Відповідь: х = 3.

8 метод. Застосування похідної під час вирішення ірраціональних рівнянь

Найчастіше під час вирішення рівнянь з допомогою методу застосування похідної використовується метод оцінки.

ПРИКЛАД 15:

Розв'яжіть рівняння: (1)

Рішення: Так як https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, або (2). Розглянемо функцію ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всіх і, отже, зростає. Тому рівняння рівносильно рівнянню, що має корінь, що є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

ПРИКЛАД 16:

Вирішити ірраціональне рівняння:

Область визначення функції є відрізок. Знайдемо найбільше та найменше значення значення цієї функції на відрізку. Для цього знайдемо похідну функцію f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Знайдемо значення функції f(x)на кінцях відрізка і в точці : Значить, Але, отже, рівність можлива лише за умови https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" >. Перевірка показує, що число 3 – корінь цього рівняння.

Відповідь:х = 3.

9 метод. Функціональний

На іспитах іноді пропонують вирішити рівняння, які можна записати у вигляді де - це деяка функція.

Наприклад, деякі рівняння: 1) 2) . Справді, у першому випадку , у другому випадку . Тому вирішувати ірраціональні рівняння за допомогою наступного твердження: якщо функція строго зростає на множині Хі для будь - якого , то рівняння і т. д. рівносильні на безлічі Х .

Вирішити ірраціональне рівняння: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго зростає на безлічі R,і https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому рівняння (1) також має єдиний корінь

Відповідь:х = 3.

ПРИКЛАД 18:

Вирішити ірраціональне рівняння: (1)

В силу визначення квадратного кореня отримуємо, що якщо рівняння (1) має коріння, то вони належать множині DIV_ADBLOCK109">

. (2)

Розглянемо функцію строго зростає на цій множині для будь-якого ..gif width="100" height ="41"> яке має єдиний корінь Отже, і рівносильне йому на множині Хрівняння (1) має єдиний корінь

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Рішення: Дане рівняння рівносильно змішаній системі

Як відомо (глава II, § 2), рівняння

називається ірраціональним, якщо є ірраціональна функція від невідомих.

При розв'язанні ірраціональних рівнянь та систем, до складу яких входять ірраціональні рівняння, у полі дійсних чисел допустимими системами значень невідомих вважають ті й тільки ті системи дійсних значень, при яких значення підкорених виразів усіх коренів парної пари невід'ємні; під значеннями коренів парного ступеня мають на увазі їх арифметичні значення, а під значеннями коренів непарного ступеня - дійсні значення цього коріння. Розглянемо методи алгебри рішення ірраціональних рівнянь.

1. Звільнення ірраціонального рівняння від радикалів шляхом зведення обох його частин на ту саму ступінь.

При вирішенні ірраціонального рівняння цим способом, як правило, виділяють послідовно по одному радикалу (тобто залишають в одній частині вибраний радикал, а всі інші члени рівняння переносять в іншу його частину) і потім обидві частини рівняння зводять у ступінь, показник якого дорівнює показник виділеного радикала. Виділяють щоразу найбільш складний радикал. Так продовжують доти, доки зовсім не звільняться від радикалів. В результаті цього отримують рівняння алгебри, яке є наслідком заданого ірраціонального. Потім вирішують отримане рівняння алгебри.

У деяких випадках (див. нижче приклад 4), щоб швидше звільнитися від радикалів, доцільно відокремити не один, а відразу два радикали.

При вирішенні ірраціональних рівнянь цим способом область визначення рівняння може розширитися, оскільки при деяких системах значень невідомих

деякі радикали, що входять у задане рівняння, можуть у полі дійсних чисел не мати сенсу, але ці системи значень невідомих можуть бути допустимими для отриманого рівня алгебри. Розширення області визначення рівняння, як відомо, може призвести до появи сторонніх рішень, які не належать області визначення заданого рівняння (див. приклад 2, нижче).

Крім того, зведення обох частин рівняння у парний ступінь може призвести також до появи сторонніх рішень, що належать до області визначення заданого рівняння. Поява цих сторонніх рішень викликатиметься не розширенням області визначення даного рівняння, а причинами іншого характеру (див. приклад 3, нижче).

Тому, знайшовши рішення рівняння алгебри, отриманого із заданого ірраціонального рівняння, обов'язково треба шляхом підстановки кожного з них в задане рівняння перевірити, які з них йому задовольняють і які є для нього сторонніми.

приклади. 1. Вирішити рівняння

Рішення. Виділимо радикал, тобто залишимо його в лівій частині рівняння, а радикал перенесемо в праву частину. Будемо мати: або після спрощень: Скоротивши на 2 і знову відокремивши радикал, матимемо:

Звівши обидві частини цього рівняння квадрат, отримаємо:

Рішення цього рівняння є Підстановкою в задане рівняння переконуємося, що кожне з цих рішень задовольняє йому.

2. Розв'язати рівняння

Зводимо обидві частини цього рівняння квадрат:

Звівши обидві частини отриманого рівняння квадрат, отримуємо: або після спрощень:

Звідси Рішення цього рівняння:

Друге з цих рішень задовольняє задане рівняння, а перше - для нього стороннє.

Поява стороннього рішення викликається розширенням області визначення рівняння. Справді, область визначення заданого рівняння число 0 не входить, а область визначення рівняння воно входить. Значення може бути рішенням заданого рівняння, оскільки воно належить до його області визначення.

3. Розв'язати рівняння

Рішення. Звівши обидві частини рівняння квадрат, матимемо:

Рішення цього рівняння є Перше з цих рішень задовольняє заданому рівнянню, а друге - для нього стороннє.

Поява стороннього рішення викликається не розширенням області визначення заданого рівняння, а тим, що рівняння не рівнозначне початковому, а лише

виводиться з нього. Воно є наслідком не тільки заданого рівняння, а й рівняння

Рішення задовольняє рівняння. Рішення для цього рівняння є стороннім.

4. Розв'язати рівняння

Рішення. Перенесемо радикали в одну частину

Звівши обидві частини цього рівняння квадрат, отримаємо:

або після спрощень:

Перевірка показує, що відповідає заданому рівнянню.

2. Зведення ірраціонального рівняння до змішаної раціональної системи шляхом запровадження нових невідомих.

Сукупність одного чи кількох рівнянь виду

та однієї чи кількох нерівностей виду

називають змішаною системою, якщо ставиться вимога встановити, які системи значень невідомих задовольняють одночасно всім цим рівнянням та нерівностям. Система значень невідомих, що задовольняє всіх рівнянь і нерівностей змішаної системи, називається рішенням змішаної системи. Вирішити змішану систему - це означає встановити, чи має вона рішення, чи ні, і якщо має, то знайти їх.

Теорема. Будь-яке ірраціональне рівняння

(Клацніть для перегляду скана)

Так як у рівнянні (1) при будь-якій допустимій системі значень невідомих радикал парного ступеня позначає арифметичне значення кореня, а непарного ступеня - єдине дійсне значення кореня, то допоміжні невідомі можуть набувати лише дійсних значень і, крім того,

Приєднаємо нерівності до системи (2). Отримаємо змішану раціональну систему

(Див. скан)

Доведемо тепер, що рішення ірраціонального рівняння (1) зводиться до розв'язання змішаної раціональної системи (3).

Справді, якщо є рішення рівняння (1), то

Існує рішення змішаної системи (3).

Навпаки, якщо система дійсних чисел є рішенням змішаної системи (3), то

Крім того, так як це є арифметичним значенням кореня ступеня

Аналогічно дійсне число є дійсним значенням Кореня ступеня з тобто.

Зі співвідношень (4), (5) і (6) випливає, що

і, отже, система чисел є розв'язком рівняння (1).

Зі сказаного випливає, що для вирішення рівняння (1) достатньо знайти всі рішення змішаної системи (3). Системи значень невідомих, що входять до складу знайдених рішень системи (3), будуть рішеннями рівняння (1), причому ними вичерпуються всі рішення рівняння (1). Якщо виявиться, що змішана система (3) несумісна, і рівняння (1) немає рішень. У розглянутому випадку до складу ірраціонального рівняння

входили лише прості радикали. Якщо ліва частина ірраціонального рівняння містить радикали, підкорені вирази яких у свою чергу містять радикали, але операція вилучення кореня виконується кінцеве число разів, шляхом послідовного введення допоміжних невідомих рішення такого рівняння також зводиться до вирішення змішаної раціональної системи.

приклади. 1. Розв'язати рівняння:

Рішення. Припустивши, що

складаємо змішану раціональну систему

Підставивши у друге рівняння замість отримаємо систему, рівносильну системі (7):

З другого рівняння системи (8) віднімемо частинами третє рівняння, що дає рівняння з цілими коефіцієнтами:

Безпосередня перевірка показує, що дільник 2 вільного члена задовольняє рівняння, тобто рівняння (9) має рішення. Тому рівняння (9) можна записати так:

і, отже,

Рішеннями рівняння (10) є і Отже, рівняння (9) у полі дійсних чисел має лише одне рішення Це рішення задовольняє нерівності

Підставивши значення в рівняння знаходимо значення а саме:

Таким чином, змішана раціональна система (7) має єдине рішення. Звідси випливає, що задане ірраціональне рівняння має в полі дійсних чисел також єдине рішення

Рішення цього рівняння є Підстановкою в задане рівняння переконуємося, що кожне з цих рішень задовольняє йому.

Рішення. Поклавши

складемо змішану раціональну систему

Розв'язавши перше рівняння щодо і підставивши знайдене значення третє рівняння, отримаємо змішану систему, рівносильну системі (11):

Підставивши з другого і четвертого рівнянь значення третє рівняння (12), отримаємо систему, рівносильну системі (12):

Звівши обидві частини третього рівняння системи (13) квадрат, отримаємо систему, яка є наслідком системи (13):

З трьох останніх рівнянь цієї системи отримуємо: або після спрощень:

Очевидно, що може бути рішенням заданого рівняння, так як і ніяка система значень неспроможна задовольняти третій рівняння системи заданому рівнянню задовольняє. Отже, задане ірраціональне рівняння має у полі дійсних чисел єдине рішення

Іноді при вирішенні ірраціонального рівняння доцільно спосіб введення нових невідомих комбінувати зі способом зведення обох частин рівняння ступінь.

приклад. Вирішити рівняння

Рішення. Припустивши, що матимемо:

Рівняння (15) замінимо змішаною системою

Відділивши у другому рівнянні системи (16) радикал і звівши обидві частини рівняння квадрат, отримаємо: або після спрощень:

Звідси Обидва ці рішення задовольняють рівняння і нерівності Підставивши значення першого рівняння системи (16), отримаємо такі два рівняння:

Отже, змішана система (16) має чотири рішення:

і, отже, рівняння (15) також має чотири рішення, а саме:

Штучні прийоми.У практиці розв'язання ірраціональних рівнянь іноді успішно застосовують окремі, звані штучні прийоми. Розглянемо деякі з них на прикладах.

а) Розв'язати рівняння

Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на множник, пов'язаний з лівою його частиною. Матимемо:

або після перетворень:

Склавши частинами рівняння (17) і (18), отримаємо:

Обидва рішення задовольняють заданому рівнянню, у чому легко переконатися шляхом підстановки в рівняння,

б) Розв'язати рівняння

Рішення. Візьмемо тотожність

і запишемо його так:

Рівність (20) виконується при будь-яких значеннях зокрема і значення задовольняють рівняння (19). Тому якщо ми в лівій частині тотожності (20) замінимо другий його множник, що є лівою частиною рівняння (19), то отримаємо рівняння

якому задовольнятимуть усі рішення рівняння (19).

Рівняння (21) є, таким чином, наслідком рівняння (19), а отже, рішення рівняння (19) слід шукати серед рішень рівняння (21). Рівняння (21) запишемо так:

Звідси видно, що рівняння (21) розпадається на два рівняння:

З викладеного вище випливає, що рішення рівняння (19) треба шукати серед рішень рівняння (22) та рішень рівняння (23). Рішенням рівняння (22) є рішення задовольняє і заданому рівнянню (19). Для знаходження інших рішень рівняння (19) складемо частинами рівняння (19) і (23). Отримаємо рівняння

якому задовольнятимуть усі рішення рівняння (19), відмінні від рішення

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Розв'язання ірраціональних рівнянь.

У цій статті ми поговоримо про способи вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь.

Ірраціональним рівняннямназивається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.

Давайте розглянемо два види ірраціональних рівняньякі дуже схожі на перший погляд, але по суті сильно один від одного відрізняються.

(1)

(2)

У першому рівнянні ми бачимо, що невідоме стоїть під знаком кореня третього ступеня. Ми можемо витягувати корінь непарного ступеня з негативного числа, тому у цьому рівнянні немає жодних обмежень ні на вираз, що стоїть під знаком кореня, ні на вираз, що стоїть у правій частині рівняння. Ми можемо звести обидві частини рівняння на третій ступінь, щоб позбутися кореня. Отримаємо рівносильне рівняння:

При зведенні правої та лівої частини рівняння на непарний ступінь ми можемо не побоюватися отримати сторонні корені.

Приклад 1. Розв'яжемо рівняння

Зведемо обидві частини рівняння на третій ступінь. Отримаємо рівносильне рівняння:

Перенесемо всі доданки в один бік і винесемо за дужки х:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: (0; 1; 2)

Подивимося уважно на друге рівняння: . У лівій частині рівняння стоїть квадратний корінь, який набуває лише невід'ємних значень. Тому, щоб рівняння мало рішення, права частина теж має бути невід'ємною. Тому на праву частину рівняння накладається умова:

Title="g(x)>=0"> - это !} умова існування коріння.

Щоб вирішити рівняння такого виду, потрібно обидві частини рівняння звести у квадрат:

(3)

Зведення в квадрат може призвести до появи сторонніх коренів, тому нам потрібно рівняння:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Однак, нерівність (4) випливає з умови (3): якщо у правій частині рівності стоїть квадрат якогось виразу, а квадрат будь-якого виразу може набувати лише невід'ємних значень, отже ліва частина теж має бути невід'ємною. Тому умова (4) автоматично випливає з умови (3) і наше рівняння рівносильно системі:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Приклад 2 .Розв'яжемо рівняння:

.

Перейдемо до рівносильної системи:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Вирішимо перше рівняння системи і перевіримо, яке коріння задовольняє нерівності.

Нерівності title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Відповідь: x=1

Увага!Якщо ми в процесі рішення зводимо обидві частини рівняння в квадрат, то слід пам'ятати, що можуть з'явитися сторонні корені. Тому або потрібно переходити до рівносильної системи, або наприкінці рішення ЗРОБИТИ ПЕРЕВІРКУ: знайти коріння і підставити їх у вихідне рівняння.

Приклад 3. Розв'яжемо рівняння:

Щоб вирішити це рівняння, нам також потрібно звести обидві частини квадрата. Давайте в цьому рівнянні не морочимось з ОДЗ і умовою існування коріння, а просто наприкінці рішення зробимо перевірку.

Створимо обидві частини рівняння в квадрат:

Перенесемо доданок, що містить корінь вліво, а всі інші доданки вправо:

Ще раз зведемо обидві частини рівняння у квадрат:

По теремі Вієта:

Зробимо перевірку. Для цього підставимо знайдене коріння у вихідне рівняння. Вочевидь, що з права частина вихідного рівняння негативна, а ліва позитивна.

При отримуємо правильну рівність.

Основні методи розв'язання ірраціональних рівнянь - сторінка №1/1

Вчитель: Зикова О.Є. Конспект уроку

Клас: 11 – фізико-математичний профіль.

Тема уроку: Основні методи вирішення ірраціональних рівнянь

Тип:Урок узагальнення та систематизації знань.

Форма уроку:семінар

Цілі уроку:

1. Систематизувати способи розв'язання ірраціональних рівнянь; стимулювати учнів до оволодіння раціональними прийомами та методами рішення, навчити застосовувати отримані знання під час вирішення рівнянь підвищеного рівня складності.

2. Розвивати логічне мислення, пам'ять, пізнавальний інтерес, продовжувати формування математичної мови та графічної культури, виробляти вміння узагальнювати, робити висновки.

3. Привчати до естетичного оформлення записи в зошити та на дошці, прищеплювати акуратність, вивчати вміння вислуховувати інших та вміння спілкуватися.

Обладнання:комп'ютер, екран, проектор для показу презентацій, роздатковий матеріал на тему уроку.

План уроку:

1. 
   Організаційний момент.
2. 
   Актуалізація знань.
3. 
   Узагальнення та систематизація способів розв'язання ірраціональних рівнянь,

1. 
   Закріплення
2. 
   Підсумок уроку
3. 
   Домашнє завдання

1. 
   Організаційний момент: повідомлення теми уроку, цілі уроку.
2. 
   Актуалізація знань.

Усна робота .

1. 
   Які з наступних рівнянь є ірраціональними:

Відповідь: а), в), г).

1. 
   Чи є число x 0 коренем рівняння:

Відповідь: а) ні, б) так, в) ні.

1. 
   З'ясуйте, за яких значень xмає місце рівність:

Відповідь: а)приx , б)приx .

1. 
   Не вирішуючи наступних рівнянь, поясніть, чому кожне з них не може мати коріння:

в) + = – 1; г) + = – 1.

Відповідь: при кожному допустимому значенні змінної сума двох невід'ємних чисел не може дорівнювати негативному числу.

1. 
   Знайдіть область визначення функції:

Відповідь: а) .
У завданнях Єдиного державного іспиту є досить багато рівнянь, при вирішенні яких необхідно вибрати такий спосіб вирішення, який дозволяє вирішити рівняння простіше, швидше. Тому необхідно знати та пам'ятати й інші методи розв'язання ірраціональних рівнянь, про які ми сьогодні й говоритимемо: метод виключення радикалів в ірраціональному рівнянні, множення на поєднаний множник; приведення до рівнянь, що містять абсолютну величину; графічний та функціональний методи вирішення ірраціональних рівнянь; використання нерівності Коші під час вирішення ірраціональних рівнянь; використання властивостей рівняння виду f(f(x)) = x та ін.

Група хлопців підготували завдання за одним із методів рішення. Вони вам покажуть, як їх застосовують, ви повинні записувати рішення та ставити запитання.

1. 
   Узагальнення та систематизація способів розв'язання ірраціональних рівнянь, розгляд нових.

1. 
   Рівняння, в яких змінна міститься під знаком кореня або зводиться в дрібний ступінь, називають ірраціональним.

Наприклад, для рівняння - = 5 областю припустимих значень служить безліч розв'язків системи нерівностей тобто область припустимих значень даного рівняння є порожня безліч. Отже, рівняння рішень немає.

Розглянемо ще один приклад - = 0. Областю допустимих значень даного рівняння служить безліч рішень системи нерівностей, тобто область допустимих значень даного рівняння є одноелементною множиною. Безпосередня підстановка числа 2 рівняння показує, що 2 – його корінь.

2. Як мовилося раніше, основний спосіб рішення – зведення обох частин рівняння до ступеня n. При цьому, якщо n-парне, то можуть виникнути сторонні корені. Тому в рівняннях необхідно перевірити.

а якщо n = 2 k+1 , то рівняння = h(x) рівносильно на безлічі дійсних чисел рівняння g(x) =(h(x)) 2 k +1 .

б) Якщо n = 2 k, то рівняння = h(x) рівносильно на безлічі дійсних чисел системі

Якщо рівняння містить два і більше коренів, то один із коренів «усамітнюється», після чого обидві частини рівняння зводяться до ступеня n.

Розв'яжемо рівняння:

Приклад 1. .

Рішення

Область допустимих значень:
.

Перетворимо рівняння: . Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат: ,
.

Отримане рівняння рівносильно змішаної системи:

або

Відповідь: x = 1.

Рішення

Перепишемо це рівняння так:

Зведемо обидві частини отриманого рівняння квадрат, отримаємо:

Знову зведемо обидві частини останнього рівняння у квадрат, отримаємо

Залишається встановити, за яких значень aрівняння має розв'язок.

Підставляючи в дане рівняння замість xвираз
отримаємо:

Остання рівність розглянемо на кожному з чотирьох проміжків:

Якщо
, то рівність набуде вигляду: і виконується тотожність. Отже, при
рівняння має розв'язок.

Якщо
, то рівність набуде вигляду: яка не виконується при
; отже, при a = 0 рівняння немає рішень.

Якщо
, то рівність не виконується, оскільки

Якщо
, то рівність виконується, оскільки

Отже, за
і при

При
рівняння немає рішень.
Відповідь:

1. При
рівняння має єдиний корінь

2. При
рівняння немає рішень.
2-й учень.(Введення нової змінної)

Заміна змінної в ірраціональному рівнянні використовується досить часто. Вона, як правило, дозволяє звести дане ірраціональне рівняння до раціонального або принаймні спростити його.

приклад 1. 2x 2 +3 x -3 + =30.

Рішення.Нехай y= , у Тоді = у 2 - 9 і рівняння набуде вигляду: у 2 - 9 – 3 + у = 30. Вирішуємо його:

система рівносильна сукупності двох систем:
або

Повертаючись до вихідної змінної, отримаємо: = 6, = 36, - 27 = 0, x 1 = 3, x 2 = - 4,5. Т.к. всі досконалі перетворення були рівносильними, то перевіряти ці числа не слід.

Відповідь: - 4,5; 3.

приклад 2.
.

Рішення.Вирази
і
є взаємно зворотними, якщо де вони рівні нулю, тобто.
, Т. е. область допустимих значень:

Справді:
.

Нехай
, Отримаємо змішану систему:

система рівносильна сукупності двох систем:

Повертаючись до старої змінної, отримаємо:

Це значення змінної входить у область допустимих значень і є коренем рівняння.
Відповідь: 2,5.
приклад 3.

Рішення.

Нехай тоді звідси можна виключити х і отримати рівняння, що містять змінні u та v.

З системи рівнянь виключимо x:

Підставляючи значення початкове рівняння, отримаємо:

Приходимо до системи рівнянь:

Підставимо значення u з другого рівняння до першого, отримаємо:

Це біквадратичне рівняння. Покладемо
тоді прийдемо до квадратного рівняння:
яке має два корені:

не задовольняє умову
і є стороннім коренем. Знаходимо:

Відповідь: - 3
3-й учень. (Виділення повного квадрата (квадрата двочлена) і приведення до рівнянь, що містять абсолютну величину)

приклад 1.

Рішення.

Область допустимих значень:

Зауважуємо, що під знаками коріння знаходяться повні квадрати. Перетворимо їх:

Приходимо до рівняння, що містить модулі:


При
отримуємо рівняння
Це значення xне входить у проміжок

При
отримуємо рівняння
Це значення також не входить у проміжок
і може бути коренем рівняння.

При
отримуємо рівняння
- не є коренем рівняння.

При
отримуємо
- не є коренем.

приклад 2. + =1

Рішення.Вважаючи x 1, зробимо заміну= у, у і розв'яжемо рівняння (у 2 = x -1 тоді x= у 2 +1 ):

2 .

Зробимо зворотну заміну і вирішимо нерівність:

4 5

Таким чином, рівняння має безліч коренів.

Відповідь:

приклад 3.

Рішення.

Розкриємо модулі. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x≤ 1, то -4 ≤ сos0,5 x - 3 ≤ -2, отже, . Аналогічно,

Тоді отримаємо рівняння: 3 - - 3 + 2 = 1

cos0,5 x = 1

x= 4πn, nZ.

Відповідь: 4πn, nZ.

4-й учень.(Метод виключення радикалів в ірраціональному рівнянні, множенням на поєднаний множник)

приклад 1.

Рішення.

Область допустимих значень




або

Помножимо обидві частини рівняння на вираз пов'язане лівої частини рівняння, тобто на
отримуємо:

Таким чином, вихідне рівняння рівносильне системі рівнянь:

складемо рівняння та отримуємо:

Зведемо обидві частини отриманого рівняння квадрат, прийдемо до лінійного рівняння

Це значення входить у область допустимих значень і є коренем рівняння.

Відповідь:
приклад 2.

Рішення.

ОДЗ - безліч всіх дійсних чисел, тобто.
.

Перетворимо рівняння

У лівій частині рівняння отримали неповний квадрат різниці двох виразів. Помножимо обидві частини рівняння на (
). У лівій частині отримаємо суму кубів цих виразів – коріння немає.

Відповідь: рішень немає.
5-й учень. (Застосування нерівності Каші та властивостей рівняння виду f(f(x)) = x)
Застосування нерівності Коші.

При вирішенні деяких ірраціональних рівнянь іноді буває корисно скористатися відомою класичною нерівністю Коші: для будь-яких позитивних чисел a і b справедлива нерівність:

, де знак рівності досягається тоді і лише тоді, коли a= b.

приклад 1.

Рішення. Через нерівність Коші маємо:

Отже, ліва частина нерівності не перевищує x + 1. Справді, складемо обидві частини нерівностей,

отримаємо:

Таким чином, з цього рівняння випливає, що права частина, яка дорівнює лівій, також буде меншою або дорівнює x+ 1, тобто означає x= 1. Це значення є єдиним рішенням даного рівняння.

Застосування властивостей рівняння виду f(f(x)) = x

Рівносильні.

Зауваження . Теорема має узагальнення. Якщо y = f(x) монотонно зростає, то за будь-якого k рівняння
і
рівносильні.

Застосування цієї теореми вирішення ірраціональних рівнянь.
«зустрічно монотонні», тобто.
зростає, а

Для з'ясування монотонності тієї чи іншої функції, що входить у рівняння, можна використовувати, насамперед властивості елементарних функцій. Сувора монотонність функції, що досліджується, легко з'ясовується за допомогою похідної.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад. .

Рішення.Це рівняння можна спробувати вирішити зведенням у квадрат (тричі!). Однак при цьому вийде рівняння четвертого ступеня. Спробуємо вгадати коріння. Це зробити неважко:
. Тепер зауважимо, що ліва частина рівняння – функція, що зростає, а права – спадна. Але це означає, що більше одного кореня таке рівняння не може мати. Отже,
- Єдиний корінь.

Y. Підсумок уроку:

1. 
   Які методи розв'язання ірраціональних рівнянь ми розглянули?
2. 
   Які з цих методів використовуються під час вирішення рівнянь інших типів?
3. 
   Який із цих методів вам сподобався найбільше і чому?