Mechanika teoretyczna. Statyka:

Układ zbiegających się sił
Definicja i twierdzenie o trzech siłach
Graficzne określenie wypadkowej sił zbiegających się
Analityczne zadanie siły
Analityczne wyznaczanie wypadkowej sił zbiegających się
Warunki i równania równowagi układu sił zbieżnych
Rozwiązywanie problemów
★ Równowaga pod działaniem zbieżnego układu sił

Teoria pary siłowej

Para sił i jej właściwości
Twierdzenia o równoważności par
Dodawanie par sił
Równowaga układów par

Doprowadzenie do płaskiego układu sił
Lemat Poinsota
Twierdzenie o redukcji płaskiego układu sił
Szczególne przypadki redukcji płaskiego układu sił
Zrównoważony układ sił

Wyznaczanie reakcji podporowych układów prętów płaskich
★ Równowaga pod działaniem układu sił równoległych na płaszczyźnie
Układ sił równoległych
Dowolny płaski układ sił
Dowolny płaski układ sił. RGR 1
★ Równowaga płaskiego dowolnego układu sił
Obliczanie układów złożonych
Obliczanie układów złożonych. RGR 2
★ Równowaga układu ciał 1
★ Równowaga układu ciał 2
★ Równowaga układu ciał 3
Graficzne wyznaczanie reakcji podporowych

topics:termeh:statics:moment_of_force_relative_to_center

Rozważmy bryłę, która jest zamocowana w środku O i może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Przyłóżmy siłę P w punkcie A tego ciała i dowiedzmy się, co decyduje o działaniu obrotowym tej siły ( Ryc.1).

Jest oczywiste, że wpływ siły na ciało będzie zależał nie tylko od jej wielkości, ale także od sposobu jej skierowania i ostatecznie będzie określony przez jej moment wokół środka O.

Definicja 1. Moment siły P względem środka O jest iloczynem modułu siły przyjętego ze znakiem $\pm$ i jego ramieniem, czyli długości prostopadłej obniżonej od punktu momentu do prostej działania siły.

Zasada znaku: moment siły uważa się za dodatni, jeśli siła ma tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, i za ujemny, jeśli obraca ciało w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Zgodnie z tą definicją moment siły jest liczbowo równy podwójnemu polu trójkąta OAB, zbudowanego na wektorze siły P z wierzchołkiem w punkcie chwili: $M_0(P) = P\cdot d = 2S \Delta_(OAB)$ .

Zauważ to moment siły względem punktu O jest równy zeru, jeśli linia działania siły przechodzi przez punkt momentu.

Rozważana definicja momentu siły jest odpowiednia tylko dla płaskiego układu sił. W ogólnym przypadku, aby jednoznacznie opisać obrotowe działanie siły, wprowadzamy następującą definicję.

Definicja 2. Moment wektorowy siły P względem środka O jest wektorem, który:

przyłożony w momencie punktu O prostopadle do płaszczyzny trójkąta zbudowanego na wektorze siły z wierzchołkiem w punkcie momentu;

kierowane zgodnie z zasadą prawej śruby;

równy momentowi siły P względem środka O (Ryc.1a).

Reguła prawej śruby, znany również z zajęć z fizyki jako zasada świdra, oznacza, że ​​patrząc w stronę momentu wektorowego $\vec(M_0)(\vec(P))$ , zobaczymy obrót płaszczyzny jego działania przez siłę $\vec(P)$, występujący w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara .

Oznaczmy przez $\vec(r)$ wektor promienia punktu przyłożenia siły $\vec(P)$ i udowodnijmy, że prawdziwe jest poniższe

Twierdzenie 1. Wektor-moment siły $\vec(P)$ względem środka O jest równy iloczynowi wektora promienia $\vec(r)$ i wektora siły $\vec(P)$ :

$$\vec(M_0)(\vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P))$$

Przypomnijmy, że iloczyn wektorowy wektorów $\vec(a)\text( i )\vec(b)$ to wektor $\vec(c)$ , który ( Ryc.2b):

jest prostopadła do wektorów $\vec(a)\text( i )\vec(b)$ ;

tworzy z nimi prawostronną trójkę wektorów, czyli jest ona skierowana w ten sposób, że patrząc w stronę tego wektora zobaczymy obrót od wektora $\vec(a)$ do wektora $\vec( b)$ pod najmniejszym kątem, występującym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara;

równy pod względem wielkości dwukrotnej powierzchni trójkąta zbudowanego na tych wektorach:

$$|\vec(c)| = |\vec(a) \times \vec(b)| = |\vec(a)|\cdot|\vec(b)|\cdot\sin(\vec(a),\,\vec(b))$$

Aby udowodnić twierdzenie, zauważamy najpierw, że wektor równy iloczynowi wektorów wektorów $\vec(r)\text( i )\vec(P)$ będzie współliniowy z wektorem $\vec(M_0) (\vec(P))$ .

Aby to sprawdzić, wystarczy wykreślić te wektory z jednego punktu ( Ryc.1c). Zatem $(\vec(r) \times \vec(P)) \uparrow \uparrow \vec(M_0)(\vec(P))$.

Po drugie, moduł iloczynu wektorowego tych wektorów będzie równy:

$$|\vec(r) \times \vec(P)| = |\vec(r)|\cdot|\vec(P)|\cdot\sin(\vec(r),\,\vec(P)) = P \cdot d =|\vec(M_0)(\ vec(P))|$$

W tym miejscu następuje relacja twierdzenia.

Konsekwencją tego twierdzenia jest:

Twierdzenie Varignona (o momencie wypadkowej sił zbiegających się). Moment wektorowy wypadkowego układu zbieżnych sił względem dowolnego środka O jest równy sumie geometrycznej momentów wektorowych wszystkich sił układu względem tego środka:

$$\vec(M_0)(\vec(R)) = \sum_(i=1)^(i=n)\vec(M_(0\,\,i))(\vec(P_i))$$

W rzeczywistości moment wynikowy, biorąc pod uwagę Twierdzenie 1 a analityczna definicja wypadkowej sił zbieżnych będzie równa:

$$ \vec(M_0)(\vec(R))= \vec(R)\times\vec(r) \,\,\,\;\;\text( , ponieważ ) \vec(M_0 )(\ vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P)) \\ \vec(R)\times\vec(r)= \vec(r)\times\sum_(i= 1)^ (i=n)\vec(P_i) \,\,\,\;\;\text( , ponieważ ) (\vec(P_1), \vec(P_2), \dots, \vec (P_n)) \sim \vec(R) = \sum_(i=1)^(i=n) \vec(P_i) \\ \vec(r)\times\sum_(i=1)^(i= n)\vec(P_i ) = \sum_(i=1)^(i=n)(\vec(r)\times\vec(P_i)) = \sum_(i=1)^(i=n)\ vec(M_(0\ ,\,i))(\vec(P_i)) $$

W przypadku płaskiego układu zbieżnych sił suma geometryczna wynosi Twierdzenie Varignona przechodzi do algebraicznego:

$$M_0(R)=\suma_(i=1)^(i=n)M_(0\,\,i)(\vec(P_i))$$

Notatka

W literaturze edukacyjnej termin „moment” używany jest zarówno do określenia momentu siły, jak i jej momentu wektorowego.

topics/termeh/statics/moment_of_force_relative_to_center.txt · Ostatnie zmiany: 2013/07/19 19:53 - ¶

Zatem dla równowagi ciała zamocowanego na osi ważny jest nie sam moduł siły, ale iloczyn modułu siły i odległości osi od linii, wzdłuż której działa siła (ryc. 115; zakłada się, że siła leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu). Iloczyn ten nazywany jest momentem siły względem osi lub po prostu momentem siły. Odległość nazywana jest dźwignią. Oznaczając moment siły literą , otrzymujemy

Zgódźmy się uznać moment siły za dodatni, jeśli ta siła, działając osobno, obróciłaby ciało zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a w przeciwnym razie za ujemny (w tym przypadku musimy z góry uzgodnić, z której strony będziemy patrzeć na ciało). Na przykład siły i na ryc. 116 należy przypisać moment pozytywny, a wymusić moment negatywny.

Ryż. 115. Moment siły jest równy iloczynowi jej modułu i ramienia

Ryż. 116. Momenty sił i są dodatnie, momenty siły są ujemne

Ryż. 117. Moment siły jest równy iloczynowi modułu składowej siły i modułu wektora promienia

Moment siły można również zdefiniować inaczej. Narysujmy skierowany odcinek od punktu leżącego na osi w tej samej płaszczyźnie, co siła, do punktu przyłożenia siły (ryc. 117). Odcinek ten nazywany jest wektorem promienia punktu przyłożenia siły. Moduł wektora jest równy odległości od osi do punktu przyłożenia siły. Teraz skonstruujmy składową siły prostopadle do wektora promienia. Oznaczmy ten składnik przez . Z rysunku jasno wynika, że ​​a. Mnożąc oba wyrażenia, otrzymujemy, że .

Zatem moment siły można przedstawić jako

gdzie jest modułem składowej siły prostopadłej do wektora promienia punktu przyłożenia siły, jest modułem wektora promienia. Należy zauważyć, że iloczyn jest liczbowo równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i (ryc. 117). Na ryc. 118 pokazuje siły, których momenty względem osi są takie same. Z ryc. 119 widać, że przesunięcie punktu przyłożenia siły wzdłuż jej kierunku nie powoduje zmiany jej momentu. Jeżeli kierunek siły przechodzi przez oś obrotu, wówczas dźwignia siły wynosi zero; dlatego moment siły jest również równy zero. Widzieliśmy, że w tym przypadku siła nie powoduje obrotu ciała: siła, której moment względem danej osi jest równy zero, nie powoduje obrotu wokół tej osi.

Ryż. 118. Siły i mają takie same momenty względem osi

Ryż. 119. Równe siły działające na to samo ramię mają równe momenty wokół osi

Wykorzystując pojęcie momentu siły, możemy w nowy sposób sformułować warunki równowagi ciała zamocowanego na osi i pod wpływem dwóch sił. W stanie równowagi wyrażonym wzorem (76.1) nie ma nic więcej niż ramiona odpowiednich sił. W konsekwencji warunek ten polega na równości wartości bezwzględnych momentów obu sił. Ponadto, aby zapobiec obrotowi, kierunki momentów muszą być przeciwne, to znaczy momenty muszą różnić się znakami. Zatem dla równowagi ciała zamocowanego na osi algebraiczna suma momentów sił działających na to ciało musi być równa zeru.

Ponieważ moment siły jest określony przez iloczyn modułu siły i ramienia, jednostkę momentu siły otrzymujemy, przyjmując siłę równą jeden, której ramię również jest równe jeden. Dlatego jednostką momentu siły w układzie SI jest moment siły równy jednemu niutonowi i działający na ramię o długości jednego metra. Nazywa się to niutonometrem (Nm).

Jeżeli na ciało zamocowane na osi działa wiele sił, to jak pokazuje doświadczenie, warunek równowagi pozostaje taki sam, jak w przypadku dwóch sił: dla równowagi ciała zamocowanego na osi oblicza się sumę algebraiczną sił momenty wszystkich sił działających na ciało muszą być równe zeru. Wynikowy moment kilku momentów działających na ciało (momenty składowe) nazywany jest sumą algebraiczną momentów składowych. Pod wpływem powstałego momentu ciało obróci się wokół osi w taki sam sposób, w jaki obracałoby się pod wpływem jednoczesnego działania wszystkich momentów składowych. W szczególności, jeśli powstały moment wynosi zero, wówczas ciało przymocowane do osi albo pozostaje w spoczynku, albo obraca się równomiernie.

Moment siły względem punktu O jest wektorem, którego moduł jest równy iloczynowi modułu siły i ramienia - najkrótszej odległości od punktu O do linii działania siły. Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do ​​płaszczyzny przechodzącej przez punkt i linię działania siły, tak że patrząc w kierunku wektora momentu obrót wykonywany przez siłę wokół punktu O następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Jeśli znany jest wektor promienia punktu przyłożenia siły względem punktu O, wówczas moment tej siły względem O wyraża się następująco:

Rzeczywiście, moduł tego iloczynu krzyżowego wynosi:

. (1.9)

Zgodnie z obrazkiem zatem:

Wektor , podobnie jak wynik iloczynu poprzecznego, jest prostopadły do ​​wektorów należących do płaszczyzny Π. Kierunek wektora jest taki, że patrząc w kierunku tego wektora, najkrótszy obrót następuje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Innymi słowy, wektor uzupełnia system wektorów () do prawej trójki.

Znając współrzędne punktu przyłożenia siły w układzie współrzędnych, którego początek pokrywa się z punktem O, oraz rzut siły na te osie współrzędnych, moment siły można wyznaczyć w następujący sposób:

. (1.11)

Moment siły względem osi

Rzut momentu siły wokół punktu na oś przechodzącą przez ten punkt nazywa się momentem siły wokół osi.

Moment siły względem osi oblicza się jako moment rzutu siły na płaszczyznę Π, prostopadłą do osi, względem punktu przecięcia osi z płaszczyzną Π:

Znak momentu jest określony przez kierunek obrotu, jaki siła F⃗ Π ma tendencję do wywierania na ciało. Jeżeli, patrząc w kierunku osi Oz, siła obraca ciało zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wówczas moment jest przyjmowany ze znakiem plus, w przeciwnym razie - minus.

1.2 Opis problemu.

Wyznaczanie reakcji podpór i zawiasu C.

1.3 Algorytm rozwiązania problemu.

Podzielmy konstrukcję na części i rozważmy równowagę każdej konstrukcji.

Rozważmy równowagę całej konstrukcji jako całości. (Rys. 1.1)

Utwórzmy 3 równania równowagi dla całej konstrukcji jako całości:

Rozważmy równowagę prawej strony konstrukcji (rysunek 1.2).

Utwórzmy 3 równania równowagi dla prawej strony konstrukcji.

Co jest równe iloczynowi siły działającej na jego ramię.

Moment siły oblicza się ze wzoru:

Gdzie F- siła, l- ramię siły.

Ramię mocy- jest to najkrótsza odległość od linii działania siły do ​​osi obrotu ciała. Poniższy rysunek przedstawia sztywny korpus, który może obracać się wokół osi. Oś obrotu tego ciała jest prostopadła do płaszczyzny figury i przechodzi przez punkt oznaczony literą O. Ramię siły Ft oto odległość l, od osi obrotu do linii działania siły. Definiuje się to w ten sposób. Pierwszym krokiem jest narysowanie linii działania siły, następnie z punktu O, przez który przechodzi oś obrotu ciała, obniż prostopadle do linii działania siły. Długość tej prostopadłej okazuje się być ramieniem danej siły.

Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. To działanie zależy zarówno od siły, jak i dźwigni. Im większa dźwignia, tym mniejszą siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pożądany efekt, czyli ten sam moment siły (patrz rysunek powyżej). Dlatego znacznie trudniej otworzyć drzwi, dociskając je w pobliże zawiasów, niż chwytając za klamkę, a o wiele łatwiej odkręcić nakrętkę długim kluczem niż krótkim.

Za jednostkę momentu siły w układzie SI przyjmuje się moment siły 1 N, którego ramię jest równe 1 m - niutonometr (N m).

Zasada momentów.

Ciało sztywne, które może obracać się wokół ustalonej osi, znajduje się w równowadze, jeśli moment siły M 1 obrót go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły M 2 , który obraca go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

Reguła momentów jest konsekwencją jednego z twierdzeń mechaniki, które sformułował francuski naukowiec P. Varignon w 1687 roku.

Parę sił.

Jeżeli na ciało działają 2 równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na tej samej prostej, to ciało takie nie jest w równowadze, gdyż wypadkowy moment tych sił względem dowolnej osi nie jest równy zeru, gdyż obie siły mają momenty skierowane w tym samym kierunku. Dwie takie siły działające jednocześnie na ciało nazywamy parę sił. Jeśli ciało jest zamocowane na osi, to pod działaniem pary sił będzie się obracać. Jeśli na wolne ciało przyłoży się kilka sił, wówczas obróci się ono wokół własnej osi. przechodząc przez środek ciężkości ciała, figura B.

Moment pary sił jest taki sam względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Całkowita chwila M par jest zawsze równa iloczynowi jednej z sił F na odległość l pomiędzy siłami, tzw ramię pary, bez względu na segmenty l, i dzieli położenie osi ramienia pary:

Moment kilku sił, których wypadkowa wynosi zero, będzie taki sam względem wszystkich osi równoległych do siebie, dlatego działanie wszystkich tych sił na ciało można zastąpić działaniem jednej pary sił o tych samych za chwilę.