Ответ : х = 3.

8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений

Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.

ПРИМЕР 15:

Решите уравнение: (1)

Решение: Так как https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Рассмотрим функцию ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.

Ответ:

ПРИМЕР 16:

Решить иррациональное уравнение:

Область определения функции есть отрезок . Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке . Для этого найдем производную функции f(x) : https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условииhttps://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.

Ответ: х = 3.

9 метод. Функциональный

На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где - это некоторая функция.

Например, некоторые уравнения: 1) 2) . Действительно, в первом случае , во втором случае . Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х .

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго возрастает на множестве R, и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень

Ответ: х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решить иррациональное уравнение: (1)

В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству DIV_ADBLOCK109">

. (2)

Рассмотрим функцию https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго возрастает на этом множестве для любого ..gif" width="100" height="41"> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе

Как уже известно (глава II, § 2), уравнение

называется иррациональным, если есть иррациональная функция от неизвестных.

При решении иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел допустимыми системами значений неизвестных считают те и только те системы действительных значений, при которых значения подкоренных выражений всех корней четной степени неотрицательны; под значениями корней четной степени подразумевают их арифметические значения, а под значениями корней нечетной степени - действительные значения этих корней. Рассмотрим алгебраические способы решения иррациональных уравнений.

1. Освобождение иррационального уравнения от радикалов путем возведения обеих его частей в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом, как правило, выделяют последовательно по одному радикалу (т. е. оставляют в одной части выбранный радикал, а все другие члены уравнения переносят в другую его часть) и затем обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю выделенного радикала. Выделяют каждый раз обычно наиболее сложный радикал. Так продолжают до тех пор, пока совсем не освободятся от радикалов. В результате этого получают алгебраическое уравнение, которое является следствием заданного иррационального. Затем решают полученное алгебраическое уравнение.

В некоторых случаях (см. ниже пример 4), для того, чтобы быстрее освободиться от радикалов, целесообразно отделить не один, а сразу два радикала.

При решении иррациональных уравнений этим способом область определения уравнения может расшириться, так как при некоторых системах значений неизвестных

некоторые радикалы, входящие в заданное уравнение, могут в поле действительных чисел не иметь смысла, но эти системы значений неизвестных могут быть допустимыми для полученного алгебраического уравнения. Расширение же области определения уравнения, как известно, может привести к появлению посторонних решений, которые не будут принадлежать области определения заданного уравнения (см. пример 2, ниже).

Кроме того, возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести также к появлению посторонних решений, которые принадлежат области определения заданного уравнения. Появление этих посторонних решений будет вызываться не расширением области определения данного уравнения, а причинами иного характера (см. пример 3, ниже).

Поэтому, найдя решения алгебраического уравнения, полученного из заданного иррационального уравнения, обязательно надо путем подстановки каждого из них в заданное уравнение проверить, какие из них ему удовлетворяют и какие являются для него посторонними.

Примеры. 1. Решить уравнение

Решение. Выделим радикал т. е. оставим его в левой части уравнения, а радикал перенесем в правую часть. Будем иметь: или после упрощений: Сократив на 2 и снова отделив радикал, будем иметь:

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

Решениями этого уравнения являются Подстановкой в заданное уравнение убеждаемся, что каждое из этих решений удовлетворяет ему.

2. Решить уравнение

Решение. Перенеся V в правую часть уравнения будем иметь:

Возводим обе части этого уравнения в квадрат:

Возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получаем: или после упрощений:

Отсюда Решениями этого уравнения являются:

Второе из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а первое - для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается расширением области определения уравнения. Действительно, в область определения заданного уравнения число 0 не входит, а в область определения уравнения оно входит. Значение не может быть решением заданного уравнения, потому что оно не принадлежит к его области определения.

3. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, будем иметь:

Решениями этого уравнения являются Первое из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а второе - для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается не расширением области определения заданного уравнения, а тем, что уравнение не равносильно первоначальному, а лишь

выводимо из него. Оно является следствием не только заданного уравнения, но также и уравнения

Решение удовлетворяет уравнению . Решение же для этого уравнения является посторонним.

4. Решить уравнение

Решение. Перенесем радикалы в одну часты

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

или после упрощений:

Проверка показывает, что удовлетворяет заданному уравнению.

2. Сведение иррационального уравнения к смешанной рациональной системе путем введения новых неизвестных.

Совокупность одного или нескольких уравнений вида

и одного или нескольких неравенств вида

называют смешанной системой, если ставится требование установить, какие системы значений неизвестных удовлетворяют одновременно всем этим уравнениям и неравенствам. Система значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям и неравенствам смешанной системы, называется решением смешанной системы. Решить смешанную систему - это значит установить, имеет ли она решения, или нет, и если имеет, то найти все их.

Теорема. Всякое иррациональное уравнение

(кликните для просмотра скана)

Так как в уравнении (1) при любой допустимой системе значений неизвестных радикал четной степени обозначает арифметическое значение корня, а нечетной степени - единственное действительное значение корня, то вспомогательные неизвестные могут принимать только действительные значения и, кроме того,

Присоединим неравенства к системе (2). Получим смешанную рациональную систему

(см. скан)

Докажем теперь, что решение иррационального уравнения (1) сводится к решению смешанной рациональной системы (3).

Действительно, если есть решение уравнения (1), то

есть решение смешанной системы (3).

Наоборот, если система действительных чисел является решением смешанной системы (3), то

Кроме того, так как то является арифметическим значением корня степени из

Аналогично действительное число является единственным действительным значением Корня степени из т. е.

Из соотношений (4), (5) и (6) вытекает, что

и, следовательно, система чисел является решением уравнения (1).

Из сказанного вытекает, что для решения уравнения (1) достаточно найти все решения смешанной системы (3). Системы значений неизвестных входящие в состав найденных решений системы (3), будут решениями уравнения (1), причем ими исчерпываются все решения уравнения (1). Если окажется, что смешанная система (3) несовместна, то и уравнение (1) не имеет решений. В рассмотренном случае в состав иррационального уравнения

входили лишь простые радикалы. Если левая часть иррационального уравнения содержит радикалы, подкоренные выражения которых в свою очередь содержат радикалы, но операция извлечения корня выполняется конечное число раз, то путем последовательного введения вспомогательных неизвестных решение такого уравнения также сводится к решению смешанной рациональной системы.

Примеры. 1. Решить уравнение:

Решение. Предположив, что

составляем смешанную рациональную систему

Подставив во второе уравнение вместо получим систему, равносильную системе (7):

Из второго уравнения системы (8) вычтем по частям третье уравнение, что дает уравнение с целыми коэффициентами:

Непосредственная проверка показывает, что делитель 2 свободного члена удовлетворяет уравнению, т. е. уравнение (9) имеет решение Поэтому уравнение (9) можно записать так:

и, следовательно,

Решениями уравнения (10) являются и Следовательно, уравнение (9) в поле действительных чисел имеет только одно решение Это решение удовлетворяет неравенству

Подставив значение в уравнения находим значения а именно:

Таким образом, смешанная рациональная система (7) имеет единственное решение Отсюда вытекает, что заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел также единственное решение

2. Решить уравнение

Решение. Положив

составим смешанную рациональную систему

Решив первое уравнение относительно и подставив найденное значение в третье уравнение, получим смешанную систему, равносильную системе (11):

Подставив из второго и четвертого уравнений значения в третье уравнение (12), получим систему, равносильную системе (12):

Возведя обе части третьего уравнения системы (13) в квадрат, получим систему, которая является следствием системы (13):

Из трех последних уравнений этой системы получаем: или после упрощений:

Очевидно, что может быть решением заданного уравнения, так как и никакая система значений не может удовлетворять третьему уравнению системы заданному уравнению удовлетворяет. Следовательно, заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел единственное решение

Иногда при решении иррационального уравнения целесообразно способ введения новых неизвестных комбинировать со способом возведения обеих частей уравнения в степень.

Пример. Решить уравнение

Решение. Предположив, что будем иметь:

Уравнение (15) заменим смешанной системой

Отделив во втором уравнении системы (16) радикал и возведя обе части уравнения в квадрат, получим: или после упрощений:

Отсюда Оба эти решения удовлетворяют уравнению и неравенству Подставив значения в первое уравнение системы (16), получим следующие два уравнения:

Следовательно, смешанная система (16) имеет четыре решения:

и, значит уравнение (15) также имеет четыре решения, а именно:

Искусственные приемы. В практике решения иррациональных уравнений иногда с успехом применяют отдельные, так называемые искусственные приемы. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

а) Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на множитель сопряженный с левой его частью. Будем иметь:

или после преобразований:

Сложив по частям уравнения (17) и (18), получим:

Оба решения удовлетворяют заданному уравнению, в чем легко убедиться путем подстановки их в уравнение,

б) Решить уравнение

Решение. Возьмем тождество

и запишем его так:

Равенство (20) выполняется при любых значениях в частности и при значениях удовлетворяющих уравнению (19). Поэтому если мы в левой части тождества (20) заменим второй его множитель являющийся левой частью уравнения (19), выражением то получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19).

Уравнение (21) является, таким образом, следствием уравнения (19), и, следовательно, решения уравнения (19) следует искать среди решений уравнения (21). Уравнение (21) запишем так:

Отсюда видно, что уравнение (21) распадается на два уравнения:

Из изложенного выше вытекает, что решения уравнения (19) надо искать среди решений уравнения (22) и решений уравнения (23). Решением уравнения (22) является Это решение удовлетворяет и заданному уравнению (19). Для нахождения других решений уравнения (19) сложим по частям уравнения (19) и (23). Получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19), отличные от решения

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:

Title="f(x)>=0"> (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">

Пример 2 . Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Основные методы решения иррациональных уравнений - страница №1/1

Учитель: Зыкова О.Е. Конспект урока

Класс: 11 – физико-математический профиль.

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Тип: Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар

Цели урока:

1. Систематизировать способы решения иррациональных уравнений; стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения, научить применять полученные знания при решении уравнений повышенного уровня сложности.

2. Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение обобщать, делать выводы.

3. Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради и на доске, прививать аккуратность, учить умению выслушивать других и умению общаться.

Оборудование: компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока.

План урока:

1. 
   Организационный момент.
2. 
   Актуализация знаний.
3. 
   Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений,

1. 
   Закрепление
2. 
   Итог урока
3. 
   Домашнее задание

1. 
   Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.
2. 
   Актуализация знаний.

Устная работа .

1. 
   Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

Ответ: а), в), г).

1. 
   Является ли число x 0 корнем уравнения:

Ответ: а)нет, б)да, в) нет.

1. 
   Выясните, при каких значениях x имеет место равенство:

Ответ: а) при x , б) при x .

1. 
   Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

в) + = - 1; г) + = - 1.

Ответ: при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.

1. 
   Найдите область определения функции:

Ответ: а) .
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и помнить и другие методы решения иррациональных уравнений, о которых мы сегодня и будем говорить: метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножение на сопряженный множитель; приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину; графический и функциональный методы решения иррациональных уравнений; использование неравенства Коши при решении иррациональных уравнений; использование свойств уравнения вида f(f(x)) = x и др. методы.

Группа ребят подготовили задания по одному из методов решения. Они вам покажут, как их применяют, вы должны записывать решение и задавать вопросы.

1. 
   Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение новых.

1. 
   Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональным.

Например, для уравнения - = 5 областью допустимых значений служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть пустое множество. Значит, уравнение решений не имеет.

Рассмотрим еще один пример – = 0. Областью допустимых значений данного уравнения служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть одноэлементное множество . Непосредственная подстановка числа 2 в уравнение показывает, что 2 –его корень.

2. Как уже говорилось, основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n- четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

а) Если n = 2 k +1 , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел уравнению g (x ) =(h (x )) 2 k +1 .

б) Если n = 2 k , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел системе

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», после чего обе части уравнения возводятся в степень n.

Решим уравнения:

Пример 1 . .

Решение

Область допустимых значений:
.

Преобразуем уравнение: . Возведем обе части этого уравнения в квадрат: ,
.

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:

или

Ответ: x = 1.

Решение

Перепишем данное уравнение так:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, получим:

Снова возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим

Остается установить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

Подставляя в данное уравнение вместо x выражение
получим:

Последнее равенство рассмотрим на каждом из четырех промежутков:

Если
, то равенство примет вид: и выполняется тождество. Следовательно, при
уравнение имеет решение.

Если
, то равенство примет вид: которое не выполняется при
; следовательно, при a = 0 уравнение не имеет решений.

Если
, то равенство не выполняется, так как

Если
, то равенство выполняется, так как

Итак, при
и при

При
уравнение не имеет решений.
Ответ:

1. При
уравнение имеет единственный корень

2. При
уравнение не имеет решений.
2-й ученик. (Введение новой переменной)

Замена переменной в иррациональном уравнении используется довольно часто. Она, как правило, позволяет свести данное иррациональное уравнение к рациональному или, по крайней мере, упростить его.

Пример 1. 2x 2 +3 x -3 + =30.

Решение. Пусть y= , у Тогда = у 2 - 9 и уравнение примет вид: у 2 - 9 – 3 + у = 30. Решаем его:

система равносильна совокупности двух систем:
или

Возвращаясь к исходной переменной, получим: = 6, = 36, - 27 = 0, x 1 = 3, x 2 = - 4,5. Т.к. все совершенные преобразования были равносильными, то проверять эти числа не следует.

Ответ: - 4,5; 3.

Пример 2.
.

Решение. Выражения
и
являются взаимно обратными, если они не равны нулю, т. е.
, т. е. область допустимых значений:

В самом деле:
.

Пусть
, получим смешанную систему:

система равносильна совокупности двух систем:

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Это значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.
Ответ : 2,5.
Пример 3.

Решение.

Пусть тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

Из системы уравнений исключим x:

Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

Приходим к системе уравнений:

Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:

Это биквадратное уравнение. Положим
тогда придем к квадратному уравнению:
которое имеет два корня:

не удовлетворяет условию
и является посторонним корнем. Находим:

Ответ: - 3
3-й ученик. (Выделение полного квадрата (квадрата двучлена) и приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину)

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений:

Замечаем, что под знаками корней находятся полные квадраты. Преобразуем их:

Приходим к уравнению, содержащему модули:


При
получаем уравнение
Это значение x не входит в промежуток

При
получаем уравнение
Это значение также не входит в промежуток
и не может быть корнем уравнения.

При
получаем уравнение
- не является корнем уравнения.

При
получаем
- не является корнем.

Пример 2. + =1

Решение. Считая x 1, произведем замену = у, у и решим уравнение (у 2 = x -1 , тогда x = у 2 +1 ):

2 .

Сделаем обратную замену и решим неравенство:

4 5

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ:

Пример 3.

Решение.

Раскроем модули. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x ≤ 1, то -4 ≤ сos0,5x - 3 ≤ -2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение:3- - 3 + 2 = 1

cos0,5x = 1

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

4-й ученик. (Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножением на сопряженный множитель)

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений




или

Умножим обе части уравнения на выражение сопряженное левой части уравнения, т. е. на
получаем:

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

сложим уравнения и получаем:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, придем к линейному уравнению

Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.

Ответ:
Пример 2.

Решение.

ОДЗ - множество всех действительных чисел т. е.
.

Преобразуем уравнение

В левой части уравнения получили неполной квадрат разности двух выражений. Умножим обе части уравнения на (
). В левой части получим сумму кубов этих выражений - корней нет.

Ответ : решений нет.
5-й ученик. (Применение неравенства Каши и свойств уравнения вида f (f (x )) = x )
Применение неравенства Коши.

При решении некоторых иррациональных уравнений иногда бывает полезно воспользоваться известным классическим неравенством Коши: для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:

, где знак равенства достигается тогда и только тогда, когда a = b .

Пример 1.

Решение. В силу неравенства Коши имеем:

Следовательно, левая часть неравенства не превосходит x + 1. В самом деле, сложим обе части неравенств,

получим:

Таким образом, из данного уравнения следует, что правая часть, будучи равна левой, также будет меньше или равна x + 1, т. е. значит x = 1. Это значение и является единственным решением данного уравнения.

Применение свойств уравнения вида f(f(x)) = x

Равносильны.

Замечание . Теорема имеет обобщение. Если y = f(x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения
и
равносильны.

Применение этой теоремы к решению иррациональных уравнений. «встречно монотонны», т.е.
возрастает, а
убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Для выяснения монотонности той или иной функции, входящей в уравнение, можно использовать, прежде всего, свойства элементарных функций. Строгая монотонность исследуемой функции легко выясняется с помощью производной.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример. .

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно:
. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак,
– единственный корень.

Y . Итог урока:

1. 
   Какие методы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?
2. 
   Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?
3. 
   Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?