Meccanica teorica. Statica:

Sistema di forze convergenti
Definizione e Teorema delle Tre Forze
Definizione grafica della risultante di forze convergenti
Compito analitico della forza
Determinazione analitica della risultante di forze convergenti
Condizioni ed equazioni di equilibrio per un sistema di forze convergenti
Risoluzione dei problemi
★ Equilibrio sotto l'azione di un sistema di forze convergenti

Teoria della coppia di forze

Coppia di forze e sue proprietà
Teoremi di equivalenza di coppia
Somma di coppie di forze
Equilibrio dei sistemi di coppia

Portare un sistema piano di forze
Lemma di Poinsot
Teorema sulla riduzione di un sistema piano di forze
Casi particolari di riduzione di un sistema di forze piano
Sistema equilibrato di forze

Determinazione delle reazioni vincolari di sistemi ad aste piatte
★ Equilibrio sotto l'azione di un sistema di forze parallele su un piano
Sistema di forze parallele
Sistema piatto arbitrario di forze
Sistema piatto arbitrario di forze. RGR1
★ Equilibrio di un sistema di forze piano arbitrario
Calcolo di sistemi compositi
Calcolo di sistemi compositi. RGR2
★ Equilibrio di un sistema di corpi 1
★ Equilibrio di un sistema di corpi 2
★ Equilibrio del sistema di corpi 3
Determinazione grafica delle reazioni vincolari

oggetti:termeh:statics:moment_of_force_relative_to_center

Consideriamo un corpo fisso nel centro O e girevole attorno ad un asse passante per il punto O e perpendicolare al piano del disegno. Applichiamo la forza P nel punto A di questo corpo e scopriamo cosa determina l'azione rotazionale di questa forza ( Fig. 1).

È ovvio che l'effetto di una forza su un corpo dipenderà non solo dalla sua grandezza, ma anche da come è diretta, e sarà in definitiva determinato dalla sua forza. momento rispetto al centro O.

Definizione 1. Il momento della forza P relativo al centro O è il prodotto del modulo della forza per la sua spalla presa con il segno $\pm$ - cioè la lunghezza della perpendicolare abbassata dal punto del momento alla retta di azione della forza.

Regola dei segni: il momento della forza è considerato positivo se la forza tende a ruotare il corpo in senso antiorario e negativo se tende a ruotare il corpo in senso orario.

Secondo questa definizione, il momento della forza è numericamente uguale alla doppia area del triangolo OAB, costruito sul vettore forza P con vertice nel punto del momento: $M_0(P) = P\cdot d = 2S \Delta_(RUBRICA)$ .

Notare che il momento della forza relativo al punto O è pari a zero se la linea d'azione della forza passa per il punto del momento.

La definizione considerata del momento della forza è adatta solo per un sistema di forze piano. Nel caso generale, per descrivere in modo univoco l'azione rotazionale di una forza, introduciamo la seguente definizione.

Definizione 2. Il momento vettoriale della forza P rispetto al centro O è un vettore che:

applicato nel punto del momento O perpendicolare al piano di un triangolo costruito sul vettore forza con il vertice nel punto del momento;

diretto secondo la regola della vite giusta;

uguale in grandezza al momento della forza P rispetto al centro O (Fig.1a).

Regola della vite giusta, noto anche dai corsi di fisica come regola del succhiello, significa che se guardiamo verso il vettore momento $\vec(M_0)(\vec(P))$ , vedremo la rotazione del piano della sua azione ad opera della forza $\vec(P)$, che avviene in senso antiorario .

Indichiamo con $\vec(r)$ il raggio vettore del punto di applicazione della forza $\vec(P)$ e dimostriamo che vale la seguente

Teorema 1. Momento vettoriale della forza $\vec(P)$ rispetto al centro DIè uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore $\vec(r)$ e del vettore forza $\vec(P)$ :

$$\vec(M_0)(\vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P))$$

Ricordiamo che il prodotto vettoriale dei vettori $\vec(a)\text( e )\vec(b)$ è il vettore $\vec(c)$ , che ( Fig.2b):

è perpendicolare ai vettori $\vec(a)\text( e )\vec(b)$ ;

forma con essi una terna destra di vettori, cioè è diretta in modo tale che, guardando verso questo vettore, vedremo una rotazione dal vettore $\vec(a)$ al vettore $\vec( b)$ all'angolo più piccolo, in senso antiorario;

pari in grandezza al doppio dell'area del triangolo costruito su questi vettori:

$$|\vec(c)| = |\vec(a) \times \vec(b)| = |\vec(a)|\cdot|\vec(b)|\cdot\sin(\vec(a),\,\vec(b))$$

Per dimostrare il teorema notiamo innanzitutto che un vettore uguale al prodotto vettoriale dei vettori $\vec(r)\text( e )\vec(P)$ sarà collineare al vettore $\vec(M_0) (\vec(P))$ .

Per verificarlo è sufficiente tracciare questi vettori da un punto ( Fig.1c). Quindi $(\vec(r) \times \vec(P)) \uparrow \uparrow \vec(M_0)(\vec(P))$.

In secondo luogo, il modulo del prodotto vettoriale di questi vettori sarà uguale a:

$$|\vec(r) \times \vec(P)| = |\vec(r)|\cdot|\vec(P)|\cdot\sin(\vec(r),\,\vec(P)) = P \cdot d =|\vec(M_0)(\ vec(P))|$$

Da qui segue la relazione del teorema.

Il corollario di questo teorema è:

Teorema di Varignon (sul momento della risultante delle forze convergenti). Il momento vettoriale del sistema risultante di forze convergenti rispetto a un centro arbitrario O è uguale alla somma geometrica dei momenti vettoriali di tutte le forze del sistema rispetto a questo centro:

$$\vec(M_0)(\vec(R)) = \sum_(i=1)^(i=n)\vec(M_(0\,\,i))(\vec(P_i))$$

In effetti, il momento della risultante, tenendo conto Teorema 1 e la definizione analitica della risultante delle forze convergenti sarà pari a:

$$ \vec(M_0)(\vec(R))= \vec(R)\times\vec(r) \,\,\,\;\;\text( , perché ) \vec(M_0 )(\ vec(P)) = (\vec(r) \times \vec(P)) \\ \vec(R)\times\vec(r)= \vec(r)\times\sum_(i= 1)^ (i=n)\vec(P_i) \,\,\,\;\;\text( , perché ) (\vec(P_1), \vec(P_2), \dots, \vec (P_n)) \sim \vec(R) = \sum_(i=1)^(i=n) \vec(P_i) \\ \vec(r)\times\sum_(i=1)^(i= n)\vec(P_i ) = \sum_(i=1)^(i=n)(\vec(r)\times\vec(P_i)) = \sum_(i=1)^(i=n)\ vec(M_(0\ ,\,i))(\vec(P_i)) $$

Per un sistema piano di forze convergenti, la somma geometrica in Teorema di Varignon entra in algebrica:

$$M_0(R)=\sum_(i=1)^(i=n)M_(0\,\,i)(\vec(P_i))$$

Nota

Nella letteratura educativa, il termine “momento” viene utilizzato per denotare sia il momento di una forza che il suo momento vettoriale.

topics/termeh/statics/moment_of_force_relative_to_center.txt · Ultime modifiche: 2013/07/19 19:53 - ¶

Quindi, per l'equilibrio di un corpo fissato su un asse, non è il modulo di forza stesso ad essere importante, ma il prodotto del modulo di forza e la distanza dall'asse alla linea lungo la quale agisce la forza (Fig. 115; si presuppone che la forza giaccia su un piano perpendicolare all'asse di rotazione). Questo prodotto è chiamato momento della forza attorno all'asse o semplicemente momento della forza. La distanza è chiamata leva. Denotando il momento di forza con la lettera , otteniamo

Accettiamo di considerare il momento della forza positivo se questa forza, agendo separatamente, farebbe ruotare il corpo in senso orario, e negativo altrimenti (in questo caso dobbiamo concordare preventivamente da quale parte guarderemo il corpo). Ad esempio, le forze e in Fig. A 116 dovrebbe essere assegnato un momento positivo e forzarne uno negativo.

Riso. 115. Il momento della forza è pari al prodotto del suo modulo e del braccio

Riso. 116. I momenti delle forze e sono positivi, i momenti delle forze sono negativi

Riso. 117. Il momento della forza è uguale al prodotto del modulo della componente della forza e del modulo del raggio vettore

Al momento della forza può essere data un'altra definizione. Disegniamo un segmento diretto da un punto che giace sull'asse nello stesso piano della forza fino al punto di applicazione della forza (Fig. 117). Questo segmento è chiamato raggio vettore del punto di applicazione della forza. Il modulo vettoriale è uguale alla distanza dall'asse al punto di applicazione della forza. Ora costruiamo la componente della forza perpendicolare al raggio vettore. Indichiamo questa componente con . È chiaro dalla figura che , a . Moltiplicando entrambe le espressioni, otteniamo .

Pertanto, il momento della forza può essere rappresentato come

dove è il modulo della componente della forza perpendicolare al raggio vettore del punto di applicazione della forza, è il modulo del raggio vettore. Si noti che il prodotto è numericamente uguale all'area del parallelogramma costruito sui vettori e (Fig. 117). Nella fig. 118 mostra le forze i cui momenti attorno all'asse sono gli stessi. Dalla fig. 119 è chiaro che spostando il punto di applicazione della forza lungo la sua direzione non ne cambia il momento. Se la direzione della forza passa attraverso l'asse di rotazione, l'effetto leva della forza è zero; quindi anche il momento della forza è uguale a zero. Abbiamo visto che in questo caso la forza non provoca la rotazione del corpo: una forza il cui momento attorno ad un dato asse è pari a zero non provoca la rotazione attorno a tale asse.

Riso. 118. Le forze e hanno gli stessi momenti attorno all'asse

Riso. 119. Forze uguali con la stessa spalla hanno momenti uguali attorno all'asse

Utilizzando il concetto di momento di forza possiamo formulare in modo nuovo le condizioni di equilibrio di un corpo fissato su un asse e sotto l'influenza di due forze. Nella condizione di equilibrio espressa dalla formula (76.1), non vi sono altro che le spalle delle forze corrispondenti. Di conseguenza, questa condizione consiste nell'uguaglianza dei valori assoluti dei momenti di entrambe le forze. Inoltre, affinché non avvenga la rotazione, i versi dei momenti devono essere opposti, cioè i momenti devono avere segno diverso. Pertanto, per l'equilibrio di un corpo fissato su un asse, la somma algebrica dei momenti delle forze agenti su di esso deve essere uguale a zero.

Poiché il momento della forza è determinato dal prodotto del modulo di forza per la spalla, otteniamo l'unità del momento della forza prendendo una forza uguale a uno, la cui spalla è anche uguale a uno. Pertanto, l'unità SI del momento di forza è il momento di forza pari a un newton e agente su un braccio di un metro. Si chiama newtonmetro (Nm).

Se un corpo fissato su un asse è sottoposto a più forze, allora, come dimostra l'esperienza, la condizione di equilibrio rimane la stessa che nel caso di due forze: per l'equilibrio di un corpo fissato su un asse, la somma algebrica delle i momenti di tutte le forze agenti sul corpo devono essere pari a zero. Il momento risultante di più momenti agenti su un corpo (momenti componenti) è chiamato somma algebrica dei momenti componenti. Sotto l'azione del momento risultante, il corpo ruoterà attorno all'asse nello stesso modo in cui ruoterebbe sotto l'azione simultanea di tutti i momenti componenti. In particolare, se il momento risultante è nullo, allora il corpo fissato all'asse è fermo oppure ruota uniformemente.

Il momento della forza relativo al punto O è un vettore il cui modulo è uguale al prodotto del modulo della forza e della spalla - la distanza più breve dal punto O alla linea di azione della forza. La direzione del vettore forza momento è perpendicolare al piano passante per il punto e la linea di azione della forza, per cui guardando nella direzione del vettore momento, la rotazione compiuta dalla forza attorno al punto O avviene in senso orario.

Se il raggio vettore è noto punto di applicazione della forza rispetto al punto O, il momento di questa forza rispetto a O è espresso come segue:

Infatti, il modulo di questo prodotto incrociato è:

. (1.9)

Secondo l'immagine, quindi:

Il vettore , come il risultato del prodotto vettoriale, è perpendicolare ai vettori che appartengono al piano Π. La direzione del vettore è tale che, guardando nella direzione di questo vettore, la rotazione più breve avviene in senso orario. In altre parole, vettore completa il sistema di vettori () fino alla terna destra.

Conoscendo le coordinate del punto di applicazione della forza nel sistema di coordinate, la cui origine coincide con il punto O, e la proiezione della forza su questi assi coordinati, il momento della forza può essere determinato come segue:

. (1.11)

Momento di forza attorno all'asse

La proiezione del momento di forza attorno ad un punto su un asse passante per questo punto è chiamata momento di forza attorno all'asse.

Il momento della forza rispetto all'asse si calcola come il momento di proiezione della forza sul piano Π, perpendicolare all'asse, rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano Π:

Il segno del momento è determinato dal senso di rotazione che la forza F⃗ Π tende ad imprimere al corpo. Se, guardando nella direzione dell'asse di Oz, la forza ruota il corpo in senso orario, il momento viene preso con un segno più, altrimenti - meno.

1.2 Enunciazione del problema.

Determinazione delle reazioni degli appoggi e della cerniera C.

1.3 Algoritmo per la risoluzione del problema.

Dividiamo la struttura in parti e consideriamo l'equilibrio di ciascuna struttura.

Consideriamo l'equilibrio dell'intera struttura nel suo insieme. (Fig.1.1)

Creiamo 3 equazioni di equilibrio per l'intera struttura nel suo insieme:

Consideriamo l'equilibrio del lato destro della struttura (Figura 1.2)

Creiamo 3 equazioni di equilibrio per il lato destro della struttura.

Che è uguale al prodotto della forza per la sua spalla.

Il momento della forza si calcola utilizzando la formula:

Dove F- forza, l- spalla di forza.

Spalla del potere- questa è la distanza più breve dalla linea di azione della forza all'asse di rotazione del corpo. La figura seguente mostra un corpo rigido che può ruotare attorno ad un asse. L'asse di rotazione di questo corpo è perpendicolare al piano della figura e passa per il punto indicato con la lettera O. La spalla di forza Piede ecco la distanza l, dall'asse di rotazione alla linea di azione della forza. È definito in questo modo. Il primo passo è tracciare una linea di azione della forza, quindi dal punto O, attraverso il quale passa l'asse di rotazione del corpo, abbassare una perpendicolare alla linea di azione della forza. La lunghezza di questa perpendicolare risulta essere il braccio di una data forza.

Il momento della forza caratterizza l'azione rotatoria di una forza. Questa azione dipende sia dalla forza che dalla leva finanziaria. Più grande è il braccio, minore sarà la forza da applicare per ottenere il risultato desiderato, cioè lo stesso momento di forza (vedi figura sopra). Ecco perché è molto più difficile aprire una porta spingendola vicino ai cardini che afferrando la maniglia, ed è molto più facile svitare un dado con una chiave lunga che con una corta.

L'unità SI del momento della forza è considerata un momento della forza di 1 N, il cui braccio è uguale a 1 m - newton metro (N m).

Regola dei momenti.

Un corpo rigido che può ruotare attorno ad un asse fisso è in equilibrio se il momento della forza M1 ruotandolo in senso orario è uguale al momento della forza M 2 , che lo ruota in senso antiorario:

La regola dei momenti è una conseguenza di uno dei teoremi della meccanica, formulato dallo scienziato francese P. Varignon nel 1687.

Un paio di forze.

Se un corpo è sottoposto a 2 forze uguali e dirette in senso opposto che non giacciono sulla stessa retta, allora tale corpo non è in equilibrio, poiché il momento risultante di queste forze rispetto a qualsiasi asse non è uguale a zero, poiché entrambe le forze hanno momenti diretti nella stessa direzione. Vengono chiamate due di queste forze che agiscono contemporaneamente su un corpo un paio di forze. Se il corpo è fissato su un asse, sotto l'azione di una coppia di forze ruoterà. Se si applicano una coppia di forze a un corpo libero, esso ruoterà attorno al proprio asse. passante per il baricentro del corpo, figura B.

Il momento di una coppia di forze è lo stesso attorno a qualsiasi asse perpendicolare al piano della coppia. Momento totale M coppie è sempre uguale al prodotto di una delle forze F a distanza l tra le forze, che si chiama spalla della coppia, indipendentemente dai segmenti l, e condivide la posizione dell'asse della spalla della coppia:

Il momento di più forze, la cui risultante è zero, sarà lo stesso rispetto a tutti gli assi paralleli tra loro, quindi l'azione di tutte queste forze sul corpo può essere sostituita dall'azione di una coppia di forze con lo stesso momento.