Koonus ja selle elemendid. Geomeetrilised kehad. Koonus Määratlege koonuse generatriks

Masinaehituses kasutatakse koos silindrilistega laialdaselt koonilise pinnaga osi väliskoonuste või kooniliste aukude kujul. Näiteks treipingi keskel on kaks välimist koonust, millest üks on mõeldud selle paigaldamiseks ja kinnitamiseks spindli koonusavasse; puur, süvis, hõõrits jne on ka väliskoonusega paigaldamiseks ja kinnitamiseks Koonilise varrega puuride kinnitusmuhvil on välimine koonus ja kooniline auk.

1. Koonuse mõiste ja selle elemendid

Koonuse elemendid. Kui pöörata täisnurkne kolmnurk ABC ümber jala AB (joon. 202, a), siis tekib keha ABG, nn. täiskoonus. Sirget AB nimetatakse teljeks või koonuse kõrgus, rida AB - koonuse generatrix. Punkt A on koonuse ülaosa.

Kui jalg BV pöörleb ümber telje AB, tekib ringpind, nn koonuse alus.

Nurka VAG külgmiste külgede AB ja AG vahel nimetatakse koonuse nurk ja seda tähistatakse 2α-ga. Nimetatakse pool sellest nurgast, mille moodustavad külgkülg AG ja telg AB koonuse nurk ja seda tähistatakse α-ga. Nurki väljendatakse kraadides, minutites ja sekundites.

Kui lõikame selle ülemise osa põhjaga paralleelse tasapinnaga terviklikust koonusest ära (joon. 202, b), saame keha nn. kärbitud koonus. Sellel on kaks alust, ülemine ja alumine. Nimetatakse kaugust OO 1 piki aluste vahelist telge kärbitud koonuse kõrgus. Kuna masinaehituses peame enamasti tegelema koonuste osadega ehk tüvikoonustega, siis tavaliselt nimetatakse neid lihtsalt koonusteks; Edaspidi nimetame kõiki koonuspindu koonusteks.

Koonuse elementide vaheline seos. Joonisel on tavaliselt märgitud kolm põhilist koonuse mõõdet: suurem läbimõõt D, väiksem läbimõõt d ja koonuse kõrgus l (joonis 203).

Mõnikord on joonisel märgitud ainult üks koonuse läbimõõtudest, näiteks suurem D, koonuse kõrgus l ja nn koonus. Koonus on koonuse läbimõõtude ja selle pikkuse vahe suhe. Tähistame siis koonust tähega K

Kui koonuse mõõtmed on: D = 80 mm, d = 70 mm ja l = 100 mm, siis vastavalt valemile (10):

See tähendab, et 10 mm pikkusel väheneb koonuse läbimõõt 1 mm võrra või iga koonuse pikkuse millimeetri kohta muutub selle läbimõõtude vahe 1 mm võrra.

Mõnikord on joonisel koonuse nurga asemel see märgitud koonuse kalle. Koonuse kalle näitab, mil määral kaldub koonuse generatriks oma teljest kõrvale.
Koonuse kalle määratakse valemiga

kus tan α on koonuse kalle;

l on koonuse kõrgus mm.

Kasutades valemit (11), saate trigonomeetriliste tabelite abil määrata koonuse nurga a.

Näide 6. Antud D = 80 mm; d = 70 mm; l = 100 mm. Kasutades valemit (11) saame puutujate tabelist leiame tan α = 0,05, st tan α = 0,049 lähima väärtuse, mis vastab koonuse kaldenurgale α = 2°50". Seetõttu on koonuse nurk 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

Koonuse kalle ja koonus väljendatakse tavaliselt lihtmurruna, näiteks: 1:10; 1:50 või kümnendmurd, näiteks 0,1; 0,05; 0,02 jne.

2. Treipingil kooniliste pindade valmistamise meetodid

Treipingil töödeldakse koonusekujulisi pindu ühel järgmistest viisidest:
a) pidurisadula ülemise osa pööramine;
b) sabavarre kere põiksuunaline nihe;
c) koonuse joonlaua kasutamine;
d) laia lõikuri kasutamine.

3. Kooniliste pindade töötlemine nihiku ülemise osa keeramisega

Treipingil suure kaldenurgaga lühikeste välis- ja sisekooniliste pindade valmistamisel tuleb toe ülemist osa masina telje suhtes pöörata koonuse kaldenurga α nurga all (vt joonis 204). Selle töömeetodiga saab söötmist teha ainult käsitsi, pöörates toe ülemise osa juhtkruvi käepidet ja ainult kõige kaasaegsematel treipingitel on toe ülemise osa mehaaniline etteanne.

Sadula 1 ülemise osa seadistamiseks vajaliku nurga alla saab kasutada pidurisadula pöörleva osa äärikule 2 märgitud jaotusi (joonis 204). Kui joonise järgi on määratud koonuse kaldenurk α, siis pööratakse nihiku ülemist osa koos selle pöörleva osaga vajaliku arvu jaotustega, mis näitavad kraadi. Jaotuste arv loetakse nihiku põhjale märgitud märgi suhtes.

Kui joonisel ei ole antud nurka α, vaid on näidatud koonuse suurem ja väiksem läbimõõt ning selle koonilise osa pikkus, siis määratakse nihiku pöördenurk valemiga (11)

Näide 7. Antud koonuse läbimõõdud on D = 80 mm, d = 66 mm, koonuse pikkus l = 112 mm. Meil on: Puutujate tabeli abil leiame ligikaudu: a = 3°35". Seetõttu tuleb nihiku ülemist osa pöörata 3°35".

Kooniliste pindade treimise meetodil nihiku ülemise osa keeramise teel on järgmised puudused: see võimaldab tavaliselt kasutada ainult käsitsi etteannet, mis mõjutab tööviljakust ja töödeldud pinna puhtust; võimaldab lihvida suhteliselt lühikesi koonusekujulisi pindu, mida piirab nihiku ülemise osa käigupikkus.

4. Kooniliste pindade töötlemine sabavarre kere põiksuunalise nihutamise meetodil

Treipingil koonilise pinna saamiseks tuleb töödeldava detaili pööramisel nihutada lõikuri otsa mitte paralleelselt, vaid teatud nurga all tsentrite telje suhtes. See nurk peab olema võrdne koonuse kaldenurgaga α. Lihtsaim viis kesktelje ja etteandesuuna vahelise nurga saamiseks on keskjoone nihutamine, nihutades tagumist keskpunkti põikisuunas. Lihvimise tulemusena tagumist keskpunkti lõikuri poole (enda poole) nihutades saadakse koonus, mille suurem põhi on suunatud peatoe poole; kui tagumine keskpunkt on nihutatud vastupidises suunas, st lõikurist eemale (sinust eemale), jääb koonuse suurem alus sabatoe küljele (joonis 205).

Sabatoe korpuse nihe määratakse valemiga

kus S on sabatoe korpuse nihkumine peavarre spindli teljest (mm);
D on koonuse suure aluse läbimõõt mm;
d on koonuse väikese aluse läbimõõt mm;
L on kogu osa pikkus või tsentrite vaheline kaugus millimeetrites;
l on detaili koonilise osa pikkus mm.

Näide 8. Määrake tüvikoonuse pööramisel tagaosa keskpunkti nihe, kui D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm ja l = 200 mm. Kasutades valemit (12) leiame:

Sabavarda korpust nihutatakse, kasutades alusplaadi otsas märgitud jaotusi 1 (joonis 206) ja tähist 2 sabakorpuse otsas.

Kui plaadi otsas pole jaotusi, liigutage sabatoe korpust mõõtejoonlaua abil, nagu on näidatud joonisel fig. 207.

Kooniliste pindade töötlemise eeliseks sabatoe korpuse nihutamise teel on see, et seda meetodit saab kasutada pikkade koonuste treimiseks ja lihvimiseks mehaanilise etteandega.

Selle meetodi puudused: suutmatus puurida koonusekujulisi auke; aja kaotus sabavarre ümberkorraldamiseks; võimalus töödelda ainult madalaid koonuseid; tsentrite ebaühtlane joondamine keskavades, mis toob kaasa tsentrite ja keskaukude kiire ja ebaühtlase kulumise ning põhjustab defekte detaili sekundaarsel paigaldamisel samadesse keskaukudesse.

Keskmiste aukude ebaühtlast kulumist saab vältida, kui tavapärase kuulikeskuse asemel kasutatakse spetsiaalset kuulikeskme (joonis 208). Selliseid keskusi kasutatakse peamiselt täppiskoonuste töötlemisel.

5. Kooniliste pindade töötlemine koonilise joonlaua abil

Kuni 10-12° kaldenurgaga kooniliste pindade töötlemiseks on tänapäevastel treipinkidel tavaliselt spetsiaalne seade, mida nimetatakse koonusjoonlauaks. Koonuse töötlemise skeem koonuse joonlaua abil on näidatud joonisel fig. 209.

Masina aluse külge on kinnitatud plaat 11, millele on paigaldatud kooniline joonlaud 9. Joonlauda saab pöörata ümber tihvti 8 vajaliku nurga a all tooriku telje suhtes. Joonlaua kinnitamiseks vajalikus asendis kasutatakse kahte polti 4 ja 10. Liugur 7 libiseb vabalt mööda joonlauda, mis ühendab varda 5 ja klambri 6 abil nihiku alumise põikiosaga 12. Nii et see osa. pidurisadul saab vabalt mööda juhikuid libiseda, see ühendatakse kelgu 3 küljest lahti, keerates lahti ristkruvi või lahutades selle mutteri pidurisadulast.

Kui annate vankrile pikisuunalise ettenihke, hakkab varda 5 haaratud liugur 7 liikuma mööda joonlauda 9. Kuna liugur on kinnitatud nihiku põikisuunalise liuguri külge, hakkavad need koos lõikuriga liikuma. liikuda paralleelselt joonlauaga 9. Tänu sellele töötleb lõikur koonilise pinna, mille kaldenurk on võrdne koonilise joonlaua pöördenurgaga α.

Pärast iga läbimist seatakse lõikur lõikesügavusele, kasutades nihiku ülemise osa 2 käepidet 1. Seda nihiku osa tuleb pöörata 90° normaalasendi suhtes, st nagu näidatud joonisel fig. 209.

Kui on antud koonuse D ja d aluste läbimõõdud ning pikkus l, siis joonlaua pöördenurga saab leida valemi (11) abil.

Olles arvutanud tan α väärtuse, on puutujate tabeli abil lihtne määrata nurga α väärtust.
Koonusjoonlaua kasutamisel on mitmeid eeliseid:
1) joonlaua seadistamine on mugav ja kiire;
2) töötlemiskoonustele üleminekul ei ole vaja häirida masina tavapärast häälestust, s.t pole vaja liigutada sabavarda korpust; masina keskkohad jäävad normaalasendisse, s.o samale teljele, mille tõttu ei tööta detaili keskavad ja masina keskkohad;
3) koonilise joonlaua abil saate lihvida mitte ainult väliseid koonusekujulisi pindu, vaid teha ka koonusekujulisi auke;
4) on võimalik töötada pikisuunalise iseliikuva masinaga, mis tõstab tööviljakust ja parandab töötlemise kvaliteeti.

Kitseneva joonlaua miinuseks on vajadus nihiku liugur risti etteandekruvi küljest lahti ühendada. See puudus on kõrvaldatud mõne treipingi konstruktsioonis, mille puhul kruvi ei ole jäigalt ühendatud selle käsiratta ja põikisuunalise iseliikuva masina hammasratastega.

6. Kooniliste pindade töötlemine laia lõikuriga

Lühikese koonusepikkusega kooniliste pindade (välis- ja sisepindade) töötlemine võib toimuda laia lõikuriga, mille plaaninurk vastab koonuse kaldenurgale α (joon. 210). Lõikuri etteanne võib olla piki- või põikisuunaline.

Kuid laia lõikuri kasutamine tavalistel masinatel on võimalik ainult siis, kui koonuse pikkus ei ületa ligikaudu 20 mm. Laiemaid lõikureid saab kasutada ainult eriti jäikade masinate ja osade puhul, kui see ei põhjusta lõikuri ja tooriku vibratsiooni.

7. Kitsenevate aukude puurimine ja hõõritsemine

Kitsenevate aukude töötlemine on üks raskemaid treimistöid; see on palju keerulisem kui väliste koonuste töötlemine.

Treipinkide kooniliste aukude töötlemine toimub enamikul juhtudel puurides lõikuriga koos toe ülemise osa pööramisega ja harvemini koonilise joonlaua abil. Kõik nihiku ülemise osa või koonilise joonlaua pööramisega seotud arvutused tehakse samamoodi nagu välimiste kooniliste pindade pööramisel.

Kui auk peab olema tahkes materjalis, siis esmalt puuritakse silindrikujuline auk, mis seejärel puuritakse lõikuriga koonuseks või töödeldakse kooniliste süvendite ja hõõritsatega.

Puurimise või hõõritamise kiirendamiseks tuleks esmalt puurida puuriga auk, läbimõõt d, mis on 1-2 mm väiksem koonuse väikese aluse läbimõõdust (joon. 211, a). Pärast seda puuritakse astmete saamiseks auk ühe (joonis 211, b) või kahe (joonis 211, c) puuriga.

Pärast koonuse puurimise lõpetamist hõõritakse see vastava koonuse koonilise hõõritsaga. Väikese koonusega koonuste puhul on kasulikum töödelda koonilised augud kohe pärast puurimist spetsiaalsete hõõritsuste komplektiga, nagu on näidatud joonisel fig. 212.

8. Lõikerežiimid aukude töötlemisel koonilise hõõritsaga

Koonilised hõõritsad töötavad raskemates tingimustes kui silindrilised hõõritsad: kui silindrilised hõõritsad eemaldavad väikeste lõikeservadega väikese varu, siis koonilised hõõritsad lõikavad kogu pikkuses koonuse generaatoril asuvaid lõikeservi. Seetõttu kasutatakse kooniliste hõõritsatega töötamisel ettenihkeid ja lõikekiirusi vähem kui silindriliste hõõritsatega töötamisel.

Aukude töötlemisel kooniliste hõõritsatega toimub etteanne käsitsi, keerates sabatoe käsiratast. On vaja tagada, et sabavarre liiguks ühtlaselt.

Terase hõõrimisel ettenihe on 0,1-0,2 mm/pööre, malmi hõõrimisel 0,2-0,4 mm/pööre.

Terasest kiirhõõritsusega kooniliste aukude hõõrimisel on lõikekiirus 6-10 m/min.

Kooniliste hõõritsate töö hõlbustamiseks ja puhta sileda pinna saamiseks tuleks kasutada jahutamist. Terase ja malmi töötlemisel kasutatakse emulsiooni või sulfofresooli.

9. Kooniliste pindade mõõtmine

Koonuste pindu kontrollitakse mallide ja mõõturitega; koonuse nurkade mõõtmine ja samaaegne kontrollimine toimub nurkade abil. Joonisel fig. 213 näitab meetodit koonuse kontrollimiseks malli abil.

Erinevate osade välis- ja sisenurki saab mõõta universaalse goniomeetriga (joonis 214). See koosneb alusest 1, millele on kaarega 130 märgitud põhiskaala. Aluse 1 külge on jäigalt kinnitatud joonlaud 5. Sektor 4 liigub piki aluse kaaret, kandes noonust 3. Sektori 4 külge saab kinnitada ruudu 2 hoidiku 7 abil, milles omakorda eemaldatav joonlaud 5 on fikseeritud Ruut 2 ja eemaldatav joonlaud 5 võivad liikuda piki sektori 4 serva.

Protraktori mõõteosade paigaldamisel erinevate kombinatsioonide abil on võimalik mõõta nurki 0 kuni 320°. Nurkade mõõtmisel saadud näit saadakse skaalat ja noojust kasutades (joonis 215) järgmiselt: noonuse nullkäik näitab kraadide arvu ja noonuse käik, mis langeb kokku alusskaala tõmme näitab minutite arvu on 76°22".

Joonisel fig. 216 on kujutatud universaalse nurganurga mõõteosade kombinatsioone, mis võimaldavad mõõta erinevaid nurki vahemikus 0 kuni 320°.

Masstootmises olevate koonuste täpsemaks testimiseks kasutatakse spetsiaalseid mõõteseadmeid. Joonisel fig. 217 ja kujutab välimiste koonuste kontrollimiseks mõeldud koonusekujulist puksimõõturit ning joonisel fig. 217, b-kooniline pistikumõõtur kooniliste aukude kontrollimiseks.

Mõõdikutele tehakse servad 1 ja 2 otstesse või kantakse märgid 3, mille abil määratakse kontrollitavate pindade täpsus.

peal. riis. 218 on näide koonusekujulise augu kontrollimiseks pistikumõõturiga.

Ava kontrollimiseks sisestatakse auku kerge survega mõõtur (vt. joon. 218), mille otsast 2 teatud kaugusel on ripp 1 ja kaks tähist 3 ning kontrollitakse, kas näidik liigub sisse. auk. Ükski kõikumine näitab, et koonuse nurk on õige. Kui olete veendunud, et koonuse nurk on õige, kontrollige selle suurust. Selleks jälgige, millise punktini mõõtur katsetatavasse detaili siseneb. Kui detaili koonuse ots langeb kokku ääriku 1 vasaku otsaga või ühe märgiga 3 või jääb märkide vahele, siis on koonuse mõõtmed õiged. Kuid võib juhtuda, et mõõtur siseneb osasse nii sügavale, et mõlemad märgid 3 sisenevad auku või väljuvad sellest ääriku 1 mõlemad otsad. See näitab, et ava läbimõõt on ettenähtust suurem. Kui vastupidi, mõlemad riskid on august väljas või ükski astangu ots sellest välja ei tule, siis on augu läbimõõt nõutust väiksem.

Koonuse täpseks kontrollimiseks kasutage järgmist meetodit. Mõõdetava detaili või gabariidi pinnale tõmmake kaks või kolm joont kriidi või pliiatsiga piki koonuse generaatorit, seejärel sisestage või asetage mõõtur detailile ja pöörake seda osa pöördest. Kui jooned kustutatakse ebaühtlaselt, tähendab see, et detaili koonust ei töödelda täpselt ja seda tuleb parandada. Mõõdiku otstes olevate joonte kustutamine näitab ebaõiget kitsenemist; joonte kustutamine kaliibri keskosas näitab, et koonusel on kerge nõgusus, mis on tavaliselt põhjustatud lõikuri otsa ebatäpsest asukohast piki tsentrite kõrgust. Kriidijoonte asemel võite kanda õhukese kihi spetsiaalset värvi (sinist) kogu detaili või gabariidi koonilisele pinnale. See meetod annab suurema mõõtmistäpsuse.

10. Kooniliste pindade töötlemise vead ja abinõud nende vältimiseks

Kooniliste pindade töötlemisel on lisaks silindriliste pindade nimetatud defektitüüpidele võimalikud ka järgmist tüüpi defektid:
1) vale koonus;
2) koonuse mõõtmete kõrvalekalded;
3) õige koonusega aluste läbimõõtude kõrvalekalded;
4) koonilise pinna generatriksi mittesirgesus.

1. Vale koonus on tingitud peamiselt ebatäpsest sabavarda korpuse ebatäpsest nihkest, nihiku ülemise osa ebatäpsest pöörlemisest, koonuse joonlaua valest paigaldamisest, valest teritamisest või laia lõikuri paigaldamisest. Seetõttu saab enne töötlemise alustamist sabatoe korpuse, pidurisadula ülemise osa või koonuse joonlaua täpse positsioneerimisega vältida defekte. Seda tüüpi defekti saab parandada ainult siis, kui viga kogu koonuse pikkuses on suunatud detaili korpusesse, see tähendab, et hülsi kõik läbimõõdud on väiksemad ja koonilise varda omad on nõutavast suuremad.

2. Õige nurga all oleva koonuse vale suurus, st vale läbimõõtude suurus kogu koonuse pikkuses, tekib siis, kui materjali ei eemaldata piisavalt või liiga palju. Defekte saab ära hoida vaid viimistluskäikudel lõikesügavuse hoolika reguleerimisega piki ketast. Parandame defekti, kui ei filmitud piisavalt materjali.

3. Võib selguda, et koonuse ühe otsa õige koonuse ja täpsete mõõtmete korral on teise otsa läbimõõt vale. Ainus põhjus on kogu detaili koonilise osa nõutava pikkuse mittejärgimine. Parandame defekti, kui osa on liiga pikk. Seda tüüpi defektide vältimiseks on vaja enne koonuse töötlemist hoolikalt kontrollida selle pikkust.

4. Töödeldava koonuse generaatori ebasirgesus saadakse siis, kui lõikur on paigaldatud keskpunkti kohale (joonis 219, b) või alla (joonis 219, c) (nendel joonistel on suurema selguse huvides moonutused koonuse generatrix on näidatud tugevalt liialdatud kujul). Seega on seda tüüpi defekt treiija tähelepanematuse töö tulemus.

Kontrollküsimused 1. Millisel viisil saab treipinkidel töödelda koonusekujulisi pindu?
2. Millistel juhtudel on soovitatav pidurisadula ülemist osa pöörata?
3. Kuidas arvutatakse toe ülemise osa pöördenurk koonuse pööramiseks?
4. Kuidas kontrollida, et pidurisadula ülaosa on õigesti pööratud?
5. Kuidas kontrollida tagaosa korpuse nihet?. Kuidas arvutada nihke suurust?
6. Millised on koonuse joonlaua põhielemendid? Kuidas seadistada selle osa jaoks koonusjoonlauda?
7. Seadke universaalsele nurgamõõturile järgmised nurgad: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Milliseid vahendeid kasutatakse kooniliste pindade mõõtmiseks?
9. Miks on koonilistel gabariididel äärised või riskid ja kuidas neid kasutada?
10. Loetlege kooniliste pindade töötlemisel esinevate defektide liigid. Kuidas neid vältida?

Tunni teema: Koonus ja selle elemendid

Tunni eesmärgid:tutvustada koonuse, generatrixi, kõrguse ja aluse mõisteid; tutvustada koonuse külgpinna pindala mõistet selle arengupiirkonnana; arendada ülesannete lahendamise oskust koonuse elementide leidmiseks.

Tunni tüüp:kombineeritud.

Varustus:PC, multimeediaprojektor, interaktiivne tahvel, koonusmudelid.

Tundide ajal:

Kodutööde kontrollimine tahvlil.
Iseseisev töö (lisa 1.)
Uue materjali selgitus.

Koonuse mõisted, selle elemendid (ülaosa, telg, generaatorid, alus, külgpind). Koonuse kujutis.

Koonus(täpsemalt ümmargune koonus) on keha, mis koosneb ringist - koonuse alusest, punktist, mis ei asu selle ringi tasapinnas - koonuse tipust ja kõigist segmentidest, mis ühendavad koonuse tippu aluse punktid (joon. 1).

Nimetatakse lõike, mis ühendavad koonuse tippu alusringi punktidega moodustamine koonus Koonuse pind koosneb alus- ja külgpinnast.

Koonust nimetatakse otsene, kui koonuse tippu aluse keskpunktiga ühendav sirgjoon on risti aluse tasapinnaga. Järgnevalt käsitleme ainult sirget koonust, nimetades seda lühiduse mõttes lihtsalt koonuseks. Visuaalselt võib sirget ringikujulist koonust kujutada kehana, mis saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber selle jala kui telje (joonis 2).

Kõrgus koonust nimetatakse ristiks, mis laskub selle tipust aluse tasapinnale. Sirge koonuse korral langeb kõrguse põhi kokku aluse keskpunktiga. Parempoolse ringikujulise koonuse telg on sirgjoon, mis sisaldab selle kõrgust.

^ Koonuse läbilõige erinevate tasandite järgi.
Koonuse läbilõige selle tippu läbiva tasandi järgi on võrdhaarne kolmnurk, mille küljed moodustavad koonuse (joon. 3). Eelkõige on koonuse telglõikeks võrdhaarne kolmnurk. See on lõik, mis läbib koonuse telge (joonis 4).

Teoreem. Koonuse aluse tasapinnaga paralleelne tasapind lõikub koonusega ringis ja külgpind - ringis, mille keskpunkt on koonuse teljel.

Tõestus. Lase - tasapind, mis on paralleelne koonuse aluse tasapinnaga ja lõikub koonusega (joon. 5). Homoteetsuse teisendus koonuse tipu suhtes, tasandi kombineerimine

Määratlused:
Definitsioon 1. Koonus
Definitsioon 2. Ringkoonus
Definitsioon 3. Koonuse kõrgus
Definitsioon 4. Sirge koonus
Definitsioon 5. Parempoolne ringkoonus
Teoreem 1. Koonuse generaatorid
Teoreem 1.1. Koonuse aksiaalne osa

Maht ja pindala:
Teoreem 2. Koonuse ruumala
Teoreem 3. Koonuse külgpinna pindala

Frustum :
Teoreem 4. Alusega paralleelne lõik
Definitsioon 6. Tüvikoonus
Teoreem 5. Tüvikoonuse ruumala
Teoreem 6. Tüvikoonuse külgpindala

Definitsioonid
Keha, mis on külgedelt piiratud selle tipu ja juhiku tasapinna vahele jääva koonilise pinnaga ning juhiku tasase põhjaga, mille moodustab suletud kõver, nimetatakse koonuseks.

Põhimõisted
Ringkoonus on keha, mis koosneb ringist (alusest), punktist, mis ei asu aluse (tipu) tasapinnas, ja kõigist segmentidest, mis ühendavad tippu aluse punktidega.

Sirge koonus on koonus, mille kõrgus sisaldab koonuse aluse keskpunkti.

Võtke arvesse mis tahes joont (kõver, katkendlik või segatud) (näiteks l), mis asub teatud tasapinnal, ja suvaline punkt (näiteks M), mis ei asu sellel tasapinnal. Kõik võimalikud sirged, mis ühendavad punkti M antud sirge kõigi punktidega l, vorm pinda nimetatakse kanooniliseks. Punkt M on sellise pinna tipp ja antud sirge l - giid. Kõik sirged, mis ühendavad punkti M kõigi sirge punktidega l, kutsus moodustamine. Kanoonilist pinda ei piira ei selle tipp ega juhik. Ülevalt ulatub see lõputult mõlemas suunas. Olgu nüüd juhiks suletud kumer joon. Kui juhik on katkendlik joon, siis keha, mis on külgedelt piiratud kanoonilise pinnaga, mis jääb selle tipu ja juhiku tasapinna vahele, ning juhi tasapinnas oleva tasase alusega, nimetatakse püramiidiks.
Kui juhik on kõver- või segajoon, siis keha, mis on külgedelt piiratud selle tipu ja juhiku tasapinna vahele jääva kanoonilise pinnaga ning juhi tasapinnas tasase alusega, nimetatakse koonuseks või
Definitsioon 1 . Koonus on keha, mis koosneb alusest - tasapinnalisest kujundist, mida piirab suletud joon (kõver või segatud), tipust - punktist, mis ei asu aluse tasapinnal, ja kõigist segmentidest, mis ühendavad tippu kõigi võimalike punktidega. alusest.
Koonuse generaatoriteks nimetatakse kõiki sirgeid, mis läbivad koonuse tippu ja mis tahes kõvera punkti, mis piirab koonuse aluse kujundit. Enamasti geomeetriliste ülesannete puhul tähendab sirge generatriks selle sirge lõiku, mis on suletud koonuse tipu ja aluse tasapinna vahele.
Piiratud segaliini alus on väga harv juhus. Siin on see märgitud ainult seetõttu, et seda saab geomeetrias arvesse võtta. Sagedamini peetakse silmas kõvera juhiku juhtumit. Kuigi nii suvalise kõveraga kui ka segajuhisega juhtumist on vähe kasu ja neist on raske mingeid mustreid tuletada. Koonustest uuritakse elementaargeomeetria käigus parempoolset ringkoonust.

On teada, et ring on suletud kõverjoone erijuht. Ring on tasane kujund, mida piirab ring. Võttes ringi juhisena, saame määratleda ringikujulise koonuse.
2. definitsioon . Ringkoonus on keha, mis koosneb ringist (alusest), punktist, mis ei asu aluse (tipu) tasapinnas, ja kõigist segmentidest, mis ühendavad tippu aluse punktidega.
3. määratlus . Koonuse kõrgus on risti, mis laskub tipust koonuse aluse tasapinnani. Saate valida koonuse, mille kõrgus langeb aluse lameda kujundi keskele.
4. määratlus . Sirge koonus on koonus, mille kõrgus sisaldab koonuse aluse keskpunkti.
Kui ühendame need kaks määratlust, saame koonuse, mille alus on ring ja kõrgus langeb selle ringi keskele.
Definitsioon 5 . Parempoolne ümmargune koonus on koonus, mille alus on ring ja selle kõrgus ühendab selle koonuse aluse tipu ja keskpunkti. Selline koonus saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber selle ühe jala. Seetõttu on parem ümmargune koonus pöörete keha ja seda nimetatakse ka pöördekoonuseks. Kui pole öeldud teisiti, ütleme järgneva lühiduse huvides lihtsalt koonus.
Siin on mõned koonuse omadused:
1. teoreem. Kõik koonuse generaatorid on võrdsed. Tõestus. MO kõrgus on risti kõigi aluse sirgjoontega, definitsiooni järgi sirge, mis on risti tasapinnaga. Seetõttu on kolmnurgad MOA, MOB ja MOS ristkülikukujulised ja kahel jalal võrdsed (MO on üldine, OA=OB=OS on aluse raadiused. Seetõttu on ka hüpotenuusid ehk generaatorid võrdsed.
Mõnikord nimetatakse koonuse aluse raadiust koonuse raadius. Koonuse kõrgust nimetatakse ka koonuse telg, seetõttu nimetatakse iga kõrgust läbivat lõiku aksiaalne sektsioon. Iga telglõik lõikub aluse läbimõõduga (kuna sirgjoon, mida mööda telglõike ja aluse tasapind ristuvad, läbib ringi keskpunkti) ja moodustab võrdhaarse kolmnurga.
Teoreem 1.1. Koonuse telglõik on võrdhaarne kolmnurk. Seega on kolmnurk AMB võrdhaarne, sest selle kaks külge MB ja MA on generaatorid. Nurk AMB on nurk aksiaalse lõigu tipus.

Selles õppetükis tutvume sellise kujundiga nagu koonus. Uurime koonuse elemente ja selle lõikude tüüpe. Ja me saame teada, millise kujundiga on koonul palju ühiseid omadusi.

Joonis 1. Koonusekujulised esemed

Maailmas on tohutult palju asju koonuse kujuga. Sageli me ei pane neid tähelegi. Teetööde eest hoiatavad teekoonused, losside ja majade katused, jäätisekoonused – kõik need objektid on koonuse kujuga (vt joon. 1).

Riis. 2. Täisnurkne kolmnurk

Vaatleme suvalist täisnurkset kolmnurka, millel on jalad ja (vt joon. 2).

Riis. 3. Sirge ringikujuline koonus

Pöörates etteantud kolmnurka ümber ühe jala (üldsust kaotamata, olgu selleks jalg), kirjeldab hüpotenuus pinda ja jalg kirjeldab ringi. Nii saadakse keha, mida nimetatakse parempoolseks ringikujuliseks koonuseks (vt joonis 3).

Riis. 4. Käbide tüübid

Kuna me räägime sirgest ringikujulisest koonusest, siis ilmselt on olemas nii kaudne kui ka mitteringikujuline? Kui koonuse alus on ring, kuid tipp ei ole projitseeritud selle ringi keskmesse, siis nimetatakse sellist koonust kaldkoonuks. Kui alus ei ole ring, vaid suvaline kujund, siis nimetatakse sellist keha mõnikord ka koonuseks, kuid loomulikult mitte ringikujuliseks (vt joonis 4).

Seega jõuame taas analoogiani, mis on meile juba tuttav silindritega töötamisel. Tegelikult on koonus midagi püramiidi sarnast, lihtsalt püramiidi põhjas on hulknurk ja koonusel (mida me käsitleme) on ring (vt joonis 5).

Koonuse sees olevat pöörlemistelje segmenti (meie puhul on see jalg) nimetatakse koonuse teljeks (vt joonis 6).

Riis. 5. Koonus ja püramiid

Riis. 6. - koonuse telg

Riis. 7. Koonuse alus

Teise jala () pöörlemisel tekkivat ringi nimetatakse koonuse põhjaks (vt joonis 7).

Ja selle jala pikkus on koonuse aluse raadius (või lihtsamalt öeldes koonuse raadius) (vt joonis 8).

Riis. 8. - koonuse raadius

Riis. 9. - koonuse ülaosa

Pöördteljel paikneva pöörleva kolmnurga teravnurga tippu nimetatakse koonuse tipuks (vt joon. 9).

Riis. 10. - koonuse kõrgus

Koonuse kõrgus on koonuse tipust risti selle põhjaga tõmmatud segment (vt joonis 10).

Siin võib tekkida küsimus: kuidas siis pöörlemistelje segment erineb koonuse kõrgusest? Tegelikult langevad need kokku ainult sirge koonuse korral, kui vaatate kaldkoonust, märkate, et tegemist on kahe täiesti erineva segmendiga (vt joonis 11).

Riis. 11. Kõrgus kaldus koonuses

Läheme tagasi sirge koonuse juurde.

Riis. 12. Koonuse generaatorid

Segmente, mis ühendavad koonuse tippu selle aluse ringi punktidega, nimetatakse koonuse generaatoriteks. Muide, kõik parempoolse koonuse generatriksid on üksteisega võrdsed (vt joonis 12).

Riis. 13. Looduslikud koonuselaadsed esemed

Kreeka keelest tõlgituna tähendab konos "männikäbi". Looduses on piisavalt objekte, millel on käbi kuju: kuusk, mägi, sipelgapesa jne (vt joon. 13).

Aga oleme harjunud, et koonus on sirge. Sellel on võrdsed generatriksid ja selle kõrgus langeb kokku teljega. Sellist koonust nimetasime sirgeks koonuks. Kooli geomeetria kursusel arvestatakse tavaliselt sirgeid koonuseid ja vaikimisi parempoolseks ringikujuliseks koonuseks. Kuid me oleme juba öelnud, et pole mitte ainult sirgeid, vaid ka kaldus koonuseid.

Riis. 14. Ristlõige

Pöördume tagasi sirgete koonuste juurde. “Lõikame” koonuse teljega risti oleva tasapinnaga (vt joonis 14).

Mis kujund jääb lõikele? Muidugi on see ring! Pidagem meeles, et tasapind kulgeb teljega risti ja seega paralleelselt alusega, mis on ring.

Riis. 15. Kaldlõik

Nüüd kallutame järk-järgult lõiketasapinda. Siis hakkab meie ring järk-järgult muutuma üha piklikumaks ovaaliks. Kuid ainult seni, kuni lõiketasapind põrkub alusringiga (vt joon. 15).

Riis. 16. Sektsioonide tüübid porgandi näitel

Kellele meeldib eksperimentaalselt maailma avastada, saab selles veenduda porgandi ja noa abil (proovige porgandist erinevate nurkade alt viile lõigata) (vt joonis 16).

Riis. 17. Koonuse telglõik

Koonuse lõiku selle telge läbiva tasapinna järgi nimetatakse koonuse telglõikeks (vt joonis 17).

Riis. 18. Võrdhaarne kolmnurk - läbilõikeline kujund

Siin saame täiesti erineva läbilõikekuju: kolmnurga. See kolmnurk on võrdhaarne (vt joonis 18).

Selles tunnis õppisime tundma silindri pinda, silindrite liike, silindri elemente ja silindri sarnasust prismaga.

Koonuse generatriks on 12 cm ja kaldus aluse tasapinna suhtes 30 kraadise nurga all. Leidke koonuse aksiaalne ristlõikepindala.

Lahendus

Vaatleme vajalikku aksiaalset lõiku. See on võrdhaarne kolmnurk, mille küljed on 12 kraadi ja aluse nurk on 30 kraadi. Siis saate tegutseda erineval viisil. Või võite joonistada kõrguse, leida selle (pool hüpotenuusist, 6), seejärel aluse (vastavalt Pythagorase teoreemile) ja seejärel pindala.

Riis. 19. Probleemi illustratsioon

Või leidke kohe nurk tipus - 120 kraadi - ja arvutage pindala külgede poolkorrutis ja nendevahelise nurga siinus (vastus on sama).

Geomeetria. Õpik 10-11 klassile. Atanasyan L.S. ja teised 18. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 255 lk.
Geomeetria 11. klass, A.V. Pogorelov, M.: Haridus, 2002
Geomeetria töövihik 11. klass, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov

Yaklass.ru ().
Uztest.ru ().
Bitclass.ru ().

Kodutöö

Mis väljuvad ühest punktist (koonuse tipust) ja mis läbivad tasast pinda.

Juhtub, et koonus on kehaosa, millel on piiratud maht ja mis saadakse iga segmendi kombineerimisel, mis ühendab tasase pinna tippu ja punkte. Viimane antud juhul on koonuse alus, ja väidetavalt toetub koonus sellele alusele.

Kui koonuse alus on hulknurk, on see juba nii püramiid .

Ringikujuline koonus- see on keha, mis koosneb ringist (koonuse põhi), punktist, mis ei asu selle ringi tasapinnas (koonuse ülaosa ja kõik segmendid, mis ühendavad koonuse ülaosa koonuse punktidega alus).

Nimetatakse lõike, mis ühendavad koonuse tippu ja alusringi punkte koonuse moodustamine. Koonuse pind koosneb alus- ja külgpinnast.

Külgpind on õige n- koonusesse kirjutatud süsinikpüramiid:

S n =½P n l n,

Kus Pn- püramiidi aluse ümbermõõt ja l n- apoteem.

Samal põhimõttel: tüvikoonuse külgpinna jaoks, millel on alusraadiused R 1, R 2 ja moodustamine l saame järgmise valemi:

S=(R1 +R2)l.

Sirged ja kaldus ümmargused koonused võrdse põhja ja kõrgusega. Nendel kehadel on sama maht: