Парните квадрати се многу потешки за градење од непарните. Постојат многу начини да се објаснат принципите на нивната конструкција. Оваа статија опишува забавен начин да се изгради магичен квадрат 4 x 4.
Започнуваме со внесување на единица во најлевата ќелија од горниот ред. Двојката се наоѓа во следната ќелија, а броевите 3 и 4 во следната. На овој начин, горниот ред ќе биде завршен. Во следниот ред се внесуваат броевите 5, 6, 7 и 8.
Продолжете додека не ги пополните сите ќелии (сл. 1).
Сл.1
Потоа, во сите екстремни редови, треба да отстраните два броја од централните ќелии, односно броевите 2 и 3 се отстранети во горниот ред, а 14 и 15 во долниот ред. Конечно, броевите 5 и 9 се отстранети во левиот екстремен ред, а во десната крајност - 8 и 12 (слика 2).
Сл.2 Сега овие бројки може да се подредат на прилично интересен начин. Броевите 2 и 3 ги зафаќаат ќелиите кои претходно ги содржеле броевите 14 и 15. Така, долниот ред ќе се состои од броевите 13,3,2 и 16. По истиот принцип се наоѓаат и броевите 14 и 15, т.е. , тие ги зафаќаат оние ќелии кои претходно ги содржеле броевите 2 и 3. Како резултат на тоа, горниот ред ќе се состои од броевите 1,15,14 и 4. Се надевам дека веќе разбирате како понатаму ќе се гради волшебниот квадрат. Броевите 8 и 12 ќе ги окупираат оние ќелии кои претходно ги содржеле броевите 5 и 9. Конечно, броевите 5 и 9 се вклопуваат во две ќелии во најдесната колона (сл. 3).
Сл.3 Забележете дека во овој магичен квадрат, збирот на броевите во кој било ред е 34.
На ист начин, можете да креирате квадрат 4*4 со едноставно поставување на шеснаесет броеви во низа, почнувајќи од кој било број. Ако изградите магичен квадрат каде што броевите одат во низата 3, 6, 9, 12 итн., тогаш ќе видите дека збирот на броевите во која било серија ќе биде 102.
Постојат многу начини да се конструираат дури и магични квадрати. Некои од нив се многу сложени, одземаат многу време и се интересни само за математичарите. За среќа, начинот на креирање јантра магични квадрати базиран на датум на раѓање е толку едноставен.
Задачи:
1. Научете како да пополните магични квадрати.
2. Развијте набљудување, способност за генерализирање.
3. Всади желба за нови знаења, интерес за математика.
Опрема:компјутер, мултимедијален проектор со екран, PowerPoint презентација (Прилог 1).
Во античко време, откако научиле да бројат и да вршат аритметика, луѓето биле изненадени кога откриле дека бројките имаат независен живот, неверојатен и мистериозен. Со собирање на различни броеви, ставајќи ги еден по друг или еден под друг, понекогаш добивале иста сума. Конечно, делејќи ги броевите со линии така што секој да биде во посебна ќелија, тие видоа квадрат од кој било кој од броеви учествуваше во два сума, а оние што се наоѓаат по дијагоналите дури во три, а сите збирови се еднакви на едни со други! Не е ни чудо што античките Кинези, Хиндусите и по нив Арапите им припишувале мистериозни и магични својства на таквите структури. (слајд 1)
Волшебните квадрати се појавија на античкиот исток уште пред нашата ера. Една од преживеаните легенди раскажува дека кога императорот Ју од династијата Шанг (2000 п.н.е.) стоел на бреговите на Луо, притока на Жолтата река, одеднаш се појавила голема риба (во други верзии, огромна желка), на која имаше цртеж на два мистични симболи - црно-бели кругови (слајд 2), кој потоа беше реализиран како слика на магичен квадрат од редот 3. (слајд 3)
Првото посебно спомнување на таков плоштад е пронајдено околу 1 век п.н.е. До 10 век н.е. магични квадрати беа отелотворени во амајлии, магии. Тие се користеле како талисмани низ цела Индија. Тие беа насликани на бокали со среќа, медицински чаши. Досега некои источни народи ги користат како талисман. Тие можат да се најдат на палубите на големите патнички бродови како игралиште.
Значи, под магија подразбираме квадрати во кои збировите на броевите во која било колона или во која било редица, како и по дијагоналите се исти.
Досега најчесто користевте магични квадрати за ментално броење. Во исто време, неколку броеви, вклучувајќи го и централниот, се веќе поставени во ќелиите на плоштадот. Потребно е да се подредат преостанатите броеви така што во која било насока се добива одредена сума.
Задача 1.Дадени се броевите 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Некои од нив се распоредени во ќелии Потребно е останатите броеви да се подредат така што вкупниот број да биде 15. (слајд 4)
Излегува дека сите други магични квадрати составени од исти броеви може да се добијат од дадениот по симетрија во однос на редица, колона или дијагонала, така што броевите во сите квадрати се подредени според истите правила. (слајд 6)
Може да забележите голем број на обрасци кои го олеснуваат пополнувањето на ќелиите на квадратот или овозможуваат решавање на проблемот со помал број податоци во состојбата.
На пример, во услови на проблеми слични на претходниот, не е неопходно да се наведе колкава сума треба да се добие во која било насока.
Задача 2.Најдете начин да го пресметате збирот на редовите, колоните и дијагоналите од претходниот проблем.
Може да се расправате на следниов начин: збирот на броевите во секоја линија е ист, има 3 такви линии, што значи дека збирот на броевите во секоја линија е три пати помал од збирот на сите броеви. Затоа, во нашиот пример, збирот во секој ред е 15 (45:3). Но, овој број може да се најде на други начини: додадете ги трите централни броеви 4, 5 и 6 или помножете го централниот број 5 со 3.
Задача 3.Дадени се броевите: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Потребно е да се внесат во ќелиите на квадратот така што во која било насока збирот е ист број. Некои од бројките се веќе впишани на плоштадот. (слајд 7)
Задача 4.Дадени се броевите 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два од нив се впишани во ќелиите на квадратот. Напишете го остатокот така што во која било насока збирот е ист број. (слајд 9)
Ајде да ги погледнеме сите три пополнети квадрати и да се обидеме да најдеме одреден број шеми кои ќе помогнат да се пополни квадратот со уште помалку бројки впишани на квадратот. (слајд 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Погледнете кој број е во центарот на плоштадот? Како се наоѓа во низата дадени броеви? (слајд 12) (Во центарот на квадратот, бројот што е на петтото место во нашата низа е секогаш запишан, т.е. подеднакво отстранет од неговите леви и десни рабови.)
Можете да забележите голем број други карактеристики: на квадратот на спротивните страни на централниот број има броеви кои се подеднакво оддалечени од левиот и десниот раб на низата. Ајде да прикажеме парови на соодветни броеви користејќи го примерот за пополнување квадрат со броеви од 1 до 9: (слајд 13)
Знаејќи го ова, можете да го пополните плоштадот, речиси без броење.
Погледнете како на плоштадот се наоѓаат броевите до централната, како и броевите напишани од нив преку еден број. Тие се поврзани со линии на врвот. (Тие се наоѓаат по дијагоналите на квадратот.) А каде се останатите броеви, кои се поврзани со линии одоздола? (Тие се наредени вертикално и хоризонтално.)
Ајде да провериме дали таквите обрасци се забележани на други квадрати. (слајд 14)
(Да, таквите обрасци стојат.)
Значи, да го сумираме. Кои својства на магичните квадрати ги откривме?
1) За да го пронајдете збирот на броевите во секоја колона или ред, можете да го помножите централниот број со 3.
2) Во центарот на квадратот е бројот напишан во петтиот ред.
3) Во квадратот на спротивните страни на централниот број се броеви кои се подеднакво оддалечени од левиот и десниот раб на низата.
4) Броевите до централниот и еден од него се наоѓаат по дијагоналите на квадратот. Броевите што стојат на работ и преку еден од него се наоѓаат во квадрат вертикално и хоризонтално.
Задача 5.Дадени се броевите: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Запишете ги во ќелиите на квадратот така што ќе се добие ист број во која било насока. (слајд 15)
(Ајде да откриеме која сума треба да се добие во секоја насока. За да го направите ова, помножете го централниот број 7 со 3. Како резултат, добиваме 21. Ставете го бројот 7 во центарот на квадратот, на една дијагонала од броевите 6 и 8, од друга - 4 и 10. Останува да се подредат броевите што недостасуваат: збирот на броевите напишани во првата линија е 10, 11 недостасува пред 21, што значи дека во празната ќелија од горната линија ние напишете го бројот 11 (прво десно). Потоа во долната линија го пишуваме бројот 3 (прво лево). Во левата колона го пишуваме бројот 5 ( 21 - (6 + 10)), а потоа останува да го напишете бројот 9 во десната колона. Така, ги поставивме сите 9 броеви во ќелиите на магичниот квадрат, додека ниту еден број не беше поставен на квадратот според состојбата на проблемот.)
Проблемот има неколку решенија, но сите квадрати се добиваат од други со симетрија околу средните линии или дијагоналата. (слајд 16)
Задача 6.Дадени се броевите 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Напишете ги во ќелиите на квадратот така што во која било насока ќе го добиете вкупно истиот број.
Едно од решенијата на слајдот. (слајд 17)
Задача 7.Споредете ги условите од задачите 1 и 6 и размислете како би можеле да го решите проблемот, знаејќи го решението на проблемот 1.
(Броевите од задача 6 се двојно повеќе од соодветните броеви од задача 1. Затоа, можете едноставно да го удвоите секој број од квадратот од задачата 1 и да го добиете саканиот квадрат.)
Постојат различни начини за изградба на магични квадрати. Размислете за методот на тераси, кој бил измислен од древните Кинези. Следејќи го овој метод, неопходно е да се ротира квадратот на „природниот“ број околу центарот за половина прав агол (слајд 19)и одвојте ја табелата 3'3 со квадратна рамка. (слајд 20)Со броеви напишани надвор од рамката и формирајќи корнизи („тераси“), ги пополнуваме празните ќелии на спротивната страна од табелата. (слајд 21)
Слично на тоа, може да се конструира секој квадрат од непарен редослед. Ајде да ги пополниме ќелиите на магичниот квадрат 5'5 со броеви од 1 до 25. (слајдови 22, 23, 24)
За да се конструира магичен квадрат 4´4, наједноставниот и најпристапниот метод е следниот: во „природен“ квадрат, дополнителните броеви на главните дијагонали се заменуваат, додека останатите остануваат непроменети. (слајдови 25, 26)
Сумирање на лекцијата
Која тајна на магични квадрати ја откривте денес на час? Што ти помогна во ова?
Тестирање со Чатуранга Шорин Александар
5.2.1 За магијата на броевите. Што се магични квадрати
Може многу да се каже за магијата на бројките. Како пример, на почетокот на оваа студија веќе го спомнавме бројот 4. На овој начин може многу да се каже за кој било број.
На пример, бројот 1 е еден, почеток на сè. Број 2 - разделба, спротивно на двата пола. 3 - триаголник ... И така натаму. Ова е многу плодна тема, во која можете бескрајно да истражувате.
Затоа, да го оставиме тоа и да преминеме на волшебните квадрати, кои се директно поврзани со Чатуранга.
Волшебните квадрати се квадратни табели со цели броеви кои имаат единствени својства: на пример, збировите на броевите долж кој било ред, која било колона и која било од двете главни дијагонали се еднакви на ист број.
Се верува дека магичните квадрати биле измислени во античка Кина, а биле познати и во античка Индија, од каде што потекнува Чатуранга. Ова особено го докажува Н.М. Рудин во неговата книга „Од магичниот плоштад до шах“.
Според легендата, за време на владеењето на императорот Ју (околу 2200 г. п.н.е.), од водите на Жолтата река излегла света желка, на чија школка биле испишани мистериозни хиероглифи. Овие знаци се познати како ло-шу и се еквивалентни на магичен квадрат. Во 11 век научиле за магичните плоштади во Индија, а потоа и во Јапонија, каде што во 16 век. Волшебните квадрати се предмет на обемна литература. Тој ги запозна Европејците со магичните плоштади во 15 век. Византискиот писател Е. Мошопулос. Првиот квадрат што го измислил Европеец е плоштадот на А. Дирер прикажан на неговата позната гравура „Меланхолија 1“. Датумот на гравирањето (1514) е означен со бројки во двете централни ќелии на долната линија. На волшебните квадрати им се припишувале различни мистични својства. Во 16 век Корнелиј Хајнрих Агрипа изградил квадрати од 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 ред, кои биле поврзани со астрологијата на 7-те планети. Имаше верување дека магичен квадрат врежан на сребро штити од чума. И денес, меѓу атрибутите на европските бајачи, може да се забележат магични квадрати.
Во 19 и 20 век интересот за магичните квадрати се разгоре со обновена енергија. Тие почнаа да се истражуваат користејќи методи на повисока алгебра и оперативна пресметка.
Секој елемент од магичниот квадрат се нарекува ќелија. Плоштад чија страна е nклетки, содржи n 2 ќелии и се нарекува квадрат n-ти ред. Повеќето магични квадрати го користат првиот nпоследователни природни броеви. Збир Сброеви во секој ред, секоја колона и на која било дијагонала се нарекува константа на квадратот и е еднаква на С= n(n 2 + 1)/2. Тоа го докажа n– 3. За квадрат од 3 ред С= 15, 4-ти ред - С= 34, 5-ти ред - С= 65.
Двете дијагонали кои минуваат низ центарот на квадратот се нарекуваат главни дијагонали. Скршена линија е дијагонала која, откако стигна до работ на квадратот, продолжува паралелно со првиот сегмент од спротивниот раб. Клетките кои се симетрични во однос на центарот на квадратот се нарекуваат коси-симетрични.
Волшебните квадрати може да се конструираат, на пример, со помош на методот на француски геометар од 17 век. А. де ла Лубера.
Според методот на А. де ла Луберт, магичниот квадрат 5 × 5 може да се конструира на следниов начин:
Бројот 1 е поставен во централната ќелија од горниот ред. Сите природни броеви се распоредени по природен редослед циклично од дното кон врвот во ќелиите на дијагоналите од десно кон лево. Откако стигнавме до горниот раб на квадратот (како во случајот со бројот 1), продолжуваме да ја пополнуваме дијагоналата почнувајќи од долната ќелија на следната колона. Откако стигнавме до десниот раб на квадратот (број 3), продолжуваме да ја пополнуваме дијагоналата што доаѓа од левата ќелија со линијата погоре. Откако стигна до пополнета ќелија (број 5) или агол (број 15), траекторијата се спушта една ќелија надолу, по што процесот на полнење продолжува.
Излегува таков магичен квадрат:
Можете исто така да го користите методот на F. de la Hire (1640-1718), кој се базира на два оригинални квадрати. Броевите од 1 до 5 се внесуваат во ќелијата на првиот квадрат, така што бројот 3 се повторува во ќелиите на главната дијагонала што оди надесно, а ниту еден број не се појавува двапати во еден ред или во една колона. Ние го правиме истото со броевите 0, 5, 10, 15, 20 со единствена разлика што бројот 10 сега се повторува во ќелиите на главната дијагонала од горе до долу. Збирот од ќелија до ќелија на овие два квадрати формира магичен квадрат. Овој метод се користи и при изградба на квадрати со рамномерен редослед.
Од книгата Господар на соништата. Речник на соништата. автор Смирнов Теренти ЛеонидовичТолкување на соништата на црната магија (симболи на соништата со црна магија) Многу духовни трагачи кои се фасцинирани од популарните езотерични концепти не се ни сомневаат дека практикуваат вистинска црна магија во развојот на соништата! Ова целосно се однесува на
Од книгата Практична магија на модерната вештерка. Церемонии, ритуали, пророштва автор Миронова ДаријаТалисмани и магични квадрати Магијата на талисманите е тесно поврзана со традицијата на нумерологијата. Броевите и буквите од азбуката, како и специјалните знаци, без кои е незаменливо производството на амајлија, го штитат сопственикот од лоши влијанија. Многу талисмани изгледаат како
Од книгата Ритуали на магијата на парите автор Золотухина ЗојаМагијата на броевите Вашиот магичен број За секој од нас, според нумеролозите, постои еден вид клуч за негуваната тајна - знак за магичен број. За да го одредите, треба да ги соберете сите броеви на вашиот датум на раѓање. Соберете додека не завршите со
Од книгата Знај ја својата иднина. Направете Fortune да работи за вас автор Коровина Елена АнатолиевнаОднос на броеви и букви
Од книгата Ѕвезда на заштита и талисман за пари. Антикризна нумерологија автор Коровина Елена АнатолиевнаОднос на броеви и букви Табела
Од книгата Датумот на раѓање е клучот за разбирање на личноста автор Александров Александар ФедоровичТРАНЗИЦИИ НА БРОЕВИТЕ Можеме да ви честитаме на фактот дека сите карактеристики на броевите се проучени. Слободно започнете да ги пресметувате датумите на раѓање на сите ваши најблиски, пријатели, познаници, странци и непријатели. Одлично! Сега секој ќе ја открие својата „скриена суштина“. Започнете, се разбира, со себе - и веднаш ќе го направите
Од книгата Словенска кармичка нумерологија. Подобрете ја вашата судбинска матрица автор Маслова Наталија НиколаевнаОДНОС НА БРОЕВИТЕ 5 И 9 Последниот премин не може да се нарече соодветен преод, бидејќи нема да се работи за премин на една цифра во друга, туку за зајакнување на една цифра преку друга. Размислете за взаемното влијание на броевите 5 (логика) и 9 (меморија) еден врз друг. Пред да дефинираме
Од книгата Што можете да дознаете за некоја личност по датумот на раѓање и име автор Зјурњаева ТамараДиректориум. Значењето на броевите Ова е силата на карактерот, јанг енергијата на една личност, неговото сонце. Присуството на единици во матрицата ја одредува целта на една личност, неговата самодоверба, неговите лидерски квалитети, степенот на неговата
Од книгата Математика за мистици. Тајните на светата геометрија од Chesso RennaМагија на броеви или математика? Од античко време, луѓето се свртеле кон бројките и им придавале свето значење. Да се разоткрие мистеријата на бројот значеше да се разоткрие мистеријата на животот. Дури и старогрчкиот мудрец Питагора верувал дека се во светот се знае преку бројки.
Од книгата на Мудроста. Сите во една книга. Исполнете ја секоја желба автор Левин ПетрПоглавје бр. 5 Магични квадрати Ги нарекуваме магични квадрати или планетарни квадрати. Или печати, камео, маси. Како и многу други магични алатки, тие се познати под различни имиња во различни системи, но како и да се нарекуваат, датираат од
Од книгата Нумерички код на раѓање и неговото влијание врз судбината. како да се пресмета среќата автор Михеева Ирина Фирсовна Од книгата За магијата е смешно, за магијата е сериозна автор Картавцев ВладиславЕнергија на броеви За да се одреди значењето на роденденскиот генетски број, потребно е, пред сè, да се одреди значењето на самиот број, неговиот статус и енергетската содржина. Според концептите на нашето секојдневие, „тежината“ на секоја нумеричка вредност расте како што се зголемува самата вредност.
Од книгата Тестирање со Чатуранга автор Шорин АлександарКарактеристики на броевите Број 1 - црвено. Поентата на реалноста, основата, јадрото на целата дигитална надградба, која го одредува типот на овој или оној тек на енергија. Целта на бројот 1 е да го одреди значењето, важноста и тежината на реалноста што се појавила. Така, во светот на бизнисот
Од книгата на авторот„Магичен доказ“ или „Доказ за магија“ „Вие сте лоша личност! Или: „Тој е лоша личност“ Или: „Тој е добар човек!“ Или: „Ти си добар човек!“ Изберете! Што повеќе сакате?
Од книгата на авторот5.2. Магични плоштади во Чатуранга. Чатуранга како гатање 5.2.1 За магијата на броевите. Што се магични квадрати Има многу да се каже за магијата на броевите. Како пример, на почетокот на оваа студија веќе го спомнавме бројот 4. На овој начин може многу да се каже за било кој
Од книгата на авторот5.2.2. Волшебни квадрати во Чатуранга 5.2.2.1 Магија на неволшебниот квадрат Необично е што наједноставниот (не-магичен) квадрат 5x5, каде што бројките одат само еден по еден - од 1 до 25, може да има и необични својства. Значи, на овој едноставен квадрат, збирот на „Крстот на слонот“
Магичен, или магичен квадрат- квадратна маса n × n (\приказ стил n\пати n), исполнет со различни броеви на таков начин што збирот на броевите во секој ред, секоја колона и на двете дијагонали е ист. Ако збировите на броеви во квадратот се еднакви само во редови и колони, тогаш тој се нарекува полу-магичен. Нормалносе нарекува магичен квадрат исполнет со природни броеви од 1 (\displaystyle 1)пред n 2 (\displaystyle n^(2)). Магичниот плоштад се нарекува асоцијативенили симетрични, ако збирот на кои било два броја лоцирани симетрично околу центарот на квадратот е еднаков на n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Нормални магични квадрати постојат за сите нарачки n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), со исклучок на n = 2 (\displaystyle n=2), иако случајот n = 1 (\displaystyle n=1)тривијално - квадратот се состои од еден број. Минималниот нетривијален случај е прикажан подолу, има ред 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle\десно стрелка) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle\десно стрелка) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow) | ↓ (\displaystyle \долуnarrow) | ↓ (\displaystyle \долуnarrow) | ↘ (\displaystyle \searrow) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Збирот на броевите во секој ред, колона и дијагонала се нарекува магична константа, М. Магичната константа на нормалниот магичен квадрат зависи само од nа се одредува со формулата
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\displaystyle M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Зошто е тоа така? |
|
|---|---|
Нека има квадрат со страна n. (\displaystyle n.)Тогаш ќе има n 2 (\displaystyle n^(2))броеви. Од една страна, збирот на броеви S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1) . (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) Од друга страна, S = n М. (\displaystyle S=nM.) Изедначувајќи ја, ја добиваме саканата формула. |
|
Првите вредности на магичните константи се дадени во следната табела (секвенца A006003 во OEIS):
| Со цел n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| М (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Енциклопедиски YouTube
1 / 5
✪ Магичен плоштад - трик за забава
✪ Плоштад Паркер
✪ Page 35 Теренска задача (прв квадрат) - Математика Одделение 3 Моро - Учебник Дел 1
✪ Магичен квадрат - нов метод
✪ Магични квадрати. Отворена лекција.
Преводи
Историски значајни магични квадрати
Плоштад Ло Шу
Магичен плоштад Јанг Хуи (Кина)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Плоштадот Албрехт Дирер
Волшебниот квадрат 4 × 4 прикажан во гравурата „Меланхолија I“ на Албрехт-Дирер се смета за најраниот во европската уметност. Двата средни броја во долниот ред го означуваат датумот на создавање на гравурата ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Збирот на броевите на која било хоризонтална, вертикална и дијагонала е 34. Оваа сума се јавува и во сите аголни квадрати 2×2, во централниот квадрат (10+11+6+7), во квадратот на аголните ќелии (16+ 13+4+1 ), во квадратите изградени со „витешки потег“ (2+12+15+5 и 3+8+14+9), во темињата на правоаголниците паралелни со дијагоналите (2+8+ 15+9 и 3+12+14+5 ), во правоаголници формирани од парови средни ќелии на спротивните страни (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Повеќето дополнителни симетрии се должат на фактот дека збирот на кои било два централно симетрични броја е 17.
Квадрати од Хенри Е. Дадени и Алан В. Џонсон Џуниор.
Ако во квадратна матрица n × nне се внесува строго природна серија на броеви, тогаш овој магичен квадрат - неконвенционален. Подолу се дадени два такви магични квадрати исполнети со прости броеви (иако 1 не се смета за прост број во модерната теорија на броеви). Првиот е во ред n=3(Плоштад Дјудени); втора (големина 4x4) е плоштадот Џонсон. И двете од нив беа развиени на почетокот на дваесеттиот век:
|
|
Има уште неколку слични примери:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Последниот плоштад, изграден во 1913 година од страна на Џ. не се користи.
Плоштади со дополнителни својства
Ѓаволски магичен плоштад
ѓаволски плоштадили пандијагонален квадрат- магичен квадрат, во кој збировите на броеви долж скршените дијагонали (дијагоналите што се формираат кога квадратот е преклопен во торус) во двете насоки исто така се совпаѓаат со магичната константа.
Има 48 ѓаволски квадрати 4x4 до ротации и рефлексии. Ако ја земеме предвид и симетријата во однос на торичните паралелни преводи, тогаш остануваат само 3 суштински различни квадрати:
|
|
|
Пандијагоналните квадрати постојат за непарен редослед n>3, за кој било редослед со двоен паритет n=4k (k=1,2,3…) и не постојат за редослед со единечен паритет n = 4k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\стил на приказ k=1,2,3,\точки)).
Пандијагоналните квадрати од четврти ред имаат голем број дополнителни својства за кои се нарекуваат посветена. Совршени квадрати со непарен редослед не постојат. Меѓу пандијагоналните квадрати со двоен паритет над 4 има совршени.
Има 3600 пандијагонални квадрати од петти ред.Земајќи ги предвид торичките паралелни преводи, има 144 различни пандијагонални квадрати. Еден од нив е прикажан подолу.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Ако пандијагоналниот квадрат е исто така асоцијативен, тогаш се нарекува идеален. Пример за совршен магичен квадрат:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Познато е дека не постојат совршени магични квадрати на ред n = 4k+2и квадратот на редот n=4. Во исто време, постојат совршени квадрати на ред n=8. Користејќи го методот на конструирање сложени квадрати, можно е да се конструираат, врз основа на даден квадрат од осми ред, идеални квадрати од редот n=8k, k=5,7,9…и нарачајте n = 8^p, p=2,3,4…Во 2008 година, комбинаторна метода за конструирање на совршени квадрати од ред n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Изградба на магични квадрати
Метод на тераса
Опишан од Ју. В. Чебраков во Теоријата на магичните матрици.
За дадена непарна n, нацртајте n по n квадратна табела. На оваа маса ќе закачиме тераси (пирамиди) од сите четири страни. Како резултат на тоа, добиваме зачекорена симетрична фигура.
|
Почнувајќи од левото теме на скалестата фигура, пополнете ги нејзините дијагонални редови со последователни природни броеви од 1 до N 2 (\displaystyle N^(2)).
После тоа, за да се добие класична матрица од N-ти ред, броевите во терасите се ставаат на оние места од табелата NxN во кои би биле кога би биле поместени заедно со терасите додека основите на терасите не се доближат до спротивната страна на масата.
|
|
Покрај тоа, овој метод е исто така вистинит ако магичниот квадрат не треба да биде составен од броеви од 1 до N, туку и од K до N, каде што 1<= K< N.
Други начини
Правилата за изградба на магични квадрати спаѓаат во три категории, во зависност од тоа дали редоследот на квадратот е непарен, еднаков на двапати непарен број или еднаков на четири пати непарен број. Општиот метод за конструирање на сите квадрати е непознат, иако широко се користат различни шеми. Најдете ги сите нарачани магични квадрати n (\displaystyle n)успева само за n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), затоа, од голем интерес се одредени постапки за изградба на магични квадрати за n > 4 (\displaystyle n>4). Наједноставната конструкција е за магичен квадрат од непарен редослед. Потребна е ќелија со координати (i , j) (\стил на приказ (i,j))(каде i (\displaystyle i)И j (\displaystyle j)промена од 1 на n (\displaystyle n)) стави број
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\стил на приказ 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Уште полесно е да се конструира конструкцијата на следниов начин. Се зема матрица n x n. Внатре во него е вграден скалест ромб. Во него ќелиите од лево нагоре по дијагоналите се исполнети со последователен ред од непарни броеви. Се одредува вредноста на централната ќелија C. Тогаш вредностите во аглите на магичниот квадрат ќе бидат како што следува: горната десна ќелија C-1 ; долната лева ќелија C+1 ; долната десна ќелија C-n; горната лева ќелија C+n. Пополнувањето на празни ќелии во зачекорените аголни триаголници се врши во согласност со едноставни правила: 1) во редови, броевите се зголемуваат од лево кон десно во чекори од n + 1; 2) во колоните од врвот до дното, бројките се зголемуваат со чекор од n-1.
Развиени се и алгоритми за конструирање на пандијагонални квадрати и идеални магични квадрати 9x9. Овие резултати овозможуваат да се конструираат идеални магични квадрати на нарачки n = 9 (2k + 1) (\стил на приказ n=9(2k+1))за k = 0 , 1 , 2 , 3 , ... (\приказ на стил k=0,1,2,3,\точки). Постојат и општи методи за уредување на совршени магични квадрати со непарен редослед n > 3 (\displaystyle n>3). Методи за изградба на идеални магични квадрати од ред n=8k, k=1,2,3…и совршени магични квадрати. Пандијагоналните и идеалните квадрати со редослед пар-непар може да се комбинираат само ако се нетрадиционални. Сепак, можно е да се најдат речиси пандијагонални квадрати.Најдена е посебна група на идеално совршени магични квадрати (традиционални и нетрадиционални).
Примери на посложени квадрати
Магичните квадрати со непарен ред и редослед на двоен паритет се методично строго разработени. Формализацијата на квадратите од редот на единечна паритет е многу потешка, што е илустрирано со следните шеми:
|
|
|
Постојат десетици други методи за изградба на магични квадрати.
Во античко време, големите научници сметале дека бројките се основа на суштината на светот. Магичниот квадрат, чија тајна е дека збирот на броевите во добиениот квадрат во секоја хоризонтална, во секоја вертикала и во секоја дијагонала е ист, ја носи оваа суштина.
Но целосен опис на магични квадрати сè уште не постои.
Магичниот плоштад на Питагора, „привлекувајќи ја“ енергијата на богатството, го составил основачот
Големиот научник, кој ја основал религиозната и филозофската доктрина и ги прогласил квантитативните односи за основа на нештата, верувал дека суштината на една личност лежи во датумот на раѓање на една личност.
Знаејќи како функционира волшебниот плоштад, не само што може да се дознаат карактерните црти на една личност, неговата здравствена состојба, неговите интелектуални и креативни способности, туку и да се подготви програма за негово подобрување и развој. Броевите, кои се напишани на квадрат на посебен начин, привлекуваат не само богатство, туку и потребните енергетски текови за една личност. На пример, Парацелзус го прикажал својот квадрат како талисман на здравјето. Броевите формираат три реда, односно има девет броеви на квадрат. За да го одредите вашиот нумеролошки код, треба да ги пресметате овие девет бројки.
Како функционира магичниот квадрат?
Првиот хоризонтален ред на плоштадот е формиран со бројки: денот, месецот и годината на раѓање на една личност. На пример, датумот на раѓање на едно лице одговара на 09.08.1971 година. Тогаш првиот број на квадратот ќе биде 9, што е напишано во првата ќелија. Вториот број е бројот на месецот, односно 8.
Во исто време, вреди да се обрне внимание ако месецот на раѓање на една личност одговара на декември, односно бројот 12, тогаш тој, според тоа, мора да се претвори со собирање на едноставен број 3. Третата цифра одговара на број на годината. За да го направите ова, неопходно е да се разложи 1971 година на композитни броеви и да се пресмета нивниот вкупен износ еднаков на 18 и дополнително да се поедностави 1 + 8 = 9. Го пополнуваме горното хоризонтално поле на квадратот со добиените броеви: 9,8,9.
Во вториот ред од квадратот се напишани броеви што одговараат на името, патронимот и презимето на лицето според нумерологијата. Секоја буква има своја нумеричка вредност. Броевите може да се добијат од табелата за кореспонденција на букви и броеви по нумерологија. Следно, треба да ги сумирате броевите на името, патронимот и презимето и да ги доведете до едноставни вредности.
Вториот ред од квадратот е исполнет со добиените броеви. Четвртиот број одговара на бројот на името, петтиот - на патронимот, а шестиот - на презимето. Сега ја имаме втората линија од енергетскиот квадрат.
Дополнителен принцип за тоа како функционира волшебниот квадрат се заснова на астрологијата.
Седмата цифра одговара на бројот на хороскопскиот знак на личноста. Овенот е првиот знак под бројот 1, а потоа во знакот на Риби - 12. При пополнување на третиот ред од квадратот, двоцифрените броеви не треба да се сведуваат на прости, сите тие имаат свое значење.
Осмата цифра е бројот на знакот според Тоа е, во нашата верзија, 1971 година е година на свињата.
Деветтата цифра го претставува нумеролошкиот код на желбата на една личност. На пример, едно лице се стреми да има одлично здравје, затоа, треба да ги пронајдете броевите што одговараат на буквите во овој збор. Резултатот е 49, кој потоа се поедноставува со собирање на 4. Броевите од 10 до 12, како во случајот со човечкиот хороскопски знак, не треба да се намалуваат. Сега, знаејќи како функционира волшебниот квадрат, можете лесно да го составите и да го носите со себе како талисман или да го украсите како слика и да го закачите дома.
