Dia 1

Fracties in Babylon, Egypte, Rome. Decimalen ontdekken PRESENTATIE VOOR GEBRUIK ALS VISUEEL HULP BIJ BUITENSCHOOLSE ACTIVITEITEN
Markelova G.V., wiskundeleraar van de Gremyachinsky-tak van de MBOU Secondary School. Sleutels

Dia 2

Dia 3

Over de oorsprong van breuken
De behoefte aan fractionele getallen ontstond als resultaat van praktische menselijke activiteit. De behoefte om de aandelen van een eenheid te vinden verscheen bij onze voorouders bij het verdelen van de buit na een jacht. De tweede belangrijke reden voor het verschijnen van fractionele getallen moet worden beschouwd als het meten van hoeveelheden met behulp van de geselecteerde meeteenheid. Zo zijn breuken ontstaan.

Dia 4

De behoefte aan nauwkeurigere metingen leidde ertoe dat de aanvankelijke meeteenheden in 2, 3 of meer delen werden opgesplitst. De kleinere maateenheid, die door fragmentatie ontstond, kreeg een eigen naam, en hoeveelheden werden gemeten door deze kleinere eenheid. In verband met dit noodzakelijke werk begonnen mensen de uitdrukkingen te gebruiken: halve, derde, twee en een halve stap. Hieruit kon worden geconcludeerd dat fractionele getallen ontstonden als resultaat van het meten van hoeveelheden. Volkeren hebben vele varianten van het schrijven van breuken doorlopen totdat ze tot de moderne notatie kwamen.

Dia 5

In de geschiedenis van de ontwikkeling van breuken komen we breuken van drie typen tegen:
1) breuken of eenheidsbreuken waarbij de teller één is, maar de noemer kan elk geheel getal zijn; 2) systematische breuken, waarbij de tellers elk getal kunnen zijn, maar de noemers alleen getallen van een bepaald type kunnen zijn, bijvoorbeeld machten van tien of zestig;
3) algemene breuken waarin de tellers en noemers elk getal kunnen zijn. De uitvinding van deze drie verschillende soorten breuken bracht voor de mensheid verschillende moeilijkheidsgraden met zich mee, zodat er in verschillende tijdperken verschillende soorten breuken verschenen.

Dia 6

Fracties in Babylon
De Babyloniërs gebruikten slechts twee cijfers. Een verticale lijn betekende één eenheid, en een hoek van twee liggende lijnen betekende tien. Ze maakten deze lijnen in de vorm van wiggen, omdat de Babyloniërs met een scherpe stok op vochtige kleitabletten schreven, die vervolgens werden gedroogd en gebakken.

Dia 7

Breuken in het oude Egypte
In het oude Egypte bereikte de architectuur een hoog ontwikkelingsniveau. Om grandioze piramides en tempels te bouwen, om de lengtes, oppervlakten en volumes van figuren te berekenen, was het nodig om rekenkunde te kennen. Uit ontcijferde informatie op papyri leerden wetenschappers dat de Egyptenaren 4000 jaar geleden een decimaal (maar niet positioneel) getallensysteem hadden en veel problemen konden oplossen die verband hielden met de behoeften van de bouw, handel en militaire zaken.

Dia 8

Sexagesimale fracties
In het oude Babylon gaven ze de voorkeur aan een constante noemer van 60. Sexagesimale breuken, geërfd van Babylon, werden gebruikt door Griekse en Arabische wiskundigen en astronomen. Onderzoekers verklaren op verschillende manieren de verschijning van het sexagesimale getalsysteem onder de Babyloniërs. Hoogstwaarschijnlijk is hier rekening gehouden met het grondtal 60, wat een veelvoud is van 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60, wat alle berekeningen enorm vereenvoudigt. In dit opzicht kunnen sexagesimale breuken worden vergeleken met onze decimale breuken. In plaats van de woorden “zestigste”, “drieduizendzeshonderdste” zeiden ze kortweg: “eerste kleine breuken”, “tweede kleine breuken”. Dit is waar onze woorden ‘minuut’ (Latijn voor ‘minder’) en ‘tweede’ (Latijn voor ‘tweede’) vandaan komen. De Babylonische manier om breuken te noteren heeft dus tot op de dag van vandaag zijn betekenis behouden.

Dia 9

"Egyptische breuken"
In het oude Egypte hadden sommige breuken hun eigen speciale namen, namelijk 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 en 1/8, die in de praktijk vaak voorkomen. Bovendien wisten de Egyptenaren te werken met zogenaamde aliquotfracties (van het Latijnse aliquot - meerdere) van het type 1/n - ze worden daarom ook wel "Egyptisch" genoemd; deze breuken hadden hun eigen spelling: een langwerpig horizontaal ovaal en daaronder de aanduiding van de noemer. De resterende breuken schreven ze op als een som van aandelen. De breuk 7/8 werd geschreven als breuken: ½+1/4+1/8.

Dia 10

Breuken in het oude Rome
Een interessant systeem van breuken bestond in het oude Rome. Het was gebaseerd op het verdelen van een gewichtseenheid in 12 delen, die ezel werd genoemd. Het twaalfde deel van een aas werd een ounce genoemd. En het pad, de tijd en andere grootheden werden vergeleken met iets visueels: gewicht. Een Romein zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat hij zeven ons van een pad heeft gelopen of vijf ons van een boek heeft gelezen. In dit geval ging het natuurlijk niet om het wegen van het pad of het boek. Dit betekende dat 7/12 van de reis was afgelegd of 5/12 van het boek was gelezen. En voor breuken die werden verkregen door breuken met een noemer van 12 te verkleinen of twaalfden in kleinere te splitsen, waren er speciale namen.
1 troy ounce goud – een maatstaf voor het gewicht van edele metalen

Dia 11

Decimalen ontdekken
De mensheid gebruikt al duizenden jaren fractionele getallen, maar veel later kwamen ze op het idee om ze in handige decimalen te schrijven. Tegenwoordig gebruiken we decimalen op een natuurlijke en vrije manier. In West-Europa 16e eeuw. Naast het wijdverbreide decimale systeem voor het weergeven van gehele getallen, werden overal in berekeningen sexagesimale breuken gebruikt, die teruggaan tot de oude traditie van de Babyloniërs.

Dia 12

Er was de slimme geest van de Nederlandse wiskundige Simon Stevin voor nodig om de opname van zowel gehele als gebroken getallen in één systeem te brengen.

Dia 13

Decimalen gebruiken
Vanaf het begin van de 17e eeuw begon de intensieve penetratie van decimale breuken in de wetenschap en praktijk. In Engeland werd een punt geïntroduceerd als teken dat een geheel deel scheidt van een breukdeel. De komma werd, net als de punt, in 1617 door de wiskundige Napier voorgesteld als scheidingsteken. veel vaker dan gewone breuken.
De ontwikkeling van industrie en handel, wetenschap en technologie vereiste steeds omslachtiger berekeningen, die gemakkelijker uit te voeren waren met behulp van decimale breuken. Decimale breuken werden in de 19e eeuw op grote schaal gebruikt na de introductie van het nauw verwante metrische systeem van maten en gewichten. In ons land, in de landbouw en de industrie, worden decimale breuken en hun speciale vorm - percentages - bijvoorbeeld veel vaker gebruikt dan gewone breuken.

Dia 14

Decimalen gebruiken
Vanaf het begin van de 17e eeuw begon de intensieve penetratie van decimale breuken in de wetenschap en praktijk. In Engeland werd een punt geïntroduceerd als teken dat een geheel deel scheidt van een breukdeel. De komma werd, net als de punt, in 1617 door de wiskundige Napier voorgesteld als scheidingsteken. De ontwikkeling van industrie en handel, wetenschap en technologie vereiste steeds omslachtiger berekeningen, die gemakkelijker uit te voeren waren met behulp van decimale breuken. Decimale breuken werden in de 19e eeuw op grote schaal gebruikt na de introductie van het nauw verwante metrische systeem van maten en gewichten. In ons land, in de landbouw en de industrie, worden decimale breuken en hun speciale vorm - percentages - bijvoorbeeld veel vaker gebruikt dan gewone breuken.

Dia 15

Lijst met bronnen
M.Ya.Vygodsky “Rekenkunde en algebra in de antieke wereld.” G.I. Glazer “Geschiedenis van de wiskunde op school.” I.Ya. Vilenkin N.Ya. “Uit de geschiedenis van breuken” Friedman L.M. "Wij studeren wiskunde." Fracties in Babylon, Egypte, Rome. Ontdekking van decimale breuken... prezentacii.com›Geschiedenis›Ontdekking van decimale breuken...wiskunde "Breuken in Babylon, Egypte, Rome. Ontdekking van decimalen... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Breuken in Babylon, Egypte, Rome. Ontdekking van decimale breuken"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egypte, het oude Rome, Babylon. Ontdekking van decimale breuken."...uchportal.ru›Methodologische ontwikkelingen›Ontdekking van decimale breuken. Geschiedenis van de wiskunde: ...Rome, Babylon. Ontdekking van decimale breuken... rusedu.ru›detail_23107.html 9Presentatie: .. .Het oude Rome, Babylon. Ontdekking van decimale breuken... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Breuken in Babylon, Egypte, Rome... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej. …

Breuken worden nog steeds beschouwd als een van de moeilijkste gebieden van de wiskunde. De geschiedenis van breuken gaat meer dan duizend jaar terug. Het vermogen om een ​​geheel in delen te verdelen ontstond op het grondgebied van het oude Egypte en Babylon. In de loop der jaren zijn bewerkingen met breuken complexer geworden en is de vorm van hun opname veranderd. Elk had zijn eigen kenmerken in zijn ‘relatie’ met deze tak van de wiskunde.

Wat is een breuk?

Toen de behoefte ontstond om een ​​geheel zonder extra inspanning in delen te verdelen, verschenen er breuken. De geschiedenis van breuken is onlosmakelijk verbonden met de oplossing van utilitaire problemen. De term ‘fractie’ zelf heeft Arabische wortels en komt van een woord dat ‘breken, verdelen’ betekent. In deze zin is er sinds de oudheid weinig veranderd. De moderne definitie is als volgt: een breuk is een deel of de som van delen van een eenheid. Dienovereenkomstig vertegenwoordigen voorbeelden met breuken de opeenvolgende uitvoering van wiskundige bewerkingen met breuken van getallen.

Tegenwoordig zijn er twee manieren om ze op te nemen. ontstonden op verschillende tijdstippen: de eerste zijn ouder.

Kwam van oudsher

Voor het eerst begonnen ze met fracties te opereren in Egypte en Babylon. De aanpak van de wiskundigen van de twee landen vertoonde aanzienlijke verschillen. In beide gevallen werd echter op dezelfde manier begonnen. De eerste fractie was de helft of 1/2. Toen ontstond er een kwart, een derde, enzovoort. Volgens archeologische opgravingen gaat de geschiedenis van de oorsprong van fracties ongeveer 5000 jaar terug. Voor het eerst worden fracties van een getal gevonden in Egyptische papyri en op Babylonische kleitabletten.

Het oude Egypte

Soorten gewone breuken omvatten tegenwoordig de zogenaamde Egyptische breuken. Ze vertegenwoordigen de som van verschillende termen van de vorm 1/n. De teller is altijd één en de noemer is een natuurlijk getal. Het is moeilijk te raden dat dergelijke fracties in het oude Egypte verschenen. Bij de berekening hebben we geprobeerd alle aandelen in de vorm van dergelijke bedragen op te schrijven (bijvoorbeeld 1/2 + 1/4 + 1/8). Alleen de breuken 2/3 en 3/4 hadden een aparte aanduiding; de rest was onderverdeeld in termen. Er waren speciale tabellen waarin breuken van een getal als som werden gepresenteerd.

De oudst bekende verwijzing naar een dergelijk systeem wordt gevonden in de Rhind Mathematical Papyrus, daterend uit het begin van het tweede millennium voor Christus. Het bevat een breukentabel en wiskundige problemen met oplossingen en antwoorden gepresenteerd als sommen van breuken. De Egyptenaren wisten hoe ze fracties van een getal moesten optellen, delen en vermenigvuldigen. Breuken in de Nijlvallei werden geschreven met behulp van hiërogliefen.

De weergave van een fractie van een getal als de som van termen van de vorm 1/n, kenmerkend voor het oude Egypte, werd niet alleen in dit land door wiskundigen gebruikt. Tot de middeleeuwen werden in Griekenland en andere landen Egyptische fracties gebruikt.

Ontwikkeling van de wiskunde in Babylon

Wiskunde zag er anders uit in het Babylonische koninkrijk. De geschiedenis van het ontstaan ​​van breuken houdt hier rechtstreeks verband met de eigenaardigheden van het getalsysteem dat de oude staat heeft geërfd van zijn voorganger, de Sumerisch-Akkadische beschaving. De rekentechnologie in Babylon was handiger en geavanceerder dan in Egypte. Wiskunde in dit land loste een veel breder scala aan problemen op.

De hedendaagse prestaties van de Babyloniërs kunnen worden beoordeeld aan de hand van de overgebleven kleitabletten gevuld met spijkerschrift. Dankzij de eigenaardigheden van het materiaal hebben ze ons in grote hoeveelheden bereikt. Volgens sommigen werd in Babylon vóór Pythagoras een bekende stelling ontdekt, die ongetwijfeld getuigt van de ontwikkeling van de wetenschap in deze oude staat.

Breuken: de geschiedenis van breuken in Babylon

Het getallensysteem in Babylon was sexagesimaal. Elk nieuw cijfer verschilde 60 van het vorige. Dit systeem is in de moderne wereld bewaard gebleven om tijd en hoeken aan te geven. Breuken waren ook sexagesimaal. Voor de opname werden speciale iconen gebruikt. Net als in Egypte bevatten voorbeelden met breuken afzonderlijke symbolen voor 1/2, 1/3 en 2/3.

Het Babylonische systeem verdween niet samen met de staat. Breuken geschreven in het 60-cijferige systeem werden gebruikt door oude en Arabische astronomen en wiskundigen.

Het oude Griekenland

De geschiedenis van gewone breuken was in het oude Griekenland weinig verrijkt. De inwoners van Hellas waren van mening dat wiskunde alleen met gehele getallen mocht werken. Daarom werden uitdrukkingen met breuken vrijwel nooit gevonden op de pagina's van oude Griekse verhandelingen. De Pythagoreeërs hebben echter een zekere bijdrage geleverd aan deze tak van de wiskunde. Ze begrepen breuken als verhoudingen of verhoudingen, en de eenheid werd ook als ondeelbaar beschouwd. Pythagoras en zijn studenten bouwden een algemene breuktheorie op, leerden alle vier de rekenkundige bewerkingen uit te voeren en breuken te vergelijken door ze naar een gemeenschappelijke noemer te brengen.

Heilige Roomse Rijk

Het Romeinse systeem van breuken werd geassocieerd met een gewichtsmaat genaamd "ezel". Het was verdeeld in 12 aandelen. 1/12 van een aas werd een ounce genoemd. Er waren 18 namen voor breuken. Hier zijn er een aantal:

halffabrikaten - een halve ezel;

sextante - het zesde deel van de ezel;

zeven ounce - een halve ounce of 1/24 kont.

Het nadeel van een dergelijk systeem was de onmogelijkheid om een ​​getal weer te geven als een breuk met de noemer 10 of 100. Romeinse wiskundigen overwonnen deze moeilijkheid door percentages te gebruiken.

Gemeenschappelijke breuken schrijven

In de oudheid werden breuken al op een bekende manier geschreven: het ene getal over het andere. Er was echter één significant verschil. De teller bevond zich onder de noemer. In het oude India begonnen ze voor het eerst op deze manier breuken te schrijven. De moderne methode werd door de Arabieren gebruikt. Maar geen van de genoemde volkeren gebruikte een horizontale lijn om de teller en de noemer van elkaar te scheiden. Het verschijnt voor het eerst in de geschriften van Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, in 1202.

China

Als de geschiedenis van de opkomst van gewone breuken in Egypte begon, verschenen decimalen voor het eerst in China. In het Hemelse Rijk werden ze rond de 3e eeuw voor Christus gebruikt. De geschiedenis van decimale breuken begon met de Chinese wiskundige Liu Hui, die het gebruik ervan bij het extraheren van vierkantswortels voorstelde.

In de 3e eeuw na Christus werden in China decimale breuken gebruikt om gewicht en volume te berekenen. Geleidelijk begonnen ze steeds dieper in de wiskunde door te dringen. In Europa kwamen decimalen echter pas veel later in gebruik.

Al-Kashi uit Samarkand

Ongeacht Chinese voorgangers werden decimale breuken ontdekt door de astronoom al-Kashi uit de oude stad Samarkand. Hij leefde en werkte in de 15e eeuw. De wetenschapper schetste zijn theorie in de verhandeling 'De sleutel tot de rekenkunde', die in 1427 werd gepubliceerd. Al-Kashi stelde voor om een ​​nieuwe vorm van het schrijven van breuken te gebruiken. Zowel de gehele als de breukdelen werden nu op dezelfde regel geschreven. De Samarkand-astronoom gebruikte geen komma om ze te scheiden. Hij schreef het hele getal en het gedeeltelijke deel in verschillende kleuren met zwarte en rode inkt. Soms gebruikte al-Kashi ook een verticale lijn om te scheiden.

Decimalen in Europa

In de 13e eeuw begon een nieuw type breuken te verschijnen in de werken van Europese wiskundigen. Opgemerkt moet worden dat ze niet bekend waren met de werken van al-Kashi, maar ook niet met de uitvinding van de Chinezen. Decimale breuken verschenen in de geschriften van Jordan Nemorarius. Vervolgens werden ze al in de 16e eeuw gebruikt door een Franse wetenschapper die de 'Wiskundige Canon' schreef, die trigonometrische tabellen bevatte. Vieth gebruikte daarin decimale breuken. Om de hele en gedeeltelijke delen van elkaar te scheiden, gebruikte de wetenschapper een verticale balk, evenals verschillende lettergroottes.

Dit waren echter slechts speciale gevallen van wetenschappelijk gebruik. Decimale breuken werden iets later in Europa gebruikt om alledaagse problemen op te lossen. Dit gebeurde dankzij de Nederlandse wetenschapper Simon Stevin aan het einde van de 16e eeuw. Hij publiceerde het wiskundige werk "Tiende" in 1585. Daarin schetste de wetenschapper de theorie van het gebruik van decimale breuken in de rekenkunde, in het monetaire systeem en voor het bepalen van gewichten en maten.

Punt, punt, komma

Stevin gebruikte ook geen komma. Hij scheidde de twee delen van de breuk met behulp van een nul omgeven door een cirkel.

De eerste keer dat een komma twee delen van een decimale breuk scheidde, was in 1592. In Engeland begonnen ze echter in plaats daarvan een punt te gebruiken. In de Verenigde Staten worden decimalen nog steeds op deze manier geschreven.

Een van de initiatiefnemers van het gebruik van beide leestekens om de gehele en breukdelen te scheiden was de Schotse wiskundige John Napier. Hij drukte zijn voorstel uit in 1616-1617. De Duitse wetenschapper gebruikte ook de komma

Breuken in Rus'

Op Russische bodem was de Novgorod-monnik Kirik de eerste wiskundige die de verdeling van het geheel in delen uitlegde. In 1136 schreef hij een werk waarin hij de methode van ‘jaren tellen’ uiteenzette. Kirik behandelde kwesties als chronologie en kalender. In zijn werk noemde hij ook de verdeling van het uur in delen: kwinten, vijfentwintigsten, enzovoort.

Bij het berekenen van het belastingbedrag in de 15e-17e eeuw werd het geheel in delen verdeeld. Er werd gebruik gemaakt van de bewerkingen optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen met breuken.

Het woord 'fractie' zelf verscheen in Rus in de 8e eeuw. Het komt van het werkwoord ‘splitsen, in delen verdelen’. Onze voorouders gebruikten speciale woorden om breuken te benoemen. 1/2 werd bijvoorbeeld aangeduid als de helft of de helft, 1/4 als een kwart, 1/8 als een half, 1/16 als een half, enzovoort.

De volledige breuktheorie, die niet veel verschilt van de moderne, werd gepresenteerd in het eerste leerboek over rekenen, geschreven in 1701 door Leonty Filippovich Magnitsky. "Rekenen" bestond uit verschillende delen. De auteur gaat uitgebreid in op breuken in de sectie ‘Over gebroken getallen of met breuken.’ Magnitsky geeft bewerkingen met ‘gebroken’ getallen en hun verschillende aanduidingen.

Tegenwoordig behoren breuken nog steeds tot de moeilijkste takken van de wiskunde. De geschiedenis van breuken is ook niet eenvoudig geweest. Verschillende volkeren, soms onafhankelijk van elkaar, en soms leenden ze de ervaring van hun voorgangers, kwamen tot de noodzaak om breuken van getallen te introduceren, te beheersen en te gebruiken. De studie van breuken is altijd voortgekomen uit praktische observaties en dankzij urgente problemen. Het was nodig om het brood te verdelen, gelijke stukken land af te bakenen, belastingen te berekenen, de tijd te meten, enzovoort. De details van het gebruik van breuken en wiskundige bewerkingen daarmee waren afhankelijk van het getalsysteem in de staat en van het algemene ontwikkelingsniveau van de wiskunde. Op de een of andere manier is, na meer dan duizend jaar te hebben overwonnen, het deel van de algebra dat zich bezighoudt met breuken van getallen gevormd, ontwikkeld en wordt het vandaag de dag met succes gebruikt voor een verscheidenheid aan behoeften, zowel praktisch als theoretisch.

1 dia

2 dia

* * http://aida.ucoz.ru Horace Uit “De wetenschap van de poëzie” “Zoon van Albinus! Vertel me eens: als we vijf ons nemen en er één aftrekken, wat blijft er dan over? - "Het derde deel van de aas." "Prachtig! Welnu, u verspilt uw eigendom niet! En als we er één bij de voorgaande vijf optellen, wat is dan het totaal?” - "Half." (Vertaling door M. Dmitriev.) http://aida.ucoz.ru

3 dia

* http://aida.ucoz.ru * De jonge Romein had gelijk! Toen we dit probleem oplosten, kregen we ook: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 dia

* http://aida.ucoz.ru “Zorgvuldig” Synoniemen: nauwkeurig, subtiel, grondig, netjes, gewetensvol, sieraden, punctueel, pedant, filigraan, onvergetelijk. En dit vreemde woord ‘scrupuleus’ komt van de Romeinse naam voor 1/288 assa – ‘scrupulus’. http://aida.ucoz.ru

5 dia

* http://aida.ucoz.ru * De volgende namen werden ook gebruikt: "semis" - een halve aas, "sextance" - een zesde ervan, "semiounce" - een halve ounce, dat wil zeggen 1/24 van een aas, enz. .d. In totaal werden 18 verschillende namen voor breuken gebruikt. Om met breuken te werken, moest je de opteltabel en de tafel van vermenigvuldiging onthouden. Daarom wisten de Romeinse kooplieden zeker dat bij het optellen van triens (1/3 assa) en sextans het resultaat semis is, en bij het vermenigvuldigen van de demon (2/3 assa) met sescunce (2/3 ounce, dat wil zeggen 1/3 ounce). 8 assa), het resultaat is een ounce. Om het werk te vergemakkelijken zijn speciale tabellen samengesteld, waarvan sommige bij ons terecht zijn gekomen. http://aida.ucoz.ru

6 dia

Na de overwinning besloot Gaius Julius Caesar zijn voorhoede te belonen en kende hen eerst 24 ounces en vervolgens 36 ounces toe. Hoeveel azen heeft het detachement ontvangen? Oplossing: 24 ounces is 2 ezels, en 36 ounces is 3 azen, 3 +2 = 5 ezels ontvangen door de ploeg. Antwoord: 5 azen. Het probleem van Misha Ivanov

Dia 7

De taak van Angelina Glibina In het oude Rome werden krijgers geëerd die kracht en moed toonden in de strijd. Hoeveel azen waren er nodig om 6 krijgers te belonen als ze elk 2 azen en 6 ounces kregen? Oplossing: 6 vermenigvuldigd met 2 azen, we krijgen 12 azen - dit werd gegeven voor slechts 6 krijgers, dan vermenigvuldigen we 6 met 6, we krijgen 36 ounces, en in één aas zijn er 12 ounces, we krijgen 3 ezels, we tellen er 3 bij op tot 12 krijgen we 15 ezels. Antwoord: 15 azen.

Breuken in het oude Rome. Een interessant systeem van breuken bestond in het oude Rome. Het was gebaseerd op het verdelen van een gewichtseenheid in 12 delen, die ezel werd genoemd. Het twaalfde deel van een aas werd een ounce genoemd. En het pad, de tijd en andere grootheden werden vergeleken met iets visueels: gewicht. Een Romein zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat hij zeven ons van een pad heeft gelopen of vijf ons van een boek heeft gelezen. In dit geval ging het natuurlijk niet om het wegen van het pad of het boek. Dit betekende dat 7/12 van de reis was afgelegd of 5/12 van het boek was gelezen. En voor breuken die werden verkregen door breuken met een noemer van 12 te verkleinen of twaalfden in kleinere te splitsen, waren er speciale namen.

Dia 12 uit de presentatie "De geschiedenis van breuken". De omvang van het archief met de presentatie is 403 KB.

Wiskunde 6e leerjaar

samenvatting van andere presentaties

"Rotatiekegellichaam" - kegel. Het tweede been van een rechthoekige driehoek r is de straal aan de basis van de kegel. De vereniging van de beschrijvende lijnen van een kegel wordt het beschrijvende (of laterale) oppervlak van de kegel genoemd. Het segment dat de bovenkant en de grens van de basis verbindt, wordt de generatrix van de kegel genoemd. Scannen. De sectorhoek in de ontwikkeling van het zijoppervlak van de kegel wordt bepaald door de formule: ? = 360°·(r/l). Het vormoppervlak van de kegel is een conisch oppervlak.

"Wiskundige hersenring" - keuze van de jury. Examen. Hoek. Driehoek en vierkant. Procent. Kom met wiskundige concepten. Kegel. Hoeveel bezuinigingen heb je gemaakt? Fouten. Telefoongesprek. Serieus onderwerp. Team. Fractie. Kapiteins competitie. Wat is zwaarder dan één kilo spijkers of watten? Anagram. Toernooi tafel. Opwarmen. Vijf minuten. Anagrammen. Centimeter. Presentatie van commando's. Een getal dat noch priemgetal noch samengesteld is. Kleinste natuurlijke getal.

"Parallelle lijnen in een vlak" - Pappus (III eeuw na Christus). Moderne definitie. (Euclides). Verschillende definities van parallelle lijnen... In het leven komen we vaak het concept van parallellisme tegen. “Twee rechte lijnen die in hetzelfde vlak liggen en op gelijke afstand van elkaar liggen.” Treinongeluk. Kortsluiting, geen elektriciteit. Uit de geschiedenis van parallelle lijnen. W. Oughtred (1575-1660). Begonnen. Euclides (lll eeuw voor Christus). De kolommen van het Parthenon (het oude Griekenland, 447-438 v.Chr.) zijn ook parallel.

"Meeteenheden van hoeveelheden" - Meeteenheden. Eenheden van tijd. Problemen met de verhouding van tijdseenheden. Problemen met lengte-eenheden. In welke eeuw werd de lijfeigenschap in Rusland afgeschaft? Lichaamslengte van een pygmee-aap. Eenheden van lengte. Eenheden van oppervlakte. Volume-eenheden. Afmetingen aquarium.

"Problemen met het gebied van figuren" - Een letteruitdrukking voor het vinden van S en P. Schrijf de formules op voor het gebied en de omtrek van figuren. Rechthoekig parallellepipedum. Het tuinperceel is omgeven door een hekwerk. We kochten 39 m tapijt. Zoek de S en P van de hele figuur. Vierkant en rechthoek. Er is een perceel grond toegewezen voor de bouw van een woongebouw. Zoek het gebied van de gearceerde figuur. Er is een zwembad op het grondgebied van het sanatorium. Parallellepipedum. In de kinderkamer moet de vloer worden geïsoleerd met vloerbedekking.

"Ratio in wiskunde" - Of welk deel het eerste getal is van het tweede. Opwarmen. Wat laat de verhouding tussen twee getallen zien? Vriendelijke betrekkingen. Hoe vaak is het eerste getal groter dan het tweede? Wat laat houding zien? De leraar is streng voor zijn leerlingen. Welk deel van het eerste getal is het tweede. Lengte verhouding Familie relaties. Massaverhouding Het antwoord kan ook als decimaal of als percentage worden geschreven. Uit een stuk stof van 5 m lang is 2 m gesneden. Welk deel van het stuk stof is afgesneden?

Geschiedenis van de oorsprong van breuken

Invoering

De behoefte aan fractionele getallen ontstond bij mensen in een zeer vroeg ontwikkelingsstadium. Reeds de verdeling van de buit, bestaande uit verschillende gedode dieren, tussen de deelnemers aan de jacht, wanneer het aantal dieren geen veelvoud bleek te zijn van het aantal jagers, kon de primitieve mens tot het concept van een fractioneel getal leiden.

Naast de noodzaak om objecten te tellen, hebben mensen sinds de oudheid ook de behoefte gehad om lengte, oppervlakte, volume, tijd en andere grootheden te meten. Het resultaat van metingen is niet altijd in een natuurlijk getal uit te drukken; er moet ook rekening gehouden worden met delen van de gebruikte maatstaf. Historisch gezien zijn fracties ontstaan ​​uit het meetproces.

De behoefte aan nauwkeurigere metingen leidde ertoe dat de aanvankelijke meeteenheden in 2, 3 of meer delen werden opgesplitst. De kleinere maateenheid, die door fragmentatie ontstond, kreeg een eigen naam, en hoeveelheden werden gemeten door deze kleinere eenheid.

Breuken in het oude Rome

De Romeinen gebruikten de basiseenheid van massameting, en ook de munteenheid was “ezel”. De ezel was verdeeld in 12 gelijke delen - ounces. Alle breuken met een noemer van 12 werden daaruit opgeteld, dat wil zeggen 1/12, 2/12, 3/12... Na verloop van tijd werden ounces gebruikt om elke hoeveelheid te meten.

Zo ontstonden de Romeinen duodecimale breuken, dat wil zeggen breuken waarvan de noemer altijd een getal is geweest 12 . In plaats van 1/12 zeiden de Romeinen “één ounce”, 5/12 – “vijf ounces”, enz. Drie ons werd een kwart genoemd, vier ons een derde, zes ons een half.

Er waren slechts 18 verschillende fracties in gebruik:

SIMIS - halve aas;

SEXSTANCE is het zesde deel ervan;

SECUNCTIE – achtste;

TRIENS - derde van de ezel;

BES – tweederde;

OUNCE - twaalfde van een aas;

ZEVEN ONS – een half ounce.

Breuken in het oude Egypte

Eeuwenlang noemden de Egyptenaren breuken ‘gebroken getallen’, en de eerste breuk waarmee ze kennis maakten was 1/2. Het werd gevolgd door 1/4, 1/8, 1/16, ..., dan 1/3, 1/6, ..., d.w.z. de eenvoudigste breuken worden eenheid of genoemd basisfracties. Hun teller is altijd één. Pas veel later begonnen de Grieken, daarna de Indiërs en andere volkeren, breuken van een algemene vorm te gebruiken, de zogenaamde gewone, waarin de teller en de noemer elk natuurlijk getal kunnen zijn.

In het oude Egypte bereikte de architectuur een hoog ontwikkelingsniveau. Om grandioze piramides en tempels te bouwen, om de lengtes, oppervlakten en volumes van figuren te berekenen, was het nodig om rekenkunde te kennen.

Uit ontcijferde informatie op papyri leerden wetenschappers dat de Egyptenaren 4000 jaar geleden een decimaal (maar niet positioneel) getallensysteem hadden en veel problemen konden oplossen die verband hielden met de behoeften van de bouw, handel en militaire zaken.

Een van de eerste bekende verwijzingen naar Egyptische breuken is de wiskundige Rhind-papyrus. Drie oudere teksten waarin Egyptische breuken worden genoemd, zijn de Egyptische Wiskundige Leren Rol, de Moskouse Wiskundige Papyrus en de Akhmim Houten Tablet. De Rhind Papyrus bevat een tabel met Egyptische breuken voor rationale getallen van de vorm 2/ N, evenals 84 wiskundige problemen, hun oplossingen en antwoorden, geschreven in de vorm van Egyptische breuken.

De Egyptenaren plaatsten de hiëroglief ( eh, "[een] van" of met betrekking tot, mond) boven het getal om een ​​eenheidsfractie in de gewone notatie aan te duiden, maar in heilige teksten werd een lijn gebruikt. Bijv.:

Ze hadden ook speciale symbolen voor de breuken 1/2, 2/3 en 3/4, die ook gebruikt konden worden om andere breuken (groter dan 1/2) te schrijven.

De resterende breuken schreven ze op als een som van aandelen. Ze schreven de breuk in het formulier
, maar het teken “+” werd niet aangegeven. En het bedrag
geschreven in de vorm . Bijgevolg is deze notatie voor gemengde getallen (zonder het “+” teken) sindsdien bewaard gebleven.

Babylonische sexagesimale fracties

De inwoners van het oude Babylon creëerden ongeveer drieduizend jaar voor Christus een meetsysteem dat vergelijkbaar was met ons metrische systeem, alleen was het niet gebaseerd op het getal 10, maar op het getal 60, waarin de kleinere meeteenheid was onderdeel van de hogere eenheid. Dit systeem werd door de Babyloniërs volledig gevolgd voor het meten van tijd en hoeken, en wij erfden van hen de verdeling van uren en graden in 60 minuten, en minuten in 60 seconden.

Onderzoekers verklaren op verschillende manieren de verschijning van het sexagesimale getalsysteem onder de Babyloniërs. Hoogstwaarschijnlijk is hier rekening gehouden met het grondtal 60, wat een veelvoud is van 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60, wat alle berekeningen enorm vereenvoudigt.

Zestigsten waren gebruikelijk in het leven van de Babyloniërs. Daarom gebruikten ze zestigtallig breuken waarvan de noemer altijd het getal 60 is of de machten ervan: 60 2, 60 3, enz. In dit opzicht kunnen sexagesimale breuken worden vergeleken met onze decimale breuken.

De Babylonische wiskunde beïnvloedde de Griekse wiskunde. Sporen van het Babylonische sexagesimale getalsysteem zijn in de moderne wetenschap blijven hangen bij het meten van tijd en hoeken. De verdeling van uren in 60 minuten, minuten in 60 seconden, cirkels in 360 graden, graden in 60 minuten, minuten in 60 seconden is tot op de dag van vandaag bewaard gebleven.

De Babyloniërs leverden waardevolle bijdragen aan de ontwikkeling van de astronomie. Wetenschappers van alle landen gebruikten tot de 17e eeuw sexagesimale fracties in de astronomie en noemden ze astronomisch in fracties. Daarentegen werden de algemene breuken die we gebruiken genoemd normaal.

Nummering en breuken in het oude Griekenland

Omdat de Grieken slechts sporadisch met breuken werkten, gebruikten ze verschillende notaties. Heron en Diophantus, de beroemdste rekenkundigen onder de oude Griekse wiskundigen, schreven breuken in alfabetische vorm, waarbij de teller onder de noemer werd geplaatst. Maar in principe werd de voorkeur gegeven aan breuken met een eenheidsteller of aan sexagesimale breuken.

De tekortkomingen van de Griekse breuknotatie, inclusief het gebruik van sexagesimale breuken in het decimale getalsysteem, waren niet te wijten aan gebreken in de fundamentele principes. De tekortkomingen van het Griekse getalsysteem kunnen eerder worden toegeschreven aan hun nadruk op nauwkeurigheid, waardoor de moeilijkheden die gepaard gaan met het analyseren van de relatie tussen incommensurabele grootheden aanzienlijk groter zijn geworden. De Grieken begrepen het woord 'getal' als een reeks eenheden, dus wat we nu beschouwen als een enkel rationeel getal - een breuk - begrepen de Grieken als de verhouding van twee gehele getallen. Dit verklaart waarom breuken zelden werden aangetroffen in de Griekse rekenkunde.

Breuken in Rus'

In de Russische handgeschreven rekenkunde uit de 17e eeuw werden breuken breuken genoemd, later ‘gebroken getallen’. In oude handleidingen vinden we de volgende namen van breuken in Rus':

1/2 - de helft, de helft

1/3 – derde

1/4 – zelfs

1/6 – een half derde

1/8 - de helft

1/12 – een half derde

1/16 - een halve helft

1/24 – half en een half derde (klein derde)

1 / 32 – half half half (kleine helft)

1/5 – pyatina

1/7 - week

1/10 - tiende

Slavische nummering werd in Rusland gebruikt tot de 16e eeuw, waarna het decimale positienummersysteem geleidelijk het land binnendrong. Het verdrong uiteindelijk de Slavische nummering onder Peter I.

Breuken in andere staten van de oudheid

In het Chinese ‘Wiskunde in Negen Secties’ vinden reducties van breuken en alle bewerkingen met breuken al plaats.

Bij de Indiase wiskundige Brahmagupta vinden we een redelijk ontwikkeld systeem van breuken. Hij komt verschillende breuken tegen: zowel basische breuken als afgeleide breuken met welke teller dan ook. De teller en de noemer worden op dezelfde manier geschreven als wij nu doen, maar dan zonder horizontale lijn, maar gewoon boven elkaar geplaatst.

De Arabieren waren de eersten die de teller van de noemer scheidden met een lijn.

Leonardo van Pisa schrijft al breuken, waarbij hij in het geval van een gemengd getal het hele getal aan de rechterkant plaatst, maar leest het op dezelfde manier als onder ons gebruikelijk is. Jordan Nemorarius (XIII eeuw) deelt breuken door de teller te delen door de teller en de noemer door de noemer, waardoor delen wordt vergeleken met vermenigvuldigen. Om dit te doen, moet je de voorwaarden van de eerste breuk aanvullen met factoren:

In de 15e – 16e eeuw neemt de studie van breuken een vorm aan die ons al bekend is en wordt geformaliseerd in ongeveer dezelfde secties die in onze leerboeken voorkomen.

Opgemerkt moet worden dat het rekengedeelte over breuken lange tijd een van de moeilijkste is geweest. Niet voor niets hebben de Duitsers nog steeds het gezegde: ‘In fracties komen’, wat betekende dat je in een hopeloze situatie terechtkwam. Men geloofde dat iedereen die geen breuken kent, geen rekenkunde kent.

Decimalen

Decimale breuken verschenen in de werken van Arabische wiskundigen in de Middeleeuwen en onafhankelijk daarvan in het oude China. Maar zelfs eerder, in het oude Babylon, werden fracties van hetzelfde type gebruikt, alleen zestigtallig.

Later publiceerde de wetenschapper Hartmann Beyer (1563-1625) het werk “Decimal Logistics”, waarin hij schreef: “... Ik merkte dat technici en ambachtslieden, wanneer ze welke lengte dan ook meten, dit zeer zelden en alleen in uitzonderlijke gevallen uitdrukken in gehele getallen met dezelfde naam; Meestal moeten ze kleine maatregelen nemen of hun toevlucht nemen tot fracties. Op dezelfde manier meten astronomen hoeveelheden niet alleen in graden, maar ook in fracties van een graad, d.w.z. minuten, seconden, enz. Het verdelen ervan in 60 delen is niet zo handig als het verdelen in 10, 100 delen, enz., omdat het in het laatste geval veel gemakkelijker is om op te tellen, af te trekken en in het algemeen rekenkundige bewerkingen uit te voeren; Het lijkt mij dat decimale breuken, als ze worden ingevoerd in plaats van sexagesimale breuken, niet alleen nuttig zouden zijn voor de astronomie, maar ook voor allerlei soorten berekeningen.”

Tegenwoordig gebruiken we decimalen op een natuurlijke en vrije manier. Wat ons natuurlijk lijkt, vormde echter een echt struikelblok voor wetenschappers uit de Middeleeuwen. In West-Europa 16e eeuw. Naast het wijdverbreide decimale systeem voor het weergeven van gehele getallen, werden overal in berekeningen sexagesimale breuken gebruikt, die teruggaan tot de oude traditie van de Babyloniërs. Er was de slimme geest van de Nederlandse wiskundige Simon Stevin voor nodig om de opname van zowel gehele als gebroken getallen in één systeem te brengen. Blijkbaar waren de tabellen met samengestelde rente die hij samenstelde de aanleiding voor het creëren van decimale breuken. In 1585 publiceerde hij het boek Tithes, waarin hij decimale breuken uitlegde.

Vanaf het begin van de 17e eeuw begon de intensieve penetratie van decimale breuken in de wetenschap en praktijk. In Engeland werd een punt geïntroduceerd als teken dat een geheel deel scheidt van een breukdeel. De komma werd, net als de punt, in 1617 door de wiskundige Napier voorgesteld als scheidingsteken.

De ontwikkeling van industrie en handel, wetenschap en technologie vereiste steeds omslachtiger berekeningen, die gemakkelijker uit te voeren waren met behulp van decimale breuken. Decimale breuken werden in de 19e eeuw op grote schaal gebruikt na de introductie van het nauw verwante metrische systeem van maten en gewichten. In ons land, in de landbouw en de industrie, worden decimale breuken en hun speciale vorm - percentages - bijvoorbeeld veel vaker gebruikt dan gewone breuken.

Literatuur:

M.Ya.Vygodsky “Rekenkunde en algebra in de antieke wereld” (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer “Geschiedenis van de wiskunde op school” (M. Prosveshcheniye, 1964)

I.Ya.Depman “Geschiedenis van de rekenkunde” (M. Enlightenment, 1959)