Sode kvadrate je veliko težje sestaviti kot lihe kvadrate. Obstaja veliko načinov za razlago načel njihove gradnje. Ta članek opisuje zabaven način sestavljanja čarobnega kvadrata 4 x 4.
Začnemo z vnosom enote v skrajno levo celico zgornje vrstice. Dvojka se nahaja v naslednji celici, številki 3 in 4 pa v naslednji. Na ta način bo zgornja vrstica zaključena. V naslednji vrstici se vpišejo številke 5, 6, 7 in 8.
Nadaljujte, dokler ne izpolnite vseh celic (slika 1).
Slika 1
Nato morate v vseh skrajnih vrsticah odstraniti dve številki iz osrednjih celic, to pomeni, da se v zgornji vrstici odstranita številki 2 in 3, v spodnji pa 14 in 15. Končno sta številki 5 in 9. odstranjeni v levi skrajni vrsti in v desni skrajni - 8 in 12 (slika 2).
Slika 2 Zdaj je mogoče te številke urediti na precej zanimiv način. Številki 2 in 3 zasedata celici, ki sta prej vsebovali števili 14 in 15. Tako bodo spodnjo vrstico sestavljale številke 13,3,2 in 16. Številki 14 in 15 sta razvrščeni po enakem principu, tj. , zasedajo tiste celice, ki so prej vsebovale številki 2 in 3. Posledično bo zgornja vrstica sestavljena iz številk 1,15,14 in 4. Upam, da že razumete, kako bo čarobni kvadrat zgrajen naprej. Števili 8 in 12 bosta zasedli tiste celice, ki so prej vsebovale števili 5 in 9. Končno se števili 5 in 9 prilegata dvema celicama v skrajnem desnem stolpcu (slika 3).
Slika 3 Upoštevajte, da je v tem čarobnem kvadratu vsota števil v kateri koli vrstici 34.
Na enak način lahko ustvarite kvadrat 4*4 tako, da preprosto postavite šestnajst številk v zaporedje, začenši s katero koli številko. Če sestavite čarobni kvadrat, kjer so številke v zaporedju 3, 6, 9, 12 itd., boste videli, da bo vsota števil v kateri koli seriji 102.
Obstaja veliko načinov za sestavljanje celo čarobnih kvadratov. Nekateri med njimi so zelo zapleteni, zamudni in zanimivi le za matematike. Na srečo je način ustvarjanja čarobnih kvadratov jantre na podlagi datuma rojstva tako preprost, kot je le mogoče.
Naloge:
1. Naučite se izpolniti čarobne kvadratke.
2. Razviti opazovanje, sposobnost posploševanja.
3. Vzbuditi željo po novem znanju, zanimanje za matematiko.
Oprema: računalnik, multimedijski projektor z zaslonom, PowerPoint predstavitev (priloga 1).
V starih časih, ko so se ljudje naučili šteti in izvajati aritmetiko, so bili ljudje presenečeni, ko so ugotovili, da imajo števila samostojno življenje, neverjetno in skrivnostno. S seštevanjem različnih številk, postavljanjem enega za drugim ali enega pod drugim so včasih dobili enak znesek. Nazadnje, ko so številke razdelili s črtami, tako da je bilo vsako v ločeni celici, so videli kvadrat, katerega katera koli številka je sodelovala pri dveh vsotah, tiste, ki se nahajajo vzdolž diagonal, celo v treh, vse vsote pa so enake drug drugega! Ni čudno, da so stari Kitajci, Hindujci in za njimi Arabci takim strukturam pripisovali skrivnostne in magične lastnosti. (diapozitiv 1)
Magični kvadrati so se pojavili na starem vzhodu že pred našim štetjem. Ena od ohranjenih legend pripoveduje, da se je, ko je cesar Yu iz dinastije Shang (2000 pr. n. št.) stal na bregovih Lua, pritoka Rumene reke, nenadoma pojavila velika riba (v drugih različicah ogromna želva), na kateri tam je bila risba dveh mističnih simbolov - črnih in belih krogov (diapozitiv 2), ki je bil nato realiziran kot slika magičnega kvadrata reda 3. (slide 3)
Prvo posebno omembo takšnega trga najdemo okoli 1. stoletja pr. Do 10. stoletja našega štetja. čarobni kvadrati so bili utelešeni v amuletih, urokih. Po vsej Indiji so jih uporabljali kot talismane. Naslikali so jih na vrče sreče, medicinske vrčke. Do sedaj jih nekatera vzhodna ljudstva uporabljajo kot talisman. Najdemo jih na palubah velikih potniških ladij kot igrišče.
Torej, z magijo mislimo na kvadrate, v katerih so vsote števil v katerem koli stolpcu ali v kateri koli vrstici, pa tudi vzdolž diagonal, enake.
Do sedaj ste za miselno štetje največkrat uporabljali magične kvadrate. Hkrati je več številk, vključno z osrednjo, že postavljenih v celice kvadrata. Preostale številke je treba razporediti tako, da v kateri koli smeri dobimo določeno količino.
Naloga 1. Podana so števila 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nekatera so razporejena po celicah, ostala števila je potrebno razporediti tako, da je skupno 15. (diapozitiv 4)
Izkazalo se je, da lahko vse druge magične kvadrate, sestavljene iz istih števil, dobimo iz danega s simetrijo glede na vrstico, stolpec ali diagonalo, zato so števila v vseh kvadratih urejena po enakih pravilih. (diapozitiv 6)
Opazimo lahko številne vzorce, ki olajšajo zapolnjevanje celic kvadrata ali pa rešijo problem z manjšim številom podatkov v pogoju.
Na primer, v pogojih težav, podobnih prejšnjemu, ni treba navesti, kakšen znesek je treba pridobiti v kateri koli smeri.
Naloga 2. Poiščite način za izračun vsote vrstic, stolpcev in diagonal iz prejšnjega problema.
Lahko trdite takole: vsota števil v vsaki vrstici je enaka, takšne vrstice so 3, kar pomeni, da je vsota števil v vsaki vrstici trikrat manjša od vsote vseh števil. Zato je v našem primeru vsota v vsaki vrstici 15 (45:3). Toda to število je mogoče najti na druge načine: seštejte tri osrednja števila 4, 5 in 6 ali pomnožite osrednje število 5 s 3.
Naloga 3. Podane so številke: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. V celice kvadrata jih je treba vnesti tako, da je v kateri koli smeri vsota enaka. Nekatere številke so že vpisane v kvadrat. (diapozitiv 7)
Naloga 4. Podana so števila 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Dve izmed njih sta vpisani v celice kvadrata. Preostanek zapiši tako, da bo v kateri koli smeri vsota enaka. (diapozitiv 9)
Oglejmo si vse tri zapolnjene kvadrate in poskusimo najti več vzorcev, ki nam bodo pomagali zapolniti kvadrat s še manj števili, vpisanimi v kvadrat. (diapozitiv 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Poglejte, katera številka je v središču kvadrata? Kako se nahaja v nizu danih števil? (diapozitiv 12) (V sredini kvadrata je vedno zapisano število, ki je v našem zaporedju na petem mestu, torej enako odmaknjeno od njegovega levega in desnega roba.)
Opazite lahko še vrsto drugih značilnosti: v kvadratu na nasprotnih straneh osrednjega števila so števila, ki so enako oddaljena od levega in desnega roba zaporedja. Pokažimo pare ustreznih števil na primeru polnjenja kvadrata s številkami od 1 do 9: (diapozitiv 13)
Če veste to, lahko napolnite kvadrat, skoraj brez štetja.
Oglejte si, kako so številke poleg osrednjega v kvadratu, pa tudi številke, napisane iz njih skozi eno številko. Na vrhu so povezani s črtami. (Nahajajo se vzdolž diagonal kvadrata.) In kje so ostala števila, ki so povezana s črtami od spodaj? (Razporejeni so navpično in vodoravno.)
Preverimo, ali so taki vzorci opaženi tudi v drugih kvadratih. (diapozitiv 14)
(Da, takšni vzorci držijo.)
Torej povzamemo. Katere lastnosti magičnih kvadratov smo ugotovili?
1) Če želite najti vsoto števil v vsakem stolpcu ali vrstici, lahko osrednje število pomnožite s 3.
2) V sredini kvadrata je številka, zapisana v peti vrstici.
3) V kvadratu na nasprotnih straneh osrednjega števila so števila, ki so enako oddaljena od levega in desnega roba zaporedja.
4) Številke poleg osrednje in ena od nje se nahajajo vzdolž diagonal kvadrata. Številke, ki stojijo na robu in skozi eno od njega, se nahajajo v kvadratu navpično in vodoravno.
Naloga 5. Podana so števila: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Zapiši jih v celice kvadrata tako, da dobiš isto število v kateri koli smeri. (diapozitiv 15)
(Ugotovimo, kakšen znesek naj dobimo v vsaki smeri. Če želite to narediti, pomnožite osrednjo številko 7 s 3. Kot rezultat dobimo 21. Postavite številko 7 na sredino kvadrata, na eno diagonalo številk 6 in 8, na drugi - 4 in 10. Še vedno je treba urediti manjkajoče številke: vsota števil, zapisanih v prvi vrstici, je 10, 11 manjka pred 21, kar pomeni, da smo v prazni celici zgornje vrstice napišemo številko 11 (prva na desni). Nato v spodnjo vrstico napišemo številko 3 (prva na levi). V levi stolpec napišemo številko 5 ( 21 - (6 + 10)), nato ostane da v desni stolpec zapišemo številko 9. Tako smo v celice magičnega kvadrata postavili vseh 9 števil, medtem ko po pogoju naloge v kvadrat ni bilo postavljeno niti eno število.)
Problem ima več rešitev, vendar so vsi kvadrati pridobljeni iz drugih s simetrijo glede na srednjico ali diagonalo. (diapozitiv 16)
Naloga 6. Dana so števila 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Zapiši jih v celice kvadrata tako, da v kateri koli smeri dobiš skupno enako število.
Ena od rešitev na prosojnici. (diapozitiv 17)
Naloga 7. Primerjajte pogoje naloge 1 in 6 ter razmislite, kako bi lahko rešili težavo, če bi poznali rešitev težave 1.
(Števila iz naloge 6 so dvakrat večja od ustreznih števil iz naloge 1. Zato lahko preprosto podvojite vsako število kvadrata iz naloge 1 in dobite želeni kvadrat.)
Obstaja več načinov sestavljanja čarobnih kvadratov. Razmislite o metodi teras, ki so jo izumili stari Kitajci. Po tej metodi je treba "naravni" kvadrat števila zasukati okoli središča za polovico pravega kota (diapozitiv 19) in ločite mizo 3´3 s kvadratnim okvirjem. (diapozitiv 20) S številkami, ki so zapisane izven okvirja in tvorijo robove ("terase"), zapolnimo prazna polja na nasprotni strani tabele. (diapozitiv 21)
Podobno je mogoče sestaviti poljuben kvadrat neparnega reda. Zapolnimo celice magičnega kvadrata 5´5 s števili od 1 do 25. (diapozitivi 22, 23, 24)
Za sestavo magičnega kvadrata 4´4 je najenostavnejša in najbolj dostopna naslednja metoda: v "naravnem" kvadratu se dodatna števila na glavnih diagonalah zamenjajo, ostala pa ostanejo nespremenjena. (diapozitiva 25, 26)
Povzetek lekcije
Katero skrivnost čarobnih kvadratov ste odkrili danes v razredu? Kaj vam je pri tem pomagalo?
Testiranje s Chaturango Shorin Alexander
5.2.1 O magiji števil. Kaj so čarobni kvadrati
O magiji števil je mogoče povedati veliko. Kot primer smo že na začetku te študije omenili število 4. Na ta način je mogoče veliko povedati o katerem koli številu.
Na primer, številka 1 je ena, začetek vsega. Številka 2 - ločitev, nasprotje obeh spolov. 3 - trikotnik ... In tako naprej. To je zelo plodna tema, v katero se lahko poglabljate v nedogled.
Zato pustimo to in pojdimo k magičnim kvadratom, ki so neposredno povezani s Chaturango.
Magični kvadrati so kvadratne tabele celih števil, ki imajo edinstvene lastnosti: na primer, vsote števil vzdolž katere koli vrstice, katerega koli stolpca in katere koli od dveh glavnih diagonal so enake istemu številu.
Menijo, da so magične kvadrate izumili v stari Kitajski, poznali pa so jih tudi v stari Indiji, od koder Chaturanga izvira. Še posebej to dokazuje N. M. Rudin v svoji knjigi "Od čarobnega kvadrata do šaha".
Legenda pravi, da je v času vladavine cesarja Yuja (ok. 2200 pr. n. št.) iz voda Rumene reke na površje priplavala sveta želva, na oklepu katere so bili napisani skrivnostni hieroglifi. Ti znaki so znani kot lo-shu in so enakovredni magičnemu kvadratu. V 11. stoletju so magične kvadrate spoznali v Indiji, nato pa še na Japonskem, kjer so v 16. st. Magični kvadrati so bili predmet obsežne literature. Evropejce je v 15. stoletju seznanil z magičnimi kvadrati. Bizantinski pisatelj E. Moshopoulos. Prvi kvadrat, ki ga je izumil Evropejec, je kvadrat A. Dürerja, upodobljen na njegovi znameniti gravuri "Melanholija 1". Datum gravure (1514) je označen s številkami v dveh osrednjih celicah spodnje vrstice. Magičnim kvadratom so pripisovali različne mistične lastnosti. V 16. stoletju Cornelius Heinrich Agrippa je zgradil kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. in 9. reda, ki so bili povezani z astrologijo 7 planetov. Veljalo je prepričanje, da magični kvadrat, vgraviran na srebro, varuje pred kugo. Še danes je med atributi evropskih vedeževalcev mogoče videti magične kvadrate.
V 19. in 20. stol zanimanje za magične kvadrate se je razvnelo z novo močjo. Začeli so jih raziskovati z metodami višje algebre in operacijskega računa.
Vsak element magičnega kvadrata se imenuje celica. Kvadrat, katerega stranica je n celice, vsebuje n 2 celici in se imenuje kvadrat n-th red. Večina magičnih kvadratov uporablja prvo n zaporedna naravna števila. vsota Sštevil v vsaki vrstici, vsakem stolpcu in na kateri koli diagonali se imenuje konstanta kvadrata in je enaka S= n(n 2 + 1)/2. To dokazal n– 3. Za kvadrat 3. reda S= 15, 4. red - S= 34, 5. red - S= 65.
Diagonali, ki potekata skozi središče kvadrata, imenujemo glavni diagonali. Lomljena črta je diagonala, ki se, ko doseže rob kvadrata, nadaljuje vzporedno s prvim segmentom od nasprotnega roba. Celice, ki so simetrične glede na središče kvadrata, se imenujejo poševno simetrične.
Magične kvadrate je mogoče sestaviti na primer po metodi francoskega geometra iz 17. stoletja. A. de la Lubera.
Po metodi A. de la Louberta lahko magični kvadrat 5 × 5 sestavimo na naslednji način:
Številka 1 je postavljena v osrednjo celico zgornje vrstice. Vsa naravna števila so razporejena v naravnem vrstnem redu ciklično od spodaj navzgor v celicah diagonal od desne proti levi. Ko dosežemo zgornji rob kvadrata (kot v primeru številke 1), nadaljujemo z izpolnjevanjem diagonale, začenši od spodnje celice naslednjega stolpca. Ko dosežemo desni rob kvadrata (številka 3), nadaljujemo z zapolnjevanjem diagonale, ki prihaja iz leve celice, s črto zgoraj. Ko dosežete zapolnjeno celico (številka 5) ali vogal (številka 15), se pot spusti eno celico navzdol, po kateri se postopek polnjenja nadaljuje.
Izkazalo se je tako čarobni kvadrat:
Uporabite lahko tudi metodo F. de la Hire (1640-1718), ki temelji na dveh originalnih kvadratih. Številke od 1 do 5 so vnesene v celico prvega kvadrata tako, da se številka 3 ponavlja v celicah glavne diagonale, ki gre desno navzgor, in da se nobena številka ne pojavi dvakrat v eni vrstici ali v enem stolpcu. Enako storimo s številkami 0, 5, 10, 15, 20, le da se številka 10 ponavlja v celicah glavne diagonale, ki poteka od zgoraj navzdol. Vsota teh dveh kvadratov po celicah tvori čarobni kvadrat. Ta metoda se uporablja tudi pri gradnji kvadratov sodega reda.
Iz knjige Mojster sanj. Sanjski slovar. avtor Smirnov Terentij LeonidovičRazlaga sanj o črni magiji (Simboli sanj o črni magiji) Številni duhovni iskalci, ki jih navdušujejo priljubljeni ezoterični koncepti, sami ne slutijo, da pri razvoju sanj izvajajo pravo črno magijo! To v celoti velja za
Iz knjige Praktična magija sodobne čarovnice. Obredi, obredi, prerokbe avtor Mironova DariaTalismani in magični kvadrati Magija talismanov je tesno povezana s tradicijo numerologije. Številke in črke abecede ter posebni znaki, brez katerih je izdelava amuleta nepogrešljiva, ščitijo svojega lastnika pred slabimi vplivi.Številni talismani izgledajo kot
Iz knjige Rituali denarne magije avtor Zolotukhina ZoyaČarobnost števil Vaša čarobna številka Za vsakega od nas, po mnenju numerologov, obstaja nekakšen ključ do cenjene skrivnosti - čarobnega številskega znaka. Če ga želite določiti, morate sešteti vse številke svojega rojstnega datuma.Seštevajte, dokler ne dobite
Iz knjige Spoznaj svojo prihodnost. Naj Fortune dela za vas avtor Korovina Elena AnatolievnaRazmerje številk in črk
Iz knjige Zvezda zaščite in denarni talisman. Protikrizna numerologija avtor Korovina Elena AnatolievnaRazmerje številk in črk Tabela
Iz knjige Datum rojstva je ključ do razumevanja človeka avtor Aleksander Fedorovič AleksandrovPREHODI ŠTEVIL Čestitamo vam lahko, da so preučene vse značilnosti števil. Začnite računati datume rojstva vseh svojih sorodnikov, prijateljev, znancev, tujcev in sovražnikov. Super! Zdaj bo vsak razkril svoje "skrito bistvo". Začnite seveda pri sebi – in takoj boste
Iz knjige Slovanska karmična numerologija. Izboljšajte svojo matrico usode avtor Maslova Natalia NikolaevnaRAZMERJE ŠTEVIL 5 IN 9 Zadnjega prehoda ne moremo imenovati pravi prehod, saj ne bo šlo za prehod ene števke v drugo, temveč za krepitev ene števke z drugo. Razmislite o medsebojnem vplivu števil 5 (logika) in 9 (spomin) drug na drugega. Preden opredelimo
Iz knjige Kaj lahko izveste o človeku po datumu rojstva in imenu avtor Zyurnyaeva TamaraImenik. Pomen številk To je moč značaja, jang energija človeka, njegovo sonce. Prisotnost enot v matriki določa namenskost osebe, njegovo samospoštovanje, njegove vodstvene lastnosti, stopnjo njegove
Iz knjige Matematika za mistike. Skrivnosti svete geometrije avtorja Chesso RennaŠtevilčna magija ali matematika? Že od antičnih časov so se ljudje obračali na številke in jim pripisovali sveti pomen. Razvozlati skrivnost števila je pomenilo razvozlati skrivnost življenja. Že starogrški modrec Pitagora je verjel, da vse na svetu spoznamo s številkami.
Iz knjige modrosti. Vse v eni knjigi. Izpolnite vsako željo avtor Levin PetrPoglavje #5 Magični kvadrati Imenujemo jih magični kvadrati ali planetarni kvadrati. Ali pečati, kameje, mize. Tako kot mnoga druga čarobna orodja so v različnih sistemih znana pod različnimi imeni, a ne glede na to, kako se imenujejo, izvirajo iz
Iz knjige Številčna rojstna koda in njen vpliv na usodo. kako izračunati srečo avtor Mikheeva Irina Firsovna Iz knjige O čarovniji je smešno, o čarovniji je resno avtor Kartavcev VladislavEnergija števil Da bi ugotovili pomen genetskega števila rojstnega dne, je treba najprej ugotoviti pomen samega števila, njegov status in energijsko vsebino. Po konceptih našega vsakdanjega življenja »teža« vsake številčne vrednosti raste z večanjem vrednosti same.
Iz knjige Testiranje s Chaturango avtor Šorin AleksanderZnačilnosti števil Številka 1 - rdeča. Točka realnosti, osnova, jedro celotne digitalne nadgradnje, ki določa vrsto tega ali onega toka energije. Namen števila 1 je določiti pomen, pomembnost in težo nastale realnosti. Torej v poslovnem svetu naprej
Iz avtorjeve knjige"Magic Proof" ali "Proof of Magic" "Slaba oseba si!" Ali: "On je slab človek" Ali: "On je dober človek!" Ali: "Ti si dobra oseba!" Izberi! Kaj vam je ljubše? Ali ni smešno gledati "ritual Zulu pleše dalje."
Iz avtorjeve knjige5.2. Čarobni kvadrati v Chaturangi. Chaturanga kot vedeževanje 5.2.1 O magiji števil. Kaj so magični kvadrati O magiji števil je mogoče povedati veliko. Kot primer smo že na začetku te študije omenili številko 4. Na ta način je mogoče veliko povedati o katerem koli
Iz avtorjeve knjige5.2.2. Čarobni kvadrati v Chaturangi 5.2.2.1 Čarobnost nemagičnega kvadrata Nenavadno je, da ima lahko najpreprostejši (nemagični) kvadrat 5x5, kjer gredo številke ena za drugo - od 1 do 25, tudi nenavadne lastnosti. Torej, v tem preprostem kvadratu je vsota "slonovega križa"
Čarobno, oz čarobni kvadrat- kvadratna miza n × n (\displaystyle n\krat n), napolnjena z različnimi številkami tako, da je vsota številk v vsaki vrstici, vsakem stolpcu in na obeh diagonalah enaka. Če so vsote števil v kvadratu enake samo v vrsticah in stolpcih, se imenuje napol magično. normalno se imenuje magični kvadrat, napolnjen z naravnimi števili iz 1 (\displaystyle 1) prej n 2 (\displaystyle n^(2)). Čarobni kvadrat se imenuje asociativno oz simetrično, če je vsota katerih koli dveh števil, ki se nahajata simetrično glede na središče kvadrata, enaka n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Običajni magični kvadrati obstajajo za vsa naročila n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), z izjemo n = 2 (\displaystyle n=2), čeprav primer n = 1 (\displaystyle n=1) trivialno - kvadrat je sestavljen iz ene številke. Minimalni netrivialni primer je prikazan spodaj, ima red 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Vsota števil v vsaki vrstici, stolpcu in diagonali se imenuje magična konstanta, M. Magična konstanta običajnega magičnega kvadrata je odvisna samo od n in je določena s formulo
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\displaystyle M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Zakaj je tako |
|
|---|---|
Naj bo kvadrat s stranico n. (\displaystyle št.) Potem bo imelo n 2 (\displaystyle n^(2))številke. Na eni strani vsota števil S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1) . (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) Po drugi strani, S = n M . (\displaystyle S=nM.) Z enačenjem dobimo želeno formulo. |
|
Prve vrednosti magičnih konstant so podane v naslednji tabeli (zaporedje A006003 v OEIS):
| naročilo n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Enciklopedični YouTube
1 / 5
✪ Čarobni kvadrat - zabavni trik
✪ Parkerjev trg
✪ Page 35 Terenska naloga (prvi kvadrat) - Matematika 3. razred Moreau - Učbenik 1. del
✪ Magični kvadrat - nova metoda
✪ Čarobni kvadrati. Odprta lekcija.
Podnapisi
Zgodovinsko pomembni magični kvadrati
Trg Lo Shu
Čarobni trg Yang Hui (Kitajska)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Trg Albrechta Dürerja
Magični kvadrat 4 × 4, upodobljen na Albrecht Dürerjevi gravuri "Melanholija I", velja za najzgodnejšega v evropski umetnosti. Dve srednji številki v spodnji vrstici označujeta datum, ko je bila gravura ustvarjena ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Vsota števil na kateri koli horizontali, vertikali in diagonali je 34. Ta vsota se pojavi tudi v vseh kotnih kvadratih 2×2, v osrednjem kvadratu (10+11+6+7), v kvadratu kotnih celic (16+ 13+4+1 ), v poljih, zgrajenih s "konjsko potezo" (2+12+15+5 in 3+8+14+9), v ogliščih pravokotnikov, vzporednih z diagonalami (2+8+ 15+9 in 3+12+14+5 ), v pravokotnike, ki jih tvorijo pari srednjih celic na nasprotnih straneh (3+2+15+14 in 5+8+9+12). Večina dodatnih simetrij je posledica dejstva, da je vsota katerih koli dveh centralno simetričnih števil enaka 17.
Kvadrati Henryja E. Dudeneyja in Allana W. Johnsona Jr.
Če v kvadratno matriko n × n ni vnesena strogo naravna vrsta števil, potem je ta čarobni kvadrat - nekonvencionalen. Spodaj sta dva taka čarobna kvadrata, napolnjena s praštevili (čeprav 1 v sodobni teoriji števil ne velja za praštevilo). Prvi je na vrsti n=3(trg Dyudeni); drugič (velikost 4x4) je Johnsonov kvadrat. Oba sta bila razvita v začetku dvajsetega stoletja:
|
|
Obstaja še več podobnih primerov:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Zadnji kvadrat, ki ga je leta 1913 zgradil J. N. Munsey, je izjemen po tem, da je sestavljen iz 143 zaporednih praštevil, z izjemo dveh točk: vključena je enota, ki ni praštevilo, in edino sodo praštevilo 2 je se ne uporablja.
Kvadrati z dodatnimi lastnostmi
Hudičev magični trg
hudičev trg oz pandiagonalni kvadrat- magični kvadrat, pri katerem vsote števil po lomljenih diagonalah (diagonalah, ki nastanejo, ko kvadrat zložimo v torus) v obeh smereh prav tako sovpadajo z magično konstanto.
Obstaja 48 hudičevih kvadratov 4x4 do vrtenja in refleksije. Če upoštevamo še simetrijo glede na torične vzporedne translacije, potem ostanejo samo 3 bistveno različni kvadrati:
|
|
|
Pandiagonalni kvadrati obstajajo za lihi vrstni red n>3, za vsak dvojni paritetni vrstni red n=4k (k=1,2,3…) in ne obstajajo za enojni paritetni vrstni red n = 4k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1, 2, 3, … (\displaystyle k=1,2,3,\pike)).
Pandiagonalni kvadrati četrtega reda imajo številne dodatne lastnosti, zaradi katerih jih imenujemo predan. Popolni kvadrati lihega reda ne obstajajo. Med pandiagonalnimi kvadrati dvojne paritete nad 4 so popolni.
Pandiagonalnih kvadratov petega reda je 3600. Ob upoštevanju toričnih vzporednih translacij je 144 različnih pandiagonalnih kvadratov. Eden od njih je prikazan spodaj.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Če je pandiagonalni kvadrat tudi asociativen, se imenuje idealno. Primer popolnega magičnega kvadrata:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Znano je, da popolnih magičnih kvadratov reda ni n = 4k+2 in kvadrat reda n=4. Hkrati pa obstajajo popolni kvadrati reda n=8. Z uporabo metode konstruiranja sestavljenih kvadratov je mogoče na podlagi danega kvadrata osmega reda sestaviti idealne kvadrate reda n=8k, k=5,7,9… in red n = 8^p, p=2,3,4… Leta 2008 kombinatorična metoda za konstruiranje popolnih kvadratov reda n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Konstrukcija magičnih kvadratov
Terasna metoda
Opisal Yu. V. Chebrakov v Teoriji magičnih matric.
Za dano liho n narišite kvadratno tabelo n x n. Na to mizo bomo na vseh štirih straneh pritrdili terase (piramide). Kot rezultat dobimo stopničasto simetrično figuro.
|
Začenši od levega vrha stopničaste figure, zapolnite njene diagonalne vrstice z zaporednimi naravnimi števili od 1 do N 2 (\displaystyle N^(2)).
Zatem, da dobimo klasično matriko N-tega reda, se števila v terasah postavijo na tista mesta tabele NxN, kjer bi bila, če bi jih premikali skupaj s terasami, dokler osnove teras ne mejijo na nasprotni strani mize.
|
|
Poleg tega je ta metoda resnična tudi, če je treba čarobni kvadrat sestaviti ne iz števil od 1 do N, ampak tudi od K do N, kjer je 1<= K< N.
Drugi načini
Pravila za sestavo magičnih kvadratov spadajo v tri kategorije, odvisno od tega, ali je vrstni red kvadrata lih, enak dvakratnemu lihemu številu ali enak štirikratnemu lihemu številu. Splošna metoda za konstrukcijo vseh kvadratov ni znana, čeprav se široko uporabljajo različne sheme. Poiščite vse magične kvadrate reda n (\displaystyle n) uspe samo za n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), zato so zelo zanimivi posebni postopki za sestavo magičnih kvadratov za n > 4 (\displaystyle n>4). Najenostavnejša konstrukcija je za magični kvadrat neparnega reda. Potrebujete celico s koordinatami (i , j) (\displaystyle (i,j))(kje i (\displaystyle i) in j (\displaystyle j) spremenite od 1 do n (\displaystyle n)) vnesite številko
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Še lažje je zgraditi konstrukcijo na naslednji način. Vzame se matrika n x n. V njej je vgrajen stopničast romb. V njej so celice od leve navzgor po diagonalah zapolnjene z zaporedno vrsto lihih števil. Določena je vrednost osrednje celice C. Potem bodo vrednosti v vogalih čarobnega kvadrata naslednje: zgornja desna celica C-1 ; spodnja leva celica C+1 ; spodnja desna celica C-n; zgornja leva celica C+n. Polnjenje praznih celic v stopničastih vogalnih trikotnikih poteka v skladu s preprostimi pravili: 1) v vrsticah se številke povečujejo od leve proti desni v korakih po n + 1; 2) v stolpcih od zgoraj navzdol se številke povečujejo s korakom n-1.
Razviti so bili tudi algoritmi za konstruiranje pandiagonalnih kvadratov in idealnih magičnih kvadratov 9x9. Ti rezultati omogočajo konstruiranje idealnih magičnih kvadratov naročil n = 9 (2k + 1) (\displaystyle n=9(2k+1)) za k = 0, 1, 2, 3, … (\displaystyle k=0,1,2,3,\pike). Obstajajo tudi splošne metode za urejanje popolnih magičnih kvadratov lihega reda n > 3 (\displaystyle n>3). Metode za konstruiranje idealnih magičnih kvadratov reda n=8k, k=1,2,3… in popolni magični kvadrati. Pandiagonalni in idealni kvadrati sodo-neparnega reda se lahko kombinirajo le, če niso tradicionalni. Kljub temu je mogoče najti skoraj pandiagonalne kvadrate, posebno skupino idealno popolnih magičnih kvadratov (tradicionalnih in netradicionalnih).
Primeri kompleksnejših kvadratov
Magični kvadrati lihega reda in reda dvojne paritete so bili metodično strogo obdelani. Formalizacija kvadratov reda enojne paritete je veliko težja, kar ponazarjajo naslednje sheme:
|
|
|
Obstaja na desetine drugih metod za sestavljanje čarobnih kvadratov.
V starih časih so veliki znanstveniki števila smatrali za osnovo bistva sveta. Magični kvadrat, katerega skrivnost je, da je vsota števil v nastalem kvadratu v vsaki horizontali, v vsaki vertikali in v vsaki diagonali enaka, nosi to esenco.
Toda popoln opis čarobnih kvadratov še ne obstaja.
Čarobni kvadrat Pitagore, ki "privlači" energijo bogastva, je sestavil ustanovitelj
Veliki znanstvenik, ki je utemeljil versko-filozofsko doktrino in razglasil kvantitativna razmerja za osnovo stvari, je verjel, da je bistvo osebe v datumu rojstva osebe.
Če vemo, kako deluje čarobni kvadrat, ne moremo samo ugotoviti značajskih lastnosti osebe, njegovega zdravstvenega stanja, njegovih intelektualnih in ustvarjalnih sposobnosti, temveč tudi sestaviti program za njegovo izboljšanje in razvoj. Številke, ki so na poseben način zapisane v kvadratu, pritegnejo ne le bogastvo, ampak tudi potrebne energijske tokove za človeka. Na primer, Paracelsus je svoj kvadrat upodobil kot talisman zdravja. Števila tvorijo tri vrste, to pomeni, da je v kvadratu devet števil. Če želite določiti svojo numerološko kodo, morate izračunati teh devet števil.
Kako deluje čarobni kvadrat?
Prvo vodoravno vrstico kvadrata tvorijo številke: dan, mesec in leto rojstva osebe. Na primer, datum rojstva osebe ustreza 09.08.1971. Potem bo prva številka v kvadratu 9, ki je zapisana v prvi celici. Druga številka je številka meseca, to je 8.
Hkrati je vredno biti pozoren, če mesec rojstva osebe ustreza decembru, to je številu 12, potem ga je treba torej z dodatkom pretvoriti v preprosto število 3. Tretja številka ustreza številu leta. Da bi to naredili, je treba 1971 razstaviti na sestavljena števila in izračunati njihov skupni znesek, ki je enak 18, in dodatno poenostaviti 1 + 8 = 9. Izpolnimo zgornje vodoravno polje kvadrata z dobljenimi številkami: 9,8,9.
V drugi vrstici kvadrata so zapisane številke, ki ustrezajo imenu, patronimu in priimku osebe po numerologiji. Vsaka črka ima svojo številčno vrednost. Številke lahko dobite iz korespondenčne tabele črk in številk z numerologijo. Nato morate sešteti številke imena, očeta in priimka ter jih pripeljati do preprostih vrednosti.
Druga vrstica kvadrata je napolnjena z dobljenimi številkami. Četrta številka ustreza številki imena, peta - očetu in šesta - priimku. Sedaj imamo drugo črto energetskega kvadrata.
Nadaljnji princip delovanja magičnega kvadrata temelji na astrologiji.
Sedma številka ustreza številu znaka zodiaka osebe. Oven je prvi znak pod številko 1, nato pa po znaku Ribi - 12. Pri izpolnjevanju tretje vrstice kvadrata dvomestnih števil ne smemo zmanjšati na praštevila, vsa imajo svoj pomen.
Osma številka je številka znaka v skladu z. To pomeni, da je v naši različici 1971 leto merjasca.
Deveta številka predstavlja numerološko kodo človekove želje. Na primer, oseba si prizadeva imeti odlično zdravje, zato morate najti številke, ki ustrezajo črkam v tej besedi. Rezultat je 49, ki se nato poenostavi s seštevanjem na 4. Števil od 10 do 12, tako kot v primeru horoskopskega znaka osebe, ni treba zmanjševati. Zdaj, ko veste, kako deluje čarobni kvadrat, ga lahko preprosto sestavite in nosite s seboj kot talisman ali pa ga okrasite kot sliko in obesite doma.
