Teoreettinen mekaniikka. Statiikka:

Lähestyvien voimien järjestelmä
Määritelmä ja kolmen voiman lause
Suppenevien voimien resultantin graafinen määritelmä
Voiman analyyttinen tehtävä
Suppenevien voimien resultantin analyyttinen määritys
Konvergoivien voimien järjestelmän ehdot ja tasapainoyhtälöt
Ongelmanratkaisu
★ Tasapaino lähentyvän voimajärjestelmän vaikutuksesta

Voimapari teoria

Voimapari ja sen ominaisuudet
Pariekvivalenssilauseet
Voimaparien lisäys
Parijärjestelmien tasapaino

Tuodaan tasoinen voimajärjestelmä
Poinsot'n Lemma
Lause tasovoimajärjestelmän pelkistämisestä
Tasovoimajärjestelmän pienentämisen erikoistapaukset
Tasapainoinen voimajärjestelmä

Tasaisten sauvajärjestelmien tukireaktioiden määritys
★ Tasapaino yhdensuuntaisten voimien järjestelmän vaikutuksesta tasossa
Rinnakkaisvoimajärjestelmä
Mielivaltainen tasainen voimajärjestelmä
Mielivaltainen tasainen voimajärjestelmä. RGR 1
★ Tasaisen mielivaltaisen voimajärjestelmän tasapaino
Komposiittijärjestelmien laskenta
Komposiittijärjestelmien laskenta. RGR 2
★ Kappalejärjestelmän tasapaino 1
★ Kappalejärjestelmän tasapaino 2
★ Kehojärjestelmän tasapaino 3
Tukireaktioiden graafinen määritys

aiheet:termeh:statics:moment_of_force_relative_to_center

Tarkastellaan kappaletta, joka on kiinnitetty keskipisteeseen O ja joka voi pyöriä pisteen O kautta kulkevan akselin ympäri, joka on kohtisuorassa piirustustasoon nähden. Kohdistetaan voima P tämän kappaleen pisteeseen A ja selvitetään mikä määrää tämän voiman pyörimisliikkeen ( Kuva 1).

On selvää, että voiman vaikutus kehoon ei riipu vain sen suuruudesta, vaan myös siitä, miten se on suunnattu, ja se määräytyy lopulta sen mukaan. hetki keskustasta O.

Määritelmä 1. Voiman momentti P suhteessa keskipisteeseen O on voiman moduulin ja sen olakkeen tulo merkillä $\pm$ - eli momentin pisteestä suoralle lasketun kohtisuoran pituus voiman toiminnasta.

Merkisääntö: Voiman momenttia pidetään positiivisena, jos voima pyrkii pyörittämään kehoa vastapäivään ja negatiiviseksi, jos se kiertää kappaletta myötäpäivään.

Tämän määritelmän mukaan voimamomentti on numeerisesti yhtä suuri kuin kolmion OAB kaksoispinta-ala, joka on muodostettu voimavektorille P, jonka kärkipiste on momenttipisteessä: $M_0(P) = P\cdot d = 2S \Delta_(OAB)$ .

Ota huomioon, että voimamomentti suhteessa pisteeseen O on yhtä suuri kuin nolla, jos voiman vaikutuslinja kulkee momenttipisteen kautta.

Tarkoitettu voimamomentin määritelmä sopii vain tasovoimajärjestelmälle. Yleisessä tapauksessa, jotta voidaan yksiselitteisesti kuvata voiman pyörimisvaikutusta, otamme käyttöön seuraavan määritelmän.

Määritelmä 2. Voiman P vektori-momentti suhteessa keskustaan ​​O on vektori, joka:

sovelletaan momenttipisteessä O kohtisuorassa voimavektorille rakennetun kolmion tasoon nähden, jonka kärki on momenttipisteessä;

suunnattu oikean ruuvin säännön mukaan;

suuruudeltaan yhtä suuri kuin voimamomentti P suhteessa keskustaan ​​O (Kuva 1a).

Oikea ruuvisääntö, joka tunnetaan myös fysiikan kursseista nimellä gimlet-sääntö, tarkoittaa, että jos katsomme kohti vektorimomenttia $\vec(M_0)(\vec(P))$ , näemme sen toiminnan tason pyörimisen voimalla $\vec(P)$, joka tapahtuu vastapäivään .

Merkitään $\vec(r)$ voiman $\vec(P)$ kohdistamispisteen sädevektoria ja osoitetaan, että seuraava pitää paikkansa

Lause 1. Voiman vektorimomentti $\vec(P)$ suhteessa keskustaan NOIN on yhtä suuri kuin sädevektorin $\vec(r)$ ja voimavektorin $\vec(P)$ vektoritulo:

$$\vec(M_0)(\vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P))$$

Muista, että vektorien $\vec(a)\text( ja )\vec(b)$ vektoritulo on vektori $\vec(c)$ , joka ( Kuvio 2b):

on kohtisuorassa vektoreihin $\vec(a)\text( ja )\vec(b)$ ;

muodostaa niiden kanssa oikeanpuoleisen vektorin kolmion, eli se on suunnattu siten, että tätä vektoria kohti katsottuna näemme kierron vektorista $\vec(a)$ vektoriin $\vec( b)$ pienimmässä kulmassa vastapäivään;

suuruudeltaan kaksinkertainen näille vektoreille rakennetun kolmion pinta-alaan:

$$|\vec(c)| = |\vec(a) \times \vec(b)| = |\vec(a)|\cdot|\vec(b)|\cdot\sin(\vec(a),\,\vec(b))$$

Lauseen todistamiseksi huomaamme ensinnäkin, että vektori, joka on yhtä suuri kuin vektorien $\vec(r)\text( ja )\vec(P)$ vektoritulo, on kollineaarinen vektorin $\vec(M_0) kanssa. (\vec(P))$ .

Tämän varmistamiseksi riittää piirtää nämä vektorit yhdestä pisteestä ( Kuva 1c). Joten $(\vec(r) \times \vec(P)) \uparrow \uparrow \vec(M_0)(\vec(P))$.

Toiseksi näiden vektorien vektoritulon moduuli on yhtä suuri kuin:

$$|\vec(r) \times \vec(P)| = |\vec(r)|\cdot|\vec(P)|\cdot\sin(\vec(r),\,\vec(P)) = P \cdot d =|\vec(M_0)(\ vec(P))|$$

Tästä seuraa lauseen relaatio.

Tämän lauseen seuraus on:

Varignonin lause (konvergoituvien voimien resultantin momentista). Suppenevien voimien tuloksena olevan järjestelmän vektorimomentti suhteessa mielivaltaiseen keskustaan ​​O on yhtä suuri kuin järjestelmän kaikkien voimien vektorimomenttien geometrinen summa suhteessa tähän keskustaan:

$$\vec(M_0)(\vec(R)) = \sum_(i=1)^(i=n)\vec(M_(0\,\,i))(\vec(P_i))$$

Itse asiassa resultantin hetki, kun otetaan huomioon Lause 1 ja konvergoituvien voimien resultantin analyyttinen määritelmä on yhtä suuri:

$$ \vec(M_0)(\vec(R))= \vec(R)\times\vec(r) \,\,\,\;\;\text( , koska ) \vec(M_0 )(\ vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P)) \\ \vec(R)\times\vec(r)= \vec(r)\times\sum_(i= 1)^ (i=n)\vec(P_i) \,\,\,\;\;\text( , koska ) (\vec(P_1), \vec(P_2), \dots, \vec (P_n)) \sim \vec(R) = \sum_(i=1)^(i=n) \vec(P_i) \\ \vec(r)\times\sum_(i=1)^(i= n)\vec(P_i) ) = \sum_(i=1)^(i=n)(\vec(r)\times\vec(P_i)) = \sum_(i=1)^(i=n)\ vec(M_(0\) ,\,i))(\vec(P_i)) $$

Konvergoivien voimien tasojärjestelmässä geometrinen summa in Varignonin lause menee algebraan:

$$M_0(R)=\summa_(i=1)^(i=n)M_(0\,\,i)(\vec(P_i))$$

Huomautus

Oppikirjallisuudessa termillä "hetki" tarkoitetaan sekä voiman momenttia että sen vektori-momenttia.

Subjects/termeh/statics/moment_of_force_relative_to_center.txt · Viimeisimmät muutokset: 19.7.2013 19:53 - ¶

Joten akselille kiinnitetyn kappaleen tasapainolle ei itse voimamoduuli ole tärkeä, vaan voimamoduulin ja etäisyyden akselista linjaan, jota pitkin voima vaikuttaa, tulo (kuva 115; oletetaan, että voima on tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden). Tätä tuotetta kutsutaan voimamomentiksi akselin ympäri tai yksinkertaisesti voimamomentiksi. Etäisyyttä kutsutaan vipuvaikutukseksi. Merkitsemällä voimamomenttia kirjaimella, saamme

Sovitaan, että pidetään voimamomenttia positiivisena, jos tämä voima erikseen toimiessaan pyörittäisi kehoa myötäpäivään ja negatiivinen muuten (tässä tapauksessa on sovittava etukäteen, kummalta puolelta kehoa katsotaan). Esimerkiksi voimat ja kuvassa 116 tulee määrittää positiivinen momentti ja pakottaa negatiivinen momentti.

Riisi. 115. Voiman momentti on yhtä suuri kuin sen moduulin ja varren tulo

Riisi. 116. Voimien momentit ja ovat positiivisia, voimamomentit negatiivisia

Riisi. 117. Voiman momentti on yhtä suuri kuin voimakomponentin moduulin ja sädevektorin moduulin tulo

Voimamomentille voidaan antaa toinen määritelmä. Piirretään suunnattu segmentti pisteestä, joka sijaitsee voiman kanssa samassa tasossa akselilla voiman kohdistamispisteeseen (kuva 117). Tätä segmenttiä kutsutaan voiman kohdistamispisteen sädevektoriksi. Vektorimoduuli on yhtä suuri kuin etäisyys akselista voiman kohdistamispisteeseen. Muodostetaan nyt voimakomponentti kohtisuoraan sädevektoriin nähden. Merkitään tämä komponentti . Kuvasta käy selvästi ilmi, että a. Kerrotaan molemmat lausekkeet, saamme sen .

Siten voimamomentti voidaan esittää muodossa

missä on voimakomponentin moduuli, joka on kohtisuorassa voiman kohdistamispisteen sädevektoriin nähden, on sädevektorin moduuli. Huomaa, että tulo on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suuntaviivan pinta-ala (kuva 117). Kuvassa 118 esittää voimia, joiden momentit akselin ympäri ovat samat. Kuvasta 119 on selvää, että voiman kohdistamispisteen siirtäminen sen suuntaa pitkin ei muuta sen momenttia. Jos voiman suunta kulkee pyörimisakselin läpi, niin voiman vipuvaikutus on nolla; siksi myös voimamomentti on nolla. Olemme nähneet, että tässä tapauksessa voima ei aiheuta kappaleen pyörimistä: voima, jonka momentti tietyn akselin ympäri on nolla, ei aiheuta pyörimistä tämän akselin ympäri.

Riisi. 118. Pakottaa ja niillä on samat momentit akselin ympäri

Riisi. 119. Samalla olkapäällä olevilla voimilla on samat momentit akselin ympäri

Voimamomentin käsitettä käyttämällä voidaan muotoilla uudella tavalla akselille kiinnitetyn ja kahden voiman vaikutuksen alaisen kappaleen tasapainoehdot. Kaavan (76.1) ilmaisemassa tasapainotilassa ei ole mitään muuta kuin vastaavien voimien hartiat. Näin ollen tämä ehto koostuu molempien voimien momenttien absoluuttisten arvojen yhtäläisyydestä. Lisäksi pyörimisen estämiseksi momenttien suuntien tulee olla vastakkaisia, eli momenttien tulee erota etumerkillisesti. Siten akselille kiinnitetyn kappaleen tasapainoa varten siihen vaikuttavien voimien momenttien algebrallisen summan on oltava nolla.

Koska voimamomentti määräytyy voimamoduulin ja olakkeen tulon perusteella, saadaan voimamomentin yksikkö ottamalla voima, joka on yhtä suuri kuin yksi, jonka olake on myös yksi. Siksi SI-voimamomentin yksikkö on voimamomentti, joka on yhtä newtonia ja joka vaikuttaa metrin pituiseen käsivarteen. Sitä kutsutaan newtonmetriksi (Nm).

Jos akselille kiinnitettyyn kappaleeseen vaikuttavat monet voimat, niin, kuten kokemus osoittaa, tasapainoehto pysyy samana kuin kahden voiman tapauksessa: akselille kiinnitetyn kappaleen tasapainolle akselille kiinnitetyn kappaleen algebrallinen summa kaikkien kehoon vaikuttavien voimien momenttien on oltava nolla. Tuloksena olevaa useiden kappaleeseen vaikuttavien momenttien momenttia (komponentimomentit) kutsutaan komponentimomenttien algebralliseksi summaksi. Tuloksena olevan momentin vaikutuksesta kappale pyörii akselin ympäri samalla tavalla kuin se pyörisi kaikkien komponenttimomenttien samanaikaisen vaikutuksen alaisena. Erityisesti, jos tuloksena oleva momentti on nolla, niin akseliin kiinnitetty runko on joko levossa tai pyörii tasaisesti.

Voiman momentti suhteessa pisteeseen O on vektori, jonka moduuli on yhtä suuri kuin voimamoduulin ja olakkeen tulo - lyhin etäisyys pisteestä O voiman vaikutuslinjaan. Voimamomenttivektorin suunta on kohtisuorassa voiman pisteen ja vaikutuslinjan kautta kulkevaan tasoon nähden, joten momenttivektorin suuntaan katsottuna voiman suorittama pyöriminen pisteen O ympäri tapahtuu myötäpäivään.

Jos sädevektori tunnetaan voiman kohdistamispiste suhteessa pisteeseen O, niin tämän voiman momentti suhteessa O:iin ilmaistaan ​​seuraavasti:

Itse asiassa tämän ristituotteen moduuli on:

. (1.9)

Kuvan mukaan siis:

Vektori , kuten ristitulon tulos, on kohtisuorassa tasoon Π kuuluviin vektoreihin nähden. Vektorin suunta on sellainen, että tämän vektorin suuntaan katsottuna lyhin kierto tapahtuu myötäpäivään. Toisin sanoen vektori täydentää vektorijärjestelmän () oikeaan kolmioon.

Kun tiedetään koordinaattijärjestelmän voiman kohdistamispisteen koordinaatit, jonka alkupiste on sama kuin pisteen O, ja voiman projektio näille koordinaattiakseleille, voimamomentti voidaan määrittää seuraavasti:

. (1.11)

Voiman momentti akselin ympäri

Voiman momentin projektiota pisteen ympäri jollekin tämän pisteen läpi kulkevalle akselille kutsutaan voimamomentiksi akselin ympäri.

Voiman momentti suhteessa akseliin lasketaan momentiksi, jolla voima projektio tasolle Π, joka on kohtisuorassa akselia vastaan, suhteessa akselin ja tason Π leikkauspisteeseen:

Momentin etumerkki määräytyy sen pyörimissuunnan mukaan, jonka voima F⃗ Π pyrkii kohdistamaan kehoon. Jos Oz-akselin suuntaan katsottuna voima pyörittää kehoa myötäpäivään, hetki otetaan plusmerkillä, muuten - miinus.

1.2 Ongelman kuvaus.

Tukien ja saranan C reaktioiden määritys.

1.3 Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi.

Jaetaan rakenne osiin ja tarkastellaan kunkin rakenteen tasapainoa.

Tarkastellaanpa koko rakenteen tasapainoa kokonaisuutena. (Kuva 1.1)

Luodaan 3 tasapainoyhtälöä koko rakenteelle kokonaisuutena:

Tarkastellaan rakenteen oikean puolen tasapainoa (kuva 1.2).

Luodaan 3 tasapainoyhtälöä rakenteen oikealle puolelle.

Joka on yhtä suuri kuin olkapäänsä voiman tulo.

Voiman momentti lasketaan kaavalla:

Missä F-voimaa, l-voiman olkapää.

Voiman olkapää- tämä on lyhin etäisyys voiman vaikutuslinjasta kehon pyörimisakseliin. Alla oleva kuva esittää jäykkää runkoa, joka voi pyöriä akselin ympäri. Tämän kappaleen pyörimisakseli on kohtisuorassa kuvion tasoon nähden ja kulkee pisteen läpi, joka on merkitty kirjaimella O. Voiman olkapää Ft tässä on etäisyys l, pyörimisakselilta voiman toimintalinjaan. Se määritellään näin. Ensimmäinen vaihe on piirtää voiman toimintaviiva, sitten pisteestä O, jonka läpi kappaleen pyörimisakseli kulkee, lasketaan kohtisuora voiman vaikutuslinjaan nähden. Tämän kohtisuoran pituus osoittautuu tietyn voiman käsivarreksi.

Voiman momentti kuvaa voiman pyörivää toimintaa. Tämä toiminta riippuu sekä vahvuudesta että vipuvaikutuksesta. Mitä suurempi varsi, sitä vähemmän voimaa on käytettävä, jotta saavutetaan haluttu tulos, eli sama voimamomentti (katso kuva yllä). Siksi oven avaaminen on paljon vaikeampaa työntämällä sitä saranoiden lähelle kuin tarttumalla kahvaan, ja mutterin avaaminen pitkällä kuin lyhyellä avaimella on paljon helpompaa.

Voimanmomentin SI-yksiköksi otetaan 1 N:n voimamomentti, jonka käsivarsi on 1 m - newtonmetri (N m).

Hetkien sääntö.

Jäykkä kappale, joka voi pyöriä kiinteän akselin ympäri, on tasapainossa, jos voimamomentti M 1 sen kiertäminen myötäpäivään on yhtä suuri kuin voimamomentti M 2 , joka pyörittää sitä vastapäivään:

Momenttien sääntö on seurausta yhdestä mekaniikan lauseesta, jonka ranskalainen tiedemies P. Varignon muotoili vuonna 1687.

Pari voimaa.

Jos kappaleeseen vaikuttaa 2 samansuuruista ja vastakkain suunnattua voimaa, jotka eivät ole samalla suoralla, niin tällainen kappale ei ole tasapainossa, koska näiden voimien tuloksena oleva momentti suhteessa mihinkään akseliin ei ole nolla, koska molemmilla voimilla on samaan suuntaan suunnatut momentit. Kahta tällaista voimaa, jotka vaikuttavat samanaikaisesti kehoon, kutsutaan pari voimaa. Jos runko on kiinnitetty akselille, se pyörii voimaparin vaikutuksesta. Jos vapaaseen kappaleeseen kohdistetaan pari voimaa, se pyörii akselinsa ympäri. kulkee kehon painopisteen läpi, kuva b.

Voimaparin momentti on sama minkä tahansa akselin suhteen, joka on kohtisuorassa parin tasoon nähden. Totaalinen hetki M pari on aina yhtä suuri kuin yhden voiman tulo F etäisyyteen l voimien välillä, jota kutsutaan parin olkapää, riippumatta segmenteistä l, ja jakaa parin olkapään akselin sijainnin:

Useiden voimien momentti, joiden resultantti on nolla, on sama suhteessa kaikkiin samansuuntaisiin akseleihin, joten kaikkien näiden voimien vaikutus kehoon voidaan korvata yhden voimaparin vaikutuksella, jolla on samat voimat. hetki.