Magični kvadrat 4 številk. Čarobni kvadrati (3) - Dokument. Kaj je ta uganka

Domov > Dokument

ČAROBNI KVADRAT

Magični ali magični kvadrat je kvadratna tabela, ki je zapolnjena s števili tako, da je vsota števil v vsaki vrstici, vsakem stolpcu in obeh diagonalah enaka.

Vsota števil v vsaki vrstici, stolpcu in diagonali se imenuje magična konstanta, M.

Najmanjša magična konstanta magičnega kvadrata 3x3 je 15, kvadrata 4x4 je 34, kvadrata 5x5 je 65,

Če so vsote števil v kvadratu enake le v vrsticah in stolpcih, se to imenuje polmagija.

Sestavljanje čarobnega kvadrata 3 x 3 z najmanjšim

čarobna konstanta

Poiščite najmanjšo magično konstanto magičnega kvadrata 3x3

1 način

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Na sredini napisano število je 15 : 3 = 5

Ugotovili smo, da je na sredini napisana številka 5.

kjer je n število vrstic

Če lahko sestavite en čarobni kvadrat, potem jih ni težko sestaviti poljubno število. Zato se spomnite gradbenih tehnik

Magični kvadrat 3x3 s konstanto 15.

1 način Gradnja. Najprej postavite soda števila v kote

2, 4, 8, 6 in na sredini 5. Preostali del postopka je preprosta aritmetika.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 način rešitve

Z uporabo najdenega čarobnega kvadrata s konstanto 15 lahko nastavite veliko različnih nalog:

Primer. Zgradite nove različne čarobne kvadrate 3 x 3

rešitev.

Če dodamo vsako številko magičnega kvadrata ali jo pomnožimo z istim številom, dobimo nov magični kvadrat.

Primer 1 Sestavite čarobni kvadrat 3 x 3, katerega sredinsko število je 13.

rešitev.

Zgradimo znano čarovnijo

kvadrat s konstanto 15.

Poiščite številko, ki je v

sredino želenega kvadrata

13 – 5 = 8.

Za vsako čarobno številko

dodajte 8 kvadratov.

Primer 2 Napolnite kletke magije

kvadratov, poznavanje magične konstante.

rešitev. Poiščimo številko

zapisano v sredini 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

naloge za samostojno reševanje

Primeri. 1. Napolnite celice čarobnih kvadratov z magijo

konstanta M =15.

1) 2) 3)

2. Poiščite magično konstanto magičnih kvadratov.

1) 2) 3)

3. Izpolnite celice magičnih kvadratov, pri čemer poznate magično konstanto

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Konstruirajte magični kvadrat 3x3, vedoč, da je magična konstanta

je enako 21.

rešitev. Spomnimo se, kako je zgrajen magični kvadrat 3x3 glede na najmanjšega

konstanta 15. V skrajnih poljih so zapisana soda števila

2, 4, 6, 8, na sredini pa številka 5 (15 : 3).

Glede na pogoj je treba zgraditi kvadrat glede na magično konstanto

21. V središču želenega kvadrata naj bo številka 7 (21 : 3).

Poiščimo, koliko več vsak člen želenega kvadrata

vsak člen z najmanjšo magično konstanto 7 - 5 = 2.

Gradimo želeni čarobni kvadrat:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Sestavi magične kvadrate 3x3, poznaj njihove magične konstante

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Sestavljanje čarobnega kvadrata 4 x 4 z najmanjšim

čarobna konstanta

Poiščite najmanjšo magično konstanto magičnega kvadrata 4x4

in številko, ki se nahaja na sredini tega kvadrata.

1 način

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

kjer je n število vrstic n = 4.

Vsota števil na kateri koli horizontali,

navpično in diagonalno je 34.

Ta količina se pojavlja tudi pri vseh

kotni kvadrati 2×2, v osrednjem

na kvadrat (10+11+6+7), na kvadrat od

kotne celice (16+13+4+1).

Če želite zgraditi kateri koli čarobni kvadrat 4x4, morate: zgraditi enega

s konstanto 34.

Primer. Zgradite nove različne čarobne kvadrate 4 x 4.

rešitev.

Seštevanje vsakega najdenega števila

magični kvadrat 4 x 4 oz

pomnožimo z istim številom,

dobite nov čarobni kvadrat.

Primer. Zgradite čarobno

kvadrat 4 x 4, ki ima čar

konstanta je 46.

rešitev. Zgrajena znana čarobna

kvadrat s konstanto 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Na vsako številko magičnega kvadrata

dodamo 3.

Preden nadaljujete z reševanjem zahtevnejših primerov na magičnih kvadratih 4 x 4, ponovno preverite lastnosti, ki jih ima, če je M = 34.

Primeri. 1. Napolnite celice čarobnega kvadrata z magijo

konstanta M =38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e = 38- (12 + 7 + 8) = 11 p = 38- (17 + 6 + 10) = 5 c = 38- (3 + 12 + 8) = 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

lastnost 1,3,1 lastnosti 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

lastnosti 1,1,1,1

Odgovori.

Naloge za samostojno reševanje

Izpolnite celice čarobnega kvadrata s če je čarovnija znana

konstantna

K = 46 K = 58 K = 62

Spoznajte čarobna kvadrata 5x5 in 6x6

Obstaja več različnih klasifikacij magičnih kvadratov.

peti red, zasnovan tako, da jih nekako sistematizira. V knjigi

Martin Gardner [GM90, str. 244-345] opisuje eno od teh metod -

glede na številko v osrednjem kvadratu. Metoda je radovedna, a nič več.

Koliko kvadratov šestega reda obstaja, še ni znano, vendar jih je približno 1,77 x 1019. Številka je ogromna, zato ni upanja, da bi jih prešteli z izčrpnim iskanjem, a nihče ni mogel najti formule za izračun magičnih kvadratov.

Kako narediti čarobni kvadrat?

Obstaja veliko načinov za izdelavo čarobnih kvadratov. Najlažji način za izdelavo čarobnih kvadratov čuden vrstni red. Uporabili bomo metodo, ki jo je predlagal francoski znanstvenik iz 17. stoletja A. de la Louber (De La Loubère). Temelji na petih pravilih, katerih delovanje bomo obravnavali na najpreprostejšem magičnem kvadratu 3 x 3 celice.

Pravilo 1. V srednji stolpec prve vrstice vnesite 1 (slika 5.7).

riž. 5.7. Prva številka

Pravilo 2. Naslednjo številko, če je mogoče, postavite v celico, ki meji na trenutno, diagonalno desno in zgoraj (slika 5.8).

riž. 5.8. Poskušam postaviti drugo številko

Pravilo 3. Če nova celica presega zgornji kvadrat, zapišite številko v čisto spodnjo vrstico in v naslednji stolpec (slika 5.9).

riž. 5.9. Postavili smo drugo številko

Pravilo 4. Če celica presega kvadrat na desni, zapišite številko v prvi stolpec in v prejšnjo vrstico (slika 5.10).

riž. 5.10. Postavili smo tretjo številko

Pravilo 5. Če je celica že zasedena, zapišite naslednjo številko pod trenutno celico (slika 5.11).

riž. 5.11. Postavili smo četrto številko

riž. 5.12. Postavili smo peto in šesto številko

Ponovno sledite pravilom 3, 4, 5, dokler ne dokončate celotnega kvadrata (sl.

Ali ni res, pravila so zelo preprosta in jasna, vendar je še vedno precej dolgočasno razporediti celo 9 številk. Če pa poznamo algoritem za sestavo magičnih kvadratov, lahko računalniku zlahka zaupamo vsa rutinska dela, sebi pa pustimo samo ustvarjalno delo, to je pisanje programa.

riž. 5.13. Izpolnite kvadratek z naslednjimi številkami

Projekt Čarobni kvadrati (Magic)

Nabor polj za program magični kvadratičisto očitno:

// PROGRAM ZA GENERACIJO

// ČAROBNI ČAROBNI KVADRAT

// PO METODI DE LA LOUBERTA

javni delni razred Form1 : Form

//Maks. kvadratne mere: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // kvadratni vrstni red int [,] mq; // magični kvadrat

int število=0; // trenutno število na kvadrat

intcol=0; // trenutni stolpec int row=0; // trenutna vrstica

Metoda de la Louber je primerna za izdelavo lihih kvadratov poljubne velikosti, tako da lahko uporabniku prepustimo izbiro vrstnega reda kvadrata, svobodo izbire pa razumno omejimo na 27 celic.

Ko uporabnik pritisne želeni gumb btnGen Generate! , metoda btnGen_Click ustvari matriko za shranjevanje števil in jo preide v metodo generiranja:

// PRITISNITE GUMB "GENERIRAJ".

zasebni void btnGen_Click(pošiljatelj predmeta, EventArgs e)

//vrstni red kvadrata:

n = (int)udNum.Value;

//ustvari matriko:

mq = novo int;

//generiraj magični kvadrat: generiraj();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Tukaj začnemo delovati v skladu s pravili de la Louberja in zapišemo prvo številko - ena - v srednjo celico prve vrstice kvadrata (ali niza, če želite):

//Generiraj čarobni kvadrat void generate()(

//prva številka: število=1;

//stolpec za prvo številko - sredina: col = n / 2 + 1;

//vrstica za prvo številko - prva: vrstica=1;

//kvadrat: mq= število;

Zdaj zaporedno dodamo preostale celice v celice - od dveh do n * n:

// premakni se na naslednjo številko:

Za vsak slučaj si zapomnimo koordinate dejanske celice

int tc=col; int tr = vrstica;

in se premaknite na naslednjo celico diagonalno:

Preverimo izvajanje tretjega pravila:

če (vrstica< 1) row= n;

In potem četrti:

if (col > n) (col=1;

goto rule3;

In petič:

if (mq != 0) ( col=tc;

vrstica=tr+1; goto rule3;

Kako vemo, da je v celici kvadrata že številka? - Zelo preprosto: v vse celice smo preudarno zapisali ničle, številke v končnem kvadratu pa so večje od nič. Torej bomo po vrednosti elementa matrike takoj ugotovili, ali je celica prazna ali že ima številko! Upoštevajte, da tukaj potrebujemo tiste koordinate celice, ki smo si jih zapomnili, preden iščemo celico za naslednjo številko.

Prej ali slej bomo našli primerno celico za številko in jo zapisali v ustrezno celico polja:

//kvadrat: mq = število;

Poskusite drugače organizirati preverjanje dopustnosti prehoda v

vau celica!

Če je bila ta številka zadnja, potem je program izpolnil svoje obveznosti, sicer pa celici prostovoljno zagotovi naslednjo številko:

//če niso nastavljene vse številke, potem če (število< n*n)

//pojdi na naslednjo številko: goto nextNumber;

In zdaj je kvadrat pripravljen! Izračunamo njegovo magično vsoto in jo izpišemo na ekran:

) //generiraj()

Izpis elementov matrike je zelo preprost, vendar je pomembno upoštevati poravnavo števil različnih "dolžin", saj so v kvadratu lahko eno-, dvo- in trimestna števila:

//Natisni čarobni kvadrat void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Barva .Črna;

niz s = "Magična vsota = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// izpis magičnega kvadrata: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

za (int j= 1; j<= n; ++j){

če (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Zaženemo program - kvadratki so hitro pridobljeni in paša za oči (sl.

riž. 5.14. Prav kvadrat!

V knjigi S. Goodman, S. Hidetniemi Uvod v razvoj in analizo algoritmov

mov , na straneh 297-299 bomo našli enak algoritem, vendar v "pomanjšani" predstavitvi. Ni tako "transparenten" kot naša različica, vendar deluje pravilno.

Dodajte gumb btnGen2 Generate 2! in zapišite algoritem v jeziku

C-ostro do metode btnGen2_Click:

//Algoritem ODDMS

zasebni void btnGen2_Click(pošiljatelj objekta, EventArgs e)

//vrstni red kvadrata: n = (int )udNum.Value;

//ustvari matriko:

mq = novo int;

//generiraj magični kvadrat: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

za (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; če (i % n == 0)

if (vrstica == 1) vrstica = n;

if (col == n) col = 1;

//kvadrat dokončan: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Kliknemo na gumb in se prepričamo, da so ustvarjeni »naši« kvadrati (sl.

riž. 5.15. Stari algoritem v novi preobleki

Mestna izobraževalna ustanova "Gimnazija št. 41"

magični kvadrati

Nadzornik: ,

učiteljica matematike

Novouralsk, 2012

Uvod 3

1. Splošne informacije o magičnih kvadratih 4

1.1. Koncept magičnega kvadrata 4

1.2. Iz zgodovine magičnih kvadratov 4

1.3. Vrste čarobnih kvadratov 6

2. Reševanje magičnih kvadratov 6

2.1. Reševanje magičnih kvadratov (metoda Bachet de Mezirac) 7

2.2. Izjava o problemu 8

2.3. Algoritem za reševanje magičnih kvadratov 8

2.4. Dokaz algoritma (v algebraični obliki) 9

2.5. Primer reševanja magičnega kvadrata z algoritmom 10

3. Uporaba čarobnih kvadratov 11

3.1. Različni primeri posploševanja magičnih kvadratov 11

3.2. Uporaba latinskih kvadratov 12

4. Splošne ugotovitve 13

5. Sklep 14

6. Literatura 15

Priloga 1

Dodatek 2

Priloga 3

Uvod

Pri pouku matematičnega krožka smo naleteli na težave, povezane z izpolnjevanjem celic kvadrata po posebnih pravilih. Predlagane številke je bilo treba vnesti tako, da rezultat izpolnjuje več pogojev hkrati:

Če seštejete vsa števila v vsaki vrstici,

Če seštejete vsa števila v vsakem stolpcu,

Če seštejete vsa števila v dveh diagonalah,

potem bodo vse te vsote enake istemu številu.

Kljub temu, da so se naloge razlikovale po začetnih številih, vrstnem redu števil, podani vsoti, so bile vse podobne, rešitve pa istovrstne.

Pojavila se je ideja ne le za rešitev vsake naloge, ampak tudi za oblikovanje splošnega algoritma rešitve, pa tudi za iskanje zgodovinskih informacij o problemih te vrste v literaturi.

Izkazalo se je, da se figure, ki nas zanimajo, imenujejo magični kvadrati, znani že od antičnih časov. O njih bo govora v delu.

Cilj: sistematizirati informacije o čarobnih kvadratih, razviti algoritem za njihovo reševanje.

Naloge:

1. Preučite zgodovino nastanka čarobnih kvadratov.

2. Prepoznajte vrste magičnih kvadratov.

3. Naučite se reševati čarobne kvadrate.

4. Razvijte in dokažite svoj algoritem rešitve.

5. Ugotovite uporabo magičnih kvadratov.

1. Splošne informacije o magičnih kvadratih

1.1. Koncept magičnega kvadrata

Magični kvadrati so še danes zelo priljubljeni. To so kvadrati, v vsako celico katerih so vpisana števila, tako da so vsote števil vzdolž katere koli horizontale, katere koli navpičnice in katere koli diagonale enake. Najbolj znan je čarobni kvadrat, upodobljen na gravuri nemškega umetnika A. Dürerja "Melanholija" (Priloga 1).

1.2. Iz zgodovine magičnih kvadratov

Številke so tako močno vstopile v življenje človeka, da so jim začeli pripisovati vse vrste magičnih lastnosti. Že pred nekaj tisoč leti so se v starodavni Kitajski navdušili nad risanjem magičnih kvadratov. Med arheološkimi izkopavanji na Kitajskem in v Indiji so našli kvadratne amulete. Kvadrat je bil razdeljen na devet majhnih kvadratov, v vsakem od njih pa so bile zapisane številke od 1 do 9. Zanimivo je, da so bile vsote vseh števil v kateri koli navpičnici, vodoravnici in diagonali enake istemu številu 15 (slika 1).

Slika 1.

Magični kvadrati so bili zelo priljubljeni v srednjem veku. Eden od čarobnih kvadratov je upodobljen na gravuri slavnega nemškega umetnika Albrechta Dürerja "Melanholija". V 16 celicah kvadrata so številke od 1 do 16, vsota števil v vseh smereh pa je 34. Zanimivo je, da dve številki na sredini spodnje vrstice označujeta leto nastanka slike - 1514. Pridobivanje magični kvadrati so bili priljubljena zabava med matematiki, nastali so ogromni kvadrati, na primer 43x43, ki so vsebovali števila od 1 do 1849, poleg navedenih lastnosti magičnih kvadratov pa imajo tudi številne dodatne lastnosti. Razviti so bili načini za sestavo čarobnih kvadratov katere koli velikosti, vendar doslej ni bila najdena formula, po kateri bi lahko našli število magičnih kvadratov določene velikosti. Znano je in to zlahka pokažeš tudi sam, da magičnih kvadratov 2x2 ni, obstaja natanko en magični kvadrat 3x3, ostali taki kvadrati so iz njega pridobljeni z rotacijami in simetrijami. Magičnih kvadratov 4x4 je že 800, število kvadratov 5x5 pa se bliža četrt milijona.

1.3. Vrste magičnih kvadratov

Čarobno(čarobni kvadrat) n 2 števili tako, da je vsota števil v vsaki vrstici, vsakem stolpcu in obeh diagonalah enaka.

polmagični kvadrat je nxn kvadratna miza, napolnjena z n 2 števili tako, da sta vsoti števil enaki samo v vrsticah in stolpcih.

normalno je magični kvadrat, napolnjen s celimi števili od 1 do n 2.

Asociativno (simetrično) - magični kvadrat, v katerem je vsota poljubnih dveh števil, ki se nahajata simetrično glede na središče kvadrata, enaka n 2 + 1.

Hudičev (pandiagonalni) magični kvadrat- magični kvadrat, pri katerem vsote števil po lomljenih diagonalah (diagonalah, ki nastanejo, ko kvadrat zložimo v torus) v obeh smereh prav tako sovpadajo z magično konstanto.

Na voljo je 48 hudičevih čarobnih kvadratov 4x4, ki so natančni glede vrtenja in odseva. Če upoštevamo še njihovo dodatno simetrijo - torične paralelne translacije, ostanejo samo 3 bistveno različni kvadrati (slika 2).

Slika 2.

Pandiagonalni kvadrati četrtega reda imajo številne dodatne lastnosti, zaradi katerih jih imenujemo predan. Popolni kvadrati lihega reda ne obstajajo. Med pandiagonalnimi kvadrati dvojne paritete nad 4 so popolni.

Pandiagonalnih kvadratov petega reda je 3600. Ob upoštevanju toričnih vzporednih translacij je 144 različnih pandiagonalnih kvadratov.

2.Rešitev magičnih kvadratov

2.1 Rešitev magičnih kvadratov (metoda Bacher de Mezirac)

Pravila za sestavo magičnih kvadratov spadajo v tri kategorije, odvisno od tega, ali je vrstni red kvadrata lih, enak dvakratnemu lihemu številu ali enak štirikratnemu lihemu številu. Splošna metoda za konstrukcijo vseh kvadratov ni znana, čeprav se široko uporabljajo različne sheme. Vse magične kvadrate reda n je mogoče najti samo za n ≤ 4.

Za reševanje običajnih magičnih kvadratov poljubno velike velikosti uporabljamo metodo, ki jo je leta 1612 opisal francoski matematik Claude Bachet de Mezirac. Ruski prevod njegove knjige je izšel leta 1877 v Sankt Peterburgu pod naslovom "Igre in problemi, ki temeljijo na matematiki".

Na kvadratnem papirju je priročno zgraditi čarobni kvadrat. Naj bo n liho število in zgraditi morate kvadrat nxn s številkami od 1 do n2, delamo korak za korakom.

1. Vsa števila od 1 do n2 zapišemo v celice diagonalno (n številk v vrsti), da tvorimo diagonalni kvadrat.

2. Izberite nxn kvadrat v njegovem središču. To je osnova (vse celice še niso zapolnjene) bodočega čarobnega kvadrata.

3. Vsak numerični "vogal", ki se nahaja zunaj osrednjega kvadrata, se previdno prenese navznoter - na nasprotno stran kvadrata. Številke teh vogalov naj zapolnijo vse prazne celice. Čarobni kvadrat je zgrajen.

Dajmo primer polnjenja kvadrata 3x3 s številkami od 1 do 9. Če želite to narediti, kvadratu dodajte dodatne celice, da dobite diagonale. Najprej izpolnite diagonalne celice s številkami od 1 do 9 (slika 3), nato "zložite vogale" v prazne celice kvadrata navznoter na nasprotno stran (slika 4).

Slika 3. Slika 4.

2.2. Oblikovanje problema.

Opišimo naš način reševanja magičnih kvadratov. Oglejmo si študijo matematičnega modela magičnih kvadratov 3x3.

Splošna formulacija problema.

Številk je devet. Razporediti jih je treba v celice kvadrata 3x3, tako da so vsote števil vzdolž katere koli navpične, vodoravne in diagonalne črte enake.

2.3. Algoritem magičnega kvadrata

Besedni opis algoritma

1. Razvrsti števila v naraščajočem vrstnem redu.

2. Poiščite osrednjo številko (peto po vrstnem redu).

3. Določite pare po pravilu: 1 par - prva številka in deveta,

2 para - druga številka in osma,

3 par - tretja številka in sedma,

4 par - četrta številka in šesta.

4. Ugotovite vsoto števil (S), ki naj bi jo dobili s seštevanjem števil vzdolž vsake navpičnice, vodoravnice, diagonale: seštejte najmanjše, osrednje, največje število, to je število 1 iz para z osrednjim številom.

5. Osrednjo številko postavite na sredino kvadrata.

6. Na sredinsko vodoravno (ali navpično) v proste celice vnesite prvi par številk.

7. Drugi par števil zapiši po poljubni diagonali (tako, da bo večje število prvega para v stolpcu z manjšim številom drugega para).

8. Izračunajte število, ki ga želite zapisati v enega od skrajnih stolpcev, po pravilu:

od S odštejte vsoto dveh števil, ki ju vsebujeta celici stolpca, dobite število.

9. Diagonalno na nastalo številko zapišite drugo številko njenega para.

10. Zadnji par števil vnesite v preostale celice po pravilu: večje število iz para vpišite v vrstico z manjšim, manjše število pa v preostalo prazno celico.

2.4. Dokaz o pravilnosti izpolnjevanja magičnega kvadrata

(Rešitev problema v splošni obliki)

Dokazali bomo, da bodo vsote števil, ki se nahajajo vzdolž navpičnic, vodoravnic in diagonal kvadrata kot rezultat algoritma, enake.

Naj se po naročilu vsako naslednje število razlikuje od prejšnjega za konstantno vrednost X. Izrazimo vsa števila z a1(najmanjše število) in X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Poiščimo vsoto S in jo izrazite s številkami a1 in X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Naj bo magični kvadrat zapolnjen po predlaganem algoritmu.

Dokažimo, da so vsote števil, ki se nahajajo vzdolž vodoravnice, navpičnice in diagonale kvadrata, enake S.

Navpično:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Vodoravno:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Diagonalno:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3a1 +12x=S

Enako smo prejeli. Trditev je dokazana.

Opomba.

Tako organizirana števila tvorijo aritmetično progresijo. V tem zaporedju (po urejenosti) je a1 prvi člen aritmetične progresije, x je razlika aritmetične progresije. Za števila, ki ne predstavljajo aritmetične progresije, algoritem ne deluje.

2.5. Primer reševanja magičnih kvadratov

Dane številke: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Izpolnite magični kvadrat z danimi številkami.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Dobil osrednjo številko 5.

3. Pari: 1 in 9, 2 in 8, 3 in 7, 4 in 6.

4.S=5+1+9= 15 - vsota.

8. 15-(9+2)=4

Ta algoritem se bistveno razlikuje od metode Bachet de Meziriac. Po eni strani zahteva dodatne izračune (slabost metode), po drugi strani pa naša metoda ne zahteva dodatnih konstrukcij (diagonalni kvadrat). Poleg tega je metoda uporabna ne samo za zaporedna naravna števila od 1 do 9, ampak tudi za poljubnih devet števil, ki so členi aritmetične progresije, v čemer vidimo njene prednosti. Poleg tega se samodejno določi magična konstanta - vsota števil vzdolž vsake diagonale, navpičnice, vodoravnice.

3. Uporaba magičnih kvadratov

3.1. Različni primeri posploševanja magičnih kvadratov

Problemi sestavljanja in opisovanja magičnih kvadratov so matematike zanimali že od antičnih časov. Popoln opis vseh mejnikov možnih magičnih kvadratov pa še do danes ni bil pridobljen. Ko se velikost (število celic) kvadrata povečuje, število možnih magičnih kvadratov hitro raste. Med velikimi kvadrati so kvadrati z zanimivimi lastnostmi. Na primer, v kvadratu na sliki št. 5 niso enake samo vsote števil v vrsticah, stolpcih in diagonalah, temveč tudi vsote petic vzdolž "lomljenih" diagonal, ki so na sliki povezane z barvnimi črtami.

Slika 5. Slika 6.

Latinski kvadrat je kvadrat n x n celic, v katerem so zapisana števila 1, 2, ..., n, poleg tega tako, da se vsa ta števila pojavljajo enkrat v vsaki vrstici in vsakem stolpcu. Na (slika 6) sta prikazana dva takšna latinska kvadrata 4x4. Imajo zanimivo lastnost: če je en kvadrat postavljen na drugega, se vsi pari nastalih števil izkažejo za različne. Takšni pari latinskih kvadratov se imenujejo ortogonalni. Nalogo iskanja pravokotnih latinskih kvadratov je prvi zastavil L. Euler in v tako zabavni formulaciji: »Med 36 častniki je enako suličarjev, dragonov, huzarjev, kirasirjev, konjenikov in grenadirjev, poleg tega pa enako generalov, polkovniki, majorji, stotniki, poročniki in podporočniki, vsak rod službe pa zastopajo častniki vseh šestih činov. Ali je mogoče te častnike razporediti v kvadrat 6x6 tako, da se častniki vseh činov srečajo v katerikoli koloni? (priloga 2).

L. Euler ni mogel najti rešitve tega problema. Leta 1901 je bilo dokazano, da taka rešitev ne obstaja.

3.2. Uporaba latinskih kvadratov

Magični in latinski kvadrati so bližnji sorodniki. Teorija latinskih kvadratov je našla številne aplikacije, tako v sami matematiki kot v njenih aplikacijah. Vzemimo primer. Recimo, da želimo na določenem območju preizkusiti produktivnost dveh sort pšenice in želimo upoštevati vpliv stopnje redkosti posevkov in vpliv dveh vrst gnojil. Da bi to naredili, kvadrat razdelimo na 16 enakih delov (slika 7). Prvo sorto pšenice bomo posadili na parcele, ki ustrezajo spodnjemu vodoravnemu pasu, naslednjo sorto bomo posadili na štiri parcele, ki ustrezajo naslednjemu pasu itd. (na sliki je sorta označena z barvo.)

Kmetijstvo" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">kmetijstvo, fizika, kemija in tehnologija.

4. Splošne ugotovitve

Med delom sem se seznanil z različnimi vrstami magičnih kvadratov, se naučil reševati običajne magične kvadrate po metodi Bachet de Mezirac. Ker se je naša rešitev magičnih kvadratov 3x3 razlikovala od navedene metode, vendar nam je vsakič omogočila pravilno zapolnitev celic kvadrata, se je pojavila želja po razvoju lastnega algoritma. Ta algoritem je podrobno opisan v delu, dokazan v algebraični obliki. Izkazalo se je, da ne velja samo za običajne kvadrate, ampak tudi za kvadrate 3x3, kjer števila tvorijo aritmetično progresijo. Uspelo nam je najti tudi primere uporabe magičnih in latinskih kvadratov.

Naučil sem se: rešiti nekaj magičnih kvadratov, razviti in opisati algoritme, dokazati izjave v algebraični obliki. Spoznala sem nove pojme: aritmetična progresija, magični kvadrat, magična konstanta, preučevala sem vrste kvadratov.

Na žalost niti moj razvit algoritem niti metoda Bacheta de Meziraca ne moreta rešiti čarobnih kvadratov 4x4. Zato sem želel nadalje razviti algoritem za reševanje takih kvadratov.

5. Zaključek

V tem delu so preučevali čarobne kvadrate, upoštevali zgodovino njihovega izvora. Določene so bile vrste magičnih kvadratov: magični ali magični kvadrat, polmagični kvadrat, normalni, asociativni, hudičev magični kvadrat, popolni.

Med obstoječimi metodami za njihovo reševanje je bila izbrana metoda Basche de Meziriac, ki je bila preizkušena na primerih. Poleg tega je za reševanje magičnih kvadratov 3x3 predlagan lasten algoritem rešitve, matematični dokaz pa je podan v algebrski obliki.

Predlagani algoritem se bistveno razlikuje od metode Bacher de Meziriac. Po eni strani zahteva dodatne izračune (slabost metode), po drugi strani pa niso potrebne dodatne konstrukcije. Metoda ni uporabna le za zaporedna naravna števila od 1 do 9, ampak tudi za poljubnih devet števil, ki so členi aritmetične progresije, v čemer vidimo njene prednosti. Poleg tega se samodejno določi magična konstanta - vsota števil vzdolž vsake diagonale, navpičnice, vodoravnice.

Prispevek predstavlja posplošitev magičnih kvadratov – latinskih kvadratov in opisuje njihovo praktično uporabo.

To delo se lahko uporablja pri pouku matematike kot dodatno gradivo, pa tudi pri pouku in pri individualnem delu z učenci.

6. Reference

1. Uganke sveta številk / Komp. - D .: Stalker, 1997.-448s.

2. Enciklopedični slovar mladega matematika / Komp. - M .: Pedagogika, 1989 - 352 str .: ilustr.

3. Enciklopedija za otroke. T11. Matematika / Pogl. izd. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: ilustr.

4. Poznam svet: Otroška enciklopedija: Matematika / Komp. - in drugi - M.: AST, 1996. - 480s.: ilustr.

ČAROBNI KVADRAT, kvadratna tabela celih števil, v kateri so vsote števil vzdolž katere koli vrstice, katerega koli stolpca in katere koli od dveh glavnih diagonal enake istemu številu.

Čarobni kvadrat je starokitajskega izvora. Po legendi je med vladavino cesarja Yuja (ok. 2200 pr. n. št.) iz voda Rumene reke na površje priplavala sveta želva, na oklepu katere so bili napisani skrivnostni hieroglifi (slika 1, a), ti znaki pa so znani kot lo-shu in so enakovredni magičnemu kvadratu, prikazanemu na sl. ena, b. V 11. stoletju so magične kvadrate spoznali v Indiji, nato pa še na Japonskem, kjer so v 16. st. Magični kvadrati so bili predmet obsežne literature. Evropejce je v 15. stoletju seznanil z magičnimi kvadrati. Bizantinski pisatelj E. Moskopoulos. Prvi kvadrat, ki ga je izumil Evropejec, je kvadrat A. Durerja (slika 2), upodobljen na njegovi slavni gravuri Melanholija 1. Datum gravure (1514) je označen s številkami v dveh osrednjih celicah spodnje vrstice. Magičnim kvadratom so pripisovali različne mistične lastnosti. V 16. stoletju Cornelius Heinrich Agrippa je zgradil kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. in 9. reda, ki so bili povezani z astrologijo 7 planetov. Veljalo je prepričanje, da magični kvadrat, vgraviran na srebro, varuje pred kugo. Še danes je med atributi evropskih vedeževalcev mogoče videti magične kvadrate.

V 19. in 20. stol zanimanje za magične kvadrate se je razvnelo z novo močjo. Začeli so jih raziskovati z metodami višje algebre in operacijskega računa.

Vsak element magičnega kvadrata se imenuje celica. Kvadrat, katerega stranica je n celice, vsebuje n 2 celici in se imenuje kvadrat n-th red. Večina magičnih kvadratov uporablja prvo n zaporedna naravna števila. vsota Sštevil v vsaki vrstici, vsakem stolpcu in na kateri koli diagonali se imenuje konstanta kvadrata in je enaka S = n(n 2 + 1)/2. To dokazal n i 3. Za kvadrat reda 3 S= 15, 4. red - S= 34, 5. red - S = 65.

Diagonali, ki potekata skozi središče kvadrata, imenujemo glavni diagonali. Lomljena črta je diagonala, ki se, ko doseže rob kvadrata, nadaljuje vzporedno s prvim segmentom od nasprotnega roba (tako diagonalo tvorijo zasenčene celice na sliki 3). Celice, ki so simetrične glede na središče kvadrata, se imenujejo poševno simetrične. Na primer celice a in b na sl. 3.

Pravila za sestavo magičnih kvadratov spadajo v tri kategorije, odvisno od tega, ali je vrstni red kvadrata lih, enak dvakratnemu lihemu številu ali enak štirikratnemu lihemu številu. Splošna metoda za konstrukcijo vseh kvadratov ni znana, čeprav se široko uporabljajo različne sheme, od katerih bomo nekatere obravnavali spodaj.

Magične kvadrate neparnega reda je mogoče sestaviti po metodi francoskega geometra iz 17. stoletja. A. de la Lubera. Razmislite o tej metodi na primeru kvadrata 5. reda (slika 4). Številka 1 je postavljena v osrednjo celico zgornje vrstice. Vsa naravna števila so razporejena v naravnem vrstnem redu ciklično od spodaj navzgor v celicah diagonal od desne proti levi. Ko dosežemo zgornji rob kvadrata (kot v primeru številke 1), nadaljujemo z izpolnjevanjem diagonale, začenši od spodnje celice naslednjega stolpca. Ko dosežemo desni rob kvadrata (številka 3), nadaljujemo z zapolnjevanjem diagonale, ki prihaja iz leve celice, s črto zgoraj. Ko dosežete zapolnjeno celico (številka 5) ali vogal (številka 15), se pot spusti eno celico navzdol, po kateri se postopek polnjenja nadaljuje.

Metoda F. de la Ira (1640-1718) temelji na dveh originalnih kvadratih. Na sl. Slika 5 prikazuje, kako je s to metodo sestavljen kvadrat 5. reda. Številke od 1 do 5 so vnesene v celico prvega kvadrata tako, da se številka 3 ponavlja v celicah glavne diagonale, ki gre desno navzgor, in da se nobena številka ne pojavi dvakrat v eni vrstici ali v enem stolpcu. Enako storimo s številkami 0, 5, 10, 15, 20, le da se številka 10 ponavlja v celicah glavne diagonale, ki poteka od zgoraj navzdol (slika 5, b). Vsota teh dveh kvadratov celico za celico (sl. 5, v) tvori magični kvadrat. Ta metoda se uporablja tudi pri gradnji kvadratov sodega reda.

Če je znana metoda za konstruiranje vrstnih kvadratov m in red n, potem lahko sestavimo kvadrat reda mґ n. Bistvo te metode je prikazano na sl. 6. Tukaj m= 3 in n= 3. Večji kvadrat 3. reda (s praštevili) je sestavljen po de la Louberjevi metodi. Kvadrat s številko 1ў (osrednja celica zgornje vrstice) je vpisan v kvadrat 3. reda iz števil od 1 do 9, prav tako zgrajen po de la Louberjevi metodi. Kvadrat 3. reda s številkami od 10 do 18 se vnese v celico s številko 2ў (desno v spodnji vrstici); v celico s številko 3ў - kvadrat števil od 19 do 27 itd. Kot rezultat dobimo kvadrat 9. reda. Takšni kvadrati se imenujejo sestavljeni.

Uvod

Veliki znanstveniki antike so kvantitativna razmerja smatrali za osnovo bistva sveta. Zato so števila in njihova razmerja zaposlovala največje ume človeštva. »V dneh svoje mladosti sem se v prostem času zabaval z izdelovanjem ... čarobnih kvadratov,« je zapisal Benjamin Franklin. Magični kvadrat je kvadrat, katerega vsota števil v vsaki vodoravni vrstici, v vsaki navpični vrstici in vzdolž vsake diagonale je enaka.

Nekateri izjemni matematiki so svoja dela posvetili magičnim kvadratom in njihovi rezultati so vplivali na razvoj skupin, struktur, latinskih kvadratov, determinant, particij, matrik, primerjav in drugih netrivialnih delov matematike.

Namen tega eseja je predstaviti različne magične kvadrate, latinske kvadrate in preučiti področja njihove uporabe.

magični kvadrati

Popoln opis vseh možnih magičnih kvadratov do danes ni bil pridobljen. Čarobnih kvadratov 2x2 ni. Obstaja en sam magični kvadrat 3x3, saj so ostali čarobni kvadrati 3x3 pridobljeni iz njega bodisi z vrtenjem okoli središča ali z odbojem okoli ene od njegovih simetričnih osi.

Obstaja 8 različnih načinov za razporeditev naravnih števil od 1 do 9 v magični kvadrat 3x3:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

V magičnem kvadratu 3x3 mora biti magična konstanta 15 enaka vsoti treh števil v 8 smereh: 3 vrstice, 3 stolpci in 2 diagonali. Ker število v sredini pripada 1 vrstici, 1 stolpcu in 2 diagonalama, je vključeno v 4 od 8 trojk, ki seštejejo v magično konstanto. Takšno število je samo eno: to je 5. Zato je število v središču magičnega kvadrata 3x3 že znano: enako je 5.

Razmislite o številu 9. Vključeno je samo v 2 trojčka števil. Ne moremo ga postaviti v kot, saj vsaka kotna celica pripada trem trojčkom: vrstici, stolpcu in diagonali. Zato mora biti številka 9 v neki celici, ki meji na stranico kvadrata v njegovi sredini. Zaradi simetričnosti kvadrata ni vseeno, katero stran izberemo, zato nad številko 5 v osrednji celici zapišemo 9. Na obeh straneh devetke v zgornji vrstici lahko vnesemo samo številki 2 in 4. Katera od teh dveh številk bo v zgornjem desnem kotu in katera v levem, spet ni pomembno, saj je ena razporeditev številke gredo v drugo, ko so zrcaljene. Preostale celice se izpolnijo samodejno. Naša preprosta konstrukcija čarobnega kvadrata 3x3 dokazuje njegovo edinstvenost.

Takšen čarobni kvadrat je bil med starimi Kitajci simbol velikega pomena. Število 5 v sredini je pomenilo zemljo, okoli nje pa so bili v strogem ravnovesju ogenj (2 in 7), voda (1 in 6),

les (3 in 8), kovina (4 in 9).

Ko se velikost kvadrata (število celic) povečuje, število možnih magičnih kvadratov te velikosti hitro raste. Obstaja 880 magičnih kvadratov reda 4 in 275.305.224 magičnih kvadratov reda 5. Še več, kvadrate 5x5 so poznali v srednjem veku. Muslimani so bili na primer zelo spoštljivi do takšnega kvadrata s številko 1 na sredini, saj so ga imeli za simbol enotnosti Alaha.

Pitagorov magični kvadrat

Veliki znanstvenik Pitagora, ki je utemeljil versko-filozofsko doktrino, ki je kvantitativna razmerja razglasila za osnovo bistva stvari, je verjel, da je bistvo človeka tudi v številu - datumu rojstva. S pomočjo Pitagorovega magičnega kvadrata torej lahko spoznamo značaj človeka, stopnjo sproščenega zdravja in njegove zmožnosti, razkrijemo prednosti in slabosti ter s tem ugotovimo, kaj je treba storiti, da ga izboljšamo.

Da bi razumeli, kaj je Pitagorov čarobni kvadrat in kako se izračunajo njegovi kazalniki, ga bom izračunal na svojem primeru. In da se prepričam, ali rezultati izračuna res ustrezajo resničnemu značaju te ali one osebe, bom najprej preveril na sebi. Da bi to naredil, bom naredil izračun glede na moj datum rojstva. Torej, moj datum rojstva je 20.08.1986. Seštejmo številke dneva, meseca in leta rojstva (brez ničel): 2+8+1+9+8+6=34. Nato seštejte številke rezultata: 3 + 4 = 7. Nato od prve vsote odštejemo podvojeno prvo številko rojstnega dne: 34-4=30. In spet dodajte številke zadnje številke:

3+0=3. Ostane še zadnji seštevek - 1. in 3. ter 2. in 4. seštevek: 34+30=64, 7+3=10. Prejeli smo številke 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

in sestavite magični kvadrat tako, da so vse enote teh števil v celici 1, vse dvojke v celici 2 itd. Ničle se ne upoštevajo. Kot rezultat bo moj kvadrat videti takole:

Celice kvadrata pomenijo naslednje:

Celica 1 - namenskost, volja, vztrajnost, sebičnost.

  • 1 - popolni egoisti, si prizadevajo iz vsake situacije izkoristiti največjo korist.
  • 11 - lik blizu egoista.
  • 111 - "zlata sredina". Karakter je miren, prilagodljiv, družaben.
  • 1111 - ljudje močnega značaja, močne volje. Moški s takšnim značajem so primerni za vlogo vojaških profesionalcev, ženske pa držijo družino v pesti.
  • 11111 - diktator, tiran.
  • 111111 - kruta oseba, sposobna narediti nemogoče; pogosto pade pod vpliv kakšne ideje.

Celica 2 - bioenergetika, čustvenost, iskrenost, čutnost. Število dvojk določa stopnjo bioenergetike.

Dvojk ni - odprt je kanal za intenziven sklop bioenergetike. Ti ljudje so po naravi izobraženi in plemeniti.

  • 2 - navadni ljudje v smislu bioenergetike. Takšni ljudje so zelo občutljivi na spremembe v ozračju.
  • 22 - relativno velika zaloga bioenergije. Takšni ljudje so dobri zdravniki, medicinske sestre, bolničarji. V družini takšnih ljudi ima redko kdo živčni stres.
  • 222 je znak jasnovidca.

Celica 3 - natančnost, specifičnost, organiziranost, točnost, točnost, čistoča, škrtost, nagnjenost k nenehni "obnovi pravičnosti".

Rast trojčkov krepi vse te lastnosti. Pri njih je smiselno, da se človek išče v znanostih, predvsem tistih eksaktnih. Prevlada trojk povzroča pedante, ljudi v primeru.

Celica 4 - zdravje. To je posledica egregorja, to je energijskega prostora, ki so ga razvili predniki in ščiti osebo. Odsotnost štirih kaže na bolečino osebe.

  • 4 - povprečno zdravje, potrebno je umiriti telo. Priporočena športa sta plavanje in tek.
  • 44 - dobro zdravje.
  • 444 in več - ljudje z zelo dobrim zdravjem.

Celica 5 - intuicija, jasnovidnost, ki se pri takih ljudeh začne manifestirati že na ravni treh petic.

Petic ni - komunikacijski kanal z vesoljem je zaprt. Ti ljudje so pogosto

se motijo.

  • 5 - komunikacijski kanal je odprt. Ti ljudje znajo pravilno izračunati situacijo, da iz nje izvlečejo največ.
  • 55 - visoko razvita intuicija. Ko vidijo "preroške sanje", lahko napovejo potek dogodkov. Zanje primerni poklici so pravnik, preiskovalec.
  • 555 - skoraj jasnoviden.
  • 5555 - jasnovidci.

Celica 6 - prizemljenost, materialnost, preračunljivost, nagnjenost k kvantitativnemu razvoju sveta in nezaupanje v kvalitativne preskoke, še bolj pa v čudeže duhovnega reda.

Ni šestic - ti ljudje potrebujejo fizično delo, čeprav ga običajno ne marajo. Obdarjeni so z izjemno domišljijo, fantazijo, umetniškim okusom. Subtilne narave so kljub temu sposobni ukrepati.

  • 6 - lahko se ukvarjate z ustvarjalnostjo ali natančnimi znanostmi, vendar je fizično delo predpogoj za obstoj.
  • 66 - ljudje so zelo prizemljeni, pritegnjeni k fizičnemu delu, čeprav to za njih ni obvezno; zaželene so miselne dejavnosti ali likovni pouk.
  • 666 - Satanov znak, posebno in zlovešče znamenje. Ti ljudje imajo visok temperament, so očarljivi, vedno postanejo središče pozornosti v družbi.
  • 6666 - ti ljudje v prejšnjih inkarnacijah so pridobili preveč temeljev, zelo so trdo delali in si ne morejo predstavljati svojega življenja brez dela. Če ima njihov kvadrat

devetke, vsekakor se morajo ukvarjati z miselno dejavnostjo, razvijati inteligenco, vsaj pridobiti višjo izobrazbo.

Celica 7 - število sedmic določa mero nadarjenosti.

  • 7 - več kot delajo, več potem dobijo.
  • 77 - zelo nadarjeni, glasbeni ljudje, imajo občutljiv umetniški okus, morda imajo nagnjenost k likovnim umetnostim.
  • 777 - ti ljudje praviloma pridejo na Zemljo za kratek čas. So prijazni, mirni, boleče dojemajo vsako krivico. So občutljivi, radi sanjajo, ne čutijo vedno resničnosti.
  • 7777 je znamenje angela. Ljudje s tem znakom umrejo v povojih, in če živijo, potem so njihova življenja nenehno v nevarnosti.

Celica 8 - karma, dolžnost, obveznost, odgovornost. Število osem določa stopnjo občutka dolžnosti.

Osmic ni - ti ljudje skoraj popolnoma nimajo občutka dolžnosti.

  • 8 - odgovorne, vestne, natančne narave.
  • 88 - ti ljudje imajo razvit občutek dolžnosti, vedno jih odlikuje želja po pomoči drugim, zlasti šibkim, bolnim, osamljenim.
  • 888 - znak velike dolžnosti, znak služenja ljudem. Ravnilo s tremi osmicami dosega izjemne rezultate.
  • 8888 - ti ljudje imajo parapsihološke sposobnosti in izjemno dovzetnost za natančne znanosti. Odprte so jim nadnaravne poti.

Celica 9 - um, modrost. Odsotnost devetk je dokaz, da so mentalne sposobnosti izjemno omejene.

  • 9 - ti ljudje morajo vse življenje trdo delati, da nadomestijo pomanjkanje inteligence.
  • 99 - ti ljudje so pametni od rojstva. Vedno se neradi učijo, ker jim je znanje zlahka podano. Obdarjeni so s smislom za humor z ironičnim pridihom, neodvisni.
  • 999 so zelo pametni. V učenje se sploh ne trudi. Odlični sogovorniki.
  • 9999 - resnica se razkrije tem ljudem. Če imajo tudi razvito intuicijo, potem so zagotovljeni pred neuspehom v katerem koli od svojih prizadevanj. Ob vsem tem so navadno precej prijetni, saj jih oster um naredi nesramne, neusmiljene in krute.

Torej, ko sestavite Pitagorin čarobni kvadrat in poznate pomen vseh kombinacij števil, vključenih v njegove celice, boste lahko ustrezno cenili lastnosti svoje narave, ki jih je obdarila mati narava.

latinski kvadrati

Kljub dejstvu, da so matematike zanimali predvsem magični kvadrati, so latinski kvadrati našli največjo uporabo v znanosti in tehniki.

Latinski kvadrat je kvadrat nxn celic, v katerem so zapisana števila 1, 2, ..., n, poleg tega tako, da se vsa ta števila pojavljajo enkrat v vsaki vrstici in vsakem stolpcu. Slika 3 prikazuje dva takšna kvadrata 4x4. Imajo zanimivo lastnost: če je en kvadrat postavljen na drugega, se vsi pari nastalih števil izkažejo za različne. Takšni pari latinskih kvadratov se imenujejo ortogonalni.

Nalogo iskanja pravokotnih latinskih kvadratov je prvi zastavil L. Euler in to v tako zabavni formulaciji: »Med 36 častniki je enako suličarjev, dragonov, huzarjev, kirasirjev, konjenikov in grenadirjev, poleg tega pa enako generalov. , polkovniki, majorji, stotniki, poročniki in nadporočniki, vsak rod službe pa zastopajo častniki vseh šestih činov. Ali je mogoče vse častnike razvrstiti v kvadrat 6 x 6 tako, da se častniki vseh činov srečajo v poljubni koloni in poljubni vrsti?

Eulerju ni uspelo najti rešitve tega problema. Leta 1901 je bilo dokazano, da taka rešitev ne obstaja. Istočasno je Euler dokazal, da obstajajo pravokotni pari latinskih kvadratov za vse lihe vrednosti n in za sode vrednosti n, ki so deljive s 4. Euler je domneval, da je za preostale vrednosti n, tj. , če število n pri deljenju s 4 daje ostanek 2, pravokotnih kvadratov ni. Leta 1901 je bilo dokazano, da pravokotni kvadrati 6 6 ne obstajajo, kar je povečalo zaupanje v veljavnost Eulerjeve domneve. Vendar pa so leta 1959 z uporabo računalnika našli najprej pravokotne kvadrate 10x10, nato 14x14, 18x18, 22x22. In potem se je pokazalo, da za vsak n razen 6 obstaja nxn pravokotnih kvadratov.

Magični in latinski kvadrati so bližnji sorodniki. Naj imamo dva pravokotna kvadrata. Izpolnite celice novega kvadrata enake velikosti, kot sledi. Tja vstavimo število n(a - 1) + b, kjer je a število v taki celici prvega kvadrata, b pa število v isti celici drugega kvadrata. Zlahka je razumeti, da bodo v dobljenem kvadratu vsote števil v vrsticah in stolpcih (vendar ne nujno na diagonalah) enake.

Teorija latinskih kvadratov je našla številne aplikacije tako v sami matematiki kot v njenih aplikacijah. Vzemimo primer. Recimo, da želimo preizkusiti produktivnost 4 sort pšenice na določenem območju in želimo upoštevati vpliv stopnje redkosti posevkov in vpliv dveh vrst gnojil. Da bi to naredili, bomo kvadratno parcelo razdelili na 16 parcel (slika 4). Prvo sorto pšenice bomo posadili na parcele, ki ustrezajo spodnjemu vodoravnemu pasu, naslednjo sorto - na štiri parcele, ki ustrezajo naslednjemu traku itd. (na sliki je sorta označena z barvo). V tem primeru naj bo največja gostota setve na tistih ploskvah, ki ustrezajo levemu navpičnemu stolpcu slike, pri premikanju v desno pa se zmanjša (na sliki to ustreza zmanjšanju intenzivnosti barve). Številke v celicah slike naj pomenijo:

prvi je število kilogramov uporabljenega gnojila prve vrste na tej površini, drugi pa količina uporabljenega gnojila druge vrste. Ni težko razumeti, da so v tem primeru realizirani vsi možni pari kombinacij sorte in gostote setve ter drugih komponent: sorta in gnojila prve vrste, gnojila prve in druge vrste, gostota in gnojila druge vrste. .

Uporaba pravokotnih latinskih kvadratov pomaga upoštevati vse možne možnosti pri poskusih v kmetijstvu, fiziki, kemiji in tehnologiji.

kvadrat magični Pitagora latin

Zaključek

Ta esej se ukvarja z vprašanji, povezanimi z zgodovino razvoja enega od vprašanj matematike, ki je zaposlovalo misli toliko velikih ljudi - magičnih kvadratov. Kljub dejstvu, da sami magični kvadrati niso našli široke uporabe v znanosti in tehnologiji, so navdihnili številne izjemne ljudi za študij matematike in prispevali k razvoju drugih vej matematike (teorije skupin, determinant, matrik itd.).

Najbližji sorodniki magičnih kvadratov, latinski kvadrati, so našli številne aplikacije tako v matematiki kot v njeni uporabi pri postavljanju in obdelavi rezultatov eksperimentov. Povzetek ponuja primer postavitve takšnega eksperimenta.

Povzetek obravnava tudi vprašanje Pitagorovega kvadrata, ki je zgodovinskega pomena in morda uporaben za sestavo psihološkega portreta osebe.

Bibliografija

  • 1. Enciklopedični slovar mladega matematika. M., "Pedagogika", 1989.
  • 2. M. Gardner "Potovanje skozi čas", M., "Mir", 1990.
  • 3. Fizična kultura in šport št. 10, 1998

Preberite tudi