never tomu však prípad. Pozorne si prečítajte všetky tieto články. Potom bude jasné ako žiariace Slnko.
Tak ako ruka a mozog nie všetkých ľudí majú tajomnú moc, aj kyvadlo sa v rukách nie všetkých ľudí môže stať tajomným. Táto sila sa nezískava, ale rodí sa s človekom. V jednej rodine sa jeden narodí bohatý a druhý chudobný. Nikto nemá moc urobiť z prirodzene bohatých chudobných alebo naopak. Teraz chápete, čo som vám chcel povedať. Ak nerozumiete, obviňujte sa, narodili ste sa takto.
Čo je to kyvadlo? Z čoho je vyrobený? Kyvadlo je akékoľvek voľne sa pohybujúce teleso pripevnené na šnúrke. V rukách majstra aj obyčajná trstina spieva ako slávik. Aj v rukách talentovaného biomajstra má kyvadlo neuveriteľné účinky v oblasti ľudskej existencie a existencie.
Nie vždy sa stane, že so sebou nosíte kyvadlo. Musel som teda nájsť stratený prsteň od jednej rodiny, ale nemal som so sebou kyvadlo. Poobzeral som sa okolo seba a do oka mi padol korok od vína. Asi od polovice korku som nožom urobil malý zárez a pripevnil niť. Kyvadlo je pripravené.
Spýtal som sa ho: "Budeš so mnou poctivo pracovať?" Zakrútil sa kladne a silno v smere hodinových ručičiek, akoby odpovedal veselo. V duchu mu dajte vedieť: "Poďme teda nájsť chýbajúci prsteň." Kyvadlo sa na znak súhlasu opäť pohlo. Začal som chodiť po dvore.
Lebo svokra povedala, že ešte nevstúpila do domu, keď si všimla, že nemá na prste obrúčku. Povedala tiež, že už dlho chcela ísť ku klenotníkovi, pretože jej schudli prsty a prsteň začal padať. Zrazu sa v mojich rukách kyvadlo trochu pohlo, trochu vzad, kyvadlo stíchlo. Pohol som sa dopredu, ale kyvadlo sa opäť pohlo. Išiel ďalej, znova stíchol, žasol som. Naľavo kyvadlo mlčí, dopredu mlčí. Vpravo nikam nechoďte. Tečie tam malá priekopa. Zrazu som si uvedomil a držal som kyvadlo priamo nad vodou. Kyvadlo sa začalo intenzívne točiť v smere hodinových ručičiek. Zavolal som svojej svokre a ukázal mi umiestnenie prsteňa.
S radosťou v očiach sa začala prehrabávať v priekope a rýchlo našla prsteň. Ukázalo sa, že si umývala ruky v priekope a v tom čase prsteň spadol, ale ona si to nevšimla. Všetci prítomní obdivovali prácu korku od vína.
Nie všetci ľudia sú rodení veštci alebo veštci. Nie všetci veštci alebo veštci sú úspešní. Pár prediktorov pracuje s menšími chybami, no mnohí podvádzajú ako cigáni. Rovnako aj kyvadlo. Neschopný človek to má ako zbytočnosť, aj keď je to zo zlata, nemá to význam. V rukách skutočného majstra robí kúsok obyčajného kameňa či orecha zázraky.
Pamätám si to ako včera. Na jednom zhromaždení som si vyzliekol bundu a vyšiel na chvíľu von. Keď som sa vrátil, cítil som, že v mojom srdci nie je niečo v poriadku. Mechanicky sa začal hrabať vo vrecku. Ukázalo sa, že mi niekto zobral strieborné kyvadlo. Odmlčal som sa a nikomu som nepovedal, čo sa stalo.
Prešlo veľa dní a jedného dňa prišiel do môjho domu jeden z tých ľudí, ktorí s nami sedeli na tom zhromaždení, kde sa stratilo moje kyvadlo. Hlboko sa ospravedlnil a podal mi kyvadlo. Ukázalo sa, že si myslel, že všetka sila je na mojom kyvadle a myslel si, že toto kyvadlo bude fungovať aj jemu, rovnako ako moje.
Keď si uvedomil svoju chybu, dlho ho trápilo svedomie a nakoniec sa rozhodol vrátiť kyvadlo jeho majiteľovi. Prijal som jeho ospravedlnenie a tiež som ho pohostil čajom a dokonca som mu určil diagnózu. Kyvadlom som u neho našiel veľa chorôb a pripravil som mu poriadne lieky.
Niektorí ľudia majú prirodzený dar liečiť a veštiť. Tento talent nevychádza roky. Občas náhodou natrafia na odborníka a ten mu ukáže svoju predurčenú životnú cestu.
Nedávno prišla žena v strednom veku na diagnostiku. Na jej vzhľade nie je poznať, že je chorá. Sťažovala sa na vysoké teplo v končatinách, neustále jej vychádzalo teplo z dlaní aj chodidiel a často pociťovala divoké praskavé bolesti v hlave v oblasti temena. Keď som to najprv diagnostikoval pulzom, všimol som si zvýšenie cievneho tonusu, začal som merať krvný tlak poloautomatickým prístrojom. Hodnoty sa nakoniec dostali mimo škálu, systolické aj diastolické. Uviedli 135 až 241 a srdcová frekvencia sa ukázala byť pod normou pre takúto hypertenziu: 62 úderov za minútu. Predo mnou pokojne sedela žena s takým vysokým krvným tlakom. Akoby bez pocitu nepohodlia z môjho cievneho stavu. Esenciálna (nevysvetliteľná) hypertenzia ju nedeprimovala.
Nezaznamenal som nič zlé na jej pulze a ani pri diagnostike pulzu. Diagnostikoval som jej menej častou esenciálnu (nevysvetliteľnú príčinu) hypertenziu. Ak by jej bežný lekár zmeral tlak, okamžite by zavolal záchranku a dal by ju na nosidlá. Nedovolil jej ani pohnúť sa. Faktom je, že osoba s takýmto zvýšením krvného tlaku sa považuje za hypertenznú krízu. Po ňom môže nasledovať mozgová príhoda alebo srdcový infarkt.
Pravidelné antihypertenzívne lieky jej podľa jej slov natoľko zhoršujú stav, že jej až nevoľno. Na naliehanie svojho syna sa naučila používať kyvadlo, keď ju veľmi bolí hlava, pýta sa kyvadla, či má piť aspirín alebo pentalgin. Zriedkavejšie si so súhlasom kyvadla dáva odvar z vŕbových listov alebo odvar z dule, ktorý jej pred štyrmi rokmi odporučil lekár Muhiddin. Ak ju hlava veľmi bolí, pije aspirín v mimoriadne ťažkých prípadoch, užíva pentalgin. Lekári a susedia hypertonika sa jej samoliečbe smejú.
Pomocou kyvadla som skontroloval všetky lieky, ktoré berie na bolesti hlavy a vysoký krvný tlak. Všetky sa ukázali ako účinné.Pýtal som sa aj kyvadla. "Zlepší sa jej zdravotný stav, ak začne liečiť ľudí svojím teplom?", kyvadlo sa okamžite prudko otočilo v smere hodinových ručičiek, ako súhlas. Tak som jej naordinoval liečbu pre seba, aby sa zbavila esenciálnej hypertenzie, musí liečiť choroby iných ľudí, pričom na nich kladie ruky alebo nohy. Teraz k nej často odkazujem pacientov a ona ich úspešne lieči psychické priechody. Teplo ruky smeruje k chorobám do pása, k chorobám pod pás, v ľahu nad pacientom drží pravú, respektíve ľavú nohu v problémovej oblasti.
S výsledkami je spokojná ona aj pacienti. Už dva roky neberie ani aspirín, ani pentalgin a kyvadlo jej občas dovolí pri menších bolestiach hlavy vypiť odvar z vŕbových alebo puškvorcových listov.
Kto potrebuje jej pomoc, napíšte mi, za mizerný poplatok vám pomôže. Dokonca som ju bezkontaktne naučil, ako sa správať k ľuďom na veľké vzdialenosti.
Človek, ktorý pri prevádzke kyvadla skutočne pracuje s kyvadlom, musí byť s ním v synchrónnej komunikácii a musí vopred vedieť a cítiť, ktorým smerom sú akcie kyvadla v danej chvíli smerované. Energickou potenciou svojho mozgu by mu mal človek, ktorý drží niť kyvadla, pomáhať podvedome, a nie špekulatívne, v ďalšom pôsobení na tento objekt a nepozerať sa ľahostajne na pôsobenie kyvadla ako divák.
Kyvadlo používali a dodnes používajú takmer všetci známi ľudia v Mezopotámii, Asýrii, Urartu, Indii, Číne, Japonsku, starovekom Ríme, Egypte, Grécku, Ázii, Afrike, Amerike, Európe, na východe a v mnohých krajinách sveta.
Vzhľadom na to, že mnohé významné medzinárodné inštitúcie, významné osobnosti rôznych oblastí vedy ešte dostatočne nedocenili pôsobenie a účel kyvadla v prospech spolužitia ľudstva s okolitou prírodou symbioticky a harmonicky. Ľudstvo ešte úplne neopustilo pseudovedecké názory na vesmír Univerzálneho normálu na úrovni modernej prírodnej vedy. Nastáva štádium stierania hranice poznania medzi náboženstvom, ezoterikou a prírodnou vedou. Prirodzene, prírodné vedy by sa mali stať základom všetkých základných vied bez akýchkoľvek vedľajších názorov.
Existuje nádej, že aj veda o kyvadle zaujme svoje právoplatné miesto v živote ľudí spolu s informačnou vedou. Veď boli časy, keď lídri našej nadnárodnej krajiny vyhlásili kybernetiku za pseudovedu a nedovolili ju nielen študovať, ale dokonca ani študovať vo vzdelávacích inštitúciách.
Takže teraz, na úrovni najvyššej úrovne modernej vedy, sa na myšlienku kyvadla pozerajú, ako keby to bol zaostalý priemysel. Je potrebné systematizovať kyvadlo, proutkanie a rám do jednej sekcie informatiky a je potrebné vytvoriť modul počítačového programu.
Pomocou tohto modulu môže ktokoľvek nájsť chýbajúce veci, určiť polohu predmetov a nakoniec diagnostikovať ľudí, zvieratá, vtáky, hmyz a vôbec celú prírodu.
K tomu si treba naštudovať myšlienky L. G. Puchka o multidimenzionálnej medicíne a práci psychiky Gellera, ako aj myšlienky bulharského liečiteľa Kanalieva a prácu mnohých ďalších ľudí, ktorí dosiahli úžasné výsledky s pomocou tzv. kyvadlo.
Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovom a neroztiahnutom vlákne umiestnenom v gravitačnom poli Zeme. Matematické kyvadlo je idealizovaný model, ktorý správne popisuje skutočné kyvadlo len za určitých podmienok. Skutočné kyvadlo možno považovať za matematické, ak je dĺžka závitu oveľa väčšia ako veľkosť telesa na ňom zaveseného, hmotnosť závitu je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou tela a deformácie závitu sú také malé že ich možno úplne zanedbať.
Oscilačný systém je v tomto prípade tvorený závitom, na ňom pripevneným telesom a Zemou, bez ktorej by tento systém nemohol slúžiť ako kyvadlo.
Kde A X – zrýchlenie, g - zrýchlenie voľného pádu, X- posunutie, l– dĺžka kyvadlového závitu.
Táto rovnica sa nazýva rovnica voľných kmitov matematického kyvadla. Správne opisuje príslušné vibrácie iba vtedy, ak sú splnené tieto predpoklady:
2) uvažujú sa len malé kmity kyvadla s malým uhlom výkyvu.
Voľné vibrácie akýchkoľvek systémov sú vo všetkých prípadoch opísané podobnými rovnicami.
Príčiny voľných oscilácií matematického kyvadla sú:
1. Pôsobenie napätia a gravitácie na kyvadlo, ktoré mu bráni v pohybe z rovnovážnej polohy a núti ho opäť padať.
2. Zotrvačnosť kyvadla, vďaka ktorej sa pri udržiavaní rýchlosti nezastaví v rovnovážnej polohe, ale prechádza ňou ďalej.
Obdobie voľných kmitov matematického kyvadla
Doba voľného kmitania matematického kyvadla nezávisí od jeho hmotnosti, ale je určená len dĺžkou závitu a gravitačným zrýchlením v mieste, kde sa kyvadlo nachádza.
Premena energie pri harmonických kmitoch
Pri harmonických kmitoch pružinového kyvadla sa potenciálna energia elasticky deformovaného telesa premieňa na jeho kinetickú energiu, kde k – koeficient pružnosti, X - modul posunutia kyvadla z rovnovážnej polohy, m- hmotnosť kyvadla, v- jeho rýchlosť. Podľa harmonickej vibračnej rovnice:
,
.
Celková energia pružinového kyvadla:
.
Celková energia pre matematické kyvadlo:
V prípade matematického kyvadla
K premenám energie pri kmitoch pružinového kyvadla dochádza v súlade so zákonom zachovania mechanickej energie ( 
). Keď sa kyvadlo pohybuje dole alebo hore zo svojej rovnovážnej polohy, jeho potenciálna energia sa zvyšuje a jeho kinetická energia klesá. Keď kyvadlo prejde rovnovážnou polohou ( X= 0), jeho potenciálna energia je nulová a kinetická energia kyvadla má najväčšiu hodnotu, ktorá sa rovná jeho celkovej energii.
V procese voľných kmitov kyvadla sa teda jeho potenciálna energia mení na kinetickú, kinetická na potenciálnu, potenciálna potom späť na kinetickú atď. Celková mechanická energia však zostáva nezmenená.
Nútené vibrácie. Rezonancia.
Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú vynútené oscilácie. Vonkajšia periodická sila, nazývaná hnacia sila, dodáva oscilačnému systému dodatočnú energiu, ktorá slúži na doplnenie energetických strát vznikajúcich v dôsledku trenia. Ak sa hnacia sila v priebehu času mení podľa zákona sínusu alebo kosínusu, potom budú vynútené oscilácie harmonické a netlmené.
Na rozdiel od voľných kmitov, kedy systém dostane energiu len raz (keď sa systém dostane z rovnováhy), v prípade vynútených kmitov systém túto energiu odoberá zo zdroja vonkajšej periodickej sily nepretržite. Táto energia kompenzuje straty vynaložené na prekonanie trenia, a preto celková energia oscilačného systému zostáva stále nezmenená.
Frekvencia vynútených kmitov sa rovná frekvencii hnacej sily. V prípade, že hnacia sila frekvencia υ sa zhoduje s vlastnou frekvenciou oscilačného systému υ 0 , dochádza k prudkému zvýšeniu amplitúdy vynútených oscilácií - rezonancia. Rezonancia nastáva vďaka tomu, že keď υ = υ 0 vonkajšia sila, pôsobiaca v čase voľnými vibráciami, je vždy v súlade s rýchlosťou kmitajúceho telesa a koná pozitívnu prácu: energia kmitajúceho telesa sa zvyšuje a amplitúda jeho kmitov sa zväčšuje. Graf amplitúdy vynútených kmitov A T na frekvencii hnacej sily υ znázornený na obrázku, tento graf sa nazýva rezonančná krivka:
Fenomén rezonancie hrá dôležitú úlohu v mnohých prírodných, vedeckých a priemyselných procesoch. Napríklad je potrebné vziať do úvahy jav rezonancie pri navrhovaní mostov, budov a iných konštrukcií, ktoré sú vystavené vibráciám pri zaťažení, inak za určitých podmienok môžu byť tieto konštrukcie zničené.
Matematické kyvadlo nazývame hmotný bod zavesený na beztiažovej a neroztiahnuteľnej nite pripevnenej k závesu a umiestnenej v gravitačnom poli (alebo inej sile).
Pozrime sa na kmitanie matematického kyvadla v inerciálnej vzťažnej sústave, voči ktorej je bod jeho zavesenia v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne po priamke. Silu odporu vzduchu (ideálne matematické kyvadlo) zanedbáme. Spočiatku je kyvadlo v pokoji v rovnovážnej polohe C. V tomto prípade sa sila gravitácie a naň pôsobiaca elastická sila F?ynp nite vzájomne kompenzujú.
Vyberme kyvadlo z rovnovážnej polohy (vychýlením napr. do polohy A) a uvoľníme ho bez počiatočnej rýchlosti (obr. 1). V tomto prípade sa sily navzájom nevyvažujú. Tangenciálna zložka gravitácie, pôsobiaca na kyvadlo, mu udeľuje tangenciálne zrýchlenie a?? (zložka celkového zrýchlenia smerujúca po dotyčnici k trajektórii matematického kyvadla) a kyvadlo sa začne pohybovať smerom k rovnovážnej polohe s rýchlosťou narastajúcou v absolútnej hodnote. Tangenciálna zložka gravitácie je teda vratná sila. Normálna zložka gravitácie je nasmerovaná pozdĺž vlákna proti elastickej sile. Výslednica síl dáva kyvadlu normálové zrýchlenie, ktoré mení smer vektora rýchlosti a kyvadlo sa pohybuje po oblúku ABCD.
Čím viac sa kyvadlo blíži k rovnovážnej polohe C, tým menšia je hodnota tangenciálnej zložky. V rovnovážnej polohe sa rovná nule a rýchlosť dosiahne maximálnu hodnotu a kyvadlo sa zotrvačnosťou pohybuje ďalej a stúpa v oblúku nahor. V tomto prípade je komponent nasmerovaný proti rýchlosti. S rastúcim uhlom vychýlenia a sa veľkosť sily zväčšuje a veľkosť rýchlosti klesá a v bode D sa rýchlosť kyvadla stáva nulovou. Kyvadlo sa na chvíľu zastaví a potom sa začne pohybovať opačným smerom do rovnovážnej polohy. Po opätovnom prejdení zotrvačnosťou sa kyvadlo, spomaľujúc svoj pohyb, dostane do bodu A (nedochádza k treniu), t.j. dokončí úplný švih. Potom sa pohyb kyvadla zopakuje v už opísanom poradí.
Získame rovnicu opisujúcu voľné kmity matematického kyvadla.
Kyvadlo nech je v danom časovom okamihu v bode B. Jeho posunutie S z rovnovážnej polohy sa v tomto momente rovná dĺžke oblúka SV (t.j. S = |SV|). Označme dĺžku závesného vlákna l a hmotnosť kyvadla m.
Z obrázku 1 je zrejmé, že kde . Pri malých uhloch () sa preto kyvadlo vychyľuje
Znamienko mínus je v tomto vzorci umiestnené, pretože tangenciálna zložka gravitácie smeruje k rovnovážnej polohe a posunutie sa počíta od rovnovážnej polohy.
Podľa druhého Newtonovho zákona. Premietnime vektorové veličiny tejto rovnice na smer dotyčnice k trajektórii matematického kyvadla
Z týchto rovníc dostaneme
Dynamická pohybová rovnica matematického kyvadla. Tangenciálne zrýchlenie matematického kyvadla je úmerné jeho posunutiu a smeruje k rovnovážnej polohe. Táto rovnica môže byť napísaná ako
Porovnajte to s harmonickou vibračnou rovnicou 
, môžeme konštatovať, že matematické kyvadlo vykonáva harmonické kmity. A keďže uvažované kmity kyvadla vznikali pod vplyvom iba vnútorných síl, išlo o voľné kmity kyvadla. Voľné kmity matematického kyvadla s malými odchýlkami sú teda harmonické.
Označme
Cyklická frekvencia kmitov kyvadla.
Obdobie kmitania kyvadla. teda
Tento výraz sa nazýva Huygensov vzorec. Určuje periódu voľných kmitov matematického kyvadla. Zo vzorca vyplýva, že pri malých uhloch odchýlky od rovnovážnej polohy je perióda kmitania matematického kyvadla:
- nezávisí od jeho hmotnosti a amplitúdy vibrácií;
- je úmerná druhej odmocnine dĺžky kyvadla a nepriamo úmerná druhej odmocnine gravitačného zrýchlenia.
To je v súlade s experimentálnymi zákonmi malých kmitov matematického kyvadla, ktoré objavil G. Galileo.
Zdôrazňujeme, že tento vzorec možno použiť na výpočet obdobia, ak sú súčasne splnené dve podmienky:
- oscilácie kyvadla by mali byť malé;
- bod zavesenia kyvadla musí byť v pokoji alebo sa musí pohybovať rovnomerne v priamke vzhľadom na inerciálnu referenčnú sústavu, v ktorej sa nachádza.
Ak sa závesný bod matematického kyvadla pohybuje so zrýchlením, zmení sa napínacia sila nite, čo vedie k zmene vratnej sily a následne aj frekvencie a periódy kmitov. Ako ukazujú výpočty, periódu oscilácie kyvadla v tomto prípade možno vypočítať pomocou vzorca
kde je „efektívne“ zrýchlenie kyvadla v neinerciálnej referenčnej sústave. Rovná sa geometrickému súčtu gravitačného zrýchlenia a vektora opačného k vektoru, t.j. dá sa vypočítať pomocou vzorca
Matematické kyvadlo je model obyčajného kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na dlhom beztiažovom a neroztiahnuteľnom závite.
Vysunieme loptičku z rovnovážnej polohy a uvoľníme ju. Na guľu budú pôsobiť dve sily: gravitácia a napätie nite. Keď sa kyvadlo pohybuje, stále naň bude pôsobiť sila trenia vzduchu. Budeme to však považovať za veľmi malé.
Rozložme gravitačnú silu na dve zložky: sila smerujúca pozdĺž závitu a sila smerujúca kolmo na dotyčnicu k trajektórii gule.
Tieto dve sily sa sčítavajú so silou gravitácie. Elastické sily závitu a gravitačná zložka Fn udeľujú guľôčke dostredivé zrýchlenie. Práca vykonaná týmito silami bude nulová, a preto zmenia iba smer vektora rýchlosti. V každom okamihu bude nasmerovaný tangenciálne k oblúku kruhu.
Vplyvom gravitačnej zložky Fτ sa loptička bude pohybovať po kruhovom oblúku so zvyšujúcou sa rýchlosťou. Veľkosť tejto sily sa pri prechode rovnovážnou polohou vždy mení, rovná sa nule.
Dynamika kmitavého pohybu
Pohybová rovnica kmitajúceho telesa pri pôsobení elastickej sily.
Všeobecná pohybová rovnica:
Vibrácie v systéme vznikajú pod vplyvom elastickej sily, ktorá je podľa Hookovho zákona priamo úmerná premiestneniu bremena.
Potom bude mať pohybová rovnica gule nasledujúci tvar:
Ak túto rovnicu vydelíme m, dostaneme nasledujúci vzorec:
A keďže hmotnosť a koeficient pružnosti sú konštantné veličiny, konštantný bude aj pomer (-k/m). Získali sme rovnicu, ktorá popisuje vibrácie telesa pri pôsobení elastickej sily.
Priemet zrýchlenia telesa bude priamo úmerný jeho súradniciam s opačným znamienkom.
Pohybová rovnica matematického kyvadla
Pohybová rovnica matematického kyvadla je opísaná nasledujúcim vzorcom:
Táto rovnica má rovnaký tvar ako pohybová rovnica hmoty na pružine. V dôsledku toho sa oscilácie kyvadla a pohyby guľôčky na pružine vyskytujú rovnakým spôsobom.
Posun gule na pružine a posun telesa kyvadla z rovnovážnej polohy sa v čase menia podľa rovnakých zákonitostí.
Mechanický systém, ktorý pozostáva z hmotného bodu (telesa) visiaceho na neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne (jeho hmotnosť je zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou telesa) v rovnomernom gravitačnom poli sa nazýva matematické kyvadlo (iný názov je oscilátor). Existujú aj iné typy tohto zariadenia. Namiesto závitu možno použiť beztiažovú tyč. Matematické kyvadlo dokáže jasne odhaliť podstatu mnohých zaujímavých javov. Keď je amplitúda vibrácií malá, jeho pohyb sa nazýva harmonický.
Prehľad mechanického systému
Vzorec pre periódu kmitania tohto kyvadla odvodil holandský vedec Huygens (1629-1695). Tento súčasník I. Newtona sa o tento mechanický systém veľmi zaujímal. V roku 1656 vytvoril prvé hodiny s kyvadlovým mechanizmom. Na tie časy merali čas s výnimočnou presnosťou. Tento vynález sa stal hlavnou etapou vo vývoji fyzikálnych experimentov a praktických činností.
Ak je kyvadlo v rovnovážnej polohe (visí vertikálne), bude vyvážené napínacou silou nite. Ploché kyvadlo na neroztiahnuteľnom závite je systém s dvoma stupňami voľnosti so spojkou. Keď zmeníte iba jeden komponent, zmenia sa vlastnosti všetkých jeho častí. Takže, ak je závit nahradený tyčou, potom tento mechanický systém bude mať iba 1 stupeň voľnosti. Aké vlastnosti má matematické kyvadlo? V tomto najjednoduchšom systéme vzniká chaos pod vplyvom periodických porúch. V prípade, že sa bod zavesenia nepohybuje, ale kmitá, má kyvadlo novú rovnovážnu polohu. Rýchlymi osciláciami nahor a nadol získava tento mechanický systém stabilnú polohu „hore nohami“. Má aj svoje meno. Nazýva sa Kapitzova kyvadla.
Vlastnosti kyvadla
Matematické kyvadlo má veľmi zaujímavé vlastnosti. Všetky sú potvrdené známymi fyzikálnymi zákonmi. Doba kmitania akéhokoľvek iného kyvadla závisí od rôznych okolností, ako je veľkosť a tvar tela, vzdialenosť medzi bodom zavesenia a ťažiskom a rozloženie hmotnosti vzhľadom na tento bod. Preto je určenie doby zavesenia tela pomerne náročná úloha. Je oveľa jednoduchšie vypočítať obdobie matematického kyvadla, ktorého vzorec bude uvedený nižšie. Ako výsledok pozorovaní podobných mechanických systémov možno stanoviť nasledujúce vzorce:
Ak pri zachovaní rovnakej dĺžky kyvadla zavesíme rôzne závažia, potom bude perióda ich kmitov rovnaká, hoci ich hmotnosti sa budú značne líšiť. V dôsledku toho perióda takéhoto kyvadla nezávisí od hmotnosti bremena.
Ak sa pri spustení systému kyvadlo vychýli nie príliš veľkými, ale rôznymi uhlami, potom začne oscilovať s rovnakou periódou, ale s rôznymi amplitúdami. Pokiaľ odchýlky od stredu rovnováhy nebudú príliš veľké, budú vibrácie v ich forme dosť blízke harmonickým. Perióda takéhoto kyvadla nijako nezávisí od oscilačnej amplitúdy. Táto vlastnosť daného mechanického systému sa nazýva izochronizmus (v preklade z gréckeho „chronos“ - čas, „isos“ - rovný).
Obdobie matematického kyvadla
Tento ukazovateľ predstavuje obdobie Napriek zložitej formulácii je samotný proces veľmi jednoduchý. Ak je dĺžka závitu matematického kyvadla L a zrýchlenie voľného pádu je g, potom sa táto hodnota rovná:
Perióda malých vlastných kmitov nijako nezávisí od hmotnosti kyvadla a amplitúdy kmitov. V tomto prípade sa kyvadlo pohybuje ako matematické s redukovanou dĺžkou.
Kmity matematického kyvadla
Matematické kyvadlo kmitá, čo možno opísať jednoduchou diferenciálnou rovnicou:
x + ω2 sin x = 0,
kde x (t) je neznáma funkcia (ide o uhol odchýlky od dolnej rovnovážnej polohy v momente t, vyjadrený v radiánoch); ω je kladná konštanta, ktorá je určená z parametrov kyvadla (ω = √g/L, kde g je gravitačné zrýchlenie a L je dĺžka matematického kyvadla (závesu).
Rovnica pre malé vibrácie v blízkosti rovnovážnej polohy (harmonická rovnica) vyzerá takto:
x + ω2 sin x = 0
Oscilačné pohyby kyvadla
Po sínusoide sa pohybuje matematické kyvadlo, ktoré robí malé oscilácie. Diferenciálna rovnica druhého rádu spĺňa všetky požiadavky a parametre takéhoto pohybu. Na určenie trajektórie je potrebné nastaviť rýchlosť a súradnicu, z ktorej sa potom určujú nezávislé konštanty:
x = A sin (θ 0 + ωt),
kde θ 0 je počiatočná fáza, A je amplitúda kmitania, ω je cyklická frekvencia určená z pohybovej rovnice.
Matematické kyvadlo (vzorce pre veľké amplitúdy)
Tento mechanický systém, ktorý kmitá s výraznou amplitúdou, podlieha zložitejším pohybovým zákonom. Pre takéto kyvadlo sa vypočítajú podľa vzorca:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
kde sn je Jacobiho sínus, ktorý pre u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
kde ε = E/mL2 (mL2 je energia kyvadla).
Doba kmitania nelineárneho kyvadla sa určuje podľa vzorca:
kde Ω = π/2 * ω/2K(u), K je eliptický integrál, π - 3,14.
Pohyb kyvadla pozdĺž separatrix
Separatrix je trajektória dynamického systému, ktorý má dvojrozmerný fázový priestor. Neperiodicky sa po nej pohybuje matematické kyvadlo. V nekonečne vzdialenom časovom okamihu padá z najvyššej polohy na stranu s nulovou rýchlosťou, potom ju postupne získava. Nakoniec sa zastaví a vráti sa do pôvodnej polohy.
Ak sa amplitúda kmitov kyvadla blíži k číslu π , to znamená, že pohyb vo fázovej rovine sa približuje k separatrixe. V tomto prípade pod vplyvom malej hnacej periodickej sily mechanický systém vykazuje chaotické správanie.
Keď sa matematické kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, vzniká tangenciálna sila gravitácie Fτ = -mg sin φ. Znamienko mínus znamená, že táto tangenciálna zložka smeruje v smere opačnom k výchylke kyvadla. Keď označíme x posunutie kyvadla po kruhovom oblúku s polomerom L, jeho uhlové posunutie sa rovná φ = x/L. Druhý zákon, určený pre projekcie a silu, poskytne požadovanú hodnotu:
mg τ = Fτ = -mg sin x/l
Na základe tohto vzťahu je zrejmé, že toto kyvadlo je nelineárny systém, keďže sila, ktorá ho má tendenciu vrátiť do rovnovážnej polohy, je vždy úmerná nie posunutiu x, ale sin x/L.
Len keď matematické kyvadlo vykonáva malé kmity, je to harmonický oscilátor. Inými slovami, stáva sa mechanickým systémom schopným vykonávať harmonické kmity. Táto aproximácia prakticky platí pre uhly 15-20°. Kmity kyvadla s veľkými amplitúdami nie sú harmonické.
Newtonov zákon pre malé kmity kyvadla
Ak daný mechanický systém vykonáva malé vibrácie, Newtonov 2. zákon bude vyzerať takto:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na základe toho môžeme konštatovať, že matematické kyvadlo je úmerné jeho posunutiu so znamienkom mínus. Toto je stav, vďaka ktorému sa systém stáva harmonickým oscilátorom. Modul koeficientu úmernosti medzi posunom a zrýchlením sa rovná druhej mocnine kruhovej frekvencie:
co02 = g/l; ω0 = √ g/l.
Tento vzorec odráža prirodzenú frekvenciu malých kmitov tohto typu kyvadla. Na základe toho
T = 2π/ω0 = 2π√ g/l.
Výpočty založené na zákone zachovania energie
Vlastnosti kyvadla možno opísať aj pomocou zákona zachovania energie. Malo by sa vziať do úvahy, že kyvadlo v gravitačnom poli sa rovná:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Súčet sa rovná kinetickému alebo maximálnemu potenciálu: Epmax = Ekmsx = E
Po napísaní zákona zachovania energie zoberte deriváciu pravej a ľavej strany rovnice:
Pretože derivácia konštantných veličín sa rovná 0, potom (Ep + Ek)" = 0. Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
teda:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.
Na základe posledného vzorca zistíme: α = - g/L*x.
Praktická aplikácia matematického kyvadla
Zrýchlenie sa mení so zemepisnou šírkou, pretože hustota zemskej kôry nie je na celej planéte rovnaká. Tam, kde sa vyskytujú horniny s vyššou hustotou, bude o niečo vyššia. Zrýchlenie matematického kyvadla sa často používa na geologický prieskum. Používa sa na vyhľadávanie rôznych minerálov. Jednoducho spočítaním počtu kmitov kyvadla je možné odhaliť uhlie alebo rudu v útrobách Zeme. Je to spôsobené tým, že takéto fosílie majú hustotu a hmotnosť väčšiu ako voľné horniny pod nimi.
Matematické kyvadlo používali takí vynikajúci vedci ako Sokrates, Aristoteles, Platón, Plutarchos, Archimedes. Mnohí z nich verili, že tento mechanický systém môže ovplyvniť osud a život človeka. Archimedes použil pri svojich výpočtoch matematické kyvadlo. V súčasnosti mnohí okultisti a jasnovidci používajú tento mechanický systém na splnenie svojich proroctiev alebo na hľadanie nezvestných ľudí.
Slávny francúzsky astronóm a prírodovedec K. Flammarion používal pri výskume aj matematické kyvadlo. Tvrdil, že s jeho pomocou dokázal predpovedať objavenie novej planéty, objavenie sa tunguzského meteoritu a ďalšie dôležité udalosti. Počas druhej svetovej vojny fungoval v Nemecku (Berlín) špecializovaný Kyvadlový inštitút. V súčasnosti sa podobným výskumom zaoberá Mníchovský inštitút parapsychológie. Zamestnanci tohto zariadenia nazývajú svoju prácu s kyvadlom „radiestézia“.
