Zonat e figurave gjeometrike janë vlera numerike që karakterizojnë madhësinë e tyre në hapësirën dydimensionale. Kjo vlerë mund të matet në njësi sistemore dhe jo-sistemore. Kështu, për shembull, një njësi jashtë sistemit të sipërfaqes është njëqind, një hektar. Ky është rasti nëse sipërfaqja e matur është një copë tokë. Njësia e sistemit të sipërfaqes është katrori i gjatësisë. Në sistemin SI, është zakon të konsiderohet se njësia e sipërfaqes së një sipërfaqe të sheshtë është një metër katror. Në CGS, njësia e sipërfaqes shprehet në centimetra katrorë.

Gjeometria dhe formulat e zonës janë të lidhura pazgjidhshmërisht. Kjo lidhje qëndron në faktin se llogaritja e sipërfaqeve të figurave të sheshta bazohet pikërisht në aplikimin e tyre. Për shumë figura, rrjedhin disa opsione, sipas të cilave llogariten madhësitë e tyre katrore. Bazuar në të dhënat nga deklarata e problemit, ne mund të përcaktojmë mënyrën më të thjeshtë për ta zgjidhur atë. Kjo lehtëson llogaritjen dhe zvogëlon në minimum probabilitetin e gabimeve të llogaritjes. Për ta bërë këtë, merrni parasysh zonën kryesore të figurave në gjeometri.

Formulat për gjetjen e sipërfaqes së çdo trekëndëshi paraqiten në disa mënyra:

1) Sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet nga baza a dhe lartësia h. Baza është ana e figurës në të cilën është ulur lartësia. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:

2) Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet saktësisht në të njëjtën mënyrë nëse hipotenuza konsiderohet bazë. Nëse, megjithatë, këmba merret si bazë, atëherë zona e trekëndëshit kënddrejtë do të jetë e barabartë me produktin e këmbëve të përgjysmuara.

Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së çdo trekëndëshi nuk mbarojnë këtu. Një shprehje tjetër përmban brinjët a,b dhe funksionin sinusoidal të këndit γ ndërmjet a dhe b. Vlera e sinusit gjendet në tabela. Mund të gjendet gjithashtu duke përdorur një kalkulator. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:

Sipas kësaj barazie, mund të siguroheni gjithashtu që zona e një trekëndëshi kënddrejtë të përcaktohet përmes gjatësisë së këmbëve. Sepse këndi γ është një kënd i drejtë, kështu që sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet pa shumëzuar me funksionin sinus.

3) Konsideroni një rast të veçantë - një trekëndësh të rregullt, në të cilin brinja a njihet me kusht ose gjatësia e tij mund të gjendet gjatë zgjidhjes. Asgjë më shumë nuk dihet për figurën në problemin e gjeometrisë. Atëherë si të gjeni zonën në këtë gjendje? Në këtë rast, zbatohet formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt:

Drejtkëndësh

Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe të përdorni përmasat e brinjëve që kanë një kulm të përbashkët? Shprehja për llogaritjen është:

Nëse dëshironi të përdorni gjatësitë e diagonaleve për të llogaritur sipërfaqen e një drejtkëndëshi, atëherë ju nevojitet funksioni sinus i këndit të formuar kur ato kryqëzohen. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi është:

Sheshi

Sipërfaqja e një katrori përcaktohet si fuqia e dytë e gjatësisë së anës:

Vërtetimi rrjedh nga përkufizimi se një drejtkëndësh quhet katror. Të gjitha anët që formojnë një katror kanë të njëjtat dimensione. Prandaj, llogaritja e sipërfaqes së një drejtkëndëshi të tillë reduktohet në shumëzimin e njërit me tjetrin, d.m.th., në fuqinë e dytë të anës. Dhe formula për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori do të marrë formën e dëshiruar.

Sipërfaqja e një katrori mund të gjendet në një mënyrë tjetër, për shembull, nëse përdorni një diagonale:

Si të llogarisni sipërfaqen e një figure që formohet nga një pjesë e një rrafshi të kufizuar nga një rreth? Për të llogaritur sipërfaqen, formulat janë:

Paralelogrami

Për një paralelogram, formula përmban dimensionet lineare të anës, lartësisë dhe operacionin matematik - shumëzimin. Nëse lartësia është e panjohur, atëherë si të gjeni zonën e paralelogramit? Ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur. Kërkohet një vlerë e caktuar, e cila do të merret nga funksioni trigonometrik i këndit të formuar nga brinjët ngjitur, si dhe gjatësia e tyre.

Formulat për sipërfaqen e një paralelogrami janë:

Rombi

Si të gjeni sipërfaqen e një katërkëndëshi të quajtur romb? Zona e një rombi përcaktohet duke përdorur operacione të thjeshta matematikore me diagonale. Vërtetimi mbështetet në faktin se segmentet diagonale në d1 dhe d2 kryqëzohen në kënde të drejta. Tabela e sinuseve tregon se për një kënd të drejtë, ky funksion është i barabartë me një. Prandaj, zona e një rombi llogaritet si më poshtë:

Zona e një rombi mund të gjendet edhe në një mënyrë tjetër. Gjithashtu nuk është e vështirë të vërtetohet kjo, duke qenë se anët e saj janë të njëjta në gjatësi. Pastaj zëvendësoni produktin e tyre në një shprehje të ngjashme për një paralelogram. Në fund të fundit, një rast i veçantë i kësaj figure të veçantë është një romb. Këtu γ është këndi i brendshëm i rombit. Zona e një rombi përcaktohet si më poshtë:

Trapez

Si të gjeni sipërfaqen e një trapezi përmes bazave (a dhe b), nëse gjatësitë e tyre tregohen në problem? Këtu, pa një vlerë të njohur të gjatësisë së lartësisë h, nuk do të jetë e mundur të llogaritet sipërfaqja e një trapezi të tillë. Sepse kjo vlerë përmban shprehjen për llogaritjen:

Madhësia katrore e një trapezi drejtkëndor gjithashtu mund të llogaritet në të njëjtën mënyrë. Në të njëjtën kohë, merret parasysh se në një trapezoid drejtkëndor kombinohen konceptet e lartësisë dhe anës. Prandaj, për një trapez drejtkëndor, duhet të specifikoni gjatësinë e anës në vend të lartësisë.

Cilindri dhe paralelipiped

Konsideroni se çfarë nevojitet për të llogaritur sipërfaqen e të gjithë cilindrit. Zona e kësaj figure është një palë rrathësh, të quajtur baza dhe një sipërfaqe anësore. Rrathët që formojnë rrathë kanë gjatësi rrezesh të barabarta me r. Për sipërfaqen e një cilindri, bëhet llogaritja e mëposhtme:

Si të gjeni sipërfaqen e një paralelipipedi që përbëhet nga tre palë faqe? Matjet e tij janë në përputhje me një palë të veçantë. Fytyrat që janë përballë kanë të njëjtat parametra. Së pari gjeni S(1), S(2), S(3) - dimensionet katrore të fytyrave të pabarabarta. Pastaj sipërfaqja e paralelepipedit:

Unazë

Dy rrathë me një qendër të përbashkët formojnë një unazë. Ata gjithashtu kufizojnë zonën e unazës. Në këtë rast, të dyja formulat e llogaritjes marrin parasysh dimensionet e secilit rreth. E para, e cila llogarit sipërfaqen e unazës, përmban rreze R më të mëdha dhe r më të vogla. Më shpesh ato quhen të jashtme dhe të brendshme. Në shprehjen e dytë, sipërfaqja e unazës llogaritet duke përdorur diametrat më të mëdhenj D dhe d më të vegjël. Kështu, zona e unazës sipas rrezeve të njohura llogaritet si më poshtë:

Zona e unazës, duke përdorur gjatësinë e diametrave, përcaktohet si më poshtë:

Shumëkëndëshi

Si të gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi, forma e të cilit nuk është e saktë? Nuk ka asnjë formulë të përgjithshme për sipërfaqen e figurave të tilla. Por nëse përshkruhet në një rrafsh koordinativ, për shembull, mund të jetë letër me kuadrate, atëherë si ta gjeni sipërfaqen në këtë rast? Këtu ata përdorin një metodë që nuk kërkon matjen e përafërt të figurës. Ata e bëjnë këtë: nëse gjejnë pika që bien në cepin e qelizës ose kanë koordinata me numra të plotë, atëherë merren parasysh vetëm ato. Për të zbuluar më pas se cila është zona, përdorni formulën e provuar nga Pick. Është e nevojshme të shtoni numrin e pikave të vendosura brenda polivijës me gjysmën e pikave që shtrihen në të dhe të zbrisni një, d.m.th. llogaritet në këtë mënyrë:

ku C, D - numri i pikave të vendosura brenda dhe në të gjithë polilinën, përkatësisht.

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, duhet të dini formula - të tilla si zona e një trekëndëshi ose zona e një paralelogrami - si dhe truket e thjeshta, për të cilat do të flasim.

Së pari, le të mësojmë formulat për zonat e figurave. Ne i kemi mbledhur ato posaçërisht në një tryezë të përshtatshme. Printoni, mësoni dhe aplikoni!

Sigurisht, jo të gjitha formulat e gjeometrisë janë në tabelën tonë. Për shembull, për zgjidhjen e problemeve në gjeometri dhe stereometri në pjesën e dytë të provimit të profilit në matematikë, përdoren edhe formula të tjera për sipërfaqen e një trekëndëshi. Ne patjetër do t'ju tregojmë për to.

Por, çka nëse nuk duhet të gjesh zonën e një trapezi ose trekëndëshi, por zonën e ndonjë figure komplekse? Ka mënyra universale! Ne do t'i tregojmë duke përdorur shembuj nga banka e detyrave FIPI.

1. Si të gjeni sipërfaqen e një figure jo standarde? Për shembull, një katërkëndësh arbitrar? Një teknikë e thjeshtë - le ta ndajmë këtë shifër në ato për të cilat të gjithë dimë dhe të gjejmë zonën e saj - si shuma e sipërfaqeve të këtyre figurave.

Ndani këtë katërkëndësh me një vijë horizontale në dy trekëndësha me një bazë të përbashkët të barabartë me . Lartësitë e këtyre trekëndëshave janë Dhe . Atëherë sipërfaqja e katërkëndëshit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të dy trekëndëshave: .

Përgjigje:.

2. Në disa raste, zona e figurës mund të përfaqësohet si diferenca e çdo zone.

Nuk është aq e lehtë për të llogaritur se çfarë është baza dhe lartësia në këtë trekëndësh! Por mund të themi se sipërfaqja e tij është e barabartë me diferencën midis sipërfaqeve të një katrori me brinjë dhe tre trekëndësha kënddrejtë. I shihni në foto? Ne marrim:.

Përgjigje:.

3. Ndonjëherë në një detyrë është e nevojshme të gjendet zona jo e të gjithë figurës, por e pjesës së saj. Zakonisht ne po flasim për sipërfaqen e sektorit - pjesë e rrethit. Gjeni sipërfaqen e sektorit të rrethit të rrezes, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me .

Në këtë foto ne shohim një pjesë të një rrethi. Sipërfaqja e të gjithë rrethit është e barabartë me , pasi . Mbetet për të zbuluar se cila pjesë e rrethit përshkruhet. Meqenëse gjatësia e të gjithë rrethit është (që), dhe gjatësia e harkut të këtij sektori është , pra, gjatësia e harkut është disa herë më e vogël se gjatësia e të gjithë rrethit. Këndi në të cilin mbështetet ky hark është gjithashtu herë më i vogël se një rreth i plotë (d.m.th., gradë). Kjo do të thotë që zona e sektorit do të jetë disa herë më e vogël se sipërfaqja e të gjithë rrethit.

Njohuria se si të matet Toka u shfaq në antikitet dhe gradualisht mori formë në shkencën e gjeometrisë. Nga gjuha greke, kjo fjalë përkthehet si "anketim i tokës".

Masa e gjatësisë së një zone të sheshtë të Tokës në gjatësi dhe gjerësi është zona. Në matematikë, zakonisht shënohet me shkronjën latine S (nga anglishtja "katror" - "zona", "katror") ose shkronja greke σ (sigma). S tregon sipërfaqen e një figure në një plan ose sipërfaqen e një trupi, dhe σ është zona e prerjes tërthore të një teli në fizikë. Këto janë simbolet kryesore, megjithëse mund të ketë të tjera, për shembull, në fushën e forcës së materialeve, A është zona e seksionit kryq të profilit.

Në kontakt me

Formulat e llogaritjes

Duke ditur zonat e figurave të thjeshta, mund të gjeni parametrat e atyre më komplekse.. Matematikanët e lashtë zhvilluan formula me të cilat ato mund të llogariten lehtësisht. Shifra të tilla janë një trekëndësh, një katërkëndësh, një shumëkëndësh, një rreth.

Për të gjetur sipërfaqen e një figure komplekse të sheshtë, ajo ndahet në shumë forma të thjeshta si trekëndëshat, trapezoidët ose drejtkëndëshat. Pastaj metodat matematikore nxjerrin një formulë për sipërfaqen e kësaj figure. Një metodë e ngjashme përdoret jo vetëm në gjeometri, por edhe në analizën matematikore për të llogaritur sipërfaqet e figurave të kufizuara me kthesa.

Trekëndëshi

Le të fillojmë me formën më të thjeshtë - një trekëndësh. Ato janë drejtkëndëshe, dykëndëshe dhe barabrinjës. Merrni çdo trekëndësh ABC me brinjë AB=a, BC=b dhe AC=c (∆ ABC). Për të gjetur zonën e saj, le të kujtojmë teoremat e sinuseve dhe kosinuseve të njohura nga kursi i matematikës shkollore. Duke hequr dorë nga të gjitha llogaritjet, arrijmë në formulat e mëposhtme:

• S=√ - formula e Heronit e njohur për të gjithë, ku p=(a+b+c)/2 - gjysmëperimetri i trekëndëshit;
• S=a h/2, ku h është lartësia e ulur në anën a;
• S=a b (sin γ)/2, ku γ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b;
• S=a b/2 nëse ∆ ABC është drejtkëndëshe (këtu a dhe b janë këmbët);
• S=b² (sin (2 β))/2 nëse ∆ ABC është dykëndësh (këtu b është një nga “ijet”, β është këndi ndërmjet “vijeve” të trekëndëshit);
• S=a² √¾ nëse ∆ ABC është barabrinjës (këtu a është brinja e trekëndëshit).

Katërkëndëshi

Le të jetë një katërkëndësh ABCD me AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Për të gjetur zonën S të një 4-këndëshi arbitrar, është e nevojshme ta ndani atë me një diagonale në dy trekëndësha, zonat e të cilëve S1 dhe S2 në përgjithësi nuk janë të barabarta.

Pastaj, duke përdorur formulat, llogaritni ato dhe mblidhni ato, d.m.th. S=S1+S2. Sidoqoftë, nëse kuadrati i përket një klase të caktuar, atëherë zona e tij mund të gjendet duke përdorur formulat e njohura më parë:

• S=(a+c) h/2=e h, nëse kuadrati është një trapez (këtu a dhe c janë bazat, e është vija e mesme e trapezit, h është lartësia e ulur në njërën nga bazat e trapezit ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, nëse ABCD është paralelogram (këtu φ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b, h është lartësia e ulur në brinjën a, d1 dhe d2 janë diagonale);
• S=a b=d²/2 nëse ABCD është drejtkëndësh (d është diagonale);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 nëse ABCD është romb (a është ana e rombit, φ është një nga këndet e tij, P është perimetri);
• S=a²=P²/16=d²/2 nëse ABCD është katror.

Shumëkëndëshi

Për të gjetur sipërfaqen e një n-gon, matematikanët e zbërthejnë atë në trekëndëshat më të thjeshtë të barabartë, gjejnë sipërfaqen e secilit prej tyre dhe më pas i mbledhin ato. Por nëse shumëkëndëshi i përket klasës së atyre të rregullt, atëherë përdoret formula:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, ku n është numri i kulmeve (ose anëve) të poligonit, a është ana e n-këndëshit, P është perimetri i tij, h është apotema , pra segmenti i tërhequr nga qendra e shumëkëndëshit në njërën nga anët e tij në një kënd prej 90°.

Rretho

Një rreth është një shumëkëndësh i përsosur me një numër të pafund brinjësh.. Ne duhet të llogarisim kufirin e shprehjes në të djathtë në formulën e zonës së shumëkëndëshit me numrin e brinjëve n që priren në pafundësi. Në këtë rast, perimetri i shumëkëndëshit do të kthehet në gjatësinë e një rrethi me rreze R, e cila do të jetë kufiri i rrethit tonë, dhe do të bëhet i barabartë me P=2 π R. Zëvendësoni këtë shprehje me formulën e mësipërme. Ne do të marrim:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Le ta gjejmë kufirin e kësaj shprehjeje si n→∞. Për ta bërë këtë, marrim parasysh që lim (cos (180°/n)) për n→∞ është i barabartë me cos 0°=1 (lim është shenja e kufirit), dhe lim = lim për n→∞ është e barabartë me 1/π (ne kemi përkthyer masën e shkallës në radian, duke përdorur raportin π rad=180°, dhe kemi aplikuar kufirin e parë të shquar (sin x)/x=1 në x→∞). Duke zëvendësuar vlerat e marra në shprehjen e fundit për S, arrijmë në formulën e njohur:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Njësitë

Zbatohen njësitë matëse të sistemit dhe jo-sistemit. Njësitë e sistemit referohen si SI (System International). Ky është një metër katror (metër katror, ​​m²) dhe njësitë që rrjedhin prej tij: mm², cm², km².

Në milimetra katrorë (mm²), për shembull, ata matin zonën e seksionit kryq të telave në inxhinierinë elektrike, në centimetra katrorë (cm²) - seksionin kryq të një trau në mekanikën strukturore, në metra katrorë (m² ) - një apartament ose shtëpi, në kilometra katrorë (km²) - një territor në gjeografi.

Megjithatë, ndonjëherë përdoren njësi matëse josistematike, si: thurje, ar (a), hektar (ha) dhe akër (ac). Ne japim raportet e mëposhtme:

• 1 thurje \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 hektarë = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 si;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 hektarë = 0.405 ha.

Formula e sipërfaqesështë e nevojshme për të përcaktuar sipërfaqen e një figure, e cila është një funksion me vlerë reale i përcaktuar në një klasë të caktuar figurash në rrafshin Euklidian dhe që plotëson 4 kushte:

1. Pozitiv - Zona nuk mund të jetë më e vogël se zero;
2. Normalizimi - një katror me një anë uniteti ka një sipërfaqe prej 1;
3. Kongruenca - figurat kongruente kanë sipërfaqe të barabartë;
4. Aditiviteti - zona e bashkimit të 2 figurave pa pika të brendshme të përbashkëta është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre figurave.

Formulat për sipërfaqen e formave gjeometrike.

Figura gjeometrike	Formula	Vizatim
Rezultati i shtimit të distancave ndërmjet pikave të mesit të anëve të kundërta të një katërkëndëshi konveks do të jetë i barabartë me gjysmëperimetrin e tij.
Sektori i rrethit. Sipërfaqja e një sektori të një rrethi është e barabartë me produktin e harkut të tij dhe gjysmën e rrezes.
segment rrethi. Për të marrë sipërfaqen e segmentit ASB, mjafton të zbrisni sipërfaqen e trekëndëshit AOB nga zona e sektorit AOB.	S = 1/2 R(s - AC)
Sipërfaqja e një elipsi është e barabartë me produktin e gjatësisë së gjysmëboshteve të mëdha dhe të vogla të elipsës herë pi.
Elipsa. Një tjetër mundësi për të llogaritur sipërfaqen e një elipsi është përmes dy rrezeve të saj.
Trekëndëshi. Përmes bazës dhe lartësisë. Formula për sipërfaqen e një rrethi për sa i përket rrezes dhe diametrit të tij.
Sheshi. Përmes anës së tij. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e gjatësisë së anës së tij.
Sheshi. Përmes diagonales së saj. Sipërfaqja e një katrori është gjysma e katrorit të gjatësisë së diagonales së tij.
shumëkëndëshi i rregullt. Për të përcaktuar sipërfaqen e një shumëkëndëshi të rregullt, është e nevojshme ta ndani atë në trekëndësha të barabartë që do të kishin një kulm të përbashkët në qendër të rrethit të brendashkruar.	S= r p = 1/2 r n a

Zona gjeometrike- një karakteristikë numerike e një figure gjeometrike që tregon madhësinë e kësaj figure (pjesë e sipërfaqes e kufizuar nga një kontur i mbyllur i kësaj figure). Madhësia e sipërfaqes shprehet me numrin e njësive katrore të përfshira në të.

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

1. Formula e sipërfaqes së trekëndëshit për anën dhe lartësinë
   Sipërfaqja e një trekëndëshi e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së një brinjë të një trekëndëshi dhe gjatësisë së lartësisë së tërhequr në këtë anë
   
2. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të dhënë tre anët dhe rrezja e rrethit të rrethuar
   
3. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të dhënë tre anët dhe rrezja e një rrethi të brendashkruar
   Sipërfaqja e një trekëndëshiështë e barabartë me prodhimin e gjysmëperimetrit të trekëndëshit dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.
   
ku S është sipërfaqja e trekëndëshit,
- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,
- lartësia e trekëndëshit,
- këndi ndërmjet anëve dhe,
- rrezja e rrethit të brendashkruar,
R - rrezja e rrethit të rrethuar,

Formulat e sipërfaqes katrore

1. Formula për sipërfaqen e një katrori dhënë gjatësinë e një brinjë
   sipërfaqe katroreështë e barabartë me katrorin e gjatësisë së anës së saj.
2. Formula për sipërfaqen e një katrori dhënë gjatësinë e diagonales
   sipërfaqe katrore e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së saj.
   

   S=	1	2
   	2

ku S është sipërfaqja e katrorit,
është gjatësia e anës së katrorit,
është gjatësia e diagonales së katrorit.

Formula e sipërfaqes drejtkëndëshe

Zona drejtkëndësheështë e barabartë me prodhimin e gjatësive të dy brinjëve të saj ngjitur

ku S është sipërfaqja e drejtkëndëshit,
janë gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit.

Formulat për sipërfaqen e një paralelogrami

1. Formula e sipërfaqes paralelograme për gjatësinë dhe lartësinë e anës
   Zona paralelograme
2. Formula për sipërfaqen e një paralelogrami jep dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre
   Zona paralelogrameështë i barabartë me produktin e gjatësive të brinjëve të tij shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre.
   

   a b siνα

ku S është sipërfaqja e paralelogramit,
janë gjatësitë e brinjëve të paralelogramit,
është lartësia e paralelogramit,
është këndi ndërmjet brinjëve të paralelogramit.

Formulat për sipërfaqen e një rombi

1. Formula e sipërfaqes së rombit duke dhënë gjatësinë dhe lartësinë e anës
   Zona e rombitështë e barabartë me prodhimin e gjatësisë së anës së saj dhe gjatësisë së lartësisë së ulur në këtë anë.
2. Formula për sipërfaqen e një rombi jepet gjatësia e anës dhe këndit
   Zona e rombitështë e barabartë me prodhimin e katrorit të gjatësisë së brinjës së tij dhe të sinusit të këndit ndërmjet brinjëve të rombit.
3. Formula për sipërfaqen e një rombi nga gjatësitë e diagonaleve të tij
   Zona e rombitështë e barabartë me gjysmën e prodhimit të gjatësive të diagonaleve të tij.
ku S është zona e rombit,
- gjatësia e anës së rombit,
- gjatësia e lartësisë së rombit,
- këndi midis anëve të rombit,
1, 2 - gjatësitë e diagonaleve.

Formulat e zonës së trapezit

1. Formula e Heronit për një trapez

   Ku S është zona e trapezit,
   - gjatësia e bazave të trapezit,
   - gjatësia e anëve të trapezit,