Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.

Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.

Разновидности

Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:

• встречное движение;
• вдогонку;
• движение в противоположном направлении;
• движение по реке.

Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.

Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.

Движение навстречу

Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.

Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.

Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.

Второй способ

Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.

Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.

Движение в противоположном направлении

Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"

Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:

1. Путь первого зайца: 40*2=80 км.
2. Путь второго зайца: 45*2=90 км.
3. Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.

Но возможен и другой вариант.

Скорость удаления

Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.

Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.

Движение вдогонку

Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"

Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.

Выводы

Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:

• при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
• если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
• если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.

Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?

Течение

Здесь могут встречаться опять же:

• задачи на движение навстречу друг другу;
• движение вдогонку;
• движение в противоположном направлении.

Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.

Пример задачи на движение по реке

Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.

Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.

Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);

120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;

Решаем уравнение:

Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.

Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.

V сбл. = V I + V II

2+1 = 3(км/ч) – скорость сближения плотов.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время.

S = V сбл. · t

3 · 2 = 6 (км)

Составим выражение: (2+1) · 2 = 6(км0

Запишем ответ задачи.

Реши задачу:

1. Навстречу друг другу ползут 2 рака со скоростью 18 м/мин и 15 м/мин. Какое расстояние было между раками, если они встретились через 3 мин?

2. Из двух населенных пунктов выехали на встречу друг другу два всадника. Один всадник ехал со скоростью 9 км/ч, а другой – 11 км/ч. Встретились они через 6 ч. Чему равно расстояние между посёлками?

3. Из двух турбаз вышли навстречу друг другу два туриста. Один турист шел со скоростью 4 км/ч, а другой – 5 км/ч. Встретились они через 5 ч. Чему равно расстояние между турбазами?

4. От двух остановок вышли на встречу друг другу 2 пешехода. Один пешеход шел со скоростью 80 м/ мин, а другой – 85 м/ мин. Встретились они через 10мин. Чему равно расстояние между остановками?

Составные задачи на скорость.

Образец:

От двух укрытий, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу вылетели 2 слепня. Скорость одного слепня 25 км/ч. С какой скоростью летел второй слепень, если они встретились через 4 ч?

Рассуждаем так. Это задача на встречное движение. Составим таблицу. Слова «ско­рость», «время», «расстояние» запишем в таблице зелёной ручкой.

Скорость (V) Время (t) Расстояние (S)

Км/ч 4 ч? км 300 км

II - ? км/ч (одинак.) ? км

Сделаем чертёж к задаче.

V I = 25 км/ч t = 4ч V II = ? км/ч

S I = ?км S II = ? км

S = 300км

Составим план решения этой задач. Чтобы найти скорость второго слепня, надо знать расстояние, которое пролетел второй слепень, и расстояние, которое пролетел первый слепень.

V II S II S I

S I = V I · t

25· 4 = 100=200(км) –пролетел первый слепень.

Чтобы найти расстояние, которое пролетел второй слепень, надо из общего расстояния вычесть расстояние, которое пролетел первый слепень.

S II =S - S I к

300 – 100 = 200(км) – пролетел второй слепень.

Чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время.

V II = S II: t

200:4 = 50(км/ч)

Ответ: 50 км/ч скорость второго слепня.

Реши задачу:

1. Расстояние между медузами 315 м. они поплыли одновременно навстречу друг другу. Одна медуза плыла со скоростью 50 м/мин. С какой скоростью плыла другая медуза, если они встретились через 3 мин.

2. Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, одновременно навстречу друг другу выехали 2 поезда. Скорость одного поезда 68 км/ч. С какой скоростью ехал другой поезд, если они встретились через 4 ч?

3. Из двух сёл, расстояние между которыми 81 км, одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста. Скорость одного велосипедиста 12 км/ч. С какой скоростью ехал другой велосипедист, если они встретятся через 3 ч?

4. С двух лыжных баз, расстояние между которыми 150 км, одновременно навстречу друг другу вышли 2 лыжника. Скорость первого лыжника 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник, если они встретились через 6ч?

5. От двух пристаней, расстояние между которыми 39 км, одновременно навстречу друг другу отплыли 2 вёсельные лодки 8 км/ч. С какой скоростью плыла вторая вёсельная лодка, если они встретились через 3 ч?

Составные задачи на время.

Образец:

Два тушканчика побежали одновременно навстречу друг другу. Скорость одного тушканчика 14 м/с, а скорость другого 11 м/с. Через сколько секунд они встретятся, если первоначальное расстояние между ними 275 м?

Рассуждаем так. Это задача на встречное движение. Ставим таблицу. Слова «скорость», «время», «расстояние» запишем в таблице зеленой ручкой.

Скорость(V) Время (t) Расстояние(S)

М/с? 275 м

Сделаем чертеж к задаче.

V I = 14м/с t= ?с V II = 11м/с

S = 275м

Составим план решение этой задачи. Чтобы найти время, надо найти скорость сближения.

t V сбл.

Чтобы найти скорость сближения, надо сложить скорости тушканчиков.

V сбл = V I + V II

14=11 = 25 (м/с)- скорость сближения тушканчиков.

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t , υ = S: t , t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .

Примеры решения задач.

Задача №1. Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения в разных направлениях )
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении )
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях )
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)

S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ: встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение .
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях )
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t ⇒ t = S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2 ;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t —расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S 1 + S 2 = υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2) = t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2) — время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ: расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача . Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача . Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении в одном направлении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, отдаляясь друг от друга или сближаясь друг с другом.

Задачи на скорость сближения

Скорость с которой объекты сближаются друг с другом называется скоростью сближения .

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 1. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Решение: Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалится от города на:

40 · 4 = 160 (км)

Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:

60 - 40 = 20 (км/ч) - это скорость сближения автомобилей

Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:

160: 20 = 8 (ч)

1) 40 · 4 = 160 (км) - расстояние между автомобилями

2) 60 - 40 = 20 (км/ч) - скорость сближения автомобилей

3) 160: 20 = 8 (ч)

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 2. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?

Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:

5 - 4 = 1 (км/ч)

Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 5 - 4 = 1 (км/ч) - это скорость сближения пешеходов

2) 5: 1 = 5 (ч)

Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача на скорость удаления

Скорость с которой объекты отдаляются друг от друга называется скоростью удаления .

Чтобы найти скорость удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго - 40 км/ч.

1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?

Решение: Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

80 - 40 = 40 (км/ч)

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:

40 · 3 = 120 (км)

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

200: 40 = 5 (ч)

Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Как найти скорость сближения?

При решении математических задач у учащихся возникает большое количество вопросов. "Как найти скорость сближения?" - один из них.

Скорость движения - это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени. Единицей измерения является км/ч, м/с и др. При равномерном движении объектов с разными скоростями расстояние между данными объектами либо увеличивается, либо уменьшается на одно и то же число единиц.

Для того чтобы рассчитать движение в разных направлениях, необходимо использовать формулу: скорость сближения=V1 + V2, а при движении в одном направлении - скорость сближения=V1 - V2. При решении задач не следует путать скорость сближения с «общей скоростью», которая вычисляется суммой всей скоростей.

Допустим, два велосипедиста движутся навстречу друг другу. Скорость первого - 16 км/ч, а второго - 20 км/ч. С какой скоростью изменяется расстояние между ними? Подставив наши данные в формулу V=16+20, мы узнаем, что скорость сближения в данном случае равна 36 км/ч.

Если же в гонках участвуют две черепахи, одна из которой движется со скоростью 3 км/ч, а другая - 1 км/ч, скорость сближения получится 2 км/ч исходя из формулы V=V1 - V2.