Magiczny kwadrat 4 liczb. Magiczne kwadraty (3) - Dokument. Co to za zagadka

Strona główna > Dokument

MAGICZNY KWADRAT

Magiczny lub magiczny kwadrat to kwadratowa tabela wypełniona liczbami w taki sposób, że suma liczb w każdym rzędzie, każdej kolumnie i obu przekątnych jest taka sama.

Suma liczb w każdym rzędzie, kolumnie i przekątnej nazywana jest magiczną stałą M.

Najmniejsza magiczna stała magicznego kwadratu 3x3 to 15, kwadrat 4x4 to 34, kwadrat 5x5 to 65,

Jeśli sumy liczb w kwadracie są równe tylko w wierszach i kolumnach, nazywa się to półmagią.

Budowanie magicznego kwadratu 3 x 3 z najmniejszym

magiczna stała

Znajdź najmniejszą stałą magiczną magicznego kwadratu 3x3

1 sposób

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Liczba napisana w środku to 15 : 3 = 5

Ustalono, że w środku napisana jest liczba 5.

gdzie n to liczba wierszy

Jeśli możesz zbudować jeden magiczny kwadrat, nie jest trudno zbudować ich dowolną liczbę. Dlatego pamiętaj o technikach budowlanych

Kwadrat magiczny 3x3 ze stałą 15.

1 sposób budowa. Najpierw umieść liczby parzyste w rogach

W środku 2,4,8,6 i 5. Reszta procesu to prosta arytmetyka.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 sposoby rozwiązania

Korzystając ze znalezionego magicznego kwadratu o stałej 15, możesz ustawić wiele różnorodnych zadań:

Przykład. Zbuduj nowe różne magiczne kwadraty 3 x 3

Decyzja.

Dodając każdą liczbę magicznego kwadratu lub mnożąc ją przez tę samą liczbę, otrzymujemy nowy magiczny kwadrat.

Przykład 1 Skonstruuj magiczny kwadrat 3 x 3, którego liczba w środku to 13.

Decyzja.

Zbudujmy znajomą magię

kwadrat ze stałą 15.

Znajdź liczbę, która jest w

środek żądanego kwadratu

13 – 5 = 8.

Do każdej magicznej liczby

dodaj 8 kwadratów.

Przykład 2 Wypełnij klatki magii

kwadraty, znając magiczną stałą.

Decyzja. Znajdźmy numer

napisane w środku 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

zadania do samodzielnego rozwiązania

Przykłady. 1. Wypełnij komórki magicznych kwadratów magią

stała M =15.

1) 2) 3)

2. Znajdź magiczną stałą magicznych kwadratów.

1) 2) 3)

3. Wypełnij komórki magicznych kwadratów, znając magiczną stałą

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Skonstruuj magiczny kwadrat 3x3, wiedząc, że magiczna stała wynosi

równa się 21.

Decyzja. Przypomnij sobie, jak zbudowany jest magiczny kwadrat 3x3 według najmniejszego

stała 15. W skrajnych polach zapisywane są liczby parzyste

2, 4, 6, 8, a pośrodku liczba 5 (15 : 3).

Zgodnie z warunkiem konieczne jest zbudowanie kwadratu zgodnie ze stałą magiczną

21. Na środku żądanego kwadratu powinna znajdować się liczba 7 (21 : 3).

Znajdźmy, o ile więcej każdy członek żądanego kwadratu

każdy wyraz z najmniejszą stałą magiczną 7 - 5 = 2.

Budujemy wymagany magiczny kwadrat:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Skonstruuj magiczne kwadraty 3x3, znając ich magiczne stałe

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Budowanie magicznego kwadratu 4 x 4 z najmniejszym

magiczna stała

Znajdź najmniejszą stałą magiczną magicznego kwadratu 4x4

i numer znajdujący się na środku tego kwadratu.

1 sposób

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

gdzie n to liczba wierszy n = 4.

Suma liczb na dowolnym poziomie,

pionowa i przekątna to 34.

Kwota ta występuje również we wszystkich

kwadraty narożne 2×2, w środku

do kwadratu (10+11+6+7), do kwadratu od

komórki narożne (16+13+4+1).

Aby zbudować dowolne magiczne kwadraty 4x4, musisz: zbudować jeden

ze stałą 34.

Przykład. Zbuduj nowe różne magiczne kwadraty 4 x 4.

Decyzja.

Sumowanie każdej znalezionej liczby

magiczny kwadrat 4 x 4 lub

mnożąc przez tę samą liczbę,

zdobądź nowy magiczny kwadrat.

Przykład. Zbuduj magiczną

kwadrat 4 x 4, który ma magię

stała wynosi 46.

Decyzja. Zbudowano znajomą magię

kwadrat ze stałą 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Do każdej liczby magicznego kwadratu

dodajmy 3.

Zanim przystąpisz do rozwiązywania bardziej złożonych przykładów na magicznych kwadratach 4 x 4, sprawdź ponownie właściwości, które ma, jeśli M = 34.

Przykłady. 1. Wypełnij komórki magicznego kwadratu magią

stała M =38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

właściwość 1,3,1 właściwości 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

właściwości 1,1,1,1

Odpowiadać.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Wypełnij pola magicznego kwadratu, jeśli magia jest znana

stały

K = 46 K = 58 K = 62

Poznaj magiczne kwadraty 5x5 i 6x6

Istnieje kilka różnych klasyfikacji magicznych kwadratów.

piątego rzędu, mającego je jakoś usystematyzować. W książce

Martina Gardnera [GM90, s. 244-345] opisuje jedną z tych metod -

według numeru na centralnym placu. Metoda jest ciekawa, ale nic więcej.

Nadal nie wiadomo, ile istnieje kwadratów szóstego rzędu, ale jest ich około 1,77 x 1019. Liczba jest ogromna, więc nie ma nadziei na policzenie ich za pomocą wyczerpujących poszukiwań, ale nikt nie mógł wymyślić wzoru na obliczanie magicznych kwadratów.

Jak zrobić magiczny kwadrat?

Istnieje wiele sposobów konstruowania magicznych kwadratów. Najłatwiejszy sposób na magiczne kwadraty dziwna kolejność. Zastosujemy metodę zaproponowaną przez francuskiego naukowca z XVII wieku A. de la Louber (De La Loubère). Opiera się na pięciu zasadach, których działanie rozważymy na najprostszym magicznym kwadracie 3 x 3 komórki.

Zasada 1. Umieść 1 w środkowej kolumnie pierwszego rzędu (ryc. 5.7).

Ryż. 5.7. Pierwszy numer

Zasada 2. Umieść następną liczbę, jeśli to możliwe, w komórce sąsiadującej z bieżącą po przekątnej w prawo i powyżej (ryc. 5.8).

Ryż. 5.8. Próba wpisania drugiego numeru

Zasada 3. Jeśli nowa komórka wykracza poza kwadrat powyżej, wpisz liczbę w samym dolnym wierszu iw następnej kolumnie (ryc. 5.9).

Ryż. 5.9. Umieszczamy drugą liczbę

Zasada 4. Jeśli komórka wykracza poza kwadrat po prawej stronie, wpisz liczbę w pierwszej kolumnie iw poprzednim wierszu (ryc. 5.10).

Ryż. 5.10. Umieszczamy trzecią liczbę

Zasada 5. Jeśli komórka jest już zajęta, zapisz kolejny numer pod bieżącą komórką (ryc. 5.11).

Ryż. 5.11. Stawiamy czwartą liczbę

Ryż. 5.12. Stawiamy piąty i szósty numer

Ponownie postępuj zgodnie z regułami 3, 4, 5, aż ukończysz cały kwadrat (ryc.

Prawda, że ​​zasady są bardzo proste i jasne, ale ułożenie nawet 9 numerów jest dość nużące. Jednak znając algorytm konstruowania magicznych kwadratów możemy spokojnie powierzyć komputerowi wszystkie rutynowe prace, pozostawiając sobie jedynie pracę twórczą, czyli napisanie programu.

Ryż. 5.13. Wypełnij kwadrat następującymi liczbami

Projekt Magiczne kwadraty (Magia)

Pole ustawione dla programu magiczne kwadraty całkiem oczywiste:

// PROGRAM DLA GENERACJI

// NIEPARZYSTY MAGICZNY KWADRAT

// METODĄ DE LA LOUBERTA

publiczna klasa częściowa Form1 : Form

//Maks. wymiary kwadratu: const int MAX_SIZE = 27; //zm

int=0; // porządek kwadratowy int [,] mq; // magiczny kwadrat

int liczba=0; // bieżąca liczba do kwadratu

intcol=0; // bieżąca kolumna int row=0; // bieżąca linia

Metoda de la Louber nadaje się do wykonywania kwadratów nieparzystych dowolnej wielkości, więc możemy pozwolić użytkownikowi na wybór kolejności kwadratu, jednocześnie rozsądnie ograniczając swobodę wyboru do 27 komórek.

Po naciśnięciu przez użytkownika upragnionego przycisku btnGen Generuj! , metoda btnGen_Click tworzy tablicę do przechowywania liczb i przekazuje ją do metody generowania:

// NACIŚNIJ PRZYCISK „GENERUJ”.

private void btnGen_Click (nadawca obiektu, EventArgs e)

//kolejność kwadratu:

n = (int)udNum.Value;

//utwórz tablicę:

mq = nowy int ;

//wygeneruj magiczny kwadrat: generuj();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Tutaj zaczynamy działać zgodnie z zasadami de la Loubera i piszemy pierwszą liczbę - jedynkę - w środkowej komórce pierwszego rzędu kwadratu (lub tablicy, jeśli chcesz):

//Wygeneruj magiczny kwadrat void generuj()(

//pierwsza liczba: liczba=1;

//kolumna dla pierwszej liczby - środek: col = n / 2 + 1;

//wiersz dla pierwszej liczby - pierwsza: row=1;

//podnieś do kwadratu: mq= liczba;

Teraz kolejno dodajemy resztę komórek w komórkach - od dwóch do n * n:

// przejdź do następnej liczby:

Zapamiętujemy na wszelki wypadek współrzędne właściwej komórki

int tc=kol; int tr = wiersz;

i przejdź do następnej komórki po przekątnej:

Sprawdzamy realizację trzeciej reguły:

jeśli (wiersz< 1) row= n;

A potem czwarta:

if (kolumna > n) (kolumna=1;

przejdź do reguły 3;

I piąte:

if (mq != 0) ( kol=tc;

wiersz=tr+1; przejdź do reguły 3;

Skąd wiemy, że w komórce kwadratu jest już liczba? - Bardzo proste: rozważnie wpisaliśmy zera we wszystkich komórkach, a liczby w gotowym kwadracie są większe od zera. Tak więc na podstawie wartości elementu tablicy od razu ustalimy, czy komórka jest pusta, czy już z numerem! Należy pamiętać, że tutaj potrzebujemy tych współrzędnych komórki, które zapamiętaliśmy przed wyszukaniem komórki dla następnego numeru.

Prędzej czy później znajdziemy odpowiednią komórkę dla numeru i zapiszemy go do odpowiedniej komórki tablicy:

//podnieś do kwadratu: mq = liczba;

Wypróbuj inny sposób zorganizowania sprawdzenia dopuszczalności przejścia do

wow komórka!

Jeśli ten numer był ostatni, to program spełnił swoje obowiązki, w przeciwnym razie dobrowolnie przechodzi do nadania komórce następującego numeru:

//jeśli nie wszystkie liczby są ustawione, to if (number< n*n)

//przejście do następnego numeru: goto nextNumber;

A teraz plac jest gotowy! Obliczamy jego magiczną sumę i drukujemy na ekranie:

) //Generować()

Wydruk elementów tablicy jest bardzo prosty, ale ważne jest, aby wziąć pod uwagę wyrównanie liczb o różnej „długości”, ponieważ kwadrat może zawierać liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe:

//Wydrukuj magiczny kwadrat void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Kolor .Czarny;

string s = "Magiczna suma = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("");

// wypisuje magiczny kwadrat: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="";

dla (int j= 1; j<= n; ++j){

jeśli (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mkw< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add(""); )//wpiszMQ()

Uruchamiamy program – kwadraty uzyskuje się szybko i jest to uczta dla oczu (ryc.

Ryż. 5.14. Całkiem kwadrat!

W książce S. Goodmana, S. Hidetniemi Wprowadzenie do tworzenia i analizy algorytmów

mov , na stronach 297-299 znajdziemy ten sam algorytm, ale w „zredukowanej” prezentacji. Nie jest tak „przejrzysta” jak nasza wersja, ale działa poprawnie.

Dodaj przycisk btnGen2 Generuj 2! i napisz algorytm w tym języku

C-sharp do metody btnGen2_Click:

//Algorytm ODDMS

private void btnGen2_Click (nadawca obiektu, EventArgs e)

//kolejność kwadratu: n = (int )udNum.Value;

//utwórz tablicę:

mq = nowy int ;

//wygeneruj magiczny kwadrat: int row = 1;

int kol = (n+1)/2;

dla (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; jeśli (i % n == 0)

jeśli (wiersz == 1) wiersz = n;

jeśli (kol == n) kol = 1;

//kwadrat zakończony: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Klikamy w przycisk i upewniamy się, że wygenerowały się „nasze” kwadraty (ryc.

Ryż. 5.15. Stary algorytm w nowej odsłonie

Miejska placówka oświatowa „Gimnazjum nr 41”

magiczne kwadraty

Opiekun: ,

nauczyciel matematyki

Nowouralsk, 2012

Wprowadzenie 3

1. Ogólne informacje o magicznych kwadratach 4

1.1. Koncepcja magicznego kwadratu 4

1.2. Z historii magicznych kwadratów 4

1.3. Rodzaje magicznych kwadratów 6

2. Rozwiązywanie magicznych kwadratów 6

2.1. Rozwiązywanie magicznych kwadratów (metoda Bacheta de Meziraca) 7

2.2. Opis problemu 8

2.3. Algorytm rozwiązywania magicznych kwadratów 8

2.4. Dowód algorytmu (w postaci algebraicznej) 9

2.5. Przykład rozwiązania magicznego kwadratu za pomocą algorytmu 10

3. Korzystanie z magicznych kwadratów 11

3.1. Różne przypadki uogólnienia kwadratów magicznych 11

3.2. Zastosowanie kwadratów łacińskich 12

4. Wnioski ogólne 13

5. Wniosek 14

6. Referencje 15

Załącznik 1

Załącznik 2

Załącznik 3

Wstęp

Na lekcjach koła matematycznego napotkaliśmy problemy związane z wypełnianiem komórek kwadratu według specjalnych zasad. Proponowane liczby należało wpisać tak, aby wynik spełniał jednocześnie kilka warunków:

Jeśli dodasz wszystkie liczby w każdym wierszu,

Jeśli dodasz wszystkie liczby w każdej kolumnie,

Jeśli dodasz wszystkie liczby na dwóch przekątnych,

wtedy wszystkie te sumy będą równe tej samej liczbie.

Pomimo tego, że zadania różniły się liczbami początkowymi, kolejnością liczb, podaną sumą, wszystkie były podobne, a rozwiązania tego samego typu.

Powstał pomysł nie tylko rozwiązania każdego zadania, ale także opracowania ogólnego algorytmu rozwiązania, a także wyszukania w literaturze historycznych informacji o tego typu problemach.

Okazało się, że interesujące nas figury nazywane są magicznymi kwadratami, znanymi od czasów starożytnych. Zostaną one omówione w pracy.

Cel pracy: usystematyzować informacje o magicznych kwadratach, opracować algorytm ich rozwiązywania.

Zadania:

1. Przestudiuj historię powstania magicznych kwadratów.

2. Zidentyfikuj rodzaje magicznych kwadratów.

3. Naucz się rozwiązywać magiczne kwadraty.

4. Opracuj i udowodnij swój algorytm rozwiązania.

5. Określ użycie magicznych kwadratów.

1. Ogólne informacje o magicznych kwadratach

1.1. Koncepcja magicznego kwadratu

Magiczne kwadraty są bardzo popularne do dziś. Są to kwadraty, w każdą komórkę wpisane są liczby, tak aby sumy liczb wzdłuż dowolnego poziomu, dowolnego pionu i dowolnej przekątnej były równe. Najbardziej znany jest magiczny kwadrat przedstawiony na rycinie niemieckiego artysty A. Dürera „Melancholia” (dodatek 1).

1.2. Z historii magicznych kwadratów

Liczby tak bardzo wkroczyły w życie człowieka, że ​​​​zaczęto przypisywać im wszelkiego rodzaju magiczne właściwości. Już kilka tysięcy lat temu w starożytnych Chinach porwało ich rysowanie magicznych kwadratów. Podczas wykopalisk archeologicznych w Chinach i Indiach znaleziono kwadratowe amulety. Kwadrat został podzielony na dziewięć małych kwadratów, w każdym z nich wpisano liczby od 1 do 9. Godne uwagi jest to, że sumy wszystkich liczb w dowolnym pionie, poziomie i przekątnej były równe tej samej liczbie 15 (ryc. 1).

Obrazek 1.

Magiczne kwadraty były bardzo popularne w średniowieczu. Jeden z magicznych kwadratów jest przedstawiony na rycinie słynnego niemieckiego artysty Albrechta Dürera „Melancholia”. W 16 polach kwadratu znajdują się cyfry od 1 do 16, a suma liczb we wszystkich kierunkach wynosi 34. Ciekawe, że dwie cyfry pośrodku dolnej linii wskazują rok powstania obrazu – 1514. Uzyskanie magiczne kwadraty były popularną rozrywką wśród matematyków, powstały ogromne kwadraty, na przykład 43x43, zawierające liczby od 1 do 1849, a oprócz wskazanych właściwości magicznych kwadratów posiadają one również wiele dodatkowych właściwości. Wymyślono sposoby konstruowania magicznych kwadratów dowolnej wielkości, ale jak dotąd nie znaleziono formuły, za pomocą której można by znaleźć liczbę magicznych kwadratów o danym rozmiarze. Wiadomo i łatwo można to samemu wykazać, że nie ma magicznych kwadratów 2x2, jest dokładnie jeden magiczny kwadrat 3x3, reszta takich kwadratów jest uzyskiwana z niego przez obroty i symetrie. Istnieje już 800 magicznych kwadratów 4x4, a liczba kwadratów 5x5 zbliża się do ćwierć miliona.

1.3. Rodzaje magicznych kwadratów

Magiczny(magiczny kwadrat) n 2 liczby w taki sposób, aby suma liczb w każdym rzędzie, każdej kolumnie i obu przekątnych była taka sama.

półmagiczny kwadrat to wypełniony kwadratowy stół nxn n 2 liczby w taki sposób, aby sumy liczb były równe tylko w wierszach i kolumnach.

Normalna to magiczny kwadrat wypełniony liczbami całkowitymi od 1 do n 2.

Asocjacyjny (symetryczny) - magiczny kwadrat, w którym suma dowolnych dwóch liczb rozmieszczonych symetrycznie wokół środka kwadratu jest równa n 2 + 1.

Diabelski (pandiagonalny) magiczny kwadrat- magiczny kwadrat, w którym sumy liczb wzdłuż łamanych przekątnych (przekątnych, które powstają, gdy kwadrat jest złożony w torus) w obu kierunkach również pokrywają się ze stałą magiczną.

Istnieje 48 diabelskich magicznych kwadratów 4x4, z dokładnością do obrotów i odbić. Jeśli weźmiemy również pod uwagę ich dodatkową symetrię - toryczne równoległe translacje, pozostaną tylko 3 zasadniczo różne kwadraty (ryc. 2).

Rysunek 2.

Pandiagonalne kwadraty czwartego rzędu mają szereg dodatkowych właściwości, dla których są nazywane zobowiązany. Idealne kwadraty nieparzystego rzędu nie istnieją. Wśród kwadratów pandiagonalnych o podwójnej parzystości powyżej 4 są idealne.

Istnieje 3600 pandiagonalnych kwadratów piątego rzędu. Biorąc pod uwagę toryczne równoległe translacje, istnieje 144 różnych pandiagonalnych kwadratów.

2. Rozwiązanie magicznych kwadratów

2.1 Rozwiązanie magicznych kwadratów (metoda Bacher de Mezirac)

Zasady konstruowania magicznych kwadratów dzielą się na trzy kategorie, w zależności od tego, czy kolejność kwadratów jest nieparzysta, równa dwukrotności liczby nieparzystej, czy równa czterokrotności liczby nieparzystej. Ogólna metoda konstruowania wszystkich kwadratów jest nieznana, chociaż szeroko stosuje się różne schematy. Możliwe jest znalezienie wszystkich magicznych kwadratów rzędu n tylko dla n ≤ 4.

Aby rozwiązać normalne magiczne kwadraty o dowolnie dużych rozmiarach, używamy metody opisanej w 1612 roku przez francuskiego matematyka Claude Bachet de Mezirac. Rosyjskie tłumaczenie jego książki zostało opublikowane w Petersburgu w 1877 roku pod tytułem „Gry i problemy oparte na matematyce”.

Wygodnie jest zbudować magiczny kwadrat na papierze w kratkę. Niech n będzie liczbą nieparzystą i musisz zbudować kwadrat nxn z liczbami od 1 do n2, działamy krok po kroku.

1. Wpisujemy wszystkie liczby od 1 do n2 do komórek po przekątnej (n liczb w rzędzie), aby utworzyć przekątny kwadrat.

2. Wybierz kwadrat nxn w jego środku. To jest podstawa (nie wszystkie pola są jeszcze wypełnione) przyszłego magicznego kwadratu.

3. Każdy numeryczny „róg” znajdujący się poza centralnym kwadratem jest ostrożnie przenoszony do wewnątrz - na przeciwną stronę kwadratu. Numery tych rogów powinny wypełnić wszystkie puste komórki. Magiczny kwadrat jest zbudowany.

Podajmy przykład wypełnienia kwadratu 3x3 liczbami od 1 do 9. Aby to zrobić, dodaj do kwadratu dodatkowe komórki, aby uzyskać przekątne. Najpierw wypełnij ukośne komórki liczbami od 1 do 9 (ryc. 3), a następnie „zagnij rogi” w puste komórki kwadratu do wewnątrz na przeciwną stronę (ryc. 4).

Rysunek 3. Rysunek 4.

2.2. Sformułowanie problemu.

Opiszmy nasz własny sposób rozwiązywania magicznych kwadratów. Zastanówmy się nad badaniem modelu matematycznego magicznych kwadratów 3x3.

Ogólne sformułowanie problemu.

Jest dziewięć liczb. Konieczne jest ułożenie ich w polach kwadratu 3x3, tak aby sumy liczb wzdłuż dowolnych linii pionowych, poziomych i ukośnych były sobie równe.

2.3. Algorytm magicznego kwadratu

Słowny opis algorytmu

1. Posortuj liczby w porządku rosnącym.

2. Znajdź numer centralny (piąty w kolejności).

3. Ustal pary zgodnie z zasadą: 1 para - pierwsza cyfra i dziewiąta,

2 pary - druga cyfra i ósma,

3 pary - trzeci numer i siódmy,

4 pary - czwarta liczba i szósta.

4. Znajdź sumę liczb (S), którą należy uzyskać, dodając liczby wzdłuż każdej pionowej, poziomej i przekątnej: dodaj najmniejszą, środkową, największą liczbę, czyli liczbę 1 z pary z liczbą środkową.

5. Umieść centralną liczbę na środku kwadratu.

6. Na środkowym poziomie (lub pionie) w wolne komórki wpisz pierwszą parę cyfr.

7. Wpisz drugą parę liczb wzdłuż dowolnej przekątnej (tak, aby większa liczba z pierwszej pary znalazła się w kolumnie z mniejszym numerem z drugiej pary).

8. Oblicz liczbę, która ma zostać wpisana w jedną ze skrajnych kolumn, zgodnie z zasadą:

od S odejmij sumę dwóch liczb zawartych w komórkach kolumny, uzyskaj liczbę.

9. Po przekątnej do wynikowej liczby zapisz drugą liczbę z jej pary.

10. W pozostałe komórki wpisz ostatnią parę cyfr zgodnie z zasadą: w wierszu z mniejszą liczbą wpisz większą liczbę z pary, aw pozostałej pustej komórce mniejszą.

2.4. Dowód poprawności wypełnienia magicznego kwadratu

(Rozwiązanie problemu w formie ogólnej)

Udowodnimy, że sumy liczb leżących wzdłuż pionów, poziomów i przekątnych kwadratu w wyniku działania algorytmu będą sobie równe.

Niech po zamówieniu każdy kolejny numer różni się od poprzedniego o stałą wartość X. Wyraźmy wszystkie liczby w kategoriach a1(najmniejsza liczba) i X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Znajdźmy sumę S i wyraź to w liczbach a1 oraz X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Niech magiczny kwadrat zostanie wypełniony zgodnie z zaproponowanym algorytmem.

Udowodnijmy, że sumy liczb leżących wzdłuż poziomej, pionowej i przekątnej kwadratu są równe S.

pionowo:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

poziomo:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Po przekątnej:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3a1 +12x=S

Otrzymaliśmy taką samą kwotę. Twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga.

Liczby zorganizowane w ten sposób tworzą ciąg arytmetyczny. W tym ciągu (po uporządkowaniu) a1 jest pierwszym elementem ciągu arytmetycznego, x jest różnicą ciągu arytmetycznego. W przypadku liczb, które nie stanowią ciągu arytmetycznego, algorytm nie działa.

2.5. Przykład rozwiązywania magicznych kwadratów

Podane liczby: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Wypełnij magiczny kwadrat podanymi liczbami.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Mam centralny numer 5.

3. Pary: 1 i 9, 2 i 8, 3 i 7, 4 i 6.

4.S=5+1+9= 15 - suma.

8. 15-(9+2)=4

Algorytm ten znacznie różni się od metody Bacheta de Meziriaca. Z jednej strony wymaga dodatkowych obliczeń (wada metody), z drugiej strony nasza metoda nie wymaga dodatkowych konstrukcji (przekątna kwadratu). Co więcej, metoda ta ma zastosowanie nie tylko do kolejnych liczb naturalnych od 1 do 9, ale także do dowolnych dziewięciu liczb wchodzących w skład ciągu arytmetycznego, w czym widzimy jej zalety. Ponadto automatycznie określana jest magiczna stała - suma liczb wzdłuż każdej przekątnej, pionu, poziomu.

3. Korzystanie z magicznych kwadratów

3.1. Różne przypadki uogólnienia kwadratów magicznych

Problemy zestawiania i opisywania kwadratów magicznych interesowały matematyków od czasów starożytnych. Jednak do dziś nie uzyskano pełnego opisu wszystkich kamieni milowych możliwych magicznych kwadratów. Wraz ze wzrostem rozmiaru (liczby komórek) kwadratu liczba możliwych magicznych kwadratów szybko rośnie. Wśród dużych kwadratów znajdują się kwadraty o ciekawych właściwościach. Na przykład w kwadracie na rysunku nr 5 równe są nie tylko sumy liczb w wierszach, kolumnach i przekątnych, ale także sumy piątek wzdłuż „łamanych” przekątnych połączonych na rysunku kolorowymi liniami.

Rysunek 5. Rysunek 6.

Kwadrat łaciński jest kwadratem złożonym z n x n komórek, w których liczby 1, 2, ..., n są zapisane ponadto w taki sposób, że wszystkie te liczby występują raz w każdym wierszu i każdej kolumnie. Na (ryc. 6) pokazano dwa takie kwadraty łacińskie 4x4. Mają ciekawą cechę: jeśli jeden kwadrat zostanie nałożony na inny, wówczas wszystkie pary wynikowych liczb okazują się różne. Takie pary kwadratów łacińskich nazywane są ortogonalnymi. Zadanie znalezienia ortogonalnych kwadratów łacińskich postawił po raz pierwszy L. Euler i to w tak zabawnym sformułowaniu: „Wśród 36 oficerów są w równym stopniu lansjerzy, dragoni, husaria, kirasjerzy, gwardia kawalerii i grenadierzy, a ponadto w równym stopniu generałowie, pułkownicy, majorzy, kapitanowie, porucznicy i podporucznicy, a każdy oddział służb jest reprezentowany przez oficerów wszystkich sześciu stopni. Czy można ustawić tych oficerów w kwadracie 6x6, tak aby oficerowie wszystkich stopni spotykali się w dowolnej kolumnie? (Załącznik 2).

L. Euler nie mógł znaleźć rozwiązania tego problemu. W 1901 roku udowodniono, że takie rozwiązanie nie istnieje.

3.2. Zastosowanie kwadratów łacińskich

Kwadraty magiczne i łacińskie są bliskimi krewnymi. Teoria kwadratów łacińskich znalazła liczne zastosowania, zarówno w samej matematyce, jak iw jej zastosowaniach. Weźmy przykład. Załóżmy, że chcemy przetestować dwie odmiany pszenicy pod kątem produktywności na danym obszarze i chcemy wziąć pod uwagę wpływ stopnia rzadkości zasiewów oraz wpływ dwóch rodzajów nawozów. W tym celu dzielimy kwadratowy przekrój na 16 równych części (ryc. 7). Pierwszą odmianę pszenicy posadzimy na poletkach odpowiadających dolnemu poziomemu pasowi, następną odmianę posadzimy na czterech poletkach odpowiadających następnemu pasowi itd. (na rysunku odmiana jest oznaczona kolorem).

Rolnictwo" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">rolnictwo, fizyka, chemia i technologia.

4. Wnioski ogólne

W trakcie pracy zapoznałem się z różnymi typami Kwadratów Magicznych, nauczyłem się rozwiązywać zwykłe Kwadraty Magiczne metodą Bacheta de Meziraca. Ponieważ nasze rozwiązanie magicznych kwadratów 3x3 różniło się od podanej metody, ale za każdym razem pozwalało nam poprawnie wypełnić komórki kwadratu, pojawiła się chęć opracowania własnego algorytmu. Algorytm ten został szczegółowo opisany w pracy, udowodniony w postaci algebraicznej. Okazało się, że dotyczy to nie tylko normalnych kwadratów, ale także kwadratów 3x3, gdzie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Udało nam się również znaleźć przykłady użycia kwadratów magicznych i łacińskich.

Nauczyłem się: rozwiązywać pewne kwadraty magiczne, opracowywać i opisywać algorytmy, dowodzić twierdzeń w postaci algebraicznej. Nauczyłem się nowych pojęć: postęp arytmetyczny, kwadrat magiczny, stała magiczna, studiowałem rodzaje kwadratów.

Niestety ani opracowany przeze mnie algorytm, ani metoda Bacheta de Meziraca nie potrafią rozwiązać magicznych kwadratów 4x4. Dlatego chciałem dalej rozwijać algorytm rozwiązywania takich kwadratów.

5. Wniosek

W tej pracy badano magiczne kwadraty, rozważano historię ich pochodzenia. Zdefiniowano rodzaje kwadratów magicznych: kwadrat magiczny lub magiczny, kwadrat półmagiczny, normalny, asocjacyjny, diabelski kwadrat magiczny, doskonały.

Spośród istniejących metod ich rozwiązywania wybrano metodę Basche de Meziriac, którą przetestowano na przykładach. Dodatkowo dla rozwiązania kwadratów magicznych 3x3 zaproponowano własny algorytm rozwiązania oraz podano dowód matematyczny w postaci algebraicznej.

Zaproponowany algorytm znacznie różni się od metody Bachera de Meziriaca. Z jednej strony wymaga dodatkowych obliczeń (wada metody), z drugiej strony nie są potrzebne żadne dodatkowe konstrukcje. Metoda ma zastosowanie nie tylko do kolejnych liczb naturalnych od 1 do 9, ale także do dowolnych dziewięciu liczb wchodzących w skład ciągu arytmetycznego, w czym widzimy jej zalety. Ponadto automatycznie określana jest magiczna stała - suma liczb wzdłuż każdej przekątnej, pionu, poziomu.

W artykule przedstawiono uogólnienie kwadratów magicznych - kwadraty łacińskie oraz opisano ich praktyczne zastosowanie.

Praca ta może być wykorzystana na lekcjach matematyki jako materiał dodatkowy, a także w klasie iw pracy indywidualnej z uczniami.

6. Referencje

1. Zagadki świata liczb / Comp. - D.: Stalker, 1997.-448s.

2. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka / Comp. - M.: Pedagogika, 1989 - 352 s.: zł.

3. Encyklopedia dla dzieci. T11. Matematyka / Rozdział. wyd. - M.: Avanta +, 2000 - 688s.: chory.

4. Znam świat: Encyklopedia dla dzieci: Matematyka / Comp. - i inni - M.: AST, 1996. - lata 480.: chory.

MAGICZNY KWADRAT, kwadratowa tablica liczb całkowitych, w której sumy liczb wzdłuż dowolnego wiersza, dowolnej kolumny i dowolnej z dwóch głównych przekątnych są równe tej samej liczbie.

Magiczny kwadrat ma starożytne chińskie pochodzenie. Według legendy za panowania cesarza Yu (ok. 2200 pne) z wód Żółtej Rzeki wynurzył się święty żółw, na którego skorupie wyryto tajemnicze hieroglify (ryc. 1, a), a te znaki są znane jako lo-shu i są odpowiednikiem magicznego kwadratu pokazanego na ryc. jeden, b. w XI wieku o magicznych kwadratach dowiedzieli się w Indiach, a następnie w Japonii, gdzie w XVI wieku. Magiczne kwadraty były przedmiotem obszernej literatury. W XV wieku zapoznał Europejczyków z magicznymi kwadratami. pisarz bizantyjski E. Moskhopoulos. Pierwszym kwadratem wymyślonym przez Europejczyka jest kwadrat A. Dürera (ryc. 2), przedstawiony na jego słynnym rycinie Melancholia 1. Datę ryciny (1514) wskazują cyfry w dwóch środkowych komórkach dolnej linii. Magicznym kwadratom przypisywano różne mistyczne właściwości. w XVI wieku Korneliusz Heinrich Agryppa zbudował kwadraty trzeciego, czwartego, piątego, szóstego, siódmego, ósmego i dziewiątego rzędu, które były związane z astrologią 7 planet. Istniało przekonanie, że magiczny kwadrat wyryty na srebrze chronił przed zarazą. Do dziś wśród atrybutów europejskich wróżbitów można dostrzec magiczne kwadraty.

W XIX i XX wieku zainteresowanie magicznymi kwadratami rozgorzało z nową energią. Zaczęto je badać metodami algebry wyższej i rachunku operacyjnego.

Każdy element magicznego kwadratu nazywany jest komórką. Kwadrat, którego bok to n komórki, zawiera n 2 komórki i nazywa się kwadratem n-te zamówienie. Większość magicznych kwadratów używa pierwszego n kolejne liczby naturalne. Suma S liczby w każdym rzędzie, każdej kolumnie i na dowolnej przekątnej nazywa się stałą kwadratu i jest równa S = n(n 2 + 1)/2. Udowodniłem to n i 3. Dla kwadratu rzędu 3 S= 15, 4. rząd - S= 34, 5. rząd - S = 65.

Dwie przekątne przechodzące przez środek kwadratu nazywane są głównymi przekątnymi. Linia przerywana to przekątna, która po dotarciu do krawędzi kwadratu biegnie równolegle do pierwszego odcinka od przeciwległej krawędzi (taką przekątną tworzą zacienione komórki na ryc. 3). Komórki, które są symetryczne względem środka kwadratu, nazywane są skośno-symetrycznymi. Na przykład komórki a oraz b na ryc. 3.

Zasady konstruowania magicznych kwadratów dzielą się na trzy kategorie, w zależności od tego, czy kolejność kwadratów jest nieparzysta, równa dwukrotności liczby nieparzystej, czy równa czterokrotności liczby nieparzystej. Ogólna metoda konstruowania wszystkich kwadratów jest nieznana, chociaż szeroko stosowane są różne schematy, z których niektóre rozważymy poniżej.

Magiczne kwadraty o nieparzystym porządku można konstruować metodą XVII-wiecznego francuskiego geometra. A. de la Lubera. Rozważ tę metodę na przykładzie kwadratu piątego rzędu (ryc. 4). Cyfra 1 jest umieszczona w centralnej komórce górnego rzędu. Wszystkie liczby naturalne są ułożone w naturalnym porządku cyklicznie od dołu do góry w komórkach przekątnych od prawej do lewej. Po dotarciu do górnej krawędzi kwadratu (jak w przypadku cyfry 1) kontynuujemy wypełnianie przekątnej zaczynając od dolnej komórki następnej kolumny. Po dotarciu do prawej krawędzi kwadratu (numer 3) kontynuujemy uzupełnianie kreską powyżej przekątnej wychodzącej z lewej komórki. Po dotarciu do wypełnionej komórki (numer 5) lub narożnika (numer 15) trajektoria opada o jedną komórkę w dół, po czym proces napełniania jest kontynuowany.

Metoda F. de la Ira (1640-1718) opiera się na dwóch oryginalnych kwadratach. na ryc. Rysunek 5 pokazuje, jak konstruuje się kwadrat piątego rzędu przy użyciu tej metody. Liczby od 1 do 5 wpisuje się do komórki pierwszego kwadratu tak, aby liczba 3 powtórzyła się w komórkach głównej przekątnej idącej w górę w prawo, a żadna liczba nie wystąpiła dwukrotnie w jednym rzędzie lub w jednej kolumnie. To samo robimy z liczbami 0, 5, 10, 15, 20, z tą tylko różnicą, że liczba 10 jest teraz powtarzana w komórkach głównej przekątnej idąc od góry do dołu (ryc. 5, b). Suma komórka po komórce tych dwóch kwadratów (ryc. 5, w) tworzy magiczny kwadrat. Metodę tę stosuje się również przy konstruowaniu kwadratów parzystego rzędu.

Jeśli znana jest metoda konstruowania kwadratów rzędów m i zamów n, to możemy skonstruować kwadrat porządku mґ n. Istotę tej metody pokazano na ryc. 6. Tutaj m= 3 i n= 3. Większy kwadrat trzeciego rzędu (z liczbami pierwszymi) jest konstruowany metodą de la Loubera. Kwadrat o numerze 1ў (środkowa komórka górnego rzędu) jest wpisany w kwadrat 3. rzędu od liczb od 1 do 9, również skonstruowany metodą de la Loubera. Kwadrat trzeciego rzędu z liczbami od 10 do 18 jest wprowadzany do komórki o numerze 2ў (po prawej w dolnym wierszu); do komórki o numerze 3ў - kwadrat liczb od 19 do 27 itd. W rezultacie otrzymujemy kwadrat dziewiątego rzędu. Takie kwadraty nazywane są złożonymi.

Wstęp

Wielcy uczeni starożytności uważali stosunki ilościowe za podstawę istoty świata. Dlatego liczby i ich proporcje zajmowały największe umysły ludzkości. „W czasach mojej młodości bawiłem się w wolnym czasie, robiąc… magiczne kwadraty” – napisał Benjamin Franklin. Kwadrat magiczny to kwadrat, którego suma liczb w każdym poziomym rzędzie, w każdym pionowym rzędzie i wzdłuż każdej z przekątnych jest taka sama.

Kilku wybitnych matematyków poświęciło swoje prace kwadratom magicznym, a ich wyniki wpłynęły na rozwój grup, struktur, kwadratów łacińskich, wyznaczników, podziałów, macierzy, porównań i innych nietrywialnych działów matematyki.

Celem tego eseju jest przedstawienie różnych magicznych kwadratów, kwadratów łacińskich i zbadanie obszarów ich zastosowania.

magiczne kwadraty

Do dziś nie uzyskano pełnego opisu wszystkich możliwych magicznych kwadratów. Nie ma magicznych kwadratów 2x2. Istnieje jeden magiczny kwadrat 3x3, ponieważ pozostałe magiczne kwadraty 3x3 są uzyskiwane z niego albo przez obrót wokół środka, albo przez odbicie wokół jednej z jego osi symetrii.

Istnieje 8 różnych sposobów ułożenia liczb naturalnych od 1 do 9 w magicznym kwadracie 3x3:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

W magicznym kwadracie 3x3 stała magiczna 15 musi być równa sumie trzech liczb w 8 kierunkach: 3 rzędy, 3 kolumny i 2 przekątne. Ponieważ liczba w środku należy do 1 wiersza, 1 kolumny i 2 przekątnych, jest zawarta w 4 z 8 trójek, które sumują się do magicznej stałej. Jest tylko jedna taka liczba: jest to 5. Dlatego liczba w środku magicznego kwadratu 3x3 jest już znana: jest równa 5.

Rozważ liczbę 9. Jest ona zawarta tylko w 2 trójkach liczb. Nie możemy umieścić go w rogu, ponieważ każda komórka narożna należy do 3 trójek: rzędu, kolumny i przekątnej. Dlatego liczba 9 musi znajdować się w jakiejś komórce przylegającej do boku kwadratu w jego środku. Ze względu na symetrię kwadratu nie ma znaczenia, którą stronę wybierzemy, dlatego piszemy 9 nad cyfrą 5 w centralnej komórce. Po obu stronach dziewiątki w górnym wierszu możemy wpisać tylko cyfry 2 i 4. Która z tych dwóch cyfr będzie w prawym górnym rogu, a która w lewym, znowu nie ma znaczenia, skoro jedno ułożenie numery przechodzą do innego, gdy są odzwierciedlone. Pozostałe komórki są wypełniane automatycznie. Nasza prosta konstrukcja magicznego kwadratu 3x3 dowodzi jego wyjątkowości.

Taki magiczny kwadrat był symbolem o wielkim znaczeniu wśród starożytnych Chińczyków. Liczba 5 pośrodku oznaczała ziemię, a wokół niej w ścisłej równowadze znajdowały się ogień (2 i 7), woda (1 i 6),

drewno (3 i 8), metal (4 i 9).

Wraz ze wzrostem rozmiaru kwadratu (liczby komórek) liczba możliwych magicznych kwadratów tego rozmiaru szybko rośnie. Istnieje 880 magicznych kwadratów rzędu 4 i 275 305 224 magicznych kwadratów rzędu 5. Co więcej, w średniowieczu znane były kwadraty 5x5. Na przykład muzułmanie bardzo czcili taki kwadrat z cyfrą 1 pośrodku, uważając go za symbol jedności Allaha.

Magiczny kwadrat Pitagorasa

Wielki naukowiec Pitagoras, twórca doktryny religijno-filozoficznej, głoszącej, że stosunki ilościowe są podstawą istoty rzeczy, uważał, że istota osoby tkwi także w liczbie - dacie urodzenia. Dlatego za pomocą magicznego kwadratu Pitagorasa można poznać charakter osoby, stopień uwolnionego zdrowia i jego możliwości, ujawnić zalety i wady, a tym samym określić, co należy zrobić, aby je poprawić.

Aby zrozumieć, czym jest magiczny kwadrat Pitagorasa i jak obliczane są jego wskaźniki, obliczę go na własnym przykładzie. Aby upewnić się, że wyniki obliczeń naprawdę odpowiadają rzeczywistemu charakterowi tej lub innej osoby, najpierw sprawdzę to na sobie. Aby to zrobić, wykonam obliczenia zgodnie z moją datą urodzenia. Więc moja data urodzenia to 20.08.1986. Dodajmy do siebie liczby dnia, miesiąca i roku urodzenia (bez zer): 2+8+1+9+8+6=34. Następnie dodaj liczby wyniku: 3 + 4 = 7. Następnie od pierwszej sumy odejmujemy podwojoną pierwszą cyfrę daty urodzin: 34-4=30. I ponownie dodaj liczby ostatniej liczby:

3+0=3. Pozostaje zrobić ostatnie doliczenia - 1. i 3. oraz 2. i 4. sumę: 34+30=64, 7+3=10. Otrzymaliśmy numery 20.08.1986,34,7,30,64,10.

i ułóż magiczny kwadrat tak, aby wszystkie jednostki tych liczb znalazły się w komórce 1, wszystkie dwójki w komórce 2 itd. Zera nie są brane pod uwagę. W rezultacie mój kwadrat będzie wyglądał tak:

Komórki kwadratu oznaczają:

Komórka 1 - celowość, wola, wytrwałość, egoizm.

  • 1 - kompletni egoiści, dążą do uzyskania maksymalnych korzyści z każdej sytuacji.
  • 11 - postać bliska egoizmowi.
  • 111 - „złoty środek”. Postać jest spokojna, elastyczna, towarzyska.
  • 1111 - ludzie o silnym charakterze, silnej woli. Mężczyźni o takim charakterze nadają się do roli zawodowych wojskowych, a kobiety trzymają rodzinę w garści.
  • 11111 - dyktator, tyran.
  • 111111 - okrutna osoba, zdolna do rzeczy niemożliwych; często znajduje się pod wpływem jakiejś idei.

Komórka 2 - bioenergetyka, emocjonalność, szczerość, zmysłowość. Liczba dwójek określa poziom bioenergetyki.

Nie ma dwójek - otwarty jest kanał na intensywny zestaw bioenergetyki. Ci ludzie są z natury wykształceni i szlachetni.

  • 2 - zwykli ludzie w aspekcie bioenergetyki. Tacy ludzie są bardzo wrażliwi na zmiany w atmosferze.
  • 22 - stosunkowo duży zapas bioenergii. Tacy ludzie są dobrymi lekarzami, pielęgniarkami, sanitariuszami. W rodzinie takich ludzi rzadko ktoś ma stres nerwowy.
  • 222 to znak medium.

Komórka 3 - dokładność, specyficzność, organizacja, dokładność, punktualność, czystość, skąpstwo, skłonność do ciągłego „przywracania sprawiedliwości”.

Wzrost trojaczków wzmacnia wszystkie te cechy. Dzięki nim sensowne jest, aby osoba szukała siebie w naukach ścisłych, zwłaszcza ścisłych. Przewaga trójek daje początek pedantom, ludziom w jednej sprawie.

Komórka 4 - zdrowie. Wynika to z egregora, czyli przestrzeni energetycznej wypracowanej przez przodków i chroniącej człowieka. Brak czwórek wskazuje na bolesność osoby.

  • 4 - średni stan zdrowia, konieczne jest hartowanie ciała. Zalecane sporty to pływanie i bieganie.
  • 44 - dobre zdrowie.
  • 444 i więcej - osoby o bardzo dobrym stanie zdrowia.

Komórka 5 - intuicja, jasnowidzenie, które zaczyna objawiać się u takich ludzi już na poziomie trzech piątek.

Nie ma piątek - kanał komunikacji ze spacją jest zamknięty. Tacy ludzie są często

jest źle.

  • 5 - kanał komunikacyjny jest otwarty. Ci ludzie potrafią poprawnie obliczyć sytuację, aby jak najlepiej ją wykorzystać.
  • 55 - wysoko rozwinięta intuicja. Kiedy widzą „prorocze sny”, potrafią przewidzieć bieg wydarzeń. Zawody odpowiednie dla nich to prawnik, śledczy.
  • 555 - prawie jasnowidz.
  • 5555 - jasnowidze.

Komórka 6 - ugruntowanie, materialność, kalkulacja, tendencja do ilościowego rozwoju świata i nieufność do skoków jakościowych, a tym bardziej do cudów porządku duchowego.

Nie ma szóstek - ci ludzie potrzebują pracy fizycznej, chociaż zwykle jej nie lubią. Są obdarzeni niezwykłą wyobraźnią, fantazją, gustem artystycznym. Subtelne natury, są jednak zdolne do działania.

  • 6 - może zajmować się twórczością lub naukami ścisłymi, ale warunkiem egzystencji jest praca fizyczna.
  • 66 - ludzie są bardzo ugruntowani, pociąga ich praca fizyczna, choć nie jest to dla nich obowiązek; pożądana jest aktywność umysłowa lub zajęcia plastyczne.
  • 666 - znak Szatana, znak szczególny i złowrogi. Ci ludzie mają wysoki temperament, są czarujący, niezmiennie stają się centrum uwagi w społeczeństwie.
  • 6666 - ci ludzie w swoich poprzednich wcieleniach zdobyli za dużo gruntu, pracowali bardzo ciężko i nie wyobrażają sobie życia bez pracy. Jeśli ich kwadrat ma

dziewiątki, zdecydowanie muszą angażować się w aktywność umysłową, rozwijać inteligencję, przynajmniej zdobyć wyższe wykształcenie.

Komórka 7 - liczba siódemek określa miarę talentu.

  • 7 - im więcej pracują, tym więcej później dostają.
  • 77 - osoby bardzo utalentowane, muzykalne, o delikatnym guście artystycznym, mogą mieć zamiłowanie do sztuk pięknych.
  • 777 - ci ludzie z reguły przybywają na Ziemię na krótki czas. Są mili, pogodni, boleśnie dostrzegają każdą niesprawiedliwość. Są wrażliwi, lubią marzyć, nie zawsze odczuwają rzeczywistość.
  • 7777 to znak Anioła. Ludzie z tym znakiem umierają w niemowlęctwie, a jeśli przeżyją, to ich życie jest stale zagrożone.

Komórka 8 - karma, obowiązek, obowiązek, odpowiedzialność. Liczba ósemek określa stopień poczucia obowiązku.

Nie ma ósemek - tym ludziom prawie zupełnie brakuje poczucia obowiązku.

  • 8 - odpowiedzialne, sumienne, dokładne natury.
  • 88 - osoby te mają rozwinięte poczucie obowiązku, zawsze odznacza się chęcią pomocy innym, zwłaszcza słabym, chorym, samotnym.
  • 888 - znak wielkiego obowiązku, znak służby ludowi. Władca z trzema ósemkami osiąga znakomite wyniki.
  • 8888 - ci ludzie mają zdolności parapsychologiczne i wyjątkową podatność na nauki ścisłe. Nadprzyrodzone ścieżki są dla nich otwarte.

Komórka 9 - umysł, mądrość. Brak dziewiątek jest dowodem na to, że zdolności umysłowe są bardzo ograniczone.

  • 9 - ci ludzie muszą całe życie ciężko pracować, aby nadrobić brak inteligencji.
  • 99 - ci ludzie są mądrzy od urodzenia. Zawsze niechętnie się uczą, ponieważ wiedza jest im łatwo dana. Są obdarzeni poczuciem humoru z nutą ironii, niezależni.
  • 999 są bardzo inteligentne. Nie wkłada się żadnego wysiłku w naukę. Znakomici rozmówcy.
  • 9999 - prawda zostaje objawiona tym ludziom. Jeśli mają również rozwiniętą intuicję, mają gwarancję niepowodzenia w jakimkolwiek przedsięwzięciu. Przy tym wszystkim są zwykle całkiem mili, ponieważ bystry umysł czyni ich niegrzecznymi, niemiłosiernymi i okrutnymi.

Tak więc, po skompilowaniu magicznego kwadratu Pitagorasa i znając znaczenie wszystkich kombinacji liczb zawartych w jego komórkach, będziesz w stanie odpowiednio docenić cechy swojej natury, którą obdarzyła matka natura.

kwadraty łacińskie

Pomimo tego, że matematycy interesowali się głównie kwadratami magicznymi, kwadraty łacińskie znalazły największe zastosowanie w nauce i technice.

Kwadrat łaciński to kwadrat nxn komórek, w którym liczby 1, 2, ..., n są zapisane ponadto w taki sposób, że wszystkie te liczby występują raz w każdym wierszu i każdej kolumnie. Rysunek 3 pokazuje dwa takie kwadraty 4x4. Mają ciekawą cechę: jeśli jeden kwadrat zostanie nałożony na inny, wówczas wszystkie pary wynikowych liczb okazują się różne. Takie pary kwadratów łacińskich nazywane są ortogonalnymi.

Zadanie znalezienia ortogonalnych kwadratów łacińskich postawił po raz pierwszy L. Euler i to w tak zabawnym sformułowaniu: „Wśród 36 oficerów są w równym stopniu lansjerzy, dragoni, husaria, kirasjerzy, gwardia kawalerii i grenadierzy, a ponadto w równym stopniu generałowie , pułkowników, majorów, kapitanów, poruczników i podporuczników, a każdy oddział służb jest reprezentowany przez oficerów wszystkich sześciu stopni. Czy można ustawić wszystkich oficerów w kwadracie 6 x 6 tak, aby oficerowie wszystkich stopni spotkali się w dowolnej kolumnie i dowolnej linii?

Euler nie był w stanie znaleźć rozwiązania tego problemu. W 1901 roku udowodniono, że takie rozwiązanie nie istnieje. Jednocześnie Euler udowodnił, że ortogonalne pary kwadratów łacińskich istnieją dla wszystkich nieparzystych wartości n i dla parzystych wartości n, które są podzielne przez 4. Euler postawił hipotezę, że dla pozostałych wartości n, tj. , jeśli liczba n przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2, to nie ma kwadratów ortogonalnych. W 1901 roku udowodniono, że kwadraty ortogonalne 6 6 nie istnieją, co zwiększyło zaufanie do słuszności hipotezy Eulera. Jednak w 1959 roku za pomocą komputera znaleziono najpierw prostokątne kwadraty 10x10, potem 14x14, 18x18, 22x22. Następnie pokazano, że dla każdego n z wyjątkiem 6 istnieje nxn kwadratów ortogonalnych.

Kwadraty magiczne i łacińskie są bliskimi krewnymi. Załóżmy, że mamy dwa prostopadłe kwadraty. Wypełnij komórki nowego kwadratu o tym samym rozmiarze w następujący sposób. Wstawmy tam liczbę n(a - 1) + b, gdzie a to liczba w takiej komórce pierwszego kwadratu, a b to liczba w tej samej komórce drugiego kwadratu. Łatwo zrozumieć, że w powstałym kwadracie sumy liczb w wierszach i kolumnach (ale niekoniecznie na przekątnych) będą takie same.

Teoria kwadratów łacińskich znalazła liczne zastosowania zarówno w samej matematyce, jak iw jej zastosowaniach. Weźmy przykład. Załóżmy, że chcemy przetestować 4 odmiany pszenicy pod kątem produktywności na danym obszarze i chcemy uwzględnić wpływ stopnia rzadkości zasiewów oraz wpływ dwóch rodzajów nawozów. W tym celu podzielimy kwadratową działkę na 16 działek (ryc. 4). Pierwszą odmianę pszenicy posadzimy na poletkach odpowiadających dolnemu poziomemu pasowi, następną odmianę - na czterech poletkach odpowiadających następnemu pasowi itd. (na rysunku odmiana jest oznaczona kolorem). W takim przypadku niech maksymalna gęstość siewu będzie na tych poletkach, które odpowiadają lewej pionowej kolumnie figury i zmniejszy się podczas przesuwania w prawo (na rysunku odpowiada to spadkowi intensywności koloru). Liczby w komórkach rysunku niech oznaczają:

pierwsza to liczba kilogramów nawozu pierwszego rodzaju zastosowanego na tym obszarze, a druga to ilość zastosowanego nawozu drugiego rodzaju. Łatwo zrozumieć, że w tym przypadku realizowane są wszystkie możliwe pary kombinacji zarówno odmiany, jak i gęstości siewu oraz innych składników: odmiana i nawozy pierwszego rodzaju, nawozy pierwszego i drugiego rodzaju, gęstość i nawozy drugiego rodzaju .

Zastosowanie ortogonalnych kwadratów łacińskich pomaga uwzględnić wszystkie możliwe opcje w eksperymentach w rolnictwie, fizyce, chemii i technologii.

kwadratowy magiczny pitagoras z łaciny

Wniosek

Niniejszy esej porusza zagadnienia związane z historią rozwoju jednego z zagadnień matematyki, które zaprzątało umysły tak wielu wielkich ludzi – kwadratów magicznych. Mimo że same kwadraty magiczne nie znalazły szerokiego zastosowania w nauce i technice, zainspirowały wielu wybitnych ludzi do studiowania matematyki i przyczyniły się do rozwoju innych gałęzi matematyki (teorii grup, wyznaczników, macierzy itp.).

Najbliżsi krewniacy magicznych kwadratów, kwadraty łacińskie, znalazły liczne zastosowania zarówno w matematyce, jak iw jej zastosowaniach w ustalaniu i przetwarzaniu wyników eksperymentów. Streszczenie zawiera przykład ustawienia takiego eksperymentu.

Streszczenie uwzględnia również kwestię kwadratu Pitagorasa, która ma znaczenie historyczne i być może jest przydatna do sporządzenia psychologicznego portretu osoby.

Bibliografia

  • 1. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. M., "Pedagogika", 1989.
  • 2. M. Gardner "Podróż w czasie", M., "Mir", 1990.
  • 3. Kultura fizyczna i sport nr 10, 1998r

Przeczytaj także