Μάθημα «ταχύτητα προσέγγισης και ταχύτητα αφαίρεσης». Για να βρείτε την ταχύτητα προσέγγισης, πρέπει να αθροίσετε τις ταχύτητες των σχεδιών· Ταχύτητα αφαίρεσης όταν κινείστε σε αντίθετες κατευθύνσεις

§ 1 Ταχύτητα προσέγγισης και ταχύτητα αναχώρησης

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με έννοιες όπως "ταχύτητα προσέγγισης" και "ταχύτητα αφαίρεσης".

Για να εξοικειωθείτε με τις έννοιες «ταχύτητα προσέγγισης» και «ταχύτητα αφαίρεσης», ας εξετάσουμε 4 πραγματικές καταστάσεις.

Δύο αυτοκίνητα έφυγαν από δύο πόλεις η μία προς την άλλη ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι ʋ1 = 120 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι ʋ2 = 80 km/h. Η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων μικραίνει; Αν ναι, με τι ταχύτητα;

Το σχήμα δείχνει ότι δύο αυτοκίνητα, που κινούνται το ένα προς το άλλο, πλησιάζουν. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ τους μειώνεται. Για να μάθετε με ποια ταχύτητα μειώνεται η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων ή με ποια ταχύτητα πλησιάζουν δύο αυτοκίνητα, είναι απαραίτητο να προσθέσετε την ταχύτητα του δεύτερου στην ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου. Δηλαδή, η ταχύτητα κλεισίματος είναι ίση με το άθροισμα των ταχυτήτων του πρώτου και του δεύτερου αυτοκινήτου: ʋsbl. = ʋ1 +ʋ2.

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης αυτών των αυτοκινήτων:

Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων μειώνεται με ταχύτητα 200 km/h. Ας εξετάσουμε τη δεύτερη κατάσταση.

Δύο αυτοκίνητα έφυγαν από δύο πόλεις ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση, καταδιώκοντας. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι ʋ1 = 120 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι ʋ2 = 80 km/h. Μειώνεται ή αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων και κατά πόσο;

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Από το σχήμα φαίνεται ότι το πρώτο αυτοκίνητο κινείται πιο γρήγορα από το δεύτερο αυτοκίνητο ή κινείται μετά το δεύτερο αυτοκίνητο. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων θα μειωθεί. Για να μάθετε με ποια ταχύτητα μειώνεται η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων ή με ποια ταχύτητα πλησιάζουν δύο αυτοκίνητα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου από την ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου. Δηλαδή, η ταχύτητα κλεισίματος είναι ίση με τη διαφορά στις ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 .

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης αυτών των αυτοκινήτων: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων μειώνεται με ταχύτητα 40 km/h.

Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω καταστάσεις, εξοικειωθήκαμε με την έννοια της «ταχύτητας προσέγγισης». Η ταχύτητα προσέγγισης είναι η απόσταση στην οποία τα αντικείμενα πλησιάζουν το ένα το άλλο ανά μονάδα χρόνου.

Ας εξετάσουμε την ακόλουθη τρίτη κατάσταση.

Δύο αυτοκίνητα έφυγαν από δύο πόλεις σε αντίθετες κατευθύνσεις ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι ʋ1 = 120 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι ʋ2 = 80 km/h. Θα αυξηθεί η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων; Αν ναι, τότε για πόσο καιρό;

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Το σχήμα δείχνει ότι δύο αυτοκίνητα, που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, απομακρύνονται το ένα από το άλλο. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ τους αυξάνεται. Για να μάθετε με ποια ταχύτητα αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων ή με ποια ταχύτητα δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται το ένα από το άλλο, πρέπει να προσθέσετε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου στην ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου. Δηλαδή, η ταχύτητα αφαίρεσης είναι ίση με το άθροισμα των ταχυτήτων δύο αυτοκινήτων: ʋστρ. = ʋ1 + ʋ2 .

Ας βρούμε την ταχύτητα διαγραφής δεδομένων αυτοκινήτου: ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 120 + 80 = 200 km/h. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων αυξάνεται με ταχύτητα 200 km/h.

Ας εξετάσουμε την τελευταία τέταρτη κατάσταση.

Δύο αυτοκίνητα έφυγαν από δύο πόλεις ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι ʋ1 = 120 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι ʋ2 = 80 km/h. Επιπλέον, το δεύτερο αυτοκίνητο κινείται με καθυστέρηση. Θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων και κατά πόσο;

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Το σχήμα δείχνει ότι το δεύτερο αυτοκίνητο κινείται πιο αργά από το πρώτο αυτοκίνητο ή κινείται πίσω από το πρώτο αυτοκίνητο. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων θα αυξηθεί. Για να μάθετε με ποια ταχύτητα αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων ή με ποια ταχύτητα δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται το ένα από το άλλο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου από την ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου. Δηλαδή, η ταχύτητα αφαίρεσης είναι ίση με τη διαφορά στις ταχύτητες δύο αυτοκινήτων: ʋsp. = ʋ1 - ʋ2 .

Ας βρούμε την ταχύτητα διαγραφής δεδομένων αυτοκινήτου: ʋud. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων αυξάνεται με ταχύτητα 40 km/h.

Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω καταστάσεις, εξοικειωθήκαμε με την έννοια της «ταχύτητας αφαίρεσης». Ο ρυθμός αφαίρεσης είναι η απόσταση που απομακρύνονται τα αντικείμενα ανά μονάδα χρόνου.

§ 2 Σύντομη περίληψη του θέματος του μαθήματος

1. Η ταχύτητα προσέγγισης είναι η απόσταση με την οποία τα αντικείμενα πλησιάζουν το ένα το άλλο ανά μονάδα χρόνου.

2. Όταν δύο αντικείμενα κινούνται το ένα προς το άλλο, η ταχύτητα προσέγγισης είναι ίση με το άθροισμα των ταχυτήτων αυτών των αντικειμένων. ʋbl. = ʋ1 + ʋ2

3. Όταν κινείστε σε καταδίωξη, η ταχύτητα προσέγγισης είναι ίση με τη διαφορά στις ταχύτητες των αντικειμένων σε κίνηση. ʋbl. = ʋ1 - ʋ2

4. Ταχύτητα αφαίρεσης είναι η απόσταση κατά την οποία αφαιρούνται αντικείμενα ανά μονάδα χρόνου.

5. Όταν δύο αντικείμενα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, η ταχύτητα απομάκρυνσης είναι ίση με το άθροισμα των ταχυτήτων αυτών των αντικειμένων. ʋud. = ʋ1 + ʋ2

6. Όταν κινείστε με καθυστέρηση, η ταχύτητα αφαίρεσης είναι ίση με τη διαφορά στις ταχύτητες των κινούμενων αντικειμένων. ʋud. = ʋ1 - ʋ2

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

Peterson L.G. Μαθηματικά. 4η τάξη. Μέρος 2 / Λ.Γ. Peterson. – Μ.: Yuventa, 2014. – 96 σελ.: ill.
Μαθηματικά. 4η τάξη. Μεθοδολογικές συστάσεις για το εγχειρίδιο μαθηματικών «Learning to Learn» για την τάξη 4 / L.G. Peterson. – Μ.: Yuventa, 2014. – 280 σελ.: ill.
Zach S.M. Όλες οι εργασίες για το σχολικό βιβλίο μαθηματικών για την 4η τάξη του Λ.Γ. Peterson και ένα σύνολο ανεξάρτητων και δοκιμαστικών εργασιών. Ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο. – Μ.: UNWES, 2014.
ΜΟΝΑΔΑ ΟΠΤΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ. Μαθηματικά. 4η τάξη. Σενάρια μαθήματος για το σχολικό βιβλίο για το μέρος 2 Peterson L.G. – Μ.: Yuventa, 2013.

Εικόνες που χρησιμοποιούνται:

Τα μαθηματικά είναι ένα αρκετά δύσκολο μάθημα, αλλά απολύτως όλοι θα πρέπει να το παρακολουθήσουν στο σχολικό μάθημα. Οι κινητικές εργασίες προκαλούν ιδιαίτερη δυσκολία στους μαθητές. Πώς να λύσετε χωρίς προβλήματα και πολύ χαμένο χρόνο, θα δούμε σε αυτό το άρθρο.

Σημειώστε ότι εάν εξασκηθείτε, αυτές οι εργασίες δεν θα προκαλέσουν δυσκολίες. Η διαδικασία λήψης αποφάσεων μπορεί να αναπτυχθεί μέχρι το σημείο της αυτοματοποίησης.

ποικιλίες

Τι σημαίνει αυτό το είδος εργασίας; Αυτές είναι αρκετά απλές και απλές εργασίες, οι οποίες περιλαμβάνουν τις ακόλουθες ποικιλίες:

επερχόμενη κίνηση;
μετά;
κίνηση προς την αντίθετη κατεύθυνση.
κίνηση κατά μήκος του ποταμού.

Προτείνουμε να εξετάσετε κάθε επιλογή ξεχωριστά. Φυσικά, θα τα αναλύσουμε αποκλειστικά χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Αλλά προτού προχωρήσουμε στο ερώτημα πώς να κινηθούμε, αξίζει να εισαγάγουμε έναν τύπο που θα χρειαστούμε όταν λύνουμε απολύτως όλες τις εργασίες αυτού του τύπου.

Τύπος: S=V*t. Μερικές εξηγήσεις: S είναι η διαδρομή, το γράμμα V σημαίνει ταχύτητα και το γράμμα t σημαίνει χρόνο. Όλες οι ποσότητες μπορούν να εκφραστούν μέσω αυτού του τύπου. Κατά συνέπεια, η ταχύτητα είναι ίση με τη διαδρομή διαιρούμενη με το χρόνο και ο χρόνος είναι η διαδρομή διαιρούμενη με την ταχύτητα.

Προχωρώντας προς

Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος τύπος εργασίας. Για να κατανοήσετε την ουσία της λύσης, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Κατάσταση: «Δύο φίλοι με ποδήλατα ξεκινούν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλον, ενώ η διαδρομή από το ένα σπίτι στο άλλο είναι 100 χλμ. Ποια θα είναι η απόσταση μετά από 120 λεπτά αν είναι γνωστό ότι η ταχύτητα του ενός είναι 20 χλμ. την ώρα, και το δεύτερο είναι δεκαπέντε». Ας προχωρήσουμε στο ερώτημα πώς να λύσουμε το πρόβλημα των επερχόμενων ποδηλατών.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγουμε έναν άλλο όρο: «ταχύτητα κλεισίματος». Στο παράδειγμά μας, θα είναι ίσο με 35 km/h (20 km/h + 15 km/h). Αυτή θα είναι η πρώτη ενέργεια για την επίλυση του προβλήματος. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε την ταχύτητα προσέγγισης επί δύο, αφού κινήθηκαν για δύο ώρες: 35*2=70 km. Βρήκαμε την απόσταση που οι ποδηλάτες θα πλησιάσουν ο ένας τον άλλον μετά από 120 λεπτά. Τελευταία δράση που απομένει: 100-70=30 χιλιόμετρα. Με αυτόν τον υπολογισμό βρήκαμε την απόσταση μεταξύ των ποδηλατών. Απάντηση: 30 χλμ.

Εάν δεν σας είναι ξεκάθαρο πώς να λύσετε το πρόβλημα της επερχόμενης κυκλοφορίας χρησιμοποιώντας την ταχύτητα κλεισίματος, χρησιμοποιήστε άλλη επιλογή.

Δεύτερος τρόπος

Πρώτα βρίσκουμε το μονοπάτι που πήρε ο πρώτος ποδηλάτης: 20*2=40 χιλιόμετρα. Τώρα το μονοπάτι του 2ου φίλου: δεκαπέντε πολλαπλασιασμένο επί δύο, που ισούται με τριάντα χιλιόμετρα. Προσθέτουμε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος και ο δεύτερος ποδηλάτης: 40 + 30 = 70 χιλιόμετρα. Ανακαλύψαμε ποια απόσταση κάλυψαν μαζί, οπότε μένει να αφαιρέσουμε την απόσταση που διανύθηκε από ολόκληρο το μονοπάτι: 100-70 = 30 km. Απάντηση: 30 χλμ.

Εξετάσαμε τον πρώτο τύπο εργασίας κίνησης. Είναι πλέον σαφές πώς να τα λύσετε, ας προχωρήσουμε στον επόμενο τύπο.

Κινούμενος προς την αντίθετη κατεύθυνση

Κατάσταση: "Δύο λαγοί κάλπασαν από μια τρύπα προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η ταχύτητα του πρώτου είναι 40 χλμ. την ώρα και του δεύτερου είναι 45 χλμ. την ώρα. Πόσο μακριά θα είναι ο ένας από τον άλλο σε δύο ώρες;"

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις. Στο πρώτο, θα ενεργήσουμε με τον συνηθισμένο τρόπο:

Το μονοπάτι του πρώτου λαγού: 40*2=80 χλμ.
Το μονοπάτι του δεύτερου λαγού: 45*2=90 χλμ.
Το μονοπάτι που διένυσαν μαζί: 80+90=170 χλμ. Απάντηση: 170 χλμ.

Αλλά μια άλλη επιλογή είναι επίσης δυνατή.

Ταχύτητα αφαίρεσης

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, σε αυτήν την εργασία, παρόμοια με την πρώτη, θα εμφανιστεί ένας νέος όρος. Ας εξετάσουμε τον ακόλουθο τύπο προβλήματος κίνησης, πώς να τα λύσετε χρησιμοποιώντας την ταχύτητα αφαίρεσης.

Αυτό θα βρούμε πρώτα: 40+45=85 χιλιόμετρα την ώρα. Απομένει να μάθουμε ποια είναι η απόσταση που τους χωρίζει, αφού όλα τα άλλα δεδομένα είναι ήδη γνωστά: 85 * 2 = 170 km. Απάντηση: 170 χλμ. Εξετάσαμε την επίλυση προβλημάτων κίνησης με τον παραδοσιακό τρόπο, καθώς και τη χρήση της ταχύτητας προσέγγισης και της απόστασης.

Κίνηση σε καταδίωξη

Ας δούμε ένα παράδειγμα προβλήματος και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε μαζί. Συνθήκη: "Δύο μαθητές, ο Kirill και ο Anton, άφησαν το σχολείο και κινήθηκαν με ταχύτητα 50 μέτρων το λεπτό. Ο Kostya τους ακολούθησε έξι λεπτά αργότερα με ταχύτητα 80 μέτρων ανά λεπτό. Πόσο καιρό θα πάρει ο Kostya για να φτάσει τον Kirill και Άντον;»

Λοιπόν, πώς να λύσετε προβλήματα που αφορούν το κυνήγι μετά την κίνηση; Εδώ χρειαζόμαστε την ταχύτητα κλεισίματος. Μόνο σε αυτή την περίπτωση αξίζει να μην προσθέσουμε, αλλά να αφαιρέσουμε: 80-50 = 30 m ανά λεπτό. Στο δεύτερο βήμα, ανακαλύπτουμε πόσα μέτρα χωρίζουν τους μαθητές πριν βγει ο Κόστια. Για αυτό, 50*6=300 μέτρα. Η τελευταία ενέργεια είναι να βρεις τον χρόνο για τον Κόστια να προλάβει τον Κύριλλο και τον Άντον. Για να γίνει αυτό, η απόσταση των 300 μέτρων πρέπει να διαιρεθεί με την ταχύτητα κλεισίματος των 30 μέτρων ανά λεπτό: 300:30 = 10 λεπτά. Απάντηση: σε 10 λεπτά.

συμπεράσματα

Με βάση όσα ειπώθηκαν προηγουμένως, μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα:

κατά την επίλυση προβλημάτων κίνησης, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την ταχύτητα προσέγγισης και την απόσταση.
αν μιλάμε για επερχόμενη κίνηση ή κίνηση μεταξύ τους, τότε αυτές οι ποσότητες βρίσκονται προσθέτοντας τις ταχύτητες των αντικειμένων.
Αν βρεθούμε αντιμέτωποι με ένα έργο να κινούμαστε σε επιδίωξη, τότε χρησιμοποιούμε την αντίστροφη δράση της πρόσθεσης, δηλαδή την αφαίρεση.

Εξετάσαμε ορισμένα προβλήματα κίνησης, πώς να τα λύσουμε, το καταλάβαμε, γνωρίσαμε τις έννοιες της "ταχύτητας προσέγγισης" και της "ταχύτητας αφαίρεσης", μένει να εξετάσουμε το τελευταίο σημείο, δηλαδή: πώς να λύσουμε προβλήματα στην κίνηση του ποταμού;

Ροή

Εδώ πάλι μπορεί να συναντήσετε:

καθήκοντα να κινούνται ο ένας προς τον άλλον.
κίνηση μετά?
κίνηση προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Αλλά σε αντίθεση με τα προηγούμενα προβλήματα, το ποτάμι έχει τρέχουσα ταχύτητα που δεν πρέπει να αγνοηθεί. Εδώ τα αντικείμενα θα κινούνται είτε με τη ροή του ποταμού - τότε αυτή η ταχύτητα θα πρέπει να προστεθεί στην ταχύτητα των αντικειμένων ή σε αντίθεση με τη ροή - πρέπει να αφαιρεθεί από την ταχύτητα του αντικειμένου.

Ένα παράδειγμα μιας εργασίας για την κίνηση κατά μήκος ενός ποταμού

Κατάσταση: περπάτησε με το ρεύμα με ταχύτητα 120 χλμ. την ώρα και επέστρεφε πίσω, ενώ ξόδεψε λιγότερο χρόνο κατά δύο ώρες σε σχέση με το ρεύμα. Ποια είναι η ταχύτητα ενός τζετ σκι σε ακίνητο νερό;» Μας δίνεται τρέχουσα ταχύτητα ενός χιλιομέτρου την ώρα.

Ας προχωρήσουμε στη λύση. Προτείνουμε να φτιάξετε έναν πίνακα για ένα σαφές παράδειγμα. Ας πάρουμε την ταχύτητα μιας μοτοσικλέτας σε ακίνητο νερό ως x, τότε η ταχύτητα κατά μήκος του ρεύματος είναι x+1 και έναντι αυτής x-1. Η απόσταση μετ' επιστροφής είναι 120 χλμ. Αποδεικνύεται ότι ο χρόνος που δαπανάται κινούμενος ενάντια στο ρεύμα είναι 120:(x-1) και κατά μήκος του ρεύματος είναι 120:(x+1). Επιπλέον, είναι γνωστό ότι το 120:(x-1) είναι δύο ώρες λιγότερο από το 120:(x+1). Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στη συμπλήρωση του πίνακα.

Τι έχουμε: (120/(x-1))-2=120/(x+1) Πολλαπλασιάζουμε κάθε μέρος με (x+1)(x-1);

120(x+1)-2(x+1)(x-1)-120(x-1)=0;

Λύνουμε την εξίσωση:

Σημειώνουμε ότι υπάρχουν δύο επιλογές απάντησης: +-11, αφού και το -11 και το +11 δίνουν 121. Αλλά η απάντησή μας θα είναι θετική, αφού η ταχύτητα μιας μοτοσυκλέτας δεν μπορεί να έχει αρνητική τιμή, επομένως, μπορούμε να γράψουμε την απάντηση : 11 χλμ την ώρα . Έτσι, βρήκαμε την απαραίτητη ποσότητα, δηλαδή την ταχύτητα σε ακίνητο νερό.

Έχουμε εξετάσει όλες τις πιθανές επιλογές για προβλήματα κίνησης, τώρα δεν θα πρέπει να έχετε προβλήματα ή δυσκολίες κατά την επίλυσή τους. Για να τα λύσετε, πρέπει να γνωρίζετε τη βασική φόρμουλα και έννοιες όπως «προσέγγιση και ταχύτητα ύφεσης». Να είστε υπομονετικοί, να εργαστείτε σε αυτές τις εργασίες και η επιτυχία θα έρθει.

Περιεχόμενο μαθήματος

Πρόβλημα απόστασης/ταχύτητας/χρόνου

Εργασία 1.Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 80 km/h. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει σε 3 ώρες;

Λύση

Εάν ένα αυτοκίνητο διανύσει 80 χιλιόμετρα σε μία ώρα, τότε σε 3 ώρες θα διανύσει τριπλάσια. Για να βρείτε την απόσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου (80 km/h) με το χρόνο οδήγησης (3 ώρες)

80 × 3 = 240 χλμ

Απάντηση: σε 3 ώρες το αυτοκίνητο θα διανύσει 240 χιλιόμετρα.

Εργασία 2.Με ένα αυτοκίνητο διανύσαμε 180 χλμ σε 3 ώρες με την ίδια ταχύτητα. Ποια είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου;

Λύση

Ταχύτητα είναι η απόσταση που διανύει ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου. Μια μονάδα σημαίνει 1 ώρα, 1 λεπτό ή 1 δευτερόλεπτο.

Αν σε 3 ώρες ένα αυτοκίνητο διένυσε 180 χιλιόμετρα με την ίδια ταχύτητα, τότε διαιρώντας 180 χλμ με 3 ώρες προσδιορίζουμε την απόσταση που διένυσε το αυτοκίνητο σε μία ώρα. Και αυτή είναι η ταχύτητα κίνησης. Για να προσδιορίσετε την ταχύτητα, πρέπει να διαιρέσετε την απόσταση που διανύσατε με το χρόνο κίνησης:

180: 3 = 60 km/h

Απάντηση: η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι 60 km/h

Εργασία 3.Σε 2 ώρες το αυτοκίνητο διένυσε 96 km και σε 6 ώρες ο ποδηλάτης 72 km. Πόσες φορές πιο γρήγορα κινούνταν το αυτοκίνητο από τον ποδηλάτη;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση που διένυσε (96 km) με το χρόνο που μετακινήθηκε (2 ώρες)

96: 2 = 48 km/h

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα του ποδηλάτη. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση που διένυσε (72 km) με το χρόνο που μετακινήθηκε (6 ώρες)

72: 6 = 12 km/h

Μάθετε πόσες φορές το αυτοκίνητο κινήθηκε πιο γρήγορα από τον ποδηλάτη. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την αναλογία 48 προς 12

Απάντηση: Το αυτοκίνητο κινήθηκε 4 φορές πιο γρήγορα από τον ποδηλάτη.

Πρόβλημα 4. Το ελικόπτερο διένυσε απόσταση 600 km με ταχύτητα 120 km/h. Πόσο καιρό ήταν σε πτήση;

Λύση

Εάν ένα ελικόπτερο κάλυψε 120 χιλιόμετρα σε 1 ώρα, τότε μάθοντας πόσα από αυτά τα 120 χιλιόμετρα είναι σε 600 χιλιόμετρα, θα προσδιορίσουμε πόσο καιρό ήταν σε πτήση. Για να βρείτε το χρόνο, πρέπει να διαιρέσετε την απόσταση που διανύσατε με την ταχύτητα κίνησης.

600: 120 = 5 ώρες

Απάντηση: Το ελικόπτερο ήταν καθ' οδόν για 5 ώρες.

Πρόβλημα 5. Το ελικόπτερο πέταξε για 6 ώρες με ταχύτητα 160 km/h. Πόση απόσταση διένυσε αυτό το διάστημα;

Λύση

Αν σε 1 ώρα το ελικόπτερο κάλυψε 160 χλμ, τότε σε 6 ώρες κάλυψε έξι φορές περισσότερα. Για να προσδιορίσετε την απόσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ταχύτητα κίνησης με το χρόνο

160 × 6 = 960 χλμ

Απάντηση: σε 6 ώρες το ελικόπτερο κάλυψε 960 χλμ.

Πρόβλημα 6. Η απόσταση από το Περμ στο Καζάν, ίση με 723 χλμ., κάλυψε το αυτοκίνητο σε 13 ώρες. Τις πρώτες 9 ώρες οδήγησε με ταχύτητα 55 km/h. Προσδιορίστε την ταχύτητα του αυτοκινήτου στον υπόλοιπο χρόνο.

Λύση

Ας προσδιορίσουμε πόσα χιλιόμετρα διένυσε το αυτοκίνητο τις πρώτες 9 ώρες. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητα με την οποία οδήγησε τις πρώτες εννέα ώρες (55 km/h) επί 9

55 × 9 = 495 χλμ

Ας προσδιορίσουμε πόσος χρόνος απομένει για να ταξιδέψουμε. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε από τη συνολική απόσταση (723 km) την απόσταση που διανύθηκε κατά τις πρώτες 9 ώρες κίνησης

723 − 495 = 228 χλμ

Το αυτοκίνητο διένυσε αυτά τα 228 χιλιόμετρα στις υπόλοιπες 4 ώρες. Για να προσδιορίσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου στον υπόλοιπο χρόνο, πρέπει να διαιρέσετε 228 χιλιόμετρα με 4 ώρες:

228: 4 = 57 km/h

Απάντηση: η ταχύτητα του οχήματος κατά τον υπόλοιπο χρόνο ήταν 57 km/h

Ταχύτητα κλεισίματος

Η ταχύτητα προσέγγισης είναι η απόσταση που διανύουν δύο αντικείμενα το ένα προς το άλλο ανά μονάδα χρόνου.

Για παράδειγμα, εάν δύο πεζοί πάνε ο ένας προς τον άλλο από δύο σημεία και η ταχύτητα του πρώτου θα είναι 100 m/m και του δεύτερου - 105 m/m, τότε η ταχύτητα προσέγγισης θα είναι 100 + 105, δηλαδή, 205 m/m. Αυτό σημαίνει ότι κάθε λεπτό η απόσταση μεταξύ των πεζών θα μειώνεται κατά 205 μέτρα

Για να βρείτε την ταχύτητα κλεισίματος, πρέπει να προσθέσετε τις ταχύτητες των αντικειμένων.

Ας υποθέσουμε ότι οι πεζοί συναντώνται τρία λεπτά μετά την έναρξη της κίνησης. Γνωρίζοντας ότι συναντήθηκαν τρία λεπτά αργότερα, μπορούμε να μάθουμε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων.

Κάθε λεπτό οι πεζοί διένυαν μια απόσταση διακοσίων πέντε μέτρων. Μετά από 3 λεπτά συναντήθηκαν. Αυτό σημαίνει ότι πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα προσέγγισης με το χρόνο κίνησης, μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

205 × 3 = 615 μέτρα

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ των σημείων. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την απόσταση που περπάτησε κάθε πεζός πριν από τη συνάντηση.

Έτσι, ο πρώτος πεζός περπάτησε με ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό. Η συνάντηση έγινε σε τρία λεπτά, που σημαίνει ότι σε 3 λεπτά περπάτησε 100 × 3 μέτρα

100 × 3 = 300 μέτρα

Και ο δεύτερος πεζός περπάτησε με ταχύτητα 105 μέτρων το λεπτό. Σε τρία λεπτά περπάτησε 105 × 3 μέτρα

105 × 3 = 315 μέτρα

Τώρα μπορείτε να προσθέσετε τα αποτελέσματα και να προσδιορίσετε έτσι την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

300 m + 315 m = 615 m

Εργασία 1.Δύο ποδηλάτες βγήκαν από δύο οικισμούς ο ένας προς τον άλλο ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του πρώτου ποδηλάτη είναι 10 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου είναι 12 km/h. Μετά από 2 ώρες συναντήθηκαν. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των οικισμών

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης των ποδηλατών

10 km/h + 12 km/h = 22 km/h

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ των οικισμών. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητα προσέγγισης με τη στιγμή της κίνησης

22 × 2 = 44 χλμ

Ας λύσουμε αυτό το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο. Για να γίνει αυτό, θα βρούμε τις αποστάσεις που διένυσαν οι ποδηλάτες και θα αθροίσουμε τα αποτελέσματα.

Ας βρούμε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος ποδηλάτης:

10 × 2 = 20 χλμ

Ας βρούμε την απόσταση που διένυσε ο δεύτερος ποδηλάτης:

12 × 2 = 24 χλμ

Ας αθροίσουμε τις αποστάσεις που προκύπτουν:

20 km + 24 km = 44 km

Απάντηση: η απόσταση μεταξύ των οικισμών είναι 44 χλμ.

Πρόβλημα 2. Από δύο οικισμούς, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 60 χλμ., δύο ποδηλάτες οδήγησαν ο ένας προς τον άλλο ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του πρώτου ποδηλάτη είναι 14 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου είναι 16 km/h. Πόσες ώρες μετά συναντήθηκαν;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης των ποδηλατών:

14 km/h + 16 km/h = 30 km/h

Σε μία ώρα, η απόσταση μεταξύ των ποδηλατών μειώνεται κατά 30 χιλιόμετρα. Για να προσδιορίσετε πόσες ώρες αργότερα θα συναντηθούν, πρέπει να διαιρέσετε την απόσταση μεταξύ των κατοικημένων περιοχών με την ταχύτητα προσέγγισης:

60:30 = 2 ώρες

Έτσι οι ποδηλάτες συναντήθηκαν σε δύο ώρες

Απάντηση: Οι ποδηλάτες συναντήθηκαν μετά από 2 ώρες.

Πρόβλημα 3. Από δύο οικισμούς, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 56 χλμ., δύο ποδηλάτες οδήγησαν ο ένας προς τον άλλο ταυτόχρονα. Δύο ώρες αργότερα συναντήθηκαν. Ο πρώτος ποδηλάτης ταξίδευε με ταχύτητα 12 km/h. Προσδιορίστε την ταχύτητα του δεύτερου ποδηλάτη.

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος ποδηλάτης. Όπως ο δεύτερος ποδηλάτης, πέρασε 2 ώρες στο δρόμο. Πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα του πρώτου ποδηλάτη επί 2 ώρες, μπορούμε να μάθουμε πόσα χιλιόμετρα περπάτησε πριν από τη συνάντηση

12 × 2 = 24 χλμ

Σε δύο ώρες ο πρώτος ποδηλάτης διένυσε 24 χλμ. Σε μια ώρα περπάτησε 24:2, δηλαδή 12 χλμ. Ας το απεικονίσουμε αυτό γραφικά

Αφαιρέστε από τη συνολική απόσταση (56 km) την απόσταση που διένυσε ο πρώτος ποδηλάτης (24 km). Έτσι προσδιορίζουμε πόσα χιλιόμετρα έχει διανύσει ο δεύτερος ποδηλάτης:

56 km − 24 km = 32 km

Ο δεύτερος ποδηλάτης, όπως και ο πρώτος, πέρασε 2 ώρες στο δρόμο. Αν διαιρέσουμε την απόσταση που διένυσε με 2 ώρες, θα μάθουμε με ποια ταχύτητα κινήθηκε:

32: 2 = 16 km/h

Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του δεύτερου ποδηλάτη είναι 16 km/h.

Απάντηση:Η ταχύτητα του δεύτερου ποδηλάτη είναι 16 km/h.

Ταχύτητα αφαίρεσης

Η ταχύτητα ύφεσης είναι η απόσταση που αυξάνεται ανά μονάδα χρόνου μεταξύ δύο αντικειμένων που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Για παράδειγμα, εάν δύο πεζοί ξεκινούν από το ίδιο σημείο σε αντίθετες κατευθύνσεις και η ταχύτητα του πρώτου είναι 4 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου είναι 6 km/h, τότε η ταχύτητα απομάκρυνσης θα είναι 4+6, δηλαδή 10 km/h. Κάθε ώρα η απόσταση μεταξύ δύο πεζών θα αυξάνεται κατά 10 χιλιόμετρα.

Για να βρείτε την ταχύτητα αφαίρεσης, πρέπει να προσθέσετε τις ταχύτητες των αντικειμένων.

Έτσι, την πρώτη ώρα η απόσταση μεταξύ των πεζών θα είναι 10 χιλιόμετρα. Στην παρακάτω εικόνα μπορείτε να δείτε πώς συμβαίνει αυτό

Φαίνεται ότι ο πρώτος πεζός περπάτησε τα 4 χιλιόμετρα του την πρώτη ώρα. Ο δεύτερος πεζός συμπλήρωσε και αυτός τα 6 του χιλιόμετρα την πρώτη ώρα. Συνολικά την πρώτη ώρα η μεταξύ τους απόσταση έγινε 4+6, δηλαδή 10 χιλιόμετρα.

Μετά από δύο ώρες, η απόσταση μεταξύ των πεζών θα είναι 10x2, δηλαδή 20 χιλιόμετρα. Στο παρακάτω σχήμα μπορείτε να δείτε πώς συμβαίνει αυτό:

Εργασία 1.Μια εμπορευματική αμαξοστοιχία και μια επιβατική αμαξοστοιχία εξπρές αναχώρησαν από τον ίδιο σταθμό ταυτόχρονα προς αντίθετες κατευθύνσεις. Η ταχύτητα μιας εμπορευματικής αμαξοστοιχίας ήταν 40 km/h, η ταχύτητα ενός τρένου express ήταν 180 km/h. Ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ αυτών των τρένων μετά από 2 ώρες;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα με την οποία απομακρύνονται τα τρένα. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις ταχύτητες τους:

40 + 180 = 220 km/h

Η ταχύτητα με την οποία απομακρύνθηκαν τα τρένα ήταν ίση με 220 km/h. Αυτή η ταχύτητα δείχνει ότι σε μια ώρα η απόσταση μεταξύ των τρένων θα αυξηθεί κατά 220 χιλιόμετρα. Για να μάθετε ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των τρένων σε δύο ώρες, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 220 επί 2

220 × 2 = 440 χλμ

Απάντηση: σε 2 ώρες η απόσταση μεταξύ των τρένων θα είναι 440 χιλιόμετρα.

Εργασία 2.Ένας ποδηλάτης και ένας μοτοσικλετιστής έφυγαν ταυτόχρονα από το σημείο προς αντίθετες κατευθύνσεις. Η ταχύτητα του ποδηλάτη είναι 16 km/h και η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή είναι 40 km/h. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ του ποδηλάτη και του μοτοσικλετιστή μετά από 2 ώρες;

Λύση

16 km/h + 40 km/h = 56 km/h

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που θα είναι μεταξύ του ποδηλάτη και του μοτοσικλετιστή μετά από 2 ώρες. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητα αφαίρεσης (56 km/h) επί 2 ώρες

56 × 2 = 112 χλμ

Απάντηση: Μετά από 2 ώρες η απόσταση μεταξύ του ποδηλάτη και του μοτοσικλετιστή θα είναι 112 χλμ.

Πρόβλημα 3. Ένας ποδηλάτης και ένας μοτοσικλετιστής έφυγαν ταυτόχρονα από το σημείο προς αντίθετες κατευθύνσεις. Η ταχύτητα του ποδηλάτη είναι 10 km/h και η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή είναι 30 km/h. Μετά από πόσες ώρες η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 80 km;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα απομάκρυνσης του ποδηλάτη και του μοτοσικλετιστή. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις ταχύτητες τους:

10 km/h + 30 km/h = 40 km/h

Σε μία ώρα, η απόσταση ποδηλάτη-μοτοσικλετιστή αυξάνεται κατά 40 χιλιόμετρα. Για να μάθετε μετά από πόσες ώρες η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 80 km, πρέπει να καθορίσετε πόσες φορές τα 80 km περιέχουν 40 km

80: 40 = 2

Απάντηση: 2 ώρες μετά την έναρξη της κίνησης θα μείνουν 80 χιλιόμετρα μεταξύ του ποδηλάτη και του μοτοσικλετιστή.

Πρόβλημα 4. Ένας ποδηλάτης και ένας μοτοσικλετιστής έφυγαν ταυτόχρονα από το σημείο προς αντίθετες κατευθύνσεις. Μετά από 2 ώρες, η απόσταση μεταξύ τους ήταν 90 χλμ. Η ταχύτητα του ποδηλάτη ήταν 15 km/h. Προσδιορίστε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διένυσε ο ποδηλάτης σε 2 ώρες. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητά του (15 km/h) επί 2 ώρες

15 × 2 = 30 χλμ

Το σχήμα δείχνει ότι ο ποδηλάτης περπατούσε 15 χιλιόμετρα κάθε ώρα. Συνολικά, σε δύο ώρες περπάτησε 30 χιλιόμετρα.

Αφαιρέστε την απόσταση που διένυσε ο ποδηλάτης (30 km) από τη συνολική απόσταση (90 km). Έτσι προσδιορίζουμε πόσα χιλιόμετρα έχει διανύσει ο μοτοσικλετιστής:

90 km − 30 km = 60 km

Ένας μοτοσικλετιστής διένυσε 60 χιλιόμετρα σε δύο ώρες. Αν διαιρέσουμε την απόσταση που διένυσε με 2 ώρες, θα μάθουμε με ποια ταχύτητα κινήθηκε:

60: 2 = 30 km/h

Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή ήταν 30 km/h.

Απάντηση: Η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή ήταν 30 km/h.

Το έργο της μετακίνησης αντικειμένων προς μία κατεύθυνση

Στο προηγούμενο θέμα, εξετάσαμε προβλήματα στα οποία αντικείμενα (άνθρωποι, αυτοκίνητα, βάρκες) κινούνταν είτε το ένα προς το άλλο είτε σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ταυτόχρονα, βρήκαμε διάφορες αποστάσεις που άλλαζαν μεταξύ των αντικειμένων για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Αυτές οι αποστάσεις ήταν είτε ταχύτητες κλεισίματοςή ποσοστά αφαίρεσης.

Στην πρώτη περίπτωση βρήκαμε ταχύτητα κλεισίματος- σε μια κατάσταση όπου δύο αντικείμενα κινούνταν το ένα προς το άλλο. Ανά μονάδα χρόνου, η απόσταση μεταξύ των αντικειμένων μειώθηκε κατά μια ορισμένη απόσταση

Στη δεύτερη περίπτωση, βρήκαμε την ταχύτητα αφαίρεσης - σε μια κατάσταση όπου δύο αντικείμενα κινούνταν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Για μια μονάδα χρόνου, η απόσταση μεταξύ των αντικειμένων αυξήθηκε κατά μια ορισμένη απόσταση

Αλλά τα αντικείμενα μπορούν επίσης να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση και με διαφορετικές ταχύτητες. Για παράδειγμα, ένας ποδηλάτης και ένας μοτοσικλετιστής μπορούν να φύγουν από το ίδιο σημείο την ίδια στιγμή και η ταχύτητα του ποδηλάτη μπορεί να είναι 20 χιλιόμετρα την ώρα και η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή μπορεί να είναι 40 χιλιόμετρα την ώρα

Το σχήμα δείχνει ότι ο μοτοσικλετιστής είναι είκοσι χιλιόμετρα μπροστά από τον ποδηλάτη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διανύει 20 χιλιόμετρα περισσότερα την ώρα από έναν ποδηλάτη. Επομένως, κάθε ώρα η απόσταση μεταξύ ενός ποδηλάτη και ενός μοτοσικλετιστή θα αυξάνεται κατά είκοσι χιλιόμετρα.

Σε αυτή την περίπτωση, 20 km/h είναι η ταχύτητα με την οποία ο μοτοσικλετιστής απομακρύνεται από τον ποδηλάτη.

Μετά από δύο ώρες, η απόσταση που θα διανύσει ο ποδηλάτης θα είναι 40 χλμ. Ο μοτοσικλετιστής θα διανύσει 80 χιλιόμετρα, απομακρυνόμενος από τον ποδηλάτη άλλα είκοσι χιλιόμετρα - συνολικά, η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 40 χιλιόμετρα

Για να βρείτε την ταχύτητα αφαίρεσης όταν κινείστε προς μία κατεύθυνση, πρέπει να αφαιρέσετε τη χαμηλότερη ταχύτητα από την υψηλότερη ταχύτητα.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η ταχύτητα αφαίρεσης είναι 20 km/h. Μπορεί να βρεθεί αφαιρώντας την ταχύτητα του ποδηλάτη από την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή. Η ταχύτητα του ποδηλάτη ήταν 20 km/h και η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή ήταν 40 km/h. Η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή είναι μεγαλύτερη, οπότε αφαιρέστε το 20 από το 40

40 km/h − 20 km/h = 20 km/h

Πρόβλημα 1. Ένα αυτοκίνητο και ένα λεωφορείο έφυγαν από την πόλη προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι 120 km/h και η ταχύτητα του λεωφορείου είναι 80 km/h. Ποια θα είναι η μεταξύ τους απόσταση μετά από 1 ώρα; 2 ώρες?

Λύση

Ας βρούμε το ποσοστό αφαίρεσης. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε τη χαμηλότερη ταχύτητα από την υψηλότερη ταχύτητα

120 km/h − 80 km/h = 40 km/h

Κάθε ώρα ένα επιβατικό αυτοκίνητο απομακρύνεται 40 χιλιόμετρα από το λεωφορείο. Σε μία ώρα, η απόσταση μεταξύ του αυτοκινήτου και του λεωφορείου θα είναι 40 χιλιόμετρα. Σε 2 ώρες το διπλάσιο:

40 × 2 = 80 χλμ

Απάντηση: σε μία ώρα η απόσταση μεταξύ του αυτοκινήτου και του λεωφορείου θα είναι 40 km, σε δύο ώρες - 80 km.

Ας εξετάσουμε μια κατάσταση κατά την οποία τα αντικείμενα άρχισαν την κίνησή τους από διαφορετικά σημεία, αλλά προς την ίδια κατεύθυνση.

Να υπάρχει ένα σπίτι, ένα σχολείο και ένα αξιοθέατο. Από το σπίτι στο σχολείο 700 μέτρα

Δύο πεζοί πήγαν ταυτόχρονα σε ένα αξιοθέατο. Επιπλέον, ο πρώτος πεζός πήγε σε ένα αξιοθέατο από το σπίτιμε ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό, και ο δεύτερος πεζός πήγε στη βόλτα από το σχολείομε ταχύτητα 80 μέτρων το λεπτό. Ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των πεζών μετά από 2 λεπτά; Πόσα λεπτά μετά την έναρξη της κίνησης θα προλάβει ο πρώτος πεζός τον δεύτερο;

Ας απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση του προβλήματος - ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των πεζών μετά από 2 λεπτά;

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος πεζός σε 2 λεπτά. Κινήθηκε με ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό. Σε δύο λεπτά θα διανύσει διπλάσια απόσταση, δηλαδή 200 μέτρα.

100 × 2 = 200 μέτρα

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διένυσε ο δεύτερος πεζός σε 2 λεπτά. Κινήθηκε με ταχύτητα 80 μέτρων το λεπτό. Σε δύο λεπτά θα διανύσει διπλάσια απόσταση, δηλαδή 160 μέτρα.

80 × 2 = 160 μέτρα

Τώρα πρέπει να βρούμε την απόσταση μεταξύ των πεζών

Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ των πεζών, μπορείτε να προσθέσετε την απόσταση που διένυσε ο δεύτερος πεζός (160m) στην απόσταση από το σπίτι στο σχολείο (700m) και να αφαιρέσετε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος πεζός (200m) από το αποτέλεσμα που προέκυψε.

700 m + 160 m = 860 m

860 m − 200 m = 660 m

Ή, από την απόσταση από το σπίτι στο σχολείο (700 m), αφαιρέστε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος πεζός (200 m) και προσθέστε την απόσταση που διένυσε ο δεύτερος πεζός (160 m) στο αποτέλεσμα που προέκυψε.

700 m − 200 m = 500 m

500 m + 160 m = 660 m

Έτσι, μετά από δύο λεπτά η απόσταση μεταξύ των πεζών θα είναι 660 μέτρα

Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο εξής ερώτημα: πόσα λεπτά μετά την έναρξη της κίνησης θα προλάβει ο πρώτος πεζός τον δεύτερο;

Ας δούμε πώς ήταν η κατάσταση στην αρχή του ταξιδιού - όταν οι πεζοί δεν είχαν ακόμη αρχίσει να κινούνται

Όπως φαίνεται στο σχήμα, η απόσταση μεταξύ των πεζών στην αρχή του μονοπατιού ήταν 700 μέτρα. Αλλά μέσα σε ένα λεπτό μετά την έναρξη της κίνησης, η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 680 μέτρα, αφού ο πρώτος πεζός κινείται 20 μέτρα πιο γρήγορα από τον δεύτερο:

100 m × 1 = 100 m

80 m × 1 = 80 m

700 m + 80 m − 100 m = 780 m − 100 m = 680 m

Δύο λεπτά μετά την έναρξη της κίνησης, η απόσταση θα μειωθεί κατά άλλα 20 μέτρα και θα είναι 660 μέτρα. Αυτή ήταν η απάντησή μας στην πρώτη ερώτηση του προβλήματος:

100 m × 2 = 200 m

80 m × 2 = 160 m

700 m + 160 m − 200 m = 860 m − 200 m = 660 m

Μετά από τρία λεπτά, η απόσταση θα μειωθεί κατά άλλα 20 μέτρα και θα είναι ήδη 640 μέτρα:

100 m × 3 = 300 m

80 m × 3 = 240 m

700 m + 240 m − 300 m = 940 m − 300 m = 640 m

Βλέπουμε ότι κάθε λεπτό ο πρώτος πεζός θα πλησιάζει τον δεύτερο κατά 20 μέτρα και τελικά θα τον προλαβαίνει. Μπορούμε να πούμε ότι η ταχύτητα των είκοσι μέτρων το λεπτό είναι η ταχύτητα προσέγγισης πεζών. Οι κανόνες για την εύρεση της ταχύτητας προσέγγισης και της απόστασης κατά την κίνηση προς μία κατεύθυνση είναι πανομοιότυποι.

Για να βρείτε την ταχύτητα κλεισίματος όταν κινείστε προς μία κατεύθυνση, πρέπει να αφαιρέσετε τη μικρότερη από την υψηλότερη ταχύτητα.

Και δεδομένου ότι τα αρχικά 700 μέτρα μειώνονται κατά τα ίδια 20 μέτρα κάθε λεπτό, μπορούμε να μάθουμε πόσες φορές τα 700 μέτρα περιέχουν 20 μέτρα, καθορίζοντας έτσι πόσα λεπτά αργότερα ο πρώτος πεζός θα φτάσει τον δεύτερο

700: 20 = 35

Αυτό σημαίνει ότι 35 λεπτά μετά την έναρξη της κίνησης, ο πρώτος πεζός θα προλάβει τον δεύτερο. Για πλάκα, ας μάθουμε πόσα μέτρα έχει περπατήσει κάθε πεζός αυτή τη φορά. Το πρώτο κινούνταν με ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό. Σε 35 λεπτά κάλυψε 35 φορές περισσότερο

100 × 35 = 3500 m

Ο δεύτερος περπάτησε με ταχύτητα 80 μέτρων το λεπτό. Σε 35 λεπτά κάλυψε 35 φορές περισσότερο

80 × 35 = 2800 m

Ο πρώτος περπάτησε 3500 μέτρα και ο δεύτερος 2800 μέτρα. Ο πρώτος περπάτησε 700 μέτρα παραπάνω γιατί ερχόταν από το σπίτι. Αν αφαιρέσουμε αυτά τα 700 μέτρα από τα 3500, παίρνουμε 2800 m

Σκεφτείτε μια κατάσταση στην οποία τα αντικείμενα κινούνται προς μια κατεύθυνση, αλλά ένα από τα αντικείμενα άρχισε να κινείται πριν από το άλλο.

Να είναι σπίτι και σχολείο. Ο πρώτος πεζός πήγε στο σχολείο με ταχύτητα 80 μέτρων το λεπτό. Πέντε λεπτά αργότερα, ένας δεύτερος πεζός τον ακολούθησε στο σχολείο με ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν για να προλάβει ο δεύτερος πεζός τον πρώτο;

Ο δεύτερος πεζός ξεκίνησε την κίνησή του 5 λεπτά αργότερα. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, ο πρώτος πεζός είχε ήδη απομακρυνθεί σε κάποια απόσταση από αυτόν. Ας βρούμε αυτή την απόσταση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητά του (80 m/m) επί 5 λεπτά

80 × 5 = 400 μέτρα

Ο πρώτος πεζός απομακρύνθηκε 400 μέτρα από τον δεύτερο. Επομένως, τη στιγμή που θα αρχίσει να κινείται ο δεύτερος πεζός, θα υπάρχουν αυτά τα ίδια 400 μέτρα ανάμεσά τους.

Όμως ο δεύτερος πεζός κινείται με ταχύτητα 100 μέτρων το λεπτό. Δηλαδή κινείται 20 μέτρα πιο γρήγορα από τον πρώτο πεζό, που σημαίνει ότι με κάθε λεπτό η απόσταση μεταξύ τους θα μειώνεται κατά 20 μέτρα. Το καθήκον μας είναι να μάθουμε σε πόσα λεπτά θα συμβεί αυτό.

Για παράδειγμα, σε ένα μόνο λεπτό η απόσταση μεταξύ των πεζών θα είναι 380 μέτρα. Ο πρώτος πεζός θα περπατήσει άλλα 80 μέτρα στα 400 μέτρα του και ο δεύτερος θα περπατήσει 100 μέτρα

Η αρχή εδώ είναι η ίδια όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα. Η απόσταση μεταξύ των πεζών τη στιγμή της κίνησης του δεύτερου πεζού πρέπει να διαιρείται με την ταχύτητα προσέγγισης των πεζών. Η ταχύτητα προσέγγισης σε αυτή την περίπτωση είναι είκοσι μέτρα. Επομένως, για να καθορίσετε πόσα λεπτά αργότερα ο δεύτερος πεζός θα προλάβει τον πρώτο, πρέπει να διαιρέσετε τα 400 μέτρα με το 20

400: 20 = 20

Αυτό σημαίνει ότι σε 20 λεπτά ο δεύτερος πεζός θα προλάβει τον πρώτο.

Πρόβλημα 2. Από δύο χωριά, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 40 χλμ., ένα λεωφορείο και ένας ποδηλάτης έφυγαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα ενός ποδηλάτη είναι 15 km/h και η ταχύτητα ενός λεωφορείου είναι 35 km/h. Πόσες ώρες θα χρειαστεί για να προλάβει το λεωφορείο τον ποδηλάτη;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης

35 km/h − 15 km/h = 20 km/h

Ας προσδιορίσουμε ότι σε λίγες ώρες το λεωφορείο θα προλάβει τον ποδηλάτη.

40: 20 = 2

Απάντηση: το λεωφορείο θα προλάβει τον ποδηλάτη σε 2 ώρες.

Πρόβλημα κίνησης ποταμού

Τα πλοία κινούνται κατά μήκος του ποταμού με διαφορετικές ταχύτητες. Ταυτόχρονα, μπορούν να κινηθούν τόσο κατά μήκος του ποταμού όσο και ενάντια στο ρεύμα. Ανάλογα με το πώς κινούνται (με ή ενάντια στο ρεύμα), η ταχύτητα θα αλλάξει.

Ας υποθέσουμε ότι η ταχύτητα του ποταμού είναι 3 km/h. Εάν κατεβάσετε ένα σκάφος σε ένα ποτάμι, το ποτάμι θα παρασύρει το σκάφος μακριά με ταχύτητα 3 km/h.

Εάν κατεβάσετε ένα σκάφος σε ακίνητο νερό, στο οποίο δεν υπάρχει ρεύμα, τότε το σκάφος θα παραμείνει ακίνητο. Η ταχύτητα του σκάφους σε αυτή την περίπτωση θα είναι μηδέν.

Εάν ένα σκάφος επιπλέει σε ακίνητο νερό στο οποίο δεν υπάρχει ρεύμα, τότε το σκάφος λέγεται ότι επιπλέει με δική του ταχύτητα.

Για παράδειγμα, εάν ένα μηχανοκίνητο σκάφος πλέει μέσα σε στάσιμα νερά με ταχύτητα 40 km/h, τότε λέμε ότι την ταχύτητα του μηχανοκίνητου σκάφουςείναι 40 km/h.

Πώς να προσδιορίσετε την ταχύτητα ενός πλοίου;

Εάν ένα πλοίο επιπλέει με τη ροή ενός ποταμού, τότε η ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού πρέπει να προστεθεί στην ταχύτητα του ίδιου του πλοίου.

με τη ροή ποτάμιακαι η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 2 km/h, τότε η ταχύτητα ροής του ποταμού (2 km/h) πρέπει να προστεθεί στην ταχύτητα του μηχανοκίνητου σκάφους (30 km/h)

30 km/h + 2 km/h = 32 km/h

Το ρεύμα του ποταμού μπορούμε να πούμε ότι βοηθά το μηχανοκίνητο σκάφος με επιπλέον ταχύτητα δύο χιλιομέτρων την ώρα.

Εάν ένα πλοίο πλέει ενάντια στη ροή ενός ποταμού, τότε η ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού πρέπει να αφαιρεθεί από την ταχύτητα του ίδιου του πλοίου.

Για παράδειγμα, εάν ένα μηχανοκίνητο σκάφος πλέει με ταχύτητα 30 km/h ενάντια στο ρεύμα ποτάμιακαι η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 2 km/h, τότε από την ταχύτητα του μηχανοκίνητου σκάφους (30 km/h) είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί η ταχύτητα ροής του ποταμού (2 km/h)

30 km/h − 2 km/h = 28 km/h

Σε αυτή την περίπτωση, το ρεύμα του ποταμού εμποδίζει το μηχανοκίνητο σκάφος να κινηθεί ελεύθερα προς τα εμπρός, μειώνοντας την ταχύτητά του κατά δύο χιλιόμετρα την ώρα.

Πρόβλημα 1. Η ταχύτητα του σκάφους είναι 40 km/h και η ταχύτητα του ποταμού είναι 3 km/h. Με ποια ταχύτητα θα κινηθεί το σκάφος στον ποταμό; Κόντρα στη ροή του ποταμού;

Απάντηση:

Εάν το σκάφος κινείται κατά μήκος της ροής του ποταμού, η ταχύτητά του θα είναι 40 + 3, δηλαδή 43 km/h.

Εάν το σκάφος κινηθεί αντίθετα με τη ροή του ποταμού, η ταχύτητά του θα είναι 40 − 3, δηλαδή 37 km/h.

Πρόβλημα 2. Η ταχύτητα του πλοίου σε στάσιμα νερά είναι 23 km/h. Η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 3 km/h. Πόσο μακριά θα ταξιδέψει το πλοίο σε 3 ώρες κατά μήκος του ποταμού; Κόντρα στο ρεύμα;

Λύση

Η ταχύτητα του ίδιου του πλοίου είναι 23 km/h. Εάν το πλοίο κινηθεί κατά μήκος του ποταμού, η ταχύτητά του θα είναι 23 + 3, δηλαδή 26 km/h. Σε τρεις ώρες θα ταξιδέψει τρεις φορές πιο μακριά

26 × 3 = 78 χλμ

Εάν το πλοίο κινηθεί αντίθετα με τη ροή του ποταμού, η ταχύτητά του θα είναι 23 − 3, δηλαδή 20 km/h. Σε τρεις ώρες θα ταξιδέψει τρεις φορές πιο μακριά

20 × 3 = 60 χλμ

Πρόβλημα 3. Το σκάφος κάλυψε την απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β σε 3 ώρες 20 λεπτά και την απόσταση από το σημείο Β στο Α σε 2 ώρες και 50 λεπτά. Προς ποια κατεύθυνση ρέει το ποτάμι: από το Α στο Β ή από το Β στο Α, αν είναι γνωστό ότι η ταχύτητα του γιοτ δεν έχει αλλάξει;

Λύση

Η ταχύτητα του γιοτ δεν άλλαξε. Ας μάθουμε σε ποιο μονοπάτι ξόδεψε περισσότερο χρόνο: το μονοπάτι από το Α στο Β ή το μονοπάτι από το Β στο Α. Το μονοπάτι που πέρασε περισσότερο χρόνο θα είναι το μονοπάτι του οποίου η ροή του ποταμού πήγε ενάντια στο γιοτ

3 ώρες 20 λεπτά είναι περισσότερα από 2 ώρες 50 λεπτά. Αυτό σημαίνει ότι το ρεύμα του ποταμού μείωσε την ταχύτητα του γιοτ και αυτό αντικατοπτρίστηκε στον χρόνο ταξιδιού. 3 ώρες και 20 λεπτά είναι ο χρόνος που δαπανάται ταξιδεύοντας από το Α στο Β. Αυτό σημαίνει ότι ο ποταμός ρέει από το σημείο Β στο σημείο Α

Πρόβλημα 4. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να κινηθεί αντίθετα στη ροή ενός ποταμού;
Το πλοίο θα διανύσει 204 χλμ με δική του ταχύτητα
15 km/h και η τρέχουσα ταχύτητα είναι 5 φορές μικρότερη από τη δική του
ταχύτητα του πλοίου;

Λύση

Πρέπει να βρείτε τον χρόνο που χρειάζεται για να διανύσει το πλοίο 204 χιλιόμετρα κόντρα στη ροή του ποταμού. Η ταχύτητα του ίδιου του πλοίου είναι 15 km/h. Κινείται αντίθετα με τη ροή του ποταμού, επομένως πρέπει να προσδιορίσετε την ταχύτητά του κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης.

Για να προσδιορίσετε την ταχύτητα σε σχέση με τη ροή του ποταμού, πρέπει να αφαιρέσετε την ταχύτητα του ποταμού από την ταχύτητα του ίδιου του πλοίου (15 km/h). Η συνθήκη λέει ότι η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 5 φορές μικρότερη από την ταχύτητα του ίδιου του πλοίου, επομένως πρώτα προσδιορίζουμε την ταχύτητα ροής του ποταμού. Για να γίνει αυτό, ας μειώσουμε τα 15 km/h πέντε φορές

15:5 = 3 km/h

Η ταχύτητα ροής του ποταμού είναι 3 km/h. Αφαιρέστε αυτή την ταχύτητα από την ταχύτητα του πλοίου

15 km/h − 3 km/h = 12 km/h

Τώρα ας προσδιορίσουμε τον χρόνο που χρειάζεται το πλοίο για να ταξιδέψει 204 km με ταχύτητα 12 km/h. Το πλοίο ταξιδεύει 12 χιλιόμετρα την ώρα. Για να μάθετε πόσες ώρες θα του πάρει για να διανύσει 204 χιλιόμετρα, πρέπει να καθορίσετε πόσες φορές τα 204 χιλιόμετρα περιέχουν 12 χιλιόμετρα

204: 12 = 17 ώρες

Απάντηση: το πλοίο θα διανύσει 204 χιλιόμετρα σε 17 ώρες

Πρόβλημα 5. Προχωρώντας κατά μήκος του ποταμού, σε 6 ώρες το σκάφος
περπάτησε 102 χλμ. Προσδιορίστε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους

Λύση

Ας μάθουμε πόσο γρήγορα κινούνταν το σκάφος κατά μήκος του ποταμού. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση που διανύσατε (102 km) με το χρόνο οδήγησης (6 ώρες)

102: 6 = 17 km/h

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους. Για να γίνει αυτό, από την ταχύτητα με την οποία κινήθηκε κατά μήκος του ποταμού (17 km/h), αφαιρούμε την ταχύτητα της ροής του ποταμού (4 km/h)

17 − 4 = 13 km/h

Πρόβλημα 6. Κινούμενο κόντρα στη ροή του ποταμού, σε 5 ώρες το σκάφος
περπάτησε 110 χλμ. Προσδιορίστε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους
εάν η τρέχουσα ταχύτητα είναι 4 km/h.

Λύση

Ας μάθουμε πόσο γρήγορα κινούνταν το σκάφος κατά μήκος του ποταμού. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση που διανύσατε (110 km) με το χρόνο οδήγησης (5 ώρες)

110: 5 = 22 km/h

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους. Η κατάσταση λέει ότι κινούνταν κόντρα στη ροή του ποταμού. Η ταχύτητα ροής του ποταμού ήταν 4 km/h. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους έχει μειωθεί κατά 4. Ο στόχος μας είναι να προσθέσουμε αυτά τα 4 km/h και να μάθουμε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους

22 + 4 = 26 km/h

Απάντηση: Η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους είναι 26 km/h

Πρόβλημα 7. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να κινηθεί ένα σκάφος ενάντια στη ροή ενός ποταμού;
θα διανύσει 56 km εάν η τρέχουσα ταχύτητα είναι 2 km/h, και
είναι η δική του ταχύτητα 8 km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα του ρεύματος;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους. Η συνθήκη λέει ότι είναι 8 km/h περισσότερο από την τρέχουσα ταχύτητα. Επομένως, για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους, προσθέτουμε άλλα 8 km/h στην τρέχουσα ταχύτητα (2 km/h)

2 km/h + 8 km/h = 10 km/h

Το σκάφος κινείται αντίθετα με τη ροή του ποταμού, επομένως από την ταχύτητα του ίδιου του σκάφους (10 km/h) αφαιρούμε την ταχύτητα του ποταμού (2 km/h)

10 km/h − 2 km/h = 8 km/h

Ας μάθουμε πόσο χρόνο χρειάζεται το σκάφος για να διανύσει 56 χλμ. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση (56 km) με την ταχύτητα του σκάφους:

56:8 = 7 ώρες

Απάντηση: όταν κινείται αντίθετα στη ροή του ποταμού, το σκάφος θα διανύσει 56 km σε 7 ώρες

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

Πρόβλημα 1. Πόσο χρόνο θα πάρει ένας πεζός για να περπατήσει 20 km αν η ταχύτητά του είναι 5 km/h;

Λύση

Σε μια ώρα ένας πεζός περπατάει 5 χιλιόμετρα. Για να προσδιορίσετε πόσο χρόνο θα του πάρει για να διανύσει 20 χιλιόμετρα, πρέπει να μάθετε πόσες φορές τα 20 χιλιόμετρα περιέχουν 5 χιλιόμετρα. Ή χρησιμοποιήστε τον κανόνα για την εύρεση του χρόνου: διαιρέστε την απόσταση που διανύθηκε με την ταχύτητα κίνησης

20:5 = 4 ώρες

Εργασία 2. Από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕένας ποδηλάτης οδήγησε για 5 ώρες με ταχύτητα 16 km/h, και πίσω οδήγησε στο ίδιο μονοπάτι με ταχύτητα 10 km/h. Πόσο καιρό χρειάστηκε να επιστρέψει ο ποδηλάτης;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕ. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητα με την οποία ταξίδευε ο ποδηλάτης από το σημείο ΕΝΑστο σημείο ΣΕ(16km/h) για χρόνο οδήγησης (5h)

16 × 5 = 80 χλμ

Ας προσδιορίσουμε πόση ώρα πέρασε ο ποδηλάτης στο δρόμο της επιστροφής. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την απόσταση (80 km) με την ταχύτητα (10 km/h)

Πρόβλημα 3. Ένας ποδηλάτης οδήγησε για 6 ώρες με συγκεκριμένη ταχύτητα. Αφού οδήγησε άλλα 11 χλμ με την ίδια ταχύτητα, η απόσταση του έγινε 83 χλμ. Πόσο γρήγορα ταξίδευε ο ποδηλάτης;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διένυσε ο ποδηλάτης σε 6 ώρες. Για να γίνει αυτό, από τα 83 km αφαιρούμε την απόσταση που διένυσε μετά από έξι ώρες κίνησης (11 km)

83 − 11 = 72 χλμ

Ας προσδιορίσουμε με ποια ταχύτητα οδήγησε ο ποδηλάτης τις πρώτες 6 ώρες. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε 72 km σε 6 ώρες

72: 6 = 12 km/h

Εφόσον η κατάσταση του προβλήματος λέει ότι ο ποδηλάτης οδήγησε τα υπόλοιπα 11 χλμ. με την ίδια ταχύτητα όπως και τις πρώτες 6 ώρες οδήγησης, τότε η ταχύτητα 12 χλμ./ώρα είναι η απάντηση στο πρόβλημα.

Απάντηση:Ο ποδηλάτης ταξίδευε με ταχύτητα 12 χλμ./ώρα.

Πρόβλημα 4. Κινούμενο αντίθετα με τη ροή ενός ποταμού, ένα μηχανοκίνητο πλοίο διανύει μια απόσταση 72 km σε 4 ώρες και μια σχεδία την ίδια απόσταση σε 36 ώρες. Σε πόσες ώρες το μηχανοκίνητο πλοίο θα διανύσει μια απόσταση 110 km εάν επιπλέει με τη ροή του ποταμού;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα της ροής του ποταμού. Η προϋπόθεση αναφέρει ότι η σχεδία μπορεί να διανύσει 72 χιλιόμετρα σε 36 ώρες. Η σχεδία δεν μπορεί να κινηθεί ενάντια στη ροή του ποταμού. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα της σχεδίας με την οποία καλύπτει αυτά τα 72 χιλιόμετρα είναι η ταχύτητα της ροής του ποταμού. Για να βρείτε αυτή την ταχύτητα, πρέπει να διαιρέσετε 72 χιλιόμετρα με 36 ώρες

72: 36 = 2 km/h

Ας βρούμε την ταχύτητα του ίδιου του πλοίου. Αρχικά, ας βρούμε την ταχύτητα της κίνησής του ενάντια στη ροή του ποταμού. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε 72 χιλιόμετρα με 4 ώρες

72: 4 = 18 km/h

Αν η ταχύτητα του πλοίου ενάντια στη ροή του ποταμού είναι 18 km/h, τότε η δική του ταχύτητα είναι 18+2, δηλαδή 20 km/h. Και κατά μήκος του ποταμού η ταχύτητά του θα είναι 20+2, δηλαδή 22 km/h

Διαιρώντας 110 χιλιόμετρα με την ταχύτητα του πλοίου κατά μήκος του ποταμού (22 χλμ/ώρα), μπορείτε να μάθετε πόσες ώρες θα χρειαστεί το πλοίο για να διανύσει αυτά τα 110 χιλιόμετρα

Απάντηση:Το πλοίο θα διανύσει 110 χιλιόμετρα κατά μήκος του ποταμού σε 5 ώρες.

Πρόβλημα 5. Δύο ποδηλάτες έφυγαν από το ίδιο σημείο την ίδια στιγμή σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ο ένας οδηγούσε με ταχύτητα 11 km/h και ο δεύτερος με ταχύτητα 13 km/h. Ποια θα είναι η μεταξύ τους απόσταση μετά από 4 ώρες;

21 × 6 = 126 χλμ

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που διανύει το δεύτερο πλοίο. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητά του (24 km/h) με το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσετε στη συνάντηση (6 ώρες)

24 × 6 = 144 χλμ

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ των προβλήτων. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις αποστάσεις που διανύθηκαν από το πρώτο και το δεύτερο πλοίο

126 km + 144 km = 270 km

Απάντηση:Το πρώτο πλοίο ταξίδεψε 126 km, το δεύτερο - 144 km. Η απόσταση μεταξύ των προβλήτων είναι 270 χιλιόμετρα.

Πρόβλημα 7. Δύο τρένα έφυγαν από τη Μόσχα και την Ούφα ταυτόχρονα. 16 ώρες αργότερα συναντήθηκαν. Το τρένο της Μόσχας ταξίδευε με ταχύτητα 51 χλμ./ώρα. Με ποια ταχύτητα ταξίδεψε το τρένο από την Ούφα αν η απόσταση Μόσχας - Ούφα είναι 1520 km; Ποια ήταν η απόσταση μεταξύ των τρένων 5 ώρες μετά τη συνάντησή τους;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε πόσα χιλιόμετρα διένυσε το τρένο που φεύγει από τη Μόσχα πριν από τη συνάντηση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητά του (51 km/h) επί 16 ώρες

51 × 16 = 816 χλμ

Ας μάθουμε πόσα χιλιόμετρα άφησε το τρένο από την Ούφα πριν από τη συνάντηση. Για να γίνει αυτό, από την απόσταση μεταξύ Μόσχας και Ufa (1520 km) αφαιρούμε την απόσταση που διανύει το τρένο που φεύγει από τη Μόσχα

1520 − 816 = 704 χλμ

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα με την οποία το τρένο έφυγε από την Ούφα ταξίδευε. Για να γίνει αυτό, η απόσταση που διένυσε πριν από τη συνάντηση πρέπει να διαιρεθεί με 16 ώρες

704: 16 = 44 km/h

Ας προσδιορίσουμε την απόσταση που θα είναι μεταξύ των τρένων 5 ώρες μετά τη συνάντησή τους. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ταχύτητα των τρένων που απομακρύνονται και πολλαπλασιάστε αυτήν την ταχύτητα επί 5

51 km/h + 44 km/h = 95 km/h

95 × 5 = 475 χλμ.

Απάντηση:Το τρένο που έφευγε από την Ufa ταξίδευε με ταχύτητα 44 km/h. 5 ώρες μετά τη συνάντηση των τρένων, η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 475 χιλιόμετρα.

Πρόβλημα 8. Δύο λεωφορεία αναχώρησαν από ένα σημείο ταυτόχρονα προς αντίθετες κατευθύνσεις. Η ταχύτητα του ενός λεωφορείου είναι 48 km/h, του άλλου είναι 6 km/h παραπάνω. Μετά από πόσες ώρες η απόσταση μεταξύ των λεωφορείων θα είναι 510 km;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα του δεύτερου λεωφορείου. Είναι 6 km/h περισσότερο από την ταχύτητα του πρώτου λεωφορείου

48 km/h + 6 km/h = 54 km/h

Ας βρούμε την ταχύτητα με την οποία απομακρύνονται τα λεωφορεία. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις ταχύτητες τους:

48 km/h + 54 km/h = 102 km/h

Σε μια ώρα, η απόσταση μεταξύ των λεωφορείων αυξάνεται κατά 102 χιλιόμετρα. Για να μάθετε μετά από πόσες ώρες η απόσταση μεταξύ τους θα είναι 510 km, πρέπει να μάθετε πόσες φορές τα 510 km περιέχουν 102 km/h

Απάντηση: 510 χλμ μεταξύ λεωφορείων θα είναι σε 5 ώρες.

Πρόβλημα 9. Η απόσταση από το Rostov-on-Don στη Μόσχα είναι 1230 km. Δύο τρένα έφυγαν από τη Μόσχα και το Ροστόφ το ένα προς το άλλο. Το τρένο από τη Μόσχα ταξιδεύει με ταχύτητα 63 km/h και η ταχύτητα του τρένου του Ροστόφ είναι ίδια με την ταχύτητα του τρένου της Μόσχας. Σε ποια απόσταση από το Ροστόφ θα συναντηθούν τα τρένα;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα του τρένου του Ροστόφ. Είναι η ταχύτητα ενός τρένου της Μόσχας. Επομένως, για να προσδιορίσετε την ταχύτητα του τρένου Rostov, πρέπει να βρείτε από 63 χλμ

63: 21 × 20 = 3 × 20 = 60 km/h

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης των τρένων

63 km/h + 60 km/h = 123 km/h

Ας καθορίσουμε πόσες ώρες αργότερα θα συναντηθούν τα τρένα

1230: 123 = 10 h

Ας μάθουμε σε ποια απόσταση από το Ροστόφ θα συναντηθούν τα τρένα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να βρείτε την απόσταση που έχει διανύσει το τρένο του Ροστόφ πριν από τη συνάντηση

60 × 10 = 600 χλμ.

Απάντηση:Τα τρένα θα συναντηθούν σε απόσταση 600 χλμ. από το Ροστόφ.

Πρόβλημα 10. Από δύο προβλήτες, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 75 km, δύο μηχανοκίνητα σκάφη αναχώρησαν ταυτόχρονα το ένα προς το άλλο. Το ένα κινούνταν με ταχύτητα 16 km/h και η ταχύτητα του άλλου ήταν 75% της ταχύτητας του πρώτου σκάφους. Ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των σκαφών μετά από 2 ώρες;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα του δεύτερου σκάφους. Είναι το 75% της ταχύτητας του πρώτου σκάφους. Επομένως, για να βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου σκάφους, χρειάζεστε το 75% των 16 km

16 × 0,75 = 12 km/h

Ας βρούμε την ταχύτητα κλεισίματος των σκαφών

16 km/h + 12 km/h = 28 km/h

Κάθε ώρα η απόσταση μεταξύ των σκαφών θα μειώνεται κατά 28 χλμ. Μετά από 2 ώρες θα μειωθεί κατά 28×2, δηλαδή κατά 56 χλμ. Για να μάθετε ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των σκαφών αυτή τη στιγμή, πρέπει να αφαιρέσετε 56 km από 75 km

75 km − 56 km = 19 km

Απάντηση:σε 2 ώρες θα υπάρχουν 19 χλμ μεταξύ των σκαφών.

Πρόβλημα 11. Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 62 km/h προλαβαίνει ένα φορτηγό με ταχύτητα 47 km/h. Μετά από πόσο χρόνο και σε ποια απόσταση από την έναρξη της κίνησης ένα επιβατικό αυτοκίνητο θα προλάβει ένα φορτηγό, εάν η αρχική απόσταση μεταξύ τους ήταν 60 km;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης

62 km/h − 47 km/h = 15 km/h

Εάν αρχικά η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων ήταν 60 χιλιόμετρα, τότε κάθε ώρα αυτή η απόσταση θα μειώνεται κατά 15 χιλιόμετρα και τελικά το επιβατικό αυτοκίνητο θα προλάβει το φορτηγό. Για να μάθετε πόσες ώρες αργότερα θα συμβεί αυτό, πρέπει να καθορίσετε πόσες φορές τα 60 km περιέχουν 15 km

Ας μάθουμε σε ποια απόσταση από την έναρξη της κίνησης το επιβατικό αυτοκίνητο πρόλαβε το φορτηγό. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την ταχύτητα του αυτοκινήτου (62 km/h) με το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσετε στη συνάντηση (4 ώρες)

62 × 4 = 248 χλμ

Απάντηση:Ένα επιβατικό αυτοκίνητο θα προλάβει ένα φορτηγό σε 4 ώρες. Τη στιγμή της συνάντησης το επιβατικό αυτοκίνητο θα βρίσκεται σε απόσταση 248 χλμ. από την έναρξη της κίνησης.

Πρόβλημα 12. Δύο μοτοσικλετιστές έφυγαν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο προς την ίδια κατεύθυνση. Η ταχύτητα του ενός ήταν 35 km/h και του άλλου ήταν 80% της ταχύτητας του πρώτου μοτοσικλετιστή. Ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ τους μετά από 5 ώρες;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα του δεύτερου μοτοσικλετιστή. Είναι το 80% της ταχύτητας του πρώτου μοτοσικλετιστή. Επομένως, για να βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου μοτοσικλετιστή, πρέπει να βρείτε το 80% των 35 km/h

35 × 0,80 = 28 km/h

Ο πρώτος μοτοσικλετιστής κινείται 35-28 km/h πιο γρήγορα

35 km/h − 28 km/h = 7 km/h

Σε μία ώρα ο πρώτος μοτοσικλετιστής διανύει 7 χιλιόμετρα περισσότερα. Κάθε ώρα θα πλησιάζει τον δεύτερο μοτοσικλετιστή κατά αυτά τα 7 χιλιόμετρα.

Μετά από 5 ώρες, ο πρώτος μοτοσικλετιστής θα διανύσει 35×5, δηλαδή 175 χλμ. και ο δεύτερος μοτοσικλετιστής θα διανύσει 28×5, δηλαδή 140 χλμ. Ας προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ τους. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε 140 km από 175 km

175 − 140 = 35 χλμ

Απάντηση:μετά από 5 ώρες η απόσταση μεταξύ των μοτοσικλετιστών θα είναι 35 χλμ.

Πρόβλημα 13. Ένας μοτοσικλετιστής του οποίου η ταχύτητα είναι 43 km/h προλαβαίνει έναν ποδηλάτη του οποίου η ταχύτητα είναι 13 km/h. Σε πόσες ώρες θα προλάβει ο μοτοσικλετιστής τον ποδηλάτη αν η αρχική απόσταση μεταξύ τους ήταν 120 km;

Λύση

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης:

43 km/h − 13 km/h = 30 km/h

Εάν αρχικά η απόσταση μεταξύ του μοτοσικλετιστή και του ποδηλάτη ήταν 120 χιλιόμετρα, τότε κάθε ώρα αυτή η απόσταση θα μειώνεται κατά 30 χλμ. και τελικά ο μοτοσικλετιστής θα προλάβει τον ποδηλάτη. Για να μάθετε πόσες ώρες αργότερα θα συμβεί αυτό, πρέπει να καθορίσετε πόσες φορές τα 120 km περιέχουν 30 km

Έτσι σε 4 ώρες ο μοτοσικλετιστής θα προλάβει τον ποδηλάτη

Το σχήμα δείχνει την κίνηση ενός μοτοσικλετιστή και ενός ποδηλάτη. Φαίνεται ότι 4 ώρες μετά την έναρξη της κίνησης ισοπεδώθηκαν.

Απάντηση:Ο μοτοσικλετιστής θα προλάβει τον ποδηλάτη σε 4 ώρες.

Πρόβλημα 14. Ένας ποδηλάτης του οποίου η ταχύτητα είναι 12 km/h προλαβαίνει έναν ποδηλάτη του οποίου η ταχύτητα είναι 75% της ταχύτητάς του. Μετά από 6 ώρες, ο δεύτερος ποδηλάτης πρόλαβε τον πρώτο ποδηλάτη. Ποια ήταν η αρχική απόσταση μεταξύ των ποδηλατών;

Λύση

Ας προσδιορίσουμε την ταχύτητα του ποδηλάτη που οδηγεί μπροστά. Για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε το 75% της ταχύτητας του ποδηλάτη που οδηγεί πίσω:

12 × 0,75 = 9 km/h - ταχύτητα του ατόμου που οδηγεί μπροστά

Ας μάθουμε πόσα χιλιόμετρα διένυσε κάθε ποδηλάτης πριν ο δεύτερος προλάβει τον πρώτο:

12 × 6 = 72 km - πέρασε από αυτόν που οδηγεί πίσω
9 × 6 = 54 χλμ - πέρασε ο μπροστάρης

Ας μάθουμε ποια ήταν η απόσταση μεταξύ των ποδηλατών αρχικά. Για να γίνει αυτό, από την απόσταση που διένυσε ο δεύτερος ποδηλάτης (που πρόλαβε), αφαιρούμε την απόσταση που διένυσε ο πρώτος ποδηλάτης (που πρόλαβε)

Φαίνεται ότι το αυτοκίνητο είναι 12 χλμ μπροστά από το λεωφορείο.

Για να μάθετε πόσες ώρες αργότερα το αυτοκίνητο θα είναι 48 χιλιόμετρα μπροστά από το λεωφορείο, πρέπει να προσδιορίσετε πόσες φορές τα 48 χιλιόμετρα περιέχουν 12 χιλιόμετρα

Απάντηση: 4 ώρες μετά την αναχώρηση, το αυτοκίνητο θα είναι 48 χιλιόμετρα μπροστά από το λεωφορείο.

Σας άρεσε το μάθημα;
Εγγραφείτε στη νέα μας ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

§ 1 Ταχύτητα προσέγγισης και ταχύτητα αναχώρησης

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με έννοιες όπως "ταχύτητα προσέγγισης" και "ταχύτητα αφαίρεσης".

Ας βρούμε την ταχύτητα προσέγγισης αυτών των αυτοκινήτων:

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Ας εξετάσουμε την ακόλουθη τρίτη κατάσταση.

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Ας εξετάσουμε την τελευταία τέταρτη κατάσταση.

Ας απεικονίσουμε την κίνηση αυτών των αυτοκινήτων σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

§ 2 Σύντομη περίληψη του θέματος του μαθήματος

4. Ταχύτητα αφαίρεσης είναι η απόσταση κατά την οποία αφαιρούνται αντικείμενα ανά μονάδα χρόνου.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

Peterson L.G. Μαθηματικά. 4η τάξη. Μέρος 2 / Λ.Γ. Peterson. – Μ.: Yuventa, 2014. – 96 σελ.: ill.
Μαθηματικά. 4η τάξη. Μεθοδολογικές συστάσεις για το εγχειρίδιο μαθηματικών «Learning to Learn» για την τάξη 4 / L.G. Peterson. – Μ.: Yuventa, 2014. – 280 σελ.: ill.
Zach S.M. Όλες οι εργασίες για το σχολικό βιβλίο μαθηματικών για την 4η τάξη του Λ.Γ. Peterson και ένα σύνολο ανεξάρτητων και δοκιμαστικών εργασιών. Ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο. – Μ.: UNWES, 2014.
ΜΟΝΑΔΑ ΟΠΤΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ. Μαθηματικά. 4η τάξη. Σενάρια μαθήματος για το σχολικό βιβλίο για το μέρος 2 Peterson L.G. – Μ.: Yuventa, 2013.

Εικόνες που χρησιμοποιούνται:

Πώς να βρείτε την ταχύτητα κλεισίματος;

Κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, οι μαθητές έχουν μεγάλο αριθμό ερωτήσεων. "Πώς να βρείτε την ταχύτητα κλεισίματος;" - ένας από αυτούς.

Ταχύτητα κίνησης είναι η απόσταση στην οποία τα αντικείμενα πλησιάζουν το ένα το άλλο ανά μονάδα χρόνου. Η μονάδα μέτρησης είναι τα km/h, m/s κ.λπ. Όταν τα αντικείμενα κινούνται ομοιόμορφα με διαφορετικές ταχύτητες, η απόσταση μεταξύ αυτών των αντικειμένων είτε αυξάνεται είτε μειώνεται κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων.

Για να υπολογίσετε την κίνηση σε διαφορετικές κατευθύνσεις, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: ταχύτητα κλεισίματος = V1 + V2, και όταν κινείστε προς μία κατεύθυνση - ταχύτητα κλεισίματος = V1 - V2. Κατά την επίλυση προβλημάτων, μην συγχέετε την ταχύτητα κλεισίματος με τη «συνολική ταχύτητα», η οποία υπολογίζεται από το άθροισμα όλων των ταχυτήτων.

Ας υποθέσουμε ότι δύο ποδηλάτες κινούνται ο ένας προς τον άλλο. Η ταχύτητα του πρώτου είναι 16 km/h και του δεύτερου 20 km/h. Με ποια ταχύτητα αλλάζει η μεταξύ τους απόσταση; Αντικαθιστώντας τα δεδομένα μας με τον τύπο V=16+20, διαπιστώνουμε ότι η ταχύτητα προσέγγισης σε αυτή την περίπτωση είναι 36 km/h.

Εάν σε έναν αγώνα συμμετέχουν δύο χελώνες, η μία εκ των οποίων κινείται με ταχύτητα 3 km/h και η άλλη με 1 km/h, η ταχύτητα κλεισίματος θα είναι 2 km/h με βάση τον τύπο V=V1 - V2.

ποικιλίες

Προχωρώντας προς

Δεύτερος τρόπος

Κινούμενος προς την αντίθετη κατεύθυνση

Ταχύτητα αφαίρεσης

Κίνηση σε καταδίωξη

συμπεράσματα

Ροή

Ένα παράδειγμα μιας εργασίας για την κίνηση κατά μήκος ενός ποταμού

Πρόβλημα απόστασης/ταχύτητας/χρόνου

Ταχύτητα κλεισίματος

Ταχύτητα αφαίρεσης

Το έργο της μετακίνησης αντικειμένων προς μία κατεύθυνση

Πρόβλημα κίνησης ποταμού

Πώς να προσδιορίσετε την ταχύτητα ενός πλοίου;

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

Διαβάστε επίσης