ජ්යාමිතික රූපවල ප්රදේශ යනු ද්විමාන අවකාශයේ ඒවායේ ප්රමාණය සංලක්ෂිත සංඛ්‍යාත්මක අගයන් වේ. මෙම අගය පද්ධති සහ පද්ධති නොවන ඒකක වලින් මැනිය හැක. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, පද්ධතියෙන් බැහැර ඒකකයක් යනු හෙක්ටයාර සියයකි. මනින ලද මතුපිට බිම් කැබැල්ලක් නම් මෙය සිදු වේ. ප්රදේශයේ පද්ධති ඒකකය දිග වර්ග වේ. SI පද්ධතිය තුළ, පැතලි මතුපිටක වර්ග මීටරයක වර්ග මීටරයක් ලෙස සැලකීම සිරිතකි. CGS හි, ප්රදේශයේ ඒකකය වර්ග සෙන්ටිමීටර වලින් ප්රකාශ වේ.
ජ්යාමිතිය සහ ප්රදේශ සූත්ර වෙන් කළ නොහැකි ලෙස බැඳී ඇත. මෙම සම්බන්ධතාවය පවතින්නේ පැතලි රූපවල ප්රදේශ ගණනය කිරීම නිශ්චිතවම ඒවායේ යෙදුම මත පදනම් වී ඇති බැවිනි. බොහෝ සංඛ්යා සඳහා, විකල්ප කිහිපයක් ව්යුත්පන්න කර ඇති අතර, ඒවායේ වර්ග ප්රමාණය ගණනය කරනු ලැබේ. ගැටළු ප්රකාශයේ දත්ත මත පදනම්ව, එය විසඳීමට සරලම ක්රමය තීරණය කළ හැකිය. මෙය ගණනය කිරීම පහසු කරන අතර ගණනය කිරීමේ දෝෂ වල සම්භාවිතාව අවම වශයෙන් අඩු කරයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ජ්යාමිතියෙහි රූපවල ප්රධාන ප්රදේශය සලකා බලන්න.
ඕනෑම ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සෙවීම සඳහා සූත්ර ක්රම කිහිපයකින් ඉදිරිපත් කෙරේ:
1) ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය a සහ h පාදයෙන් ගණනය කෙරේ. පාදය යනු උස පහත් කර ඇති රූපයේ පැත්තයි. එවිට ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය:
2) කර්ණය පාදය ලෙස සලකන්නේ නම්, සෘජුකෝණාස්රය ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ගණනය කරනු ලබන්නේ හරියටම එකම ආකාරයටය. කෙසේ වෙතත්, පාදය පාදය ලෙස ගතහොත්, සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය කකුල් දෙකේ නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.
ඕනෑම ත්රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්ර එතැනින් අවසන් නොවේ. තවත් ප්‍රකාශනයක a,b යන පැති සහ a සහ b අතර γ කෝණයේ sinusoidal ශ්‍රිතය අඩංගු වේ. සයින් වල වටිනාකම වගු වල දක්නට ලැබේ. එය කැල්කියුලේටරය භාවිතයෙන් ද සොයාගත හැකිය. එවිට ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය:
මෙම සමානාත්මතාවයට අනුව, සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය කකුල් වල දිග අනුව තීරණය වන බවට ඔබට සහතික විය හැකිය. නිසා කෝණය γ යනු සෘජු කෝණයකි, එබැවින් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සයින් ශ්රිතයෙන් ගුණ කිරීමකින් තොරව ගණනය කරනු ලැබේ.
3) විශේෂ අවස්ථාවක් සලකා බලන්න - නිත්ය ත්රිකෝණයක්, කුමන පැත්තේ a කොන්දේසිය මගින් දන්නා හෝ විසඳන විට එහි දිග සොයාගත හැකිය. ජ්යාමිතික ගැටලුවේ රූපය ගැන වැඩි යමක් දන්නේ නැත. එතකොට කොහොමද මේ තත්ත්වය යටතේ තියෙන ප්රදේශය හොයාගන්නේ? මෙම අවස්ථාවේදී, නිත්ය ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය යොදනු ලැබේ:
සෘජුකෝණාස්රය
සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද සහ පොදු ශීර්ෂයක් ඇති පැතිවල මානයන් භාවිතා කරන්නේ කෙසේද? ගණනය කිරීම සඳහා ප්රකාශනය වන්නේ:
ඔබට සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා විකර්ණවල දිග භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නම්, ඒවා ඡේදනය වන විට සාදන ලද කෝණයේ සයින් ශ්‍රිතය ඔබට අවශ්ය වේ. සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය:
චතුරස්රය
චතුරස්රයක ප්රදේශය පැත්තේ දිගෙහි දෙවන බලය ලෙස අර්ථ දැක්වේ:
සෘජුකෝණාස්රයක් චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වෙන නිර්වචනයෙන් සාධනය පහත දැක්වේ. චතුරස්රයක් සාදන සියලුම පැති එකම මානයන් ඇත. එමනිසා, එවැනි සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම එකින් එක ගුණ කිරීම දක්වා අඩු වේ, එනම්, පැත්තේ දෙවන බලයට. චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ සූත්රය අපේක්ෂිත ස්වරූපය ගනී.
චතුරස්රයක ප්රදේශය වෙනත් ආකාරයකින් සොයාගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ විකර්ණයක් භාවිතා කරන්නේ නම්:
රවුමකින් මායිම් වූ තලයක කොටසකින් සෑදී ඇති රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, සූත්ර:
සමාන්තර චලිතය
සමාන්තර චලිතයක් සඳහා, සූත්‍රයේ පැත්තේ රේඛීය මානයන්, උස සහ ගණිතමය ක්‍රියාකාරිත්වය - ගුණ කිරීම අඩංගු වේ. උස නොදන්නා නම්, සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? ගණනය කිරීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. නිශ්චිත අගයක් අවශ්ය වේ, එය යාබද පැතිවලින් සාදන ලද කෝණයේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය මෙන්ම ඒවායේ දිග මගින් ගනු ලැබේ.
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා වන සූත්ර:
රොම්බස්
රොම්බස් ලෙස හැඳින්වෙන චතුරස්රයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? රොම්බස් වල ප්රදේශය තීරණය වන්නේ විකර්ණ සහිත සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් භාවිතා කරමිනි. සාධනය රඳා පවතින්නේ d1 සහ d2 හි විකර්ණ කොටස් සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වීම මතය. සෘජු කෝණයක් සඳහා මෙම ශ්‍රිතය එකකට සමාන බව සයින වගුව පෙන්වයි. එබැවින්, රොම්බස් ප්රදේශය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:
රොම්බස් ප්රදේශය වෙනත් ආකාරයකින් ද සොයාගත හැකිය. එහි පැති දිගින් සමාන බැවින් මෙය ඔප්පු කිරීම ද අපහසු නොවේ. ඉන්පසු ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදනය සමාන්තර චලිතයක් සඳහා සමාන ප්‍රකාශනයකට ආදේශ කරන්න. සියල්ලට පසු, මෙම විශේෂිත රූපයේ විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ රොම්බස් ය. මෙහි γ යනු රොම්බස් වල අභ්යන්තර කෝණයයි. රොම්බස් ප්රදේශය පහත පරිදි තීරණය වේ:
ට්රේපීස්
පාද (a සහ b) හරහා trapezoid වල ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද, ඒවායේ දිග ගැටලුවේ දක්වා තිබේ නම්? මෙන්න, උස දිග h හි දන්නා අගයක් නොමැතිව, එවැනි trapezoid ප්රදේශයක් ගණනය කිරීමට නොහැකි වනු ඇත. නිසා මෙම අගය ගණනය කිරීම සඳහා ප්රකාශනය අඩංගු වේ:
සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid එකක වර්ග ප්‍රමාණයද ඒ ආකාරයෙන්ම ගණනය කළ හැක. ඒ අතරම, සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid හි උස සහ පැත්ත පිළිබඳ සංකල්ප ඒකාබද්ධ වී ඇති බව සැලකිල්ලට ගනී. එබැවින්, සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid සඳහා, ඔබ උස වෙනුවට පැත්තේ දිග සඳහන් කළ යුතුය.
සිලින්ඩර් සහ සමාන්තර පයිප්ප
සම්පූර්ණ සිලින්ඩරයේ මතුපිට ගණනය කිරීමට අවශ්ය දේ සලකා බලන්න. මෙම රූපයේ ප්රදේශය පදනම් ලෙස හඳුන්වන කව යුගලයක් සහ පැති මතුපිටකි. කව සාදන කව වල අරය දිග r ට සමාන වේ. සිලින්ඩරයක ප්රදේශය සඳහා, පහත ගණනය කිරීම සිදු වේ:
මුහුණු යුගල තුනකින් සමන්විත සමාන්තර නලයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එහි මිනුම් විශේෂිත යුගලයකට අනුකූල වේ. ප්රතිවිරුද්ධ මුහුණු එකම පරාමිතීන් ඇත. මුලින්ම S(1), S(2), S(3) - අසමාන මුහුණු වල වර්ග මානයන් සොයා ගන්න. එවිට සමාන්තර නලයේ මතුපිට ප්රමාණය:
නාද කරන්න
පොදු කේන්ද්රයක් සහිත කව දෙකක් වළල්ලක් සාදයි. ඔවුන් වළල්ලේ ප්රදේශයද සීමා කරයි. මෙම අවස්ථාවේදී, ගණනය කිරීමේ සූත්ර දෙකම එක් එක් රවුමේ මානයන් සැලකිල්ලට ගනී. වළල්ලේ ප්රදේශය ගණනය කරන පළමු එකෙහි විශාල R සහ කුඩා r අරය අඩංගු වේ. බොහෝ විට ඒවා බාහිර හා අභ්යන්තර ලෙස හැඳින්වේ. දෙවන ප්‍රකාශනයේ දී, විශාල D සහ කුඩා d විෂ්කම්භයන් භාවිතයෙන් වළලු ප්රදේශය ගණනය කෙරේ. මේ අනුව, දන්නා අරය අනුව වළල්ලේ ප්රදේශය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:
විෂ්කම්භයේ දිග භාවිතා කරමින් වළල්ලේ ප්රදේශය පහත පරිදි තීරණය වේ:
බහුඅස්රය
හැඩය නිවැරදි නොවන බහුඅස්‍රයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එවැනි සංඛ්‍යාවල ප්රදේශය සඳහා සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් නොමැත. නමුත් එය ඛණ්ඩාංක තලයක නිරූපණය කර ඇත්නම්, උදාහරණයක් ලෙස, එය පිරික්සුම් කඩදාසි විය හැකිය, එවිට මෙම නඩුවේ මතුපිට ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? මෙහිදී ඔවුන් දළ වශයෙන් රූපය මැනීම අවශ්ය නොවන ක්රමයක් භාවිතා කරයි. ඔවුන් මෙය සිදු කරයි: ඔවුන් සෛලයේ කෙළවරට වැටෙන හෝ පූර්ණ සංඛ්යා ඛණ්ඩාංක ඇති ලකුණු සොයා ගන්නේ නම්, ඒවා පමණක් සැලකිල්ලට ගනී. ප්රදේශය කුමක්දැයි සොයා ගැනීමට, Pick විසින් ඔප්පු කරන ලද සූත්රය භාවිතා කරන්න. පොලිලයින් තුළ පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍ය ගණන එය මත ඇති ලක්ෂ්‍යවලින් අඩක් එකතු කිරීම අවශ්ය වන අතර එකක් අඩු කරන්න, එනම් එය ගණනය කරනු ලබන්නේ මේ ආකාරයට ය:
එහිදී C, D - පිළිවෙලින් සම්පූර්ණ පොලිලයින් ඇතුළත සහ මත පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍ය ගණන.
ජ්‍යාමිතියේ ගැටළු විසඳීම සඳහා, ඔබ සූත්ර දැන සිටිය යුතුය - ත්රිකෝණයක ප්රදේශය හෝ සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය වැනි - මෙන්ම සරල උපක්‍රම, අපි කතා කරමු.
පළමුව, රූපවල ක්ෂේත්‍ර සඳහා සූත්ර ඉගෙන ගනිමු. අපි ඒවා විශේෂයෙන් පහසු වගුවක එකතු කර ඇත. මුද්රණය කරන්න, ඉගෙන ගන්න සහ අයදුම් කරන්න!
ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලුම ජ්යාමිතික සූත්ර අපගේ වගුවේ නොමැත. උදාහරණයක් ලෙස, ගණිතයේ පැතිකඩ විභාගයේ දෙවන කොටසේ ජ්යාමිතිය සහ ඒකාකෘතික ගැටළු විසඳීම සඳහා, ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා වෙනත් සූත්ර ද භාවිතා වේ. අපි අනිවාර්යයෙන්ම ඔවුන් ගැන ඔබට කියන්නෙමු.
නමුත් ඔබට සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන්නේ trapezoid හෝ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය නොව යම් සංකීර්ණ රූපයක ප්රදේශයද? විශ්වීය ක්රම තිබේ! අපි FIPI කාර්ය බැංකුවෙන් උදාහරණ භාවිතා කරමින් ඒවා පෙන්වමු.
1. සම්මත නොවන රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? උදාහරණයක් ලෙස, අත්තනෝමතික චතුරස්රයක්? සරල තාක්‍ෂණයක් - මෙම සංඛ්‍යාව අප කවුරුත් දන්නා ඒවාට කඩා එහි ප්රදේශය සොයා ගනිමු - මෙම සංඛ්‍යාවල ක්ෂේත්‍රවල එකතුව ලෙස.
ට සමාන පොදු පාදයක් සහිත ත්රිකෝණ දෙකකට තිරස් රේඛාවකින් මෙම චතුරස්රය බෙදන්න. මෙම ත්රිකෝණවල උස වේ හා . එවිට චතුරස්රයේ වර්ගඵලය ත්රිකෝණ දෙකේ ප්රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ: .
පිළිතුර: .
2. සමහර අවස්ථාවල දී, රූපයේ ප්රදේශය ඕනෑම ප්රදේශයක වෙනස ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.
මෙම ත්රිකෝණයේ පාදම සහ උස සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ගණනය කිරීම එතරම් පහසු නැත! නමුත් එහි ප්රදේශය පැත්තක් සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ තුනක් සහිත චතුරස්රයක ප්රදේශ අතර වෙනසට සමාන බව අපට පැවසිය හැකිය. පින්තූරයේ ඔවුන් බලන්න? අපට ලැබෙන්නේ: .
පිළිතුර: .
3. සමහර විට කාර්යයකදී සම්පූර්ණ රූපයේ නොව එහි කොටසෙහි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. සාමාන්යයෙන් අපි කතා කරන්නේ අංශයේ ප්රදේශය ගැන - රවුමේ කොටසකි, අරය කවයේ අංශයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න, එහි චාප දිග සමාන වේ .
මෙම පින්තූරයේ අපට පෙනෙන්නේ රවුමක කොටසකි. මුළු රවුමේ ප්රදේශය සමාන වේ, සිට . රවුමේ කුමන කොටස නිරූපණය කර ඇත්දැයි සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. මුළු රවුමේ දිග (සිට) වන බැවින්, සහ මෙම අංශයේ චාපයේ දිග වේ , එබැවින් චාපයේ දිග සම්පූර්ණ රවුමේ දිගට වඩා කිහිප ගුණයකින් අඩුය. මෙම චාපය රැඳෙන කෝණය ද සම්පූර්ණ කවයකට වඩා ගුණයකින් අඩුය (එනම් අංශක). මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම අංශයේ ප්රදේශය මුළු රවුමේ ප්රදේශයට වඩා කිහිප ගුණයකින් අඩු වනු ඇති බවයි.
පෘථිවිය මනින ආකාරය පිළිබඳ දැනුම පුරාණ කාලයේ දර්ශනය වූ අතර ක්‍රමයෙන් ජ්යාමිතිය විද්‍යාවේ හැඩගැසුණි. ග්රීක භාෂාවෙන් මෙම වචනය "ඉඩම් මැනීම" ලෙස පරිවර්තනය කර ඇත.
පෘථිවි සමතල ප්රදේශයක දිග සහ පළලෙහි දිග මැනීම ප්රදේශය වේ. ගණිතයේ දී, එය සාමාන්යයෙන් ලතින් අකුර S (ඉංග්රීසි "චතුරස්රය" - "ප්රදේශය", "චතුරස්රය") හෝ ග්රීක අකුර σ (සිග්මා) මගින් දැක්වේ. S යන්නෙන් දැක්වෙන්නේ තලයක රූපයක ප්රදේශය හෝ සිරුරේ මතුපිට ප්රදේශය වන අතර σ යනු භෞතික විද්‍යාවේ වයරයක හරස්කඩ ප්‍රදේශයයි. මේවා ප්රධාන සංකේත වේ, වෙනත් ඒවා තිබිය හැකි වුවද, උදාහරණයක් ලෙස, ද්‍රව්‍යවල ශක්තියේ ක්ෂේත්‍රයේ, A යනු පැතිකඩෙහි හරස්කඩ ප්‍රදේශයයි.
සමඟ සම්බන්ධ වේ
ගණනය කිරීමේ සූත්ර
සරල රූපවල ක්ෂේත්‍ර දැන ගැනීමෙන් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ඒවායේ පරාමිතීන් සොයාගත හැකිය.. පැරණි ගණිතඥයන් පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකි සූත්ර නිර්මාණය කළහ. එවැනි රූප ත්රිකෝණයක්, චතුරස්රයක්, බහුඅස්රයක්, වෘත්තයක් වේ.
සංකීර්ණ පැතලි රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, එය ත්රිකෝණ, trapezoids හෝ සෘජුකෝණාස්රා වැනි බොහෝ සරල හැඩයන් වලට කැඩී යයි. එවිට ගණිතමය ක්රම මෙම රූපයේ ප්රදේශය සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගනී. සමාන ක්රමයක් ජ්යාමිතිය තුළ පමණක් නොව, වක්ර වලින් මායිම් කරන ලද සංඛ්යා ප්රදේශ ගණනය කිරීම සඳහා ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ දී ද භාවිතා වේ.
ත්රිකෝණය
අපි සරලම හැඩයෙන් පටන් ගනිමු - ත්රිකෝණය. ඒවා සෘජුකෝණාස්රාකාර, සමද්වීප සහ සමපාර්ශ්වික වේ. AB=a, BC=b සහ AC=c (∆ ABC) පැති සහිත ඕනෑම ABC ත්රිකෝණයක් ගන්න. එහි ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, පාසල් ගණිත පාඨමාලාවෙන් දන්නා සයිනස් සහ කෝසයින් ප්‍රමේයයන් සිහිපත් කරමු. සියලුම ගණනය කිරීම් අතහැර, අපි පහත සූත්ර වෙත පැමිණෙමු:
- S=√ - සියලු දෙනා දන්නා හෙරොන්ගේ සූත්රය, p=(a+b+c)/2 - ත්රිකෝණයක අර්ධ පරිමිතිය;
- S=a h/2, h යනු a පැත්තට පහත් කරන ලද උස වේ;
- S=a b (sin γ)/2, γ යනු a සහ b පැති අතර කෝණයයි;
- S=a b/2 ∆ ABC සෘජුකෝණාස්රාකාර නම් (මෙහි a සහ b යනු කකුල් වේ);
- S=b² (sin (2 β))/2 නම් ∆ ABC සමද්වීපක (මෙහි b යනු "උකුල්" වලින් එකකි, β යනු ත්රිකෝණයේ "උකුල්" අතර කෝණයයි);
- S=a² √¾ නම් ∆ ABC සමපාර්ශ්වික වේ (මෙහි a යනු ත්රිකෝණයේ පැත්තයි).
චතුරස්රාකාර
AB=a, BC=b, CD=c, AD=d සහිත චතුරස්‍ර ABCD එකක් වේවා. අත්තනෝමතික 4-gon හි S ප්රදේශය සොයා ගැනීමට, එය විකර්ණයකින් S1 සහ S2 ප්රදේශ සාමාන්යයෙන් සමාන නොවන ත්රිකෝණ දෙකකට බෙදීම අවශ්ය වේ.
ඉන්පසුව, සූත්ර භාවිතා කර, ඒවා ගණනය කර ඒවා එකතු කරන්න, එනම් S=S1+S2. කෙසේ වෙතත්, quad එක යම් පන්තියකට අයත් නම්, කලින් දන්නා සූත්ර භාවිතයෙන් එහි ප්රදේශය සොයාගත හැකිය:
- S=(a+c) h/2=e h, quad එක trapezoid නම් (මෙහි a සහ c යනු භෂ්ම වේ, e යනු trapezoid හි මැද රේඛාවයි, h යනු trapezoid හි එක් පාදයකට පහත් කරන ලද උසයි. ;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ABCD සමාන්තර චලිතයක් නම් (මෙහි φ යනු a සහ b පැති අතර කෝණය, h යනු a පැත්තට පහත් කරන ලද උස, d1 සහ d2 විකර්ණ වේ);
- ABCD සෘජුකෝණාස්රයක් නම් S=a b=d²/2 (d යනු විකර්ණයකි);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ABCD යනු රොම්බස් නම් (a යනු රොම්බස් වල පැත්තකි, φ යනු එහි කොනකි, P යනු පරිමිතිය);
- ABCD චතුරස්රයක් නම් S=a²=P²/16=d²/2.
බහුඅස්රය
n-gon වල ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ගණිතඥයින් එය සරලම සමාන ත්‍රිකෝණවලට කඩා, ඒ එක් එක් ප්රදේශය සොයා, පසුව ඒවා එකතු කරයි. නමුත් බහුඅස්‍යය සාමාන්‍ය පන්තියට අයත් වන්නේ නම්, සූත්රය භාවිතා වේ:
S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, n යනු බහුඅස්‍රයේ සිරස් ගණන (හෝ පැති) වේ, a යනු n-gon හි පැත්තයි, P යනු එහි පරිමිතියයි, h යනු apothem එකයි. , එනම් බහුඅස්‍රයේ කේන්ද්‍රයේ සිට එහි එක් පැත්තකට 90° කෝණයකින් ඇද ගන්නා ලද කොටස.
කවයක්
කවයක් යනු අනන්ත පැති ගණනක් සහිත පරිපූර්ණ බහුඅස්‍රයකි.. අපි අනන්තයට නැඹුරු වන පැති ගණන n සමඟ බහුඅස්ර ප්රදේශ සූත්‍රයේ දකුණේ ප්‍රකාශනයේ සීමාව ගණනය කළ යුතුය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, බහුඅස්‍රයේ පරිමිතිය R අරය කවයක දිග බවට හැරෙනු ඇත, එය අපගේ කවයේ මායිම වන අතර P=2 π R ට සමාන වනු ඇත. මෙම ප්රකාශනය ඉහත සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න. අපට ලැබෙනු ඇත:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
මෙම ප්‍රකාශනයේ සීමාව n→∞ ලෙස සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, n→∞ සඳහා lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 (lim යනු සීමාවේ ලකුණ) ට සමාන වන අතර n→∞ සඳහා lim = lim වේ 1/π ට සමාන (අපි π rad=180° අනුපාතය භාවිතා කරමින් අංශක මිනුම රේඩියනයට පරිවර්තනය කර ඇති අතර, x→∞ හි පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව lim (sin x)/x=1 යෙදුවෙමු). ලබාගත් අගයන් S සඳහා අවසාන ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි සුප්‍රසිද්ධ සූත්‍රයට පැමිණෙමු:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
ඒකක
පද්ධති සහ පද්ධති නොවන මිනුම් ඒකක යොදනු ලැබේ. පද්ධති ඒකක SI (System International) ලෙස හැඳින්වේ. මෙය වර්ග මීටරයක් (වර්ග මීටර, m²) වන අතර එයින් ලබාගත් ඒකක: mm², cm², km².
වර්ග මිලිමීටර වලින් (mm²), උදාහරණයක් ලෙස, ඔවුන් විදුලි ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ වයර්වල හරස්කඩ ප්රදේශය, වර්ග සෙන්ටිමීටර වලින් (cm²) - ව්‍යුහාත්මක යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ කදම්භයක හරස්කඩ, වර්ග මීටර වලින් (m²) ) - මහල් නිවාසයක් හෝ නිවසක්, වර්ග කිලෝමීටර් (km²) - භූගෝලීය ප්රදේශයක්.
කෙසේ වෙතත්, සමහර විට පද්ධතිමය නොවන මිනුම් ඒකක භාවිතා කරනු ලැබේ, එනම්: විවීම, ar (a), hectare (ha) සහ අක්කර (ac). අපි පහත අනුපාත ලබා දෙමු:
- 1 වියන \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0.01 ha;
- හෙක්ටයාර 1 = 100 a = අක්කර 100 = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ලෙස;
- 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 අක්කර = 0.405 ha.
ප්රදේශ සූත්‍රයරූපයක ප්රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ, එය යුක්ලීඩීය තලයේ යම් පන්තියක රූප මත නිර්වචනය කර ඇති සහ කොන්දේසි 4ක් තෘප්තිමත් කරන සැබෑ වටිනාකමක් ඇති ශ්‍රිතයකි:
- ධනාත්මක - ප්රදේශය ශුන්යයට වඩා අඩු විය නොහැක;
- සාමාන්‍යකරණය - ඒකීය පැත්තක් සහිත චතුරස්රයක් 1 ක ප්රදේශයක් ඇත;
- සමානාත්මතාවය - සමපාත සංඛ්යා සමාන ප්රදේශයක් ඇත;
- ආකලන - පොදු අභ්යන්තර ලක්ෂ්‍ය නොමැති සංඛ්යා 2 ක එකමුතුවේ ප්රදේශය මෙම සංඛ්‍යාවල ක්ෂේත්‍රවල එකතුවට සමාන වේ.
| ජ්යාමිතික රූපය | සූත්රය | ඇඳීම |
|---|---|---|
|
උත්තල චතුරස්රයක ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය අතර දුර එකතු කිරීමේ ප්‍රතිඵලය එහි අර්ධ පරිමිතියට සමාන වේ. |
||
|
කව අංශය. රවුමක අංශයක වර්ගඵලය එහි චාපයේ ගුණිතයට සහ අරයෙන් අඩකට සමාන වේ. |
|
|
|
රවුම් කොටස. ASB කොටසේ ප්රදේශය ලබා ගැනීම සඳහා, AOB ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය AOB අංශයෙන් අඩු කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
ඉලිප්සයක ප්රදේශය ඉලිප්සයේ pi හි ප්රධාන සහ කුඩා අර්ධ අක්ෂවල දිග වල ගුණිතයට සමාන වේ. |
|
|
|
ඉලිප්සය. ඉලිප්සයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්නේ කෙසේද යන්න තවත් විකල්පයක් වන්නේ එහි අරය දෙක හරහාය. |
|
|
|
ත්රිකෝණය. පාදම සහ උස හරහා. එහි අරය සහ විෂ්කම්භය අනුව රවුමක වර්ගඵලය සඳහා වන සූත්රය. |
||
|
හතරැස් . ඔහුගේ පැත්ත හරහා. චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි පැත්තේ දිග ප්‍රමාණයට සමාන වේ. |
|
|
|
චතුරස්රය. එහි විකර්ණය හරහා. චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි විකර්ණයේ දිග වර්ගයෙන් අඩකි. |
||
|
නිත්ය බහුඅස්රය. නිත්ය බහුඅස්‍රයක ප්රදේශය තීරණය කිරීම සඳහා, එය ලියා ඇති කවයේ මධ්‍යයේ පොදු ශීර්ෂයක් ඇති සමාන ත්‍රිකෝණවලට බෙදීම අවශ්ය වේ. |
S= r p = 1/2 r n a |
ජ්යාමිතික ප්රදේශය- මෙම රූපයේ ප්රමාණය පෙන්වන ජ්යාමිතික රූපයක සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයක් (මෙම රූපයේ සංවෘත සමෝච්ඡයකින් මායිම් කර ඇති මතුපිට කොටස). ප්රදේශයේ විශාලත්වය එහි අඩංගු වර්ග ඒකක සංඛ්යාවෙන් ප්රකාශ වේ.
ත්රිකෝණ ප්රදේශයේ සූත්ර
- පැත්ත සහ උස සඳහා ත්රිකෝණ ප්රදේශයේ සූත්රය
ත්රිකෝණයක ප්රදේශයත්‍රිකෝණයක පැත්තක දිග සහ මෙම පැත්තට ඇද ගන්නා උන්නතාංශයේ දිගෙහි ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන වේ - ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය පැති තුනක් සහ වටකුරු රවුමේ අරය ලබා දී ඇත
- පැති තුනක් ලබා දී ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා වන සූත්රය සහ සෙල්ලිපි කළ කවයක අරය
ත්රිකෝණයක ප්රදේශයත්‍රිකෝණයේ අර්ධ පරිමිතියෙහි ගුණිතය සහ ලියා ඇති කවයේ අරය සමාන වේ. මෙහි S යනු ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය වේ,
- ත්රිකෝණයේ පැතිවල දිග,
- ත්රිකෝණයේ උස,
- පැති අතර කෝණය සහ,
- ලියා ඇති කවයේ අරය,
R - වටකුරු කවයේ අරය,
වර්ග ප්රදේශ සූත්ර
- පැත්තක දිග ලබා දී ඇති චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
හතරැස් ප්රදේශයඑහි පැති දිගේ චතුරස්රයට සමාන වේ. - විකර්ණයේ දිග ලබා දී ඇති චතුරස්රයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්රය
හතරැස් ප්රදේශයඑහි විකර්ණයේ දිග වර්ගයෙන් අඩකට සමාන වේ.S= 1 2 2 මෙහි S යනු චතුරස්රයේ ප්රදේශය වේ,
චතුරස්රයේ පැත්තේ දිග වේ,
චතුරස්රයේ විකර්ණයේ දිග වේ.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශය සූත්රය
- සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශයඑහි යාබද පැති දෙකේ දිග වල ගුණිතයට සමාන වේ
S යනු සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශය වේ,
සෘජුකෝණාස්රයේ පැතිවල දිග වේ.
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා සූත්ර
- පැති දිග සහ උස සඳහා සමාන්තර චලිත ප්රදේශ සූත්රය
සමාන්තර චලිත ප්රදේශය - සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය පැති දෙකක් සහ ඒවා අතර කෝණය ලබා දී ඇත
සමාන්තර චලිත ප්රදේශයඑහි පැතිවල දිගවල ගුණිතයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ සයින් ගුණනය වේ.a b sinα
මෙහි S යනු සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය වේ,
සමාන්තර චලිතයේ පැතිවල දිග වේ,
සමාන්තර චලිතයේ උස වේ,
සමාන්තර චලිතයේ පැති අතර කෝණය වේ.
රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා සූත්ර
- පැති දිග සහ උස ලබා දී ඇති රොම්බස් ප්රදේශ සූත්රය
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි පැත්තේ දිග සහ මෙම පැත්තට පහත් කර ඇති උසෙහි දිගෙහි නිෂ්පාදිතයට සමාන වේ. - රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා වන සූත්රය පැත්තේ දිග සහ කෝණය ලබා දී ඇත
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි පැත්තේ දිග සහ rhombus පැති අතර කෝණයේ සයින් වර්ග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ. - රොම්බස් ප්රදේශය එහි විකර්ණවල දිග ප්රමාණය සඳහා වන සූත්රය
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි විකර්ණවල දිග වල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ. මෙහි S යනු රොම්බස් ප්රදේශය වේ,
- රොම්බස් පැත්තේ දිග,
- රොම්බස් උසෙහි දිග,
- රොම්බස් වල පැති අතර කෝණය,
1, 2 - විකර්ණ වල දිග.
Trapezium ප්රදේශයේ සූත්ර
- trapezoid සඳහා හෙරොන්ගේ සූත්රය
S යනු trapezoid ප්රදේශය වන තැන,
- trapezoid හි පාදවල දිග,
- trapezoid හි පැතිවල දිග,
