ไม่เชื่อมัน กรณี.อ่านบทความเหล่านี้ทั้งหมดอย่างละเอียด แล้วมันก็จะปรากฏชัดดังดวงอาทิตย์ที่ส่องแสง

เช่นเดียวกับมือและสมองของไม่ใช่ทุกคนที่มีพลังลึกลับ ลูกตุ้มก็เช่นกัน ในมือของทุกคนก็ไม่สามารถกลายเป็นสิ่งลึกลับได้เช่นกัน ความแข็งแกร่งนี้ไม่ได้ได้มา แต่เกิดมาพร้อมกับบุคคล ในครอบครัวหนึ่ง คนหนึ่งเกิดมารวยและอีกครอบครัวหนึ่งจน ไม่มีใครมีอำนาจที่จะทำให้คนรวยตามธรรมชาติจนจนหรือในทางกลับกัน ตอนนี้คุณเข้าใจสิ่งที่ฉันอยากจะบอกคุณแล้ว ถ้าไม่เข้าใจก็โทษตัวเองว่าคุณเกิดมาแบบนี้

ลูกตุ้มคืออะไร? มันทำมาจากอะไร? ลูกตุ้มคือวัตถุที่เคลื่อนไหวได้อย่างอิสระซึ่งติดอยู่กับเชือก ในมือของปรมาจารย์ แม้แต่ไม้อ้อธรรมดาๆ ก็ร้องเพลงเหมือนนกไนติงเกล นอกจากนี้ ในมือของชีวมาสเตอร์ผู้มีความสามารถ ลูกตุ้มยังสร้างผลกระทบอันเหลือเชื่อในขอบเขตของการดำรงอยู่และการดำรงอยู่ของมนุษย์

มันไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไปที่คุณจะพกลูกตุ้มติดตัวไปด้วย ดังนั้นฉันจึงต้องหาแหวนที่หายไปจากครอบครัวหนึ่ง แต่ฉันไม่มีลูกตุ้มติดตัวไปด้วย ฉันมองไปรอบๆ และจุกไวน์ก็สะดุดตาฉัน จากตรงกลางจุกไม้ก๊อก ฉันใช้มีดตัดเล็กๆ แล้วติดด้ายไว้ ลูกตุ้มพร้อมแล้ว
ฉันถามเขาว่า:“ คุณจะทำงานกับฉันโดยสุจริตไหม” เขาหมุนตัวอย่างยืนยันและแรงกล้าในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ราวกับตอบอย่างร่าเริง บอกเขาในใจ: “งั้นเราไปหาแหวนที่หายไปกันเถอะ” ลูกตุ้มเคลื่อนที่อีกครั้งเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของข้อตกลง ฉันเริ่มเดินไปรอบๆสนาม

เพราะลูกสะใภ้บอกว่ายังไม่ได้เข้าบ้านเมื่อสังเกตว่าไม่มีแหวนที่นิ้ว เธอยังบอกด้วยว่าเธออยากไปหาร้านขายอัญมณีมานานแล้ว เพราะนิ้วของเธอบางลงและแหวนก็เริ่มหลุดออก ทันใดนั้นในมือของฉัน ลูกตุ้มขยับเล็กน้อย หันหลังเล็กน้อย ลูกตุ้มก็เงียบลง ฉันก้าวไปข้างหน้า แต่ลูกตุ้มขยับอีกครั้ง เขาเดินต่อไปก็เงียบอีกครั้งฉันรู้สึกประหลาดใจ ทางด้านซ้ายลูกตุ้มจะเงียบ ข้างหน้าจะเงียบ ไปทางขวาไปไหนไม่ได้เลย มีคูน้ำเล็กๆไหลอยู่ตรงนั้น ทันใดนั้นฉันก็ตระหนักได้และยกลูกตุ้มขึ้นเหนือน้ำโดยตรง ลูกตุ้มเริ่มหมุนตามเข็มนาฬิกาอย่างเข้มข้น ฉันโทรหาลูกสะใภ้และแสดงตำแหน่งของแหวนให้ฉันดู
ด้วยสายตาที่มีความสุข เธอเริ่มค้นหาผ่านคูน้ำและพบแหวนอย่างรวดเร็ว ปรากฎว่าเธอกำลังล้างมืออยู่ในคูน้ำ และตอนนั้นแหวนก็หล่นลงมา แต่เธอไม่ได้สังเกต ทุกคนต่างชื่นชมผลงานจุกไวน์

ไม่ใช่ทุกคนจะเกิดมาเป็นหมอดูหรือหมอดู ไม่ใช่หมอดูหรือหมอดูทุกคนจะประสบความสำเร็จ ตัวทำนายบางตัวทำงานโดยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่า แต่หลายคนก็โกงเหมือนพวกยิปซี ลูกตุ้มก็เช่นกัน คนไร้ความสามารถถือเป็นสิ่งที่ไร้ประโยชน์ถึงแม้จะทำด้วยทองคำ แต่ก็ไม่มีความหมาย ในมือของปรมาจารย์ที่แท้จริง ชิ้นส่วนของหินหรือถั่วธรรมดาๆ ก็สามารถสร้างความมหัศจรรย์ได้
ฉันจำได้เหมือนเมื่อวาน ในการรวมตัวกันครั้งหนึ่ง ฉันถอดเสื้อแจ็คเก็ตออกและออกไปข้างนอกสักพักหนึ่ง เมื่อฉันกลับมา ฉันรู้สึกว่ามีบางอย่างผิดปกติในใจ โดยกลไกเขาเริ่มควานหาในกระเป๋าของเขา ปรากฎว่ามีคนเอาลูกตุ้มเงินของฉันไป ฉันเงียบและไม่บอกใครเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น
หลายวันผ่านไป และวันหนึ่งมีคนที่นั่งอยู่กับเราที่กลุ่มลูกตุ้มของข้าพเจ้าสูญหายมาที่บ้านข้าพเจ้า เขาขอโทษอย่างสุดซึ้งและยื่นลูกตุ้มให้ฉัน ปรากฎว่าเขาคิดว่าพลังทั้งหมดอยู่ที่ลูกตุ้มของฉันและคิดว่าลูกตุ้มนี้จะได้ผลสำหรับเขาเช่นเดียวกับของฉัน
เมื่อเขาตระหนักถึงความผิดพลาด มโนธรรมของเขาทรมานเขาเป็นเวลานาน และในที่สุดก็ตัดสินใจคืนลูกตุ้มให้กับเจ้าของ ฉันยอมรับคำขอโทษของเขาและเลี้ยงน้ำชาให้เขาและวินิจฉัยด้วยซ้ำ ฉันพบความเจ็บป่วยมากมายในตัวเขาด้วยลูกตุ้มและเตรียมยาที่เหมาะสมให้เขา
บางคนมีของประทานจากธรรมชาติสำหรับการรักษาและการทำนาย ความสามารถนี้ไม่ได้ออกมาหลายปี บางครั้งพวกเขาได้พบกับผู้เชี่ยวชาญโดยบังเอิญ และเขาก็แสดงให้เขาเห็นเส้นทางแห่งโชคชะตาในชีวิตของเขา
ล่าสุดมีหญิงวัยกลางคนมาตรวจโรค คุณไม่สามารถบอกได้จากรูปร่างหน้าตาของเธอว่าเธอป่วย เธอบ่นว่าแขนขามีความอบอุ่นสูง ความร้อนไหลออกมาจากฝ่ามือและฝ่าเท้าตลอดเวลา และบ่อยครั้งเธอรู้สึกปวดศีรษะอย่างรุนแรงบริเวณกระหม่อม หลังจากวินิจฉัยด้วยชีพจรเป็นครั้งแรก โดยสังเกตเห็นการเพิ่มขึ้นของระดับหลอดเลือด ฉันจึงเริ่มวัดความดันโลหิตด้วยอุปกรณ์กึ่งอัตโนมัติ ในที่สุดค่าก็ลดขนาดลงทั้งซิสโตลิกและไดแอสโตลิก พวกเขาระบุ 135 ถึง 241 และอัตราการเต้นของหัวใจต่ำกว่าเกณฑ์ปกติสำหรับความดันโลหิตสูง: 62 ครั้งต่อนาที ผู้หญิงที่มีความดันโลหิตสูงเช่นนี้นั่งสงบอยู่ตรงหน้าฉัน ราวกับว่าไม่รู้สึกไม่สบายจากสภาพหลอดเลือดของฉัน ภาวะความดันโลหิตสูงที่สำคัญ (ไม่ได้อธิบาย) ไม่ได้ทำให้เธอหดหู่

ฉันไม่ได้สังเกตเห็นอะไรผิดปกติเกี่ยวกับชีพจรของเธอและระหว่างการตรวจวินิจฉัยชีพจรด้วย ฉันวินิจฉัยว่าเธอเป็นโรคความดันโลหิตสูงที่มีความจำเป็นน้อยกว่า (ไม่ทราบสาเหตุ) หากแพทย์ประจำวัดความดันโลหิตของเธอ เขาจะเรียกรถพยาบาลทันทีและนำเธอขึ้นเปลหาม เขาไม่ยอมให้เธอขยับด้วยซ้ำ ความจริงก็คือบุคคลที่มีความดันโลหิตเพิ่มขึ้นถือเป็นวิกฤตความดันโลหิตสูง อาจตามมาด้วยโรคหลอดเลือดสมองหรือหัวใจวาย
ตามที่เธอบอก ยาลดความดันโลหิตเป็นประจำทำให้เธอรู้สึกแย่ลงมากจนทำให้เธอรู้สึกคลื่นไส้ด้วยซ้ำ เมื่อลูกชายของเธอยืนกราน เธอเรียนรู้ที่จะใช้ลูกตุ้ม เมื่อปวดศีรษะมาก เธอก็ถามลูกตุ้มว่าจะดื่มแอสไพรินหรือเพนทัลจินหรือไม่ บ่อยครั้งเมื่อได้รับความยินยอมจากลูกตุ้มเธอใช้ยาต้มใบวิลโลว์หรือยาต้มใบมะตูมซึ่งแพทย์ Muhiddin แนะนำให้เธอเมื่อสี่ปีที่แล้ว หากเธอเจ็บศีรษะมาก เธอก็ดื่มแอสไพริน ในกรณีที่รุนแรงมาก เธอก็รับประทานเพนทัลจิน แพทย์และเพื่อนบ้านของผู้ป่วยโรคความดันโลหิตสูงหัวเราะเยาะกับการใช้ยาด้วยตนเองของเธอ
ฉันใช้ลูกตุ้มตรวจดูยาทั้งหมดที่เธอทานสำหรับอาการปวดหัวและความดันโลหิตสูง ทั้งหมดกลับกลายเป็นว่าได้ผลฉันยังถามลูกตุ้ม “สุขภาพของเธอจะดีขึ้นไหมถ้าเธอเริ่มรักษาผู้คนด้วยความอบอุ่นของเธอ?” ลูกตุ้มหมุนตามเข็มนาฬิกาอย่างแรงทันทีเพื่อยืนยัน ฉันจึงกำหนดให้เธอรักษาตัวเอง เพื่อจะกำจัดโรคความดันโลหิตสูงที่จำเป็น เธอต้องรักษาโรคของคนอื่นโดยวางมือหรือเท้าบนมัน ตอนนี้ฉันส่งคนไข้ไปหาเธอบ่อยๆ และเธอก็รักษาพวกเขาได้สำเร็จ พลังจิตผ่านไป- เขาชี้ความอบอุ่นของมือของเขาไปที่โรคจนถึงเอว โรคที่อยู่ต่ำกว่าเอว ในท่านอนเหนือผู้ป่วย เขาจับขาขวาหรือซ้ายตามลำดับในบริเวณที่มีปัญหา
ทั้งเธอและคนไข้พอใจกับผลลัพธ์ที่ได้ เป็นเวลาสองปีแล้วที่เธอไม่ได้รับประทานแอสไพรินหรือเพนทัลจิน และบางครั้งลูกตุ้มก็อนุญาตให้เธอดื่มยาต้มใบวิลโลว์หรือควินซ์เพื่อแก้อาการปวดหัวเล็กน้อย
ใครต้องการความช่วยเหลือจากเธอ เขียนถึงฉัน เธอจะช่วยคุณโดยมีค่าธรรมเนียมเพียงเล็กน้อย ฉันยังสอนเธอถึงวิธีปฏิบัติต่อผู้คนในระยะไกลโดยไม่ต้องสัมผัสกัน
บุคคลที่ทำงานกับลูกตุ้มอย่างแท้จริงในระหว่างการทำงานของลูกตุ้มจะต้องอยู่ในการสื่อสารแบบซิงโครนัสกับมันและต้องรู้และรู้สึกล่วงหน้าว่าทิศทางการกระทำของลูกตุ้มนั้นมุ่งไปในทิศทางใดในขณะนี้ ด้วยพลังอันทรงพลังของสมอง บุคคลที่ถือด้ายของลูกตุ้มควรช่วยเขาโดยไม่รู้ตัวและไม่ใช่การคาดเดาในการดำเนินการต่อไปกับวัตถุนี้ และอย่ามองการกระทำของลูกตุ้มอย่างเฉยเมยในฐานะผู้ชม
ลูกตุ้มเคยเป็นและยังคงใช้โดยผู้มีชื่อเสียงเกือบทั้งหมดในเมโสโปเตเมีย อัสซีเรีย อูราร์ตู อินเดีย จีน ญี่ปุ่น โรมโบราณ อียิปต์ กรีซ เอเชีย แอฟริกา อเมริกา ยุโรป ตะวันออก และหลายประเทศทั่วโลก
เนื่องจากสถาบันระหว่างประเทศที่มีชื่อเสียงหลายแห่ง บุคคลสำคัญในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ ยังไม่ค่อยชื่นชมการกระทำและจุดประสงค์ของลูกตุ้มในการอยู่ร่วมกันของมนุษยชาติกับธรรมชาติโดยรอบอย่างสอดคล้องและกลมกลืน มนุษยชาติยังไม่ได้ละทิ้งมุมมองเชิงวิทยาศาสตร์เทียมเกี่ยวกับจักรวาลของ Universal Normal ในระดับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่โดยสิ้นเชิง มีขั้นตอนของการเบลอเส้นความรู้ระหว่างศาสนา ความลึกลับ และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ โดยธรรมชาติแล้ว วิทยาศาสตร์ธรรมชาติควรกลายเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์พื้นฐานทั้งหมดโดยไม่มีมุมมองด้านข้าง
มีความหวังว่าศาสตร์แห่งลูกตุ้มจะมาแทนที่วิทยาศาสตร์ในชีวิตผู้คนควบคู่ไปกับวิทยาการสารสนเทศด้วย ท้ายที่สุดแล้ว มีช่วงหนึ่งที่ผู้นำของประเทศข้ามชาติของเราประกาศว่าไซเบอร์เนติกส์เป็นวิทยาศาสตร์เทียมและไม่อนุญาตให้ไม่เพียงแต่เพื่อการศึกษาเท่านั้น แต่ยังต้องศึกษาในสถาบันการศึกษาอีกด้วย
ดังนั้น ณ ระดับสูงสุดของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ พวกเขามองแนวคิดเรื่องลูกตุ้มราวกับว่ามันเป็นอุตสาหกรรมที่ล้าหลัง จำเป็นต้องจัดระบบลูกตุ้ม ดาวซิ่ง และเฟรมภายใต้ส่วนเดียวของวิทยาการคอมพิวเตอร์ และจำเป็นต้องสร้างโมดูลโปรแกรมคอมพิวเตอร์
ด้วยความช่วยเหลือของโมดูลนี้ ทุกคนสามารถค้นหาสิ่งที่หายไป ระบุตำแหน่งของวัตถุ และสุดท้าย วินิจฉัยผู้คน สัตว์ นก แมลง และธรรมชาติทั้งหมดโดยทั่วไป
ในการทำเช่นนี้คุณต้องศึกษาแนวคิดของ L. G. Puchko เกี่ยวกับการแพทย์หลายมิติและงานของ Psychic Geller รวมถึงแนวคิดของผู้รักษาชาวบัลแกเรีย Kanaliev และผลงานของคนอื่น ๆ อีกมากมายที่ได้รับผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ด้วยความช่วยเหลือของ ลูกตุ้ม

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายไร้น้ำหนักและยืดไม่ได้ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองในอุดมคติที่อธิบายลูกตุ้มจริงได้อย่างถูกต้องภายใต้เงื่อนไขบางประการเท่านั้น ลูกตุ้มจริงถือได้ว่าเป็นทางคณิตศาสตร์หากความยาวของด้ายมากกว่าขนาดของลำตัวที่แขวนอยู่มากมวลของด้ายนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับมวลของลำตัวและการเสียรูปของด้ายนั้นเล็กมาก ที่จะละเลยไปได้เลย

ระบบออสซิลเลเตอร์ในกรณีนี้ประกอบขึ้นด้วยด้าย วัตถุที่ติดอยู่กับมันและโลก โดยที่ระบบนี้ไม่สามารถทำหน้าที่เป็นลูกตุ้มได้

ที่ไหน ก เอ็กซ์ – การเร่งความเร็ว, ก – การเร่งความเร็วในการตกอย่างอิสระ เอ็กซ์- การกระจัด ล– ความยาวของเกลียวลูกตุ้ม

สมการนี้เรียกว่า สมการการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์อธิบายการสั่นสะเทือนดังกล่าวได้อย่างถูกต้องเฉพาะเมื่อเป็นไปตามสมมติฐานต่อไปนี้:

2) พิจารณาเฉพาะการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มที่มีมุมสวิงเล็ก ๆ เท่านั้น

การสั่นสะเทือนอิสระของระบบใดๆ จะถูกอธิบายในทุกกรณีโดยใช้สมการที่คล้ายคลึงกัน

สาเหตุของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือ:

1. ผลกระทบของความตึงเครียดและแรงโน้มถ่วงต่อลูกตุ้ม ป้องกันไม่ให้เคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลและบังคับให้ตกลงมาอีกครั้ง

2. ความเฉื่อยของลูกตุ้มซึ่งรักษาความเร็วไว้ไม่ได้หยุดอยู่ในตำแหน่งสมดุล แต่จะผ่านไปต่อไป

คาบของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ระยะเวลาของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของมัน แต่ถูกกำหนดโดยความยาวของเกลียวและความเร่งของแรงโน้มถ่วงในตำแหน่งที่ลูกตุ้มตั้งอยู่เท่านั้น

การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิก

ในระหว่างการสั่นฮาร์มอนิกของลูกตุ้มสปริง พลังงานศักย์ของวัตถุที่มีรูปร่างผิดปกติแบบยืดหยุ่นจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ โดยที่ เค – ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น เอ็กซ์ -โมดูลัสของการกระจัดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล ม- มวลของลูกตุ้ม โวลต์- ความเร็วของมัน ตามสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

, .

พลังงานรวมของลูกตุ้มสปริง:

.

พลังงานทั้งหมดสำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:

ในกรณีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

การเปลี่ยนแปลงพลังงานระหว่างการแกว่งของลูกตุ้มสปริงเกิดขึ้นตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกล ( - เมื่อลูกตุ้มเคลื่อนลงหรือขึ้นจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ของมันจะเพิ่มขึ้น และพลังงานจลน์ของมันจะลดลง เมื่อลูกตุ้มผ่านตำแหน่งสมดุล ( เอ็กซ์= 0) พลังงานศักย์เป็นศูนย์ และพลังงานจลน์ของลูกตุ้มมีค่ามากที่สุด เท่ากับพลังงานทั้งหมด

ดังนั้นในกระบวนการของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้ม พลังงานศักย์ของมันจะกลายเป็นจลน์ จลน์เป็นศักย์ ศักย์จากนั้นกลับเป็นจลน์ ฯลฯ แต่พลังงานกลทั้งหมดยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง.

การสั่นที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอกเรียกว่า การสั่นบังคับ- แรงคาบภายนอกที่เรียกว่าแรงผลักดัน จะส่งพลังงานเพิ่มเติมให้กับระบบออสซิลเลชัน ซึ่งจะไปเติมเต็มการสูญเสียพลังงานที่เกิดขึ้นเนื่องจากแรงเสียดทาน หากแรงผลักดันเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ การสั่นที่ถูกบังคับจะเป็นฮาร์โมนิกและไม่มีแดมป์

ต่างจากการสั่นแบบอิสระ เมื่อระบบได้รับพลังงานเพียงครั้งเดียว (เมื่อระบบถูกนำออกจากสมดุล) ในกรณีที่เกิดการสั่นแบบบังคับ ระบบจะดูดซับพลังงานนี้จากแหล่งกำเนิดแรงภายนอกเป็นระยะอย่างต่อเนื่อง พลังงานนี้ชดเชยการสูญเสียที่ใช้ไปกับการเอาชนะแรงเสียดทาน ดังนั้นพลังงานทั้งหมดของระบบออสซิลเลเตอร์จึงยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ความถี่ของการสั่นแบบบังคับจะเท่ากับความถี่ของแรงขับเคลื่อน- ในกรณีที่ความถี่ของแรงขับเคลื่อน υ เกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลลาทอรี υ 0 , มีการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วของแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ - เสียงก้อง. เสียงสะท้อนเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อใด υ = υ 0 แรงภายนอกซึ่งกระทำในเวลาที่มีการสั่นสะเทือนอิสระจะสอดคล้องกับความเร็วของตัวสั่นเสมอและทำงานเชิงบวก: พลังงานของตัวสั่นจะเพิ่มขึ้น และแอมพลิจูดของการแกว่งจะมีขนาดใหญ่ กราฟแสดงแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ ก ต เรื่องความถี่ของแรงขับเคลื่อน υ นำเสนอในรูปนี้ กราฟนี้เรียกว่าเส้นโค้งเรโซแนนซ์:

ปรากฏการณ์การสั่นพ้องมีบทบาทสำคัญในกระบวนการทางธรรมชาติ วิทยาศาสตร์ และอุตสาหกรรมหลายประการ ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนึงถึงปรากฏการณ์การสั่นพ้องเมื่อออกแบบสะพาน อาคาร และโครงสร้างอื่น ๆ ที่ได้รับการสั่นสะเทือนภายใต้ภาระ ไม่เช่นนั้นโครงสร้างเหล่านี้อาจถูกทำลายภายใต้เงื่อนไขบางประการ

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนด้ายไร้น้ำหนักและยืดไม่ได้ซึ่งติดอยู่กับสารแขวนลอยและอยู่ในสนามแรงโน้มถ่วง (หรือแรงอื่น)

ขอให้เราศึกษาการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย สัมพันธ์กับจุดที่จุดแขวนลอยอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง เราจะละเลยแรงต้านอากาศ (ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติ) ในตอนแรก ลูกตุ้มจะพักอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล C ในกรณีนี้ แรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่น F?ynp ของด้ายที่กระทำกับมันจะได้รับการชดเชยร่วมกัน

ลองเอาลูกตุ้มออกจากตำแหน่งสมดุล (โดยการเบี่ยงเบนเช่นไปยังตำแหน่ง A) แล้วปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น (รูปที่ 1) ในกรณีนี้ กองกำลังไม่สมดุลกัน องค์ประกอบในวงโคจรของแรงโน้มถ่วงซึ่งกระทำต่อลูกตุ้มทำให้มีความเร่งในวงโคจร (องค์ประกอบของความเร่งรวมที่พุ่งไปตามเส้นแทนเจนต์กับวิถีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์) และลูกตุ้มเริ่มเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุลด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์ องค์ประกอบในวงโคจรของแรงโน้มถ่วงจึงเป็นแรงฟื้นฟู องค์ประกอบแรงโน้มถ่วงปกติจะพุ่งไปตามเกลียวเทียบกับแรงยืดหยุ่น ผลลัพธ์ของแรงจะทำให้ลูกตุ้มมีความเร่งปกติ ซึ่งจะเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว และลูกตุ้มจะเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้ง ABCD

ยิ่งลูกตุ้มเข้าใกล้ตำแหน่งสมดุล C ค่าขององค์ประกอบวงสัมผัสก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ในตำแหน่งสมดุล มันจะเท่ากับศูนย์ และความเร็วจะถึงค่าสูงสุด และลูกตุ้มจะเคลื่อนที่ต่อไปตามความเฉื่อย โดยเพิ่มขึ้นเป็นส่วนโค้งขึ้น ในกรณีนี้ ส่วนประกอบจะสวนทางกับความเร็ว เมื่อมุมโก่งเพิ่มขึ้น ขนาดของแรงจะเพิ่มขึ้น และขนาดของความเร็วจะลดลง และที่จุด D ความเร็วของลูกตุ้มจะกลายเป็นศูนย์ ลูกตุ้มหยุดครู่หนึ่งแล้วเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับตำแหน่งสมดุล เมื่อผ่านมันไปอีกครั้งด้วยความเฉื่อย ลูกตุ้มที่ชะลอการเคลื่อนที่จะไปถึงจุด A (ไม่มีแรงเสียดทาน) เช่น จะทำให้วงสวิงสมบูรณ์ หลังจากนี้ การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มจะทำซ้ำตามลำดับที่อธิบายไว้แล้ว

ขอให้เราได้สมการที่อธิบายการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ปล่อยให้ลูกตุ้ม ณ เวลาที่กำหนดอยู่ที่จุด B การกระจัด S จากตำแหน่งสมดุล ณ ขณะนี้ เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง SV (เช่น S = |SV|) ให้เราแสดงความยาวของด้ายแขวนเป็น l และมวลของลูกตุ้มเป็น m

จากรูปที่ 1 ชัดเจนว่า ที่ไหน . เมื่อทำมุมเล็กๆ () ลูกตุ้มจะเบี่ยงเบนไป

เครื่องหมายลบถูกใส่ไว้ในสูตรนี้เนื่องจากองค์ประกอบในวงสัมผัสของแรงโน้มถ่วงมุ่งตรงไปยังตำแหน่งสมดุล และการกระจัดจะนับจากตำแหน่งสมดุล

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ขอให้เราฉายปริมาณเวกเตอร์ของสมการนี้ไปยังทิศทางของเส้นสัมผัสของเส้นโคจรของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

จากสมการเหล่านี้เราได้

สมการการเคลื่อนที่แบบไดนามิกของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ ความเร่งในวงสัมผัสของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์นั้นแปรผันตามการกระจัดและมุ่งตรงไปยังตำแหน่งสมดุล สมการนี้สามารถเขียนได้เป็น

เปรียบเทียบกับสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก เราสามารถสรุปได้ว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก และเนื่องจากการแกว่งของลูกตุ้มที่พิจารณานั้นเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในเท่านั้น สิ่งเหล่านี้จึงเป็นการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้ม ดังนั้น การแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจึงเป็นฮาร์มอนิก

มาแสดงกันเถอะ

ความถี่วงจรของการสั่นของลูกตุ้ม

คาบการสั่นของลูกตุ้ม เพราะฉะนั้น,

สำนวนนี้เรียกว่าสูตรของฮอยเกนส์ เป็นตัวกำหนดระยะเวลาของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ จากสูตรดังต่อไปนี้ว่าที่มุมเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุล คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือ:

1. ไม่ขึ้นอยู่กับมวลและความกว้างของการสั่นสะเทือน
2. เป็นสัดส่วนกับรากที่สองของความยาวของลูกตุ้มและเป็นสัดส่วนผกผันกับรากที่สองของความเร่งของแรงโน้มถ่วง

ซึ่งสอดคล้องกับกฎการทดลองของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่ง G. Galileo ค้นพบ

เราเน้นย้ำว่าสูตรนี้สามารถใช้เพื่อคำนวณระยะเวลาได้หากตรงตามเงื่อนไขสองข้อพร้อมกัน:

1. การแกว่งของลูกตุ้มควรมีขนาดเล็ก
2. จุดแขวนของลูกตุ้มจะต้องอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ลูกตุ้มตั้งอยู่

หากจุดแขวนของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง แรงดึงของเกลียวจะเปลี่ยนไป ซึ่งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในแรงคืนสภาพ และด้วยเหตุนี้ ความถี่และระยะเวลาของการแกว่ง ตามที่คำนวณไว้ ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มในกรณีนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

โดยที่ความเร่ง "มีประสิทธิผล" ของลูกตุ้มในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยคือ มันเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงและเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์นั่นคือ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองของลูกตุ้มธรรมดา ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายยาวไร้น้ำหนักและยืดออกไม่ได้

ลองย้ายลูกบอลออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยมัน แรงสองแรงจะกระทำต่อลูกบอล: แรงโน้มถ่วงและความตึงของเส้นด้าย เมื่อลูกตุ้มเคลื่อนที่ แรงเสียดทานอากาศจะยังคงกระทำต่อมัน แต่เราจะถือว่ามันน้อยมาก

ให้เราแยกแรงโน้มถ่วงออกเป็นสองส่วน: แรงที่พุ่งไปตามเกลียว และแรงที่พุ่งตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งของวิถีลูกบอล

แรงทั้งสองนี้รวมกันเป็นแรงโน้มถ่วง แรงยืดหยุ่นของเส้นด้ายและองค์ประกอบแรงโน้มถ่วง Fn ให้ความเร่งสู่ศูนย์กลางสู่ลูกบอล งานที่ทำโดยแรงเหล่านี้จะเป็นศูนย์ ดังนั้น แรงเหล่านี้จะเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเท่านั้น ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง มันจะพุ่งเข้าหาส่วนโค้งของวงกลมในแนวสัมผัส

ภายใต้อิทธิพลขององค์ประกอบแรงโน้มถ่วง Fτ ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งวงกลมโดยมีความเร็วเพิ่มขึ้นตามขนาด ค่าของแรงนี้จะเปลี่ยนแปลงตามขนาดเสมอเมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลจะเท่ากับศูนย์

พลวัตของการเคลื่อนที่แบบสั่น

สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แกว่งไปมาภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น

สมการทั่วไปของการเคลื่อนที่:

การสั่นสะเทือนในระบบเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงยืดหยุ่น ซึ่งตามกฎของฮุค จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัดของโหลด

จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ของลูกบอลจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

หารสมการนี้ด้วย m เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

และเนื่องจากสัมประสิทธิ์มวลและความยืดหยุ่นเป็นปริมาณคงที่ อัตราส่วน (-k/m) จึงต้องคงที่เช่นกัน เราได้รับสมการที่อธิบายการสั่นสะเทือนของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น

การฉายภาพความเร่งของร่างกายจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์อธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

สมการนี้มีรูปแบบเดียวกับสมการการเคลื่อนที่ของมวลบนสปริง ผลที่ตามมาคือ การแกว่งของลูกตุ้มและการเคลื่อนที่ของลูกบอลบนสปริงจึงเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน

การกระจัดของลูกบอลบนสปริงและการกระจัดของตัวลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามเวลาตามกฎเดียวกัน

ระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุ (ตัวเครื่อง) ที่แขวนอยู่บนเกลียวไร้น้ำหนักที่ขยายไม่ได้ (มวลของมันไม่มีความสำคัญเลยเมื่อเทียบกับน้ำหนักของตัวเครื่อง) ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอเรียกว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (อีกชื่อหนึ่งคือออสซิลเลเตอร์) อุปกรณ์นี้มีประเภทอื่น สามารถใช้แท่งไร้น้ำหนักแทนด้ายได้ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์สามารถเปิดเผยแก่นแท้ของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจมากมายได้อย่างชัดเจน เมื่อแอมพลิจูดของการสั่นมีขนาดเล็ก การเคลื่อนที่ของมันจะเรียกว่าฮาร์มอนิก

ภาพรวมระบบเครื่องกล

สูตรสำหรับคาบการแกว่งของลูกตุ้มนี้ได้มาจากนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Huygens (1629-1695) ผู้ร่วมสมัยของ I. Newton สนใจระบบกลไกนี้มาก ในปี 1656 เขาได้สร้างนาฬิกาเรือนแรกที่มีกลไกลูกตุ้ม พวกเขาวัดเวลาด้วยความแม่นยำเป็นพิเศษสำหรับช่วงเวลาเหล่านั้น สิ่งประดิษฐ์นี้กลายเป็นเวทีสำคัญในการพัฒนาการทดลองทางกายภาพและกิจกรรมภาคปฏิบัติ

หากลูกตุ้มอยู่ในตำแหน่งสมดุล (แขวนในแนวตั้ง) ลูกตุ้มจะสมดุลตามแรงตึงของเกลียว ลูกตุ้มแบนบนเกลียวที่ยืดไม่ได้คือระบบที่มีอิสระสองระดับพร้อมข้อต่อ เมื่อคุณเปลี่ยนส่วนประกอบเพียงชิ้นเดียว คุณลักษณะของชิ้นส่วนทั้งหมดจะเปลี่ยนไป ดังนั้นหากเปลี่ยนด้ายเป็นแกน ระบบกลไกนี้จะมีอิสระเพียง 1 องศาเท่านั้น ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติอะไรบ้าง? ในระบบที่ง่ายที่สุดนี้ ความโกลาหลเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของการรบกวนเป็นระยะ ในกรณีที่จุดแขวนลอยไม่เคลื่อนที่แต่แกว่งไปมา ลูกตุ้มจะมีตำแหน่งสมดุลใหม่ ด้วยการแกว่งขึ้นและลงอย่างรวดเร็ว ระบบกลไกนี้จึงได้ตำแหน่ง "กลับหัว" ที่มั่นคง มีชื่อเป็นของตัวเองด้วย มันถูกเรียกว่าลูกตุ้ม Kapitza

คุณสมบัติของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก ทั้งหมดได้รับการยืนยันโดยกฎทางกายภาพที่ทราบ คาบการสั่นของลูกตุ้มอื่นๆ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ เช่น ขนาดและรูปร่างของร่างกาย ระยะห่างระหว่างจุดแขวนลอยกับจุดศูนย์ถ่วง และการกระจายตัวของมวลสัมพันธ์กับจุดนี้ นั่นคือเหตุผลว่าทำไมการกำหนดระยะเวลาการแขวนคอของร่างกายจึงเป็นงานที่ค่อนข้างยาก การคำนวณคาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายกว่ามาก โดยจะมีสูตรดังต่อไปนี้ จากการสังเกตระบบกลไกที่คล้ายคลึงกัน จึงสามารถกำหนดรูปแบบต่อไปนี้ได้:

ถ้าเราแขวนตุ้มน้ำหนักต่างกัน ขณะรักษาความยาวของลูกตุ้มเท่าเดิม ระยะเวลาของการแกว่งจะเท่ากัน แม้ว่ามวลจะต่างกันมากก็ตาม ดังนั้นระยะเวลาของลูกตุ้มดังกล่าวจึงไม่ขึ้นอยู่กับมวลของน้ำหนักบรรทุก

หากเมื่อสตาร์ทระบบ หากลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปไม่ใหญ่เกินไป แต่มีมุมต่างกัน ลูกตุ้มก็จะเริ่มแกว่งในช่วงเวลาเดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดต่างกัน ตราบใดที่การเบี่ยงเบนจากศูนย์กลางของสมดุลไม่มากจนเกินไป การสั่นสะเทือนในรูปแบบจะค่อนข้างใกล้เคียงกับฮาร์มอนิก คาบของลูกตุ้มดังกล่าวไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการสั่นแต่อย่างใด คุณสมบัติของระบบกลไกที่กำหนดนี้เรียกว่าไอโซโครนิซึม (แปลจากภาษากรีก "โครโนส" - เวลา "ไอโซส" - เท่ากัน)

คาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ตัวบ่งชี้นี้แสดงถึงช่วงเวลา แม้จะมีการกำหนดที่ซับซ้อน แต่กระบวนการเองก็ง่ายมาก ถ้าความยาวของเกลียวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือ L และความเร่งของการตกอย่างอิสระคือ g แล้วค่านี้จะเท่ากับ:

คาบของการแกว่งตามธรรมชาติเล็กน้อยไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้มและแอมพลิจูดของการแกว่งแต่อย่างใด ในกรณีนี้ ลูกตุ้มจะเคลื่อนที่ในลักษณะทางคณิตศาสตร์โดยมีความยาวลดลง

การสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์แกว่งไปมา ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่าย:

x + ω2 บาป x = 0,

โดยที่ x (t) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (นี่คือมุมเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุลด้านล่าง ณ เวลา t ซึ่งแสดงเป็นเรเดียน) ω คือค่าคงที่บวก ซึ่งกำหนดจากพารามิเตอร์ของลูกตุ้ม (ω = √g/L โดยที่ g คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง และ L คือความยาวของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (สารแขวนลอย)

สมการของการสั่นสะเทือนเล็กๆ ใกล้ตำแหน่งสมดุล (สมการฮาร์มอนิก) มีลักษณะดังนี้:

x + ω2 บาป x = 0

การเคลื่อนที่แบบสั่นของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งทำให้เกิดการสั่นเล็กน้อยเคลื่อนที่ไปตามไซนัสอยด์ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองตรงตามข้อกำหนดและพารามิเตอร์ทั้งหมดของการเคลื่อนไหวดังกล่าว ในการกำหนดวิถีจำเป็นต้องตั้งค่าความเร็วและพิกัดซึ่งจะกำหนดค่าคงที่อิสระ:

x = บาป (θ 0 + ωt)

โดยที่ θ 0 คือเฟสเริ่มต้น A คือแอมพลิจูดของการแกว่ง ω คือความถี่ไซคลิกที่กำหนดจากสมการการเคลื่อนที่

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (สูตรสำหรับแอมพลิจูดขนาดใหญ่)

ระบบกลไกนี้ซึ่งแกว่งด้วยแอมพลิจูดที่มีนัยสำคัญ อยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนมากขึ้น สำหรับลูกตุ้มดังกล่าวจะคำนวณตามสูตร:

บาป x/2 = u * sn(ωt/u),

โดยที่ sn คือจาโคบีไซน์ ซึ่งสำหรับคุณ< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

ยู = (ε + ω2)/2ω2,

โดยที่ ε = E/mL2 (mL2 คือพลังงานของลูกตุ้ม)

คาบการสั่นของลูกตุ้มไม่เชิงเส้นถูกกำหนดโดยใช้สูตร:

โดยที่ Ω = π/2 * ω/2K(u), K คืออินทิกรัลทรงรี, π - 3,14.

การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มตามแนวแยก

separatrix คือวิถีของระบบไดนามิกที่มีพื้นที่เฟสสองมิติ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เคลื่อนที่ไปตามนั้นอย่างไม่เป็นระยะ ในช่วงเวลาที่ห่างไกลอย่างไร้ขอบเขต มันจะตกลงจากตำแหน่งสูงสุดไปด้านข้างด้วยความเร็วเป็นศูนย์ จากนั้นจะค่อยๆ เพิ่มขึ้น ในที่สุดมันก็หยุดและกลับสู่ตำแหน่งเดิม

ถ้าแอมพลิจูดของการแกว่งของลูกตุ้มเข้าใกล้ตัวเลข π ซึ่งบ่งชี้ว่าการเคลื่อนที่บนระนาบเฟสกำลังเข้าใกล้ตัวแยกพาราทริกซ์ ในกรณีนี้ ภายใต้อิทธิพลของแรงขับเคลื่อนเล็กน้อยเป็นระยะ ระบบกลไกจะแสดงพฤติกรรมที่วุ่นวาย

เมื่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุมที่แน่นอน φ แรงโน้มถ่วงในวงสัมผัส Fτ = -mg sin φ จะเกิดขึ้น เครื่องหมายลบหมายความว่าส่วนประกอบในวงสัมผัสนี้มีทิศทางตรงกันข้ามกับการโก่งตัวของลูกตุ้ม เมื่อแทนด้วย x การกระจัดของลูกตุ้มตามแนวส่วนโค้งวงกลมที่มีรัศมี L การกระจัดเชิงมุมจะเท่ากับ φ = x/L กฎข้อที่สองซึ่งมีไว้สำหรับการฉายภาพและแรงจะให้ค่าที่ต้องการ:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

จากความสัมพันธ์นี้ เห็นได้ชัดเจนว่าลูกตุ้มนี้เป็นระบบไม่เชิงเส้น เนื่องจากแรงที่มีแนวโน้มที่จะส่งกลับไปยังตำแหน่งสมดุลนั้นจะเป็นสัดส่วนเสมอไม่ใช่กับการกระจัด x แต่เป็นของ sin x/L

เฉพาะเมื่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ทำการแกว่งเล็กน้อยเท่านั้นจึงจะเป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะกลายเป็นระบบกลไกที่สามารถทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกได้ การประมาณนี้ใช้ได้กับมุม 15-20° การแกว่งของลูกตุ้มที่มีแอมพลิจูดสูงจะไม่ฮาร์มอนิก

กฎของนิวตันสำหรับการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้ม

หากระบบกลไกมีการสั่นสะเทือนเล็กน้อย กฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะมีลักษณะดังนี้:

มก. τ = Fτ = -m* g/L* x

จากข้อมูลนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีสัดส่วนกับการกระจัดด้วยเครื่องหมายลบ นี่คือเงื่อนไขที่ระบบกลายเป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างการกระจัดและความเร่งเท่ากับกำลังสองของความถี่วงกลม:

ω02 = ก./ลิตร; ω0 = √ ก./ลิตร

สูตรนี้สะท้อนความถี่ธรรมชาติของการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มประเภทนี้ บนพื้นฐานนี้

T = 2π/ ω0 = 2π√ กรัม/ลิตร

การคำนวณตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

คุณสมบัติของลูกตุ้มสามารถอธิบายได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน ควรคำนึงว่าลูกตุ้มในสนามโน้มถ่วงมีค่าเท่ากับ:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

ผลรวมเท่ากับจลน์หรือศักยภาพสูงสุด: Epmax = Ekmsx = E

หลังจากเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานแล้ว ให้หาอนุพันธ์ของด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ:

เนื่องจากอนุพันธ์ของปริมาณคงที่เท่ากับ 0 ดังนั้น (Ep + Ek)" = 0 อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

เพราะฉะนั้น:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0

จากสูตรสุดท้าย เราพบว่า: α = - g/L*x

การประยุกต์ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ความเร่งแปรผันตามละติจูด เนื่องจากความหนาแน่นของเปลือกโลกไม่เท่ากันทั่วทั้งโลก เมื่อมีหินที่มีความหนาแน่นสูงก็จะสูงขึ้นเล็กน้อย ความเร่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มักใช้สำหรับการสำรวจทางธรณีวิทยา ใช้เพื่อค้นหาแร่ธาตุต่างๆ เพียงนับจำนวนการสั่นของลูกตุ้ม เราก็สามารถตรวจจับถ่านหินหรือแร่ในบาดาลของโลกได้ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าฟอสซิลดังกล่าวมีความหนาแน่นและมวลมากกว่าหินที่อยู่ด้านล่าง

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ถูกใช้โดยนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นเช่นโสกราตีส, อริสโตเติล, เพลโต, พลูทาร์ก, อาร์คิมิดีส หลายคนเชื่อว่าระบบกลไกนี้อาจส่งผลต่อชะตากรรมและชีวิตของบุคคลได้ อาร์คิมิดีสใช้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณ ปัจจุบันนักไสยศาสตร์และนักจิตวิทยาหลายคนใช้ระบบกลไกนี้เพื่อบรรลุคำทำนายของตนหรือค้นหาผู้สูญหาย

นักดาราศาสตร์และนักธรรมชาติวิทยาชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดัง K. Flammarion ยังใช้ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ในการวิจัยของเขาด้วย เขาอ้างว่าด้วยความช่วยเหลือนี้ เขาสามารถทำนายการค้นพบดาวเคราะห์ดวงใหม่ การปรากฏตัวของอุกกาบาต Tunguska และเหตุการณ์สำคัญอื่นๆ ได้ ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง สถาบันลูกตุ้มเฉพาะทางดำเนินการในเยอรมนี (เบอร์ลิน) ปัจจุบัน สถาบันจิตศาสตร์แห่งมิวนิกมีส่วนร่วมในการวิจัยที่คล้ายกัน พนักงานของสถานประกอบการแห่งนี้เรียกงานของพวกเขาเกี่ยวกับลูกตุ้มว่า "การแผ่รังสี"