Geomeetriline ala- geomeetrilise kujundi arvuline karakteristik, mis näitab selle kujundi suurust (pinnaosa, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Kolmnurga pindala valemid

1. Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse jaoks
   Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
   
2. Kolmnurga pindala valem, millel on kolm külge ja piiritletud ringi raadius
   
3. Kolmnurga pindala valem, millel on kolm külge ja sisse kirjutatud ringi raadius
   Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.
   
kus S on kolmnurga pindala,
- kolmnurga külgede pikkused,
- kolmnurga kõrgus,
- nurk külgede ja
- sisse kirjutatud ringi raadius,
R - piiritletud ringi raadius,

Ruutpinna valemid

1. Ruudu pindala valem, võttes arvesse külje pikkust
   ruudu pindala on võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
2. Ruudu pindala valem, arvestades diagonaali pikkust
   ruudu pindala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
   

   S=	1	2
   	2

kus S on ruudu pindala,
on ruudu külje pikkus,
on ruudu diagonaali pikkus.

Ristküliku pindala valem

Ristküliku ala on võrdne selle kahe külgneva külje pikkuste korrutisega

kus S on ristküliku pindala,
on ristküliku külgede pikkused.

Rööpküliku pindala valemid

1. Paralleelogrammi pindala valem külje pikkuse ja kõrguse jaoks
   Paralleelogrammi ala
2. Rööpküliku pindala valem, millel on kaks külge ja nendevaheline nurk
   Paralleelogrammi ala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.
   

   a b sinα

kus S on rööpküliku pindala,
on rööpküliku külgede pikkused,
on rööpküliku kõrgus,
on rööpküliku külgede vaheline nurk.

Rombi pindala valemid

1. Rombi pindala valem antud külje pikkuse ja kõrgusega
   Rombi piirkond on võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
2. Rombi pindala valem, võttes arvesse külje pikkust ja nurka
   Rombi piirkond on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
3. Rombi pindala valem selle diagonaalide pikkustest
   Rombi piirkond on võrdne poolega tema diagonaalide pikkuste korrutisest.
kus S on rombi pindala,
- rombi külje pikkus,
- rombi kõrguse pikkus,
- rombi külgede vaheline nurk,
1, 2 - diagonaalide pikkused.

Trapetsi pindala valemid

1. Heroni valem trapetsi jaoks

   kus S on trapetsi pindala,
   - trapetsi aluste pikkus,
   - trapetsi külgede pikkus,
   

Geomeetria probleemide lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, aga ka lihtsaid nippe, millest me räägime.

Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!

Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks matemaatika profiilieksami teises osas geomeetria ja stereomeetria probleemide lahendamiseks kasutatakse ka teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.

Aga mis siis, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne keeruka kujundi pindala? On universaalseid viise! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.

1. Kuidas leida ebastandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kujundi nendeks, millest me kõik teame, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.

Jagage see nelinurk horisontaaljoonega kaheks kolmnurgaks, mille ühine alus on võrdne . Nende kolmnurkade kõrgused on Ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .

Vastus:.

2. Mõnel juhul võib joonise pindala esitada mis tahes ala erinevusena.

Pole nii lihtne välja arvutada, millega selles kolmnurgas on alus ja kõrgus võrdsed! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne küljega ruudu ja kolme täisnurkse kolmnurga pindalade vahega. Kas näete neid pildil? Saame: .

Vastus:.

3. Mõnikord on ülesandes vaja leida mitte kogu figuuri, vaid selle osa pindala. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast. Leidke raadiusega ringi sektori pindala, mille kaare pikkus on võrdne .

Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne , Kuna . Jääb välja selgitada, milline osa ringist on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on (alates ), ja selle sektori kaare pikkus on Seetõttu on kaare pikkus mitu korda väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, millel see kaar toetub, on samuti kordades väiksem kui täisring (st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.

Geomeetriliste kujundite alad on arvväärtused, mis iseloomustavad nende suurust kahemõõtmelises ruumis. Seda väärtust saab mõõta süsteemsetes ja mittesüsteemsetes ühikutes. Nii näiteks on süsteemiväline pindalaühik sada hektar. Seda juhul, kui mõõdetud pind on tükk maad. Süsteemi pindalaühik on pikkuse ruut. SI-süsteemis on tavaks arvestada, et tasase pinna pindalaühikuks on ruutmeeter. CGS-is väljendatakse pindalaühikut ruutsentimeetrites.

Geomeetria ja pindalavalemid on lahutamatult seotud. See seos seisneb selles, et lamedate kujundite pindalade arvutamine põhineb just nende rakendamisel. Paljude jooniste jaoks on tuletatud mitu võimalust, mille järgi arvutatakse nende ruudu suurused. Probleemi püstituse andmete põhjal saame kindlaks teha lihtsaima viisi selle lahendamiseks. See hõlbustab arvutamist ja vähendab arvutusvigade tõenäosust miinimumini. Selleks kaaluge geomeetrias olevate kujundite peamist ala.

Mis tahes kolmnurga pindala leidmise valemid esitatakse mitmel viisil:

1) Kolmnurga pindala arvutatakse aluse a ja kõrguse h järgi. Alus on kujundi külg, millel kõrgus on langetatud. Siis on kolmnurga pindala:

2) Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse täpselt samal viisil, kui hüpotenuusi peetakse aluseks. Kui aga aluseks võtta jalg, võrdub täisnurkse kolmnurga pindala pooleks lõigatud jalgade korrutisega.

Mis tahes kolmnurga pindala arvutamise valemid ei lõpe sellega. Teine avaldis sisaldab külgi a,b ja a ja b vahelise nurga γ siinusfunktsiooni. Siinuse väärtuse leiate tabelitest. Seda saab leida ka kalkulaatori abil. Siis on kolmnurga pindala:

Selle võrdsuse järgi saate ka veenduda, et täisnurkse kolmnurga pindala määratakse jalgade pikkuste kaudu. Sest nurk γ on täisnurk, seega arvutatakse täisnurkse kolmnurga pindala siinusfunktsiooniga korrutamata.

3) Vaatleme erijuhtumit - korrapärast kolmnurka, mille külg a on tingimuse järgi teada või selle pikkuse lahendamisel leitav. Geomeetriaülesandes oleva kujundi kohta pole rohkem midagi teada. Kuidas siis selle tingimusega ala leida? Sel juhul rakendatakse tavalise kolmnurga pindala valemit:

Ristkülik

Kuidas leida ristküliku pindala ja kasutada nende külgede mõõtmeid, millel on ühine tipp? Arvutamise avaldis on järgmine:

Kui soovite ristküliku pindala arvutamiseks kasutada diagonaalide pikkusi, siis vajate nende ristumiskohas tekkiva nurga siinusfunktsiooni. Ristküliku pindala valem on järgmine:

Ruut

Ruudu pindala on määratletud külje pikkuse teise astmena:

Tõestus tuleneb definitsioonist, et ristkülikut nimetatakse ruuduks. Kõik ruudu moodustavad küljed on ühesuguste mõõtmetega. Seetõttu vähendatakse sellise ristküliku pindala arvutamist üksteisega korrutamiseks, st külje teise astmeni. Ja ruudu pindala arvutamise valem võtab soovitud kuju.

Ruudu pindala saab leida muul viisil, näiteks kui kasutate diagonaali:

Kuidas arvutada kujundi pindala, mille moodustab ringiga piiratud tasapinna osa? Pindala arvutamiseks on järgmised valemid:

Paralleelogramm

Rööpküliku jaoks sisaldab valem külje lineaarmõõtmeid, kõrgust ja matemaatilist tehtet – korrutamist. Kui kõrgus on teadmata, siis kuidas leida rööpküliku pindala? Arvutamiseks on veel üks viis. Vaja on teatud väärtust, mille võtab külgnevate külgede moodustatud nurga trigonomeetriline funktsioon ja nende pikkus.

Rööpküliku pindala valemid on järgmised:

Romb

Kuidas leida nelinurga pindala, mida nimetatakse rombiks? Rombi pindala määratakse lihtsate diagonaalidega matemaatiliste toimingute abil. Tõestus põhineb asjaolul, et diagonaallõigud punktides d1 ja d2 lõikuvad täisnurga all. Siinuste tabel näitab, et täisnurga korral on see funktsioon võrdne ühega. Seetõttu arvutatakse rombi pindala järgmiselt:

Rombi pindala võib leida ka muul viisil. Seda pole ka raske tõestada, arvestades, et selle küljed on ühepikkused. Seejärel asendage nende korrutis rööpküliku sarnase avaldisega. Lõppude lõpuks on selle konkreetse kuju erijuhtum romb. Siin on γ rombi sisenurk. Rombi pindala määratakse järgmiselt:

Trapets

Kuidas leida trapetsi pindala läbi aluste (a ja b), kui nende pikkused on ülesandes märgitud? Siin ei ole sellise trapetsi pindala ilma teadaoleva kõrguse pikkuse h väärtuseta võimalik arvutada. Sest see väärtus sisaldab arvutamise avaldist:

Samamoodi saab arvutada ka ristkülikukujulise trapetsi ruudu suurust. Samas võetakse arvesse, et ristkülikukujulises trapetsis liidetakse kõrguse ja külje mõisted. Seetõttu peate ristkülikukujulise trapetsi puhul määrama kõrguse asemel külje pikkuse.

Silinder ja rööptahukas

Mõelge, mida on vaja kogu silindri pinna arvutamiseks. Selle joonise pindala on paar ringi, mida nimetatakse alusteks, ja külgpind. Ringe moodustavate ringide raadiuse pikkus on võrdne r-ga. Silindri pindala jaoks tehakse järgmine arvutus:

Kuidas leida rööptahuka ala, mis koosneb kolmest näopaarist? Selle mõõtmised on kooskõlas konkreetse paariga. Vastaskülgedel on samad parameetrid. Esmalt leidke S(1), S(2), S(3) - ebavõrdsete tahkude ruutmõõtmed. Seejärel rööptahuka pindala:

Sõrmus

Kaks ühise keskpunktiga ringi moodustavad rõnga. Need piiravad ka rõnga pindala. Sel juhul võtavad mõlemad arvutusvalemid arvesse iga ringi mõõtmeid. Esimene, mis arvutab rõnga pindala, sisaldab suuremat R-i ja väiksemat r-raadiust. Sagedamini nimetatakse neid väliseks ja sisemiseks. Teises avaldises arvutatakse rõnga pindala suurema D ja väiksema d läbimõõduga. Seega arvutatakse rõnga pindala teadaolevate raadiuste järgi järgmiselt:

Rõnga pindala, kasutades läbimõõtude pikkusi, määratakse järgmiselt:

Hulknurk

Kuidas leida vale kujuga hulknurga pindala? Selliste kujundite pindala jaoks pole üldist valemit. Aga kui see on kujutatud näiteks koordinaattasandil, võib see olla ruuduline paber, siis kuidas sel juhul pindala leida? Siin kasutavad nad meetodit, mis ei nõua figuuri ligikaudset mõõtmist. Nad teevad seda: kui nad leiavad punkte, mis langevad lahtri nurka või millel on täisarvulised koordinaadid, võetakse arvesse ainult neid. Selle piirkonna väljaselgitamiseks kasutage Picki tõestatud valemit. On vaja liita polüliini sees asuvate punktide arv, millel asuvad pooled punktid, ja lahutada üks, st see arvutatakse järgmiselt:

kus C, D - vastavalt kogu polüliini sees ja sellel asuvate punktide arv.

Pindala valem on vajalik kujundi pindala määramiseks, mis on reaalväärtuslik funktsioon, mis on defineeritud teatud arvude klassil Eukleidilise tasapinnal ja mis vastab neljale tingimusele:

1. Positiivne – pindala ei tohi olla väiksem kui null;
2. Normaliseerimine - ühtse küljega ruudu pindala on 1;
3. Kongruentsus - kongruentsed kujundid on võrdse pindalaga;
4. Summatiivsus – kahe ühiste sisepunktideta kujundi liidu pindala on võrdne nende kujundite pindalade summaga.

Geomeetriliste kujundite pindala valemid.

Geomeetriline kujund	Valem	Joonistamine
Kumera nelinurga vastaskülgede keskpunktide vaheliste kauguste liitmise tulemus on võrdne selle poolperimeetriga.
Ringi sektor. Ringjoone sektori pindala on võrdne selle kaare ja poole raadiuse korrutisega.
ringi segment. Segmendi ASB pindala saamiseks piisab, kui lahutada kolmnurga AOB pindala sektori AOB pindalast.	S = 1/2 R(s – AC)
Ellipsi pindala on võrdne ellipsi suuremate ja väiksemate pooltelgede pikkuste korrutisega pi.
Ellips. Teine võimalus ellipsi pindala arvutamiseks on läbi selle kahe raadiuse.
Kolmnurk. Läbi aluse ja kõrguse. Ringi pindala valem selle raadiuse ja läbimõõdu järgi.
Ruut. Tema külje kaudu. Ruudu pindala on võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
Ruut. Läbi selle diagonaali. Ruudu pindala on pool selle diagonaali pikkuse ruudust.
korrapärane hulknurk. Õige ala määramiseks hulknurk see on vaja jagada võrdseteks kolmnurkadeks, millel oleks ühine tipp sissekirjutatud ringi keskel.	S= r p = 1/2 r n a