Визначення
Силу, яка виникає в результаті деформації тіла і намагається повернути його у вихідний стан, називають силою пружності.
Найчастіше її позначають $(\overline(F))_(upr)$. Сила пружності виникає лише при деформації тіла і зникає, якщо зникає деформація. Якщо після зняття зовнішнього навантаження тіло відновлює свої розміри та форму повністю, то така деформація називається пружною.
Сучасник І. Ньютона Р. Гук встановив залежність сили пружності від величини деформації. Гук довго сумнівався у справедливості своїх висновків. В одній зі своїх книг він навів зашифроване формулювання свого закону. Яка означала: "Ut tensio, sic vis" у перекладі з латини: яке розтягнення, така сила.
Розглянемо пружину, на яку діє сила, що розтягує ($\overline(F)$), яка спрямована вертикально вниз (рис.1).
Силу $\overline(F\ )$ назвемо деформуючою силою. Від впливу сили, що деформує, довжина пружини збільшується. В результаті в пружині з'являється сила пружності ($(\overline(F))_u$), що врівноважує силу $\overline(F\ )$. Якщо деформація є невеликою та пружною, то подовження пружини ($\Delta l$) прямо пропорційно деформуючій силі:
\[\overline(F)=k\Delta l\left(1\right),\]
де коефіцієнт пропорційності називається жорсткістю пружини (коефіцієнтом пружності) $k$.
Жорсткість (як властивість) – це характеристика пружних властивостей тіла, що деформують. Жорсткість вважають можливістю тіла протидіяти зовнішній силі, здатність зберігати свої геометричні параметри. Чим більша жорсткість пружини, тим менше вона змінює свою довжину під впливом заданої сили. Коефіцієнт жорсткості – це основна характеристика жорсткості (як властивості тіла).
Коефіцієнт жорсткості пружини залежить від матеріалу, з якого зроблена пружина та її геометричних характеристик. Наприклад, коефіцієнт жорсткості кручений циліндричної пружини, яка намотана з дроту круглого перерізу, що піддається пружній деформації вздовж своєї осі може бути обчислена як:
де $G$ - модуль зсуву (величина, що залежить від матеріалу); $d$ - діаметр дроту; $d_p$ - діаметр витка пружини; $n$ - кількість витків пружини.
Одиницею вимірювання коефіцієнта жорсткості у Міжнародній системі одиниць (Сі) є ньютон, поділений на метр:
\[\left=\left[\frac(F_(upr\ ))(x)\right]=\frac(\left)(\left)=\frac(Н)(м).\]
Коефіцієнт жорсткості дорівнює величині сили, яку слід докласти до пружини зміни її довжини на одиницю відстані.
Формула жорсткості з'єднань пружин
Нехай $N$ пружин з'єднані послідовно. Тоді жорсткість всього з'єднання дорівнює:
\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)+\dots =\sum\limits^N_(\ i=1)(\frac(1) (k_i)\left(3\right),)\]
де $k_i$ - жорсткість $i-ої пружини.
При послідовному з'єднанні пружин жорсткість системи визначають як:
Приклади завдань із розв'язанням
Приклад 1
Завдання.Пружина без навантаження має довжину $l=0,01$ м і жорсткість рівну 10 $\frac(Н)(м).\ $Чому дорівнюватиме жорсткість пружини та її довжина, якщо на пружину діяти силою $F$= 2 Н ? Вважайте деформацію пружини малою та пружною.
Рішення.Жорсткість пружини при пружних деформаціях є постійною величиною, отже, у нашому завданні:
За пружних деформацій виконується закон Гука:
З (1.2) знайдемо подовження пружини:
\[\Delta l=\frac(F)(k)\left(1.3\right).\]
Довжина розтягнутої пружини дорівнює:
Обчислимо нову довжину пружини:
Відповідь. 1) $ k "= 10 \ \ frac (Н) (м) $; 2) $ l" = 0,21 $ м
Приклад 2
Завдання.Дві пружини, що мають жорсткість $k_1$ і $k_2$ з'єднали послідовно. Яким буде подовження першої пружини (рис.3), якщо довжина другої пружини збільшилася на величину $ Delta l_2 $?
Рішення.Якщо пружини з'єднані послідовно, то деформуюча сила ($\overline(F)$), що діє на кожну з пружин однакова, тобто можна записати для першої пружини:
Для другої пружини запишемо:
Якщо рівні ліві частини виразів (2.1) і (2.2), можна прирівняти і праві частини:
З рівності (2.3) отримаємо подовження першої пружини:
\[\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1).\]
Відповідь.$\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1)$
Максимальна сила стиснення чи розтягування пружини залежить від кількості робочих витків! Це означає, що якщо взяти, наприклад, циліндричну пружину стиснення, а потім розрізати її на дві нерівніпо висоті частини, то максимальне зусилля при повному стисканні...
Обох пружин, що утворилися, буде однаковим. Більше того – максимальна сила залишиться такою самою, як у вихідної пружини!
У чому тоді різниця між трьома розглянутими вище пружинами? Відповідь на це питання – у висотних розмірах та жорсткості.
Найменша пружина найжорсткіша. Вона має найменший хід від вільного стану до повного стиску. Вихідна пружина (до поділу) – найм'якша. Має найбільший хід.
Жорсткість пружини ( C) є ключовим параметром, що визначає силу стиснення або розтягування ( F i) при певній величині деформації ( L 0 — L i ):
F i = C * (L 0 — L i )
У свою чергу сама жорсткість пружини ( C) залежить тільки від жорсткості одного витка ( C 1 ) та числа робочих витків ( N ):
C = C 1 / N
Зверніть увагу – жорсткість одного витка завжди більша за жорсткість усієї пружини! Причому, чим більше у пружині витків, тим вона м'якша.
Розрахунок у Excel жорсткості витка пружини.
Жорсткість витка пружини - це «наріжний камінь у фундаменті» розрахунків, що залежить лише від модуля зсуву матеріалу, з якого пружина навита та її геометричних розмірів.
C 1 = G * X 4 /(Y *(D 1 — B ) 3 )
У цій формулі:
G– модуль зсуву матеріалу дроту
Для пружинної сталі:
G ≈78500 МПа ±10%
Для пружинної бронзи:
G ≈45000 МПа ±10%
X- Мінімальний розмір перерізу дроту
Для круглого дроту – це його діаметр:
X = D
Для прямокутного дроту:
X = Hпри H < B
X = Bпри B < H
H– висота перерізу дроту у напрямку паралельної осі навивки пружини
B– ширина перерізу дроту у напрямку перпендикулярному до осі навивки пружини
Для круглого дроту:
H = B = D
D 1 - Зовнішній діаметр пружини
(D 1 — B ) - Середній діаметр пружини
Y- Параметр жорсткості перерізу дроту
Для круглого дроту:
Y= 8
Для прямокутного дроту:
Y = f(H / B )
Що це за функція? f ( H / B ) ? У літературі вона завжди задана у вигляді таблиці, що не завжди зручно, особливо для проміжних значень H / B, яких просто немає.
Виконаємо в MS Excel табличних даних у перших двох стовпцях аналітичними функціями, розбивши для підвищення точності табличні значення на три групи.
На графіках, наведених нижче, Excel знайшов три рівняння для визначення параметра Yпри різних значеннях аргументу - відношення висоти дроту до ширини. H / B. Червоні точки – це задані значення таблиці (стовпець №2), чорні лінії – це графіки знайдених апроксимуючих функцій. Рівняння цих функцій Excel вивів безпосередньо поля графіків.
У таблиці у стовпці №3 розміщені пораховані за отриманими формулами значення параметра жорсткості перерізу дроту Y, а в стовпцях №4 та №5 – абсолютні Δ абста відносні Δ отнпохибки апроксимації.
Як видно з таблиці та графіків отримані рівняння дуже точно заміняють табличні дані! Величина достовірності апроксимації R2 дуже близька до 1 і відносна похибка не перевищує 2,7%!
Застосуємо практично отримані результати.
Розрахунок пружини стиснення із дроту прямокутного перерізу.
Жорсткість пружини з дроту або дроту прямокутного перерізу при тих же габаритах, що і з круглого дроту може бути набагато більшою. Відповідно і сила стиснення пружини може бути більшою.
Нижче наведена програма є переробленою версією, докладний опис якої ви знайдете, перейшовши за посиланням. Прочитайте цю статтю, і вам буде простіше розібратися в алгоритмі.
Основною відмінністю у розрахунку, як ви вже здогадалися, є визначення жорсткості витка (C 1 ) , що задає жорсткість пружини (C ) в цілому.
Далі представлені скріншот програми та формули для циліндричної сталевої пружини з прямокутного дроту, у якої підібгані по ¾ витка з кожного кінця і опорні поверхні відшліфовані на ¾ довжини кола.
Увага!!!
Після виконання розрахунку за програмою виконуйте перевірку дотичних напруг!!!
4. I =(D 1 / B)-1
5.
При 1/3
При 1
При 2< H / B <6 : Y =3 ,9286 *(H / B ) (-1. 2339 )
6. При H < B : C 1 =(78500* H 4 )/(Y*(D 1 — B ) 3)
При H > B : C 1 =(78500* B 4 )/(Y*(D 1 — B ) 3)
8. T nom=1,25*(F 2 / C 1 )+H
9. T max=π*(D 1 — B )*tg (10° )
11. S 3= T — H
12. F 3= C 1 * S 3
14. Nрозрах =(L 2 — H )/(H +F 3/ C 1 — F 2 / C 1 )
16. C= C 1 / N
17. L 0= N * T + H
18. L 3= N * H + H
19. F 2= C * L 0 — C * L 2
21. F 1= C * L 0 — C * L 1
22. N 1= N +1,5
23. A= arctg (T /(π *(D 1 — H )))
24. Lрозв =π* N 1 *(D 1 — H )/cos (A )
25. Q=H *B* L розв *7,85/10 6
Висновок.
Значення модуля зсуву ( G) матеріалу дроту істотно впливає на жорсткість пружини (C ) насправді коливається від номінально прийнятого до ±10%. Ця обставина і визначає насамперед поряд із геометричною точністю виготовлення пружини «правильність» розрахунків зусиль та відповідних їм переміщень.
Чому в розрахунках не використовуються механічні характеристики (допустимі напруги) матеріалу дроту крім модуля пружності? Справа в тому, що, задаючись кутом підйому витка та індексом пружини в обмежених діапазонах значень, і дотримуючись правила: «кут підйому в градусах близький до значення індексу пружини», ми фактично виключаємо можливість виникнення дотичних напруг при експлуатації, що перевищують критичні величини. Тому перевірочний розрахунок пружин на міцність має сенс виробляти лише розробки пружин для серійного виробництва, у особливо відповідальних вузлах. Але за таких умов, крім розрахунків, завжди неминучі серйозні випробування.
Напишіть пару рядків у коментарях - мені завжди цікава ваша думка.
Прошу ПОШАЖУЮЧИХ труд автора скачати файл ПІСЛЯ ПЕРЕДПЛАТИ на новини статей.
ІНШИМ можна завантажити просто так... - ніяких паролів немає!
I. Жорсткість пружини
Що таке жорсткість пружини
?
Одним із найважливіших параметрів, що належать до пружних виробів з металу різного призначення, є жорсткість пружини. Вона має на увазі, наскільки пружина буде стійка до дії інших тіл і наскільки сильно чинить опір їм при дії. Силі опору дорівнює коефіцієнт жорсткості пружини.
На що впливає цей показник?
Пружина – це досить пружний виріб, що забезпечує передачу поступальних обертальних рухів тим приладам та механізмам, у яких вона знаходиться. Треба сказати, що зустріти пружину можна повсюдно, кожен третій механізм у будинку оснащений пружиною, не кажучи вже про кількість пружних елементів у приладах на виробництві. При цьому надійність функціонування цих приладів визначатиметься ступенем жорсткості пружини. Ця величина, яка називається коефіцієнтом жорсткості пружини, залежить від зусилля, яке потрібно докласти, щоб стиснути або розтягнути пружину. Розпрямлення пружини до вихідного стану визначається тим металом, з якого вона виготовлена, але не мірою жорсткості.
Від чого залежить цей показник?
Такий простий елемент, як пружина, має масу різновидів залежно від ступеня призначення. За способом передачі деформації механізму та формі виділяють спіральні, конічні, циліндричні та інші. Тому жорсткість конкретного виробу визначається також способом передачі деформації. Деформаційна характеристика розділятиме пружинні вироби на пружини кручення, стиснення, вигину та розтягування.
При використанні в приладі відразу двох пружин, ступінь їх жорсткості залежатиме від способу кріплення – при паралельному з'єднанні в приладі жорсткість пружин буде збільшуватись, а при послідовному зменшуватись.
ІІ. Коефіцієнт жорсткості пружини
Коефіцієнт жорсткості пружини та пружинних виробів – один із найважливіших показників, що визначає термін служби виробу. Для розрахунку коефіцієнта жорсткості в ручну існує нескладна формула (див. рис. 1), а також є можливість скористатися нашим калькулятором пружин, який досить легко допоможе Вам зробити всі необхідні розрахунки. Однак на термін експлуатації всього механізму жорсткість пружини впливатиме лише побічно – більше значення матимуть інші якісні особливості приладу.
Розрахунок пружини. Розглянемо, як можна отримати залежність подовження пружини від прикладеного навантаження. Вважаємо за теоретичними формулами опору матеріалів. Блокнот Mathemetica додається.
Розрахунок пружини. Загальні відомості
Для автоматизації численних підстановок застосовуватиму Mathematica Online. Наведу одразу знімок блокнота. Теорія далі. Задіяні ReplaceAll в короткій формі і виконані.
Блокнот Mathematica Online. Виведення формули коефіцієнта жорсткості пружини.
Вважаємо, що пружина це стрижень, що скручується. У шматочка дроту, з якого навита пружина, є певна довжина (це буде довжина стрижня). Діаметр дроту дорівнює.
Пружина для розрахунку жорсткості Енергія деформації
Для енергії (Дж) деформації стрижня, що крутиться, маємо наступний вираз:
Тут: - Об'єм стрижня (дроту пружини), - Модуль зсуву (для сталі дорівнює Па), - Максимальна дотична напруга на поверхні стрижня, - Площа поперечного перерізу дроту, з якої оточення пружина, - Довжина дроту, з якої оточення пружина. Без зачепів та стиснутих витків. Площа поперечного перерізу може бути виражена через діаметр дроту:
Як відомо, напруги в стрижні під час кручення змінюються від нуля в центрі до максимуму на поверхні стрижня. Тобто: для дотичних напруг у довільній точці стрижня на відстані від осі обертання. Для максимальних дотичних напруг, радіус максимальний і дорівнює радіусу дроту, тому: . Тут радіус точки в якій обчислюється напруга (максимальний радіус дорівнює ), діаметр дроту, полярний момент інерції перерізу дроту. Для дроту круглого перерізу момент дорівнює: . - момент кручення стрижня, що виражається через силу, яка прикладена до пружини по осі спіралі:
Таким чином, підставивши всі величини у формулу для визначення енергії деформації, ми отримаємо наступне вираження енергії (див. 15 блокнота Mathematica):
Робота сили на вільному кінці пружини
З іншого боку, робота, що здійснюється деякою силою на переміщення нижнього кінця пружини при розтягуванні повинна дорівнювати енергії деформації. Відомо, що зусилля для розтягування пружини який завжди, що більше розтягуємо, то більше вписувалося зусилля. Закон лінійний. Тому робота дорівнює площі трикутника під графіком лінійної функції, тобто:
Залежність переміщення Y від сили F
Прирівнюючи роботу (Дж) до енергії (Дж), отримуємо рівняння:
Забув щось висловити. - Довжина дроту в спіралі може бути підрахована так: , Де - Діаметр спіралі, - Число витків.
Зробимо заміну в рівнянні та висловимо (Комірка 18):
тобто. , де
(Н/м) – це шуканий коефіцієнт жорсткості циліндричної пружини. Зверніть увагу на те, що жорсткість прямо пропорційна діаметру дроту в четвертому ступені і обернено пропорційна діаметру пружини в кубі. Це означає, що збільшення діаметра дроту вдвічі при інших розмірах без змін, збільшить жорсткість у раз. А збільшення діаметра пружини вдвічі за інших розмірів без змін, зменшить жорсткість у раз.
На практиці доводиться враховувати деякі нюанси. Наприклад, діаметр дроту може бути не будь-яким, а тільки таким, який випускається промисловістю. Пружина, крім жорсткості, має таку характеристику, як ресурс і режим роботи. Враховується навіть зіткнення витків — згадайте магічну пружинку Слинки, яку Ейс Вентура з монастиря спускав, тож у неї завжди витки стикаються. Крім того, виведена формула жорсткості не враховує криволінійність осі дроту, звитого в пружину. Для цього існує спеціальний поправочний коефіцієнт, що входить у формулу для обчислення напруги. Цей коефіцієнт залежить від індексу пружини. Пружини на практиці розраховуються відповідно до нормативної документації:
Методика визначення розмірів пружин дана в ГОСТ 13765-86 - «Пружини гвинтові циліндричні стискування та розтягування зі сталі круглого перерізу. Позначення параметрів, методика визначення розмірів.
Розрахунок пружини виконується за ГОСТом, див. В.І. Анур'єв - «Довідник конструктора машинобудівника» Том 3, стор 199. Видання 2001
Рано чи пізно при вивченні курсу фізики учні та студенти стикаються із завданнями на силу пружності та закону Гука, в яких фігурує коефіцієнт жорсткості пружини. Що ж це за величина і як вона пов'язана з деформацією тіл і законом Гука?
Для початку визначимо основні терміни, які будуть використовуватись у цій статті. Відомо, якщо впливати на тіло ззовні, воно або набуде прискорення, або деформується. Деформація - це зміна розмірів чи форми тіла під впливом зовнішніх сил. Якщо об'єкт повністю відновлюється після припинення навантаження, така деформація вважається пружною; якщо тіло залишається у зміненому стані (наприклад, зігнутому, розтягнутому, стиснутим тощо. буд.), то деформація пластична.
Прикладами пластичних деформацій є:
- ліпка із глини;
- погнута алюмінієва ложка.
В свою чергу, пружними деформаціями вважатимуться:
- гумка (можна розтягнути її, після чого вона повернеться у вихідний стан);
- пружина (після стиснення знову розпрямляється).
В результаті пружної деформації тіла (зокрема, пружини) у ньому виникає сила пружності, що дорівнює модулю прикладеної сили, але спрямована в протилежний бік. Сила пружності для пружини буде пропорційна її подовженню. Математично це можна записати так:
де F – сила пружності, x – відстань, на яку змінилася довжина тіла в результаті розтягування, k – необхідний для нас коефіцієнт жорсткості. Вказана вище формула також є окремим випадком закону Гука для тонкого стрижня. У загальній формі цей закон формулюється так: «Деформація, що виникла в пружному тілі, буде пропорційна силі, яка додається до цього тіла». Він справедливий тільки в тих випадках, коли йдеться про малі деформації (розтягування або стиснення набагато менше довжини вихідного тіла).
Визначення коефіцієнта жорсткості
Коефіцієнт жорсткості(він також має назви коефіцієнта пружності або пропорційності) найчастіше записується буквою k, але іноді можна зустріти позначення D або c. Чисельно жорсткість дорівнюватиме величині сили, яка розтягує пружину на одиницю довжини (у разі СІ - на 1 метр). Формула для знаходження коефіцієнта пружності виводиться з окремого випадку закону Гука:
Чим більша величина жорсткості, тим більшим буде опір тіла до його деформації. Також коефіцієнт Гука показує, наскільки стійким є тіло до дії зовнішнього навантаження. Залежить цей параметр від геометричних параметрів (діаметра дроту, числа витків та діаметра намотування від осі дроту) та від матеріалу, з якого він виготовлений.
Одиниця виміру жорсткості в СІ - Н/м.
Розрахунок жорсткості системи
Зустрічаються складніші завдання, у яких необхідний розрахунок загальної жорсткості. У таких завданнях пружини з'єднані послідовно чи паралельно.
Послідовне з'єднання пружин системи
При послідовному з'єднанні загальна жорсткість системи зменшується. Формула для розрахунку коефіцієнта пружності матиме такий вигляд:
1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,
де k – загальна жорсткість системи, k1, k2, …, ki – окремі жорсткості кожного елемента, i – загальна кількість всіх пружин, задіяних у системі.
Паралельне з'єднання пружин
Якщо пружини з'єднані паралельно, Величина загального коефіцієнта пружності системи буде збільшуватися. Формула для розрахунку виглядатиме так:
k = k1 + k2 + … + ki.
Вимірювання жорсткості пружини досвідченим шляхом – у цьому відео.
Обчислення коефіцієнта жорсткості досвідченим методом
За допомогою нескладного досвіду можна самостійно розрахувати, чому дорівнюватиме коефіцієнт Гука. Для проведення експерименту знадобляться:
- лінійка;
- пружина;
- вантаж із відомою масою.
Послідовність дій для досвіду така:
- Необхідно закріпити пружину вертикально, підвісивши її до будь-якої зручної опори. Нижній край має залишитися вільним.
- За допомогою лінійки вимірюється її довжина та записується як величина x1.
- На вільний кінець потрібно підвісити вантаж із відомою масою m.
- Довжина пружини вимірюється у навантаженому стані. Позначається за величиною x2.
- Підраховується абсолютне подовження: x = x2-x1. Для того, щоб отримати результат у міжнародній системі одиниць, краще відразу перевести його з сантиметрів або міліметрів у метри.
- Сила, що викликала деформацію, – це сила тяжкості тіла. Формула для її розрахунку - F = mg, де m - це маса вантажу, що використовується в експерименті (переводиться в кг), а g - величина вільного прискорення, рівна приблизно 9,8.
- Після проведених розрахунків залишається знайти сам коефіцієнт жорсткості, формула якого було зазначено вище: k = F/x.
Приклади завдань перебування жорсткості
Завдання 1
На пружину довжиною 10 см діє сила F = 100 Н. Довжина розтягнутої пружини становила 14 см. Знайти коефіцієнт жорсткості.
- Розраховуємо довжину абсолютного подовження: x = 14-10 = 4 см = 0,04 м.
- За формулою знаходимо коефіцієнт жорсткості: k = F/x = 100/0,04 = 2500 Н/м.
Відповідь: жорсткість пружини становитиме 2500 Н/м.
Завдання 2
Вантаж масою 10 кг при підвішуванні на пружину розтягнув її на 4 см. Розрахувати, на яку довжину розтягне її інший вантаж масою 25 кг.
- Знайдемо силу тяжкості, яка деформує пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
- Визначимо коефіцієнт пружності: k = F/x = 98/0.04 = 2450 Н/м.
- Розрахуємо, з якою силою діє другий вантаж: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
- За законом Гука запишемо формулу абсолютного подовження: x = F/k.
- Для другого випадку підрахуємо довжину розтягування: x = 245/2450 = 0,1 м.
Відповідь: у другому випадку пружина розтягнеться на 10 см.
Відео
З цього відео ви дізнаєтесь, як визначити жорсткість пружини.
