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PIAZZA MAGICA

Un quadrato magico o magico è una tabella quadrata riempita di numeri in modo tale che la somma dei numeri in ogni riga, ogni colonna ed entrambe le diagonali sia la stessa.

La somma dei numeri in ogni riga, colonna e diagonale è detta costante magica M.

La più piccola costante magica di un quadrato magico 3x3 è 15, un quadrato 4x4 è 34, un quadrato 5x5 è 65,

Se le somme dei numeri nel quadrato sono uguali solo in righe e colonne, allora si chiama semi-magia.

Costruire un quadrato magico 3 x 3 con il più piccolo

costante magica

Trova la più piccola costante magica del quadrato magico 3x3

1 modo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Il numero scritto al centro è 15 : 3 = 5

Determinato che nel mezzo è scritto il numero 5.

dove n è il numero di righe

Se riesci a costruire un quadrato magico, non è difficile costruirne un numero qualsiasi. Pertanto, ricorda le tecniche di costruzione

Quadrato magico 3x3 con costante 15.

1 modo costruzione. Metti prima i numeri pari negli angoli

2,4,8,6 e 5. Il resto del processo è semplice aritmetica.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 vie soluzioni

Usando il quadrato magico trovato con una costante di 15, puoi impostare molti compiti diversi:

Esempio. Costruisci nuovi diversi quadrati magici 3 x 3

Decisione.

Sommando ogni numero del quadrato magico, o moltiplicandolo per lo stesso numero, otteniamo un nuovo quadrato magico.

Esempio 1 Costruisci un quadrato magico 3 x 3 il cui numero al centro è 13.

Decisione.

Costruiamo una magia familiare

quadrato con costante 15.

Trova il numero che c'è

al centro del quadrato desiderato

13 – 5 = 8.

Ad ogni numero magico

aggiungere 8 quadrati.

Esempio 2 Riempi le gabbie di magia

quadrati, conoscendo la costante magica.

Decisione. Troviamo il numero

scritto al centro 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

compiti per una soluzione indipendente

Esempi. 1. Riempi le celle dei quadrati magici con la magia

costante M =15.

1) 2) 3)

2. Trova la costante magica dei quadrati magici.

1) 2) 3)

3. Riempi le celle dei quadrati magici, conoscendo la costante magica

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Costruisci un quadrato magico 3x3 sapendo che la costante magica è

uguale a 21.

Decisione. Ricorda come viene costruito un quadrato magico 3x3 secondo il più piccolo

costante 15. I numeri pari sono scritti nei campi estremi

2, 4, 6, 8, e al centro il numero 5 (15 : 3).

Secondo la condizione, è necessario costruire un quadrato secondo la costante magica

21. Al centro del quadrato desiderato dovrebbe esserci il numero 7 (21 : 3).

Troviamo quanto più ogni membro del quadrato desiderato

ogni termine con la più piccola costante magica 7 - 5 = 2.

Costruiamo il quadrato magico richiesto:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Costruisci quadrati magici 3x3 conoscendo le loro costanti magiche

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Costruire un quadrato magico 4 x 4 con il più piccolo

costante magica

Trova la più piccola costante magica di un quadrato magico 4x4

e il numero situato al centro di questo quadrato.

1 modo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

dove n è il numero di righe n = 4.

La somma dei numeri su qualsiasi orizzontale,

verticale e diagonale è 34.

Questo importo si verifica anche in tutti

quadrati d'angolo 2×2, al centro

quadrato (10+11+6+7), quadrato da

celle d'angolo (16+13+4+1).

Per costruire qualsiasi quadrato magico 4x4, devi: costruirne uno

con la costante 34.

Esempio. Costruisci nuovi diversi quadrati magici 4 x 4.

Decisione.

Sommando ogni numero trovato

quadrato magico 4 x 4 o

moltiplicandolo per lo stesso numero,

ottenere un nuovo quadrato magico.

Esempio. Costruisci un magico

un quadrato 4 x 4 che ha una magia

la costante è 46.

Decisione. Costruito un magico familiare

quadrato con costante 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Ad ogni numero del quadrato magico

aggiungiamo 3.

Prima di procedere a risolvere esempi più complessi su quadrati magici 4 x 4, ricontrolla le proprietà che ha se M = 34.

Esempi. 1. Riempi di magia le celle del quadrato magico

costante M = 38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

proprietà 1,3,1 proprietà 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

proprietà 1,1,1,1

Risposta.

Compiti per soluzione indipendente

Riempi le caselle del quadrato magico con se la magia è nota

costante

K = 46 K = 58 K = 62

Incontra i quadrati magici 5x5 e 6x6

Esistono diverse classificazioni dei quadrati magici.

quinto ordine, progettato per sistematizzarli in qualche modo. Nel libro

Martin Gardner [GM90, pp. 244-345] descrive uno di questi metodi -

secondo il numero nella piazza centrale. Il metodo è curioso, ma niente di più.

Non si sa ancora quanti quadrati del sesto ordine esistano, ma sono circa 1,77 x 1019. Il numero è enorme, quindi non c'è speranza di contarli usando una ricerca esaustiva, ma nessuno potrebbe trovare una formula per calcolare i quadrati magici.

Come fare un quadrato magico?

Ci sono molti modi per costruire quadrati magici. Il modo più semplice per creare quadrati magici ordine dispari. Useremo il metodo proposto dallo scienziato francese del XVII secolo A. de la Louber (De La Loubère). Si basa su cinque regole, il cui funzionamento considereremo sul quadrato magico più semplice 3 x 3 celle.

Regola 1. Metti 1 nella colonna centrale della prima riga (Fig. 5.7).

Riso. 5.7. Primo numero

Regola 2. Metti il numero successivo, se possibile, nella cella adiacente a quella corrente diagonalmente a destra e sopra (Fig. 5.8).

Riso. 5.8. Cercando di inserire il secondo numero

Regola 3. Se la nuova cella va oltre il quadrato sopra, scrivi il numero nell'ultima riga e nella colonna successiva (Fig. 5.9).

Riso. 5.9. Mettiamo il secondo numero

Regola 4. Se la cella va oltre il quadrato a destra, scrivi il numero nella primissima colonna e nella riga precedente (Fig. 5.10).

Riso. 5.10. Mettiamo il terzo numero

Regola 5. Se la cella è già occupata, annota il numero successivo sotto la cella corrente (Fig. 5.11).

Riso. 5.11. Mettiamo il quarto numero

Riso. 5.12. Mettiamo il quinto e il sesto numero

Segui di nuovo le regole 3, 4, 5 fino a completare l'intero quadrato (Fig.

Non è vero, le regole sono molto semplici e chiare, ma è ancora piuttosto noioso organizzare anche 9 numeri. Tuttavia, conoscendo l'algoritmo per la costruzione dei quadrati magici, possiamo facilmente affidare al computer tutto il lavoro di routine, lasciandoci solo il lavoro creativo, cioè la scrittura di un programma.

Riso. 5.13. Completa il quadrato con i seguenti numeri

Progetto Quadrati magici (Magia)

Campo impostato per il programma quadrati magici abbastanza ovvio:

// PROGRAMMA PER LA GENERAZIONE

// STRANO QUADRATO MAGICO

// CON IL METODO DE LA LOUBERT

classe parziale pubblica Form1 : Form

//Max. dimensioni del quadrato: const int MAX_SIZE = 27; //var

intero=0; // ordine quadrato int [,] mq; // quadrato magico

numero intero=0; // numero corrente al quadrato

intcol=0; // colonna corrente int row=0; // riga corrente

Il metodo de la Louber è adatto per realizzare quadrati dispari di qualsiasi dimensione, quindi possiamo lasciare all'utente la scelta dell'ordine del quadrato, limitando ragionevolmente la libertà di scelta a 27 celle.

Dopo che l'utente ha premuto l'ambito pulsante btnGen Generate! , il metodo btnGen_Click crea un array per memorizzare i numeri e passa al metodo generate:

// PREMERE IL PULSANTE "GENERA".

private void btnGen_Click(mittente oggetto, EventArgs e)

//ordine del quadrato:

n = (int)udNum.Valore;

//crea un array:

mq = nuovo int ;

//genera il quadrato magico: generate();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Qui iniziamo ad agire secondo le regole di de la Louber e scriviamo il primo numero - uno - nella cella centrale della prima riga del quadrato (o array, se preferite):

//Genera il quadrato magico void generate()(

//primo numero: numero=1;

//colonna per il primo numero - al centro: col = n / 2 + 1;

//riga per il primo numero - il primo: riga=1;

//quadralo: mq= numero;

Ora aggiungiamo in sequenza il resto delle celle nelle celle - da due a n * n:

// passa al numero successivo:

Ricordiamo, per ogni evenienza, le coordinate della cella attuale

int tc=col; int tr = riga;

e passare alla cella successiva in diagonale:

Verifichiamo l'implementazione della terza regola:

se (riga< 1) row= n;

E poi il quarto:

if (col > n) ( col=1;

vai alla regola3;

E quinto:

if (mq != 0) ( col=tc;

riga=tr+1; vai alla regola3;

Come facciamo a sapere che c'è già un numero nella cella del quadrato? - Molto semplice: abbiamo prudentemente scritto zeri in tutte le celle e i numeri nel quadrato finito sono maggiori di zero. Quindi, in base al valore dell'elemento dell'array, determineremo immediatamente se la cella è vuota o già con un numero! Tieni presente che qui abbiamo bisogno di quelle coordinate di cella che abbiamo ricordato prima di cercare la cella per il numero successivo.

Prima o poi, troveremo una cella adatta per il numero e la scriveremo nella corrispondente cella dell'array:

//quadralo: mq = numero;

Provare un altro modo per organizzare la verifica dell'ammissibilità del passaggio al

wow cellulare!

Se questo numero era l'ultimo, il programma ha adempiuto ai suoi obblighi, altrimenti procede volontariamente a fornire alla cella il seguente numero:

//se non tutti i numeri sono impostati, allora if (number< n*n)

//vai al numero successivo: goto nextNumber;

E ora la piazza è pronta! Calcoliamo la sua somma magica e la stampiamo sullo schermo:

) //creare()

Stampare gli elementi di un array è molto semplice, ma è importante tenere conto dell'allineamento di numeri di diversa "lunghezza", perché un quadrato può contenere numeri a una, due e tre cifre:

//Stampa il quadrato magico void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Colore .Nero;

stringa s = "Somma magica =" + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// stampa il quadrato magico: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

per (int j= 1; j<= n; ++j){

se (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Lanciamo il programma: i quadrati si ottengono rapidamente e sono una gioia per gli occhi (Fig.

Riso. 5.14. Un bel quadrato!

Nel libro di S. Goodman, S. Hidetniemi Introduzione allo sviluppo e all'analisi di algoritmi

mov , alle pagine 297-299 troveremo lo stesso algoritmo, ma in una presentazione "ridotta". Non è così "trasparente" come la nostra versione, ma funziona correttamente.

Aggiungi un pulsante btnGen2 Genera 2! e scrivere l'algoritmo nella lingua

Do diesis al metodo btnGen2_Click:

//Algoritmo ODDMS

private void btnGen2_Click(mittente oggetto, EventArgs e)

//ordine del quadrato: n = (int )udNum.Value;

//crea un array:

mq = nuovo int ;

//genera il quadrato magico: int row = 1;

int colonna = (n+1)/2;

per (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = io; se (i % n == 0)

if (riga == 1) riga = n;

if (col == n) col = 1;

//quadrato completato: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Facciamo clic sul pulsante e ci assicuriamo che vengano generati i “nostri” quadrati (Fig.

Riso. 5.15. Vecchio algoritmo in una nuova veste

Istituto scolastico municipale "Gymnasium n. 41"

quadrati magici

Supervisore: ,

insegnante di matematica

Novouralsk, 2012

Introduzione 3

1. Informazioni generali sui quadrati magici 4

1.1. Concetto di quadrato magico 4

1.2. Dalla storia dei quadrati magici 4

1.3. Tipi di quadrati magici 6

2. Risolvere quadrati magici 6

2.1. Risolvere i quadrati magici (metodo di Bachet de Mezirac) 7

2.2. Dichiarazione del problema 8

2.3. Algoritmo per la risoluzione dei quadrati magici 8

2.4. Dimostrazione dell'algoritmo (in forma algebrica) 9

2.5. Un esempio di risoluzione di un quadrato magico usando l'algoritmo 10

3. Usare i quadrati magici 11

3.1. Vari casi di generalizzazione dei quadrati magici 11

3.2. Applicazione dei quadrati latini 12

4. Conclusioni generali 13

5. Conclusione 14

6. Riferimenti 15

Appendice 1

Appendice 2

Allegato 3

introduzione

Nelle lezioni del cerchio matematico abbiamo incontrato problemi legati al riempimento delle celle del quadrato secondo regole speciali. I numeri proposti dovevano essere inseriti in modo che il risultato soddisfacesse diverse condizioni contemporaneamente:

Se sommi tutti i numeri in ogni riga,

Se sommi tutti i numeri in ogni colonna,

Se sommi tutti i numeri in due diagonali,

quindi tutte queste somme saranno uguali allo stesso numero.

Nonostante il fatto che i problemi differissero nei numeri iniziali, nell'ordine dei numeri, nella somma data, erano tutti simili e le soluzioni erano dello stesso tipo.

L'idea è nata non solo per risolvere ogni compito, ma anche per elaborare un algoritmo di soluzione generale, nonché per trovare informazioni storiche su problemi di questo tipo in letteratura.

Si è scoperto che le figure che ci interessano sono chiamate quadrati magici, conosciuti fin dall'antichità. Saranno discussi nel lavoro.

Scopo del lavoro: sistematizzare le informazioni sui quadrati magici, sviluppare un algoritmo per risolverli.

Compiti:

1. Studia la storia dell'emergere dei quadrati magici.

2. Identificare i tipi di quadrati magici.

3. Impara a risolvere i quadrati magici.

4. Sviluppa e dimostra il tuo algoritmo di soluzione.

5. Determinare l'uso dei quadrati magici.

1. Informazioni generali sui quadrati magici

1.1. Il concetto di un quadrato magico

I quadrati magici sono molto popolari anche oggi. Questi sono quadrati, in ogni cella di cui i numeri sono inscritti in modo che le somme dei numeri lungo qualsiasi orizzontale, qualsiasi verticale e qualsiasi diagonale siano uguali. Il più famoso è il quadrato magico raffigurato sull'incisione dell'artista tedesco A. Dürer "Melancholia" (Appendice 1).

1.2. Dalla storia dei quadrati magici

I numeri sono entrati così tanto nella vita di una persona che hanno iniziato ad attribuire loro ogni sorta di proprietà magiche. Già diverse migliaia di anni fa nell'antica Cina, furono portati via disegnando quadrati magici. Durante gli scavi archeologici in Cina e in India sono stati trovati amuleti quadrati. Il quadrato era diviso in nove quadratini, in ciascuno dei quali erano scritti i numeri da 1 a 9. È notevole che le somme di tutti i numeri in qualsiasi verticale, orizzontale e diagonale fossero uguali allo stesso numero 15 (Figura 1).

Immagine 1.

I quadrati magici erano molto popolari nel Medioevo. Uno dei quadrati magici è raffigurato nell'incisione del famoso artista tedesco Albrecht Dürer, "Melancholia". Le 16 celle del quadrato contengono numeri da 1 a 16 e la somma dei numeri in tutte le direzioni è 34. È curioso che i due numeri al centro della riga inferiore indichino l'anno in cui è stata creata l'immagine: 1514. Ottenere i quadrati magici erano un passatempo popolare tra i matematici, venivano creati enormi quadrati , ad esempio 43x43, contenenti numeri da 1 a 1849, e oltre alle proprietà indicate dei quadrati magici, hanno anche molte proprietà aggiuntive. Sono stati escogitati modi per costruire quadrati magici di qualsiasi dimensione, ma finora non è stata trovata alcuna formula con cui si possa trovare il numero di quadrati magici di una data dimensione. È noto, e puoi facilmente dimostrarlo tu stesso, che non ci sono quadrati magici 2x2, esiste esattamente un quadrato magico 3x3, il resto di tali quadrati è ottenuto da esso mediante rotazioni e simmetrie. Esistono già 800 quadrati magici 4x4 e il numero di quadrati 5x5 è vicino a un quarto di milione.

1.3. Tipi di quadrati magici

Magico(quadrato magico) n 2 numeri in modo tale che la somma dei numeri in ogni riga, ogni colonna ed entrambe le diagonali sia la stessa.

quadrato semi-magicoè un tavolo quadrato nxn pieno di n 2 numeri in modo tale che le somme dei numeri siano uguali solo in righe e colonne.

Normaleè un quadrato magico pieno di numeri interi da 1 a n 2.

Associativo (simmetrico) - quadrato magico, in cui la somma di due numeri situati simmetricamente attorno al centro del quadrato è uguale a n 2 + 1.

Quadrato magico diabolico (pandiagonale).- un quadrato magico, in cui anche le somme dei numeri lungo le diagonali spezzate (le diagonali che si formano quando il quadrato è piegato in un toro) in entrambe le direzioni coincidono con la costante magica.

Ci sono 48 Devil Magic Squares 4x4, precisi per rotazioni e riflessi. Se prendiamo in considerazione anche la loro simmetria aggiuntiva - traduzioni parallele toriche, rimarranno solo 3 quadrati essenzialmente diversi (Figura 2).

Figura 2.

I quadrati pandiagonali del quarto ordine hanno un numero di proprietà aggiuntive per le quali sono chiamati impegnato. I quadrati perfetti di ordine dispari non esistono. Tra i quadrati pandiagonali di doppia parità sopra il 4 ce ne sono di perfetti.

I quadrati pandiagonali del quinto ordine sono 3600. Tenendo conto delle traslazioni toriche parallele, ci sono 144 diversi quadrati pandiagonali.

2.Soluzione dei quadrati magici

2.1 Soluzione dei quadrati magici (metodo di Bacher de Mezirac)

Le regole per la costruzione dei quadrati magici si dividono in tre categorie, a seconda che l'ordine del quadrato sia dispari, uguale a due volte un numero dispari o uguale a quattro volte un numero dispari. Il metodo generale per costruire tutti i quadrati è sconosciuto, sebbene siano ampiamente utilizzati vari schemi. È possibile trovare tutti i quadrati magici di ordine n solo per n ≤ 4.

Per risolvere normali quadrati magici di dimensioni arbitrariamente grandi, usiamo il metodo descritto nel 1612 dal matematico francese Claude Bachet de Mezirac. Una traduzione russa del suo libro fu pubblicata a San Pietroburgo nel 1877 con il titolo "Giochi e problemi basati sulla matematica".

È conveniente costruire un quadrato magico su carta a quadretti. Sia n un numero dispari e devi costruire un quadrato nxn con numeri da 1 a n2, agiamo passo dopo passo.

1. Scriviamo tutti i numeri da 1 a n2 nelle celle in diagonale (n numeri di fila) per formare un quadrato diagonale.

2. Seleziona un quadrato nxn al centro. Questa è la base (non tutte le celle sono ancora piene) del futuro quadrato magico.

3. Ogni "angolo" numerico situato all'esterno del quadrato centrale viene trasferito con cura verso l'interno, sul lato opposto del quadrato. I numeri di questi angoli dovrebbero riempire tutte le celle vuote. Il quadrato magico è costruito.

Facciamo un esempio di riempimento di un quadrato 3x3 con numeri da 1 a 9. Per fare ciò, aggiungi ulteriori celle al quadrato per ottenere diagonali. Innanzitutto, riempi le celle diagonali con i numeri da 1 a 9 (Figura 3), quindi "piega gli angoli" nelle celle vuote del quadrato verso l'interno sul lato opposto (Figura 4).

Figura 3. Figura 4.

2.2. Formulazione del problema.

Descriviamo il nostro modo di risolvere i quadrati magici. Soffermiamoci sullo studio del modello matematico dei quadrati magici 3x3.

Formulazione generale del problema.

Ci sono nove numeri. È necessario disporli in celle di un quadrato 3x3, in modo che le somme dei numeri lungo qualsiasi linea verticale, orizzontale e diagonale siano uguali.

2.3. Algoritmo del quadrato magico

Descrizione verbale dell'algoritmo

1. Ordina i numeri in ordine crescente.

2. Trova il numero centrale (quinto in ordine).

3. Determina le coppie secondo la regola: 1 coppia - il primo numero e il nono,

2 coppie - il secondo numero e l'ottavo,

3 coppie - il terzo numero e il settimo,

4 coppie: il quarto numero e il sesto.

4. Scopri la somma dei numeri (S), che dovrebbe essere ottenuta sommando i numeri lungo ogni diagonale verticale, orizzontale,: aggiungi il numero più piccolo, centrale, più grande, cioè il numero 1 della coppia con il numero centrale.

5. Metti il numero centrale al centro del quadrato.

6. Sul centro orizzontale (o verticale) nelle celle libere, inserisci la prima coppia di numeri.

7. Scrivi la seconda coppia di numeri lungo qualsiasi diagonale (in modo che il numero più grande della prima coppia sia nella colonna con il numero più piccolo della seconda coppia).

8. Calcolare il numero da scrivere in una delle colonne estreme, secondo la regola:

da S sottrai la somma dei due numeri contenuti nelle celle della colonna, ottieni il numero.

9. In diagonale rispetto al numero risultante, annota il secondo numero della sua coppia.

10. Inserisci l'ultima coppia di numeri nelle celle rimanenti secondo la regola: inserisci il numero più grande dalla coppia nella riga con quello più piccolo e il numero più piccolo nella cella vuota rimanente.

2.4. Prova della correttezza del riempimento del quadrato magico

(Risoluzione del problema in forma generale)

Dimostreremo che le somme dei numeri situati lungo le verticali, le orizzontali e le diagonali del quadrato come risultato dell'algoritmo saranno uguali.

Lascia che dopo l'ordinamento, ogni numero successivo differisca dal precedente per un valore costante X. Esprimiamo tutti i numeri in termini di a1(numero più piccolo) e X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

un9 = un1 +8 X.

Troviamo la somma S ed esprimerlo in termini di numeri a1 e X: S= un1 + un5 + un9 =3 un1 +12 X.

Lascia che il quadrato magico sia riempito secondo l'algoritmo proposto.

Dimostriamo che le somme dei numeri situati lungo l'orizzontale, la verticale e la diagonale del quadrato sono uguali a S.

Verticalmente:

SI1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=SI

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Orizzontalmente:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Diagonalmente:

S7=la4+la5+la6=la1+la1+la1+3x+4x+5x=3a1+12x=SI

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3un1 +12x=S

Abbiamo ricevuto lo stesso importo. L'affermazione è stata dimostrata.

Nota.

I numeri organizzati in questo modo formano una progressione aritmetica. In questa sequenza (dopo l'ordinamento), a1 è il primo membro della progressione aritmetica, x è la differenza della progressione aritmetica. Per i numeri che non costituiscono una progressione aritmetica, l'algoritmo non funziona.

2.5. Un esempio di risoluzione dei quadrati magici

Numeri dati: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Riempi il quadrato magico con i numeri dati.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Ho il numero centrale 5.

3. Coppie: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6.

4.S=5+1+9= 15 - somma.

8. 15-(9+2)=4

Questo algoritmo differisce significativamente dal metodo Bachet de Meziriac. Da un lato richiede calcoli aggiuntivi (uno svantaggio del metodo), dall'altro il nostro metodo non richiede costruzioni aggiuntive (quadrato diagonale). Inoltre, il metodo è applicabile non solo ai numeri naturali consecutivi da 1 a 9, ma anche a nove numeri qualsiasi che sono membri di una progressione aritmetica, in cui vediamo i suoi vantaggi. Inoltre, viene determinata automaticamente una costante magica: la somma dei numeri lungo ciascuna diagonale, verticale, orizzontale.

3. Usare i quadrati magici

3.1. Vari casi di generalizzazione dei quadrati magici

I problemi di compilazione e descrizione dei quadrati magici hanno interessato i matematici fin dai tempi antichi. Tuttavia, fino ad oggi non è stata ottenuta una descrizione completa di tutte le pietre miliari dei possibili quadrati magici. All'aumentare della dimensione (numero di celle) del quadrato, il numero di possibili quadrati magici cresce rapidamente. Tra le grandi piazze ci sono piazze con proprietà interessanti. Ad esempio, nel quadrato della figura n. 5, non solo le somme dei numeri in righe, colonne e diagonali sono uguali, ma anche le somme dei cinque lungo le diagonali "rotte" collegate nella figura da linee colorate.

Figura 5. Figura 6.

Il quadrato latino è un quadrato di n x n celle in cui i numeri 1, 2, ..., n sono scritti, inoltre, in modo tale che tutti questi numeri ricorrano una volta per riga e per colonna. Su (figura 6) sono mostrati due di questi quadrati latini 4x4. Hanno una caratteristica interessante: se un quadrato è sovrapposto a un altro, tutte le coppie dei numeri risultanti risultano diverse. Tali coppie di quadrati latini sono chiamate ortogonali. Il compito di trovare quadrati latini ortogonali fu stabilito per la prima volta da L. Euler, e in una formulazione così divertente: “Tra 36 ufficiali, ci sono ugualmente lancieri, dragoni, ussari, corazzieri, guardie di cavalleria e granatieri, e inoltre, ugualmente generali, colonnelli, maggiori, capitani, luogotenenti e sottotenenti, e ogni ramo di servizio è rappresentato da ufficiali di tutti e sei i gradi. È possibile disporre questi ufficiali in un quadrato 6x6 in modo che gli ufficiali di tutti i gradi si incontrino in qualsiasi colonna? (Appendice 2).

L. Eulero non è riuscito a trovare una soluzione a questo problema. Nel 1901 fu dimostrato che tale soluzione non esiste.

3.2. Applicazione dei quadrati latini

I quadrati magici e latini sono parenti stretti. La teoria dei quadrati latini ha trovato numerose applicazioni, sia nella matematica stessa che nelle sue applicazioni. Facciamo un esempio. Supponiamo di voler testare la produttività di due varietà di grano in una data area e di voler tenere conto dell'influenza del grado di scarsità delle colture e dell'influenza di due tipi di fertilizzanti. Per fare ciò, dividiamo la sezione quadrata in 16 parti uguali (Figura 7). Pianteremo la prima varietà di grano sugli appezzamenti corrispondenti alla fascia orizzontale inferiore, pianteremo la varietà successiva su quattro appezzamenti corrispondenti alla fascia successiva, ecc. (nella figura la varietà è indicata dal colore.)

Agricoltura" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">agricoltura, fisica, chimica e tecnologia.

4. Conclusioni generali

Nel corso del lavoro ho conosciuto vari tipi di quadrati magici, ho imparato a risolvere normali quadrati magici usando il metodo Bachet de Mezirac. Poiché la nostra soluzione dei quadrati magici 3x3 differiva dal metodo specificato, ma ogni volta che ci permetteva di riempire correttamente le celle del quadrato, è nato il desiderio di sviluppare il nostro algoritmo. Questo algoritmo è descritto in dettaglio nel lavoro, dimostrato in forma algebrica. Si è scoperto che si applica non solo ai quadrati normali, ma anche ai quadrati 3x3, dove i numeri formano una progressione aritmetica. Siamo anche riusciti a trovare esempi dell'uso della magia e dei quadrati latini.

Ho imparato a: risolvere alcuni quadrati magici, sviluppare e descrivere algoritmi, dimostrare affermazioni in forma algebrica. Ho imparato nuovi concetti: progressione aritmetica, quadrato magico, costante magica, studiato i tipi di quadrati.

Sfortunatamente, né il mio algoritmo sviluppato né il metodo di Bachet de Mezirac possono risolvere quadrati magici 4x4. Pertanto, ho voluto sviluppare ulteriormente un algoritmo per risolvere tali quadrati.

5. Conclusione

In questo lavoro sono stati studiati i quadrati magici, è stata considerata la storia della loro origine. Sono stati definiti i tipi di quadrati magici: quadrato magico o magico, quadrato semi-magico, normale, associativo, quadrato magico diabolico, perfetto.

Tra i metodi esistenti per risolverli, è stato scelto il metodo Basche de Meziriac, testato su esempi. Inoltre, per risolvere i quadrati magici 3x3, viene proposto un proprio algoritmo di soluzione e viene fornita una dimostrazione matematica in forma algebrica.

L'algoritmo proposto differisce significativamente dal metodo Bacher de Meziriac. Da un lato richiede calcoli aggiuntivi (uno svantaggio del metodo), dall'altro non sono necessarie costruzioni aggiuntive. Il metodo è applicabile non solo ai numeri naturali consecutivi da 1 a 9, ma anche a nove numeri qualsiasi che sono membri di una progressione aritmetica, in cui vediamo i suoi vantaggi. Inoltre, viene determinata automaticamente una costante magica: la somma dei numeri lungo ciascuna diagonale, verticale, orizzontale.

L'articolo presenta una generalizzazione dei quadrati magici - quadrati latini e ne descrive l'applicazione pratica.

Questo lavoro può essere utilizzato nelle lezioni di matematica come materiale aggiuntivo, così come in classe e nel lavoro individuale con gli studenti.

6. Riferimenti

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3. Enciclopedia per bambini. T11. Matematica / Cap. ed. - M.: Avanta +, 2000 - 688s.: ill.

4. Conosco il mondo: Enciclopedia per bambini: Matematica / Comp. - e altri - M.: AST, 1996. - 480s.: riprod.

QUADRATO MAGICO, una tabella quadrata di numeri interi in cui le somme dei numeri lungo qualsiasi riga, qualsiasi colonna e qualsiasi delle due diagonali principali sono uguali allo stesso numero.

Il quadrato magico è di antica origine cinese. Secondo la leggenda, durante il regno dell'imperatore Yu (2200 a.C. circa), una tartaruga sacra emerse dalle acque del Fiume Giallo, sul cui guscio erano incisi misteriosi geroglifici (Fig. 1, un), e questi segni sono conosciuti come lo-shu e sono equivalenti al quadrato magico mostrato in fig. uno, b. Nell'XI secolo hanno appreso dei quadrati magici in India e poi in Giappone, dove nel XVI secolo. I quadrati magici sono stati oggetto di una vasta letteratura. Ha introdotto gli europei ai quadrati magici nel XV secolo. Scrittore bizantino E. Moskhopoulos. Il primo quadrato inventato da un europeo è il quadrato di A. Durer (Fig. 2), raffigurato nella sua famosa incisione Malinconia 1. La data dell'incisione (1514) è indicata dai numeri nelle due celle centrali dell'ultima riga. Varie proprietà mistiche sono state attribuite ai quadrati magici. Nel XVI secolo Cornelius Heinrich Agrippa costruì quadrati del 3°, 4°, 5°, 6°, 7°, 8° e 9° ordine, che erano associati all'astrologia dei 7 pianeti. Si credeva che un quadrato magico inciso su argento proteggesse dalla peste. Ancora oggi, tra gli attributi degli indovini europei, si possono vedere i quadrati magici.

Nel XIX e XX secolo l'interesse per i quadrati magici divampò con rinnovato vigore. Cominciarono a essere studiati usando i metodi dell'algebra superiore e del calcolo operativo.

Ogni elemento del quadrato magico è chiamato cella. Un quadrato il cui lato è n cellule, contiene n 2 celle ed è chiamato quadrato n-esimo ordine. La maggior parte dei quadrati magici usa il primo n numeri naturali consecutivi. Somma S numeri in ogni riga, ogni colonna e su ogni diagonale è chiamata la costante del quadrato ed è uguale a S = n(n 2+1)/2. Dimostrato che n i 3. Per un quadrato di ordine 3 S= 15, 4° ordine - S= 34, 5° ordine - S = 65.

Le due diagonali passanti per il centro del quadrato si chiamano diagonali principali. Una linea spezzata è una diagonale che, raggiunto il bordo del quadrato, prosegue parallela al primo segmento dal bordo opposto (tale diagonale è formata dalle celle ombreggiate in Fig. 3). Le celle simmetriche rispetto al centro del quadrato sono chiamate antisimmetriche. Ad esempio, celle un e b nella fig. 3.

I quadrati magici di ordine dispari possono essere costruiti utilizzando il metodo di un geometra francese del XVII secolo. A. de la Lubera. Considera questo metodo usando l'esempio di un quadrato di 5° ordine (Fig. 4). Il numero 1 è posto nella cella centrale della riga superiore. Tutti i numeri naturali sono disposti in ordine naturale ciclicamente dal basso verso l'alto nelle celle delle diagonali da destra a sinistra. Raggiunto il bordo superiore del quadrato (come nel caso del numero 1), continuiamo a riempire la diagonale partendo dalla cella inferiore della colonna successiva. Raggiunto il bordo destro del quadrato (numero 3), continuiamo a riempire la diagonale proveniente dalla cella sinistra con la linea in alto. Dopo aver raggiunto una cella piena (numero 5) o un angolo (numero 15), la traiettoria scende di una cella verso il basso, dopodiché il processo di riempimento continua.

Il metodo di F. de la Ira (1640-1718) si basa su due quadrati originali. Sulla fig. La Figura 5 mostra come viene costruito un quadrato del 5° ordine utilizzando questo metodo. I numeri da 1 a 5 vengono inseriti nella cella del primo quadrato in modo che il numero 3 si ripeta nelle celle della diagonale principale salendo a destra, e non un solo numero si presenti due volte in una riga o in una colonna. Facciamo lo stesso con i numeri 0, 5, 10, 15, 20 con la sola differenza che il numero 10 ora si ripete nelle celle della diagonale principale andando dall'alto verso il basso (Fig. 5, b). La somma cella per cella di questi due quadrati (Fig. 5, in) forma un quadrato magico. Questo metodo è utilizzato anche nella costruzione di quadrati di ordine pari.

Se si conosce un metodo per costruire quadrati di ordine m e ordine n, allora possiamo costruire un quadrato di ordine mґ n. L'essenza di questo metodo è mostrata in Fig. 6. Qui m= 3 e n= 3. Con il metodo di de la Louber si costruisce un quadrato di terzo ordine più grande (con numeri primi). Il quadrato con il numero 1ў (la cella centrale della riga superiore) è inscritto in un quadrato del 3° ordine dai numeri da 1 a 9, anch'esso costruito con il metodo de la Louber. Un quadrato del 3° ordine con numeri da 10 a 18 viene inserito nella cella con il numero 2ў (a destra nella riga inferiore); in una cella con il numero 3ў - un quadrato di numeri da 19 a 27, ecc. Di conseguenza, otteniamo un quadrato del nono ordine. Tali quadrati sono chiamati compositi.

introduzione

I grandi scienziati dell'antichità consideravano le relazioni quantitative la base dell'essenza del mondo. Pertanto, i numeri e i loro rapporti occupavano le più grandi menti dell'umanità. "Nei giorni della mia giovinezza, nel tempo libero mi divertivo a creare ... quadrati magici", ha scritto Benjamin Franklin. Un quadrato magico è un quadrato la cui somma dei numeri in ciascuna riga orizzontale, in ciascuna riga verticale e lungo ciascuna delle diagonali è la stessa.

Alcuni eminenti matematici hanno dedicato le loro opere ai quadrati magici ei loro risultati hanno influenzato lo sviluppo di gruppi, strutture, quadrati latini, determinanti, partizioni, matrici, confronti e altre sezioni non banali della matematica.

Lo scopo di questo saggio è introdurre vari quadrati magici, quadrati latini e studiare le loro aree di applicazione.

quadrati magici

Fino ad oggi non è stata ottenuta una descrizione completa di tutti i possibili quadrati magici. Non ci sono quadrati magici 2x2. C'è un solo quadrato magico 3x3, poiché il resto dei quadrati magici 3x3 sono ottenuti da esso o per rotazione attorno al centro o per riflessione attorno a uno dei suoi assi di simmetria.

Esistono 8 modi diversi per disporre i numeri naturali da 1 a 9 in un quadrato magico 3x3:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

In un quadrato magico 3x3, la costante magica 15 deve essere uguale alla somma di tre numeri in 8 direzioni: 3 righe, 3 colonne e 2 diagonali. Poiché il numero al centro appartiene a 1 riga, 1 colonna e 2 diagonali, è incluso in 4 delle 8 triple, che si sommano alla costante magica. Esiste un solo numero di questo tipo: è 5. Pertanto, il numero al centro del quadrato magico 3x3 è già noto: è uguale a 5.

Considera il numero 9. È incluso solo in 2 terzine di numeri. Non possiamo metterlo in un angolo, poiché ogni cella d'angolo appartiene a 3 triple: una riga, una colonna e una diagonale. Pertanto, il numero 9 deve trovarsi in una cella adiacente al lato del quadrato al centro. A causa della simmetria del quadrato, non importa quale lato scegliamo, quindi scriviamo 9 sopra il numero 5 nella casella centrale. Su entrambi i lati del nove nella riga superiore, possiamo inserire solo i numeri 2 e 4. Quale di questi due numeri sarà nell'angolo in alto a destra e quale a sinistra, ancora una volta, non ha importanza, poiché una disposizione di i numeri vanno in un altro quando vengono specchiati. Le celle rimanenti vengono compilate automaticamente. La nostra semplice costruzione di un quadrato magico 3x3 dimostra la sua unicità.

Un tale quadrato magico era un simbolo di grande importanza tra gli antichi cinesi. Il numero 5 al centro significava la terra, e attorno ad esso in stretto equilibrio c'erano il fuoco (2 e 7), l'acqua (1 e 6),

legno (3 e 8), metallo (4 e 9).

All'aumentare della dimensione del quadrato (il numero di celle), il numero di possibili quadrati magici di quella dimensione cresce rapidamente. Ci sono 880 quadrati magici di ordine 4 e 275.305.224 quadrati magici di ordine 5. Inoltre, i quadrati 5x5 erano conosciuti nel Medioevo. I musulmani, ad esempio, erano molto riverenti nei confronti di un tale quadrato con il numero 1 al centro, considerandolo un simbolo dell'unità di Allah.

Quadrato magico di Pitagora

Il grande scienziato Pitagora, che fondò la dottrina religiosa e filosofica, che proclamava le relazioni quantitative come base dell'essenza delle cose, credeva che l'essenza di una persona risieda anche nel numero: la data di nascita. Pertanto, con l'aiuto del quadrato magico di Pitagora, si può conoscere il carattere di una persona, il grado di salute rilasciato e le sue potenzialità, rivelare i vantaggi e gli svantaggi e quindi identificare cosa si dovrebbe fare per migliorarlo.

Per capire cos'è il quadrato magico di Pitagora e come vengono calcolati i suoi indicatori, lo calcolerò usando il mio esempio. E per assicurarmi che i risultati del calcolo corrispondano davvero al vero carattere di questa o quella persona, lo verificherò prima su me stesso. Per fare questo, farò il calcolo in base alla mia data di nascita. Quindi, la mia data di nascita è il 20/08/1986. Sommiamo i numeri del giorno, mese e anno di nascita (zero esclusi): 2+8+1+9+8+6=34. Successivamente, aggiungi i numeri del risultato: 3 + 4 = 7. Quindi dalla prima somma sottraiamo la prima cifra raddoppiata del compleanno: 34-4=30. E ancora aggiungi i numeri dell'ultimo numero:

3+0=3. Resta da fare le ultime addizioni - la 1a e 3a e la 2a e 4a somma: 34+30=64, 7+3=10. Abbiamo ricevuto i numeri 20/08/1986,34,7,30, 64,10.

e componi un quadrato magico in modo che tutte le unità di questi numeri siano incluse nella cella 1, tutti i due siano nella cella 2, ecc. Gli zeri non vengono presi in considerazione. Di conseguenza, il mio quadrato sarà simile a questo:

Le celle del quadrato significano quanto segue:

Cella 1: intenzionalità, volontà, perseveranza, egoismo.

1 - egoisti completi, sforzati di ottenere il massimo beneficio da ogni situazione.
11 - un personaggio vicino all'egoista.
111 - "mezzo aureo". Il personaggio è calmo, flessibile, socievole.
1111 - persone dal carattere forte, volitive. Gli uomini con un tale carattere sono adatti per il ruolo di professionisti militari e le donne tengono la loro famiglia in pugno.
11111 - dittatore, tiranno.
111111 - una persona crudele, capace di fare l'impossibile; spesso cade sotto l'influenza di qualche idea.

Cella 2 - bioenergetica, emotività, sincerità, sensualità. Il numero di due determina il livello di bioenergetica.

Non ci sono due: è aperto un canale per un set intensivo di bioenergetica. Queste persone sono istruite e nobili per natura.

2 - gente comune in termini di bioenergetica. Queste persone sono molto sensibili ai cambiamenti nell'atmosfera.
22 - una fornitura relativamente ampia di bioenergia. Queste persone sono bravi dottori, infermieri, inservienti. Nella famiglia di queste persone, raramente qualcuno ha uno stress nervoso.
222 è un segno di un sensitivo.

Cella 3: accuratezza, specificità, organizzazione, accuratezza, puntualità, pulizia, avarizia, tendenza a "ripristinare costantemente la giustizia".

La crescita delle terzine esalta tutte queste qualità. Con loro, ha senso che una persona cerchi se stessa nelle scienze, specialmente quelle esatte. La preponderanza delle triple dà origine a pedanti, persone in un caso.

Cella 4 - salute. Ciò è dovuto all'egregor, cioè lo spazio energetico sviluppato dagli antenati e che protegge la persona. L'assenza di quattro indica il dolore di una persona.

4 - salute media, è necessario temperare il corpo. Gli sport consigliati sono il nuoto e la corsa.
44 - buona salute.
444 e più - persone con ottima salute.

Cella 5 - intuizione, chiaroveggenza, che inizia a manifestarsi in queste persone già a livello di tre cinque.

Non ci sono cinque: il canale di comunicazione con lo spazio è chiuso. Queste persone sono spesso

sono sbagliate.

5 - il canale di comunicazione è aperto. Queste persone possono calcolare correttamente la situazione per ottenere il massimo da essa.
55 - intuizione altamente sviluppata. Quando vedono "sogni profetici", possono prevedere il corso degli eventi. Le professioni adatte a loro sono un avvocato, un investigatore.
555 - quasi chiaroveggente.
5555 - chiaroveggenti.

Cella 6 - radicamento, materialità, calcolo, tendenza allo sviluppo quantitativo del mondo e sfiducia nei salti qualitativi, e ancor più nei miracoli di ordine spirituale.

Non ci sono sei: queste persone hanno bisogno di lavoro fisico, anche se di solito non gli piace. Sono dotati di una straordinaria immaginazione, fantasia, gusto artistico. Nature sottili, sono tuttavia capaci di azione.

6 - può essere impegnato nella creatività o nelle scienze esatte, ma il lavoro fisico è un prerequisito per l'esistenza.
66 - le persone sono molto radicate, attratte dal lavoro fisico, sebbene non sia obbligatorio per loro; sono auspicabili attività mentali o corsi d'arte.
666 - il segno di Satana, un segno speciale e sinistro. Queste persone hanno un temperamento elevato, sono affascinanti, diventano invariabilmente il centro dell'attenzione nella società.
6666 - queste persone nelle loro precedenti incarnazioni hanno guadagnato troppo terreno, hanno lavorato molto duramente e non possono immaginare la loro vita senza lavoro. Se la loro piazza ha

nove, hanno sicuramente bisogno di impegnarsi in attività mentali, sviluppare l'intelligenza, almeno ottenere un'istruzione superiore.

Cella 7: il numero di sette determina la misura del talento.

7 - più lavorano, più ottengono dopo.
77 - persone molto dotate, musicali, hanno un gusto artistico delicato, possono avere un debole per le belle arti.
777 - queste persone, di regola, vengono sulla Terra per un breve periodo. Sono gentili, sereni, percepiscono dolorosamente ogni ingiustizia. Sono sensibili, amano sognare, non sempre sentono la realtà.
7777 è il segno dell'Angelo. Le persone con questo segno muoiono durante l'infanzia e, se vivono, le loro vite sono costantemente in pericolo.

Cella 8 - karma, dovere, dovere, responsabilità. Il numero di otto determina il grado di senso del dovere.

Non ci sono otto: queste persone mancano quasi completamente del senso del dovere.

8 - nature responsabili, coscienziose, accurate.
88 - queste persone hanno uno sviluppato senso del dovere, si distinguono sempre per il desiderio di aiutare gli altri, soprattutto i deboli, i malati, i soli.
888 - segno di grande dovere, segno di servizio al popolo. Il sovrano con tre otto ottiene risultati eccezionali.
8888 - queste persone hanno abilità parapsicologiche e un'eccezionale suscettibilità alle scienze esatte. I percorsi soprannaturali sono aperti a loro.

Cella 9 - mente, saggezza. L'assenza di nove è la prova che le capacità mentali sono estremamente limitate.

9 - queste persone devono lavorare sodo per tutta la vita per sopperire alla mancanza di intelligenza.
99 - queste persone sono intelligenti dalla nascita. Sono sempre riluttanti a imparare, perché la conoscenza viene data loro facilmente. Sono dotati di senso dell'umorismo con un tocco ironico, indipendente.
999 sono molto intelligenti. Nessuno sforzo viene fatto per imparare. Ottimi interlocutori.
9999 - la verità viene rivelata a queste persone. Se hanno anche sviluppato l'intuizione, allora sono garantiti contro il fallimento in qualsiasi loro sforzo. Con tutto ciò, di solito sono abbastanza piacevoli, poiché una mente acuta li rende maleducati, spietati e crudeli.

Quindi, dopo aver compilato il quadrato magico di Pitagora e conoscendo il significato di tutte le combinazioni di numeri inclusi nelle sue celle, potrai apprezzare adeguatamente le qualità della tua natura che madre natura ha dotato.

quadrati latini

Nonostante il fatto che i matematici fossero principalmente interessati ai quadrati magici, i quadrati latini trovarono la massima applicazione nella scienza e nella tecnologia.

Un quadrato latino è un quadrato di nxn celle in cui i numeri 1, 2, ..., n sono scritti, inoltre, in modo tale che tutti questi numeri ricorrano una volta per riga e per colonna. La Figura 3 mostra due di questi quadrati 4x4. Hanno una caratteristica interessante: se un quadrato è sovrapposto a un altro, tutte le coppie dei numeri risultanti risultano diverse. Tali coppie di quadrati latini sono chiamate ortogonali.

Il compito di trovare quadrati latini ortogonali fu stabilito per la prima volta da L. Euler, e in una formulazione così divertente: “Tra i 36 ufficiali, ci sono ugualmente lancieri, dragoni, ussari, corazzieri, guardie di cavalleria e granatieri, e inoltre, ugualmente generali , colonnelli, maggiori, capitani, luogotenenti e sottotenenti, e ogni ramo di servizio è rappresentato da ufficiali di tutti e sei i gradi. È possibile allineare tutti gli ufficiali in un quadrato 6 x 6 in modo che gli ufficiali di tutti i gradi si incontrino in qualsiasi colonna e in qualsiasi riga?

Euler non è stato in grado di trovare una soluzione a questo problema. Nel 1901 fu dimostrato che tale soluzione non esiste. Allo stesso tempo, Eulero dimostrò che esistono coppie ortogonali di quadrati latini per tutti i valori dispari di n e per i valori pari di n divisibili per 4. Eulero ipotizzò che per i restanti valori di n, cioè , se il numero n diviso per 4 dà come resto 2, non ci sono quadrati ortogonali. Nel 1901 fu dimostrato che i quadrati ortogonali 6 6 non esistono, e questo aumentò la fiducia nella validità della congettura di Eulero. Tuttavia, nel 1959, utilizzando un computer, furono trovati prima quadrati ortogonali 10x10, poi 14x14, 18x18, 22x22. E poi è stato mostrato che per ogni n eccetto 6, ci sono nxn quadrati ortogonali.

I quadrati magici e latini sono parenti stretti. Prendiamo due quadrati ortogonali. Riempi le celle del nuovo quadrato della stessa dimensione come segue. Mettiamo lì il numero n(a - 1) + b, dove a è il numero in tale cella del primo quadrato, e b è il numero nella stessa cella del secondo quadrato. È facile capire che nel quadrato risultante le somme dei numeri in righe e colonne (ma non necessariamente sulle diagonali) saranno le stesse.

La teoria dei quadrati latini ha trovato numerose applicazioni sia nella matematica stessa che nelle sue applicazioni. Facciamo un esempio. Supponiamo di voler testare la produttività di 4 varietà di grano in una data area e di voler tenere conto dell'influenza del grado di scarsità delle colture e dell'influenza di due tipi di fertilizzanti. Per fare ciò, divideremo un appezzamento di terreno quadrato in 16 appezzamenti (Fig. 4). Pianteremo la prima varietà di grano su trame corrispondenti alla striscia orizzontale inferiore, la varietà successiva - su quattro trame corrispondenti alla striscia successiva, ecc. (nella figura, la varietà è indicata dal colore). In questo caso, lascia che la densità di semina massima sia su quelle trame che corrispondono alla colonna verticale sinistra della figura, e diminuisci spostandoti a destra (nella figura, ciò corrisponde a una diminuzione dell'intensità del colore). I numeri nelle celle della figura, lasciali significare:

il primo è il numero di chilogrammi di fertilizzante del primo tipo applicato a quest'area e il secondo è la quantità di fertilizzante del secondo tipo applicato. È facile capire che in questo caso si realizzano tutte le possibili coppie di combinazioni sia di varietà che di densità di semina, e di altre componenti: varietà e concimi del primo tipo, concimi del primo e secondo tipo, densità e concimi del secondo tipo .

L'uso di quadrati latini ortogonali aiuta a tenere conto di tutte le possibili opzioni negli esperimenti in agricoltura, fisica, chimica e tecnologia.

quadrato magico pitagora latino

Conclusione

Questo saggio affronta questioni legate alla storia dello sviluppo di uno dei problemi della matematica, che occupava le menti di così tante grandi persone: i quadrati magici. Nonostante il fatto che i quadrati magici stessi non abbiano trovato ampia applicazione nella scienza e nella tecnologia, hanno ispirato molte persone eccezionali a studiare matematica e hanno contribuito allo sviluppo di altri rami della matematica (teoria dei gruppi, determinanti, matrici, ecc.).

I parenti più stretti dei quadrati magici, i quadrati latini, hanno trovato numerose applicazioni sia in matematica che nelle sue applicazioni nell'impostazione e nell'elaborazione dei risultati degli esperimenti. L'abstract fornisce un esempio di impostazione di un tale esperimento.

L'abstract considera anche la questione del quadrato di Pitagora, che è di interesse storico e, forse, utile per tracciare un ritratto psicologico di una persona.

Bibliografia

1. Dizionario enciclopedico di un giovane matematico. M., "Pedagogia", 1989.
2. M. Gardner "Viaggio nel tempo", M., "Mir", 1990.
3. Cultura fisica e sport n. 10, 1998

Come fare un quadrato magico?

Progetto Quadrati magici (Magia)

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