4 numbri maagiline ruut. Maagilised ruudud (3) – dokument. Mis see mõistatus on

Avaleht > Dokument

VÕLURUUT

Maagia ehk maagiline ruut on ruudukujuline tabel, mis on täidetud numbritega nii, et iga rea, iga veeru ja mõlema diagonaali arvude summa on sama.

Igas reas, veerus ja diagonaalis olevate arvude summat nimetatakse maagiliseks konstandiks M.

3x3 maagilise ruudu väikseim maagiline konstant on 15, 4x4 ruut on 34, 5x5 ruut on 65,

Kui ruudus olevate arvude summad on võrdsed ainult ridades ja veergudes, siis nimetatakse seda poolmaagiaks.

3 x 3 maagilise ruudu ehitamine väikseimaga

maagiline konstant

Leidke maagilise ruudu 3x3 väikseim maagiline konstant

1 viis

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Keskele kirjutatud number on 15 : 3 = 5

Tehti kindlaks, et keskele on kirjutatud arv 5.

kus n on ridade arv

Kui suudad ehitada ühe maagilise ruudu, siis pole neid keeruline ehitada suvalise arvuga. Seetõttu pidage meeles ehitustehnikat

3x3 maagiline ruut konstandiga 15.

1 viis Ehitus. Pane paarisarvud kõigepealt nurkadesse

2,4,8,6 ja keskel 5. Ülejäänud protsess on lihtne aritmeetika.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 moodi lahendusi

Kasutades leitud maagilist ruutu konstandiga 15, saate määrata palju erinevaid ülesandeid:

Näide. Ehitage uusi erinevaid maagilisi ruute 3 x 3

Lahendus.

Lisades maagilise ruudu kõik numbrid või korrutades selle sama arvuga, saame uue võluruudu.

Näide 1 Ehitage 3 x 3 maagiline ruut, mille number keskel on 13.

Lahendus.

Ehitame tuttavat maagiat

ruut konstandiga 15.

Leidke sees olev number

soovitud ruudu keskel

13 – 5 = 8.

Igale maagilisele numbrile

lisage 8 ruutu.

Näide 2 Täida maagia puurid

ruudud, teades maagilist konstanti.

Lahendus. Leiame numbri

keskele kirjutatud 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

ülesanded iseseisvaks otsustamiseks

Näited. 1. Täitke maagiliste ruutude rakud maagiaga

konstant M =15.

1) 2) 3)

2. Leidke maagiliste ruutude maagiline konstant.

1) 2) 3)

3. Täitke maagiliste ruutude lahtrid, teades maagilist konstanti

1) 2) 3)

M = 24 M = 30 M = 27

4 . Ehitage 3x3 maagiline ruut, teades, et maagiline konstant on

võrdub 21-ga.

Lahendus. Tuletage meelde, kuidas ehitatakse maagiline 3x3 ruut kõige väiksema järgi

konstant 15. Paarisarvud kirjutatakse äärmuslikesse väljadesse

2, 4, 6, 8 ja keskel number 5 (15 : 3).

Vastavalt tingimusele on vaja konstrueerida ruut maagilise konstandi järgi

21. Soovitud ruudu keskel peaks olema number 7 (21 : 3).

Uurime, kui palju rohkem on iga soovitud ruudu liige

iga liige väikseima maagilise konstandiga 7 - 5 = 2.

Ehitame vajaliku maagilise ruudu:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Ehitage 3x3 maagilisi ruute, teades nende maagilisi konstante

M = 42 M = 36 M = 33

M = 45 M = 40 M = 35

4 x 4 maagilise ruudu ehitamine väikseimaga

maagiline konstant

Leidke 4x4 maagilise ruudu väikseim maagiline konstant

ja selle ruudu keskel asuv number.

1 viis

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

kus n on ridade arv n = 4.

numbrite summa mis tahes horisontaalsel pinnal,

vertikaalne ja diagonaal on 34.

See summa esineb ka kõigis

nurgaruudud 2×2, keskel

ruudus (10+11+6+7), ruudus alates

nurgarakud (16+13+4+1).

Mis tahes 4x4 maagilise ruudu ehitamiseks peate: ehitama ühe

konstandiga 34.

Näide. Ehitage uusi erinevaid 4 x 4 maagilisi ruute.

Lahendus.

Iga leitud numbri liitmine

maagiline ruut 4 x 4 või

korrutades selle sama arvuga,

hankige uus maagiline ruut.

Näide. Ehitage maagiline

4 x 4 ruut, millel on võlu

konstant on 46.

Lahendus. Ehitatud tuttav maagiline

ruut konstandiga 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Maagilise ruudu igale numbrile

lisame 3.

Enne kui asute lahendama keerukamaid näiteid 4 x 4 maagilisel ruudul, kontrollige uuesti omadusi, mis sellel on, kui M = 34.

Näited. 1. Täitke maagilise ruudu lahtrid maagiaga

konstant M =38.

H = 38-(10+7+13)=8 d=38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

omadus 1,3,1 omadused 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

omadused 1,1,1,1

Vastus.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Täitke võluruudu lahtrid tähega, kui maagia on teada

konstantne

K = 46 K = 58 K = 62

Tutvuge maagiliste ruutudega 5x5 ja 6x6

Maagilistel ruutudel on mitu erinevat klassifikatsiooni.

viies järk, mille eesmärk on neid kuidagi süstematiseerida. Raamatus

Martin Gardner [GM90, lk. 244-345] kirjeldab ühte neist meetoditest -

vastavalt numbrile keskväljakul. Meetod on uudishimulik, kuid ei midagi enamat.

Kui palju kuuendat järku ruute on olemas, pole veel teada, kuid seal on umbes 1,77 x 1019. Arv on tohutu, nii et pole lootustki neid ammendava otsingu abil kokku lugeda, kuid maagiliste ruutude arvutamise valemit ei osanud keegi välja mõelda.

Kuidas teha maagilist ruutu?

Maagiliste ruutude ehitamiseks on palju võimalusi. Lihtsaim viis maagiliste ruutude tegemiseks paaritu järjekord. Kasutame 17. sajandi prantsuse teadlase pakutud meetodit A. de la Louber (De La Loubère). See põhineb viiel reeglil, mille toimimist käsitleme kõige lihtsamal maagilisel ruudul 3 x 3 lahtrit.

Reegel 1. Pange 1 esimese rea keskmisse veergu (joonis 5.7).

Riis. 5.7. Esimene number

Reegel 2. Võimalusel pange järgmine arv praeguse numbriga külgnevasse lahtrisse diagonaalselt paremale ja kõrgemale (joonis 5.8).

Riis. 5.8. Proovin panna teist numbrit

Reegel 3. Kui uus lahter ületab ülaltoodud ruutu, siis kirjuta number alumisele reale ja järgmisse veergu (joonis 5.9).

Riis. 5.9. Panime teise numbri

Reegel 4. Kui lahter väljub parempoolsest ruudust, siis kirjuta number kõige esimesse veergu ja eelmisele reale (joonis 5.10).

Riis. 5.10. Panime kolmanda numbri

Reegel 5. Kui lahter on juba hõivatud, siis kirjutage jooksva lahtri alla järgmine number (joonis 5.11).

Riis. 5.11. Panime neljanda numbri

Riis. 5.12. Panime viienda ja kuuenda numbri

Järgige uuesti reegleid 3, 4, 5, kuni olete kogu ruudu valmis (joon.

Eks reeglid on väga lihtsad ja selged, aga isegi 9 numbrit on siiski üsna tüütu järjestada. Teades aga maagiliste ruutude konstrueerimise algoritmi, saame lihtsalt arvutile usaldada kogu rutiinse töö, jättes endale vaid loometöö ehk programmi kirjutamise.

Riis. 5.13. Täitke ruut järgmiste numbritega

Project Magic Squares (Magic)

Programmi jaoks määratud väli maagilised ruududüsna ilmne:

// PROGRAMM PÕLVKONNALE

// ODD MAAGIC RUUT

// DE LA LOUBERTI MEETODIL

avalik osaklass Vorm1 : Vorm

//Maks. ruudu mõõtmed: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // ruutjärjestus int [,] mq; // maagiline ruut

int number=0; // praegune arv ruuduks

intcol=0; // praegune veerg int rida=0; // praegune rida

De la Louberi meetod sobib igas suuruses paaritute ruutude tegemiseks, seega saame lasta kasutajal valida ruudu järjestuse, piirates samas valikuvabadust mõistlikult 27 lahtriga.

Pärast seda, kui kasutaja vajutab ihaldatud nuppu btnGen Generate! , loob meetod btnGen_Click massiivi numbrite salvestamiseks ja läheb genereerimismeetodisse:

// VAJUTA NUPU "GENERAA".

privaatne void btnGen_Click(objekti saatja, EventArgs e)

//ruudu järjekord:

n = (int)udNum.Value;

//loo massiiv:

mq = uus int ;

//generate magic square: genereeri();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Siin hakkame tegutsema de la Louberi reeglite järgi ja kirjutame ruudu esimese rea (või massiivi, kui soovite) keskmisesse lahtrisse esimese numbri - üks:

//Loo maagiline ruut void gener()(

//esimene arv: number=1;

//veerg esimesele numbrile - keskmine: veerg = n / 2 + 1;

//rida esimesele numbrile - esimene: rida=1;

//ruudu see: mq= number;

Nüüd lisame järjestikku ülejäänud lahtrid lahtritesse - kahest kuni n * n:

// liikuge järgmise numbri juurde:

Jätame igaks juhuks meelde tegeliku lahtri koordinaadid

int tc=col; int tr = rida;

ja liikuge diagonaalselt järgmisesse lahtrisse:

Kontrollime kolmanda reegli rakendamist:

kui (rida< 1) row= n;

Ja siis neljas:

if (veerg > n) ( veerg=1;

goto reegel3;

Ja viies:

if (mq != 0) ( col=tc;

rida=tr+1; goto reegel3;

Kuidas me teame, et ruudu lahtris on juba number? - Väga lihtne: kirjutasime ettevaatlikult kõikidesse lahtritesse nullid ja numbrid valmis ruudus on suuremad kui null. Seega teeme massiivielemendi väärtuse järgi kohe kindlaks, kas lahter on tühi või juba numbriga! Pange tähele, et siin vajame neid lahtri koordinaate, mis me mäletasime enne järgmise numbri lahtri otsimist.

Varem või hiljem leiame numbrile sobiva lahtri ja kirjutame selle vastavasse massiivi lahtrisse:

//ruudu see: mq = arv;

Proovige mõnda muud viisi ülemineku lubatavuse kontrolli korraldamiseks

vau rakk!

Kui see number oli viimane, siis on programm oma kohustused täitnud, vastasel juhul annab ta lahtrile vabatahtlikult järgmise numbri:

//kui kõik numbrid pole määratud, siis if (number< n*n)

//mine järgmise numbri juurde: goto nextNumber;

Ja nüüd on plats valmis! Arvutame selle maagilise summa ja trükime selle ekraanile:

) //generate()

Massiivi elementide trükkimine on väga lihtne, kuid oluline on arvestada erineva "pikkusega" numbrite joondamisega, sest ruut võib sisaldada ühe-, kahe- ja kolmekohalisi numbreid:

//Magilise ruudu printimine void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Värv .Must;

string s = "Maagiline summa =" + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// printige maagiline ruut: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

jaoks (int j = 1; j<= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Käivitame programmi - ruudud saadakse kiiresti ja rõõmustavad silmi (joon.

Riis. 5.14. Päris kandiline!

S. Goodmani raamatus S. Hidetniemi Algoritmide väljatöötamise ja analüüsi tutvustus

mov , lk 297-299 leiame sama algoritmi, kuid "vähendatud" esitluses. See ei ole nii "läbipaistev" kui meie versioon, kuid see töötab õigesti.

Lisa nupp btnGen2 Loo 2! ja kirjutage algoritm selles keeles

C-sharp meetodile btnGen2_Click:

//Algoritm ODDMS

privaatne void btnGen2_Click(objekti saatja, EventArgs e)

//ruudu järjekord: n = (int )udNum.Value;

//loo massiiv:

mq = uus int ;

//loo maagiline ruut: int rida = 1;

int col = (n+1)/2;

jaoks (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; kui (i % n == 0)

if (rida == 1) rida = n;

kui (col == n) col = 1;

//ruut lõpetatud: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count – 27;

Klõpsame nuppu ja veendume, et genereeritakse “meie” ruudud (joonis 1).

Riis. 5.15. Vana algoritm uues vormis

Munitsipaalharidusasutus "Gümnaasium nr 41"

maagilised ruudud

Juhendaja: ,

matemaatika õpetaja

Novouralsk, 2012

Sissejuhatus 3

1. Üldteave maagiliste ruutude kohta 4

1.1. Maagilise ruudu kontseptsioon 4

1.2. Maagiliste ruutude ajaloost 4

1.3. Maagiliste ruutude tüübid 6

2. Maagiliste ruutude lahendamine 6

2.1. Maagiliste ruutude lahendamine (Bachet de Meziraci meetod) 7

2.2. Probleemi avaldus 8

2.3. Võluruutude lahendamise algoritm 8

2.4. Algoritmi tõestus (algebralises vormis) 9

2.5. Näide maagilise ruudu lahendamisest algoritmi 10 abil

3. Maagiliste ruutude kasutamine 11

3.1. Maagiliste ruutude üldistamise mitmesugused juhtumid 11

3.2. Ladina ruutude kasutamine 12

4. Üldised järeldused 13

5. Järeldus 14

6. Viited 15

Lisa 1

2. lisa

3. lisa

Sissejuhatus

Matemaatikaringi tundides puutusime kokku probleemidega, mis on seotud ruudu lahtrite täitmisega erireeglite järgi. Pakutud numbrid tuli sisestada nii, et tulemus vastaks korraga mitmele tingimusele:

Kui liidate kõik numbrid igal real,

Kui liidate igas veerus kõik numbrid,

Kui liidate kokku kõik kahes diagonaalis olevad numbrid,

siis kõik need summad on võrdsed sama arvuga.

Vaatamata sellele, et ülesanded erinesid algarvude, arvude järjekorra, etteantud summa poolest, olid need kõik sarnased ja lahendused sama tüüpi.

Tekkis idee mitte ainult lahendada iga ülesanne, vaid ka välja mõelda üldine lahendusalgoritm, samuti leida kirjandusest seda tüüpi probleemide kohta ajaloolist teavet.

Selgus, et meile huvipakkuvaid kujusid nimetatakse maagilisteks ruutudeks, mida tunti iidsetest aegadest. Neid käsitletakse töös.

Eesmärk: süstematiseerida infot maagiliste ruutude kohta, töötada välja nende lahendamise algoritm.

Ülesanded:

1. Uurige maagiliste ruutude tekkimise ajalugu.

2. Määrake maagiliste ruutude tüübid.

3. Õppige lahendama maagilisi ruute.

4. Töötage välja ja tõestage oma lahendusalgoritm.

5. Määrake maagiliste ruutude kasutamine.

1. Üldinfo maagiliste ruutude kohta

1.1. Maagilise ruudu kontseptsioon

Maagilised ruudud on tänapäevalgi väga populaarsed. Need on ruudud, mille igasse lahtrisse on kirjutatud numbrid nii, et arvude summad piki horisontaalset, vertikaalset ja diagonaali on võrdsed. Tuntuim on saksa kunstniku A. Düreri gravüüril "Melanhoolia" (lisa 1) kujutatud maagiline ruut.

1.2. Maagiliste ruutude ajaloost

Numbrid on inimese ellu nii palju sisenenud, et neile hakati omistama igasuguseid maagilisi omadusi. Juba mitu tuhat aastat tagasi iidses Hiinas kanti need maagiliste ruutude joonistamisega kaasa. Arheoloogilistel väljakaevamistel Hiinas ja Indias leiti ruudukujulisi amulette. Ruut jaotati üheksaks väikeseks ruuduks, kuhu igasse oli kirjutatud numbrid 1-st 9. On tähelepanuväärne, et kõigi vertikaalsete, horisontaalsete ja diagonaalide arvude summad olid võrdsed sama arvuga 15 (joonis 1).

1. pilt.

Maagilised ruudud olid keskajal väga populaarsed. Üks maagilistest ruutudest on kujutatud kuulsa saksa kunstniku Albrecht Düreri gravüüril "Melanhoolia". Ruudu 16 lahtris on numbreid vahemikus 1 kuni 16 ja kõigis suundades olevate arvude summa on 34. Huvitav on see, et kaks numbrit alumise rea keskel näitavad pildi loomise aastat - 1514. maagilised ruudud oli matemaatikute seas populaarne ajaviide, loodi tohutuid ruute, näiteks 43x43, mis sisaldavad numbreid vahemikus 1 kuni 1849, ja lisaks maagiliste ruutude näidatud omadustele on neil ka palju lisaomadusi. Igas suuruses maagiliste ruutude konstrueerimiseks on välja mõeldud viise, kuid seni pole leitud valemit, mille abil saaks leida antud suurusega maagiliste ruutude arvu. Teada on ja seda saab ka ise lihtsalt näidata, et 2x2 maagilisi ruute ei ole olemas, on täpselt üks 3x3 maagiline ruut, ülejäänud sellised ruudud saadakse sealt pööramiste ja sümmeetriate teel. 4x4 maagilisi ruute on juba 800 ja 5x5 ruutude arv on veerand miljoni lähedal.

1.3. Maagiliste ruutude tüübid

Maagiline(maagiline ruut) n 2 numbrit nii, et iga rea, iga veeru ja mõlema diagonaali numbrite summa on sama.

poolmaagiline ruut on nxn ruudukujuline tabel, mis on täidetud n 2 numbrit nii, et arvude summad on võrdsed ainult ridades ja veergudes.

Tavaline on maagiline ruut, mis on täidetud täisarvudega vahemikus 1 kuni n 2.

Assotsiatiivne (sümmeetriline) - maagiline ruut, milles kahe ruudu keskpunkti suhtes sümmeetriliselt paikneva arvu summa on võrdne n 2 + 1.

Kuratlik (pandiagonaalne) maagiline ruut- maagiline ruut, milles katkiste diagonaalide (diagonaalid, mis tekivad ruudu toruks voltimisel) mõlemas suunas olevate arvude summad langevad kokku ka maagilise konstandiga.

Seal on 48 4x4 Devil Magic ruutu, mis on täpsed pöörlemise ja peegelduse suhtes. Kui arvestada ka nende täiendavat sümmeetriat - toorilised paralleeltõlked, siis jääb alles vaid 3 sisuliselt erinevat ruutu (joonis 2).

Joonis 2.

Neljandat järku pandiagonaalsetel ruutudel on mitmeid lisaomadusi, mille jaoks neid kutsutakse pühendunud. Täiuslikke paaritu järjestusega ruute ei eksisteeri. Pandiagonaalsete ruutude hulgas, mille topeltpaarsus on üle 4, on täiuslikke ruute.

Viiendat järku pandiagonaalruutusid on 3600. Võttes arvesse torilisi paralleeltõlkeid, on erinevat pandiagonaali 144.

2.Võluruutude lahendus

2.1 Maagiliste ruutude lahendus (Bacher de Meziraci meetod)

Maagiliste ruutude konstrueerimise reeglid jagunevad kolme kategooriasse, olenevalt sellest, kas ruudu järjekord on paaritu, võrdne kahekordse paaritu arvuga või neljakordse paaritu arvuga. Kõigi ruutude konstrueerimise üldine meetod pole teada, kuigi laialdaselt kasutatakse erinevaid skeeme. Kõik maagilised ruudud suurusjärgus n on võimalik leida ainult n ≤ 4 korral.

Suvaliselt suurte tavaliste maagiliste ruutude lahendamiseks kasutame prantsuse matemaatiku Claude Bachet de Meziraci 1612. aastal kirjeldatud meetodit. Tema raamatu venekeelne tõlge ilmus 1877. aastal Peterburis pealkirja all "Matemaatikapõhised mängud ja ülesanded".

Ruudulisele paberile on mugav ehitada võluruut. Olgu n paaritu arv ja teil on vaja ehitada nxn ruut numbritega 1 kuni n2, toimime samm-sammult.

1. Kirjutame kõik numbrid 1 kuni n2 lahtritesse diagonaalselt (n numbrit reas), et moodustada diagonaalne ruut.

2. Valige selle keskelt ruut nxn. See on tulevase võluruudu alus (kõik lahtrid pole veel täidetud).

3. Iga numbriline “nurk”, mis asub väljaspool keskväljakut, viiakse ettevaatlikult sissepoole – väljaku vastasküljele. Nende nurkade numbrid peaksid täitma kõik tühjad lahtrid. Maagiline väljak on ehitatud.

Toome näite 3x3 ruudu täitmisest numbritega 1 kuni 9. Selleks lisage ruudule täiendavad lahtrid, et saada diagonaalid. Esmalt täitke diagonaalsed lahtrid numbritega 1 kuni 9 (joonis 3), seejärel "voltige nurgad" ruudu tühjadesse lahtritesse sissepoole vastasküljele (joonis 4).

Joonis 3. Joonis 4.

2.2. Probleemi sõnastamine.

Kirjeldame oma viisi maagiliste ruutude lahendamiseks. Peatugem 3x3 maagiliste ruutude matemaatilise mudeli uurimisel.

Probleemi üldine sõnastus.

Seal on üheksa numbrit. Need tuleb paigutada 3x3 ruudu lahtritesse nii, et arvude summad piki vertikaalset, horisontaalset ja diagonaaljoont oleksid võrdsed.

2.3. Maagiline ruudu algoritm

Algoritmi sõnaline kirjeldus

1. Sorteerige numbrid kasvavas järjekorras.

2. Leidke keskne number (järjekorras viies).

3. Määrake paarid reegli järgi: 1 paar - esimene number ja üheksas,

2 paari - teine ​​number ja kaheksas,

3 paari - kolmas number ja seitsmes,

4 paari - neljas number ja kuues.

4. Leia arvude summa (S), mis tuleks saada iga vertikaali, horisontaali, diagonaali piki arvude liitmisel: liida väikseim, keskne, suurim arv ehk tsentraalse numbriga paari number 1.

5. Pange keskne number ruudu keskele.

6. Sisestage vabade lahtrite keskmisse horisontaali (või vertikaali) esimene numbripaar.

7. Kirjutage teine ​​numbripaar piki suvalist diagonaali (nii, et esimese paari suurem arv oleks teise paari väiksema arvuga veerus).

8. Arvutage ühte äärmuslikku veergu kirjutatav arv vastavalt reeglile:

S-st lahutage veeru lahtrites sisalduva kahe arvu summa, saate arvu.

9. Kirjutage saadud arvule diagonaalselt üles selle paari teine ​​number.

10. Sisestage ülejäänud lahtritesse viimane numbripaar vastavalt reeglile: sisestage paarist suurem arv väiksemaga reale ja väiksem arv ülejäänud tühja lahtrisse.

2.4. Maagilise ruudu täitmise õigsuse tõend

(Probleemi lahendus üldkujul)

Tõestame, et algoritmi tulemusel piki ruudu vertikaali, horisontaali ja diagonaale paiknevate arvude summad on võrdsed.

Lase peale tellimist iga järgnev number eelmisest konstantse väärtuse võrra erineda X. Väljendame kõiki numbreid kujul a1(väikseim arv) ja X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Leiame summa S ja väljendage seda numbritega a1 ja X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Täitke maagiline ruut vastavalt pakutud algoritmile.

Tõestame, et ruudu horisontaal-, vertikaal- ja diagonaalis paiknevate arvude summad on võrdsed S.

Vertikaalselt:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Horisontaalselt:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Diagonaalselt:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3a1 +12x=S

Saime sama palju. Väide on tõestatud.

Märge.

Sel viisil organiseeritud arvud moodustavad aritmeetilise progressiooni. Selles jadas (pärast järjestamist) on a1 aritmeetilise progressiooni esimene liige, x on aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvude puhul, mis ei moodusta aritmeetilist progressiooni, algoritm ei tööta.

2.5. Näide võluruutude lahendamisest

Antud arvud: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Täitke maagiline ruut etteantud numbritega.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Sain keskse numbri 5.

3. Paarid: 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7, 4 ja 6.

4.S=5+1+9= 15 - summa.

8. 15-(9+2)=4

See algoritm erineb oluliselt Bachet de Meziriaci meetodist. Ühelt poolt nõuab see lisaarvutusi (meetodi puudus), teisalt meie meetod ei nõua lisakonstruktsioone (diagonaalruut). Veelgi enam, meetod on rakendatav mitte ainult järjestikuste naturaalarvude puhul 1 kuni 9, vaid ka mis tahes üheksa arvu jaoks, mis on aritmeetilise progressiooni liikmed, milles näeme selle eeliseid. Lisaks määratakse automaatselt maagiline konstant - numbrite summa piki diagonaali, vertikaalset, horisontaalset.

3. Maagiliste ruutude kasutamine

3.1. Maagiliste ruutude üldistamise erinevad juhtumid

Maagiliste ruutude koostamise ja kirjeldamise probleemid on matemaatikuid huvitanud juba iidsetest aegadest. Võimalike maagiliste ruutude kõigi verstapostide täielikku kirjeldust pole aga tänaseni saadud. Kuna ruudu suurus (lahtrite arv) suureneb, kasvab võimalike maagiliste ruutude arv kiiresti. Suurte ruutude hulgas on huvitavate omadustega ruute. Näiteks ruudul joonisel nr 5 ei ole üksteisega võrdsed mitte ainult ridade, veergude ja diagonaalide arvude summad, vaid ka viieliste summad piki "katkiseid" diagonaale, mis on joonisel ühendatud värviliste joontega.

Joonis 5. Joonis 6.

Ladina ruut on n x n lahtrist koosnev ruut, kuhu on kirjutatud arvud 1, 2, ..., n, pealegi veel nii, et kõik need arvud esinevad igas reas ja igas veerus üks kord. Kohal (joonis 6) on näidatud kaks sellist ladina ruutu 4x4. Neil on huvitav omadus: kui üks ruut asetatakse teise peale, siis kõik saadud arvude paarid on erinevad. Selliseid ladina ruutude paare nimetatakse ortogonaalseteks. Ortogonaalsete ladina ruutude leidmise ülesandeks seadis esmalt L. Euler ja sellises meelelahutuslikus sõnastuses: „36 ohvitseri seas on võrdselt lantse, draguone, husaare, kirasse, ratsaväekaarte ja grenadere ning lisaks veel ühtviisi kindraleid, kolonelid, majorid, kaptenid, leitnandid ja alamleitnandid ning iga teenistusharu esindavad kõigi kuue auastme ohvitserid. Kas neid ohvitsere on võimalik paigutada 6x6 ruudule nii, et iga auastmega ohvitserid kohtuvad mis tahes kolonnis? (Lisa 2).

L. Euler ei leidnud sellele probleemile lahendust. 1901. aastal tõestati, et sellist lahendust pole olemas.

3.2. Ladina ruutude rakendamine

Maagia ja ladina ruudud on lähedased sugulased. Ladina ruutude teooria on leidnud arvukalt rakendusi nii matemaatikas endas kui ka selle rakendustes. Võtame näite. Oletame, et tahame katsetada antud piirkonnas kahte nisusordi tootlikkust ning me tahame võtta arvesse põllukultuuride hõreduse astme ja kahte tüüpi väetiste mõju. Selleks jagame ruuduosa 16 võrdseks osaks (joonis 7). Esimese sordi nisu istutame alumisele horisontaalribale vastavatele maatükkidele, järgmise sordi istutame neljale järgmisele ribale vastavale põllulapile jne (joonisel on sort tähistatud värviga.)

Põllumajandus" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">põllumajandus, füüsika, keemia ja tehnoloogia.

4. Üldised järeldused

Töö käigus tutvusin erinevat tüüpi Maagiliste ruutudega, õppisin lahendama tavalisi maagilisi ruute Bachet de Mezirac meetodil. Kuna meie 3x3 maagiliste ruutude lahendus erines määratud meetodist, kuid võimaldas iga kord ruudu lahtreid õigesti täita, tekkis soov töötada välja oma algoritm. Seda algoritmi on töös üksikasjalikult kirjeldatud, tõestatud algebralisel kujul. Selgus, et see kehtib mitte ainult tavaruutude, vaid ka 3x3 ruutude kohta, kus arvud moodustavad aritmeetilise progressiooni. Samuti õnnestus leida näiteid maagia ja ladina ruutude kasutamisest.

Õppisin: lahendama mõningaid maagilisi ruute, arendama ja kirjeldama algoritme, tõestama väiteid algebralises vormis. Õppisin uusi mõisteid: aritmeetiline progressioon, maagiline ruut, maagiline konstant, uurisin ruutude liike.

Kahjuks ei suuda ei minu välja töötatud algoritm ega Bachet de Meziraci meetod 4x4 maagilisi ruute lahendada. Seetõttu tahtsin selliste ruutude lahendamise algoritmi edasi arendada.

5. Järeldus

Selles töös uuriti maagilisi ruute, käsitleti nende tekkelugu. Määratleti maagiliste ruutude tüübid: maagiline või maagiline ruut, poolmaagiline ruut, normaalne, assotsiatiivne, kuratlik maagiline ruut, täiuslik.

Olemasolevate meetodite hulgast nende lahendamiseks valiti Basche de Meziriaci meetod, seda katsetati näidete peal. Lisaks pakutakse 3x3 maagiliste ruutude lahendamiseks välja oma lahendusalgoritm ning matemaatiline tõestus algebralisel kujul.

Pakutud algoritm erineb oluliselt Bacher de Meziriaci meetodist. Ühelt poolt nõuab see täiendavaid arvutusi (meetodi puudus), teisalt pole vaja täiendavaid konstruktsioone. Meetod on rakendatav mitte ainult järjestikuste naturaalarvude puhul 1 kuni 9, vaid ka mis tahes üheksa arvu puhul, mis on aritmeetilise progressiooni liikmed, milles näeme selle eeliseid. Lisaks määratakse automaatselt maagiline konstant - numbrite summa piki diagonaali, vertikaalset, horisontaalset.

Ettekandes esitatakse maagiliste ruutude – ladina ruutude – üldistus ja kirjeldatakse nende praktilist rakendamist.

Antud tööd saab kasutada matemaatikatundides lisamaterjalina, samuti klassiruumis ja õpilastega individuaalses töös.

6. Viited

1. Arvudemaailma mõistatused / Koost. - D .: Stalker, 1997.-448s.

2. Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat / Koost. - M .: Pedagoogika, 1989 - 352 lk.: ill.

3. Entsüklopeedia lastele. T11. Matemaatika / Peatükk. toim. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: ill.

4. Ma tunnen maailma: Lasteentsüklopeedia: Matemaatika / Koost. - ja teised - M.: AST, 1996. - 480s.: ill.

VÕLURUUT, ruudukujuline täisarvude tabel, milles mis tahes rea, veeru ja mis tahes kahe põhidiagonaali arvude summad on võrdsed sama arvuga.

Maagiline ruut on iidse Hiina päritolu. Legendi järgi tõusis keiser Yu valitsusajal (u 2200 eKr) Kollase jõe vetest pinnale püha kilpkonn, mille kestale olid kirjutatud salapärased hieroglüüfid (joon. 1 a) ja neid märke tuntakse kui lo-shu ja need on samaväärsed joonisel fig. üks, b. 11. sajandil maagilisi ruute õppisid nad tundma Indias ja seejärel Jaapanis, kus 16. saj. Maagilised ruudud on olnud ulatusliku kirjanduse teemaks. Ta tutvustas eurooplastele 15. sajandil võluväljakuid. Bütsantsi kirjanik E. Moskhopoulos. Esimene eurooplase leiutatud ruut on A. Dureri ruut (joonis 2), mis on kujutatud tema kuulsal gravüüril Melanhoolia 1. Graveeringu kuupäev (1514) on tähistatud numbritega alumise rea kahes keskses lahtris. Maagilistele ruutudele omistati mitmesuguseid müstilisi omadusi. 16. sajandil Cornelius Heinrich Agrippa ehitas 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. järku ruudud, mida seostati 7 planeedi astroloogiaga. Usuti, et hõbedale graveeritud maagiline ruut kaitseb katku eest. Ka tänapäeval võib Euroopa ennustajate atribuutide hulgas näha maagilisi ruute.

19. ja 20. sajandil huvi võluväljakute vastu puhkes uue hooga. Neid hakati uurima kõrgema algebra ja operatiivarvutuse meetoditega.

Iga maagilise ruudu elementi nimetatakse rakuks. Ruut, mille külg on n rakke, sisaldab n 2 lahtrit ja seda nimetatakse ruuduks n- järjekorras. Enamik maagilisi ruute kasutab esimest n järjestikused naturaalarvud. Summa S numbreid igas reas, igas veerus ja mis tahes diagonaalis nimetatakse ruudu konstandiks ja see on võrdne S = n(n 2 + 1)/2. Seda tõestas n i 3. 3. järgu ruudu jaoks S= 15, 4. järk - S= 34, 5. järjekord - S = 65.

Kaks diagonaali, mis läbivad ruudu keskpunkti, nimetatakse põhidiagonaalideks. Katkendjoon on diagonaal, mis, olles jõudnud ruudu servani, jätkub paralleelselt esimese lõiguga vastasservast (sellise diagonaali moodustavad varjutatud lahtrid joonisel 3). Lahtreid, mis on ruudu keskpunkti suhtes sümmeetrilised, nimetatakse kaldsümmeetrilisteks. Näiteks rakud a ja b joonisel fig. 3.

Maagiliste ruutude konstrueerimise reeglid jagunevad kolme kategooriasse, olenevalt sellest, kas ruudu järjekord on paaritu, võrdne kahekordse paaritu arvuga või neljakordse paaritu arvuga. Kõigi ruutude konstrueerimise üldine meetod pole teada, kuigi laialdaselt kasutatakse erinevaid skeeme, millest mõnda käsitleme allpool.

Paaritu järjestusega maagilisi ruute saab konstrueerida 17. sajandi prantsuse geomeetri meetodil. A. de la Lubera. Mõelge sellele meetodile 5. järku ruudu näitel (joonis 4). Number 1 asetatakse ülemise rea keskmisse lahtrisse. Kõik naturaalarvud on diagonaalide lahtrites paremalt vasakule paigutatud loomulikus järjekorras tsükliliselt alt üles. Jõudnud ruudu ülemisse serva (nagu numbri 1 puhul), jätkame diagonaali täitmist alustades järgmise veeru alumisest lahtrist. Jõudnud ruudu paremasse serva (number 3), jätkame vasakust lahtrist tuleva diagonaali täitmist ülaltoodud joonega. Jõudnud täidetud lahtrisse (number 5) või nurka (number 15), laskub trajektoor ühe lahtri võrra allapoole, misjärel täitmisprotsess jätkub.

F. de la Ira (1640-1718) meetod põhineb kahel algsel ruudul. Joonisel fig. Joonis 5 näitab, kuidas seda meetodit kasutades konstrueeritakse 5. järku ruut. Arvud 1 kuni 5 sisestatakse esimese ruudu lahtrisse nii, et number 3 korduks põhidiagonaali paremale lahtrites ja ühes reas või veerus ei esine kaks korda ühtegi numbrit. Teeme sama numbritega 0, 5, 10, 15, 20, ainsa erinevusega, et number 10 kordub nüüd põhidiagonaali lahtrites ülalt alla (joonis 5, b). Nende kahe ruudu summa lahtri kaupa (joonis 5, v) moodustab maagilise ruudu. Seda meetodit kasutatakse ka ühtlase järjestusega ruutude ehitamisel.

Kui on teada järjekordade ruutude koostamise meetod m ja tellida n, siis saame konstrueerida järjekorras ruudu mґ n. Selle meetodi olemus on näidatud joonisel fig. 6. Siin m= 3 ja n= 3. Suurem 3. järku ruut (alimarvudega) konstrueeritakse de la Louberi meetodil. Ruut numbriga 1ў (ülemise rea keskne lahter) on kantud 3. järku ruutu numbritest 1 kuni 9, mis on samuti konstrueeritud de la Louberi meetodil. Kolmandat järku ruut numbritega 10 kuni 18 sisestatakse lahtrisse numbriga 2ў (paremal alumisel real); lahtrisse numbriga 3ў - numbrite ruut vahemikus 19 kuni 27 jne. Selle tulemusena saame 9. järku ruudu. Selliseid ruute nimetatakse komposiitmaterjaliks.

Sissejuhatus

Antiikaja suured teadlased pidasid kvantitatiivseid suhteid maailma olemuse aluseks. Seetõttu hõivasid arvud ja nende suhted inimkonna suurimaid meeli. "Nooruspäevil lõbustasin end vabal ajal ... võluruutude tegemisega," kirjutas Benjamin Franklin. Maagiline ruut on ruut, mille numbrite summa igas horisontaalses reas, vertikaalses reas ja piki diagonaali on sama.

Mõned silmapaistvad matemaatikud pühendasid oma tööd maagilistele ruutudele ja nende tulemused mõjutasid rühmade, struktuuride, ladina ruutude, determinantide, vaheseinte, maatriksite, kongruentside ja muude matemaatika mittetriviaalsete osade arengut.

Selle essee eesmärk on tutvustada erinevaid maagilisi ruute, ladina ruute ning uurida nende kasutusvaldkondi.

maagilised ruudud

Kõigi võimalike maagiliste ruutude täielikku kirjeldust pole tänaseni saadud. 2x2 maagilisi ruute pole olemas. Seal on üks 3x3 maagiline ruut, kuna ülejäänud 3x3 maagilised ruudud saadakse sellest kas pöörlemise teel ümber keskpunkti või peegelduse teel ümber selle ühe sümmeetriatelje.

Naturaalarvude 1 kuni 9 järjestamiseks 3x3 maagilises ruudus on 8 erinevat võimalust:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

3x3 maagilises ruudus peab maagiline konstant 15 olema võrdne kolme arvu summaga 8 suunas: 3 rida, 3 veergu ja 2 diagonaali. Kuna keskel olev arv kuulub 1 reale, 1 veergu ja 2 diagonaali, on see 8-st kolmikust neljas, mis annavad kokku maagilise konstandi. Sellist arvu on ainult üks: see on 5. Seetõttu on 3x3 maagilise ruudu keskel olev arv juba teada: see on võrdne 5-ga.

Mõelge numbrile 9. See sisaldub ainult kahes arvukolmikus. Me ei saa seda nurka panna, kuna iga nurgalahter kuulub kolmele kolmele: rida, veerg ja diagonaal. Seetõttu peab number 9 asuma mõnes lahtris, mis külgneb selle keskel oleva ruudu küljega. Ruudu sümmeetria tõttu ei ole vahet, kumma külje me valime, seega kirjutame kesklahtrisse numbri 5 kohale 9. Ülemise rea üheksa mõlemale küljele saame sisestada ainult numbrid 2 ja 4. Milline neist kahest numbrist on paremas ülanurgas ja milline vasakus, pole jällegi oluline, kuna üks paigutus numbrid lähevad peegeldamisel teise. Ülejäänud lahtrid täidetakse automaatselt. Meie lihtne konstruktsioon 3x3 maagilisest ruudust tõestab selle ainulaadsust.

Selline maagiline ruut oli iidsete hiinlaste seas suure tähtsusega sümbol. Arv 5 keskel tähendas maad ja selle ümber olid ranges tasakaalus tuli (2 ja 7), vesi (1 ja 6),

puit (3 ja 8), metall (4 ja 9).

Ruudu suuruse (lahtrite arvu) kasvades kasvab kiiresti selle suurusega võimalike maagiliste ruutude arv. Neljandat järku maagilisi ruute on 880 ja 5. järku maagilisi ruutusid 275 305 224. Pealegi tunti keskajal 5x5 ruute. Näiteks moslemid suhtusid sellisesse ruutu, mille keskel on number 1, väga aupaklikult, pidades seda Allahi ühtsuse sümboliks.

Pythagorase maagiline väljak

Suur teadlane Pythagoras, kes pani aluse religioossele ja filosoofilisele doktriinile, mis kuulutas kvantitatiivsed suhted asjade olemuse aluseks, uskus, et inimese olemus peitub ka arvus – sünnikuupäevas. Seetõttu saab Pythagorase maagilise ruudu abil teada inimese iseloomu, vabanenud tervise astet ja selle potentsiaali, paljastada eelised ja puudused ning seeläbi teha kindlaks, mida selle parandamiseks teha.

Et mõista, mis on Pythagorase maagiline ruut ja kuidas selle näitajaid arvutatakse, arvutan selle oma näitel. Ja veendumaks, et arvutustulemused vastavad tõesti selle või teise inimese tegelikule iseloomule, kontrollin seda kõigepealt enda peal. Selleks teen arvutuse oma sünnikuupäeva järgi. Niisiis, minu sünnikuupäev on 20.08.1986. Liidame kokku sünnipäeva, -kuu ja -aasta numbrid (nullideta): 2+8+1+9+8+6=34. Järgmisena lisage tulemuse numbrid: 3 + 4 = 7. Seejärel lahutame esimesest summast sünnipäeva kahekordse esimese numbri: 34-4=30. Ja lisage uuesti viimase numbri numbrid:

3+0=3. Jääb teha viimased täiendused - 1. ja 3. ning 2. ja 4. summad: 34+30=64, 7+3=10. Saime numbrid 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

ja koostage maagiline ruut nii, et kõik nende arvude ühikud sisalduksid lahtris 1, kõik kahed oleksid lahtris 2 jne. Nulle ei võeta arvesse. Selle tulemusel näeb minu ruut välja selline:

Ruudu lahtrid tähendavad järgmist:

1. lahter – sihikindlus, tahe, sihikindlus, isekus.

  • 1 - täielikud egoistid, püüdlevad igast olukorrast maksimaalselt kasu saada.
  • 11 - egoistile lähedane tegelane.
  • 111 - "kuldne keskmine". Iseloom on rahulik, paindlik, seltskondlik.
  • 1111 - tugeva iseloomuga, tahtejõulised inimesed. Sellise iseloomuga mehed sobivad sõjaväeproffide rolli ja naised hoiavad peret rusikas.
  • 11111 - diktaator, türann.
  • 111111 - julm inimene, kes on võimeline tegema võimatut; satub sageli mõne idee mõju alla.

2. rakk - bioenergeetika, emotsionaalsus, siirus, sensuaalsus. Kaheliste arv määrab bioenergeetika taseme.

Kahekesi pole – avatud on kanal intensiivseks bioenergeetikakomplektiks. Need inimesed on loomult haritud ja õilsad.

  • 2 - tavainimesed bioenergeetika poolest. Sellised inimesed on atmosfääri muutuste suhtes väga tundlikud.
  • 22 - suhteliselt suur bioenergia varu. Sellistest inimestest saavad head arstid, õed, korrapidajad. Selliste inimeste peres on harva kellelgi närvistress.
  • 222 on selgeltnägija märk.

Lahter 3 – täpsus, spetsiifilisus, organiseeritus, täpsus, täpsus, puhtus, ihnus, kalduvus pidevalt "õiglust taastada".

Kolmikute kasv suurendab kõiki neid omadusi. Nendega on inimesel mõtet end otsida teadustest, eriti täppisteadustest. Kolmikute ülekaalust tekivad pedandid, juhtumis inimesed.

4. rakk – tervis. Seda tänu egregorile ehk esivanemate poolt välja töötatud ja inimest kaitsvale energiaruumile. Neljade puudumine viitab inimese valulikkusele.

  • 4 - keskmine tervis, on vaja keha karastada. Soovitatavad spordialad on ujumine ja jooksmine.
  • 44 - hea tervis.
  • 444 ja rohkem – väga hea tervisega inimesed.

5. rakk - intuitsioon, selgeltnägemine, mis hakkab sellistel inimestel avalduma juba kolme viie tasemel.

Viiteid pole – sidekanal ruumiga on suletud. Need inimesed on sageli

on valed.

  • 5 - sidekanal on avatud. Need inimesed oskavad olukorra õigesti arvutada, et sellest maksimumi võtta.
  • 55 - kõrgelt arenenud intuitsioon. Kui nad näevad "prohvetlikke unenägusid", võivad nad ennustada sündmuste käiku. Neile sobivad elukutsed on jurist, uurija.
  • 555 - peaaegu selgeltnägija.
  • 5555 - selgeltnägijad.

6. lahter - põhjendatus, materiaalsus, arvutus, kalduvus maailma kvantitatiivsele arengule ja usaldamatus kvalitatiivsete hüpete ja veelgi enam vaimse korra imede suhtes.

Kuuet pole olemas – need inimesed vajavad füüsilist tööd, kuigi see neile tavaliselt ei meeldi. Neile on omistatud erakordne kujutlusvõime, fantaasia, kunstiline maitse. Peen olemus, nad on siiski tegutsemisvõimelised.

  • 6 - saab tegeleda loovuse või täppisteadustega, kuid füüsiline töö on olemasolu eelduseks.
  • 66 - inimesed on väga maandatud, tõmbuvad füüsilise töö poole, kuigi see pole nende jaoks kohustuslik; soovitav on vaimne tegevus või kunstitunnid.
  • 666 - Saatana märk, eriline ja võigas märk. Need inimesed on kõrge temperamendiga, võluvad, muutuvad alati ühiskonnas tähelepanu keskpunktiks.
  • 6666 - need inimesed said oma eelmistes kehastustes liiga palju põhja, nad töötasid väga palju ega kujuta oma elu ette ilma tööta. Kui nende väljakul on

üheksa, nad peavad kindlasti tegelema vaimse tegevusega, arendama intelligentsust, omandama vähemalt kõrghariduse.

Lahter 7 – seitsmete arv määrab andekuse mõõdu.

  • 7 - mida rohkem nad töötavad, seda rohkem nad pärast saavad.
  • 77 - väga andekad, musikaalsed inimesed, õrna kunstimaitsega, võib-olla kalduvad kaunite kunstide poole.
  • 777 - need inimesed tulevad Maale reeglina lühikeseks ajaks. Nad on lahked, rahulikud, tajuvad valusalt igasugust ebaõiglust. Nad on tundlikud, neile meeldib unistada, nad ei tunne alati reaalsust.
  • 7777 on Ingli märk. Selle märgiga inimesed surevad imikueas ja kui nad elavad, siis on nende elu pidevalt ohus.

Lahter 8 – karma, kohustus, kohustus, vastutus. Kaheksate arv määrab kohusetunde määra.

Kaheksaid pole olemas – neil inimestel puudub peaaegu täielikult kohusetunne.

  • 8 - vastutustundlik, kohusetundlik, täpne loomus.
  • 88 - neil inimestel on arenenud kohusetunne, neid eristab alati soov aidata teisi, eriti nõrku, haigeid, üksikuid.
  • 888 - märk suurest kohusetundest, märk inimeste teenimisest. Kolme kaheksaga joonlaud saavutab silmapaistvaid tulemusi.
  • 8888 – neil inimestel on parapsühholoogilised võimed ja erakordne vastuvõtlikkus täppisteaduste suhtes. Neile on avatud üleloomulikud teed.

Rakk 9 – mõistus, tarkus. Üheksate puudumine näitab, et vaimsed võimed on äärmiselt piiratud.

  • 9 – need inimesed peavad terve elu kõvasti tööd tegema, et puudulikku intelligentsust korvata.
  • 99 - need inimesed on sünnist saati targad. Nad ei taha alati õppida, sest teadmised antakse neile kergesti. Nad on varustatud huumorimeelega iroonilise puudutusega, iseseisvad.
  • 999 on väga targad. Õppimisega ei pingutata üldse. Suurepärased vestluskaaslased.
  • 9999 – tõde paljastatakse neile inimestele. Kui neil on arenenud ka intuitsioon, on neil garanteeritud, et nad ei kuku läbi oma ettevõtmistes. Kõige selle juures on nad tavaliselt üsna meeldivad, kuna terav mõistus muudab nad ebaviisakaks, halastamatuks ja julmaks.

Niisiis, olles koostanud Pythagorase maagilise ruudu ja teades kõigi selle lahtrites sisalduvate numbrikombinatsioonide tähendust, saate adekvaatselt hinnata oma olemuse omadusi, mille emake loodus on andnud.

ladina ruudud

Hoolimata asjaolust, et matemaatikud olid peamiselt huvitatud maagilistest ruutudest, leidsid ladina ruudud suurimat rakendust teaduses ja tehnoloogias.

Ladina ruut on nxn lahtrist koosnev ruut, kuhu on kirjutatud arvud 1, 2, ..., n, pealegi nii, et kõik need arvud esinevad igas reas ja igas veerus üks kord. Joonisel 3 on kaks sellist 4x4 ruutu. Neil on huvitav omadus: kui üks ruut asetatakse teise peale, siis kõik saadud arvude paarid on erinevad. Selliseid ladina ruutude paare nimetatakse ortogonaalseteks.

Ortogonaalsete ladina ruutude leidmise ülesandeks seadis esmalt L. Euler ja sellises meelelahutuslikus sõnastuses: „36 ohvitseri hulgas on võrdselt lantse, draguone, husaare, kirasse, ratsaväekaarte ja grenadere ning lisaks veel ühtviisi kindraleid. , kolonelid, majorid, kaptenid, leitnandid ja alamleitnandid ning iga teenistusharu esindavad kõigi kuue auastme ohvitserid. Kas on võimalik rivistada kõik ohvitserid 6 x 6 ruudule nii, et igas auastmes ohvitserid kohtuvad mis tahes kolonnis ja mis tahes rivis?

Euler ei suutnud sellele probleemile lahendust leida. 1901. aastal tõestati, et sellist lahendust pole olemas. Samal ajal tõestas Euler, et ladina ruutude ortogonaalsed paarid eksisteerivad kõigi n paaritute väärtuste ja n paarisväärtuste jaoks, mis jaguvad 4-ga. Euler oletas, et ülejäänud n väärtuste jaoks on , kui arv n jagatuna 4-ga annab jäägiks 2, pole ristkülikuid. 1901. aastal tõestati, et ortogonaalseid ruute 6 6 ei eksisteeri ja see suurendas kindlustunnet Euleri oletuse paikapidavuses. 1959. aastal leiti aga arvuti abil esmalt ristkülikukujulised ruudud 10x10, seejärel 14x14, 18x18, 22x22. Ja siis näidati, et mis tahes n puhul, välja arvatud 6, on nxn ortogonaalset ruutu.

Maagia ja ladina ruudud on lähedased sugulased. Olgu meil kaks ortogonaalset ruutu. Täitke uue sama suurusega ruudu lahtrid järgmiselt. Paneme sinna arvu n(a - 1) + b, kus a on esimese ruudu sellises lahtris olev arv ja b on teise ruudu samas lahtris olev arv. On lihtne mõista, et saadud ruudus on ridade ja veergude (kuid mitte tingimata diagonaalide) arvude summad samad.

Ladina ruutude teooria on leidnud arvukalt rakendusi nii matemaatikas endas kui ka selle rakendustes. Võtame näite. Oletame, et tahame katsetada antud piirkonnas 4 nisusordi tootlikkust ning me tahame võtta arvesse põllukultuuride hõreduse astme ja kahte tüüpi väetiste mõju. Selleks jagame ruudukujulise maatüki 16 krundiks (joonis 4). Esimese sordi nisu istutame alumisele horisontaalribale vastavatele maatükkidele, järgmise sordi - neljale järgmisele ribale vastavale põllulapile jne (joonisel on sort tähistatud värviga). Maksimaalne külvitihedus olgu sel juhul neil proovitükkidel, mis vastavad joonise vasakpoolsele vertikaalsele veerule, ja paremale liikudes väheneb (joonisel vastab see värviintensiivsuse vähenemisele). Joonise lahtrites olevad numbrid tähendavad:

esimene on sellele alale laotatud esimest tüüpi väetise kilogrammide arv ja teine ​​teist tüüpi väetise kogus kilogrammides. On lihtne mõista, et sel juhul realiseeritakse kõik võimalikud nii sordi kui külvitiheduse ja muude komponentide kombinatsioonide paarid: esimest tüüpi sort ja väetised, esimest ja teist tüüpi väetised, tihedus ja teist tüüpi väetised. .

Ortogonaalsete ladina ruutude kasutamine aitab põllumajanduse, füüsika, keemia ja tehnoloogia katsetes arvesse võtta kõiki võimalikke valikuid.

ruudu maagia Pythagoras ladina keeles

Järeldus

See essee käsitleb küsimusi, mis on seotud ühe matemaatikaprobleemi arengu ajalooga, mis hõivas nii paljude suurepäraste inimeste meelt - maagilised ruudud. Hoolimata asjaolust, et maagilised ruudud ise pole teaduses ja tehnikas laialdast rakendust leidnud, inspireerisid nad paljusid silmapaistvaid inimesi matemaatikat õppima ja aitasid kaasa teiste matemaatikaharude (rühmade, determinantide, maatriksite jne) arengule.

Maagiliste ruutude lähimad sugulased, ladina ruudud, on leidnud arvukalt rakendusi nii matemaatikas kui ka selle rakendustes katsete tulemuste seadistamisel ja töötlemisel. Referaat annab näite sellise katse loomisest.

Abstraktis käsitletakse ka Pythagorase väljaku küsimust, mis pakub ajaloolist huvi ja võib-olla kasulik ka inimese psühholoogilise portree koostamiseks.

Bibliograafia

  • 1. Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnastik. M., "Pedagoogika", 1989.
  • 2. M. Gardner "Ajarännak", M., "Mir", 1990. a.
  • 3. Kehakultuur ja sport nr 10, 1998. a

Loe ka