การหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมด วิธีการคำนวณและกำหนดพื้นที่ สามเหลี่ยม. ผ่านฐานและความสูง

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต- คุณลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวถูกจำกัดด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านละสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของระดับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม
สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคูณความยาวด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวยาวแนวทแยง
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
ส= 1 2
2

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง
ข บาป α

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านและความยาวของความสูงลดลงมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวด้านและมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวของเส้นทแยงมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ในการแก้ปัญหาเรขาคณิต คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่างๆ เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รวมถึงเทคนิคง่ายๆ ที่เราจะกล่าวถึง

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขกันก่อน เราได้รวบรวมไว้เป็นพิเศษในตารางที่สะดวก พิมพ์ เรียนรู้ และนำไปใช้!

แน่นอนว่าไม่มีสูตรเรขาคณิตทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา ตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและสามมิติในส่วนที่สองของโปรไฟล์ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์จะใช้สูตรอื่นสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะบอกคุณเกี่ยวกับพวกเขาอย่างแน่นอน

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณต้องการค้นหาไม่ใช่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยม แต่เป็นพื้นที่ของรูปร่างที่ซับซ้อนล่ะ? มีวิธีการที่เป็นสากล! เราจะแสดงให้พวกเขาเห็นโดยใช้ตัวอย่างจากคลังงาน FIPI

1. จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมตามอำเภอใจ? เทคนิคง่ายๆ - ลองแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นส่วนที่เรารู้ทุกอย่างแล้วหาพื้นที่ของมัน - เป็นผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ด้วยเส้นแนวนอนออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยมีฐานร่วมเท่ากับ ความสูงของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน และ . จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสอง: .

คำตอบ: .

2. ในบางกรณีพื้นที่ของรูปสามารถแสดงเป็นผลต่างของบางพื้นที่ได้

มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณว่าฐานและความสูงของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด! แต่เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งด้านกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูป คุณเห็นพวกเขาในภาพไหม? เราได้รับ: .

คำตอบ: .

3. บางครั้งในงานคุณต้องค้นหาพื้นที่ที่ไม่ใช่ทั้งร่าง แต่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ โดยปกติแล้วเรากำลังพูดถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ - ส่วนหนึ่งของวงกลม ค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์ของรัศมีวงกลมที่มีความยาวส่วนโค้ง .

ในภาพนี้เราเห็นส่วนหนึ่งของวงกลม พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมที่ปรากฎ เนื่องจากความยาวของวงกลมทั้งหมดเท่ากัน (เนื่องจาก ) และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์ที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงน้อยกว่าความยาวของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า มุมที่ส่วนโค้งนี้วางอยู่ก็เป็นปัจจัยที่น้อยกว่าวงกลมเต็มวงด้วย (นั่นคือ องศา) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของเซกเตอร์จะเล็กกว่าพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นค่าตัวเลขที่แสดงขนาดในพื้นที่สองมิติ ค่านี้สามารถวัดได้ในยูนิตระบบและยูนิตที่ไม่ใช่ระบบ ตัวอย่างเช่น หน่วยพื้นที่ที่ไม่ใช่ระบบคือหนึ่งในร้อยหรือเฮกตาร์ ในกรณีนี้หากพื้นผิวที่จะวัดเป็นผืนดิน หน่วยระบบของพื้นที่คือกำลังสองของความยาว ในระบบ SI หน่วยของพื้นที่ผิวเรียบคือตารางเมตร ใน GHS หน่วยของพื้นที่จะแสดงเป็นตารางเซนติเมตร

สูตรเรขาคณิตและพื้นที่มีความเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก การเชื่อมต่อนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเครื่องบินนั้นขึ้นอยู่กับการใช้งานอย่างแม่นยำ สำหรับตัวเลขจำนวนมาก มีหลายตัวเลือกที่ได้มาจากการคำนวณขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหา เราสามารถระบุวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้ สิ่งนี้จะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณและลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาพื้นที่หลักของตัวเลขในเรขาคณิต

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ มีหลายตัวเลือก:

1) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณจากฐาน a และความสูง h ฐานถือเป็นด้านของร่างที่มีความสูงลดลง แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

2) พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะคำนวณในลักษณะเดียวกันหากพิจารณาด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นฐาน ถ้าเราเอาขาเป็นฐาน พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลคูณของขาลดลงครึ่งหนึ่ง

สูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ไม่ได้จบเพียงแค่นั้น อีกนิพจน์หนึ่งประกอบด้วยด้าน a,b และฟังก์ชันไซน์ซอยด์ของมุม γ ระหว่าง a และ b ค่าไซน์มีอยู่ในตาราง คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้เครื่องคิดเลข แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันนี้ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นถูกกำหนดผ่านความยาวของขาหรือไม่ เพราะ มุม γ เป็นมุมฉาก ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงถูกคำนวณโดยไม่ต้องคูณด้วยฟังก์ชันไซน์

3) พิจารณากรณีพิเศษ - สามเหลี่ยมปกติซึ่งด้าน a ทราบตามเงื่อนไขหรือความยาวของมันเมื่อแก้โจทย์ปัญหา ยังไม่มีใครรู้อะไรเกี่ยวกับตัวเลขในปัญหาเรขาคณิตอีกต่อไป แล้วจะค้นหาพื้นที่ภายใต้เงื่อนไขนี้ได้อย่างไร? ในกรณีนี้จะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมและใช้ขนาดของด้านที่มีจุดยอดร่วมได้อย่างไร? นิพจน์สำหรับการคำนวณคือ:

หากคุณจำเป็นต้องใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณจะต้องมีฟังก์ชันของไซน์ของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้คือ:

สี่เหลี่ยม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดให้เป็นกำลังสองของความยาวด้าน:

การพิสูจน์ตามมาจากคำจำกัดความที่ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านทุกด้านที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีมิติเท่ากัน ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจึงลงมาเพื่อคูณกันนั่นคือยกกำลังสองของด้าน และสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้รูปแบบที่ต้องการ

คุณสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ด้วยวิธีอื่น เช่น หากคุณใช้เส้นทแยงมุม:

จะคำนวณพื้นที่ของร่างที่เกิดจากส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมได้อย่างไร? ในการคำนวณพื้นที่ มีสูตรดังนี้

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้ประกอบด้วยมิติเชิงเส้นของด้าน ความสูง และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ - การคูณ หากไม่ทราบความสูง จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างไร? มีวิธีการคำนวณอื่น จะต้องระบุค่าที่แน่นอนซึ่งจะถูกนำไปใช้โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่เกิดจากด้านที่อยู่ติดกันตลอดจนความยาวของมัน

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้อย่างไร? พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดโดยใช้คณิตศาสตร์อย่างง่ายที่มีเส้นทแยงมุม การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนเส้นทแยงมุมใน d1 และ d2 ตัดกันที่มุมฉาก ตารางไซน์แสดงว่าสำหรับมุมฉากฟังก์ชันนี้จะเท่ากับความสามัคคี ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงคำนวณได้ดังนี้

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็สามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง การพิสูจน์ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน เนื่องจากด้านของมันยาวเท่ากัน จากนั้นแทนที่ผลคูณของมันให้เป็นนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ท้ายที่สุดแล้ว กรณีพิเศษของตัวเลขนี้คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยที่ γ คือมุมภายในของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดดังนี้:

สี่เหลี่ยมคางหมู

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน (a และ b) ได้อย่างไรหากปัญหาระบุความยาวของมัน? ที่นี่หากไม่มีค่าความสูงความยาว h ที่ทราบจะไม่สามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวได้ เพราะ ค่านี้มีนิพจน์สำหรับการคำนวณ:

ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมสามารถคำนวณได้ในลักษณะเดียวกัน คำนึงถึงว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะรวมแนวคิดเรื่องความสูงและด้านข้างเข้าด้วยกัน ดังนั้น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องระบุความยาวของด้านข้างแทนความสูง

ทรงกระบอกและขนานกัน

พิจารณาสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นผิวของทรงกระบอกทั้งหมด พื้นที่ของรูปนี้คือวงกลมคู่หนึ่งที่เรียกว่าฐานและพื้นผิวด้านข้าง วงกลมที่ประกอบเป็นวงกลมจะมีรัศมียาวเท่ากับ r สำหรับพื้นที่ทรงกระบอกจะมีการคำนวณดังต่อไปนี้:

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบด้วยใบหน้าสามคู่ได้อย่างไร? การวัดนั้นตรงกับคู่ที่ระบุ ใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามมีพารามิเตอร์เหมือนกัน ขั้นแรก หา S(1), S(2), S(3) - ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของใบหน้าที่ไม่เท่ากัน จากนั้นพื้นที่ผิวของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

แหวน

วงกลมสองวงที่มีศูนย์กลางร่วมกันประกอบกันเป็นวงแหวน อีกทั้งยังจำกัดพื้นที่ของวงแหวนด้วย ในกรณีนี้ สูตรการคำนวณทั้งสองจะคำนึงถึงมิติของแต่ละวงกลมด้วย ประการแรกซึ่งคำนวณพื้นที่ของวงแหวนประกอบด้วยรัศมี R ที่ใหญ่กว่าและรัศมี r ที่น้อยกว่า มักเรียกว่าภายนอกและภายใน ในนิพจน์ที่สอง พื้นที่ของวงแหวนคำนวณผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง D ที่ใหญ่กว่าและเส้นผ่านศูนย์กลาง d ที่น้อยกว่า ดังนั้นพื้นที่ของวงแหวนตามรัศมีที่ทราบจึงคำนวณดังนี้:

กำหนดพื้นที่ของวงแหวนโดยใช้ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางดังนี้:

รูปหลายเหลี่ยม

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปร่างไม่ปกติได้อย่างไร? ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว แต่ถ้าแสดงบนระนาบพิกัด เช่น อาจเป็นกระดาษตารางหมากรุก แล้วจะหาพื้นที่ผิวในกรณีนี้ได้อย่างไร ในที่นี้พวกเขาใช้วิธีการที่ไม่ต้องใช้การวัดตัวเลขโดยประมาณ พวกเขาทำสิ่งนี้: หากพวกเขาพบจุดที่ตกอยู่ในมุมของเซลล์หรือมีพิกัดทั้งหมด ระบบจะพิจารณาเฉพาะจุดเหล่านั้นเท่านั้น หากต้องการทราบว่าพื้นที่เป็นเท่าใด ให้ใช้สูตรที่พีคพิสูจน์แล้ว จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนคะแนนที่อยู่ภายในเส้นประโดยมีคะแนนครึ่งหนึ่งวางอยู่บนนั้นและลบหนึ่งจุดนั่นคือ คำนวณด้วยวิธีนี้:

โดยที่ B, G คือจำนวนจุดที่อยู่ภายในและบนเส้นขาดทั้งหมดตามลำดับ

สูตรพื้นที่จำเป็นในการกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งเป็นฟังก์ชันมูลค่าจริงที่กำหนดไว้ในประเภทของตัวเลขบางประเภทในระนาบยุคลิดและเป็นไปตามเงื่อนไข 4 ข้อ:

แง่บวก - พื้นที่ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์
การทำให้เป็นมาตรฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหน่วยด้านข้างมีพื้นที่ 1
ความสอดคล้อง - ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน
บวก - พื้นที่ของการรวมกันของ 2 ตัวเลขที่ไม่มีจุดภายในร่วมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

สูตรหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิต	สูตร	การวาดภาพ
ผลลัพธ์ของการเพิ่มระยะห่างระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนูนจะเท่ากับกึ่งเส้นรอบรูป
ภาควงกลม พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมเท่ากับผลคูณของส่วนโค้งและรัศมีครึ่งหนึ่ง
ส่วนวงกลม. เพื่อให้ได้พื้นที่ของเซกเมนต์ ASB ก็เพียงพอที่จะลบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB ออกจากพื้นที่ของเซกเตอร์ AOB	S = 1 / 2 R(s - AC)
พื้นที่ของวงรีเท่ากับผลคูณของความยาวของครึ่งแกนหลักและรองของวงรีและจำนวน pi
วงรี. อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการคำนวณพื้นที่ของวงรีคือผ่านรัศมีสองอัน
สามเหลี่ยม. ผ่านฐานและความสูง สูตรพื้นที่วงกลมโดยใช้รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง
สี่เหลี่ยม- ผ่านทางด้านข้างของเขา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สี่เหลี่ยม. ผ่านเส้นทแยงมุม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
รูปหลายเหลี่ยมปกติ. เพื่อกำหนดพื้นที่ให้ถูกต้อง รูปหลายเหลี่ยมจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ซึ่งจะมีจุดยอดร่วมอยู่ตรงกลางวงกลมที่จารึกไว้	S= r พี = 1/2 r n ก