Równania liniowe z parametrem. Rozwiązywanie układów równań liniowych z parametrami Rozwiązywanie układów równań liniowych z parametrami online

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. W matematyce występują problemy, w których konieczne jest poszukiwanie rozwiązań równań liniowych i kwadratowych w postaci ogólnej lub szukanie liczby pierwiastków, jakie ma równanie w zależności od wartości parametru. Wszystkie te zadania mają parametry.

Jako ilustrujący przykład rozważ następujące równania:

\[y = kx,\] gdzie \ to zmienne, \ to parametr;

\[y = kx + b,\] gdzie \ to zmienne, \ to parametr;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] gdzie \ jest zmienną, \[а, b, с\] jest parametrem.

Rozwiązanie równania z parametrem oznacza z reguły rozwiązanie nieskończonego układu równań.

Jednak kierując się pewnym algorytmem, można łatwo rozwiązać następujące równania:

1. Określ wartości „kontrolne” parametru.

2. Rozwiąż oryginalne równanie dla [\x\] z wartościami parametrów określonymi w pierwszym akapicie.

3. Rozwiąż oryginalne równanie dla [\x\] dla wartości parametrów innych niż wybrane w akapicie pierwszym.

Powiedzmy, że mamy następujące równanie:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Po analizie danych początkowych jasne jest, że a \[\ge 0.\]

Zgodnie z zasadą modułu wyrażamy \

Odpowiedź: \gdzie\

Gdzie mogę rozwiązać równanie z parametrem online?

Równanie możesz rozwiązać na naszej stronie internetowej https://site. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

1. Układy równań liniowych z parametrem

Układy równań liniowych z parametrem rozwiązuje się tymi samymi podstawowymi metodami, co zwykłe układy równań: metodą podstawienia, metodą dodawania równań i metodą graficzną. Znajomość graficznej interpretacji układów liniowych ułatwia odpowiedź na pytanie o liczbę pierwiastków i ich istnienie.

Przykład 1.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań nie ma rozwiązań.

(x + (a 2 – 3) y = a,
(x + y = 2.

Rozwiązanie.

Spójrzmy na kilka sposobów rozwiązania tego zadania.

1 sposób. Korzystamy z własności: układ nie ma rozwiązań, jeśli stosunek współczynników przed x jest równy stosunkowi współczynników przed y, ale nie jest równy stosunkowi wolnych wyrazów (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Następnie mamy:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 lub system

(i 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Z pierwszego równania a 2 = 4 zatem, biorąc pod uwagę warunek, że a ≠ 2, otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: a = -2.

Metoda 2. Rozwiązujemy metodą podstawieniową.

(2 – y + (a 2 – 3) y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Po usunięciu wspólnego czynnika y z nawiasów w pierwszym równaniu otrzymujemy:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Układ nie ma rozwiązań, jeśli pierwsze równanie nie ma rozwiązań, tzn

(i 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Oczywiście a = ±2, ale biorąc pod uwagę drugi warunek, odpowiedź daje tylko odpowiedź ujemną.

Odpowiedź: a = -2.

Przykład 2.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

(8x + ay = 2,
(topór + 2 lata = 1.

Rozwiązanie.

Zgodnie z własnością, jeśli stosunek współczynników x i y jest taki sam i równy stosunkowi wolnych członków układu, to ma on nieskończoną liczbę rozwiązań (tj. a/a 1 = b/ b 1 = do/do 1). Dlatego 8/a = a/2 = 2/1. Rozwiązując każde z otrzymanych równań, okazuje się, że w tym przykładzie odpowiedzią jest a = 4.

Odpowiedź: a = 4.

2. Układy równań wymiernych z parametrem

Przykład 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Rozwiązanie.

Pomnóżmy pierwsze równanie układu przez 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy 5|x| = 4 – a. To równanie będzie miało unikalne rozwiązanie dla a = 4. W pozostałych przypadkach równanie to będzie miało dwa rozwiązania (dla a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpowiedź: a = 4.

Przykład 4.

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Rozwiązanie.

Układ ten rozwiążemy metodą graficzną. Zatem wykres drugiego równania układu jest parabolą podniesioną wzdłuż osi Oy w górę o jeden odcinek jednostkowy. Pierwsze równanie określa zbiór prostych równoległych do prostej y = -x (obrazek 1). Z rysunku widać wyraźnie, że układ ma rozwiązanie, jeśli prosta y = -x + a jest styczna do paraboli w punkcie o współrzędnych (-0,5, 1,25). Podstawiając te współrzędne do równania linii prostej zamiast x i y, znajdujemy wartość parametru a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpowiedź: a = 0,75.

Przykład 5.

Korzystając z metody podstawiania, dowiedz się, przy jakiej wartości parametru a układ ma rozwiązanie jednoznaczne.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Rozwiązanie.

Z pierwszego równania wyrażamy y i podstawiamy je do drugiego:

(y = topór – a – 1,
(topór + (a + 2)(topór – a – 1) = 2.

Sprowadźmy drugie równanie do postaci kx = b, która będzie miała jednoznaczne rozwiązanie dla k ≠ 0. Mamy:

topór + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

za 2 x + 3ax = 2 + za 2 + 3a + 2.

Trójmian kwadratowy a 2 + 3a + 2 reprezentujemy jako iloczyn nawiasów

(a + 2)(a + 1), a po lewej stronie wyciągamy x z nawiasów:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Oczywiście a 2 + 3a nie powinno być równe zero, zatem

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, co oznacza a ≠ 0 i ≠ -3.

Odpowiedź: a ≠ 0; ≠ -3.

Przykład 6.

Korzystając z graficznej metody rozwiązywania problemów, określ, przy jakiej wartości parametru a układ ma rozwiązanie jednoznaczne.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Rozwiązanie.

Na podstawie warunku konstruujemy okrąg o środku w początku i promieniu 3 jednostkowych odcinków, to właśnie określa pierwsze równanie układu

x 2 + y 2 = 9. Drugie równanie układu (y = |x| + a) jest linią łamaną. Używając Rysunek 2 Rozważamy wszystkie możliwe przypadki jego położenia względem okręgu. Łatwo zobaczyć, że a = 3.

Odpowiedź: a = 3.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać układy równań?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Cel:

powtórzyć rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema zmiennymi
zdefiniować układ równań liniowych z parametrami
nauczy Cię rozwiązywania układów równań liniowych z parametrami.

Podczas zajęć

Organizowanie czasu
Powtórzenie
Wyjaśnienie nowego tematu
Konsolidacja
Podsumowanie lekcji
Praca domowa

2. Powtórzenie:

I. Równanie liniowe z jedną zmienną:

1. Zdefiniuj równanie liniowe z jedną zmienną

[Równanie w postaci ax=b, gdzie x jest zmienną, a i b to niektóre liczby, nazywa się równaniem liniowym z jedną zmienną]

2. Ile pierwiastków może mieć równanie liniowe?

[- Jeśli a=0, b0, to równanie nie ma rozwiązań, x

Jeżeli a=0, b=0, to x R

Jeśli a0, to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie, x =

3. Dowiedz się, ile pierwiastków ma równanie (wg opcji)

II. Równanie liniowe z 2 zmiennymi i układ równań liniowych z 2 zmiennymi.

1. Zdefiniuj równanie liniowe dwóch zmiennych. Daj przykład.

[Równanie liniowe z dwiema zmiennymi jest równaniem w postaci ax + by = c, gdzie x i y są zmiennymi, a, b i c są pewnymi liczbami. Na przykład x-y=5]

2. Jak nazywa się rozwiązywanie równania z dwiema zmiennymi?

[Rozwiązaniem równania z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie w prawdziwą równość.]

3. Czy para wartości zmiennych x = 7, y = 3 jest rozwiązaniem równania 2x + y = 17?

4. Jak nazywa się wykres równania dwóch zmiennych?

[Wykres równania z dwiema zmiennymi to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie współrzędnych, których współrzędne są rozwiązaniami tego równania.]

5. Dowiedz się, jaki jest wykres równania:

[Wyraźmy zmienną y poprzez x: y=-1,5x+3

Wzór y=-1,5x+3 jest funkcją liniową, której wykresem jest linia prosta. Ponieważ równania 3x+2y=6 i y=-1,5x+3 są równoważne, prosta ta jest jednocześnie wykresem równania 3x+2y=6]

6. Jaki jest wykres równania ax+bу=c ze zmiennymi x i y, gdzie a0 lub b0?

[Wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi, w którym przynajmniej jeden ze współczynników zmiennej jest różny od zera, jest linią prostą.]

7. Jak nazywa się rozwiązywanie układu równań z dwiema zmiennymi?

[Rozwiązaniem układu równań z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia każde równanie układu w prawdziwą równość]

8. Co to znaczy rozwiązać układ równań?

[Rozwiązać układ równań oznacza znaleźć wszystkie jego rozwiązania lub udowodnić, że nie ma rozwiązań.]

9. Dowiedz się, czy taki układ zawsze ma rozwiązania i jeśli tak to ile (graficznie).

10. Ile rozwiązań może mieć układ dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi?

[Jedynym rozwiązaniem jest przecięcie linii; nie ma rozwiązań, jeśli proste są równoległe; nieskończenie wiele, jeśli linie się pokrywają]

11. Jakie równanie zwykle definiuje linię prostą?

12. Ustal związek między współczynnikami kąta a wyrazami swobodnymi:

Opcja I:

y=-x+2
y= -x-3,

k 1 = k 2 , b 1 b 2, brak rozwiązań;

Opcja II:

y=-x+8
y=2x-1,

k 1 k 2 , jedno rozwiązanie;

Opcja III:

y=-x-1
y=-x-1,

k 1 = k 2, b 1 = b 2, wiele rozwiązań.

Wniosek:

Jeżeli współczynniki kątowe prostych będących wykresami tych funkcji są różne, to proste te przecinają się i układ ma rozwiązanie jednoznaczne.
Jeśli współczynniki kątowe prostych są takie same, a punkty przecięcia z osią y są różne, to proste są równoległe i układ nie ma rozwiązań.
Jeśli współczynniki kątowe i punkty przecięcia z osią y są takie same, wówczas proste pokrywają się i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Na tablicy znajduje się stół, który nauczyciel i uczniowie stopniowo zapełniają.

III. Wyjaśnienie nowego tematu.

Definicja: Zobacz system

A 1 x+B 1 y=C
A 2 x+B 2 y=C 2

gdzie A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 są wyrażeniami zależnymi od parametrów, a x i y są niewiadomymi, nazywa się układem dwóch liniowych równań algebraicznych z dwiema niewiadomymi w parametrach.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli , to system ma unikalne rozwiązanie

2) Jeżeli , to układ nie ma rozwiązań

3) Jeżeli , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

IV. Konsolidacja

Przykład 1.

Przy jakich wartościach parametru a działa system

2x - 3 lata = 7
aha - 6 lat = 14

a) ma nieskończoną liczbę rozwiązań;

b) ma unikalne rozwiązanie

Odpowiedź:

a) jeśli a=4, to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań;

b) jeśli4, to jest tylko jedno rozwiązanie.

Przykład 2.

Rozwiązać układ równań

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Rozwiązanie: a), tj. dla m1 system ma unikalne rozwiązanie.

b), tj. dla m=1 (2=m+1) i n1 pierwotny układ nie ma rozwiązań

c) , dla m=1 i n=1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: a) jeśli m=1 i n1, to nie ma rozwiązań

b) m=1 i n=1, to rozwiązaniem jest zbiór nieskończony

y - dowolne
x=n-2y

c) jeśli m1 i n są dowolne, to

Przykład 3.

akh-3ау=2а+3
x+ay=1

Rozwiązanie: Z równania II znajdujemy x = 1-ay i podstawiamy równanie I do równania

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Możliwe przypadki:

1) a=0. Wtedy równanie wygląda jak 0*y=3 [y]

Zatem dla a=0 układ nie ma rozwiązań

2) a=-3. Wtedy 0*y=0.

Dlatego j. W tym przypadku x=1-ау=1+3у

3) a0 i a-3. Wtedy y=-, x=1-a(-=1+1=2

Odpowiedź:

1) jeśli a=0, to (x; y)

2) jeśli a=-3, to x=1+3y, y

3) jeżeli0 i a?-3, następnie x=2, y=-

Rozważmy drugi sposób rozwiązania układu (1).

Rozwiążmy układ (1) metodą dodawania algebraicznego: najpierw pomnóżmy pierwsze równanie układu przez B 2, drugie przez B 1 i dodajmy te równania termin po wyrazie, eliminując w ten sposób zmienną y:

Ponieważ A 1 B 2 -A 2 B 1 0, wtedy x =

Wyeliminujmy teraz zmienną x. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie układu (1) przez A 2, a drugie przez A 1 i dodaj oba równania wyraz po wyrazie:

ZA 1 ZA 2 x +A 2 B 1 y=A 2 do 1
-A 1 ZA 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 do 2
y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = ZA 2 do 1 -A 1 do 2

ponieważ ZA 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Dla wygody rozwiązywania układu (1) wprowadzamy następującą notację:

- główny wyznacznik

Teraz rozwiązanie układu (1) można zapisać za pomocą wyznaczników:

Podane wzory nazywane są wzorami Cramera.

Jeśli , to układ (1) ma unikalne rozwiązanie: x=; y=

Jeśli , lub , to układ (1) nie ma rozwiązań

Jeśli , , , , to układ (1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

W tym przypadku system wymaga dalszych badań. W tym przypadku z reguły sprowadza się to do jednego równania liniowego. W takim przypadku często wygodnie jest badać układ w następujący sposób: rozwiązując równanie, znajdujemy określone wartości parametrów lub wyrażamy jeden z parametrów w odniesieniu do pozostałych i podstawiamy te wartości parametrów do system. Otrzymujemy wówczas układ o określonych współczynnikach liczbowych lub o mniejszej liczbie parametrów, które należy zbadać.

Jeżeli współczynniki A 1 , A 2 , B 1 , B 2 układu zależą od kilku parametrów, wówczas wygodnie jest badać układ za pomocą wyznaczników układu.

Przykład 4.

Dla wszystkich wartości parametru a rozwiąż układ równań

(a+5)x+(2a+3)y=3a+2
(3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Rozwiązanie: Znajdźmy wyznacznik układu:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Miejska autonomiczna placówka oświatowa Gimnazjum

Sekcja matematyki

Rozwiązywanie układów równań z parametrem

Pracę wykonali: uczennica klasy 11 „A”

Chirkova Elizaveta Vasilievna

Kierownik: nauczyciel matematyki

Batalova Elena Władimirowna

Czajkowski, 2012

Spis treści

Wstęp
I. Część teoretyczna
II. Część praktyczna
Wniosek

Wstęp

W naszym życiu ważne jest zdobycie wyższego wykształcenia. Aby odnieść sukces, musisz ukończyć szkołę wyższą. Ale wcześniej bardzo ważne jest, aby zdać ujednolicony egzamin państwowy. I tylko bardzo dobre przygotowanie do niego pomoże Ci zdać Unified State Exam. Najwięcej punktów w Unified State Examination z matematyki można uzyskać za część C. Natomiast w części C mogą pojawić się problemy o zwiększonej złożoności ze zmienną.

W mojej pracy badawczej rozpatruję wyłącznie systemy z parametrem.

Problem: Problemy z parametrami sprawiają uczniom duże trudności. Wynika to z faktu, że rozwiązywanie takich problemów wymaga nie tylko znajomości własności funkcji i równań, umiejętności wykonywania przekształceń algebraicznych, ale także wysokiej kultury logicznej i dobrych technik badawczych.

Przedmiotowy obszar studiów: obszar stereometrii.

Przedmiot badań: systemy z parametrem.

Cel: Znajdowanie metod i metod rozwiązywania układów z parametrem; identyfikacja algorytmu działań.

Hipoteza: Układy o nieznanym parametrze można rozwiązać, jeśli znasz różne metody i metody rozwiązywania układu.

W związku z postawionym celem i hipotezą sformułowano: zadania:

1. Studiowanie literatury naukowej na ten temat.

2. Badanie pojęć: walec, stożek, kula, ich budowa.

3. Poszukiwać w literaturze problematyki ciał rewolucji.

4. Rozwiązywanie znalezionych problemów na różne sposoby.

Metody badawcze:

1. Analiza źródeł literackich i internetowych.

2. Modelowanie.

3. Porównanie.

4. Metody wizualizacji danych.

5. Opis.

I. Część teoretyczna

Funkcja liniowa: - równanie prostej ze współczynnikiem kątowym. Współczynnik kątowy jest równy tangensowi kąta nachylenia linii prostej do dodatniego kierunku osi .

Równania liniowe z parametrami

Równanie

Jeśli , równanie ma Jedyną rzeczą rozwiązanie.

Jeśli , to równanie nie ma rozwiązań, Gdy , i równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, Gdy .

Czasami w równaniach niektóre współczynniki nie są podawane w postaci konkretnych wartości liczbowych, ale są oznaczone literami.

Przykład:topór+b=c.

W tym równaniu X- nieznany, ABC- współczynniki, które mogą przyjmować różne wartości liczbowe. Określone w ten sposób współczynniki nazywane są parametry.

Rozwiązanie równania z parametrami oznacza:

1. Wskaż, przy jakich wartościach parametrów równanie ma pierwiastki i ile ich jest dla różnych wartości parametrów.

2. Znajdź wszystkie wyrażenia na pierwiastki i wskaż dla każdego z nich wartości parametrów, przy których to wyrażenie określa pierwiastek równania.

Przejdźmy do już podanego równania z parametrami topór+b=c i rozwiążemy to.

Pierwiastek parametru równania układu

Jeśli A 0, zatem. Jeśli a= 0, wtedy otrzymamy b=c, jeśli to prawda, to pierwiastkiem równania jest dowolna liczba rzeczywista, ale jeśli B C, to równanie nie ma rozwiązań.

Otrzymaliśmy zatem: z A 0 ,; Na a=0 I b=c, X- dowolna liczba rzeczywista; Na a=0 I B C, równanie nie ma pierwiastków.

W procesie rozwiązywania tego równania wyodrębniliśmy wartość parametru a=0, przy którym następuje jakościowa zmiana w równaniu, tę wartość parametru będziemy dalej nazywać „kontrolą”. W zależności od tego, jakie mamy równanie, wartości „kontrolne” parametru znajdują się inaczej. Rozważmy różne typy równań i wskażmy metodę znajdowania wartości parametrów „kontrolnych”.

II. Część praktyczna

Zadanie nr 1. A system

Na = X 2 - 2x 2,

X 2 + Na 2 + A 2 = 2x + 2 tyg

ma rozwiązania?

Rozwiązanie.

Przepiszmy oryginalny układ do postaci

(X - 1 2 = Na + 1,

(Na - A) 2 + (X - 1 ) 2 = 1 .

Stąd dochodzimy do systemu

(Na - A) 2 + Na +1= 1

U + 1 ? 0 .

lub do systemu

Na 2 + (1-2a) Na + A 2 = 0,

Na ? - 1 .

Rozwiązując pierwsze równanie tego układu, znajdujemy to Na 1,2 = .

Warunek zadania zostanie spełniony, jeśli ostatni układ mieszany ma co najmniej jedno rozwiązanie. Wyszukaj wartości A wynika z nierówności

1, rozwiązanie, które otrzymujemy A [ -2, ].

Odpowiedź:A [ -2, ].

Zadanie nr 2. Przy jakich wartościach parametrów A I B czy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Rozwiązanie.

Na płaszczyźnie współrzędnych xOj zbiór punktów spełniających którekolwiek z równań układu to linie proste. A wtedy rozwiązaniem układu będą punkty przecięcia tych linii. Dlatego oryginalny system będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy te linie się pokrywają. W ogólnym przypadku dwie linie określone przez równania i pokrywają się, jeśli i (w jednym punkcie przecięcia, w i nie mają punktów przecięcia). W konsekwencji układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań w przypadku, gdy układ jest spójny

Rozwiązując układ, otrzymujemy, .

Odpowiedź:, .

Zadanie nr 3. Przy jakich wartościach parametrów A dla co najmniej jednej wartości parametru c, system ma rozwiązania dla dowolnych wartości parametrów B?

Rozwiązanie.

Jeśli pomnożymy drugie równanie przez B i odejmij pierwsze równanie układu od otrzymanego równania, wtedy będziemy mieli

Jeśli pomnożysz przez B pierwsze równanie i odejmij od otrzymanego równania drugie równanie układu

Zatem oryginalny system jest równoważny systemowi

W każdym razie system zawsze ma unikalne rozwiązanie. Jeśli to układ będzie miał rozwiązania równania

Rozważając go jako kwadratowy względem parametru c, dochodzimy do wniosku, że będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie, jeśli i, tj. Jeśli.

Kiedy dochodzimy do rozważenia równania

W tym przypadku, rozwiązując nierówność, gdzie to znajdziemy.

Odpowiedź:.

Zadanie nr 4. Przy jakich wartościach parametrów A czy układ ma cztery rozwiązania?

Rozwiązanie.

Zakładając, że przepiszemy system w postaci

Zauważmy teraz, że jeśli para jest rozwiązaniem układu, to para jest również rozwiązaniem tego układu. Dlatego jeśli - rozwiązanie układu jest takie, że i, to system będzie miał osiem rozwiązań.

Zatem oryginalny system będzie miał cztery rozwiązania w dwóch następujących przypadkach: , lub.

A potem, jeśli; To. Jeśli lub, to.

Odpowiedź:, .

Zadanie nr 5. A, dla każdego z nich system posiada unikalne rozwiązanie.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalny system:

Równanie określa parę przecinających się linii i.

określa części tych linii znajdujące się na prawo od linii, tj. promienie D.B. I CE(bez kropek B I Z), patrz rys.

Równanie definiuje linię prostą M ze spadkiem A przechodząc przez punkt. Znajdź wszystkie wartości A, dla każdego z nich linia prosta M ma jeden punkt wspólny z sumą promieni BD I SE.

a) Bezpośrednie AB M ani promień nie przejdzie BD, brak belki SE.

b) Bezpośrednie AC jest dane równaniem. Dlatego, gdy jest prosto M przetnie belkę BD, ale nie przetnie promienia SE.

c) Gdy jest prosty M zatrzyma wiązkę BD i promień SE.

d) Na koniec po linii prostej M przetnie tylko belkę SE, i gdy nie przecina ani jednej belki BD, brak belki SE.

Odpowiedź:, .

Zadanie nr 6. Znajdź wszystkie wartości parametrów A, dla każdego z nich układ równań ma dokładnie dwa rozwiązania.

Rozwiązanie.

Zastąpmy pierwsze równanie różnicą, a drugie sumą pierwotnych równań:

Kiedy drugie równanie układu, a co za tym idzie, cały układ nie ma rozwiązań. Kiedy dostaniemy:

Jest oczywiste (patrz rysunek), że gdy układ ma cztery rozwiązania (współrzędne punktów A, B, C I D) i w - dwa rozwiązania (współrzędne punktów M I N).

Odpowiedź:.

Wniosek

Młodsze pokolenie ma na ustach imię królowej wszystkich nauk. Niektórym jest ona przyznawana dopiero na najwyższym poziomie edukacji. Ale każdy ma obowiązek przystąpić do jednolitego egzaminu państwowego z tego przedmiotu. A jednolity egzamin państwowy z matematyki nie jest taki łatwy. Dlatego ci, którym pozostał rok, mniej lub więcej, już zaczynają się przygotowywać. A to potwierdza, że wybrany przeze mnie temat badań jest trafny.

W mojej pracy badawczej wszystkie figury są nierozerwalnie związane z planimetrią, jednak aby zrozumieć tę naukę, trzeba znać stereometrię. W trakcie pracy poznałem ważne pojęcia i wzory rozwiązywania problemów z określonymi figurami: kulą, stożkiem, cylindrem. W rozwiązywaniu problemów pomogły mi takie techniki i metody, jak: umiejętność wykonywania działań o kształtach geometrycznych; rozwiązywanie problemów planimetrycznych w celu znalezienia wielkości geometrycznych (długości, kąty, pola); rozwiązywanie najprostszych problemów stereometrycznych w celu znalezienia wielkości geometrycznych (długości, kąty, pola, objętości); obraz figur przestrzennych; przekroje sześcianu, pryzmatu, piramidy; pole trójkąta, koła, pole powierzchni stożka, cylindra; objętość walca, stożka, kuli. Wybrane przeze mnie problemy rozwiązano wykorzystując pojęcia dotyczące tej czy innej figury i wzorów, co potwierdza moją hipotezę.

Podobne dokumenty

Standardowe metody rozwiązywania równań i nierówności. Algorytm rozwiązywania równania z parametrem. Dziedzina równania. Rozwiązywanie nierówności za pomocą parametrów. Wpływ parametru na wynik. Prawidłowe wartości zmiennej. Punkty przecięcia grafów.

test, dodano 15.12.2011

Wprowadzenie do równań i ich parametrów. Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, wyznaczanie zbioru dopuszczalnych wartości niewiadomych. Pojęcie modułu liczby, rozwiązywanie równań liniowych z modułem i równań kwadratowych z parametrem.

test, dodano 09.03.2011

Metody rozwiązywania układu równań z dwiema zmiennymi. Linia prosta przypomina wykres równania liniowego. Stosowanie metod podstawienia i dodawania przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dwiema zmiennymi. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Gaussa.

streszczenie, dodano 11.10.2009

Definicja pojęcia równania z parametrami. Zasada rozwiązywania tych równań w przypadkach ogólnych. Rozwiązywanie równań o parametrach związanych z właściwościami funkcji wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. Dziewięć przykładów rozwiązywania równań.

streszczenie, dodano 09.02.2009

Przybliżone liczby i operacje na nich. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych. Interpolacja i ekstrapolacja funkcji. Numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych. Oddzielenie pierwiastka równania. Wyszukaj błąd wyniku.

test, dodano 18.10.2012

Przybliżone wartości korzeni. Metoda dychotomii (czyli podziału odcinka na pół), prosta iteracja i Newton. Metoda dzielenia odcinka na pół w celu rozwiązania równania. Badanie zbieżności metody Newtona. Konstrukcja kilku kolejnych przybliżeń.

praca laboratoryjna, dodano 15.07.2009

Podstawowe definicje. Algorytm rozwiązania. Nierówności z parametrami. Podstawowe definicje. Algorytm rozwiązania. To tylko jeden z algorytmów rozwiązywania nierówności z parametrami wykorzystującymi układ współrzędnych xOa.

praca na kursie, dodano 11.12.2002

Znalezienie podstawowego rozwiązania układu równań, ułożenie równania prostej, doprowadzenie do postaci kanonicznej i skonstruowanie krzywej. Wartości własne i wektory transformacji liniowej. Obliczanie objętości ciała i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia.

test, dodano 11.12.2012

Metody rozwiązywania równań niewymiernych. Zmienna metoda wymiany. Liniowe kombinacje dwóch lub więcej rodników. Równanie z jednym pierwiastkiem. Mnożenie przez wyrażenie sprzężone. Metoda rozwiązywania równań poprzez izolowanie idealnych kwadratów pod znakiem pierwiastka.

test, dodano 15.02.2016

Numeryczne rozwiązanie równania metodą Eulera i Runge-Kutty w programie Excel. Program w języku Turbo Pascal. Schemat blokowy algorytmu. Metoda Runge-Kutty dla równania różniczkowego drugiego rzędu. Model drapieżnik-ofiara uwzględniający interakcje wewnątrzgatunkowe.

Gdzie mogę rozwiązać równanie z parametrem online?

Podobne dokumenty

Przeczytaj także