Θεωρήστε έναν κύλινδρο περιστροφής ακτίνας R και ύψους h (Εικ. 383). Στη βάση αυτού του κυλίνδρου θα εγγράψουμε ένα κανονικό πολύγωνο (ένα εξάγωνο στο Σχ. 383) και με τη βοήθειά του θα κατασκευάσουμε ένα κανονικό πρίσμα εγγεγραμμένο στον κύλινδρο. Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί κανείς να περιγράψει κανονικά πρίσματα με αυθαίρετα μεγάλο αριθμό πλευρικών όψεων γύρω από έναν κύλινδρο.
Εξ ορισμού, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου θεωρείται το όριο στο οποίο οι περιοχές των πλευρικών επιφανειών των κανονικών πρισμάτων που είναι εγγεγραμμένες και περιγεγραμμένες γύρω από αυτόν τείνουν καθώς ο αριθμός των πλευρικών τους όψεων διπλασιάζεται άπειρα (ή γενικά αυξάνεται ).
Θα αποδείξουμε τώρα ότι υπάρχει τέτοιο όριο. Αν πάρουμε ως βάση ένα εγγεγραμμένο κανονικό πρίσμα χτισμένο σε κανονικό τρίγωνο, τότε για την πλευρική του επιφάνεια θα έχουμε την έκφραση , όπου είναι η περίμετρος ενός κανονικού τριγώνου εγγεγραμμένη στον κύκλο της βάσης του κυλίνδρου. Στο . Ο ίδιος ακριβώς υπολογισμός για το περιγραφόμενο πρίσμα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα. Έτσι, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου περιστροφής εκφράζεται με τον τύπο
Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ίση με το γινόμενο του μήκους της γεννήτριας και της περιμέτρου (δηλαδή της περιφέρειας) της βάσης.
Πρόβλημα 1. Το τμήμα που συνδέει τα διαμετρικά αντίθετα σημεία Α και Β της άνω και κάτω βάσης του κυλίνδρου (Εικ. 384) είναι 10 cm και έχει κλίση προς το επίπεδο της βάσης υπό γωνία 60°. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.
Λύση. Ας σχεδιάσουμε μια διατομή στο τμήμα L με ένα επίπεδο κάθετο στη βάση του κυλίνδρου. Από το τρίγωνο που έχουμε
όπου βρίσκουμε για την πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου
Πρόβλημα 2. Τρίγωνο ABC, του οποίου οι κορυφές Α και Β είναι τα άκρα της διαμέτρου της κάτω βάσης του κυλίνδρου και η κορυφή C είναι το άκρο της διαμέτρου της άνω βάσης κάθετα σε αυτό, ισόπλευρη με την πλευρά a,
Βρείτε το εμβαδόν των πλευρικών και των συνολικών επιφανειών του κυλίνδρου. Λύση. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι ίση με Το ύψος του τριγώνου ABC (Εικ. 385) είναι ίσο με και η γενεαλογική διάταξη του κυλίνδρου υπολογίζεται ως
Επομένως η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ίση με
και η συνολική επιφάνεια (ίση με το άθροισμα του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας και του εμβαδού των δύο βάσεων του κυλίνδρου) είναι ίση με
Γυμνάσια
1. Οι διαγώνιες των πλευρικών όψεων ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης σε γωνίες αντίστοιχα ίσες με . Να βρείτε τη γωνία κλίσης προς το ίδιο επίπεδο της διαγώνιου του παραλληλεπιπέδου.
2. Σε ορθό παραλληλεπίπεδο, η οξεία γωνία της βάσης είναι ίση με a, και μία από τις πλευρές της βάσης ίση με a. Το τμήμα που διασχίζεται από αυτήν την πλευρά και το απέναντι άκρο της άνω βάσης έχει εμβαδόν Q και το επίπεδό του είναι κεκλιμένο προς το επίπεδο της βάσης υπό γωνία . Να βρείτε τον όγκο και τη συνολική επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου.
3. Η βάση ενός κεκλιμένου τριγωνικού πρίσματος είναι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή μιας από τις πλευρικές ακμές στο επίπεδο της βάσης συμπίπτει με τη διάμεσο m ενός από τα σκέλη του τριγώνου. Βρείτε τη γωνία κλίσης των πλευρικών νευρώσεων ως προς το επίπεδο της βάσης αν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος με V.
4. Σε ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα, σύρονται δύο τμήματα από την πλευρά της βάσης: 1) που περιέχει την αντίθετη πλευρά της άνω βάσης, 2) περιέχει το κέντρο της άνω βάσης. Σε ποιο ύψος του πρίσματος έχει τη μεγαλύτερη τιμή η γωνία μεταξύ των επιπέδων τομής και με τι ισούται σε αυτή την περίπτωση;
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου V είναι ο όγκος του κυλίνδρου, h το ύψος
Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από την πλευρά του. Επίσης, κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο παράλληλα επίπεδα που το τέμνουν. Αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται όταν μια ευθεία κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της. Στην περίπτωση αυτή, το επιλεγμένο σημείο της ευθείας γραμμής κινείται κατά μήκος μιας ορισμένης καμπύλης επιπέδου (οδηγός). Αυτή η ευθεία γραμμή ονομάζεται γεννήτρια της κυλινδρικής επιφάνειας.
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου Sb είναι η πλευρική επιφάνεια, h το ύψος
Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από την πλευρά του. Επίσης, κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο παράλληλα επίπεδα που το τέμνουν. Αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται όταν μια ευθεία κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της. Στην περίπτωση αυτή, το επιλεγμένο σημείο της ευθείας γραμμής κινείται κατά μήκος μιας ορισμένης καμπύλης επιπέδου (οδηγός). Αυτή η ευθεία γραμμή ονομάζεται γεννήτρια της κυλινδρικής επιφάνειας.
Τύπος ακτίνας κυλίνδρου:
όπου S είναι η συνολική επιφάνεια, h το ύψος
Είναι ένα γεωμετρικό σώμα που οριοθετείται από δύο παράλληλα επίπεδα και μια κυλινδρική επιφάνεια.
Ο κύλινδρος αποτελείται από μια πλευρική επιφάνεια και δύο βάσεις. Ο τύπος για το εμβαδόν επιφάνειας ενός κυλίνδρου περιλαμβάνει ξεχωριστό υπολογισμό του εμβαδού της βάσης και της πλευρικής επιφάνειας. Δεδομένου ότι οι βάσεις στον κύλινδρο είναι ίσες, το συνολικό εμβαδόν του θα υπολογιστεί με τον τύπο:
Θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός κυλίνδρου αφού μάθουμε όλους τους απαραίτητους τύπους. Πρώτα χρειαζόμαστε τον τύπο για το εμβαδόν της βάσης ενός κυλίνδρου. Δεδομένου ότι η βάση του κυλίνδρου είναι ένας κύκλος, θα χρειαστεί να εφαρμόσουμε: 
Θυμόμαστε ότι σε αυτούς τους υπολογισμούς χρησιμοποιείται ο σταθερός αριθμός Π = 3,1415926, ο οποίος υπολογίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Αυτός ο αριθμός είναι μια μαθηματική σταθερά. Θα δούμε επίσης ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού της βάσης ενός κυλίνδρου λίγο αργότερα.
Επιφάνεια της πλευράς του κυλίνδρου
Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου είναι το γινόμενο του μήκους της βάσης και του ύψους της:
Τώρα ας δούμε ένα πρόβλημα στο οποίο πρέπει να υπολογίσουμε τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου. Στο συγκεκριμένο σχήμα, το ύψος είναι h = 4 cm, r = 2 cm Ας βρούμε το συνολικό εμβαδόν του κυλίνδρου.
Αρχικά, ας υπολογίσουμε το εμβαδόν των βάσεων:
Τώρα ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου. Όταν επεκτείνεται, αντιπροσωπεύει ένα ορθογώνιο. Το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον παραπάνω τύπο. Ας αντικαταστήσουμε όλα τα δεδομένα σε αυτό:
Το συνολικό εμβαδόν ενός κύκλου είναι το άθροισμα του διπλάσιου εμβαδού της βάσης και της πλευράς:
Έτσι, χρησιμοποιώντας τους τύπους για το εμβαδόν των βάσεων και την πλευρική επιφάνεια του σχήματος, μπορέσαμε να βρούμε τη συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου.
Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο στο οποίο οι πλευρές είναι ίσες με το ύψος και τη διάμετρο του κυλίνδρου.
Ο τύπος για το εμβαδόν αξονικής διατομής ενός κυλίνδρου προέρχεται από τον τύπο υπολογισμού:
Πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι το θέμα αυτού του άρθρου. Σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα, πρέπει να ξεκινήσετε εισάγοντας δεδομένα, να προσδιορίσετε τι είναι γνωστό και με τι να λειτουργήσετε στο μέλλον και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε απευθείας στον υπολογισμό.
Αυτό το ογκομετρικό σώμα είναι ένα κυλινδρικό γεωμετρικό σχήμα, που οριοθετείται στο πάνω και στο κάτω μέρος από δύο παράλληλα επίπεδα. Αν εφαρμόσετε λίγη φαντασία, θα παρατηρήσετε ότι ένα γεωμετρικό σώμα σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από έναν άξονα, με μια από τις πλευρές του να είναι ο άξονας.
Από αυτό προκύπτει ότι η καμπύλη που περιγράφεται πάνω και κάτω από τον κύλινδρο θα είναι ένας κύκλος, ο κύριος δείκτης του οποίου είναι η ακτίνα ή η διάμετρος.
Επιφάνεια κυλίνδρου - ηλεκτρονική αριθμομηχανή
Αυτή η συνάρτηση τελικά απλοποιεί τη διαδικασία υπολογισμού και όλα καταλήγουν στην αυτόματη αντικατάσταση των καθορισμένων τιμών για το ύψος και την ακτίνα (διάμετρο) της βάσης του σχήματος. Το μόνο που απαιτείται είναι να προσδιορίσετε με ακρίβεια τα δεδομένα και να μην κάνετε λάθη κατά την εισαγωγή αριθμών.
Επιφάνεια της πλευράς του κυλίνδρου
Πρώτα πρέπει να φανταστείτε πώς φαίνεται μια σάρωση σε δισδιάστατο χώρο.
Αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι ίση με την περιφέρεια. Η φόρμουλα του είναι γνωστή από αμνημονεύτων χρόνων - 2π*r, Οπου r- ακτίνα του κύκλου. Η άλλη πλευρά του ορθογωνίου είναι ίση με το ύψος η. Το να βρείτε αυτό που ψάχνετε δεν θα είναι δύσκολο.
μικρόπλευρά= 2π *r*h,
που είναι ο αριθμός π = 3,14.
Συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου
Για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το προκύπτον S πλευράπροσθέστε τα εμβαδά δύο κύκλων, το πάνω και το κάτω μέρος του κυλίνδρου, τα οποία υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο S o =2π * r 2 .
Ο τελικός τύπος μοιάζει με αυτό:
μικρόπάτωμα= 2π * r 2+ 2π * r * h.
Εμβαδόν κυλίνδρου - τύπος μέσω διαμέτρου
Για να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί, μερικές φορές είναι απαραίτητο να εκτελούνται υπολογισμοί μέσω της διαμέτρου. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα κομμάτι κοίλου σωλήνα γνωστής διαμέτρου.
Χωρίς να ταλαιπωρούμε τον εαυτό μας με περιττούς υπολογισμούς, έχουμε μια έτοιμη φόρμουλα. Η άλγεβρα της 5ης τάξης έρχεται στη διάσωση.
μικρόφύλο = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * δ 2 /4 + 2 π*η*δ/2 = π *ρε 2 /2 + π *d*h,
Αντί rπρέπει να εισαγάγετε την τιμή στον πλήρη τύπο r =δ/2.
Παραδείγματα υπολογισμού του εμβαδού ενός κυλίνδρου
Οπλισμένοι με γνώση, ας αρχίσουμε να εξασκούμαστε.
Παράδειγμα 1. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή ενός κολοβωμένου τεμαχίου σωλήνα, δηλαδή ενός κυλίνδρου.
Έχουμε r = 24 mm, h = 100 mm. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο μέσω της ακτίνας:
S όροφος = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).
Μετατρέπουμε στο συνηθισμένο m2 και παίρνουμε 0,01868928, περίπου 0,02 m2.
Παράδειγμα 2. Απαιτείται να βρεθεί η περιοχή της εσωτερικής επιφάνειας ενός σωλήνα σόμπας αμιάντου, οι τοίχοι του οποίου είναι επενδεδυμένοι με πυρίμαχα τούβλα.
Τα δεδομένα έχουν ως εξής: διάμετρος 0,2 m; ύψος 2 m Χρησιμοποιούμε τον τύπο ως προς τη διάμετρο:
S όροφος = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.
Παράδειγμα 3. Πώς να μάθετε πόσο υλικό χρειάζεται για να ράψετε μια τσάντα, r = 1 m και 1 m ύψος.
Μια στιγμή, υπάρχει μια φόρμουλα:
S πλευρά = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.
συμπέρασμα
Στο τέλος του άρθρου, προέκυψε το ερώτημα: είναι πραγματικά απαραίτητοι όλοι αυτοί οι υπολογισμοί και οι μετατροπές μιας αξίας σε μια άλλη; Γιατί χρειάζονται όλα αυτά και το σημαντικότερο, για ποιον; Αλλά μην αμελήσετε και ξεχάσετε απλές φόρμουλες από το γυμνάσιο.
Ο κόσμος έχει σταθεί και θα σταθεί στη στοιχειώδη γνώση, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών. Και, όταν ξεκινάτε οποιαδήποτε σημαντική εργασία, δεν είναι ποτέ κακή ιδέα να ανανεώσετε τη μνήμη σας από αυτούς τους υπολογισμούς, εφαρμόζοντάς τους στην πράξη με μεγάλη επίδραση. Ακρίβεια - η ευγένεια των βασιλιάδων.
Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός προβλημάτων που σχετίζονται με τον κύλινδρο. Σε αυτά πρέπει να βρείτε την ακτίνα και το ύψος του σώματος ή τον τύπο του τμήματός του. Επιπλέον, μερικές φορές πρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυλίνδρου και τον όγκο του.
Ποιο σώμα είναι κύλινδρος;
Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών μελετάται ένας κυκλικός κύλινδρος, δηλαδή ένας στη βάση. Διακρίνεται όμως και η ελλειπτική εμφάνιση αυτής της φιγούρας. Από το όνομα είναι σαφές ότι η βάση του θα είναι μια έλλειψη ή ένα οβάλ.
Ο κύλινδρος έχει δύο βάσεις. Είναι ίσα μεταξύ τους και συνδέονται με τμήματα που συνδυάζουν τα αντίστοιχα σημεία των βάσεων. Ονομάζονται γεννήτριες του κυλίνδρου. Όλες οι γεννήτριες είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες. Αποτελούν την πλευρική επιφάνεια του σώματος.
Γενικά, ένας κύλινδρος είναι ένα κεκλιμένο σώμα. Αν οι γεννήτριες κάνουν ορθή γωνία με τις βάσεις, τότε μιλάμε για ευθύ σχήμα.
Είναι ενδιαφέρον ότι ένας κυκλικός κύλινδρος είναι ένα σώμα περιστροφής. Λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από μια από τις πλευρές του.
Κύρια στοιχεία του κυλίνδρου
Τα κύρια στοιχεία του κυλίνδρου μοιάζουν με αυτό.
- Υψος. Είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ των βάσεων του κυλίνδρου. Εάν είναι ευθεία, τότε το ύψος συμπίπτει με τη γεννήτρια.
- Ακτίνα κύκλου. Συμπίπτει με αυτό που μπορεί να σχεδιαστεί στη βάση.
- Αξονας. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που περιέχει τα κέντρα και των δύο βάσεων. Ο άξονας είναι πάντα παράλληλος με όλες τις γεννήτριες. Σε ευθύ κύλινδρο είναι κάθετος στις βάσεις.
- Αξονική τομή. Σχηματίζεται όταν ένας κύλινδρος τέμνει ένα επίπεδο που περιέχει έναν άξονα.
- Επίπεδο εφαπτομένης. Διέρχεται από μια από τις γεννήτριες και είναι κάθετη στην αξονική τομή, η οποία σύρεται μέσω αυτής της γεννήτριας.
Πώς συνδέεται ένας κύλινδρος με ένα πρίσμα που είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν ή περιγράφεται γύρω του;
Μερικές φορές υπάρχουν προβλήματα στα οποία πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή ενός κυλίνδρου, αλλά ορισμένα στοιχεία του σχετικού πρίσματος είναι γνωστά. Πώς σχετίζονται αυτά τα στοιχεία;
Εάν ένα πρίσμα είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο, τότε οι βάσεις του είναι ίσα πολύγωνα. Επιπλέον, είναι εγγεγραμμένα στις αντίστοιχες βάσεις του κυλίνδρου. Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος συμπίπτουν με τις γεννήτριες.
Το περιγραφόμενο πρίσμα έχει κανονικά πολύγωνα στη βάση του. Περιγράφονται γύρω από τους κύκλους του κυλίνδρου, που αποτελούν τις βάσεις του. Τα επίπεδα που περιέχουν τις όψεις του πρίσματος αγγίζουν τον κύλινδρο κατά μήκος των γεννητριών τους.
Στην περιοχή της πλευρικής επιφάνειας και βάση για έναν δεξιό κυκλικό κύλινδρο
Αν ξετυλίξετε την πλαϊνή επιφάνεια, θα πάρετε ένα ορθογώνιο. Οι πλευρές του θα συμπίπτουν με τη γεννήτρια και την περιφέρεια της βάσης. Επομένως, η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου θα είναι ίση με το γινόμενο αυτών των δύο ποσοτήτων. Αν γράψετε τον τύπο, λαμβάνετε τα εξής:
S πλευρά = l * n,
όπου n είναι η γεννήτρια, l η περιφέρεια.
Επιπλέον, η τελευταία παράμετρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
l = 2 π * r,
εδώ r είναι η ακτίνα του κύκλου, π είναι ο αριθμός "pi" ίσος με 3,14.
Δεδομένου ότι η βάση είναι ένας κύκλος, το εμβαδόν του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την ακόλουθη έκφραση:
S κύρια = π * r 2 .
Στην περιοχή ολόκληρης της επιφάνειας ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου
Δεδομένου ότι σχηματίζεται από δύο βάσεις και μια πλαϊνή επιφάνεια, πρέπει να προσθέσετε αυτές τις τρεις ποσότητες. Δηλαδή, η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου θα υπολογιστεί με τον τύπο:
S όροφος = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Συχνά γράφεται με διαφορετική μορφή:
S όροφος = 2 π * r (n + r).
Στις περιοχές ενός κεκλιμένου κυκλικού κυλίνδρου
Όσο για τις βάσεις, όλοι οι τύποι είναι ίδιοι, γιατί είναι ακόμα κύκλοι. Αλλά η πλαϊνή επιφάνεια δεν δίνει πλέον ορθογώνιο.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κεκλιμένου κυλίνδρου, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε τις τιμές της γεννήτριας και της περιμέτρου της τομής, η οποία θα είναι κάθετη στην επιλεγμένη γεννήτρια.
Ο τύπος μοιάζει με αυτό:
S πλευρά = x * P,
όπου x είναι το μήκος της γεννήτριας κυλίνδρου, P είναι η περίμετρος της τομής.
Παρεμπιπτόντως, είναι καλύτερο να επιλέξετε ένα τμήμα έτσι ώστε να σχηματίζει μια έλλειψη. Τότε θα απλοποιηθούν οι υπολογισμοί της περιμέτρου του. Το μήκος της έλλειψης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο που δίνει μια κατά προσέγγιση απάντηση. Αλλά συχνά αρκεί για τα καθήκοντα ενός σχολικού μαθήματος:
l = π * (a + b),
όπου «α» και «β» είναι οι ημιάξονες της έλλειψης, δηλαδή η απόσταση από το κέντρο έως τα πλησιέστερα και τα πιο απομακρυσμένα σημεία της.
Το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη έκφραση:
S όροφος = 2 π * r 2 + x * R.
Ποια είναι μερικά τμήματα ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου;
Όταν ένα τμήμα διέρχεται από έναν άξονα, το εμβαδόν του προσδιορίζεται ως το γινόμενο της γεννήτριας και της διαμέτρου της βάσης. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι έχει το σχήμα ενός ορθογωνίου, οι πλευρές του οποίου συμπίπτουν με τα καθορισμένα στοιχεία.
Για να βρείτε την περιοχή διατομής ενός κυλίνδρου που είναι παράλληλη με την αξονική, θα χρειαστείτε επίσης έναν τύπο για ένα ορθογώνιο. Σε αυτήν την περίπτωση, η μία από τις πλευρές του θα εξακολουθεί να συμπίπτει με το ύψος και η άλλη θα είναι ίση με τη χορδή της βάσης. Το τελευταίο συμπίπτει με τη γραμμή τομής κατά μήκος της βάσης.
Όταν το τμήμα είναι κάθετο στον άξονα, μοιάζει με κύκλο. Επιπλέον, το εμβαδόν του είναι ίδιο με αυτό της βάσης του σχήματος.
Είναι επίσης δυνατό να τεθούν υπό κάποια γωνία ως προς τον άξονα. Στη συνέχεια η διατομή καταλήγει σε οβάλ ή μέρος αυτού.
Παραδείγματα προβλημάτων
Εργασία Νο. 1.Δίνεται ένας ευθύγραμμος κύλινδρος του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 12,56 cm 2 . Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου εάν το ύψος του είναι 3 cm.
Λύση. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια ενός κυκλικού ευθύγραμμου κυλίνδρου. Όμως λείπουν δεδομένα, δηλαδή η ακτίνα της βάσης. Αλλά η περιοχή του κύκλου είναι γνωστή. Είναι εύκολο να υπολογίσετε την ακτίνα από αυτό.
Αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου, το οποίο προκύπτει διαιρώντας την περιοχή της βάσης με το pi. Αφού διαιρέσουμε το 12,56 με το 3,14, το αποτέλεσμα είναι 4. Η τετραγωνική ρίζα του 4 είναι 2. Επομένως, η ακτίνα θα έχει αυτήν την τιμή.
Απάντηση: S πάτωμα = 50,24 cm 2.
Εργασία Νο. 2.Ένας κύλινδρος με ακτίνα 5 cm κόβεται από ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα. Η απόσταση από το τμήμα έως τον άξονα είναι 3 cm Το ύψος του κυλίνδρου είναι 4 cm.
Λύση. Το σχήμα της διατομής είναι ορθογώνιο. Η μία πλευρά του συμπίπτει με το ύψος του κυλίνδρου και η άλλη είναι ίση με τη χορδή. Εάν η πρώτη ποσότητα είναι γνωστή, τότε πρέπει να βρεθεί η δεύτερη.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να γίνει πρόσθετη κατασκευή. Στη βάση σχεδιάζουμε δύο τμήματα. Και οι δύο θα ξεκινήσουν από το κέντρο του κύκλου. Η πρώτη θα τελειώνει στο κέντρο της χορδής και ίση με τη γνωστή απόσταση από τον άξονα. Το δεύτερο βρίσκεται στο τέλος της συγχορδίας.
Θα πάρετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η υποτείνουσα και το ένα πόδι είναι γνωστά σε αυτό. Η υποτείνουσα συμπίπτει με την ακτίνα. Το δεύτερο σκέλος είναι ίσο με το μισό της συγχορδίας. Το άγνωστο σκέλος πολλαπλασιασμένο επί 2 θα δώσει το επιθυμητό μήκος χορδής. Ας υπολογίσουμε την αξία του.
Για να βρείτε το άγνωστο σκέλος, θα χρειαστεί να τετραγωνίσετε την υποτείνουσα και το γνωστό σκέλος, να αφαιρέσετε το δεύτερο από το πρώτο και να πάρετε την τετραγωνική ρίζα. Τα τετράγωνα είναι 25 και 9. Η διαφορά τους είναι 16. Αφού πάρουμε την τετραγωνική ρίζα, μένουν 4 Αυτό είναι το επιθυμητό σκέλος.
Η χορδή θα είναι ίση με 4 * 2 = 8 (cm). Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή διατομής: 8 * 4 = 32 (cm 2).
Απάντηση: Ο σταυρός S ισούται με 32 cm 2.
Εργασία Νο. 3.Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η αξονική περιοχή διατομής του κυλίνδρου. Είναι γνωστό ότι σε αυτόν είναι εγγεγραμμένος ένας κύβος με άκρη 10 cm.
Λύση. Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου συμπίπτει με ένα ορθογώνιο που διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του κύβου και περιέχει τις διαγώνιες των βάσεων του. Η πλευρά του κύβου είναι η γενεαλογική διάταξη του κυλίνδρου και η διαγώνιος της βάσης συμπίπτει με τη διάμετρο. Το γινόμενο αυτών των δύο ποσοτήτων θα δώσει την περιοχή που πρέπει να ανακαλύψετε στο πρόβλημα.
Για να βρείτε τη διάμετρο, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τη γνώση ότι η βάση του κύβου είναι ένα τετράγωνο και η διαγώνιος του σχηματίζει ένα ισόπλευρο ορθογώνιο τρίγωνο. Η υποτείνυσή του είναι η επιθυμητή διαγώνιος του σχήματος.
Για να το υπολογίσετε, θα χρειαστείτε τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Πρέπει να τετραγωνίσετε την πλευρά του κύβου, να την πολλαπλασιάσετε με το 2 και να πάρετε την τετραγωνική ρίζα. Το δέκα στη δεύτερη δύναμη είναι εκατό. Πολλαπλασιασμένο επί 2 είναι διακόσια. Η τετραγωνική ρίζα του 200 είναι 10√2.
Το τμήμα είναι πάλι ένα ορθογώνιο με πλευρές 10 και 10√2. Το εμβαδόν του μπορεί εύκολα να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας αυτές τις τιμές.
Απάντηση. Τομή S = 100√2 cm 2.
