CUADRADO MÁGICO
Un cuadrado mágico o mágico es una tabla cuadrada llena de números de tal manera que la suma de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales es la misma.
La suma de los números en cada fila, columna y diagonal se llama constante mágica, M.
La constante mágica más pequeña de un cuadrado mágico de 3x3 es 15, un cuadrado de 4x4 es 34, un cuadrado de 5x5 es 65,
Si las sumas de números en el cuadrado son iguales solo en filas y columnas, entonces se llama semimagia.
Construyendo un cuadrado mágico de 3 x 3 con el más pequeño
constante mágica
Encuentra la constante mágica más pequeña del cuadrado mágico de 3x3
1 camino
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45
4
5 :
3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
METRO = 15.
El número escrito en el medio es 15. : 3 = 5
Determinó que en el medio, se escribe el número 5.
donde n es el número de filas
Si puedes construir un cuadrado mágico, entonces no es difícil construir cualquier número de ellos. Por lo tanto, recuerda las técnicas de construcción.
Cuadrado mágico de 3x3 con constante 15.
1 camino construcción. Pon primero los números pares en las esquinas
2, 4, 8, 6 y 5 en el medio El resto del proceso es aritmética simple.
15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3
2 vías soluciones
Usando el cuadrado mágico encontrado con una constante de 15, puede establecer muchas tareas diversas:
Ejemplo. Construye nuevos cuadrados mágicos diferentes 3 x 3
Solución.
Sumando cada número del cuadrado mágico, o multiplicándolo por el mismo número, obtenemos un nuevo cuadrado mágico.
Ejemplo 1 Construye un cuadrado mágico de 3 x 3 cuyo número en el medio sea 13.
Solución.
Construyamos una magia familiar
cuadrado con constante 15.
Encuentra el número que está en
el medio del cuadrado deseado
13 – 5 = 8.
A cada número mágico
sumar 8 cuadrados.
Ejemplo 2 Llena las jaulas de magia
cuadrados, conociendo la constante mágica.
Solución. Encontremos el número
escrito en el medio 42: 3 = 14
42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10
tareas para solución independiente
Ejemplos. 1. Llena las celdas de los cuadrados mágicos con magia.
constante M = 15.
1) 2) 3)
2. Encuentra la constante mágica de los cuadrados mágicos.
1) 2) 3)
3. Rellena las celdas de los cuadrados mágicos, conociendo la constante mágica
1) 2) 3)
M=24 M=30 M=27
4 . Construya un cuadrado mágico de 3x3 sabiendo que la constante mágica es
es igual a 21
Solución. Recuerda cómo se construye un cuadrado mágico de 3x3 según el más pequeño
constante 15. Los números pares se escriben en los campos extremos
2, 4, 6, 8, y en el medio el número 5 (15 : 3).
Según la condición, es necesario construir un cuadrado según la constante mágica
21. En el centro del cuadrado deseado debe estar el número 7 (21 : 3).
Encontremos cuánto más cada miembro del cuadrado deseado
cada término con la constante mágica más pequeña 7 - 5 = 2.
Construimos el cuadrado mágico deseado:
21 – (4 + 6) = 
11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
4. Construye cuadrados mágicos de 3x3 conociendo sus constantes mágicas
METRO = 42 METRO = 36 METRO = 33
M=45 M=40 M=35
Construyendo un cuadrado mágico de 4 x 4 con los más pequeños
constante mágica
Encuentra la constante mágica más pequeña de un cuadrado mágico de 4x4
y el número ubicado en el medio de este cuadrado.
1 camino
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =
(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136
136: 4= 34.
donde n es el número de filas n = 4.
La suma de números en cualquier horizontal,
vertical y diagonal es 34.
Esta cantidad también se da en todos
cuadrados de esquina 2×2, en el centro
al cuadrado (10+11+6+7), al cuadrado de
celdas de esquina (16+13+4+1).
Para construir cualquier cuadrado mágico de 4x4, necesitas: construir uno
con la constante 34.
Ejemplo. Construye nuevos cuadrados mágicos de 4 x 4 diferentes.
Solución.
Sumando cada número encontrado
cuadrado mágico 4 x 4 o
multiplicándolo por el mismo número,
Consigue un nuevo cuadrado mágico.
Ejemplo. Construye un mágico
un cuadrado de 4 x 4 que tiene una magia
la constante es 46
Solución. Construyó un mágico familiar
cuadrado con constante 34.
46 – 34 = 12. 12: 4 = 3
A cada número del cuadrado mágico
sumamos 3.
Antes de proceder a resolver ejemplos más complejos sobre cuadrados mágicos de 4 x 4, comprueba de nuevo las propiedades que tiene si M = 34.
Ejemplos. 1. Llena las celdas del cuadrado mágico con magia
constante M = 38.
H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3
e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15
b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9
propiedad 1,3,1 propiedades 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2
propiedades 1,1,1,1
Respuesta.
Tareas para solución independiente
Rellena las celdas del cuadrado mágico con si la magia es conocida
constante
K = 46 K = 58 K = 62
Conoce los cuadrados mágicos 5x5 y 6x6
Hay varias clasificaciones diferentes de cuadrados mágicos.
quinto orden, diseñado para sistematizarlos de alguna manera. En el libro
Martin Gardner [GM90, págs. 244-345] describe uno de estos métodos:
de acuerdo con el número en el cuadrado central. El método es curioso, pero nada más.
Todavía se desconoce cuántos cuadrados de sexto orden existen, pero hay aproximadamente 1,77 x 1019. El número es enorme, por lo que no hay esperanza de contarlos mediante una búsqueda exhaustiva, pero nadie pudo encontrar una fórmula para calcular los cuadrados mágicos.
¿Cómo hacer un cuadrado mágico?
Hay muchas formas de construir cuadrados mágicos. La forma más fácil de hacer cuadrados mágicos orden impar. Usaremos el método propuesto por el científico francés del siglo XVII A. de la Louber (De La Loubère). Se basa en cinco reglas, cuyo funcionamiento consideraremos en el cuadrado mágico más simple de 3 x 3 celdas.
Regla 1. Ponga 1 en la columna central de la primera fila (Fig. 5.7).
Arroz. 5.7. Primer número
Regla 2. Coloque el siguiente número, si es posible, en la celda adyacente al actual en diagonal a la derecha y arriba (Fig. 5.8).
Arroz. 5.8. Tratando de poner el segundo número
Regla 3. Si la nueva celda va más allá del cuadrado de arriba, escriba el número en la última línea y en la siguiente columna (Fig. 5.9).
Arroz. 5.9. Ponemos el segundo número
Regla 4. Si la celda va más allá del cuadrado de la derecha, escriba el número en la primera columna y en la línea anterior (Fig. 5.10).
Arroz. 5.10. Ponemos el tercer número
Regla 5. Si la celda ya está ocupada, escriba el siguiente número debajo de la celda actual (Fig. 5.11).
Arroz. 5.11. Ponemos el cuarto numero
Arroz. 5.12. Ponemos el quinto y sexto numero
Siga las Reglas 3, 4, 5 nuevamente hasta completar todo el cuadrado (Fig.
¿No es verdad? Las reglas son muy simples y claras, pero aun así es bastante tedioso ordenar incluso 9 números. Sin embargo, conociendo el algoritmo para construir cuadrados mágicos, podemos confiar fácilmente a la computadora todo el trabajo de rutina, dejándonos solo el trabajo creativo, es decir, escribir un programa.
Arroz. 5.13. Completa el cuadrado con los siguientes números
Proyecto Cuadrados Mágicos (Magia)
Campo establecido para el programa cuadrados mágicos bastante obvio:
// PROGRAMA PARA LA GENERACIÓN
// CUADRADO MÁGICO IMPAR
// POR EL MÉTODO DE LA LOUBERT
clase parcial pública Form1: Formulario
//Máx. dimensiones cuadradas: const int MAX_SIZE = 27; //var
intn=0; // orden cuadrado int [,] mq; // cuadrado mágico
int numero=0; // número actual al cuadrado
intcol=0; // columna actual int fila=0; // linea actual
El método de de la Louber es adecuado para hacer cuadrados impares de cualquier tamaño, por lo que podemos dejar que el usuario elija el orden del cuadrado, limitando razonablemente la libertad de elección a 27 celdas.
Después de que el usuario presiona el codiciado botón btnGen Generate! , el método btnGen_Click crea una matriz para almacenar números y pasa al método de generación:
// PRESIONE EL BOTÓN "GENERAR"
privado vacío btnGen_Click (remitente del objeto, EventArgs e)
//orden del cuadrado:
n = (int)udNum.Valor;
//crear una matriz:
mq = nuevo int;
//generar cuadrado mágico: generar();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;
Aquí comenzamos a actuar de acuerdo con las reglas de de la Louber y escribimos el primer número, uno, en la celda central de la primera fila del cuadrado (o matriz, si lo desea):
//Generar el cuadrado mágico void generar()(
//primer numero: numero=1;
//columna para el primer número - medio: col = n / 2 + 1;
//línea para el primer número - el primero: fila=1;
//cuadrarlo: mq= numero;
Ahora agregamos secuencialmente el resto de las celdas en celdas, de dos a n * n:
// pasar al siguiente número:
Recordamos, por si acaso, las coordenadas de la celda real
int tc=col; int tr = fila;
y pasar a la siguiente celda en diagonal:
Verificamos la implementación de la tercera regla:
si (fila< 1) row= n;
Y luego el cuarto:
si (columna > n) (columna=1;
ir a regla3;
Y quinto:
si (mq != 0) ( col=tc;
fila=tr+1; ir a regla3;
¿Cómo sabemos que ya hay un número en la celda del cuadrado? - Muy simple: prudentemente escribimos ceros en todas las celdas, y los números en el cuadrado terminado son mayores que cero. Entonces, por el valor del elemento de la matriz, ¡determinaremos inmediatamente si la celda está vacía o ya tiene un número! Tenga en cuenta que aquí necesitamos las coordenadas de celda que recordamos antes de buscar la celda para el siguiente número.
Tarde o temprano, encontraremos una celda adecuada para el número y la escribiremos en la celda de matriz correspondiente:
//al cuadrado: mq = numero;
Pruebe otra forma de organizar el control de la admisibilidad de la transición a la
vaya celular!
Si este número fue el último, entonces el programa ha cumplido con sus obligaciones, de lo contrario, voluntariamente procede a proporcionar a la celda el siguiente número:
//si no se establecen todos los números, entonces si (número< n*n)
//ir al siguiente número: ir al siguienteNúmero;
¡Y ahora la plaza está lista! Calculamos su suma mágica y la imprimimos en pantalla:
) //generar()
Imprimir los elementos de una matriz es muy sencillo, pero es importante tener en cuenta la alineación de números de diferentes "longitudes", ya que un cuadrado puede contener números de uno, dos y tres dígitos:
// Imprime el cuadrado mágico void writeMQ()
lstRes.ForeColor = Color .Negro;
cadena s = "Suma mágica = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" );
// imprime el cuadrado mágico: for (int i= 1; i<= n; ++i){
s="" ;
para (int j= 1; j<= n; ++j){
si (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && m2< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;
lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" ); )//escribirMQ()
Lanzamos el programa: los cuadrados se obtienen rápidamente y son un festín para los ojos (Fig.
Arroz. 5.14. ¡Menuda plaza!
En el libro de S. Goodman, S. Hidetniemi Introducción al desarrollo y análisis de algoritmos
mov , en las páginas 297-299 encontraremos el mismo algoritmo, pero en una presentación "reducida". No es tan "transparente" como nuestra versión, pero funciona correctamente.
Agrega un botón btnGen2 ¡Genera 2! y escribir el algoritmo en el lenguaje
Do sostenido al método btnGen2_Click:
//Algoritmo ODDMS
vacío privado btnGen2_Click (remitente del objeto, EventArgs e)
//orden del cuadrado: n = (int )udNum.Value;
//crear una matriz:
mq = nuevo int;
//generar cuadrado mágico: int fila = 1;
columna int = (n+1)/2;
para (int i = 1; i<= n * n; ++i)
mq = yo; si (yo % n == 0)
si (fila == 1) fila = n;
si (col == n) col = 1;
//cuadrado completado: writeMQ();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;
Hacemos clic en el botón y nos aseguramos de que se generan “nuestros” cuadrados (Fig.
Arroz. 5.15. Viejo algoritmo en una nueva forma
Institución educativa municipal "Gimnasio No. 41"
cuadrados mágicos
Supervisor: ,
profesor de matematicas
Novouralsk, 2012
Introducción 3
1. Información general sobre los cuadrados mágicos 4
1.1. Concepto cuadrado mágico 4
1.2. De la historia de los cuadrados mágicos 4
1.3. Tipos de cuadrados mágicos 6
2. Resolver cuadrados mágicos 6
2.1. Resolución de cuadrados mágicos (método de Bachet de Mezirac) 7
2.2. Declaración del problema 8
2.3. Algoritmo para resolver cuadrados mágicos 8
2.4. Prueba del algoritmo (en forma algebraica) 9
2.5. Un ejemplo de cómo resolver un cuadrado mágico usando el Algoritmo 10
3. Usando cuadrados mágicos 11
3.1. Varios casos de generalización de cuadrados mágicos 11
3.2. Aplicación de cuadrados latinos 12
4. Conclusiones generales 13
5. Conclusión 14
6. Referencias 15
Anexo 1
Anexo 2
Anexo 3
Introducción
En las lecciones del círculo matemático, encontramos problemas relacionados con el llenado de las celdas del cuadrado de acuerdo con reglas especiales. Los números propuestos debían ingresarse para que el resultado satisfaga varias condiciones a la vez:
Si sumas todos los números en cada línea,
Si sumas todos los números de cada columna,
Si sumas todos los números en dos diagonales,
entonces todas estas sumas serán iguales al mismo número.
A pesar de que los problemas diferían en los números iniciales, el orden de los números, la suma dada, todos eran similares y las soluciones eran del mismo tipo.
La idea surgió no solo para resolver cada tarea, sino también para llegar a un algoritmo de solución general, así como encontrar información histórica sobre problemas de este tipo en la literatura.
Resultó que las figuras que nos interesan se llaman cuadrados mágicos, conocidos desde la antigüedad. Se discutirán en el trabajo.
Objetivo del trabajo: sistematizar información sobre cuadrados mágicos, desarrollar un algoritmo para resolverlos.
Tareas:
1. Estudia la historia de la aparición de los cuadrados mágicos.
2. Identificar los tipos de cuadrados mágicos.
3. Aprende a resolver cuadrados mágicos.
4. Desarrolle y pruebe su algoritmo de solución.
5. Determinar el uso de cuadrados mágicos.
1. Información general sobre los cuadrados mágicos
1.1. El concepto de un cuadrado mágico
Los cuadrados mágicos son muy populares incluso hoy en día. Estos son cuadrados, en cada celda de los cuales se inscriben números de modo que las sumas de números a lo largo de cualquier horizontal, cualquier vertical y cualquier diagonal sean iguales. El más famoso es el cuadrado mágico representado en el grabado del artista alemán A. Dürer "Melancholia" (Apéndice 1).
1.2. De la historia de los cuadrados mágicos
Los números han entrado tanto en la vida de una persona que comenzaron a atribuirles todo tipo de propiedades mágicas. Ya hace varios miles de años en la antigua China, se dejaron llevar por la elaboración de cuadrados mágicos. Durante las excavaciones arqueológicas en China e India, se encontraron amuletos cuadrados. El cuadrado se dividió en nueve cuadrados pequeños, en cada uno de los cuales se escribieron números del 1 al 9. Es notable que las sumas de todos los números en cualquier vertical, horizontal y diagonal eran iguales al mismo número 15 (Figura 1).
Foto 1.
Los cuadrados mágicos fueron muy populares en la Edad Media. Uno de los cuadrados mágicos está representado en el grabado del famoso artista alemán Albrecht Dürer, "Melancholia". Las 16 celdas del cuadrado contienen números del 1 al 16, y la suma de los números en todas las direcciones es 34. Es curioso que los dos números en el medio de la línea inferior indiquen el año en que se creó la imagen: 1514. Obtención Los cuadrados mágicos eran un pasatiempo popular entre los matemáticos, se crearon cuadrados enormes, por ejemplo, 43x43, que contenían números del 1 al 1849, y además de las propiedades indicadas de los cuadrados mágicos, también tienen muchas propiedades adicionales. Se han ideado formas de construir cuadrados mágicos de cualquier tamaño, pero hasta ahora no se ha encontrado una fórmula por la cual se pueda encontrar el número de cuadrados mágicos de un tamaño determinado. Se sabe, y usted mismo puede demostrarlo fácilmente, que no hay cuadrados mágicos de 2x2, hay exactamente un cuadrado mágico de 3x3, el resto de esos cuadrados se obtienen a partir de rotaciones y simetrías. Ya hay 800 cuadrados mágicos de 4x4, y el número de cuadrados de 5x5 se acerca al cuarto de millón.
1.3. Tipos de cuadrados mágicos
Mágico(cuadrado mágico) norte 2 números de tal manera que la suma de los números de cada fila, cada columna y ambas diagonales sea la misma.
cuadrado semimágico es una mesa cuadrada nxn llena de norte 2 números de tal manera que las sumas de números sean iguales solo en filas y columnas.
Normal es un cuadrado mágico lleno de números enteros del 1 al norte 2.
De asociación (simétrico) - cuadrado mágico, en el que la suma de dos números situados simétricamente en torno al centro del cuadrado es igual a norte 2 + 1.
Cuadrado mágico diabólico (pandiagonal)- un cuadrado mágico, en el que las sumas de números a lo largo de diagonales rotas (las diagonales que se forman cuando el cuadrado se pliega en un toro) en ambas direcciones también coinciden con la constante mágica.
Hay 48 Devil Magic Squares 4x4, precisos para rotaciones y reflejos. Si también tenemos en cuenta su simetría adicional: traslaciones paralelas tóricas, solo quedarán 3 cuadrados esencialmente diferentes (Figura 2).
Figura 2.
Los cuadrados pandiagonales de cuarto orden tienen una serie de propiedades adicionales por las que se denominan comprometido. Los cuadrados perfectos de orden impar no existen. Entre los cuadrados pandiagonales de doble paridad por encima de 4 los hay perfectos.
Hay 3600 cuadrados pandiagonales de quinto orden, teniendo en cuenta las traslaciones paralelas tóricas, hay 144 cuadrados pandiagonales diferentes.
2.Solución de cuadrados mágicos
2.1 Solución de cuadrados mágicos (método de Bacher de Mezirac)
Las reglas para construir cuadrados mágicos se dividen en tres categorías, dependiendo de si el orden del cuadrado es impar, igual al doble de un número impar o igual al cuádruple de un número impar. Se desconoce el método general para construir todos los cuadrados, aunque se utilizan ampliamente varios esquemas. Es posible encontrar todos los cuadrados mágicos de orden n solo para n ≤ 4.
Para resolver cuadrados mágicos normales de tamaño arbitrariamente grande, usamos el método descrito en 1612 por el matemático francés Claude Bachet de Mezirac. Una traducción al ruso de su libro se publicó en San Petersburgo en 1877 con el título "Juegos y problemas basados en las matemáticas".
Es conveniente construir un cuadrado mágico en papel cuadriculado. Sea n un número impar, y necesitas construir un cuadrado nxn con números del 1 al n2, actuamos paso a paso.
1. Escribimos todos los números del 1 al n2 en celdas en diagonal (n números en una fila) para formar un cuadrado diagonal.
2. Seleccione un cuadrado nxn en su centro. Esta es la base (todavía no se han llenado todas las celdas) del futuro cuadrado mágico.
3. Cada "esquina" numérica ubicada fuera del cuadrado central se transfiere cuidadosamente hacia adentro, al lado opuesto del cuadrado. Los números de estas esquinas deben llenar todas las celdas vacías. Se construye el cuadrado mágico.
Demos un ejemplo de llenar un cuadrado de 3x3 con números del 1 al 9. Para hacer esto, agregue celdas adicionales al cuadrado para obtener diagonales. Primero, complete las celdas diagonales con números del 1 al 9 (Figura 3), luego "doble las esquinas" en las celdas vacías del cuadrado hacia adentro hacia el lado opuesto (Figura 4).
Figura 3. Figura 4.
2.2. Formulación del problema.
Describamos nuestra propia forma de resolver cuadrados mágicos. Detengámonos en el estudio del modelo matemático de cuadrados mágicos de 3x3.
Formulación general del problema.
Hay nueve números. Es necesario organizarlos en celdas de un cuadrado de 3x3, de modo que las sumas de los números a lo largo de cualquier línea vertical, horizontal y diagonal sean iguales.
2.3. Algoritmo del cuadrado mágico
Descripción verbal del algoritmo
1. Ordene los números en orden ascendente.
2. Encuentra el número central (quinto en orden).
3. Determine los pares de acuerdo con la regla: 1 par: el primer número y el noveno,
2 pares - el segundo número y el octavo,
3 pares - el tercer número y el séptimo,
4 pares - el cuarto número y el sexto.
4. Averigüe la suma de números (S), que debe obtenerse sumando números a lo largo de cada vertical, horizontal, diagonal: agregue el número más pequeño, central y más grande, es decir, el número 1 del par con el número central.
5. Pon el número central en el centro del cuadrado.
6. En la horizontal (o vertical) central de las celdas libres, ingrese el primer par de números.
7. Escribe el segundo par de números a lo largo de cualquier diagonal (de modo que el número mayor del primer par esté en la columna con el número menor del segundo par).
8. Calcular el número a escribir en una de las columnas extremas, según la regla:
de S restar la suma de los dos números contenidos en las celdas de la columna, obtener el número.
9. En diagonal al número resultante, anote el segundo número de su par.
10. Ingrese el último par de números en las celdas restantes de acuerdo con la regla: ingrese el número más grande del par en la línea con el más pequeño y el número más pequeño en la celda vacía restante.
2.4. Prueba de la corrección de llenar el cuadrado mágico.
(Solución del problema en forma general)
Probaremos que las sumas de los números ubicados a lo largo de las verticales, horizontales y diagonales del cuadrado como resultado del algoritmo serán iguales.
Después de ordenar, cada número subsiguiente difiere del anterior por un valor constante X. Expresemos todos los números en términos de a1(número más pequeño) y X:
a1, a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
a9 = a1 +8 X.
Encontremos la suma S y expresarlo en términos de números a1 Y X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 X.
Deje que el cuadrado mágico se llene de acuerdo con el algoritmo propuesto.
Probemos que las sumas de los números ubicados a lo largo de la horizontal, vertical y diagonal del cuadrado son iguales a S.
Verticalmente:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Horizontalmente:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Diagonalmente:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3A1 +12x=S
Recibimos la misma cantidad. La afirmación ha sido probada.
Nota.
Los números organizados de esta manera forman una progresión aritmética. En esta secuencia (después de ordenar), a1 es el primer miembro de la progresión aritmética, x es la diferencia de la progresión aritmética. Para números que no constituyen una progresión aritmética, el algoritmo no funciona.
2.5. Un ejemplo de resolución de cuadrados mágicos.
Números dados: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Llena el cuadrado mágico con los números dados.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Obtuve el número central 5.
3. Parejas: 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6.
4.S=5+1+9= 15 - suma.
8. 15-(9+2)=4
Este algoritmo difiere significativamente del método de Bachet de Meziriac. Por un lado, requiere cálculos adicionales (una desventaja del método), por otro lado, nuestro método no requiere construcciones adicionales (cuadrado diagonal). Además, el método es aplicable no sólo a los números naturales consecutivos del 1 al 9, sino también a nueve números cualesquiera que sean miembros de una progresión aritmética, en lo que vemos sus ventajas. Además, se determina automáticamente una constante mágica: la suma de números a lo largo de cada diagonal, vertical, horizontal.
3. Usar cuadrados mágicos
3.1. Varios casos de generalización de cuadrados mágicos
Los problemas de compilación y descripción de cuadrados mágicos han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad. Sin embargo, hasta el día de hoy no se ha obtenido una descripción completa de todos los hitos de posibles cuadrados mágicos. A medida que aumenta el tamaño (número de celdas) del cuadrado, el número de cuadrados mágicos posibles crece rápidamente. Entre los cuadrados grandes hay cuadrados con propiedades interesantes. Por ejemplo, en el cuadrado de la figura No. 5, no solo las sumas de números en filas, columnas y diagonales son iguales, sino también las sumas de cinco a lo largo de las diagonales "quebradas" conectadas en la figura por líneas de colores.
Figura 5. Figura 6.
El cuadrado latino es un cuadrado de n x n celdas en el que se escriben los números 1, 2, ..., n, además, de tal forma que todos estos números aparecen una vez en cada fila y en cada columna. En (figura 6) se muestran dos cuadrados latinos de 4x4. Tienen una característica interesante: si un cuadrado se superpone a otro, todos los pares de números resultantes resultan ser diferentes. Tales pares de cuadrados latinos se llaman ortogonales. La tarea de encontrar cuadrados latinos ortogonales fue planteada por primera vez por L. Euler, y en una formulación tan entretenida: “Entre 36 oficiales, hay igualmente lanceros, dragones, húsares, coraceros, guardias de caballería y granaderos, y además, igualmente generales, coroneles, mayores, capitanes, tenientes y subtenientes, y cada rama de servicio está representada por oficiales de los seis rangos. ¿Es posible organizar estos oficiales en un cuadrado de 6x6 para que los oficiales de todos los rangos se reúnan en cualquier columna? (Apéndice 2).
L. Euler no pudo encontrar una solución a este problema. En 1901 se demostró que tal solución no existe.
3.2. Aplicación de cuadrados latinos
Los cuadrados mágicos y latinos son parientes cercanos. La teoría de los cuadrados latinos ha encontrado numerosas aplicaciones, tanto en las propias matemáticas como en sus aplicaciones. Tomemos un ejemplo. Supongamos que queremos probar la productividad de dos variedades de trigo en un área determinada, y queremos tener en cuenta la influencia del grado de escasez de cultivos y la influencia de dos tipos de fertilizantes. Para ello, dividimos la sección cuadrada en 16 partes iguales (Figura 7). Sembraremos la primera variedad de trigo en parcelas correspondientes a la franja horizontal inferior, sembraremos la siguiente variedad en cuatro parcelas correspondientes a la siguiente franja, etc. (en la figura se indica la variedad por color).
Agricultura" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">agricultura, física, química y tecnología.
4. Conclusiones generales
En el transcurso del trabajo, me familiaricé con varios tipos de cuadrados mágicos, aprendí a resolver cuadrados mágicos normales utilizando el método Bachet de Mezirac. Dado que nuestra solución de cuadrados mágicos de 3x3 difería del método especificado, pero cada vez que nos permitía completar correctamente las celdas del cuadrado, surgió el deseo de desarrollar nuestro propio algoritmo. Este algoritmo se describe en detalle en el trabajo, demostrado en forma algebraica. Resultó que se aplica no solo a los cuadrados normales, sino también a los cuadrados de 3x3, donde los números forman una progresión aritmética. También logramos encontrar ejemplos del uso de cuadrados mágicos y latinos.
Aprendí a: resolver algunos cuadrados mágicos, desarrollar y describir algoritmos, probar enunciados en forma algebraica. Aprendí nuevos conceptos: progresión aritmética, cuadrado mágico, constante mágica, estudié los tipos de cuadrados.
Desafortunadamente, ni mi algoritmo desarrollado ni el método de Bachet de Mezirac pueden resolver cuadrados mágicos de 4x4. Por lo tanto, quería seguir desarrollando un algoritmo para resolver tales cuadrados.
5. Conclusión
En este trabajo se estudiaron los cuadrados mágicos, se consideró la historia de su origen. Se definieron los tipos de cuadrados mágicos: cuadrado mágico o mágico, cuadrado semimágico, normal, asociativo, cuadrado mágico diabólico, perfecto.
Entre los métodos existentes para resolverlos, se eligió el método Basche de Meziriac, se probó en ejemplos. Además, para la resolución de cuadrados mágicos de 3x3 se propone un algoritmo de solución propio y se da una demostración matemática en forma algebraica.
El algoritmo propuesto difiere significativamente del método de Bacher de Meziriac. Por un lado, requiere cálculos adicionales (una desventaja del método), por otro lado, no se necesitan construcciones adicionales. El método es aplicable no sólo a los números naturales consecutivos del 1 al 9, sino también a nueve números cualesquiera que sean miembros de una progresión aritmética, en lo que vemos sus ventajas. Además, se determina automáticamente una constante mágica: la suma de números a lo largo de cada diagonal, vertical, horizontal.
El artículo presenta una generalización de los cuadrados mágicos - cuadrados latinos y describe su aplicación práctica.
Este trabajo se puede utilizar en las lecciones de matemáticas como material adicional, así como en el aula y en el trabajo individual con los estudiantes.
6. Referencias
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CUADRADO MÁGICO, una tabla cuadrada de números enteros en la que las sumas de los números a lo largo de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos diagonales principales son iguales al mismo número.
El cuadrado mágico es de origen chino antiguo. Según la leyenda, durante el reinado del emperador Yu (c. 2200 a. C.), una tortuga sagrada emergió de las aguas del río Amarillo, en cuyo caparazón se inscribieron misteriosos jeroglíficos (Fig. 1, A), y estos signos se conocen como lo-shu y son equivalentes al cuadrado mágico que se muestra en la fig. 1, b. En el siglo XI aprendieron sobre los cuadrados mágicos en la India y luego en Japón, en el siglo XVI. Los cuadrados mágicos han sido objeto de una extensa literatura. Presentó a los europeos los cuadrados mágicos en el siglo XV. Escritor bizantino E. Moskhopoulos. El primer cuadrado inventado por un europeo es el cuadrado de A. Durer (Fig. 2), representado en su famoso grabado Melancolía 1. La fecha del grabado (1514) se indica mediante números en las dos celdas centrales de la línea inferior. Se atribuyeron varias propiedades místicas a los cuadrados mágicos. En el siglo 16 Cornelius Heinrich Agrippa construyó cuadrados de los órdenes 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que estaban asociados con la astrología de los 7 planetas. Existía la creencia de que un cuadrado mágico grabado en plata protegía de la peste. Incluso hoy, entre los atributos de los adivinos europeos, se pueden ver cuadrados mágicos.
En los siglos XIX y XX el interés por los cuadrados mágicos se encendió con renovado vigor. Comenzaron a investigarse utilizando los métodos del álgebra superior y el cálculo operativo.
Cada elemento del cuadrado mágico se llama celda. Un cuadrado cuyo lado es norte células, contiene norte 2 celdas y se llama cuadrado norte-th orden. La mayoría de los cuadrados mágicos usan el primero norte números naturales consecutivos. Suma S números en cada fila, cada columna y en cualquier diagonal se llama la constante del cuadrado y es igual a S = norte(norte 2 + 1)/2. probado que norte i 3. Para un cuadrado de orden 3 S= 15, 4º orden - S= 34, 5º orden - S = 65.
Las dos diagonales que pasan por el centro del cuadrado se llaman diagonales principales. Una línea discontinua es una diagonal que, habiendo alcanzado el borde del cuadrado, continúa paralela al primer segmento desde el borde opuesto (dicha diagonal está formada por las celdas sombreadas en la Fig. 3). Las celdas que son simétricas con respecto al centro del cuadrado se denominan sesgadamente simétricas. Por ejemplo, las células a Y b en la Fig. 3.
Las reglas para construir cuadrados mágicos se dividen en tres categorías, dependiendo de si el orden del cuadrado es impar, igual al doble de un número impar o igual al cuádruple de un número impar. Se desconoce el método general para construir todos los cuadrados, aunque se utilizan ampliamente varios esquemas, algunos de los cuales consideraremos a continuación.
Se pueden construir cuadrados mágicos de orden impar utilizando el método de un geómetra francés del siglo XVII. A. de la Lubera. Considere este método utilizando el ejemplo de un cuadrado de quinto orden (Fig. 4). El número 1 se coloca en la celda central de la fila superior. Todos los números naturales están dispuestos en un orden natural cíclicamente de abajo hacia arriba en las celdas de las diagonales de derecha a izquierda. Habiendo llegado al borde superior del cuadrado (como en el caso del número 1), continuamos completando la diagonal comenzando desde la celda inferior de la siguiente columna. Habiendo llegado al borde derecho del cuadrado (número 3), continuamos llenando la diagonal que sale de la celda izquierda con la línea de arriba. Habiendo alcanzado una celda llena (número 5) o una esquina (número 15), la trayectoria desciende una celda hacia abajo, después de lo cual continúa el proceso de llenado.
El método de F. de la Ira (1640-1718) se basa en dos cuadrados originales. En la fig. La figura 5 muestra cómo se construye un cuadrado de quinto orden utilizando este método. Los números del 1 al 5 se ingresan en la celda del primer cuadrado para que el número 3 se repita en las celdas de la diagonal principal hacia arriba a la derecha, y ni un solo número aparece dos veces en una fila o en una columna. Hacemos lo mismo con los números 0, 5, 10, 15, 20 con la única diferencia de que ahora se repite el número 10 en las celdas de la diagonal principal de arriba a abajo (Fig. 5, b). La suma celda por celda de estos dos cuadrados (Fig. 5, V) forma un cuadrado mágico. Este método también se utiliza en la construcción de cuadrados de orden par.
Si se conoce un método para construir cuadrados de orden metro y el orden norte, entonces podemos construir un cuadrado de orden metroґ norte. La esencia de este método se muestra en la Fig. 6. Aquí metro= 3 y norte= 3. Se construye un cuadrado mayor de tercer orden (con números primos) mediante el método de de la Louber. El cuadrado con el número 1ў (la celda central de la fila superior) está inscrito en un cuadrado de 3er orden de los números del 1 al 9, también construido por el método de la Louber. Se ingresa un cuadrado de tercer orden con números del 10 al 18 en la celda con el número 2ў (justo en la línea inferior); en una celda con el número 3ў - un cuadrado de números del 19 al 27, etc. Como resultado, obtenemos un cuadrado de noveno orden. Tales cuadrados se llaman compuestos.
Introducción
Los grandes científicos de la antigüedad consideraban las relaciones cuantitativas como la base de la esencia del mundo. Por lo tanto, los números y sus proporciones ocuparon las mentes más grandes de la humanidad. “En los días de mi juventud, me divertía en mi tiempo libre haciendo... cuadrados mágicos”, escribió Benjamin Franklin. Un cuadrado mágico es un cuadrado cuya suma de números en cada fila horizontal, en cada fila vertical ya lo largo de cada una de las diagonales es la misma.
Algunos matemáticos destacados dedicaron sus trabajos a los cuadrados mágicos y sus resultados influyeron en el desarrollo de grupos, estructuras, cuadrados latinos, determinantes, particiones, matrices, comparaciones y otras secciones no triviales de las matemáticas.
El propósito de este ensayo es presentar varios cuadrados mágicos, cuadrados latinos y estudiar sus áreas de aplicación.
cuadrados mágicos
Hasta el día de hoy no se ha obtenido una descripción completa de todos los cuadrados mágicos posibles. No hay cuadrados mágicos de 2x2. Existe un único cuadrado mágico de 3x3, ya que de él se obtienen el resto de cuadrados mágicos de 3x3 o bien por rotación alrededor del centro o bien por reflexión sobre uno de sus ejes de simetría.
Hay 8 formas diferentes de ordenar los números naturales del 1 al 9 en un cuadrado mágico de 3x3:
- 9+5+1
- 9+4+2
- 8+6+2
- 8+5+2
- 8+4+3
- 7+6+2
- 7+5+3
- 6+5+4
En un cuadrado mágico de 3x3, la constante mágica 15 debe ser igual a la suma de tres números en 8 direcciones: 3 filas, 3 columnas y 2 diagonales. Como el número del centro pertenece a 1 fila, 1 columna y 2 diagonales, se incluye en 4 de los 8 triples, que suman la constante mágica. Solo existe uno de esos números: es el 5. Por lo tanto, el número en el centro del cuadrado mágico de 3x3 ya se conoce: es igual a 5.
Considere el número 9. Está incluido solo en 2 tripletas de números. No podemos ponerlo en una esquina, ya que cada celda de la esquina pertenece a 3 triples: una fila, una columna y una diagonal. Por lo tanto, el número 9 debe estar en alguna celda adyacente al lado del cuadrado en su centro. Debido a la simetría del cuadrado, no importa qué lado elijamos, así que escribimos 9 sobre el número 5 en la celda central. En ambos lados del nueve en la línea superior, solo podemos ingresar los números 2 y 4. Cuál de estos dos números estará en la esquina superior derecha y cuál en la izquierda, de nuevo, no importa, ya que una disposición de números va en otro cuando se refleja. Las celdas restantes se rellenan automáticamente. Nuestra sencilla construcción de un cuadrado mágico de 3x3 demuestra su singularidad.
Tal cuadrado mágico era un símbolo de gran importancia entre los antiguos chinos. El número 5 en el medio significaba la tierra, y a su alrededor en estricto equilibrio estaban el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6),
madera (3 y 8), metal (4 y 9).
A medida que aumenta el tamaño del cuadrado (el número de celdas), el número de posibles cuadrados mágicos de ese tamaño crece rápidamente. Hay 880 cuadrados mágicos de orden 4 y 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5. Además, en la Edad Media se conocían los cuadrados de 5x5. Los musulmanes, por ejemplo, eran muy reverentes hacia ese cuadrado con el número 1 en el medio, considerándolo un símbolo de la unidad de Alá.
Cuadrado mágico de Pitágoras
El gran científico Pitágoras, quien fundó la doctrina religiosa y filosófica que proclamaba las relaciones cuantitativas como la base de la esencia de las cosas, creía que la esencia de una persona también se encuentra en el número: la fecha de nacimiento. Por lo tanto, con la ayuda del cuadrado mágico de Pitágoras, se puede conocer el carácter de una persona, el grado de salud liberado y sus potencialidades, revelar las ventajas y desventajas, y así identificar lo que se debe hacer para mejorarlo.
Para entender qué es el cuadrado mágico de Pitágoras y cómo se calculan sus indicadores, lo calcularé usando mi propio ejemplo. Y para asegurarme de que los resultados del cálculo realmente se correspondan con el carácter real de esta o aquella persona, primero lo comprobaré yo mismo. Para ello, haré el cálculo según mi fecha de nacimiento. Entonces, mi fecha de nacimiento es 20/08/1986. Sumemos los números del día, mes y año de nacimiento (excluyendo los ceros): 2+8+1+9+8+6=34. Luego, suma los números del resultado: 3 + 4 = 7. Luego de la primera suma restamos el primer dígito duplicado del cumpleaños: 34-4=30. Y nuevamente agregue los números del último número:
3+0=3. Queda por hacer las últimas sumas: las sumas 1 y 3 y 2 y 4: 34+30=64, 7+3=10. Recibimos los números 20/08/1986,34,7,30, 64,10.
y componga un cuadrado mágico para que todas las unidades de estos números estén incluidas en la celda 1, todos los dos estén en la celda 2, etc. Los ceros no se toman en cuenta. Como resultado, mi cuadrado se verá así:
Las celdas del cuadrado significan lo siguiente:
Celda 1: propósito, voluntad, perseverancia, egoísmo.
- 1 - Egoístas completos, se esfuerzan por obtener el máximo beneficio de cualquier situación.
- 11 - un personaje cercano a egoísta.
- 111 - "medio dorado". El carácter es tranquilo, flexible, sociable.
- 1111 - personas de carácter fuerte, de voluntad fuerte. Los hombres con ese carácter son adecuados para el papel de militares profesionales, y las mujeres mantienen a su familia en un puño.
- 11111 - dictador, tirano.
- 111111 - una persona cruel, capaz de hacer lo imposible; a menudo cae bajo la influencia de alguna idea.
Célula 2 - bioenergética, emotividad, sinceridad, sensualidad. El número de dos determina el nivel de bioenergética.
No hay deuces: se abre un canal para un conjunto intensivo de bioenergética. Estas personas son educadas y nobles por naturaleza.
- 2 - la gente común en términos de bioenergética. Tales personas son muy sensibles a los cambios en la atmósfera.
- 22 - un suministro relativamente grande de bioenergía. Esas personas son buenos médicos, enfermeras, camilleros. En la familia de esas personas, rara vez alguien tiene estrés nervioso.
- 222 es un signo de un psíquico.
Celda 3: precisión, especificidad, organización, precisión, puntualidad, limpieza, tacañería, tendencia a "restaurar la justicia" constantemente.
El crecimiento de los trillizos potencia todas estas cualidades. Con ellos, tiene sentido que una persona se busque en las ciencias, especialmente en las exactas. La preponderancia de los triples da lugar a pedantes, gente en un caso.
Celda 4 - salud. Esto se debe al egregor, es decir, al espacio energético desarrollado por los ancestros y que protege a la persona. La ausencia de cuatro indica el dolor de una persona.
- 4 - salud media, es necesario templar el cuerpo. Los deportes recomendados son la natación y la carrera.
- 44 - buena salud.
- 444 y más - personas con muy buena salud.
Celda 5: intuición, clarividencia, que comienza a manifestarse en tales personas ya en el nivel de tres cincos.
No hay cincos: el canal de comunicación con el espacio está cerrado. Estas personas son a menudo
estan equivocados.
- 5 - el canal de comunicación está abierto. Estas personas pueden calcular correctamente la situación para sacarle el máximo partido.
- 55 - intuición muy desarrollada. Cuando ven "sueños proféticos", pueden predecir el curso de los acontecimientos. Las profesiones adecuadas para ellos son un abogado, un investigador.
- 555 - casi clarividente.
- 5555 - clarividentes.
Célula 6 - arraigo, materialidad, cálculo, tendencia al desarrollo cuantitativo del mundo y desconfianza de los saltos cualitativos, y más aún de los milagros de orden espiritual.
No hay seis: estas personas necesitan trabajo físico, aunque generalmente no les gusta. Están dotados de una extraordinaria imaginación, fantasía, gusto artístico. Naturalezas sutiles, sin embargo son capaces de acción.
- 6- Puede dedicarse a la creatividad oa las ciencias exactas, pero el trabajo físico es un requisito indispensable para la existencia.
- 66 - las personas están muy arraigadas, atraídas por el trabajo físico, aunque no sea obligatorio para ellas; actividad mental o clases de arte son deseables.
- 666 - el signo de Satanás, un signo especial y siniestro. Estas personas tienen un temperamento alto, son encantadoras, invariablemente se convierten en el centro de atención de la sociedad.
- 6666 - estas personas en sus encarnaciones anteriores ganaron demasiada tierra, trabajaron muy duro y no pueden imaginar su vida sin trabajo. Si su cuadrado tiene
nueves, definitivamente necesitan participar en actividades mentales, desarrollar inteligencia, al menos obtener una educación superior.
Celda 7: el número de sietes determina la medida del talento.
- 7 - cuanto más trabajan, más obtienen después.
- 77 - Personas muy dotadas, musicales, tienen un gusto artístico delicado, pueden tener inclinación por las bellas artes.
- 777: estas personas, por regla general, vienen a la Tierra por un corto tiempo. Son amables, serenos, perciben dolorosamente cualquier injusticia. Son sensibles, les gusta soñar, no siempre sienten la realidad.
- 7777 es el signo del Ángel. Las personas con este signo mueren en la infancia y, si viven, sus vidas están constantemente en peligro.
Celda 8 - karma, deber, deber, responsabilidad. El número de ochos determina el grado de sentido del deber.
No hay ochos: estas personas carecen casi por completo del sentido del deber.
- 8 - naturalezas responsables, concienzudas y precisas.
- 88 - estas personas tienen un sentido del deber desarrollado, siempre se distinguen por el deseo de ayudar a los demás, especialmente a los débiles, los enfermos, los solitarios.
- 888 - un signo de gran deber, un signo de servicio a la gente. La regla con tres ochos logra resultados sobresalientes.
- 8888 - estas personas tienen habilidades parapsicológicas y una susceptibilidad excepcional a las ciencias exactas. Los caminos sobrenaturales están abiertos para ellos.
Celda 9 - mente, sabiduría. La ausencia de nueves es evidencia de que las habilidades mentales son extremadamente limitadas.
- 9 - estas personas deben trabajar duro toda su vida para compensar la falta de inteligencia.
- 99 - estas personas son inteligentes desde el nacimiento. Siempre son reacios a aprender, porque el conocimiento se les da fácilmente. Están dotados de un sentido del humor con un toque irónico, independiente.
- 999 son muy inteligentes. No se pone ningún esfuerzo en el aprendizaje en absoluto. Excelentes interlocutores.
- 9999 - la verdad se revela a estas personas. Si también han desarrollado la intuición, entonces están garantizados contra el fracaso en cualquiera de sus esfuerzos. Con todo esto, suelen ser bastante agradables, ya que una mente aguda los vuelve groseros, despiadados y crueles.
Entonces, habiendo compilado el cuadrado mágico de Pitágoras y conociendo el significado de todas las combinaciones de números incluidas en sus celdas, podrá apreciar adecuadamente las cualidades de su naturaleza que la madre naturaleza ha dotado.
cuadrados latinos
A pesar de que los matemáticos estaban principalmente interesados en los cuadrados mágicos, los cuadrados latinos encontraron la mayor aplicación en la ciencia y la tecnología.
Un cuadrado latino es un cuadrado de nxn celdas en el que se escriben los números 1, 2, ..., n, además, de tal forma que todos estos números aparecen una vez en cada fila y en cada columna. La figura 3 muestra dos de esos cuadrados de 4x4. Tienen una característica interesante: si un cuadrado se superpone a otro, todos los pares de números resultantes resultan ser diferentes. Tales pares de cuadrados latinos se llaman ortogonales.
La tarea de encontrar cuadrados latinos ortogonales fue planteada por primera vez por L. Euler, y en una formulación tan entretenida: “Entre los 36 oficiales, hay igualmente lanceros, dragones, húsares, coraceros, guardias de caballería y granaderos, y además, igualmente generales , coroneles, mayores, capitanes, tenientes y subtenientes, y cada rama de servicio está representada por oficiales de los seis rangos. ¿Es posible alinear a todos los oficiales en un cuadrado de 6 x 6 para que los oficiales de todos los rangos se encuentren en cualquier columna y cualquier línea?
Euler no pudo encontrar una solución a este problema. En 1901 se demostró que tal solución no existe. Al mismo tiempo, Euler demostró que existen pares ortogonales de cuadrados latinos para todos los valores impares de n y para valores pares de n que son divisibles por 4. Euler planteó la hipótesis de que para los valores restantes de n, es decir , si el número n cuando se divide por 4 da como resto 2, no hay cuadrados ortogonales. En 1901 se demostró que los cuadrados ortogonales 6 6 no existen, y esto aumentó la confianza en la validez de la conjetura de Euler. Sin embargo, en 1959, usando una computadora, primero se encontraron cuadrados ortogonales de 10x10, luego 14x14, 18x18, 22x22. Y luego se demostró que para cualquier n excepto 6, hay nxn cuadrados ortogonales.
Los cuadrados mágicos y latinos son parientes cercanos. Tengamos dos cuadrados ortogonales. Rellene las celdas del nuevo cuadrado del mismo tamaño de la siguiente manera. Pongamos el número n(a - 1) + b ahí, donde a es el número en tal celda del primer cuadrado, y b es el número en la misma celda del segundo cuadrado. Es fácil comprender que en el cuadrado resultante, las sumas de números en filas y columnas (pero no necesariamente en las diagonales) serán las mismas.
La teoría de los cuadrados latinos ha encontrado numerosas aplicaciones tanto en las propias matemáticas como en sus aplicaciones. Tomemos un ejemplo. Supongamos que queremos probar la productividad de 4 variedades de trigo en un área determinada, y queremos tener en cuenta la influencia del grado de escasez de cultivos y la influencia de dos tipos de fertilizantes. Para ello, dividiremos un terreno cuadrado en 16 parcelas (Fig. 4). Sembraremos la primera variedad de trigo en parcelas correspondientes a la franja horizontal inferior, la siguiente variedad, en cuatro parcelas correspondientes a la siguiente franja, etc. (en la figura, la variedad se indica con color). En este caso, deje que la densidad máxima de siembra esté en aquellas parcelas que corresponden a la columna vertical izquierda de la figura, y disminuya al moverse hacia la derecha (en la figura, esto corresponde a una disminución en la intensidad del color). Los números en las celdas de la figura, que signifique:
el primero es el número de kilogramos de fertilizante del primer tipo aplicado a esta superficie, y el segundo es la cantidad de fertilizante del segundo tipo aplicado. Es fácil entender que en este caso se realizan todos los pares posibles de combinaciones de variedad y densidad de siembra, y otros componentes: variedad y fertilizantes del primer tipo, fertilizantes del primer y segundo tipo, densidad y fertilizantes del segundo tipo .
El uso de cuadrados latinos ortogonales ayuda a tener en cuenta todas las opciones posibles en experimentos de agricultura, física, química y tecnología.
cuadrado mágico pitágoras latino
Conclusión
Este ensayo trata temas relacionados con la historia del desarrollo de uno de los temas de las matemáticas, que ocupó la mente de tantas personas importantes: los cuadrados mágicos. A pesar de que los cuadrados mágicos en sí mismos no han encontrado una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología, inspiraron a muchas personas destacadas a estudiar matemáticas y contribuyeron al desarrollo de otras ramas de las matemáticas (la teoría de grupos, determinantes, matrices, etc.).
Los parientes más cercanos de los cuadrados mágicos, los cuadrados latinos, han encontrado numerosas aplicaciones tanto en matemáticas como en sus aplicaciones para configurar y procesar los resultados de los experimentos. El resumen proporciona un ejemplo de la configuración de un experimento de este tipo.
El resumen también considera la cuestión del cuadrado de Pitágoras, que es de interés histórico y, quizás, útil para dibujar un retrato psicológico de una persona.
Bibliografía
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- 2. M. Gardner "Viaje en el tiempo", M., "Mir", 1990.
- 3. Cultura física y deportes No. 10, 1998
