Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Образовательная : ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
• Развивающая : развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
• Воспитательная : воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.

Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.

Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.

Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.

Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).
2. Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
3. Изучение нового материала (15 мин).
4. Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
5. Подведение итогов урока (2 мин).
6. Задание на дом (2 мин).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Цель: подготовить к усвоению нового материала.

2. Подготовительный этап

Форма: устная работа.

Цель: знакомство с новым телом вращения.

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.

Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).

(Используются Слайды 1-7)

Деятельность учителя	Деятельность ученика
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса.
1. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью , а сами отрезки – образующими конической поверхности .	В тетрадях строят конус.
(диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом .	Записывают определение.
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг – основанием конуса . Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса . Точка P называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса .	На чертеже подписывают элементы конуса.
Назовите две образующие конуса и сравните их?	PA и PB, они равны.
Почему образующие равны?	Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны.
Запишите в тетради: свойства конуса:	(Слайд 10)
1. Все образующие конуса равны. Назовите углы наклона образующих к основанию? Сравните их. Почему, докажите это?	Углы: PСО, PDO. Они равны. Так как треугольник PAB – равнобедренный.
2. Углы наклона образующих к основанию равны. Назовите углы между осью и образующими? Что можно сказать об этих углах?	СРО и DPO Они равны.
3. Углы между осью и образующими равны. Назовите углы между осью и основанием? Чему равны эти углы?	POC и POD. 90 о
4. Углы между осью и основанием прямые. Мы будем рассматривать только прямой конус.
2. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса?	Треугольник.
Какой это треугольник?	Он равнобедренный.
Почему?	Две его стороны являются образующими, а они равны.
Что представляет собой основание данного треугольника?	Диаметр основания конуса.
Такое сечение называется осевым. (Слайд 11) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса?	Круг.
Где расположен центр этого круга?	На оси конуса.
Это сечение называется круговым сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13)	Чертят в тетрадях.
3. Теперь выведем формулу полной поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.
Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске)	Круговой сектор.
Что является радиусом этого сектора?	Образующая конуса.
А длина дуги сектора?	Длина окружности.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15)	, где – градусная мера дуги.
Чему равна площадь кругового сектора?
Значит, чему равна площадь боковой поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) Чему равна длина дуги?
С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна?
Подставляя в формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. . Запишите эти формулы.	Записывают: , .h	(Слайд 21) L = 5

6. Домашнее задание. П.55, 56, № 548(б), 549(б). (Слайд 22)

Сегодня мы расскажем вам о том, как найти образующую конуса, что частенько требуется в школьных задачках по геометрии.

Понятие образующей конуса

Прямой конус — это фигура, которая получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одно из его катетов. Основание конуса образует круг. Вертикальное сечение конуса — это треугольник, горизонтальное — круг. Высотой конуса является отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания. Образующей конуса является отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой на линии окружности основания.

Так как конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то получается, что первым катетом такого треугольника является высота, вторым — радиус круга, лежащего в основании, а гипотенузой будет образующая конуса. Нетрудно догадаться, что для расчета длины образующей пригодится теорема Пифагора. А теперь подробнее о том, как найти длину образующей конуса.

Находим образующую

Легче всего понять, как найти образующую, можно на конкретном примере. Допустим, даны такие условия задачи: высота равна 9 см., диаметр круга основания составляет 18 см. Необходимо найти образующую.

Итак, высота конуса (9 см.) - это один из катетов прямоугольного треугольника, с помощью которого был образован данный конус. Второй катет будет являться радиусом круга основания. Радиус — это половина диаметра. Таким образом, делим данный нам диаметр пополам и получаем длину радиуса: 18:2 = 9. Радиус равен 9.

Теперь найти образующую конуса очень легко. Так как она является гипотенузой, то квадрат ее длины будет равен сумме квадратов катетов, то есть сумме квадратов радиуса и высоты. Итак, квадрат длины образующей = 64 (квадрат длины радиуса) + 64 (квадрат длины высоты) = 64x2 = 128. Теперь извлекаем квадратный корень из 128. В итоге получаем восемь корней из двух. Это и будет образующая конуса.

Как видите, ничего сложного в этом нет. Для примера мы взяли простые условия задачи, однако в школьном курсе они могут быть и сложнее. Помните, что для расчета длины образующей вам нужно выяснить радиус круга и высоту конуса. Зная эти данные, найти длину образующей легко.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Рис. 1
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Рис. 2
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4

Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 2,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (рис. 2,6), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.
Площадь кругового сектора - развертки боковой поверхности конуса (рис.2) - равна (Пl2а)/360, где а - градусная мера дуги ABA", поэтому
Sбок = (Пl2а)/360. (*)
Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA" равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:
Sбок = Пrl. (**)
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула: Sкон = Пr (l + r). (***)

Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: Sбок = П (r + r1) l.

Дополнительная информация о конусе
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков , которые соединяют вершину конуса с точками основания). Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

• Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

• Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса , формула:

• Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

На этом уроке мы познакомимся с такой фигурой, как конус. Изучим элементы конуса, виды его сечений. И узнаем, с какой фигурой конус имеет много общих свойств.

Рис.1. Предметы конусовидной формы

В мире огромное количество вещей имеют форму конуса. Зачастую мы их даже не замечаем. Дорожные конусы, предупреждающие о дорожных работах, крыши замков и домов, рожок для мороженого - все эти предметы имеют форму конуса (см. рис. 1).

Рис. 2. Прямоугольный треугольник

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами и (см. рис. 2).

Рис. 3. Прямой круговой конус

Вращая данный треугольник вокруг одного из катетов (не нарушая общности, пусть это будет катет ), гипотенуза опишет поверхность, а катет опишет круг. Таким образом, получится тело, которое называют прямым круговым конусом (см. рис. 3).

Рис. 4. Виды конусов

Раз уж мы говорим о прямом круговом конусе, видимо, существует и непрямой, и не круговой? Если в основании конуса круг, но вершина не проектируется в центр этого круга, то такой конус называют наклонным. Если же основание - не круг, а произвольная фигура, то такое тело также иногда называют конусом, однако, разумеется, не круговым (см. рис. 4).

Таким образом, мы снова приходим к аналогии, уже знакомой нам по работе с цилиндрами. По сути конус - это что-то вроде пирамиды, просто у пирамиды в основании многоугольник, а у конуса (который мы будем рассматривать) - круг (см. рис. 5).

Отрезок оси вращения (в нашем случае это катет ), заключенный внутри конуса, называют осью конуса (см. рис. 6).

Рис. 5. Конус и пирамида

Рис. 6. - ось конуса

Рис. 7. Основание конуса

Круг, образованный вращением второго катета (), называют основанием конуса (см. рис. 7).

А длина этого катета является радиусом основания конуса (или, проще говоря, радиусом конуса) (см. рис. 8).

Рис. 8. - радиус конуса

Рис. 9. - вершина конуса

Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса (см. рис. 9).

Рис. 10. - высота конуса

Высота конуса - отрезок, проведенный из вершины конуса перпендикулярно его основанию (см. рис. 10).

Здесь у вас может возникнуть вопрос: чем же тогда отличается отрезок оси вращения от высоты конуса? На самом деле они совпадают только в случае прямого конуса, если же вы будете рассматривать наклонный конус, то заметите, что это два совершенно разных отрезка (см. рис. 11).

Рис. 11. Высота в наклонном конусе

Вернемся к прямому конусу.

Рис. 12. Образующие конуса

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности ее основания, называют образующими конуса. Кстати, все образующие прямого конуса равны между собой (см. рис. 12).

Рис. 13. Природные конусоподобные объекты

В переводе с греческого konos означает «сосновая шишка». В природе достаточно объектов, имеющих форму конуса: ель, гора, муравейник и др. (см. рис. 13).

Но мы-то привыкли, что конус - прямой. У него равные между собой образующие, а высота совпадает с осью. Такой конус мы назвали прямым конусом. В курсе школьной геометрии обычно рассматриваются именно прямые конусы, причем по умолчанию любой конус считается прямым круговым. Но мы уже говорили о том, что бывают не только прямые конусы, но и наклонные.

Рис. 14. Перпендикулярное сечение

Вернемся к прямым конусам. «Разрежем» конус плоскостью, перпендикулярной оси (см. рис. 14).

Какая же фигура окажется на срезе? Конечно же, круг! Вспомним, что плоскость проходит перпендикулярно оси, а значит, параллельно основанию, которое является кругом.

Рис. 15. Наклонное сечение

А теперь давайте постепенно наклонять плоскость сечения. Тогда наш круг начнет постепенно превращаться во все более вытянутый овал. Но только до тех пор, пока плоскость сечения не столкнется с окружностью основания (см. рис. 15).

Рис. 16. Виды сечений на примере морковки

Любители познавать мир экспериментальным путем могут в этом убедиться с помощью морковки и ножа (попробуйте отрезать от морковки пластинки под разным углом) (см. рис. 16).

Рис. 17. Осевое сечение конуса

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением конуса (см. рис. 17).

Рис. 18. Равнобедренный треугольник - фигура сечения

Здесь же мы получим совершенно другую фигуру сечения: треугольник. Данный треугольник является равнобедренным (см. рис. 18).

На этом уроке мы узнали о цилиндрической поверхности, видах цилиндра, элементах цилиндра и сходстве цилиндра с призмой.

Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти площадь осевого сечения конуса.

Решение

Рассмотрим искомое осевое сечение. Это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны 12, а угол при основании - 30 градусов. Дальше можно действовать по-разному. Либо можно провести высоту, найти ее (половина гипотенузы, 6), потом основание (по теореме Пифагора, ), а затем площадь .

Рис. 19. Иллюстрация к задаче

Либо сразу найти угол при вершине - 120 градусов - и посчитать площадь как полупроизведение сторон на синус угла между ними (ответ будет, тот же).

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002
3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Домашнее задание