4 numeron maaginen neliö. Maagiset neliöt (3) - Asiakirja. Mikä tämä arvoitus on

Etusivu > Asiakirja

MAAGINEN NELIÖ

Taika tai maaginen neliö on neliötaulukko, joka on täytetty numeroilla siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molempien diagonaalien numeroiden summa on sama.

Kunkin rivin, sarakkeen ja diagonaalin lukujen summaa kutsutaan maagiseksi vakioksi M.

3x3 taikaneliön pienin taikavakio on 15, 4x4 neliö on 34, 5x5 neliö on 65,

Jos neliön lukujen summat ovat yhtä suuret vain riveissä ja sarakkeissa, niin sitä kutsutaan puolitaikukseksi.

Rakenna 3 x 3 maaginen neliö pienimmällä

maaginen vakio

Etsi 3x3 maagisen neliön pienin taikavakio

1 tapa

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Keskelle kirjoitettu luku on 15 : 3 = 5

Päätettiin, että keskelle on kirjoitettu numero 5.

missä n on rivien lukumäärä

Jos pystyt rakentamaan yhden maagisen neliön, ei ole vaikeaa rakentaa useita niitä. Muista siis rakennustekniikat

3x3 maaginen neliö vakiolla 15.

1 tapa rakentaminen. Aseta parilliset luvut ensin kulmiin

Keskellä 2,4,8,6 ja 5. Loput prosessista on yksinkertaista aritmeettista.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 tapa ratkaisuja

Käyttämällä löydettyä taikaneliötä, jonka vakio on 15, voit asettaa monia erilaisia ​​tehtäviä:

Esimerkki. Rakenna uusia erilaisia ​​maagisia neliöitä 3 x 3

Ratkaisu.

Lisäämällä maagisen neliön jokainen numero tai kertomalla se samalla luvulla, saadaan uusi maaginen neliö.

Esimerkki 1 Muodosta 3 x 3 maaginen neliö, jonka numero keskellä on 13.

Ratkaisu.

Rakennetaan tuttua taikuutta

neliö vakiolla 15.

Etsi siinä oleva numero

halutun neliön keskelle

13 – 5 = 8.

Jokaiseen maagiseen numeroon

lisää 8 ruutua.

Esimerkki 2 Täytä taikuuden häkit

neliöt, tietäen maagisen vakion.

Ratkaisu. Etsitään numero

kirjoitettu keskelle 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun

Esimerkkejä. 1. Täytä maagisten neliöiden solut taikuudella

vakio M = 15.

1) 2) 3)

2. Etsi maagisten neliöiden maaginen vakio.

1) 2) 3)

3. Täytä maagisten neliöiden solut tietäen maagisen vakion

1) 2) 3)

M = 24 M = 30 M = 27

4 . Muodosta 3x3 maaginen neliö tietäen, että maaginen vakio on

vastaa 21.

Ratkaisu. Muista, kuinka maaginen 3x3 neliö rakennetaan pienimmän mukaan

vakio 15. Parilliset luvut kirjoitetaan äärimmäisiin kenttiin

2, 4, 6, 8 ja keskellä numero 5 (15 : 3).

Ehdon mukaan on tarpeen rakentaa neliö maagisen vakion mukaan

21. Halutun neliön keskellä tulee olla numero 7 (21 : 3).

Selvitetään kuinka paljon enemmän jokainen halutun neliön jäsen on

jokainen termi, jolla on pienin maaginen vakio 7 - 5 = 2.

Rakennamme halutun maagisen neliön:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Rakenna 3x3 maagisia neliöitä tietäen niiden maagiset vakiot

M = 42 M = 36 M = 33

M = 45 M = 40 M = 35

Rakenna 4 x 4 maaginen neliö pienimmällä

maaginen vakio

Etsi 4x4 maagisen neliön pienin taikavakio

ja tämän neliön keskellä oleva numero.

1 tapa

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

missä n on rivien lukumäärä n = 4.

minkä tahansa vaakatason lukujen summa,

pystysuora ja diagonaalinen on 34.

Tämä määrä esiintyy myös kaikissa

kulmaneliöt 2×2, keskellä

neliö (10+11+6+7), neliö

kulmasolut (16+13+4+1).

Rakentaaksesi minkä tahansa 4x4 taikaneliön, sinun on rakennettava yksi

vakiolla 34.

Esimerkki. Rakenna uusia erilaisia ​​4 x 4 maagisia neliöitä.

Ratkaisu.

Laske yhteen jokainen löydetty numero

maaginen neliö 4 x 4 tai

kertomalla se samalla luvulla,

hanki uusi maaginen neliö.

Esimerkki. Rakenna maaginen

4 x 4 neliö, jossa on taikuutta

vakio on 46.

Ratkaisu. Rakensi tutun taianomaisen

neliö vakiolla 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Jokaiseen maagisen neliön numeroon

lisätään 3.

Ennen kuin ryhdyt ratkaisemaan monimutkaisempia esimerkkejä 4 x 4 maagisista neliöistä, tarkista uudelleen sen ominaisuudet, jos M = 34.

Esimerkkejä. 1. Täytä maagisen neliön solut taikuudella

vakio M = 38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

ominaisuus 1,3,1 ominaisuudet 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

ominaisuudet 1,1,1,1

Vastaus.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Täytä maagisen neliön solut, jos taika tunnetaan

vakio

K = 46 K = 58 K = 62

Tapaa maagiset neliöt 5x5 ja 6x6

Maagisten neliöiden luokituksia on useita.

viides luokka, suunniteltu jotenkin systematisoimaan ne. Kirjassa

Martin Gardner [GM90, s. 244-345] kuvaa yhtä näistä menetelmistä -

keskusaukion numeron mukaan. Menetelmä on utelias, mutta ei sen enempää.

Kuinka monta kuudennen kertaluvun ruutua on olemassa, ei vielä tiedetä, mutta niitä on noin 1,77 x 1019. Luku on valtava, joten ei ole toivoa laskea niitä tyhjentävällä haulla, mutta kukaan ei voinut keksiä kaavaa maagisten neliöiden laskemiseen.

Kuinka tehdä maaginen neliö?

Maagisten neliöiden rakentamiseen on monia tapoja. Helpoin tapa tehdä maagisia neliöitä outo järjestys. Käytämme 1600-luvun ranskalaisen tiedemiehen ehdottamaa menetelmää A. de la Louber (De La Loubère). Se perustuu viiteen sääntöön, joiden toimintaa tarkastelemme yksinkertaisimmalla maagisella neliöllä 3 x 3 solua.

Sääntö 1. Laita 1 ensimmäisen rivin keskisarakkeeseen (kuva 5.7).

Riisi. 5.7. Ensimmäinen numero

Sääntö 2. Laita seuraava numero, jos mahdollista, nykyisen soluun viereiseen soluun vinosti oikealle ja yläpuolelle (kuva 5.8).

Riisi. 5.8. Yritetään laittaa toinen numero

Sääntö 3. Jos uusi solu ylittää yllä olevan neliön, kirjoita numero alimmalle riville ja seuraavaan sarakkeeseen (kuva 5.9).

Riisi. 5.9. Laitamme toisen numeron

Sääntö 4. Jos solu ylittää oikeanpuoleisen neliön, kirjoita numero ensimmäiseen sarakkeeseen ja edelliselle riville (kuva 5.10).

Riisi. 5.10. Laitamme kolmannen numeron

Sääntö 5. Jos solu on jo varattu, kirjoita seuraava numero nykyisen solun alle (kuva 5.11).

Riisi. 5.11 Laitamme neljännen numeron

Riisi. 5.12 Laitamme viidennen ja kuudennen numeron

Noudata sääntöjä 3, 4, 5 uudelleen, kunnes olet täyttänyt koko neliön (kuva.

Eikö olekin totta, säännöt ovat hyvin yksinkertaiset ja selkeät, mutta silti on aika tylsää järjestää vaikka 9 numeroa. Kuitenkin, kun tiedämme taikaneliöiden rakentamisalgoritmin, voimme helposti uskoa tietokoneeseen kaikki rutiinityöt, jättäen itsellemme vain luovan työn eli ohjelman kirjoittamisen.

Riisi. 5.13. Täytä neliö seuraavilla numeroilla

Project Magic Squares (Magic)

Kenttä asetettu ohjelmalle maagisia neliöitä aika selvä:

// OHJELMA SUKUPOLVILLE

// ODD MAGIC NELIÖ

// DE LA LOUBERTIN MENETELMÄLLÄ

julkinen osaluokka Lomake1 : Lomake

//Max. neliön mitat: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // neliöjärjestys int [,] mq; // maaginen neliö

int numero=0; // nykyinen luku neliöön

intcol=0; // nykyinen sarake int rivi=0; // nykyinen rivi

De la Louber -menetelmä soveltuu minkä tahansa kokoisten parittomien neliöiden tekemiseen, joten voimme antaa käyttäjän valita neliön järjestyksen rajoittaen samalla valinnanvapauden kohtuudella 27 soluun.

Kun käyttäjä painaa haluttua painiketta btnGen Generate! , btnGen_Click-menetelmä luo taulukon numeroiden tallentamiseksi ja siirtyy generointimenetelmään:

// PAINA "LUO"-PAINIKE

yksityinen void btnGen_Click(objektin lähettäjä, EventArgs e)

//neliön järjestys:

n = (int)udNum.Arvo;

//luo taulukko:

mq = uusi int ;

//luo maaginen neliö: genero();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Täällä alamme toimia de la Louberin sääntöjen mukaisesti ja kirjoitamme ensimmäisen numeron - yksi - neliön (tai taulukon, jos haluat) ensimmäisen rivin keskimmäiseen soluun:

//Luo maaginen neliö void gener()(

//ensimmäinen numero: numero=1;

//sarake ensimmäiselle numerolle - keskimmäinen: sarake = n / 2 + 1;

//rivi ensimmäiselle numerolle - ensimmäinen: rivi=1;

//neliö: mq= luku;

Nyt lisäämme peräkkäin loput solut soluihin - kahdesta n * n: ään:

// siirry seuraavaan numeroon:

Muistamme varsinaisen solun koordinaatit

int tc=col; int tr = rivi;

ja siirry seuraavaan soluun vinosti:

Tarkistamme kolmannen säännön täytäntöönpanon:

jos (rivi< 1) row= n;

Ja sitten neljäs:

jos (sarake > n) (sara=1;

goto rule3;

Ja viides:

if (mq != 0) (col=tc;

rivi=tr+1; goto rule3;

Mistä tiedämme, että neliön solussa on jo numero? - Hyvin yksinkertaista: kirjoitimme varovaisesti nollia kaikkiin soluihin, ja valmiin neliön luvut ovat suurempia kuin nolla. Joten taulukkoelementin arvon perusteella määritämme välittömästi, onko solu tyhjä vai jo numerolla! Huomaa, että tähän tarvitsemme ne solukoordinaatit, jotka muistimme ennen seuraavan numeron solun etsimistä.

Ennemmin tai myöhemmin löydämme numerolle sopivan solun ja kirjoitamme sen vastaavaan taulukkosoluun:

//neliö: mq = numero;

Kokeile toista tapaa järjestää siirtymisen hyväksyttävyyden tarkistus

vau solu!

Jos tämä numero oli viimeinen, niin ohjelma on täyttänyt velvoitteensa, muuten se antaa solulle vapaaehtoisesti seuraavan numeron:

//jos kaikkia numeroita ei ole asetettu, niin jos (numero< n*n)

//siirry seuraavaan numeroon: goto nextNumber;

Ja nyt aukio on valmis! Laskemme sen maagisen summan ja tulostamme sen näytölle:

) //Tuottaa()

Taulukon elementtien tulostaminen on hyvin yksinkertaista, mutta on tärkeää ottaa huomioon eri "pituisten" lukujen kohdistaminen, koska neliö voi sisältää yksi-, kaksi- ja kolminumeroisia lukuja:

//Tulosta maaginen neliö void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Väri .Musta;

string s = "Maaginen summa =" + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// tulostaa maaginen neliö: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

for (int j = 1; j<= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Käynnistämme ohjelman - neliöt saadaan nopeasti ja ne herkuttelevat silmiä (kuva.

Riisi. 5.14. Aika neliö!

Kirjassa S. Goodman, S. Hidetniemi Johdatus algoritmien kehittämiseen ja analysointiin

mov , sivuilta 297-299 löydämme saman algoritmin, mutta "pienennetyssä" esityksessä. Se ei ole niin "läpinäkyvä" kuin meidän versiomme, mutta se toimii oikein.

Lisää painike btnGen2 Luo 2! ja kirjoita algoritmi kielellä

C-sharp btnGen2_Click-menetelmään:

//Algoritmi ODDMS

yksityinen void btnGen2_Click(objektin lähettäjä, EventArgs e)

//neliön järjestys: n = (int )udNum.Value;

//luo taulukko:

mq = uusi int ;

//luo maaginen neliö: int rivi = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; jos (i % n == 0)

jos (rivi == 1) rivi = n;

jos (col = = n) col = 1;

//neliö valmis: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Napsautamme painiketta ja varmistamme, että "meidän" neliömme luodaan (Kuva.

Riisi. 5.15. Vanha algoritmi uudessa muodossa

Kunnallinen oppilaitos "Gymnasium No. 41"

maagisia neliöitä

Valvoja: ,

matematiikan opettaja

Novouralsk, 2012

Johdanto 3

1. Yleistä tietoa maagisista neliöistä 4

1.1. Maaginen neliö -konsepti 4

1.2. Maagisten neliöiden historiasta 4

1.3. Maagisten neliöiden tyypit 6

2. Maagisten neliöiden ratkaiseminen 6

2.1. Maagisten neliöiden ratkaiseminen (Bachet de Meziracin menetelmä) 7

2.2. Ongelmailmoitus 8

2.3. Algoritmi maagisten neliöiden ratkaisemiseen 8

2.4. Algoritmin todiste (algebrallisessa muodossa) 9

2.5. Esimerkki maagisen neliön ratkaisemisesta algoritmilla 10

3. Maagisten neliöiden käyttäminen 11

3.1. Erilaisia ​​maagisten neliöiden yleistämistä 11

3.2. Latinalaisen neliön käyttö 12

4. Yleiset johtopäätökset 13

5. Johtopäätös 14

6. Viitteet 15

Liite 1

Liite 2

Liite 3

Johdanto

Matemaattisen ympyrän tunneilla kohtasimme ongelmia, jotka liittyivät neliön solujen täyttämiseen erityissääntöjen mukaisesti. Ehdotetut numerot oli syötettävä niin, että tulos täyttää useita ehtoja kerralla:

Jos lasket yhteen kaikki kunkin rivin numerot,

Jos lasket yhteen kaikki luvut kussakin sarakkeessa,

Jos lasket yhteen kaikki luvut kahdessa lävistäjässä,

silloin kaikki nämä summat ovat yhtä suuria kuin sama luku.

Huolimatta siitä, että tehtävät poikkesivat alkuluvuista, lukujen järjestyksestä, annetusta summasta, ne olivat kaikki samanlaisia ​​ja ratkaisut samantyyppisiä.

Ajatus syntyi paitsi kunkin tehtävän ratkaisemisesta, myös yleisen ratkaisualgoritmin keksimisestä sekä historiallisen tiedon löytämisestä tämän tyyppisistä ongelmista kirjallisuudesta.

Kävi ilmi, että meitä kiinnostavia hahmoja kutsutaan taikaneliöiksi, jotka tunnettiin muinaisista ajoista lähtien. Niitä käsitellään työssä.

Tavoite: systematisoi tietoa maagisista neliöistä, kehitä algoritmi niiden ratkaisemiseksi.

Tehtävät:

1. Tutki maagisten neliöiden syntyhistoriaa.

2. Tunnista maagisten neliöiden tyypit.

3. Opi ratkaisemaan maagisia neliöitä.

4. Kehitä ja todista ratkaisualgoritmi.

5. Määritä maagisten neliöiden käyttö.

1. Yleistä tietoa maagisista neliöistä

1.1. Maagisen neliön käsite

Maagiset neliöt ovat erittäin suosittuja vielä nykyäänkin. Nämä ovat neliöitä, joiden jokaiseen soluun on kirjoitettu numeroita siten, että minkä tahansa vaaka-, pystysuoran ja lävistäjän numeroiden summat ovat yhtä suuret. Tunnetuin on maaginen neliö, joka on kuvattu saksalaisen taiteilijan A. Dürerin kaiverruksessa "Melancholia" (Liite 1).

1.2. Maagisten neliöiden historiasta

Numerot ovat tulleet ihmisen elämään niin paljon, että he alkoivat omistaa heille kaikenlaisia ​​maagisia ominaisuuksia. Jo useita tuhansia vuosia sitten muinaisessa Kiinassa ne vietiin pois piirtämällä maagisia neliöitä. Kiinan ja Intian arkeologisten kaivausten aikana löydettiin neliön muotoisia amuletteja. Neliö jaettiin yhdeksään pieneen ruutuun, joihin jokaiseen kirjoitettiin numerot 1 - 9. On huomionarvoista, että missä tahansa pystysuorassa, vaakasuorassa ja lävistäjässä olevien lukujen summat olivat yhtä suuret kuin sama luku 15 (kuva 1).

Kuva 1.

Maagiset neliöt olivat erittäin suosittuja keskiajalla. Yksi maagisista neliöistä on kuvattu kuuluisan saksalaisen taiteilijan Albrecht Dürerin kaiverruksessa "Melancholia". Neliön 16 solua sisältävät numeroita 1-16, ja numeroiden summa kaikkiin suuntiin on 34. Kummallista kyllä, alarivin keskellä olevat kaksi numeroa osoittavat kuvan luomisvuoden - 1514. Taikaneliöiden saaminen oli suosittu harrastus matemaatikoiden keskuudessa, luotiin valtavia neliöitä, esimerkiksi 43x43, jotka sisältävät numeroita 1 - 1849, ja maagisten neliöiden ilmoitettujen ominaisuuksien lisäksi niillä on myös monia lisäominaisuuksia. On keksitty tapoja rakentaa minkä kokoisia maagisia neliöitä tahansa, mutta toistaiseksi ei ole löydetty kaavaa, jolla voitaisiin löytää tietyn kokoisten maagisten neliöiden lukumäärä. Tiedetään, ja voit helposti näyttää sen itse, että 2x2 taikaneliötä ei ole olemassa, on täsmälleen yksi 3x3 taikaneliö, loput sellaisista neliöistä saadaan siitä pyörittämällä ja symmetrialla. 4x4 maagisia neliöitä on jo 800 ja 5x5 ruutujen määrä on lähes neljännesmiljoonaa.

1.3. Maagisten neliöiden tyypit

Maaginen(maaginen neliö) n 2 numeroa siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molempien lävistinten lukujen summa on sama.

puolimaaginen neliö on nxn-neliötaulukko, joka on täytetty n 2 numeroa siten, että lukujen summat ovat yhtä suuret vain riveissä ja sarakkeissa.

Normaali on maaginen neliö, joka on täynnä kokonaislukuja 1 - n 2.

Assosiatiivinen (symmetrinen) - maaginen neliö, jossa minkä tahansa kahden neliön keskipisteen ympärillä symmetrisesti sijaitsevan luvun summa on yhtä suuri n 2 + 1.

Pirullinen (pandiagonaalinen) maaginen neliö- maaginen neliö, jossa murtuneiden lävistäjien (lävistäjät, jotka muodostuvat, kun neliö taitetaan torukseksi) molempiin suuntiin lukujen summat osuvat myös yhteen maagisen vakion kanssa.

Siellä on 48 4x4 Devil Magic -neliötä, jotka ovat tarkkoja pyörimis- ja heijastustarkkuudella. Jos huomioidaan myös niiden lisäsymmetria - toriset rinnakkaiskäännökset, jäljelle jää vain 3 olennaisesti erilaista neliötä (kuva 2).

Kuva 2.

Neljännen asteen pandiagonaalisilla neliöillä on useita lisäominaisuuksia, joita varten niitä kutsutaan sitoutunut. Parittoman järjestyksen täydellisiä neliöitä ei ole olemassa. Pandiagonaalisten neliöiden joukossa, joiden kaksinkertainen pariteetti on yli 4, on täydellisiä.

Viidennen asteen pandiagonaalisia ruutuja on 3600. Erilaisia ​​pandiagonaalisia neliöitä on 144 erilaista rinnakkaiskäännökset huomioon ottaen.

2. Taikaneliöiden ratkaisu

2.1 Maagisten neliöiden ratkaisu (Bacher de Meziracin menetelmä)

Maagisten neliöiden rakentamissäännöt jakautuvat kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleistä menetelmää kaikkien neliöiden rakentamiseksi ei tunneta, vaikka erilaisia ​​kaavioita käytetään laajalti. On mahdollista löytää kaikki kertaluvun n maagiset neliöt vain arvolle n ≤ 4.

Satunnaisen suurikokoisten normaaleiden maagisten neliöiden ratkaisemiseksi käytämme ranskalaisen matemaatikon Claude Bachet de Meziracin vuonna 1612 kuvaamaa menetelmää. Hänen kirjansa venäjänkielinen käännös julkaistiin Pietarissa vuonna 1877 otsikolla "Matematiikkaan perustuvat pelit ja ongelmat".

Maaginen neliö on kätevää rakentaa neliöpaperille. Olkoon n pariton luku, ja sinun on rakennettava nxn-neliö numeroilla 1 - n2, toimimme askel askeleelta.

1. Kirjoitetaan kaikki luvut 1 - n2 soluihin vinottain (n numeroa peräkkäin), jolloin muodostuu diagonaalinen neliö.

2. Valitse nxn-neliö sen keskeltä. Tämä on tulevan maagisen neliön perusta (kaikki solut eivät ole vielä täynnä).

3. Jokainen keskusaukion ulkopuolella oleva numeerinen "kulma" siirretään varovasti sisäänpäin - neliön vastakkaiselle puolelle. Näiden kulmien numeroiden tulee täyttää kaikki tyhjät solut. Maaginen aukio on rakennettu.

Otetaan esimerkki 3x3 neliön täyttämisestä numeroilla 1-9. Voit tehdä tämän lisäämällä neliöön lisää soluja saadaksesi diagonaalit. Täytä ensin diagonaaliset solut numeroilla 1-9 (kuva 3), sitten "taita kulmat" neliön tyhjiin soluihin sisäänpäin vastakkaiselle puolelle (kuva 4).

Kuva 3. Kuva 4.

2.2. Ongelman muotoilu.

Kuvataan omaa tapaamme ratkaista maagisia neliöitä. Pysähdytään 3x3 maagisten neliöiden matemaattisen mallin tutkimiseen.

Ongelman yleinen muotoilu.

Numeroita on yhdeksän. Ne on järjestettävä 3x3 neliön soluihin siten, että pysty-, vaaka- ja diagonaaliviivojen numeroiden summat ovat yhtä suuret.

2.3. Magic square -algoritmi

Algoritmin sanallinen kuvaus

1. Järjestä numerot nousevaan järjestykseen.

2. Etsi keskusnumero (viides järjestyksessä).

3. Määritä parit säännön mukaan: 1 pari - ensimmäinen numero ja yhdeksäs,

2 paria - toinen numero ja kahdeksas,

3 paria - kolmas numero ja seitsemäs,

4 paria - neljäs numero ja kuudes.

4. Selvitä lukujen summa (S), joka pitäisi saada lisäämällä numeroita kutakin pystysuoraa, vaaka- tai diagonaalia pitkin: lisää pienin, keskellä oleva, suurin luku, eli sen parin numero 1, jossa on keskiluku.

5. Aseta keskusnumero neliön keskelle.

6. Syötä ensimmäinen numeropari vapaiden solujen vaakasuoraan (tai pystysuoraan) keskelle.

7. Kirjoita toinen numeropari mitä tahansa diagonaalia pitkin (niin, että ensimmäisen parin suurempi numero on sarakkeessa, jossa on toisen parin pienempi numero).

8. Laske yhteen äärimmäisistä sarakkeista kirjoitettava numero säännön mukaan:

S:stä vähennetään sarakkeen soluissa olevien kahden luvun summa, saadaan luku.

9. Kirjoita diagonaalisesti tuloksena olevaan numeroon sen parin toinen numero.

10. Syötä viimeinen lukupari jäljellä oleviin soluihin säännön mukaisesti: kirjoita suurempi numero parista pienemmän riville ja pienempi luku jäljellä olevaan tyhjään soluun.

2.4. Todiste maagisen neliön täytön oikeellisuudesta

(Ongelman ratkaisu yleisessä muodossa)

Osoitamme, että neliön pystysuorat, vaaka- ja diagonaalit pitkin algoritmin tuloksena olevien lukujen summat ovat yhtä suuret.

Anna tilauksen jälkeen jokainen seuraava numero erota edellisestä vakioarvolla X. Ilmaistaan ​​kaikki luvut termeillä a1(pienin luku) ja X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Etsitään summa S ja ilmaise se numeroin a1 Ja X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Olkoon maaginen neliö täytettävä ehdotetun algoritmin mukaan.

Osoittakaamme, että neliön vaaka-, pysty- ja diagonaalissa olevien lukujen summat ovat yhtä suuret S.

Pystysuoraan:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Vaakasuuntaisesti:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Diagonaalisesti:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3mutta1 +12x=S

Saimme saman summan. Väite on todistettu.

Huomautus.

Tällä tavalla järjestetyt luvut muodostavat aritmeettisen progression. Tässä sarjassa (järjestyksen jälkeen) a1 on aritmeettisen etenemisen ensimmäinen jäsen, x on aritmeettisen etenemisen erotus. Lukuille, jotka eivät muodosta aritmeettista etenemistä, algoritmi ei toimi.

2.5. Esimerkki maagisten neliöiden ratkaisemisesta

Annetut numerot: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Täytä maaginen neliö annetuilla numeroilla.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Sain keskusnumeron 5.

3. Parit: 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7, 4 ja 6.

4.S=5+1+9= 15 - summa.

8. 15-(9+2)=4

Tämä algoritmi eroaa merkittävästi Bachet de Meziriacin menetelmästä. Toisaalta se vaatii lisälaskelmia (menetelmän haittapuoli), toisaalta menetelmämme ei vaadi lisärakenteita (diagonaalineliö). Lisäksi menetelmää voidaan soveltaa ei vain peräkkäisiin luonnollisiin lukuihin 1-9, vaan myös kaikkiin yhdeksään numeroon, jotka ovat aritmeettisen progression jäseniä, missä näemme sen edut. Lisäksi maaginen vakio määritetään automaattisesti - numeroiden summa jokaisella diagonaalilla, pystysuoralla ja vaakasuuntaisella.

3. Taikaneliöiden käyttäminen

3.1. Erilaisia ​​maagisten neliöiden yleistämistä

Maagisten neliöiden kokoamisen ja kuvaamisen ongelmat ovat kiinnostaneet matemaatikoita muinaisista ajoista lähtien. Täydellistä kuvausta kaikista mahdollisten maagisten neliöiden virstanpylväistä ei kuitenkaan ole saatu tähän päivään mennessä. Kun neliön koko (solujen lukumäärä) kasvaa, mahdollisten maagisten neliöiden määrä kasvaa nopeasti. Suurten neliöiden joukossa on neliöitä, joilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Esimerkiksi kuvan nro 5 neliössä ei vain rivien, sarakkeiden ja diagonaalien lukujen summat ole yhtä suuret, vaan myös viitosten summat kuvassa värillisillä viivoilla yhdistettyjä ”rikkinäisiä” diagonaaleja pitkin.

Kuva 5. Kuva 6.

Latinalainen neliö on n x n solun neliö, johon on kirjoitettu luvut 1, 2, ..., n, lisäksi siten, että kaikki nämä luvut esiintyvät kerran kullakin rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Kohdassa (kuva 6) näkyy kaksi tällaista latinalaista neliötä 4x4. Niillä on mielenkiintoinen ominaisuus: jos yksi neliö asetetaan toisen päälle, kaikki tuloksena olevien lukujen parit osoittautuvat erilaisiksi. Tällaisia ​​latinalaisten neliöiden pareja kutsutaan ortogonaaleiksi. Ortogonaalisten latinalaisten neliöiden etsimisen asetti ensin L. Euler, ja näin viihdyttävässä sanamuodossa: "36 upseerin joukossa on yhtä lailla lansseja, lohikäärmeitä, husaareja, kirasireita, ratsuväen vartijoita ja kranaattereita, ja lisäksi yhtä lailla kenraaleja, everstit, majurit, kapteenit, luutnantit ja yliluutnantit, ja kutakin palvelualaa edustavat kaikkien kuuden tason upseerit. Onko mahdollista järjestää nämä upseerit 6x6 neliöön niin, että kaikki virkamiehet kohtaavat missä tahansa sarakkeessa? (Liite 2).

L. Euler ei löytänyt ratkaisua tähän ongelmaan. Vuonna 1901 todistettiin, että tällaista ratkaisua ei ole olemassa.

3.2. Latinalaisen neliön soveltaminen

Magic ja Latinalaiset neliöt ovat lähisukulaisia. Latinalaisen neliön teoria on löytänyt lukuisia sovelluksia sekä matematiikassa että sen sovelluksissa. Otetaan esimerkki. Oletetaan, että haluamme testata kahden vehnälajikkeen tuottavuutta tietyllä alueella, ja haluamme ottaa huomioon sadon harvalukuisuuden ja kahden lannoitteen vaikutuksen. Tätä varten jaamme neliömäisen osan 16 yhtä suureen osaan (kuva 7). Istutamme ensimmäisen vehnälajikkeen alavaakakaistaa vastaaville palstalle, istutamme seuraavan lajikkeen neljälle seuraavaa kaistaletta vastaaville palstalle jne. (kuvassa lajike on merkitty värillä.)

Maatalous" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">maatalous, fysiikka, kemia ja tekniikka.

4. Yleiset johtopäätökset

Työn aikana tutustuin erilaisiin maagisiin neliöihin, opin ratkaisemaan normaaleja maagisia neliöitä Bachet de Mezirac -menetelmällä. Koska ratkaisumme 3x3 maagisista neliöistä poikkesi määritetystä menetelmästä, mutta joka kerta kun sen avulla pystyimme täyttämään neliön solut oikein, heräsi halu kehittää oma algoritmi. Tämä algoritmi on kuvattu yksityiskohtaisesti työssä, todistettu algebrallisessa muodossa. Kävi ilmi, että se ei koske vain normaaleja neliöitä, vaan myös 3x3 neliöitä, joissa luvut muodostavat aritmeettisen progression. Onnistuimme myös löytämään esimerkkejä taikuuden ja latinalaisten neliöiden käytöstä.

Opin: ratkaisemaan maagisia neliöitä, kehittämään ja kuvaamaan algoritmeja, todistamaan väitteitä algebrallisessa muodossa. Opin uusia käsitteitä: aritmeettinen progressio, maaginen neliö, maaginen vakio, tutkin neliötyyppejä.

Valitettavasti kehittämäni algoritmi tai Bachet de Meziracin menetelmä eivät pysty ratkaisemaan 4x4 maagisia neliöitä. Siksi halusin kehittää edelleen algoritmia tällaisten neliöiden ratkaisemiseksi.

5. Johtopäätös

Tässä työssä tutkittiin maagisia neliöitä, tarkasteltiin niiden alkuperän historiaa. Maagisten neliöiden tyypit määriteltiin: maaginen tai maaginen neliö, puolimaaginen neliö, normaali, assosiatiivinen, pirullinen taikaneliö, täydellinen.

Olemassa olevista menetelmistä niiden ratkaisemiseksi valittiin Basche de Meziriac -menetelmä, jota testattiin esimerkein. Lisäksi 3x3 maagisten neliöiden ratkaisemiseen ehdotetaan omaa ratkaisualgoritmia ja matemaattinen todistus esitetään algebrallisessa muodossa.

Ehdotettu algoritmi eroaa merkittävästi Bacher de Meziriacin menetelmästä. Toisaalta se vaatii lisälaskelmia (menetelmän haittapuoli), toisaalta lisärakenteita ei tarvita. Menetelmää ei voida soveltaa vain peräkkäisiin luonnollisiin lukuihin 1 - 9, vaan myös kaikkiin yhdeksään numeroon, jotka ovat aritmeettisen progression jäseniä, ja näemme sen edut. Lisäksi maaginen vakio määritetään automaattisesti - numeroiden summa jokaisella diagonaalilla, pystysuoralla ja vaakasuuntaisella.

Työssä esitetään yleistys maagisista neliöistä - latinalaisista neliöistä ja kuvataan niiden käytännön sovellutuksia.

Tätä työtä voidaan käyttää matematiikan tunneilla lisämateriaalina sekä luokkahuoneessa ja yksilötyössä opiskelijoiden kanssa.

6. Viitteet

1. Numeroiden maailman arvoituksia / Comp. - D .: Stalker, 1997.-448s.

2. Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. - M .: Pedagogiikka, 1989 - 352 s.: ill.

3. Tietosanakirja lapsille. T11. Matematiikka / luku. toim. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: ill.

4. Tunnen maailman: Lasten tietosanakirja: Mathematics / Comp. - ja muut - M.: AST, 1996. - 480s.: ill.

MAAGIC NELIÖ, neliönmuotoinen kokonaislukutaulukko, jossa minkä tahansa rivin, minkä tahansa sarakkeen ja minkä tahansa kahden päälävistäjän lukujen summat ovat yhtä suuret kuin sama luku.

Maaginen neliö on muinaista kiinalaista alkuperää. Legendan mukaan keisari Yun hallituskaudella (n. 2200 eKr.) Keltaisen joen vesistä nousi pyhä kilpikonna, jonka kuoreen oli kaiverrettu salaperäiset hieroglyfit (kuva 1, mutta), ja nämä merkit tunnetaan nimellä lo-shu, ja ne vastaavat kuvassa 1 esitettyä maagista neliötä. yksi, b. 11-luvulla he oppivat maagisista neliöistä Intiassa ja sitten Japanissa, missä 1500-luvulla. Maagiset neliöt ovat olleet laajan kirjallisuuden aiheena. Hän esitteli eurooppalaiset maagisiin neliöihin 1400-luvulla. Bysanttilainen kirjailija E. Moskhopoulos. Ensimmäinen eurooppalaisen keksimä neliö on A. Durerin neliö (kuva 2), joka on kuvattu hänen kuuluisassa kaiverruksessaan Melankolia 1. Kaiverruspäivämäärä (1514) on merkitty numeroilla alarivin kahdessa keskimmäisessä solussa. Maagisille neliöille annettiin useita mystisiä ominaisuuksia. 1500-luvulla Cornelius Heinrich Agrippa rakensi 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. luokan neliöitä, jotka yhdistettiin 7 planeetan astrologiaan. Uskottiin, että hopeaan kaiverrettu maaginen neliö suojasi rutolta. Vielä nykyäänkin eurooppalaisten ennustajien ominaisuuksien joukossa voi nähdä maagisia neliöitä.

1800- ja 1900-luvuilla kiinnostus maagisia neliöitä kohtaan syttyi uudella voimalla. Niitä alettiin tutkia korkeamman algebran ja operaatiolaskennan menetelmillä.

Jokaista maagisen neliön elementtiä kutsutaan soluksi. Neliö, jonka sivu on n soluja, sisältää n 2 solua ja sitä kutsutaan neliöksi n- järjestys. Useimmat maagiset neliöt käyttävät ensimmäistä n peräkkäiset luonnolliset luvut. Summa S Numeroita jokaisella rivillä, jokaisessa sarakkeessa ja missä tahansa lävistäjässä kutsutaan neliön vakioksi ja se on yhtä suuri kuin S = n(n 2 + 1)/2. Todisti sen n i 3. Järjestyksen 3 neliölle S= 15, 4. järjestys - S= 34, 5. järjestys - S = 65.

Neliön keskustan läpi kulkevia kahta diagonaalia kutsutaan päälävistäjäksi. Katkoviiva on lävistäjä, joka, saavutettuaan neliön reunan, jatkuu samansuuntaisesti vastakkaisesta reunasta ensimmäisen segmentin kanssa (sellaisen lävistäjän muodostavat kuvan 3 varjostetut solut). Soluja, jotka ovat symmetrisiä neliön keskustan suhteen, kutsutaan vinosymmetrisiksi. Esimerkiksi solut a Ja b kuvassa 3.

Maagisten neliöiden rakentamissäännöt jakautuvat kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleinen menetelmä kaikkien neliöiden rakentamiseksi on tuntematon, vaikka erilaisia ​​kaavioita käytetään laajalti, joista joitain tarkastellaan alla.

Parittoman järjestyksen maagisia neliöitä voidaan rakentaa 1600-luvun ranskalaisen geometrian menetelmällä. A. de la Lubera. Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä 5. asteen neliöstä (kuva 4). Numero 1 sijoitetaan ylimmän rivin keskimmäiseen soluun. Kaikki luonnolliset luvut on järjestetty luonnolliseen järjestykseen syklisesti alhaalta ylös diagonaalien soluissa oikealta vasemmalle. Kun olet saavuttanut neliön yläreunan (kuten numeron 1 tapauksessa), jatkamme diagonaalin täyttämistä seuraavan sarakkeen alasolusta alkaen. Kun olet saavuttanut neliön oikean reunan (numero 3), jatkamme vasemmasta solusta tulevan diagonaalin täyttämistä yllä olevalla rivillä. Saavutettuaan täytettyyn soluun (numero 5) tai nurkkaan (numero 15), liikerata laskee yhden solun alas, jonka jälkeen täyttöprosessi jatkuu.

F. de la Iran (1640-1718) menetelmä perustuu kahteen alkuperäiseen neliöön. Kuvassa Kuva 5 näyttää kuinka viidennen asteen neliö muodostetaan tällä menetelmällä. Numerot 1-5 syötetään ensimmäisen neliön soluun siten, että numero 3 toistuu päälävistäjän soluissa oikealle ylöspäin, eikä yhtäkään numeroa esiinny kahdesti yhdellä rivillä tai yhdessä sarakkeessa. Teemme samoin numeroiden 0, 5, 10, 15, 20 kanssa sillä ainoalla erolla, että luku 10 toistuu nyt päälävistäjän soluissa ylhäältä alas (kuva 5, b). Näiden kahden neliön summa soluittain (kuva 5, sisään) muodostaa maagisen neliön. Tätä menetelmää käytetään myös tasaisen järjestyksen neliöiden rakentamisessa.

Jos menetelmä järjestysneliöiden muodostamiseksi tunnetaan m ja tilaa n, niin voimme rakentaa järjestyksen neliön mґ n. Tämän menetelmän olemus on esitetty kuvassa. 6. Täällä m= 3 ja n= 3. Suurempi 3. kertaluvun neliö (alkuluvuilla) muodostetaan de la Louberin menetelmällä. Neliö, jossa on numero 1ў (ylemmän rivin keskussolu), on kirjoitettu 3. kertaluvun neliöön numeroista 1-9, joka on myös muodostettu de la Louberin menetelmällä. Kolmannen kertaluvun neliö numeroilla 10-18 syötetään soluun numerolla 2ў (oikealla alimmalla rivillä); soluun, jossa on numero 3ў - numeroiden neliö välillä 19-27 jne. Tuloksena saamme yhdeksännen kertaluvun neliön. Tällaisia ​​neliöitä kutsutaan komposiiteiksi.

Johdanto

Antiikin suuret tiedemiehet pitivät kvantitatiivisia suhteita maailman olemuksen perustana. Siksi luvut ja niiden suhteet valloittivat ihmiskunnan suurimmat mielet. "Nuoruuden päivinä huvittelin itseäni vapaa-ajallani tekemällä ... maagisia neliöitä", kirjoitti Benjamin Franklin. Maaginen neliö on neliö, jonka numeroiden summa jokaisella vaakarivillä, jokaisella pystyrivillä ja jokaisella lävistäjällä on sama.

Jotkut erinomaiset matemaatikot omistivat työnsä maagisille neliöille, ja niiden tulokset vaikuttivat ryhmien, rakenteiden, latinalaisten neliöiden, determinanttien, osioiden, matriisien, kongruenssien ja muiden ei-triviaalien matematiikan osien kehitykseen.

Tämän esseen tarkoituksena on esitellä erilaisia ​​maagisia neliöitä, latinalaisia ​​neliöitä ja tutkia niiden käyttöalueita.

maagisia neliöitä

Kaikista mahdollisista maagisista neliöistä ei ole tähän päivään mennessä saatu täydellistä kuvausta. Ei ole olemassa 2x2 maagisia neliöitä. On olemassa yksi 3x3 maaginen neliö, koska loput 3x3 maagisista neliöistä saadaan siitä joko pyörittämällä keskustaa tai heijastamalla sen yhden symmetria-akselin ympäri.

On 8 eri tapaa järjestää luonnollisia lukuja 1-9 3x3 maagiseen neliöön:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

3x3 maagisessa neliössä taikavakion 15 on oltava yhtä suuri kuin kolmen luvun summa kahdeksassa suunnassa: 3 riviä, 3 saraketta ja 2 diagonaalia. Koska keskellä oleva numero kuuluu 1 riviin, 1 sarakkeeseen ja 2 diagonaaliin, se sisältyy neljään kahdeksasta kolmiosta, jotka laskevat yhteen maagisen vakion. Tällaisia ​​lukuja on vain yksi: se on 5. Siksi 3x3 maagisen neliön keskellä oleva luku tunnetaan jo: se on yhtä suuri kuin 5.

Harkitse lukua 9. Se sisältyy vain kahteen numerotriplattiin. Emme voi laittaa sitä nurkkaan, koska jokainen kulmasolu kuuluu kolmeen kolmioon: riviin, sarakkeeseen ja diagonaaliin. Siksi luvun 9 on oltava jossakin solussa sen keskellä olevan neliön sivun vieressä. Neliön symmetrian vuoksi ei ole väliä kumman puolen valitsemme, joten kirjoitamme 9 luvun 5 yläpuolelle keskisoluun. Ylärivin yhdeksän molemmille puolille voimme syöttää vain numerot 2 ja 4. Kumpi näistä kahdesta numerosta on oikeassa yläkulmassa ja mikä vasemmassa, sillä taas ei ole väliä, koska yksi järjestely numerot siirtyvät toiseen, kun ne peilataan. Loput solut täytetään automaattisesti. Yksinkertainen rakenteemme 3x3 maagisesta neliöstä todistaa ainutlaatuisuutensa.

Tällainen maaginen neliö oli erittäin tärkeä symboli muinaisten kiinalaisten keskuudessa. Numero 5 keskellä tarkoitti maata ja sen ympärillä tiukasti tasapainossa tuli (2 ja 7), vesi (1 ja 6),

puu (3 ja 8), metalli (4 ja 9).

Kun neliön koko (solujen lukumäärä) kasvaa, tämän kokoisten mahdollisten maagisten neliöiden määrä kasvaa nopeasti. Taikaneliöitä on 880 luokkaa 4 ja 275 305 224 luokkaa 5. Lisäksi 5x5 neliöitä tunnettiin keskiajalla. Muslimit esimerkiksi suhtautuivat hyvin kunnioittavasti sellaiseen neliöön, jonka keskellä oli numero 1, pitäen sitä Allahin yhtenäisyyden symbolina.

Pythagoraan maaginen aukio

Suuri tiedemies Pythagoras, joka perusti uskonnollisen ja filosofisen opin, joka julisti kvantitatiiviset suhteet asioiden olemuksen perustaksi, uskoi, että ihmisen olemus piilee myös numerossa - syntymäpäivässä. Siksi Pythagoraan maagisen neliön avulla voi tietää henkilön luonteen, vapautuneen terveyden asteen ja sen potentiaalin, paljastaa edut ja haitat ja siten tunnistaa, mitä pitäisi tehdä sen parantamiseksi.

Ymmärtääkseni, mikä Pythagoraan maaginen neliö on ja kuinka sen indikaattorit lasketaan, lasken sen omalla esimerkilläni. Ja varmistaakseni, että laskennan tulokset todella vastaavat tämän tai tuon henkilön todellista luonnetta, tarkistan sen ensin itsestäni. Tätä varten teen laskennan syntymäaikani mukaan. Syntymäaikani on siis 20.8.1986. Lasketaan yhteen syntymäpäivän, -kuukauden ja -vuoden numerot (ilman nollia): 2+8+1+9+8+6=34. Lisää seuraavaksi tuloksen numerot: 3 + 4 = 7. Sitten ensimmäisestä summasta vähennetään syntymäpäivän kaksinkertainen ensimmäinen numero: 34-4=30. Ja lisää vielä viimeisen numeron numerot:

3+0=3. Vielä on tehtävä viimeiset lisäykset - 1. ja 3. sekä 2. ja 4. summat: 34+30=64, 7+3=10. Saimme numerot 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

ja muodostaa maaginen neliö siten, että kaikki näiden lukujen yksiköt sisältyvät soluun 1, kaikki kakkoset ovat solussa 2 jne. Nollia ei oteta huomioon. Tämän seurauksena neliöni näyttää tältä:

Neliön solut tarkoittavat seuraavaa:

Solu 1 - määrätietoisuus, tahto, sinnikkyys, itsekkyys.

  • 1 - täydelliset egoistit, pyrkivät saamaan maksimaalisen hyödyn mistä tahansa tilanteesta.
  • 11 - hahmo, joka on lähellä itsekkyyttä.
  • 111 - "kultainen keskitie". Luonne on rauhallinen, joustava, seurallinen.
  • 1111 - ihmiset, joilla on vahva luonne, voimakas tahto. Miehet, joilla on tällainen luonne, sopivat sotilasammattilaisten rooliin, ja naiset pitävät perheensä nyrkissä.
  • 11111 - diktaattori, tyranni.
  • 111111 - julma henkilö, joka pystyy tekemään mahdottoman; usein joutuu jonkin idean vaikutuksen alaisena.

Solu 2 - bioenergetiikka, emotionaalisuus, vilpittömyys, aistillisuus. Kaksosten määrä määrittää bioenergeettisen tason.

Ei ole kakkosia - kanava intensiiviselle bioenergetiikkasarjalle on auki. Nämä ihmiset ovat luonteeltaan koulutettuja ja jaloja.

  • 2 - tavalliset ihmiset bioenergian kannalta. Tällaiset ihmiset ovat erittäin herkkiä ilmakehän muutoksille.
  • 22 - suhteellisen suuri bioenergian tarjonta. Tällaisista ihmisistä tulee hyviä lääkäreitä, sairaanhoitajia, sairaanhoitajia. Tällaisten ihmisten perheessä harvoin kenelläkään on hermostunutta stressiä.
  • 222 on psyykkin merkki.

Solu 3 - tarkkuus, spesifisyys, järjestäytyminen, tarkkuus, täsmällisyys, puhtaus, niukka, taipumus jatkuvasti "palauttaa oikeudenmukaisuus".

Kolmosten kasvu vahvistaa kaikkia näitä ominaisuuksia. Niiden avulla ihmisen on järkevää etsiä itseään tieteistä, varsinkin eksaktista. Kolmosten ylivoima synnyttää pedantteja, ihmisiä tapauksessa.

Solu 4 - terveys. Tämä johtuu egregorista, eli esi-isien kehittämästä ja henkilöä suojelevasta energiatilasta. Neljän poissaolo osoittaa henkilön arkuuden.

  • 4 - keskimääräinen terveys, on tarpeen lieventää kehoa. Suositeltavat urheilulajit ovat uinti ja juoksu.
  • 44 - hyvä terveys.
  • 444 ja enemmän - ihmiset, joilla on erittäin hyvä terveys.

Solu 5 - intuitio, selvänäköisyys, joka alkaa ilmetä sellaisissa ihmisissä jo kolmen viidennen tasolla.

Viisiä ei ole - viestintäkanava tilan kanssa on suljettu. Nämä ihmiset ovat usein

ovat väärässä.

  • 5 - viestintäkanava on auki. Nämä ihmiset voivat laskea tilanteen oikein saadakseen siitä kaiken irti.
  • 55 - erittäin kehittynyt intuitio. Kun he näkevät "profeetallisia unia", he voivat ennustaa tapahtumien kulun. Heille sopivia ammatteja ovat lakimies, tutkija.
  • 555 - melkein selvänäkijä.
  • 5555 - selvänäkijät.

Solu 6 - maadoitus, aineellisuus, laskelma, taipumus maailman kvantitatiiviseen kehitykseen ja epäluottamus laadullisiin harppauksiin ja vielä enemmän henkisen järjestyksen ihmeisiin.

Kuusia ei ole - nämä ihmiset tarvitsevat fyysistä työtä, vaikka he eivät yleensä pidä siitä. Heillä on poikkeuksellinen mielikuvitus, fantasia ja taiteellinen maku. Hienovarainen luonne, he ovat kuitenkin toimintakykyisiä.

  • 6 - voi olla mukana luovuudessa tai eksaktissa tieteessä, mutta fyysinen työ on olemassaolon edellytys.
  • 66 - ihmiset ovat hyvin maadoittuneita, vetoavat fyysiseen työhön, vaikka se ei ole heille pakollista; henkinen toiminta tai taidetunnit ovat toivottavia.
  • 666 - Saatanan merkki, erityinen ja synkkä merkki. Näillä ihmisillä on korkea luonne, he ovat viehättäviä, heistä tulee aina yhteiskunnan huomion keskipiste.
  • 6666 - nämä ihmiset aiemmissa inkarnaatioissaan saivat liikaa pohjaa, he työskentelivät kovasti eivätkä voi kuvitella elämäänsä ilman työtä. Jos heidän neliönsä on

yhdeksän, heidän on ehdottomasti harjoitettava henkistä toimintaa, kehitettävä älykkyyttä, vähintään hankittava korkeakoulutus.

Solu 7 - seitsemien määrä määrittää lahjakkuuden mittarin.

  • 7 - mitä enemmän he työskentelevät, sitä enemmän he saavat jälkeenpäin.
  • 77 - erittäin lahjakkaita, musikaalisia ihmisiä, heillä on herkkä taiteellinen maku, heillä saattaa olla taipumusta kuvataiteeseen.
  • 777 - nämä ihmiset tulevat yleensä Maahan lyhyeksi ajaksi. He ovat ystävällisiä, rauhallisia, näkevät tuskallisesti kaiken epäoikeudenmukaisuuden. He ovat herkkiä, haluavat unelmoida, eivät aina tunne todellisuutta.
  • 7777 on enkelin merkki. Ihmiset, joilla on tämä merkki, kuolevat lapsenkengissä, ja jos he elävät, heidän henkensä ovat jatkuvasti vaarassa.

Solu 8 - karma, velvollisuus, velvollisuus, vastuu. Kahdeksoiden määrä määrittää velvollisuudentunteen asteen.

Kahdeksoita ei ole - näiltä ihmisiltä puuttuu melkein kokonaan velvollisuudentunto.

  • 8 - vastuullinen, tunnollinen, tarkka luonne.
  • 88 - näillä ihmisillä on kehittynyt velvollisuudentunto, he eroavat aina halusta auttaa muita, erityisesti heikkoja, sairaita, yksinäisiä.
  • 888 - merkki suuresta velvollisuudesta, merkki palvelemisesta ihmisille. Viivain kolmella kahdeksalla saavuttaa erinomaisia ​​tuloksia.
  • 8888 - näillä ihmisillä on parapsykologisia kykyjä ja poikkeuksellinen alttius eksaktille tieteelle. Yliluonnolliset polut ovat avoinna heille.

Solu 9 - mieli, viisaus. Yhdeksän puuttuminen on todiste siitä, että henkiset kyvyt ovat erittäin rajallisia.

  • 9 - näiden ihmisten on työskenneltävä kovasti koko elämänsä korvatakseen älykkyyden puutteen.
  • 99 - nämä ihmiset ovat älykkäitä syntymästä lähtien. He ovat aina haluttomia oppimaan, koska tietoa annetaan heille helposti. Heillä on huumorintaju, jolla on ironinen kosketus, riippumaton.
  • 999 ovat erittäin älykkäitä. Oppimiseen ei panosteta ollenkaan. Erinomaiset keskustelukumppanit.
  • 9999 - totuus paljastetaan näille ihmisille. Jos heillä on myös kehittynyt intuitio, heillä on taattu epäonnistuminen kaikissa pyrkimyksissään. Kaiken tämän kanssa he ovat yleensä melko miellyttäviä, koska terävä mieli tekee heistä töykeitä, armottomia ja julmia.

Joten, kun olet koonnut Pythagoraan maagisen neliön ja tiedät kaikkien sen soluihin sisältyvien numeroyhdistelmien merkityksen, pystyt arvostamaan riittävästi luontosi ominaisuuksia, jotka luontoäiti on suonut.

latinalaiset neliöt

Huolimatta siitä, että matemaatikot olivat pääasiassa kiinnostuneita maagisista neliöistä, latinalaiset neliöt löysivät suurimman sovelluksen tieteessä ja tekniikassa.

Latinalainen neliö on nxn solun neliö, johon on kirjoitettu luvut 1, 2, ..., n, lisäksi siten, että kaikki nämä luvut esiintyvät kerran kullakin rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Kuvassa 3 on kaksi tällaista 4x4 neliötä. Niillä on mielenkiintoinen ominaisuus: jos yksi neliö asetetaan toisen päälle, kaikki tuloksena olevien lukujen parit osoittautuvat erilaisiksi. Tällaisia ​​latinalaisten neliöiden pareja kutsutaan ortogonaaleiksi.

Ortogonaalisten latinalaisten neliöiden etsimisen asetti ensin L. Euler, ja näin viihdyttävässä sanamuodossa: "36 upseerin joukossa on yhtä lailla lansseja, lohikäärmeitä, husaareja, kirasiereja, ratsuväen vartijoita ja kranaattereita ja lisäksi yhtä lailla kenraaleja. , everstit, majurit, kapteenit, luutnantit ja yliluutnantit, ja kutakin palvelualaa edustavat kaikkien kuuden tason upseerit. Onko mahdollista asettaa kaikki upseerit 6 x 6 neliöön niin, että upseerit kaikista riveistä kohtaavat missä tahansa sarakkeessa ja missä tahansa rivissä?

Euler ei löytänyt ratkaisua tähän ongelmaan. Vuonna 1901 todistettiin, että tällaista ratkaisua ei ole olemassa. Samaan aikaan Euler osoitti, että latinalaisten neliöiden ortogonaaliset parit ovat olemassa kaikille n:n parittomille arvoille ja n:n parillisille arvoille, jotka ovat jaollisia 4:llä. Euler oletti, että jäljellä oleville n:n arvoille on , jos luku n jaettuna 4:llä antaa jäännöksen 2, ortogonaalisia neliöitä ei ole. Vuonna 1901 todistettiin, että ortogonaalisia neliöitä 6 6 ei ole olemassa, ja tämä lisäsi luottamusta Eulerin arvelun paikkansapitävyyteen. Kuitenkin vuonna 1959 tietokoneella löydettiin ensin ortogonaaliset neliöt 10x10, sitten 14x14, 18x18, 22x22. Ja sitten osoitettiin, että millä tahansa n:llä paitsi 6:lla on nxn ortogonaalista neliötä.

Magic ja Latinalaiset neliöt ovat lähisukulaisia. Olkoon kaksi ortogonaalista neliötä. Täytä uuden samankokoisen neliön solut seuraavasti. Laitetaan sinne luku n(a - 1) + b, missä a on ensimmäisen neliön tällaisessa solussa oleva luku ja b on toisen neliön samassa solussa oleva luku. On helppo ymmärtää, että tuloksena olevassa neliössä lukujen summat riveissä ja sarakkeissa (mutta eivät välttämättä diagonaaleissa) ovat samat.

Latinalaisen neliön teoria on löytänyt lukuisia sovelluksia sekä itse matematiikassa että sen sovelluksissa. Otetaan esimerkki. Oletetaan, että haluamme testata 4 vehnälajikkeen tuottavuutta tietyllä alueella, ja haluamme ottaa huomioon sadon harvalukuisuuden ja kahden lannoitteen vaikutuksen. Tätä varten jaamme neliön tontin 16 tonttiin (kuva 4). Istutamme ensimmäisen vehnälajikkeen paljoille, jotka vastaavat alempaa vaakakaistaa, seuraavan lajikkeen - neljälle seuraavaa kaistaletta vastaaville palstalle jne. (kuvassa lajike on merkitty värillä). Olkoon tässä tapauksessa suurin kylvötiheys niillä palstoilla, jotka vastaavat kuvan vasenta pystysaraketta, ja pienennetään oikealle siirrettäessä (kuvassa tämä vastaa värin intensiteetin laskua). Kuvan solujen numerot tarkoittavat:

ensimmäinen on tälle alueelle levitetyn ensimmäisen tyyppisen lannoitteen kilogrammamäärä ja toinen toisen tyypin lannoitteen määrä. On helppo ymmärtää, että tässä tapauksessa toteutetaan kaikki mahdolliset lajikkeen ja kylvötiheyden ja muiden komponenttien yhdistelmät: ensimmäisen tyypin lajike ja lannoitteet, ensimmäisen ja toisen tyypin lannoitteet, tiheys ja toisen tyypin lannoitteet .

Ortogonaalisten latinalaisten neliöiden käyttö auttaa ottamaan huomioon kaikki mahdolliset vaihtoehdot maatalouden, fysiikan, kemian ja tekniikan kokeissa.

neliön taika Pythagoras latinaksi

Johtopäätös

Tämä essee käsittelee kysymyksiä, jotka liittyvät yhden matematiikan kysymyksen kehityshistoriaan, joka vallitsi niin monien suurten ihmisten mielissä - maagiset neliöt. Huolimatta siitä, että maagiset neliöt eivät ole löytäneet laajaa käyttöä tieteessä ja tekniikassa, ne inspiroivat monia erinomaisia ​​​​ihmisiä opiskelemaan matematiikkaa ja myötävaikuttivat muiden matematiikan alojen (ryhmien teoria, determinantit, matriisit jne.) kehittämiseen.

Maagisten neliöiden lähimmät sukulaiset, latinalaiset neliöt, ovat löytäneet lukuisia sovelluksia sekä matematiikassa että sen sovelluksissa kokeiden tulosten asettamisessa ja käsittelyssä. Tiivistelmä tarjoaa esimerkin tällaisen kokeilun järjestämisestä.

Abstraktissa pohditaan myös kysymystä Pythagoraan aukiosta, joka on historiallisesti kiinnostava ja kenties hyödyllinen ihmisen psykologisen muotokuvan laatimisessa.

Bibliografia

  • 1. Nuoren matemaatikon tietosanakirja. M., "Pedagogia", 1989.
  • 2. M. Gardner "Time Travel", M., "Mir", 1990.
  • 3. Liikunta ja urheilu nro 10, 1998

Lue myös