor Levin PetrRozdział #5 Kwadraty magiczne Nazywamy je kwadratami magicznymi lub kwadratami planetarnymi. Lub pieczęcie, kamee, stoły. Podobnie jak wiele innych magicznych narzędzi, są one znane pod różnymi nazwami w różnych systemach, ale bez względu na to, jak się nazywają, pochodzą z tego okresu
Z książki Numeryczny kod urodzenia i jego wpływ na przeznaczenie. jak obliczyć szczęście autor Micheeva Irina Firsovna Z książki O magii jest zabawnie, o magii jest poważnie autor Kartawcew WładysławEnergia liczb Aby określić znaczenie genetyki urodzin, należy przede wszystkim określić znaczenie samej liczby, jej status i zawartość energii. Zgodnie z koncepcjami naszego codziennego życia, „waga” każdej wartości liczbowej rośnie wraz ze wzrostem samej wartości.
Z książki Testowanie z Chaturangą autor Szorin AleksanderCharakterystyka liczb Numer 1 - czerwony. Punkt rzeczywistości, podstawa, rdzeń całej cyfrowej nadbudowy, który określa rodzaj tego lub innego przepływu energii. Celem liczby 1 jest określenie znaczenia, wagi i wagi zaistniałej rzeczywistości. Więc w świecie biznesu na
Z książki autora„Dowód na magię” lub „Dowód na magię” „Jesteś złym człowiekiem!” Lub: „To zły człowiek” Lub: „To dobry człowiek!” Lub: „Jesteś dobrym człowiekiem!” Wybierać! Co wolisz? Czy to nie zabawne oglądać „rytualne tańce Zulusów”.
Z książki autora5.2. Magiczne kwadraty w Chaturanga. Chaturanga jako wróżenie 5.2.1 O magii liczb. Czym są magiczne kwadraty O magii liczb można mówić wiele. Jako przykład, na początku tego opracowania wspomnieliśmy już o liczbie 4. W ten sposób wiele można powiedzieć o każdym
Z książki autora5.2.2. Magiczne kwadraty w Chaturanga 5.2.2.1 Magia niemagicznego kwadratu Co ciekawe, najprostszy (niemagiczny) kwadrat 5x5, w którym liczby idą tylko jedna po drugiej - od 1 do 25, może mieć również niezwykłe właściwości. Tak więc w tym prostym kwadracie suma „Krzyża Słonia”
Magiczny, lub magiczny kwadrat- kwadratowy stół n × n (\ displaystyle n \ razy n), wypełnionych różnymi liczbami w taki sposób, aby suma liczb w każdym rzędzie, każdej kolumnie i na obu przekątnych była taka sama. Jeśli sumy liczb w kwadracie są równe tylko w wierszach i kolumnach, nazywa się to półmagiczny. normalna nazywa się magicznym kwadratem wypełnionym liczbami naturalnymi z 1 (\ styl wyświetlania 1) zanim n 2 (\ Displaystyle n ^ (2)). Magiczny kwadrat nazywa się asocjacyjny lub symetryczny, jeśli suma dowolnych dwóch liczb rozmieszczonych symetrycznie wokół środka kwadratu jest równa n 2 + 1 (\ Displaystyle n ^ (2) + 1).
Normalne magiczne kwadraty istnieją dla wszystkich zamówień n ≥ 1 (\ displaystyle n \ geq 1), z wyjątkiem n = 2 (\ Displaystyle n = 2), chociaż sprawa n = 1 (\ Displaystyle n = 1) trywialny - kwadrat składa się z jednej liczby. Poniżej pokazano minimalny nietrywialny przypadek, który ma rząd 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\ Displaystyle \ rightarrow ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\ Displaystyle \ rightarrow ) | 15 | ||
| ↙ (\ displaystyle \ swarrow) | ↓ (\ Displaystyle \ strzałka w dół) | ↓ (\ Displaystyle \ strzałka w dół) | ↘ (\ Displaystyle \ searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Suma liczb w każdym rzędzie, kolumnie i przekątnej nazywana jest magiczną stałą, M. Magiczna stała normalnego magicznego kwadratu zależy tylko od n i jest określony wzorem
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\ Displaystyle M (n) = (\ frac (n (n ^ (2) + 1)) (2)))Dlaczego tak jest? |
|
|---|---|
Niech będzie kwadrat z bokiem n. (\ Displaystyle n.) Wtedy będzie miał n 2 (\ Displaystyle n ^ (2)) liczby. Z jednej strony suma liczb S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1) . (\ Displaystyle S = 1 + 2 + 3 + \ ldots + n ^ (2) = (\ cfrac (n ^ (2)) (2)) (n ^ (2) + 1).) Z drugiej strony, S = n M. (\ Displaystyle S = nM.) Zrównując, otrzymujemy pożądaną formułę. |
|
Pierwsze wartości magicznych stałych podane są w poniższej tabeli (sekwencja A006003 w OEIS):
| Zamówienie n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Encyklopedyczny YouTube
1 / 5
✪ Magiczny kwadrat - imprezowa sztuczka
✪ Plac Parkera
✪ Strona 35 Przydział pól (pierwszy kwadrat) - Matematyka klasa 3 Moreau - Podręcznik część 1
✪ Magiczny kwadrat - nowa metoda
✪ Magiczne kwadraty. Lekcja otwarta.
Napisy na filmie obcojęzycznym
Kwadraty magiczne o znaczeniu historycznym
Plac Lo Shu
Magiczny kwadrat Yang Hui (Chiny)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Plac Albrechta Dürera
Magiczny kwadrat 4 × 4 przedstawiony na rycinie Albrechta Dürera „Melancholia I” jest uważany za najwcześniejszy w sztuce europejskiej. Dwie środkowe cyfry w dolnym rzędzie wskazują datę powstania ryciny ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Suma liczb na dowolnym poziomie, pionie i przekątnej wynosi 34. Suma ta występuje również we wszystkich kwadratach narożnych 2×2, w centralnym kwadracie (10+11+6+7), w kwadracie komórek narożnych (16+ 13+4+1 ), w kwadratach zbudowanych „ruchem rycerskim” (2+12+15+5 i 3+8+14+9), w wierzchołkach prostokątów równoległych do przekątnych (2+8+ 15+9 i 3+12+14+5 ), w prostokątach utworzonych przez pary środkowych komórek po przeciwnych stronach (3+2+15+14 i 5+8+9+12). Większość dodatkowych symetrii wynika z faktu, że suma dowolnych dwóch centralnie symetrycznych liczb wynosi 17.
Kwadraty autorstwa Henry'ego E. Dudeneya i Allana W. Johnsona Jr.
Jeśli w macierz kwadratową n × n nie jest wpisany ściśle naturalny ciąg liczb, to ten magiczny kwadrat - oryginalny. Poniżej znajdują się dwa takie magiczne kwadraty wypełnione liczbami pierwszymi (chociaż 1 nie jest uważana za liczbę pierwszą we współczesnej teorii liczb). Pierwszy jest w porządku n=3(plac Dyudeni); drugi (rozmiar 4x4) to kwadrat Johnsona. Oba rozwinęły się na początku XX wieku:
|
|
Istnieje kilka innych podobnych przykładów:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Ostatni kwadrat, zbudowany w 1913 roku przez J. N. Munseya, wyróżnia się tym, że składa się ze 143 kolejnych liczb pierwszych, z wyjątkiem dwóch punktów: w grę wchodzi jednostka, która nie jest liczbą pierwszą, a jedyną parzystą liczbą pierwszą 2 jest nieużywany.
Kwadraty z dodatkowymi właściwościami
Diabelski magiczny kwadrat
plac diabła lub pandiagonalny kwadrat- magiczny kwadrat, w którym sumy liczb wzdłuż łamanych przekątnych (przekątnych, które powstają, gdy kwadrat jest złożony w torus) w obu kierunkach również pokrywają się ze stałą magiczną.
Istnieje 48 diabelskich kwadratów 4x4 do obrotów i odbić. Jeśli weźmiemy również pod uwagę symetrię w odniesieniu do torycznych translacji równoległych, to pozostaną tylko 3 zasadniczo różne kwadraty:
|
|
|
Kwadraty pandiagonalne istnieją dla rzędu nieparzystego n>3, dla każdego rzędu podwójnej parzystości n=4k (k=1,2,3…) i nie istnieją dla rzędu pojedynczej parzystości n = 4k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\ Displaystyle k = 1,2,3, \ kropki )).
Pandiagonalne kwadraty czwartego rzędu mają szereg dodatkowych właściwości, dla których są nazywane zaangażowany. Idealne kwadraty nieparzystego rzędu nie istnieją. Wśród kwadratów pandiagonalnych o podwójnej parzystości powyżej 4 są idealne.
Istnieje 3600 pandiagonalnych kwadratów piątego rzędu. Biorąc pod uwagę toryczne równoległe translacje, istnieje 144 różnych pandiagonalnych kwadratów. Jeden z nich pokazano poniżej.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Jeśli kwadrat pandiagonalny jest również asocjacyjny, nazywa się go ideał. Przykład idealnego kwadratu magicznego:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Wiadomo, że nie ma idealnych magicznych kwadratów porządku n = 4k+2 i kwadrat zamówienia n=4. Jednocześnie istnieją idealne kwadraty porządku n=8. Metodą konstruowania kwadratów złożonych można na podstawie danego kwadratu ósmego rzędu konstruować idealne kwadraty n=8k, k=5,7,9… i zamów n = 8^p, p=2,3,4… W 2008 roku opracowano kombinatoryczną metodę konstruowania doskonałych kwadratów porządku n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Budowa magicznych kwadratów
Metoda tarasowa
Opisane przez Yu V. Chebrakova w The Theory of Magic Matrices.
Dla danego nieparzystego n narysuj kwadratową tabelę n na n. Do tego stołu przyczepimy tarasy (piramidy) ze wszystkich czterech stron. W rezultacie otrzymujemy schodkową symetryczną figurę.
|
Zaczynając od lewego wierzchołka figury schodkowej, wypełnij jej ukośne rzędy kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do N 2 (\ Displaystyle N ^ (2)).
Następnie w celu uzyskania klasycznej macierzy N-tego rzędu liczby w tarasach umieszcza się w tych miejscach tablicy NxN, w których znajdowałyby się, gdyby zostały przesunięte wraz z tarasami, aż podstawy tarasów zetkną się z przeciwnej stronie stołu.
|
|
Ponadto ta metoda jest również prawdziwa, jeśli magiczny kwadrat ma być złożony nie z liczb od 1 do N, ale także od K do N, gdzie 1<= K< N.
Inaczej
Zasady konstruowania magicznych kwadratów dzielą się na trzy kategorie, w zależności od tego, czy kolejność kwadratów jest nieparzysta, równa dwukrotności liczby nieparzystej, czy równa czterokrotności liczby nieparzystej. Ogólna metoda konstruowania wszystkich kwadratów jest nieznana, chociaż szeroko stosuje się różne schematy. Znajdź wszystkie magiczne kwadraty zamówień n (\ displaystyle n) udaje się tylko dla n ≤ 4 (\ Displaystyle n \ równoważnik 4) dlatego bardzo interesujące są szczególne procedury konstruowania magicznych kwadratów dla n > 4 (\ displaystyle n> 4). Najprostsza konstrukcja dotyczy magicznego kwadratu o nieparzystym porządku. Potrzebujesz komórki ze współrzędnymi (ja, j) (\ Displaystyle (i, j))(gdzie ja (\ styl wyświetlania i) oraz j (\ displaystyle j) zmienić z 1 na n (\ displaystyle n)) wstaw liczbę
1 + ((ja + jot - 1 + (n - 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 jot + 2) mod n) . (\ Displaystyle 1+ ((i + j-1 + (n-1)/2) (\ bmod (n))) n + ((i + 2j + 2) (\ bmod (n))).) [ ]Jeszcze łatwiej jest zbudować konstrukcję w następujący sposób. Pobierana jest macierz n x n. W jego wnętrzu zbudowany jest schodkowy romb. W nim komórki od lewej do góry wzdłuż przekątnych są wypełnione kolejnym rzędem liczb nieparzystych. Określana jest wartość centralnej komórki C. Wtedy wartości w rogach magicznego kwadratu będą następujące: górna prawa komórka C-1 ; dolna lewa komórka C+1 ; dolna prawa komórka C-n; górna lewa komórka C+n. Wypełnianie pustych komórek w schodkowych trójkątach narożnych odbywa się zgodnie z prostymi zasadami: 1) w rzędach liczby rosną od lewej do prawej w przyrostach n + 1; 2) w kolumnach od góry do dołu liczby rosną z krokiem n-1.
Opracowano również algorytmy konstruowania kwadratów pandiagonalnych i idealnych kwadratów magicznych 9x9. Wyniki te pozwalają na skonstruowanie idealnych magicznych kwadratów rzędów n = 9 (2k + 1) (\ Displaystyle n = 9 (2k + 1)) dla k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\ Displaystyle k = 0,1,2,3, \ kropki ). Istnieją również ogólne metody układania doskonałych magicznych kwadratów o nieparzystym porządku n > 3 (\ displaystyle n> 3). Metody konstruowania idealnych magicznych kwadratów porządku n=8k, k=1,2,3… i doskonałe magiczne kwadraty. Pandiagonalne i idealne kwadraty o parzystym i nieparzystym porządku można łączyć tylko wtedy, gdy są nietradycyjne. Niemniej jednak można znaleźć kwadraty prawie pandiagonalne.Znaleziono specjalną grupę idealnie doskonałych kwadratów magicznych (tradycyjnych i nietradycyjnych).
Przykłady bardziej złożonych kwadratów
Kwadraty magiczne nieparzystego rzędu i rzędu podwójnej parzystości zostały metodycznie ściśle opracowane. Sformalizowanie kwadratów rzędu pojedynczego parzystości jest znacznie trudniejsze, co ilustrują następujące schematy:
|
|
|
Istnieją dziesiątki innych metod konstruowania magicznych kwadratów.
W starożytności wielcy uczeni uważali liczby za podstawę istoty świata. Magiczny kwadrat, którego sekret polega na tym, że suma liczb w wynikowym kwadracie w każdym poziomie, w każdym pionie i na każdej przekątnej jest taka sama, niesie tę esencję.
Ale pełny opis magicznych kwadratów jeszcze nie istnieje.
Magiczny kwadrat Pitagorasa, „przyciągający” energię bogactwa, został opracowany przez założyciela
Wielki uczony, który założył doktrynę religijną i filozoficzną i ogłosił relacje ilościowe za podstawę rzeczy, uważał, że istota człowieka tkwi w dacie urodzenia.
Wiedząc, jak działa magiczny kwadrat, można nie tylko poznać cechy charakteru danej osoby, jej stan zdrowia, zdolności intelektualne i twórcze, ale także opracować program jej doskonalenia i rozwoju. Liczby, które są zapisane w kwadracie w specjalny sposób, przyciągają nie tylko bogactwo, ale także niezbędne przepływy energii dla osoby. Na przykład Paracelsus przedstawił swój kwadrat jako talizman zdrowia. Liczby tworzą trzy rzędy, czyli w kwadracie jest dziewięć liczb. Aby określić swój kod numerologiczny, musisz obliczyć te dziewięć liczb.
Jak działa magiczny kwadrat?
Pierwszy poziomy rząd kwadratu tworzą liczby: dzień, miesiąc i rok urodzenia danej osoby. Na przykład data urodzenia osoby odpowiada 09.08.1971. Wtedy pierwszą liczbą w kwadracie będzie 9, która jest zapisana w pierwszej komórce. Druga liczba to numer miesiąca, czyli 8.
Jednocześnie warto zwrócić uwagę, że jeśli miesiąc urodzenia danej osoby odpowiada grudniu, czyli liczbie 12, to należy ją zatem przeliczyć przez dodanie zwykłej liczby 3. Trzecia cyfra odpowiada liczbie roku. Aby to zrobić, należy rozłożyć 1971 na liczby złożone i obliczyć ich łączną liczbę równą 18, a następnie uprościć 1 + 8 = 9. Górne poziome pole kwadratu wypełniamy wynikowymi liczbami: 9,8,9.
W drugim rzędzie kwadratu zapisane są liczby odpowiadające imieniu, patronimice i nazwisku osoby zgodnie z numerologią. Każda litera ma swoją własną wartość liczbową. Liczby można uzyskać z tabeli korespondencji liter i cyfr za pomocą numerologii. Następnie musisz zsumować liczby imienia, patronimii i nazwiska i doprowadzić je do prostych wartości.
Drugi rząd kwadratu jest wypełniony wynikowymi liczbami. Czwarta liczba odpowiada liczbie imienia, piąta - patronimice, a szósta - nazwisku. Teraz mamy drugą linię kwadratu energii.
Kolejna zasada działania magicznego kwadratu opiera się na astrologii.
Siódma cyfra odpowiada liczbie znaku zodiaku danej osoby. Baran jest pierwszym znakiem pod numerem 1, a następnie w celu znaku Ryb - 12. Podczas wypełniania trzeciego rzędu kwadratu liczb dwucyfrowych nie należy sprowadzać do liczb pierwszych, wszystkie mają swoje własne znaczenie.
Ósma cyfra to numer znaku według To znaczy w naszej wersji 1971 to rok Dzika.
Dziewiąta cyfra reprezentuje kod numerologiczny pragnienia danej osoby. Na przykład osoba stara się mieć doskonałe zdrowie, dlatego musisz znaleźć liczby odpowiadające literom tego słowa. Wynik to 49, który następnie upraszcza się przez dodanie do 4. Liczby od 10 do 12, jak w przypadku znaku zodiaku osoby, nie muszą być zmniejszane. Teraz, wiedząc, jak działa magiczny kwadrat, możesz go łatwo skomponować i nosić ze sobą jak talizman lub ozdobić jak obraz i powiesić w domu.
