41.1. Σχέδια για την εφαρμογή ορισμένου ολοκληρώματος

Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή κάποιου γεωμετρικού ή φυσικού μεγέθους Α (εμβαδόν σχήματος, όγκος σώματος, πίεση ρευστού σε κάθετη πλάκα κ.λπ.) που σχετίζεται με ένα τμήμα μεταβολής στην ανεξάρτητη μεταβλητή x. Θεωρείται ότι αυτή η ποσότητα Α είναι προσθετική, δηλ. τέτοια ώστε κατά την κατανομή του τμήματος [a; β] σημείο με є (a; b) στο μέρος [a; s] και [s; β] την τιμή του A που αντιστοιχεί σε ολόκληρο το τμήμα [a; β], ίσο με το άθροισμα των τιμών του που αντιστοιχούν σε [a; s] και [s; σι].

Για να βρείτε αυτήν την τιμή Α, μπορείτε να καθοδηγηθείτε από ένα από τα δύο σχήματα: το σχήμα I (ή τη μέθοδο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων) και το σχήμα II (ή τη διαφορική μέθοδο).

Το πρώτο σχήμα βασίζεται στον ορισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

1. Χρησιμοποιώντας σημεία x 0 = a, x 1 ,..., x n = b, διαιρέστε το τμήμα [a;b] σε n μέρη. Σύμφωνα με αυτό, η ποσότητα Α που μας ενδιαφέρει θα χωριστεί σε n «στοιχειώδεις όρους» ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.

2. Παρουσιάστε κάθε «στοιχειώδη όρο» ως γινόμενο κάποιας συνάρτησης (που ορίζεται από τις προβληματικές συνθήκες) που υπολογίζεται σε ένα αυθαίρετο σημείο του αντίστοιχου τμήματος από το μήκος του: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.

Κατά την εύρεση της κατά προσέγγιση τιμής του ΔA i, επιτρέπονται ορισμένες απλοποιήσεις: το τόξο σε μια μικρή περιοχή μπορεί να αντικατασταθεί από μια χορδή που συστέλλει τα άκρα του. Η μεταβλητή ταχύτητα σε μια μικρή περιοχή μπορεί να θεωρηθεί περίπου σταθερή κ.λπ.

Λαμβάνουμε μια κατά προσέγγιση τιμή της ποσότητας Α με τη μορφή ενός ολοκληρωτικού αθροίσματος:

3. Η απαιτούμενη τιμή Α είναι ίση με το όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος, δηλ.

Η υποδεικνυόμενη «μέθοδος αθροισμάτων», όπως βλέπουμε, βασίζεται στην αναπαράσταση του ολοκληρώματος ως το άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού απειροελάχιστων όρων.

Το σχήμα I χρησιμοποιήθηκε για να διευκρινίσει τη γεωμετρική και φυσική σημασία του οριστικού ολοκληρώματος.

Το δεύτερο σχήμα είναι ένα ελαφρώς τροποποιημένο σχήμα Ι και ονομάζεται «διαφορική μέθοδος» ή «μέθοδος απόρριψης απειροελάχιστων υψηλότερων τάξεων»:

1) στο τμήμα [a;b] επιλέγουμε μια αυθαίρετη τιμή x και θεωρούμε τη μεταβλητή τμήμα [a; Χ]. Σε αυτό το τμήμα, η ποσότητα A γίνεται συνάρτηση του x: A = A(x), δηλ. υποθέτουμε ότι μέρος της επιθυμητής ποσότητας A είναι μια άγνωστη συνάρτηση A(x), όπου x є είναι μια από τις παραμέτρους του Ποσότητα Α;

2) βρίσκουμε το κύριο μέρος της αύξησης ΔA όταν το x αλλάζει κατά ένα μικρό ποσό Δx = dx, δηλ. βρίσκουμε το διαφορικό dA της συνάρτησης A = A(x): dA = ƒ(x) dx, όπου ƒ(x ), που προσδιορίζεται από τις συνθήκες του προβλήματος , μια συνάρτηση της μεταβλητής x (εδώ είναι επίσης δυνατές διάφορες απλοποιήσεις).

3) υποθέτοντας ότι dA ≈ ΔA για Δx → 0, βρίσκουμε την επιθυμητή τιμή ενσωματώνοντας το dA στην περιοχή από a έως b:

41.2. Υπολογισμός εμβαδών επίπεδων σχημάτων

Ορθογώνιες συντεταγμένες

Όπως έχει ήδη διαπιστωθεί (βλ. «γεωμετρική έννοια ορισμένου ολοκληρώματος»), το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x (ƒ(x) ≥ 0) είναι ίσο με το αντίστοιχο οριστικό ολοκλήρωμα:

Ο τύπος (41.1) λήφθηκε με την εφαρμογή του σχήματος Ι - η μέθοδος αθροίσματος. Ας δικαιολογήσουμε τον τύπο (41.1) χρησιμοποιώντας το σχήμα II. Έστω το καμπύλο τραπεζοειδές οριοθετημένο από τις ευθείες y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (βλ. Εικ. 174).

Για να βρούμε την περιοχή S αυτού του τραπεζοειδούς, εκτελούμε τις ακόλουθες πράξεις:

1. Πάρτε ένα αυθαίρετο x О [a; b] και θα υποθέσουμε ότι S = S(x).

2. Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Η συνάρτηση S = S(x) θα λάβει μια αύξηση ΔS, η οποία είναι η περιοχή του «στοιχειώδους καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς» (επισημαίνεται στο σχήμα).

Το διαφορικό εμβαδού dS είναι το κύριο μέρος της αύξησης ΔS στο Δχ → 0, και προφανώς είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση dx και ύψος y: dS = y dx.

3. Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από x = a έως x = b, παίρνουμε

Σημειώστε ότι εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Οι τύποι (41.1) και (41.2) μπορούν να συνδυαστούν σε έναν:

Εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από καμπύλες y = fι(x) και y = ƒг(x), ευθείες x = a και x = b (παρέχεται ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (βλ. 175), μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν μια επίπεδη φιγούρα έχει «σύνθετο» σχήμα (βλ. Εικ. 176), τότε θα πρέπει να χωριστεί σε μέρη με ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα Oy, ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν ήδη γνωστοί τύποι.

Εάν ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο περιορίζεται από ευθείες γραμμές y = c και y = d, ο άξονας Oy και μια συνεχής καμπύλη x = φ(y) ≥ 0 (βλ. Εικ. 177), τότε το εμβαδόν του βρίσκεται με τον τύπο

Και τέλος, εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές περιορίζεται από μια καμπύλη που ορίζεται παραμετρικά

ευθείες x = aix = b και ο άξονας Ox, τότε το εμβαδόν του βρίσκεται από τον τύπο

όπου τα α και β προσδιορίζονται από τις ισότητες x(a) = a και x(β) = b.

Παράδειγμα 41.1. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τον άξονα Ox και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 - 2x για το x є.

Λύση: Το σχήμα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 178. Βρείτε το εμβαδόν του S:

Παράδειγμα 41.2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από την έλλειψη x = a cos t, y = b sin t.

Λύση: Ας βρούμε πρώτα το 1/4 της περιοχής S. Εδώ το x αλλάζει από 0 σε a, επομένως, το t αλλάζει από σε 0 (βλ. Εικ. 179). Βρίσκουμε:

Ετσι . Αυτό σημαίνει S = π аВ.

Πολικές συντεταγμένες

Ας βρούμε το εμβαδόν S ενός καμπυλόγραμμου τομέα, δηλαδή ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από μια συνεχή ευθεία r=r(φ) και δύο ακτίνες φ=a και φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - διαφορική μέθοδος.

1. Θα θεωρήσουμε μέρος της επιθυμητής περιοχής S ως συνάρτηση της γωνίας φ, δηλ. S = S(φ), όπου ένα ≤ φ ≤ β (αν φ = a, τότε S(a) = 0, αν φ=β, τότε S(β) = S).

2. Εάν η τρέχουσα πολική γωνία φ λάβει μια αύξηση Δφ = dφ, τότε η αύξηση στην περιοχή AS είναι ίση με την περιοχή του "στοιχειακού καμπυλόγραμμου τομέα" OAB.

Το διαφορικό dS αντιπροσωπεύει το κύριο μέρος της αύξησης ΔS στο dφ → 0 και ισούται με το εμβαδόν του κυκλικού τομέα O AC (σκιασμένο στο σχήμα) ακτίνας r με κεντρική γωνία dφ. Να γιατί

3. Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από φ = a έως φ = β, παίρνουμε το απαιτούμενο εμβαδόν

Παράδειγμα 41.3. Βρείτε το εμβαδόν της φιγούρας που οριοθετείται από το «τρίφυλλο τριαντάφυλλο» r=acos3φ (βλ. Εικ. 181).

Λύση: Ας βρούμε πρώτα το εμβαδόν του μισού ενός πετάλου του «τριανταφυλλιού», δηλαδή το 1/6 του συνολικού εμβαδού του σχήματος:

δηλ. Επομένως,

Εάν μια επίπεδη φιγούρα έχει "σύνθετο" σχήμα, τότε οι ακτίνες που εκπέμπονται από τον πόλο θα πρέπει να το χωρίσουν σε καμπυλόγραμμους τομείς, στους οποίους θα πρέπει να εφαρμοστεί ο τύπος που προκύπτει για να βρεθεί η περιοχή. Έτσι, για το σχήμα που φαίνεται στο Σχήμα 182, έχουμε:

41.3. Υπολογισμός του μήκους τόξου μιας επίπεδης καμπύλης

Ορθογώνιες συντεταγμένες

Έστω μια επίπεδη καμπύλη ΑΒ σε ορθογώνιες συντεταγμένες, η εξίσωση της οποίας είναι y=ƒ(x), όπου a≤x≤ b.

Το μήκος του τόξου ΑΒ νοείται ως το όριο στο οποίο τείνει το μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής που εγγράφεται σε αυτό το τόξο όταν ο αριθμός των συνδέσμων της διακεκομμένης γραμμής αυξάνεται απεριόριστα και το μήκος του μεγαλύτερου συνδέσμου τείνει στο μηδέν. Ας δείξουμε ότι αν η συνάρτηση y=ƒ(x) και η παράγωγός της y" = ƒ"(x) είναι συνεχείς στο διάστημα [a; b], τότε η καμπύλη ΑΒ έχει μήκος ίσο με

Ας εφαρμόσουμε το σχήμα I (μέθοδος αθροίσματος).

1. Σημεία x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Το μήκος μιας χορδής (ή ενός συνδέσμου μιας διακεκομμένης γραμμής) ΔL 1 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα από ένα τρίγωνο με σκέλη Δx i και Δου i:

Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange για την πεπερασμένη αύξηση της συνάρτησης Δу i =ƒ"(с i) Δх i, όπου ci є (x i-1;x i). Επομένως

και το μήκος ολόκληρης της διακεκομμένης γραμμής M 0 M 1 ... M n είναι ίσο με

3.Μήκος μεγάλοΗ καμπύλη ΑΒ, εξ ορισμού, είναι ίση με

.

Σημειώστε ότι για το ΔL i → 0 επίσης Δx i → 0 ΔLi = και επομένως |Δx i |<ΔL i).

Λειτουργία είναι συνεχής στο διάστημα [a; b], αφού, κατά συνθήκη, η συνάρτηση ƒ"(x) είναι συνεχής. Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος (41.4), όταν max Δx i → 0 :

Ετσι, ή σε συντομογραφία μεγάλο =

Αν η εξίσωση της καμπύλης ΑΒ δίνεται σε παραμετρική μορφή

όπου x(t) και y(t) είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους και x(a) = a, x(β) = b, τότε το μήκος μεγάλοΗ καμπύλη ΑΒ βρίσκεται από τον τύπο

Ο τύπος (41.5) μπορεί να ληφθεί από τον τύπο (41.3) αντικαθιστώντας x = x(t),dx = x"(t)dt,

Παράδειγμα 41.4. Βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας R.

Λύση: Ας βρούμε το 1/4 του μήκους του από το σημείο (0;R) στο σημείο (R;0) (βλ. Εικ. 184). Επειδή Οτι

Που σημαίνει, μεγάλο= 2π R. Αν η εξίσωση ενός κύκλου είναι γραμμένη σε παραμετρική μορφή x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), τότε

Ο υπολογισμός του μήκους τόξου μπορεί να βασίζεται στην εφαρμογή της διαφορικής μεθόδου. Ας δείξουμε πώς μπορεί να ληφθεί ο τύπος (41.3) εφαρμόζοντας το σχήμα II (διαφορική μέθοδος).

1. Πάρτε μια αυθαίρετη τιμή x є [a; b] και θεωρήστε το μεταβλητό τμήμα [a;x]. Το μέγεθος πάνω του μεγάλογίνεται συνάρτηση του x, δηλ. μεγάλο = μεγάλο(Χ) ( μεγάλο(α) = 0 και μεγάλο(β) = μεγάλο).

2. Βρείτε το διαφορικό δλλειτουργίες μεγάλο = μεγάλο(x) όταν το x αλλάζει κατά ένα μικρό ποσό Δх = dx: δλ = μεγάλο«(x)dx. Ας βρούμε μεγάλο"(x), αντικαθιστώντας το απειροελάχιστο τόξο MN με τη χορδή Δ μεγάλο, συστέλλοντας αυτό το τόξο (βλ. Εικ. 185):

3. Ενσωματώνοντας dl στο εύρος από το a έως το b, παίρνουμε

Ισότητα ονομάζεται τύπος διαφορικού τόξου σε ορθογώνιες συντεταγμένες.

Αφού y" x = -dy/dx, τότε

Ο τελευταίος τύπος είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα για το απειροελάχιστο τρίγωνο MST (βλ. Εικ. 186).

Πολικές συντεταγμένες

Έστω η καμπύλη ΑΒ που δίνεται από την εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες r = r(φ), a≤φ≤β. Ας υποθέσουμε ότι τα r(φ) και r"(φ) είναι συνεχόμενα στο διάστημα [a;β].

Εάν στις ισότητες x = rcosφ, y = rsinφ, που συνδέουν τις πολικές και καρτεσιανές συντεταγμένες, η γωνία φ θεωρείται παράμετρος, τότε η καμπύλη ΑΒ μπορεί να καθοριστεί παραμετρικά

Εφαρμόζοντας τον τύπο (41.5), παίρνουμε

Παράδειγμα 41.5. Να βρείτε το μήκος του καρδιοειδούς r = = a(1 + cosφ).

Λύση: Το καρδιοειδές r = a(1 + cosφ) έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 187. Είναι συμμετρικό ως προς τον πολικό άξονα. Ας βρούμε το μισό μήκος του καρδιοειδούς:

Έτσι, 1/2l= 4a. Αυτό σημαίνει l= 8a.

41.4. Υπολογισμός όγκου σώματος

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος από γνωστές περιοχές παράλληλων τομών

Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί ο όγκος V ενός σώματος και το εμβαδόν S των τμημάτων αυτού του σώματος κατά επίπεδα κάθετα σε κάποιον άξονα, για παράδειγμα ο άξονας Ox, είναι γνωστό: S = S(x), a ≤ x ≤ b .

1. Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο x є σχεδιάζουμε ένα επίπεδο ∏ κάθετο στον άξονα Ox (βλ. Εικ. 188). Ας υποδηλώσουμε με S(x) την περιοχή διατομής του σώματος με αυτό το επίπεδο. Το S(x) θεωρείται γνωστό και μεταβάλλεται συνεχώς καθώς το x αλλάζει. Έστω v(x) που συμβολίζει τον όγκο του μέρους του σώματος που βρίσκεται στα αριστερά του επιπέδου P. Υποθέτουμε ότι στο τμήμα [a; x] η τιμή v είναι συνάρτηση του x, δηλαδή v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Να βρείτε το διαφορικό dV της συνάρτησης v = v(x). Αντιπροσωπεύει ένα «στοιχειώδες στρώμα» του σώματος, που περικλείεται μεταξύ παράλληλων επιπέδων που τέμνουν τον άξονα Ox στα σημεία x και x+Δx, το οποίο μπορεί περίπου να ληφθεί ως κύλινδρος με βάση S(x) και ύψος dx. Επομένως, η διαφορά όγκου dV = S(x) dx.

3. Βρείτε την επιθυμητή τιμή V ενσωματώνοντας το dA στην περιοχή από a έως B:

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται τύπος για τον όγκο ενός σώματος από το εμβαδόν των παράλληλων τμημάτων.

Παράδειγμα 41.6. Βρείτε τον όγκο του ελλειψοειδούς

Λύση: Κοπή του ελλειψοειδούς με επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο Oyz και σε απόσταση x από αυτό (-α ≤х≤α), λαμβάνουμε μια έλλειψη (βλ. Εικ. 189):

Η περιοχή αυτής της έλλειψης είναι

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (41.6), έχουμε

Όγκος σώματος περιστροφής

Αφήστε ένα καμπύλο τραπεζοειδές να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, οριοθετημένο από μια συνεχή γραμμή y = ƒ(x) 0, ένα τμήμα a ≤ x ≤ b και ευθείες x = a και x = b (βλ. Εικ. 190). Το σχήμα που προκύπτει από την περιστροφή ονομάζεται σώμα περιστροφής. Τομή αυτού του σώματος από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα Ox, που σύρεται από ένα αυθαίρετο σημείο x του άξονα Ox (x Î [ΕΝΑ; b]), υπάρχει ένας κύκλος με ακτίνα y= ƒ(x). Επομένως S(x)= π y 2.

Εφαρμόζοντας τον τύπο (41.6) για τον όγκο ενός σώματος με βάση το εμβαδόν των παράλληλων τομών, λαμβάνουμε

Εάν ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο περιορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης x = φ(y) ≥ 0 και ευθείες x = 0, y = c,

y = d (γ< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Παράδειγμα 41.7. Βρείτε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές γύρω από τον άξονα Oy (βλ. Εικ. 191).

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον τύπο (41.8) βρίσκουμε:

41,5. Υπολογισμός επιφάνειας περιστροφής

Έστω η καμπύλη AB μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ƒ(x) ≥ 0, όπου x є [a;b], και η συνάρτηση y = ƒ(x) και η παράγωγός της y"=ƒ"(x) είναι συνεχείς σε αυτό το τμήμα.

Ας βρούμε το εμβαδόν S της επιφάνειας που σχηματίζεται περιστρέφοντας την καμπύλη AB γύρω από τον άξονα Ox.

Ας εφαρμόσουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος).

1. Μέσω ενός αυθαίρετου σημείου x є [a; β] σχεδιάστε ένα επίπεδο ∏ κάθετο στον άξονα Ox. Το επίπεδο ∏ τέμνει την επιφάνεια της περιστροφής κατά μήκος ενός κύκλου με ακτίνα y = ƒ(x) (βλ. Εικ. 192). Η τιμή S της επιφάνειας του τμήματος του σχήματος της περιστροφής που βρίσκεται στα αριστερά του επιπέδου είναι συνάρτηση του x, δηλαδή s=s(x) (s(a)=0 και s(b)=S).

2. Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δх = dx. Μέσω του σημείου x + dx є [a; β] σχεδιάζουμε και επίπεδο κάθετο στον άξονα Ox. Η συνάρτηση s=s(x) θα λάβει την προσαύξηση Az, που φαίνεται στο σχήμα ως «ζώνη».

Ας βρούμε τη διαφορά του εμβαδού ds αντικαθιστώντας το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ των τμημάτων με έναν κόλουρο κώνο, του οποίου η γενεά είναι ίση με δλ, και οι ακτίνες των βάσεων είναι ίσες με y και y + dy. Το εμβαδόν της πλευρικής του επιφάνειας είναι ds= π (y+y+ dy) δλ=2π στο δλ + π dydl. Απορρίπτοντας το γινόμενο dydl ως απειροελάχιστο υψηλότερης τάξης από το ds, λαμβάνουμε ds=2 π στο δλ, ή, από τότε

3. Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από x = a έως x = b, λαμβάνουμε

Εάν η καμπύλη ΑΒ δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2, τότε ο τύπος (41.9) για το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής παίρνει τη μορφή

Παράδειγμα 41.8. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας μπάλας ακτίνας R.

Παράδειγμα 41.9. Δίνεται ένα κυκλοειδές

Βρείτε την επιφάνεια που σχηματίζεται περιστρέφοντάς την γύρω από τον άξονα Ox.

Λύση: Όταν το μισό του κυκλοειδούς τόξου περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, η επιφάνεια περιστροφής είναι ίση με

41.6. Μηχανικές εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

Εργασία μεταβλητής δύναμης

Αφήστε το υλικό σημείο Μ να κινηθεί κατά μήκος του άξονα Ox υπό την επίδραση μιας μεταβλητής δύναμης F = F(x), που κατευθύνεται παράλληλα προς αυτόν τον άξονα. Το έργο που εκτελείται από μια δύναμη όταν μετακινείται το σημείο M από τη θέση x = a στη θέση x = b (α< b), находится по формуле (см. п. 36).

Παράδειγμα 41.10 Πόση δουλειά πρέπει να γίνει για να τεντώσει ένα ελατήριο κατά 0,05 m εάν μια δύναμη 100 N τεντώσει το ελατήριο κατά 0,01 m;

Λύση: Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, η ελαστική δύναμη που τεντώνει το ελατήριο είναι ανάλογη με αυτό το τέντωμα x, δηλαδή F = kx, όπου k είναι ο συντελεστής αναλογικότητας. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μια δύναμη F = 100 N τεντώνει το ελατήριο κατά x = 0,01 m. Επομένως, 100 = k*0,01, επομένως k = 10000; επομένως, F = 10000x.

Η απαιτούμενη εργασία με βάση τον τύπο (41.10) ισούται με

Παράδειγμα 41.11. Βρείτε την εργασία που απαιτείται για την άντληση υγρού πάνω από την άκρη από μια κατακόρυφη κυλινδρική δεξαμενή ύψους N m και ακτίνας βάσης R m.

Λύση: Το έργο που απαιτείται για την ανύψωση ενός σώματος βάρους p σε ύψος h ισούται με p h. Αλλά διαφορετικά στρώματα υγρού στη δεξαμενή βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη και το ύψος της ανόδου (μέχρι την άκρη της δεξαμενής) των διαφορετικών στρωμάτων δεν είναι το ίδιο.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, εφαρμόζουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος). Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο Σχήμα 193.

1. Η εργασία που δαπανήθηκε για την άντληση ενός στρώματος υγρού πάχους x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Το κύριο μέρος της αύξησης ΔA το βρίσκουμε όταν το x μεταβάλλεται κατά το ποσό Δx = dx, δηλ. βρίσκουμε το διαφορικό dA της συνάρτησης A(x).

Λόγω της μικρότητας του dx, υποθέτουμε ότι το «στοιχειώδες» στρώμα του υγρού βρίσκεται στο ίδιο βάθος x (από την άκρη της δεξαμενής) (βλ. Εικ. 193). Τότε dA = dp*x, όπου dp είναι το βάρος αυτού του στρώματος. ισούται με g *g dv, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, g είναι η πυκνότητα του υγρού, dv είναι ο όγκος του «στοιχειώδους» στρώματος του υγρού (επισημαίνεται στο σχήμα), δηλ. dp = gg dv. Ο όγκος του υποδεικνυόμενου στρώματος υγρού είναι προφανώς ίσος με π R 2 dx, όπου dx είναι το ύψος του κυλίνδρου (στρώμα), π R 2 είναι το εμβαδόν της βάσης του, δηλαδή dv= π R 2 dx.

Άρα dp=gg π R 2 dx και dA = gg π R 2 dx*x.

3) Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στην περιοχή από x = 0 έως x = H, βρίσκουμε

Το μονοπάτι που διένυσε το σώμα

Αφήστε ένα υλικό σημείο να κινείται ευθύγραμμα με μεταβλητή ταχύτητα v=v(t). Ας βρούμε τη διαδρομή S που διένυσε κατά το χρονικό διάστημα από t 1 έως t 2.

Λύση: Από τη φυσική έννοια της παραγώγου είναι γνωστό ότι όταν ένα σημείο κινείται προς μία κατεύθυνση, «η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης είναι ίση με τη χρονική παράγωγο της διαδρομής», δηλ. προκύπτει ότι dS = v(t)dt. Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στην περιοχή από t 1 έως t 2, λαμβάνουμε

Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το σχήμα I ή II για την εφαρμογή ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

Παράδειγμα 41.12. Βρείτε τη διαδρομή που διένυσε το σώμα σε 4 δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης, αν η ταχύτητα του σώματος είναι v(t) = 10t + 2 (m/s).

Λύση: Αν v(t)=10t+2 (m/s), τότε η διαδρομή που διανύει το σώμα από την αρχή της κίνησης (t=0) έως το τέλος του 4ου δευτερολέπτου είναι ίση με

Πίεση υγρού σε κάθετη πλάκα

Σύμφωνα με το νόμο του Pascal, η πίεση ενός υγρού σε μια οριζόντια πλάκα είναι ίση με το βάρος της στήλης αυτού του υγρού, που έχει ως βάση την πλάκα και το ύψος του είναι το βάθος βύθισής του από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. , δηλαδή P = g*g* S* h, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, g είναι η πυκνότητα του υγρού, S είναι η περιοχή της πλάκας, h είναι το βάθος της βύθισής της.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι αδύνατο να αναζητήσετε την πίεση του υγρού σε μια κατακόρυφα βυθισμένη πλάκα, καθώς τα διαφορετικά σημεία της βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη.

Έστω ένα πιάτο βυθισμένο κατακόρυφα σε ένα υγρό, οριοθετημένο από τις γραμμές x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) και y 2 = ƒ 2 (x); το σύστημα συντεταγμένων επιλέγεται όπως φαίνεται στο Σχήμα 194. Για να βρούμε την πίεση ρευστού P σε αυτή την πλάκα, εφαρμόζουμε το σχήμα II (διαφορική μέθοδος).

1. Έστω μέρος της επιθυμητής τιμής P συνάρτηση του x: p=p(x), δηλαδή p=p(x) είναι η πίεση σε τμήμα της πλάκας που αντιστοιχεί στο τμήμα [a; x] τιμές της μεταβλητής x, όπου x є [a; b] (p(a)=0,p(b) = P).

2. Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Δх = dx. Η συνάρτηση p(x) θα λάβει μια αύξηση Δρ (στο σχήμα υπάρχει μια λωρίδα-στρώμα πάχους dx). Ας βρούμε το διαφορικό dp αυτής της συνάρτησης. Λόγω της μικρότητας του dx, θα θεωρήσουμε κατά προσέγγιση τη λωρίδα παραλληλόγραμμο, του οποίου όλα τα σημεία βρίσκονται στο ίδιο βάθος x, δηλαδή αυτή η πλάκα είναι οριζόντια.

Τότε σύμφωνα με το νόμο του Πασκάλ

3. Ενσωματώνοντας την προκύπτουσα ισότητα στο εύρος από x = a έως x = B, λαμβάνουμε

Παράδειγμα 41.13. Προσδιορίστε την ποσότητα της πίεσης του νερού σε ένα ημικύκλιο κατακόρυφα βυθισμένο σε υγρό εάν η ακτίνα του είναι R και το κέντρο του O είναι στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού (βλ. Εικ. 195).

Η στατική ροπή S y αυτού του συστήματος σε σχέση με τον άξονα προσδιορίζεται ομοίως

Εάν οι μάζες κατανέμονται συνεχώς κατά μήκος κάποιας καμπύλης, τότε θα χρειαστεί ολοκλήρωση για να εκφραστεί η στατική ροπή.

Έστω y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) η εξίσωση της υλικής καμπύλης ΑΒ. Θα το θεωρήσουμε ομοιογενές με σταθερή γραμμική πυκνότητα g (g = const).

Για ένα αυθαίρετο x є [a; β] στην καμπύλη ΑΒ υπάρχει ένα σημείο με συντεταγμένες (x;y). Ας επιλέξουμε ένα στοιχειώδες τμήμα μήκους dl στην καμπύλη που περιέχει το σημείο (x;y). Τότε η μάζα αυτού του τμήματος είναι ίση με g dl. Ας πάρουμε αυτό το τμήμα dl περίπου ως ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση y από τον άξονα Ox. Τότε το διαφορικό της στατικής ροπής dS x («στοιχειώδης ροπή») θα είναι ίσο με g dly, δηλαδή dS x = g dlу (βλ. Εικ. 196).

Από αυτό προκύπτει ότι η στατική ροπή S x της καμπύλης ΑΒ σε σχέση με τον άξονα Ox είναι ίση με

Παρομοίως βρίσκουμε το S y:

Οι στατικές ροπές S x και S y της καμπύλης καθιστούν εύκολο τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου βάρους της (κέντρο μάζας).

Το κέντρο βάρους μιας καμπύλης υλικού επιπέδου y = ƒ(x), x Î είναι ένα σημείο στο επίπεδο που έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν ολόκληρη η μάζα m μιας δεδομένης καμπύλης είναι συγκεντρωμένη σε αυτό το σημείο, τότε η στατική ροπή του αυτό το σημείο σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων θα είναι ίσο με τη στατική ροπή ολόκληρης της καμπύλης y = ƒ (x) σε σχέση με τον ίδιο άξονα. Ας συμβολίσουμε με C(x c;y c) το κέντρο βάρους της καμπύλης ΑΒ.

Από τον ορισμό του κέντρου βάρους ακολουθούν οι ισότητες Από εδώ

Υπολογισμός στατικών ροπών και συντεταγμένων του κέντρου βάρους ενός επίπεδου σχήματος

Έστω ένα υλικό επίπεδο σχήμα (πλάκα), οριοθετημένο από την καμπύλη y = ƒ(x) 0 και τις ευθείες y = 0, x = a, x = b (βλ. Εικ. 198).

Θα υποθέσουμε ότι η επιφανειακή πυκνότητα της πλάκας είναι σταθερή (g = const). Τότε η μάζα ολόκληρης της πλάκας είναι ίση με g * S, δηλ. Ας επιλέξουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της πλάκας με τη μορφή μιας απείρως στενής κάθετης λωρίδας και ας το θεωρήσουμε περίπου ορθογώνιο.

Τότε η μάζα του είναι ίση με g ydx. Το κέντρο βάρους C ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται στην τομή των διαγωνίων του ορθογωνίου. Αυτό το σημείο C βρίσκεται 1/2*y από τον άξονα Ox και x από τον άξονα Oy (περίπου, πιο συγκεκριμένα, σε απόσταση x+ 1/2 ∆x). Στη συνέχεια, για στοιχειώδεις στατικές ροπές σε σχέση με τους άξονες Ox και Oy ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις:

Άρα, το κέντρο βάρους έχει συντεταγμένες

Αρχική > Διάλεξη

Διάλεξη 18. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος.

18.1. Υπολογισμός εμβαδών επίπεδων σχημάτων.

Είναι γνωστό ότι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σε ένα τμήμα αντιπροσωπεύει την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). Εάν το γράφημα βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ox, δηλ. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, τότε η περιοχή έχει ένα σύμβολο "+".

Για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια, χρησιμοποιήστε τον τύπο.

Το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ορισμένες γραμμές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ορισμένα ολοκληρώματα εάν οι εξισώσεις αυτών των γραμμών είναι γνωστές.

Παράδειγμα.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x, y = x2, x = 2.

Η απαιτούμενη περιοχή (σκιασμένη στο σχήμα) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

18.2. Εύρεση του εμβαδού ενός κυρτού τομέα.

Για να βρούμε την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τομέα, εισάγουμε ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων. Η εξίσωση της καμπύλης που περιορίζει τον τομέα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή  = f(), όπου  είναι το μήκος του διανύσματος ακτίνας που συνδέει τον πόλο με ένα αυθαίρετο σημείο στην καμπύλη και  είναι η γωνία κλίσης του αυτό το διάνυσμα ακτίνας προς τον πολικό άξονα.

Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τομέα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

18.3. Υπολογισμός του μήκους τόξου μιας καμπύλης.

y y = f(x)

S i y i

Το μήκος της διακεκομμένης γραμμής που αντιστοιχεί στο τόξο μπορεί να βρεθεί ως
.

Τότε το μήκος του τόξου είναι
.

Από γεωμετρικούς λόγους:

Ταυτοχρονα

Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι

Εκείνοι.

Εάν η εξίσωση της καμπύλης δοθεί παραμετρικά, τότε λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον υπολογισμό της παραμετρικά δεδομένης παραγώγου, παίρνουμε

,

όπου x = (t) και y = (t).

Εάν έχει οριστεί χωρική καμπύλη, και x = (t), y = (t) και z = Z(t), τότε

Αν η καμπύλη δίνεται πολικές συντεταγμένες, Οτι

,  = f().

Παράδειγμα:Να βρείτε την περιφέρεια του κύκλου που δίνεται από την εξίσωση x 2 + y 2 = r 2 .

1 τρόπος.Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή y από την εξίσωση.

Ας βρούμε την παράγωγο

Τότε S = 2r. Πήραμε τον γνωστό τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου.

Μέθοδος 2.Αν παρουσιάσουμε τη δεδομένη εξίσωση στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, παίρνουμε: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, δηλ. συνάρτηση  = f() = r,
Επειτα

18.4. Υπολογισμός όγκων σωμάτων.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος από τα γνωστά εμβαδά των παράλληλων τομών του.

Έστω ένα σώμα όγκου V. Η περιοχή οποιασδήποτε διατομής του σώματος Q είναι γνωστή ως συνεχής συνάρτηση Q = Q(x). Ας χωρίσουμε το σώμα σε «στρώσεις» με διατομές που διέρχονται από τα σημεία x i του διαμερίσματος του τμήματος. Επειδή Εάν η συνάρτηση Q(x) είναι συνεχής σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο τμήμα του διαμερίσματος, τότε παίρνει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε αυτό. Ας τα συμβολίσουμε M i και m i , αντίστοιχα.

Αν σε αυτά τα μεγαλύτερα και μικρότερα τμήματα κατασκευάσουμε κυλίνδρους με γενετικές παράλληλες στον άξονα x, τότε οι όγκοι αυτών των κυλίνδρων θα είναι αντίστοιχα ίσοι με M i x i και m i x i εδώ x i = x i - x i -1.

Έχοντας κάνει τέτοιες κατασκευές για όλα τα τμήματα του χωρίσματος, λαμβάνουμε κυλίνδρους των οποίων οι όγκοι είναι ίσοι, αντίστοιχα
Και
.

Καθώς το βήμα διαμερίσματος  τείνει στο μηδέν, αυτά τα αθροίσματα έχουν ένα κοινό όριο:

Έτσι, ο όγκος του σώματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Το μειονέκτημα αυτού του τύπου είναι ότι για να βρείτε τον όγκο πρέπει να γνωρίζετε τη συνάρτηση Q(x), η οποία είναι πολύ προβληματική για πολύπλοκα σώματα.

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας ακτίνας R.

Στις διατομές της μπάλας προκύπτουν κύκλοι μεταβλητής ακτίνας y. Ανάλογα με την τρέχουσα συντεταγμένη x, αυτή η ακτίνα εκφράζεται με τον τύπο
.

Τότε η συνάρτηση επιφάνειας διατομής έχει τη μορφή: Q(x) =
.

Παίρνουμε τον όγκο της μπάλας:

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας με ύψος H και εμβαδόν βάσης S.

Όταν η πυραμίδα τέμνεται από επίπεδα κάθετα στο ύψος, σε διατομή παίρνουμε σχήματα παρόμοια με τη βάση. Ο συντελεστής ομοιότητας αυτών των σχημάτων είναι ίσος με τον λόγο x/H, όπου x είναι η απόσταση από το επίπεδο τομής στην κορυφή της πυραμίδας.

Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι ο λόγος των εμβαδών όμοιων σχημάτων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας στο τετράγωνο, δηλ.

Από εδώ λαμβάνουμε τη συνάρτηση των περιοχών διατομής:

Εύρεση του όγκου της πυραμίδας:

18.5. Όγκος σωμάτων περιστροφής.

Θεωρήστε την καμπύλη που δίνεται από την εξίσωση y = f(x). Έστω ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα. Αν το αντίστοιχο καμπυλόγραμμο τραπέζιο με βάσεις a και b περιστραφεί γύρω από τον άξονα Ox, τότε παίρνουμε το λεγόμενο σώμα περιστροφής.

y = f(x)

Επειδή κάθε τμήμα του σώματος κατά επίπεδο x = const είναι ένας κύκλος ακτίνας
, τότε ο όγκος του σώματος περιστροφής μπορεί εύκολα να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο:

18.6. Επιφάνεια ενός σώματος επανάστασης.

Μι Β

Ορισμός: Επιφάνεια περιστροφήςΗ καμπύλη ΑΒ γύρω από έναν δεδομένο άξονα είναι το όριο στο οποίο τείνουν οι περιοχές των επιφανειών περιστροφής των διακεκομμένων γραμμών που εγγράφονται στην καμπύλη ΑΒ όταν το μεγαλύτερο από τα μήκη των συνδέσμων αυτών των διακεκομμένων γραμμών τείνει στο μηδέν.

Ας χωρίσουμε το τόξο ΑΒ σε n μέρη με σημεία M 0, M 1, M 2, ..., M n. Οι συντεταγμένες των κορυφών της διακεκομμένης γραμμής που προκύπτει έχουν συντεταγμένες x i και y i . Κατά την περιστροφή της διακεκομμένης γραμμής γύρω από τον άξονα, λαμβάνουμε μια επιφάνεια που αποτελείται από τις πλευρικές επιφάνειες των κόλουρων κώνων, το εμβαδόν της οποίας είναι ίσο με P i. Αυτή η περιοχή μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ S i είναι το μήκος κάθε συγχορδίας.

Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Lagrange (βλ. Θεώρημα Lagrange) σε σχέση
.

Θέμα 6.10. Γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

1. Το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y =f(x)(f(x)>0), ευθείες x = a, x = b και τμήμα [a, b] του άξονα Ox, υπολογίζεται με τον τύπο

2. Εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις καμπύλες y = f (x) και y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Εάν μια καμπύλη δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις x = x (t), y = y (t), τότε η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από αυτή την καμπύλη και τις ευθείες x = a, x = b βρίσκεται από ο τύπος

4. Έστω S (x) το εμβαδόν διατομής του σώματος κατά ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα Ox, τότε ο όγκος του τμήματος του σώματος που περικλείεται μεταξύ των επιπέδων x = a και x = b κάθετο στο ο άξονας βρίσκεται από τον τύπο

5. Έστω ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο, που οριοθετείται από την καμπύλη y = f (x) και ευθείες y = 0, x = a και x = b, να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, τότε ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται από το τύπος

6. Έστω ένα καμπύλο τραπεζοειδές που οριοθετείται από την καμπύλη x = g (y) και

ευθείες x = 0, y = c και y = d, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, τότε ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται με τον τύπο

7. Εάν μια επίπεδη καμπύλη σχετίζεται με ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και δίνεται από την εξίσωση y = f (x) (ή x = F (y)), τότε το μήκος του τόξου καθορίζεται από τον τύπο

Διάλεξη 21 Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος (2 ώρες)

Γεωμετρικές Εφαρμογές

ΕΝΑ) Περιοχή του σχήματος

Όπως έχει ήδη σημειωθεί στη Διάλεξη 19, είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη στο = φά(Χ), ευθεία Χ = ΕΝΑ, Χ = σικαι το τμήμα [ ένα, σι] άξονας OX. Επιπλέον, εάν φά(Χ) 0 £ στις [ ένα, σι], τότε το ολοκλήρωμα πρέπει να ληφθεί με το σύμβολο μείον.

Αν σε δεδομένο διάστημα η συνάρτηση στο = φά(Χ) αλλάζει πρόσημο, στη συνέχεια για να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης και του άξονα OX, θα πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα σε μέρη, σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της και να βρείτε την περιοχή ​κάθε μέρος του σχήματος. Η απαιτούμενη περιοχή σε αυτήν την περίπτωση είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε αυτά τα τμήματα και τα ολοκληρώματα που αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές της συνάρτησης λαμβάνονται σε αυτό το άθροισμα με πρόσημο μείον.

Αν ένα σχήμα οριοθετείται από δύο καμπύλες στο = φά 1 (Χ) Και στο = φά 2 (Χ), φά 1 (Χ)£ φά 2 (Χ), τότε, όπως προκύπτει από το Σχ. 9, το εμβαδόν του είναι ίσο με τη διαφορά στα εμβαδά των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών ΕΝΑΉλιος σιΚαι ΕΝΑΕΝΑ Δ σι, καθένα από τα οποία είναι αριθμητικά ίσο με το ολοκλήρωμα. Που σημαίνει,

Σημειώστε ότι η περιοχή του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 10α βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο: S = (απόδειξε το!). Σκεφτείτε πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 10β;

Μιλούσαμε μόνο για καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή δίπλα στον άξονα OX. Όμως παρόμοιοι τύποι ισχύουν και για ψηφία δίπλα στον άξονα OU. Για παράδειγμα, η περιοχή του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 11 βρίσκεται από τον τύπο

Αφήστε τη γραμμή y=φά(Χ), που οριοθετεί ένα καμπύλο τραπεζοειδές, μπορεί να δοθεί με παραμετρικές εξισώσεις, tО , και j(a)= ΕΝΑ, j(b) = σι, δηλ. στο= . Τότε η περιοχή αυτού του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με

.

σι) Καμπύλη μήκος τόξου

Ας δοθεί η καμπύλη στο = φά(Χ). Ας θεωρήσουμε το τόξο αυτής της καμπύλης που αντιστοιχεί στη μεταβολή Χστο τμήμα [ ένα, σι]. Ας βρούμε το μήκος αυτού του τόξου. Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε το τόξο ΑΒ σε Πμέρη κατά σημεία A = M 0, M 1, M 2, ..., M Π= B (Εικ. 14), που αντιστοιχεί στα σημεία Χ 1 , Χ 2 , ..., x n Î [ ένα, σι].

Ας υποδηλώσουμε το Δ l iμήκος τόξου, λοιπόν μεγάλο= . Αν το τόξο είναι D l iείναι αρκετά μικρά, τότε μπορούν να θεωρηθούν περίπου ίσα με τα μήκη των αντίστοιχων τμημάτων που συνδέουν τα σημεία M Εγώ-1,Μ Εγώ. Αυτά τα σημεία έχουν συντεταγμένες Μ Εγώ -1 (x i -1, φά (x i-1)), Μ Εγώ(x i, φά(x i)). Τότε τα μήκη των τμημάτων είναι ίσα, αντίστοιχα

Εδώ χρησιμοποιείται ο τύπος του Lagrange. Ας βάλουμε x i – x i-1 =Δ x i, παίρνουμε

Επειτα μεγάλο = , που

μεγάλο = .

Έτσι, το μήκος τόξου της καμπύλης στο = φά(Χ), που αντιστοιχεί στην αλλαγή Χστο τμήμα [ ένα, σι], που βρέθηκε από τον τύπο

μεγάλο = , (1)

Εάν η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, tО, δηλ. y(t) = φά(Χ(t)), τότε από τον τύπο (1) παίρνουμε:

μεγάλο=
.

Αυτό σημαίνει ότι εάν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά, τότε το μήκος του τόξου αυτής της καμπύλης αντιστοιχεί στη μεταβολή tΟ, βρίσκεται από τον τύπο

V) Τόμος ενός σώματος επανάστασης.

Εικ.15

Σκεφτείτε ένα καμπύλο τραπεζοειδές ΕΝΑΑΒ σι, που οριοθετείται από μια γραμμή στο = φά(Χ), ευθεία Χ = ΕΝΑ, Χ = σικαι το τμήμα [ ένα,σι] άξονας OX (Εικ. 15). Αφήστε αυτό το τραπεζοειδές να περιστραφεί γύρω από τον άξονα OX, το αποτέλεσμα θα είναι ένα σώμα περιστροφής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο όγκος αυτού του σώματος θα είναι ίσος με

Ομοίως, μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα OU, που περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης Χ= j( στο), ευθεία y = ντο , y = ρεκαι το τμήμα [ ντο,ρε] άξονας του op-amp (Εικ. 15):

Φυσικές εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

Στη Διάλεξη 19 αποδείξαμε ότι από φυσική άποψη, το ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με τη μάζα μιας ευθύγραμμης λεπτής ανομοιογενούς ράβδου μήκους μεγάλο= σι – ένα, με μεταβλητή γραμμική πυκνότητα r = φά(Χ), φά(Χ) ³ 0, όπου Χ– την απόσταση από το σημείο της ράβδου στο αριστερό της άκρο.

Ας εξετάσουμε άλλες φυσικές εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πρόβλημα 1. Βρείτε το έργο που απαιτείται για την άντληση λαδιού από κάθετη κυλινδρική δεξαμενή με ύψος H και ακτίνα βάσης R. Η πυκνότητα του λαδιού είναι r.

Λύση.Ας φτιάξουμε ένα μαθηματικό μοντέλο αυτού του προβλήματος. Αφήστε τον άξονα OX να περάσει κατά μήκος του άξονα συμμετρίας ενός κυλίνδρου ύψους H και ακτίνας R, η αρχή είναι στο κέντρο της άνω βάσης του κυλίνδρου (Εικ. 17). Ας χωρίσουμε τον κύλινδρο σε Πμικρά οριζόντια μέρη. Τότε πού A i– εργασίες άντλησης Εγώου στρώμα. Αυτή η διαίρεση του κυλίνδρου αντιστοιχεί στη διαίρεση του τμήματος αλλαγής στο ύψος του στρώματος σε Πεξαρτήματα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα στρώματα που βρίσκονται σε απόσταση x iαπό την επιφάνεια, πλάτος Δ Χ(ή αμέσως dx). Η άντληση αυτού του στρώματος μπορεί να θεωρηθεί ως «ανύψωση» του στρώματος σε ύψος x i.

Τότε η εργασία για την άντληση αυτού του στρώματος είναι ίση με

A i"Ρ i x i, ,

όπου ο Π Εγώ=rgV Εγώ= rgpR 2 dx, Ρ Εγώ– βάρος, V Εγώ– όγκος του στρώματος. Επειτα A i"Ρ i x i= rgpR 2 δχ.χ θ, που

, και ως εκ τούτου .

Πρόβλημα 2. Βρείτε τη ροπή αδράνειας

α) ένας κοίλος κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τον άξονα συμμετρίας του·

β) ένας συμπαγής κύλινδρος σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τον άξονα συμμετρίας του.

γ) μια λεπτή ράβδο μήκους μεγάλοσε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τη μέση του·

δ) λεπτό μήκος ράβδου μεγάλοσε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από το αριστερό του άκρο.

Λύση.Όπως είναι γνωστό, η ροπή αδράνειας ενός σημείου ως προς τον άξονα είναι ίση με J=κύριος 2, και συστήματα σημείων.

α) Ο κύλινδρος είναι με λεπτό τοίχωμα, που σημαίνει ότι το πάχος των τοιχωμάτων μπορεί να παραμεληθεί. Έστω η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου R, το ύψος του H και η πυκνότητα μάζας στα τοιχώματα είναι ίση με r.

Ας χωρίσουμε τον κύλινδρο σε Πμέρη και βρείτε πού J i- ροπή αδράνειας Εγώτο στοιχείο του διαμερίσματος.

Ας σκεφτούμε Εγώτο στοιχείο του διαμερίσματος (απειροελάχιστος κύλινδρος). Όλα τα σημεία του βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα μεγάλο. Αφήστε τη μάζα αυτού του κυλίνδρου t i, Επειτα t i= rV Εγώ» rS πλευρά= 2prR dx i, Οπου x iΟ. Επειτα J i» R 2 prR dx i, που

.

Αν το r είναι σταθερά, τότε J= 2prR 3 N, και εφόσον η μάζα του κυλίνδρου είναι ίση με M = 2prRΝ, τότε J=MR 2.

β) Αν ο κύλινδρος είναι συμπαγής (γεμάτος), τότε τον χωρίζουμε σε Π vloλεπτοί κύλινδροι που συνδέονται ο ένας μέσα στον άλλο. Αν Πείναι μεγάλος, καθένας από αυτούς τους κύλινδρους μπορεί να θεωρηθεί με λεπτό τοίχωμα. Αυτό το διαμέρισμα αντιστοιχεί στο διαμέρισμα του τμήματος σε Πμέρη με σημεία R Εγώ. Ας βρούμε τη μάζα Εγώο κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα: t i= rV Εγώ, Οπου

V Εγώ= pR Εγώ 2 H – pR Εγώ- 1 2 Η = pH(R Εγώ 2 –R Εγώ -1 2) =

PH(R Εγώ– R Εγώ-1) (R Εγώ+R Εγώ -1).

Λόγω του γεγονότος ότι τα τοιχώματα του κυλίνδρου είναι λεπτά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το R Εγώ+R Εγώ-1 » 2R Εγώ, και R Εγώ– R Εγώ-1 = DR Εγώ, μετά V Εγώ» pH2R Εγώ D.R. Εγώ, που t i» rpН×2R Εγώ D.R. Εγώ,

Μετά τέλος

γ) Θεωρήστε μια ράβδο μήκους μεγάλο, του οποίου η πυκνότητα μάζας είναι ίση με r. Αφήστε τον άξονα περιστροφής να περάσει από τη μέση του.

Μοντελοποιούμε τη ράβδο ως τμήμα του άξονα OX, τότε ο άξονας περιστροφής της ράβδου είναι ο άξονας OU. Ας θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα, η μάζα του, η απόσταση από τον άξονα μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίσα r i= x i. Τότε η ροπή αδράνειας αυτού του τμήματος είναι ίση με , οπότε η ροπή αδράνειας ολόκληρης της ράβδου είναι ίση με . Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μάζα της ράβδου είναι ίση με , τότε

δ) Ας περάσει τώρα ο άξονας περιστροφής από το αριστερό άκρο της ράβδου, δηλ. Το μοντέλο της ράβδου είναι ένα τμήμα του άξονα OX. Τότε ομοίως, r i= x i, , που , και απο τοτε .

Εργασία 3.Να βρείτε τη δύναμη πίεσης ενός υγρού με πυκνότητα r σε ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη ΕΝΑΚαι σι, βυθισμένο κατακόρυφα σε υγρό έτσι ώστε το πόδι ΕΝΑβρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού.

Λύση.

Ας φτιάξουμε ένα μοντέλο του προβλήματος. Έστω η κορυφή της ορθής γωνίας του τριγώνου στην αρχή, το σκέλος ΕΝΑσυμπίπτει με ένα τμήμα του άξονα OU (ο άξονας OU καθορίζει την επιφάνεια του υγρού), ο άξονας OX κατευθύνεται προς τα κάτω, το σκέλος σισυμπίπτει με ένα τμήμα αυτού του άξονα. Η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου έχει την εξίσωση , ή .

Είναι γνωστό ότι εάν σε μια οριζόντια περιοχή της περιοχής μικρό, βυθισμένο σε υγρό πυκνότητας r, πιέζεται από στήλη υγρού ύψους η, τότε η δύναμη πίεσης είναι ίση (νόμος Pascal). Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον νόμο.

1. Εμβαδόν επίπεδης φιγούρας.

Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από μια μη αρνητική συνάρτηση f(x), άξονας x και ευθείες γραμμές x = α, x = β, ορίζεται ως S = ∫ a b f x d x .

Εμβαδόν κυρτού τραπεζοειδούς

Εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από μια συνάρτηση f(x), τέμνοντας τον άξονα της τετμημένης, προσδιορίζεται από τον τύπο S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i– μηδενικά της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, για να υπολογίσετε την περιοχή αυτού του αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα συνάρτηση μηδενικά f(x)σε μέρη, ενσωματώστε τη λειτουργία φάγια καθένα από τα προκύπτοντα διαστήματα σταθερού πρόσημου, προσθέστε χωριστά τα ολοκληρώματα στα τμήματα στα οποία η συνάρτηση φάπαίρνει διαφορετικά πρόσημα και αφαιρεί το δεύτερο από το πρώτο.

2. Περιοχή του καμπυλωμένου τομέα.

Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τομέα Εξετάστε την καμπύλη ρ = ρ (φ) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, όπου ρ (φ) – συνεχής και μη αρνητική σε [α; β] λειτουργία. Σχήμα που οριοθετείται από μια καμπύλη ρ (φ) και ακτίνες φ = α , φ = β , ονομάζεται καμπυλόγραμμος τομέας. Η περιοχή του καμπυλόγραμμου τομέα είναι S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Όγκος σώματος περιστροφής.

Όγκος σώματος περιστροφής

Αφήστε το σώμα να σχηματιστεί με περιστροφή γύρω από τον άξονα OX ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από μια συνεχή γραμμή στο τμήμα λειτουργία f(x). Ο όγκος του εκφράζεται με τον τύπο V = π ∫ a b f 2 x d x.

Στο πρόβλημα της εύρεσης του όγκου ενός σώματος από το εμβαδόν της διατομής του

Αφήστε το σώμα να περικλείεται ανάμεσα σε επίπεδα x = αΚαι x = β, και την περιοχή του τμήματός του από το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Χ, – συνεχής στο τμήμα λειτουργία σ(x). Τότε ο όγκος του είναι ίσος με V = ∫ a b σ x d x .

4. Μήκος του τόξου της καμπύλης.

Έστω η καμπύλη r → t = x t , y t , z t Στη συνέχεια το μήκος της τομής της περιορίζεται από τις τιμές t = αΚαι t = βεκφράζεται με τον τύπο S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .

Μήκος τόξου μιας επίπεδης καμπύλης Συγκεκριμένα, το μήκος μιας επίπεδης καμπύλης που ορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων OXYεξίσωση y = f(x), α ≤ x ≤ β, εκφράζεται με τον τύπο S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .

5. Επιφάνεια περιστροφής.

Επιφάνεια περιστροφής Αφήστε την επιφάνεια να οριστεί με περιστροφή σε σχέση με τον άξονα OX του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x), α ≤ x ≤ β, και λειτουργία φάέχει συνεχή παράγωγο σε αυτό το διάστημα. Στη συνέχεια, το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής καθορίζεται από τον τύπο Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x.