Ορισμός

Κυκλική κίνηση του σημείουγύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα είναι μια κίνηση στην οποία η τροχιά ενός σημείου είναι ένας κύκλος με κέντρο που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής, ενώ το επίπεδο του κύκλου είναι κάθετο σε αυτόν τον άξονα.

Περιστροφή του σώματος γύρω από έναν άξοναονομάζεται κίνηση κατά την οποία όλα τα σημεία του σώματος κάνουν κυκλικές κινήσεις γύρω από αυτόν τον άξονα.

Η κίνηση κατά την περιστροφή χαρακτηρίζεται χρησιμοποιώντας τη γωνία περιστροφής. Συχνά χρησιμοποιείται το στοιχειώδες διάνυσμα περιστροφής, το οποίο είναι ίσο σε μέγεθος με τη στοιχειώδη γωνία περιστροφής του σώματος για μια μικρή χρονική περίοδο dt και κατευθύνεται κατά μήκος του στιγμιαίου άξονα περιστροφής προς την κατεύθυνση από την οποία φαίνεται ότι πραγματοποιείται αυτή η περιστροφή αριστερόστροφα. Πρέπει να σημειωθεί ότι μόνο οι στοιχειώδεις γωνιακές μετατοπίσεις είναι διανύσματα. Οι γωνίες περιστροφής σε πεπερασμένα μεγέθη δεν είναι διανύσματα.

Ορισμός

Γωνιακή ταχύτηταονομάζεται ρυθμός μεταβολής της γωνίας περιστροφής και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα . Μαθηματικά, ο ορισμός της γωνιακής ταχύτητας γράφεται ως εξής:

Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματική ποσότητα (είναι αξονικό διάνυσμα). Έχει διεύθυνση κατά τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής που συμπίπτει με τη φορά του μεταφορικού δεξιού κοχλία, εάν περιστρέφεται προς την κατεύθυνση περιστροφής του σώματος (Εικ. 1).

Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας μπορεί να υποστεί αλλαγές τόσο λόγω αλλαγών στην ταχύτητα περιστροφής του σώματος γύρω από τον άξονα (αλλαγή στο δομοστοιχείο γωνιακής ταχύτητας) όσο και λόγω της περιστροφής του άξονα περιστροφής στο χώρο (ενώ αλλάζει η κατεύθυνση).

Ομοιόμορφη περιστροφή

Εάν ένα σώμα περιστρέφεται κατά την ίδια γωνία σε ίσα χρονικά διαστήματα, τότε αυτή η περιστροφή ονομάζεται ομοιόμορφη. Σε αυτή την περίπτωση, η μονάδα γωνιακής ταχύτητας βρίσκεται ως:

όπου είναι η γωνία περιστροφής, t είναι ο χρόνος κατά τον οποίο ολοκληρώνεται αυτή η περιστροφή.

Η ομοιόμορφη περιστροφή χαρακτηρίζεται συχνά από την περίοδο περιστροφής της (T), που είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα σώμα για να ολοκληρώσει μια περιστροφή. Η γωνιακή ταχύτητα σχετίζεται με την περίοδο της περιστροφής ως:

Η γωνιακή ταχύτητα σχετίζεται με τον αριθμό των στροφών ανά μονάδα χρόνου () με τον τύπο:

Οι έννοιες της περιόδου περιστροφής και του αριθμού των περιστροφών ανά μονάδα χρόνου χρησιμοποιούνται μερικές φορές για να περιγράψουν την ανομοιόμορφη περιστροφή, αλλά νοούνται ως η στιγμιαία τιμή T, ο χρόνος κατά τον οποίο το σώμα θα έκανε μία περιστροφή εάν περιστρεφόταν ομοιόμορφα με μια δεδομένη στιγμιαία ταχύτητα .

Τύπος που σχετίζεται με γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες

Η γραμμική ταχύτητα του σημείου Α (Εικ. 1), που βρίσκεται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής, σχετίζεται με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας με το ακόλουθο διανυσματικό γινόμενο:

όπου είναι η συνιστώσα του διανύσματος ακτίνας του κάθετου στον άξονα περιστροφής σημείου (Εικ. 1). Το διάνυσμα σχεδιάζεται από ένα σημείο που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής προς το εν λόγω σημείο.

Μονάδες γωνιακής ταχύτητας

Η βασική μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας στο σύστημα SI είναι: =rad/s

Σε GHS: =rad/s

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα

Ασκηση.Η κίνηση ενός σώματος με σταθερό άξονα δίνεται από την εξίσωση, σε rad, t σε sec. Έναρξη περιστροφής σε t=0 s. Οι γωνίες που υποδεικνύονται από την κατεύθυνση του βέλους θεωρούνται θετικές (Εικ. 2). Προς ποια φορά (σε σχέση με τη φορά των δεικτών του ρολογιού περιστρέφεται το σώμα) τη χρονική στιγμή t=0,5 s.

Λύση.Για να βρούμε τη μονάδα γωνιακής ταχύτητας, εφαρμόζουμε τον τύπο:

Χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση που καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος, παίρνουμε την παράγωγή της σε σχέση με το χρόνο και λαμβάνουμε τη συνάρτηση:

Ας υπολογίσουμε με τι θα είναι ίση η γωνιακή ταχύτητα σε μια δεδομένη χρονική στιγμή (σε t=0,5 s):

Απάντηση.Σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, το σώμα έχει γωνιακή ταχύτητα ίση με μηδέν, επομένως, σταματά.

Γωνιακή ταχύτητα- διανυσματικό φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής του σώματος. Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας είναι ίσο σε μέγεθος με τη γωνία περιστροφής του σώματος ανά μονάδα χρόνου:

,

Το α κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του τεμαχίου, δηλαδή προς την κατεύθυνση προς την οποία θα βιδωθεί ένα στόμιο με δεξιό σπείρωμα εάν περιστρεφόταν προς την ίδια κατεύθυνση.

Μονάδαγωνιακή ταχύτητα που υιοθετείται στα συστήματα SI και GHS - ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. (Σημείωση: τα ακτίνια, όπως όλες οι μονάδες μέτρησης της γωνίας, είναι φυσικά αδιάστατα, επομένως η φυσική διάσταση της γωνιακής ταχύτητας είναι απλά). Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται επίσης στροφές ανά δευτερόλεπτο, πολύ λιγότερο συχνά - μοίρες ανά δευτερόλεπτο, μοίρες ανά δευτερόλεπτο. Ίσως, οι στροφές ανά λεπτό χρησιμοποιούνται συχνότερα στην τεχνολογία - αυτό προέρχεται από εκείνες τις στιγμές που η ταχύτητα περιστροφής των ατμομηχανών χαμηλής ταχύτητας προσδιορίστηκε απλά "χειροκίνητα", μετρώντας τον αριθμό των στροφών ανά μονάδα χρόνου.

Το διάνυσμα της (στιγμιαίας) ταχύτητας οποιουδήποτε σημείου ενός (απολύτως) άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα προσδιορίζεται από τον τύπο:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας σε ένα δεδομένο σημείο από την αρχή που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής του σώματος και οι αγκύλες υποδεικνύουν το γινόμενο του διανύσματος. Η γραμμική ταχύτητα (που συμπίπτει με το μέγεθος του διανύσματος της ταχύτητας) ενός σημείου σε μια ορισμένη απόσταση (ακτίνα) από τον άξονα περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: Εάν χρησιμοποιούνται άλλες μονάδες γωνιών αντί για ακτίνια, τότε στα δύο τελευταία τύπους θα εμφανιστεί ένας πολλαπλασιαστής που δεν είναι ίσος με ένα.

• Στην περίπτωση της επίπεδης περιστροφής, δηλαδή όταν όλα τα διανύσματα ταχύτητας των σημείων του σώματος βρίσκονται (πάντα) στο ίδιο επίπεδο («επίπεδο περιστροφής»), η γωνιακή ταχύτητα του σώματος είναι πάντα κάθετη σε αυτό το επίπεδο και σε γεγονός - εάν το επίπεδο περιστροφής είναι γνωστό - μπορεί να αντικατασταθεί από μια βαθμωτή - προβολή σε άξονα ορθογώνιο προς το επίπεδο περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση, η κινηματική της περιστροφής είναι πολύ απλοποιημένη, αλλά στη γενική περίπτωση, η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να αλλάξει κατεύθυνση στον τρισδιάστατο χώρο με την πάροδο του χρόνου και μια τέτοια απλοποιημένη εικόνα δεν λειτουργεί.
• Η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
• Η κίνηση με διάνυσμα σταθερής γωνιακής ταχύτητας ονομάζεται ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση (στην περίπτωση αυτή, η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν).
• Η γωνιακή ταχύτητα (θεωρούμενη ως ελεύθερο διάνυσμα) είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά πλαίσια αναφοράς, ωστόσο, σε διαφορετικά αδρανειακά πλαίσια αναφοράς ο άξονας ή το κέντρο περιστροφής του ίδιου συγκεκριμένου σώματος την ίδια χρονική στιγμή μπορεί να διαφέρει (δηλαδή, το « σημείο εφαρμογής» της γωνιακής ταχύτητας).
• Στην περίπτωση της κίνησης ενός μόνο σημείου σε τρισδιάστατο χώρο, μπορούμε να γράψουμε μια έκφραση για τη γωνιακή ταχύτητα αυτού του σημείου σε σχέση με την επιλεγμένη αρχή:

, όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου (από την αρχή), είναι η ταχύτητα αυτού του σημείου. - διανυσματικό γινόμενο, - βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων. Ωστόσο, αυτός ο τύπος δεν καθορίζει μοναδικά τη γωνιακή ταχύτητα (στην περίπτωση ενός μόνο σημείου, μπορείτε να επιλέξετε άλλα διανύσματα που είναι κατάλληλα εξ ορισμού, διαφορετικά - αυθαίρετα - επιλέγοντας την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής) και για τη γενική περίπτωση (όταν το σώμα περιλαμβάνει περισσότερα από ένα υλικά σημεία) - αυτός ο τύπος δεν ισχύει για τη γωνιακή ταχύτητα ολόκληρου του σώματος (καθώς δίνει διαφορετικές για κάθε σημείο και όταν ένα απολύτως άκαμπτο σώμα περιστρέφεται, εξ ορισμού, η γωνιακή ταχύτητα του η περιστροφή του είναι το μόνο διάνυσμα). Με όλα αυτά, στη δισδιάστατη περίπτωση (την περίπτωση της περιστροφής επιπέδου) αυτός ο τύπος είναι αρκετά επαρκής, σαφής και σωστός, αφού στη συγκεκριμένη περίπτωση η φορά του άξονα περιστροφής προσδιορίζεται σαφώς μοναδικά.

• Στην περίπτωση ομοιόμορφης περιστροφικής κίνησης (δηλαδή κίνησης με σταθερό διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας), οι καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων ενός σώματος που περιστρέφεται με αυτόν τον τρόπο εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις με γωνιακή (κυκλική) συχνότητα ίση με το μέγεθος της γωνιακής διάνυσμα ταχύτητας.

Σύνδεση με πεπερασμένη περιστροφή στο χώρο

. . .

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Lurie A.I. - Μ.: GIFML, 1961. - Σ. 100-136

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

• Divnogorsk
• Κιλοβατώρα

Δείτε τι είναι η "Γωνιακή ταχύτητα" σε άλλα λεξικά:

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, το V.s του. w=Dj/Dt, όπου Dj είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής j κατά τη χρονική περίοδο Dt, και στη γενική περίπτωση w=dj/dt. Διάνυσμα U... ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης ενός αντικειμένου σε σχέση με ένα σταθερό σημείο. Η μέση τιμή της γωνιακής ταχύτητας w ενός αντικειμένου που κινείται από τη γωνία q1 στη γωνία q2 κατά τη διάρκεια του χρόνου t εκφράζεται ως (q2 q1)w)/t. Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, τιμή που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας είναι w=Dj/Dt, όπου Dj είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο Dt... Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Με ομοιόμορφη περιστροφή ενός σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας, πού είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο; t... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

γωνιακή ταχύτητα- Ένα κινηματικό μέτρο της περιστροφικής κίνησης ενός σώματος, που εκφράζεται με ένα διάνυσμα ίσο σε μέγεθος με τον λόγο της στοιχειώδους γωνίας περιστροφής του σώματος προς τη στοιχειώδη χρονική περίοδο κατά την οποία γίνεται αυτή η περιστροφή και κατευθύνεται κατά μήκος του στιγμιαίου άξονα ... ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

γωνιακή ταχύτητα- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας είναι ω = Δφ/Δt, όπου Δφ είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο Δt. * * * ΓΩΝΙΑ… εγκυκλοπαιδικό λεξικό

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: αγγλ. γωνιακή ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. γωνιακή ταχύτητα, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos Terminų žodynas

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Κάι κούνας σουκάσι τολυγίαι… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. γωνιακή ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. γωνιακή ταχύτητα, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas

Γωνιακή ταχύτητα- μια ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, το V.s του. ω =Δφ/ Δt, όπου Δφ είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής φ κατά τη χρονική περίοδο Δt. Στη γενική περίπτωση, η U. s. αριθμητικά ίσο...... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Η απόσταση και ο χρόνος που χρειάζεται για να ξεπεραστεί αυτή η απόσταση συνδέονται με μια φυσική έννοια - την ταχύτητα. Και ένα άτομο, κατά κανόνα, δεν έχει ερωτήσεις σχετικά με τον προσδιορισμό αυτής της τιμής. Όλοι καταλαβαίνουν ότι η οδήγηση ενός αυτοκινήτου με ταχύτητα 100 km/h σημαίνει να οδηγείς 100 χιλιόμετρα σε μία ώρα.

Τι γίνεται όμως αν το σώμα περιστρέφεται; Για παράδειγμα, ένας συνηθισμένος οικιακός ανεμιστήρας κάνει δεκάδες στροφές ανά δευτερόλεπτο. Και ταυτόχρονα, η ταχύτητα περιστροφής των λεπίδων είναι τέτοια που μπορούν εύκολα να σταματήσουν με το χέρι χωρίς να βλάψετε τον εαυτό σας. Η Γη γύρω από το άστρο της - τον Ήλιο - κάνει μια περιστροφή σε έναν ολόκληρο χρόνο, που είναι πάνω από 30 εκατομμύρια δευτερόλεπτα, αλλά η ταχύτητα της κίνησής της σε περιστρεφόμενη τροχιά είναι περίπου 30 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο!

Πώς να συνδέσετε τη συνήθη ταχύτητα με την ταχύτητα περιστροφής, πώς φαίνεται ο τύπος για τη γωνιακή ταχύτητα;

Η έννοια της γωνιακής ταχύτητας

Η έννοια της γωνιακής ταχύτητας χρησιμοποιείται στη μελέτη των νόμων της περιστροφής. Ισχύει για όλα τα περιστρεφόμενα σώματα. Είτε είναι η περιστροφή μιας συγκεκριμένης μάζας γύρω από μια άλλη, όπως στην περίπτωση της Γης και του Ήλιου, είτε η περιστροφή του ίδιου του σώματος γύρω από τον πολικό άξονα (η καθημερινή περιστροφή του πλανήτη μας).

Η διαφορά μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας και της γραμμικής ταχύτητας είναι ότι καταγράφει τη μεταβολή της γωνίας, όχι της απόστασης, ανά μονάδα χρόνου. Στη φυσική, η γωνιακή ταχύτητα συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου «ωμέγα» - ω.

Ο κλασικός τύπος για τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής θεωρείται ως εξής.

Ας φανταστούμε ότι ένα φυσικό σώμα περιστρέφεται γύρω από ένα ορισμένο κέντρο Α με σταθερή ταχύτητα. Η θέση του στο χώρο σε σχέση με το κέντρο καθορίζεται από τη γωνία φ. Σε κάποια χρονική στιγμή t1, το εν λόγω σώμα βρίσκεται στο σημείο Β. Η γωνία απόκλισης του σώματος από το αρχικό φ1.

Τότε το σώμα μετακινείται στο σημείο Γ. Είναι εκεί τη στιγμή t2. Χρόνος που απαιτείται για αυτή την κίνηση:

∆t = t2 – t1.

Η θέση του σώματος στο διάστημα αλλάζει επίσης. Τώρα η γωνία εκτροπής είναι φ2. Η μεταβολή της γωνίας κατά τη χρονική περίοδο Δt ήταν:

∆φ = φ2 – φ1.

Τώρα ο τύπος για τη γωνιακή ταχύτητα διατυπώνεται ως εξής: γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως ο λόγος της μεταβολής της γωνίας Δφ με το χρόνο Δt.

Μονάδες γωνιακής ταχύτητας

Η γραμμική ταχύτητα ενός σώματος μετριέται σε διαφορετικές ποσότητες. Η κίνηση των οχημάτων στους δρόμους συνήθως υποδεικνύεται σε χιλιόμετρα την ώρα, τα θαλάσσια σκάφη κάνουν κόμπους - ναυτικά μίλια την ώρα. Αν λάβουμε υπόψη την κίνηση των κοσμικών σωμάτων, τότε τα χιλιόμετρα ανά δευτερόλεπτο εμφανίζονται συχνότερα εδώ.

Η γωνιακή ταχύτητα, ανάλογα με το μέγεθος και το αντικείμενο που περιστρέφεται, μετριέται επίσης σε διαφορετικές μονάδες.

Τα ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s) είναι το κλασικό μέτρο ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI). Δείχνουν πόσα ακτίνια (σε μια πλήρη περιστροφή 2 ∙ 3,14 ακτίνια) καταφέρνει να στρίψει το σώμα σε ένα δευτερόλεπτο.

Οι στροφές ανά λεπτό (rpm) είναι η πιο κοινή μονάδα για την ένδειξη των ταχυτήτων περιστροφής στην τεχνολογία. Οι άξονες τόσο των ηλεκτρικών όσο και των κινητήρων αυτοκινήτων παράγουν ακριβώς (απλώς κοιτάξτε το στροφόμετρο στο αυτοκίνητό σας) στροφές ανά λεπτό.

Περιστροφές ανά δευτερόλεπτο (rps) - χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά, κυρίως για εκπαιδευτικούς σκοπούς.

Περίοδος κυκλοφορίας

Μερικές φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια άλλη έννοια για τον προσδιορισμό της ταχύτητας περιστροφής. Η περίοδος περιστροφής ονομάζεται συνήθως ο χρόνος κατά τον οποίο ένα συγκεκριμένο σώμα κάνει μια περιστροφή 360° (ένας πλήρης κύκλος) γύρω από το κέντρο περιστροφής. Ο τύπος για τη γωνιακή ταχύτητα, εκφρασμένος ως προς την περίοδο περιστροφής, έχει τη μορφή:

Η έκφραση της ταχύτητας περιστροφής των σωμάτων κατά την περίοδο περιστροφής δικαιολογείται σε περιπτώσεις όπου το σώμα περιστρέφεται σχετικά αργά. Ας επιστρέψουμε στην εξέταση της κίνησης του πλανήτη μας γύρω από το αστέρι.

Ο τύπος για τη γωνιακή ταχύτητα σάς επιτρέπει να την υπολογίσετε, γνωρίζοντας την περίοδο της περιστροφής:

ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

Κοιτάζοντας το αποτέλεσμα που προκύπτει, μπορεί κανείς να καταλάβει γιατί, όταν εξετάζουμε την περιστροφή των ουράνιων σωμάτων, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιούμε την περίοδο της επανάστασης. Ένα άτομο βλέπει καθαρούς αριθμούς μπροστά του και φαντάζεται ξεκάθαρα την κλίμακα τους.

Σχέση μεταξύ γωνιακών και γραμμικών ταχυτήτων

Σε ορισμένα προβλήματα, πρέπει να προσδιοριστεί η γραμμική και η γωνιακή ταχύτητα. Ο τύπος μετασχηματισμού είναι απλός: η γραμμική ταχύτητα ενός σώματος είναι ίση με το γινόμενο της γωνιακής ταχύτητας και της ακτίνας περιστροφής. Όπως φαίνεται στην εικόνα.

Η έκφραση "λειτουργεί" με την αντίστροφη σειρά, με τη βοήθειά της, προσδιορίζεται η γωνιακή ταχύτητα. Ο τύπος μέσω της γραμμικής ταχύτητας προκύπτει μέσω απλών αριθμητικών χειρισμών.

Γωνιακή ταχύτητα

ΟΡΙΣΜΟΣ: Περιστροφική κίνησηθα ονομάσουμε μια τέτοια κίνηση στην οποία όλα τα σημεία ενός απολύτως άκαμπτου σώματος περιγράφουν κύκλους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που ονομάζεται άξονας περιστροφής.

Ως συντεταγμένη που καθορίζει τη θέση ενός σημείου κατά τη διάρκεια της περιστροφικής κίνησης, πάρτε τη γωνία που χαρακτηρίζει τη στιγμιαία θέση του διανύσματος ακτίνας που σχεδιάζεται από το κέντρο περιστροφής προς το εν λόγω σημείο (Εικ. 2.14).

Για να χαρακτηριστεί η περιστροφική κίνηση, εισάγεται η έννοια γωνιακή ταχύτητα

.

Το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα γύρω από τον οποίο το σώμα περιστρέφεται προς την κατεύθυνση που καθορίζεται κανόνας δεξιάς βίδας(Εικ. 2.15).

Το μέγεθος του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας είναι ίσο με . Αν = const, τότε μια τέτοια κίνηση ονομάζεται ομοιόμορφη, και επομένως και στο t 0 = 0 παίρνουμε .

Αν ι 0 = 0, λοιπόν j = w tή .

Έτσι, με ομοιόμορφη κίνηση wδείχνει τη γωνία περιστροφής του σώματος ανά μονάδα χρόνου. Διάσταση γωνιακής ταχύτητας [ w]=rad/sec.

Η ομοιόμορφη περιστροφή μπορεί να χαρακτηριστεί από την περίοδο περιστροφής T, η οποία νοείται ως ο χρόνος κατά τον οποίο το σώμα κάνει μια πλήρη περιστροφή, δηλ. περιστρέφεται κατά γωνία 2p. Στην προκειμένη περίπτωση λοιπόν.

Συχνότητα περιστροφής (αριθμός στροφών ανά μονάδα χρόνου): n=1/T=w/2p. Ως εκ τούτου w=2pn.

Προσθήκη 1.

Η περιστροφή ενός σώματος μέσω μιας ορισμένης μικρής γωνίας dj μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή ενός τμήματος, το μήκος του οποίου είναι ίσο με dj και η κατεύθυνση συμπίπτει με τον άξονα γύρω από τον οποίο γίνεται η περιστροφή. Έτσι, μια ορισμένη αριθμητική τιμή και κατεύθυνση μπορεί να αποδοθεί στην περιστροφή του σώματος. Σε αυτή την περίπτωση, η κατεύθυνση του διανύσματος μπορεί να προσδιοριστεί συνδέοντάς το με τη φορά περιστροφής του σώματος. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται αξονικόςή ψευδοδιανυσματικά, σε αντίθεση με το αληθινό ή πολικόςδιανύσματα για τα οποία η κατεύθυνση καθορίζεται φυσικά ( , , κ.λπ.), κατά τη λειτουργία της αντιστροφής του συστήματος συντεταγμένων (x → -x', y → -y', z → -z'), τα τελευταία αλλάζουν το πρόσημο σε το αντίθετο: .

Περιστροφική κίνηση και γωνιακή ταχύτητα ενός άκαμπτου σώματος

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για φυσικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν την περιστροφική κίνηση ενός σώματος: γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή μετατόπιση, γωνιακή επιτάχυνση, ροπή.

Ένα άκαμπτο σώμα είναι μια συλλογή άκαμπτα συνδεδεμένων υλικών σημείων. Όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από οποιονδήποτε άξονα, τα επιμέρους υλικά σημεία από τα οποία αποτελείται κινούνται κατά μήκος κύκλων διαφορετικών ακτίνων.

Σε μια ορισμένη χρονική περίοδο, για παράδειγμα, κατά την οποία το σώμα κάνει μια περιστροφή, τα μεμονωμένα υλικά σημεία που αποτελούν το στερεό σώμα θα διανύσουν διαφορετικές διαδρομές, επομένως, τα μεμονωμένα σημεία θα έχουν διαφορετικές γραμμικές ταχύτητες. Είναι δύσκολο να περιγραφεί η περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος χρησιμοποιώντας τις γραμμικές ταχύτητες μεμονωμένων υλικών σημείων.

Γωνιακή κίνηση

Ωστόσο, αναλύοντας την κίνηση μεμονωμένων υλικών σημείων, μπορεί να διαπιστωθεί ότι κατά την ίδια χρονική περίοδο περιστρέφονται όλα γύρω από έναν άξονα με την ίδια γωνία. Δηλαδή, για να περιγράψουμε την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε μια τέτοια φυσική ποσότητα όπως η γωνιακή μετατόπιση:

φ = φ(t).

Γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση

Η περιστροφική κίνηση μπορεί να χαρακτηριστεί από γωνιακή ταχύτητα: ω = ∆φ/∆t.

Η γωνιακή ταχύτητα χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός σώματος και είναι ίση με τον λόγο της μεταβολής της γωνίας περιστροφής προς το χρόνο κατά τον οποίο συνέβη. Μετρημένο σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο: [ω] = rad/s.

Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σχετίζεται με τη γραμμική ταχύτητα με την ακόλουθη σχέση: v = Rω,Οπου R– την ακτίνα του κύκλου κατά μήκος του οποίου κινείται το σώμα.

Η περιστροφική κίνηση ενός σώματος χαρακτηρίζεται από ένα άλλο φυσικό μέγεθος - τη γωνιακή επιτάχυνση, η οποία είναι ίση με τον λόγο της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας προς το χρόνο κατά τον οποίο συνέβη: ε = ∆ω/∆t.Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης: [ε] = rad/s2.

Η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση είναι ψευδοδιανύσματα των οποίων η διεύθυνση εξαρτάται από την φορά περιστροφής. Μπορεί να προσδιοριστεί από τον κανόνα της σωστής βίδας.

Ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση

Η ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση εκτελείται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: ε = 0, ω = const, φ = φ 0 + ωt,όπου φ 0 είναι η αρχική τιμή της γωνίας περιστροφής.

Ομοιόμορφα επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση

Ομοιόμορφα επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση συμβαίνει με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: ε = const, ω = ω 0 + εt, φ = φ 0 + ω 0 t + εt2/2.

Κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος, η κεντρομόλος επιτάχυνση κάθε σημείου αυτού του σώματος μπορεί να βρεθεί ως εξής: ɑ ц = v2/R = (ωR)2/R = ω2R.

Όταν η περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος επιταχύνεται, μπορείτε να βρείτε την εφαπτομενική επιτάχυνση των σημείων του χρησιμοποιώντας τον τύπο: ɑ t = ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

στιγμή της δύναμης

Εάν, όταν εξετάζουμε ένα φυσικό πρόβλημα, δεν έχουμε να κάνουμε με ένα υλικό σημείο, αλλά με ένα συμπαγές σώμα, τότε η δράση πολλών δυνάμεων σε αυτό, που ασκούνται σε διαφορετικά σημεία αυτού του σώματος, δεν μπορεί να περιοριστεί στη δράση μιας δύναμης. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνεται υπόψη η στιγμή της δύναμης.

Η στιγμή της δύναμης είναι το γινόμενο δύναμης και βραχίονα. Αυτή είναι μια διανυσματική ποσότητα και βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: M = RFsina,Οπου α - γωνία μεταξύ διανυσμάτων RΚαι φά. Εάν σε ένα σώμα δρουν πολλές ροπές δύναμης, τότε η δράση τους μπορεί να αντικατασταθεί από το προκύπτον, διανυσματικό άθροισμα αυτών των ροπών: M = M 1 + M 2 + …+ M n.

Τα πειράματα και η εμπειρία δείχνουν ότι υπό την επίδραση μιας στιγμής δύναμης η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος αλλάζει, δηλαδή το σώμα έχει γωνιακή επιτάχυνση. Ας μάθουμε πώς η γωνιακή επιτάχυνση ενός υλικού σημείου (ένα σύνολο υλικών σημείων) εξαρτάται από την εφαρμοζόμενη ροπή δύναμης: F = mɑ, RF = Rma = R2mβ, β= M/mR2 = M/I,Οπου I = mR2- ροπή αδράνειας υλικού σημείου. Σημειώστε ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται τόσο από τη μάζα του σώματος όσο και από τη θέση αυτής της μάζας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργασία 1.Ο ρότορας της φυγοκέντρησης κάνει 2.104 rpm. Αφού σβήσει ο κινητήρας, η περιστροφή του σταματά μετά από 8 λεπτά. Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και τον αριθμό των στροφών που κάνει ο ρότορας από τη στιγμή που σβήνει ο κινητήρας μέχρι να σταματήσει τελείως, υποθέτοντας ότι η κίνηση του ρότορα επιταχύνεται ομοιόμορφα.

Λύση

Ας βρούμε τη γωνιακή επιτάχυνση, λαμβάνοντας υπόψη ότι η γωνιακή ταχύτητα κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση περιγράφεται από την εξίσωση: ω(t) = ω 0 - εt.

Από εδώ, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο τέλος της κίνησης η ταχύτητα είναι μηδέν, βρίσκουμε: ε = ω 0 /t = 2πn/t.

Μετατροπή αυτών των προβλημάτων στο σύστημα μονάδων SI (n = 333 rps, t = 480 s), παίρνουμε: ε = 2π333/480 = 4,36(rad/s2).

Η γωνία περιστροφής του ρότορα της φυγόκεντρου κατά τη διάρκεια του χρόνου t θα είναι: φ(t)= φ 0 + ω 0 t + εt2/2. Uδιαβάζοντας την έκφραση για γωνιακή επιτάχυνση και τι φ 0 = 0, βρίσκουμε: φ(t)= ω 0 t/2 = πnt.

Ο αριθμός των περιστροφών του ρότορα κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου θα είναι: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8 104 (τόμος).

Απάντηση: η γωνιακή επιτάχυνση είναι ίση με 4,36 rad/s2; ο αριθμός των περιστροφών που πραγματοποιεί ο ρότορας από τη στιγμή που σβήνει ο κινητήρας μέχρι να σταματήσει τελείως είναι ίσος με 8,104 αναθ.

Εργασία 2.Ένας δίσκος με μάζα 1 kg και ακτίνα 20 cm περιστρέφεται με συχνότητα 120 rpm. σε ένα λεπτό. Κάτω από τη δράση της διάταξης πέδησης, μια δύναμη τριβής 10 N άρχισε να ενεργεί στην άκρη του δίσκου.

Λύση

Ας βρούμε τη ροπή πέδησης που ενεργεί στο δίσκο: M = RF.

Ας βρούμε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου: ε = M/I = FR/mR2 = F/mR.

Ας βρούμε τον χρόνο που χρειάζεται για να σταματήσει ο δίσκος: t = ω 0 /ε, Οπου ω 0 - αρχική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου, η οποία είναι ίση με 2πv.

Ας κάνουμε τους υπολογισμούς: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28 2 1 0,2/10 = 2,5 (s).

Απάντηση: ο χρόνος διακοπής είναι 2,5 δευτ.

Προσδιορισμός γραμμικών ταχυτήτων όλων των σημείων του μηχανισμού και γωνιακών ταχυτήτων των συνδέσμων

Αρχικά δεδομένα:

Τα κέντρα μάζας όλων των συνδέσμων βρίσκονται στη μέση του μήκους.

Οι γραμμικές ταχύτητες των σημείων και οι γωνιακές ταχύτητες των συνδέσμων είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας του μηχανισμού και τον προσδιορισμό των αδρανών ιδιοτήτων του. Οι ταχύτητες μπορούν να προσδιοριστούν με διάφορους τρόπους, εκ των οποίων οι δύο πιο συνηθισμένες μέθοδοι είναι: η χρήση του MDS και η μέθοδος σχεδίου ταχύτητας.

Χρήση MCS

Ας προσδιορίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στρόφαλου:

Ας προσδιορίσουμε τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α:

Το διάνυσμα κατευθύνεται κάθετα στη σύνδεση ΑΒ στην κατεύθυνση .

Το Link CD εκτελεί μια περιστροφική κίνηση, που σημαίνει ότι η ταχύτητα του σημείου C κατευθύνεται κάθετα στο σύνδεσμο CD. Για έναν σύνδεσμο BC που εκτελεί επίπεδη-παράλληλη κίνηση, βρίσκουμε το MCS. Για να γίνει αυτό, επαναφέρουμε τις κάθετες στις κατευθύνσεις των ταχυτήτων Και . Τομή τους είναι το MCS του συνδέσμου BC (P 2). Στον σύνδεσμο σημειώνουμε τη μέση - σημείο S 2 - και το συνδέουμε στον πόλο P 2. Η γωνιακή ταχύτητα του συνδέσμου 2 θα περιγραφεί από τη σχέση:

Όπου BP 2 = 800 mm (μετράται στο σχέδιο).

CP 2 = 648 mm, S 2 P 2 = 694 mm.

Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα κατασκευής, έχουμε:

Προσδιορισμός ταχυτήτων:

Προσδιορισμός της ταχύτητας :

Γωνιακή ταχύτητα σύνδεσης CF:

Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε το MCS για τη σύνδεση 4. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ρυθμιστικό 5 κινείται μόνο οριζόντια, επαναφέρουμε τις κάθετες στις κατευθύνσεις ταχύτητας Και , και έχουμε το σημείο P 4 να αφαιρεθεί σε μεγάλη απόσταση

Για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση της ταχύτητας συνδέστε το σημείο S 2 στο MCS P 2 με ευθεία γραμμή.

Επαναφέρουμε την κάθετο στο σημείο S 2 στις ευθείες.

Μέθοδος σχεδίου ταχύτητας.

Προσδιορίστε την ταχύτητα του σημείου Β:

Υπολογίζουμε την κλίμακα του σχεδίου ταχύτητας:

Επιλέγουμε τον πόλο p του σχεδίου ταχύτητας στο σχέδιο και απεικονίζουμε την ταχύτητα τμήμα Рb=6,96 mm. Η ταχύτητα είναι κάθετη στον σύνδεσμο ΑΒ και κατευθύνεται κατά μήκος του ω 1.

Το σημείο C ανήκει ταυτόχρονα στους συνδέσμους BC και CD. Η ταχύτητα του σημείου C προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους διανυσμάτων:

(κάθετα στο CB)

(κάθετα σε CD)

Στο σχέδιο ταχύτητας, μέσω του σημείου b σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον σύνδεσμο BC και από τον πόλο p (δεδομένου ότι το σημείο D είναι ακίνητο) - μια ευθεία γραμμή κάθετη στο CD. Στη διασταύρωση αυτών των ευθειών παίρνουμε το σημείο γ. Στο μέσο του τμήματος bc, σημειώνουμε το σημείο S2 και το συνδέουμε στον πόλο p Η ταχύτητα είναι αντίθετη προς την κατεύθυνση της ταχύτητας και η ταχύτητα του σημείου E βρίσκεται χρησιμοποιώντας τη διανυσματική εξίσωση:

(κάθετα σε FE)

Παράλληλα με το Υ-Υ

Λύστε την εξίσωση γραφικά.

Μέσω του σημείου F σχεδιάζουμε μια ευθεία κάθετη στη FE, και μέσω του πόλου p - μια ευθεία παράλληλη στο Y-Y. Το σημείο τομής αυτών των ευθειών θα είναι e.

Στο μεσαίο ed έχουμε ένα σημείο S 4, συνδέοντας το οποίο με τον πόλο p, παίρνουμε ένα σχέδιο ταχύτητας.

Από το σχέδιο ταχύτητας έχουμε γραμμικές ταχύτητες:

Γωνιακές ταχύτητες συνδέσμων:

Καθορίζουμε την κατεύθυνση ω 2 μετακινώντας το διάνυσμα στο σημείο Γ και λαμβάνοντας υπόψη την περιστροφή του σημείου Γ σε σχέση με το σημείο Β. Ομοίως προσδιορίζουμε τις κατευθύνσεις των γωνιακών ταχυτήτων ω 4 και ω 3.

Σύμφωνα με το MCS, η ταχύτητα είναι V F = 0,397 m/s.

Σύμφωνα με τα σχέδια ταχύτητας, ταχύτητα V F =0,396 m/s.

Ασυμφωνία στα αποτελέσματα:

Προσδιορισμός γραμμικών επιταχύνσεων σημείων και γωνιακών ταχυτήτων του μηχανισμού

Οι επιταχύνσεις των σημείων και οι σύνδεσμοί τους προσδιορίζονται κατά τον υπολογισμό των δυνάμεων αδράνειας:

α) γραφική-αναλυτική μέθοδος:

Η επιτάχυνση του σημείου Β είναι το άθροισμα της εφαπτομενικής και της κανονικής επιτάχυνσης:

Σύμφωνα με το θεώρημα για την επιτάχυνση σημείων ενός επίπεδου σχήματος:

Επιτάχυνση σημείου D=0. Εξισώνουμε τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων:

Καθορίζουμε τις κανονικές επιταχύνσεις:

Για να προσδιορίσουμε τις εφαπτομενικές επιταχύνσεις, προβάλλουμε μια διανυσματική ισότητα (*) στους άξονες VX και VU, λαμβάνοντας τις αντίστοιχες τιμές γωνίας από το σχέδιο. Ας υποδηλώσουμε

,

Προσδιορίστε την επιτάχυνση του σημείου Γ:

Προσδιορισμός της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας

:

Προσδιορίζουμε την κανονική επιτάχυνση μέσω της γωνιακής ταχύτητας του συνδέσμου 2:

Ας ορίσουμε την εφαπτομενική επιτάχυνση:

,Οπου:

προβάλλουμε διανυσματική ισότητα στους άξονες CX και SU.

Σημειακή επιτάχυνση

θα καθοριστεί:

Γωνιώδης επιτάχυνση:

σι) μέθοδος σχεδίου επιτάχυνσης:

Προσδιορισμός της συνολικής επιτάχυνσης

επειδή

Διάνυσμα κανονικής επιτάχυνσης κατευθύνεται προς το κέντρο περιστροφής, δηλ. από το σημείο Β στο Α.

Το σημείο C ανήκει ταυτόχρονα στους συνδέσμους BC και CD. Λαμβάνοντας υπόψη την κίνηση του σημείου Γ σε σχέση με τα κέντρα Β και Δ, γράφουμε:

(κάθετος σε π.Χ.)

(κάθετα σε CD)

Ας υπολογίσουμε τα κανονικά συστατικά:

Ας αναπαραστήσουμε την επιτάχυνση κατά τμήμα

=

mm. Στη συνέχεια, αποφασίστε την κλίμακα:

Διάνυσμα

κατευθύνεται παράλληλα στο BC από το C στο B. Διάνυσμα

κατευθύνεται παράλληλα προς το CD από το C στο D. Οι κατευθύνσεις των εφαπτομενικών επιταχύνσεων υποδεικνύονται σε παρένθεση.

Τώρα η διανυσματική εξίσωση μπορεί να λυθεί γραφικά. Σύμφωνα με την πρώτη εξίσωση από n 1 προς την κατεύθυνση από C προς B σχεδιάζουμε το τμήμα

Μέσα από το σημείο n 2 σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στο BC (κατεύθυνση

). Σύμφωνα με τη δεύτερη διανυσματική εξίσωση από το σημείο (επειδή

) παράλληλα με το CD προς την κατεύθυνση από το C προς το D αφήνουμε ένα τμήμα

Μέσα από το σημείο n 3 σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στο CD (κατεύθυνση

). Ευθύγραμμο τμήμα

αντιπροσωπεύει την επιτάχυνση του σημείου Γ. Το σημείο S 2 βρίσκεται στο μέσο του τμήματος bc.

Η επιτάχυνση του σημείου F προσδιορίζεται:

Η επιτάχυνση του σημείου Ε προσδιορίζεται:

Ας ορίσουμε

Στο σχέδιο επιτάχυνσης

Λύνουμε γραφικά τις εξισώσεις που γράφτηκαν παραπάνω. Από το σημείο ΣΤ σχεδιάζουμε ένα τμήμα

παράλληλη στη FE από E έως F. Μέσα από το σημείο n 4 χαράξτε μια ευθεία κάθετη στη FE μέχρι να τέμνεται με το μέτωπο. Βρίσκουμε το σημείο S 4 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ομοιότητας. Βρίσκεται στη μέση του τμήματος fe.

Από το σχέδιο επιτάχυνσης έχουμε:

Ας προσδιορίσουμε τις γωνιακές επιταχύνσεις των συνδέσμων

Μεταφέροντας διάνυσμα

στο σημείο Γ του συνδέσμου 2, καθορίστε την κατεύθυνση . Το ίδιο και για τους υπόλοιπους συνδέσμους.

Ασυμφωνία στα αποτελέσματα:

Γραφικά

Σύμφωνα με το σχέδιο επιτάχυνσης

Τι είναι η γωνιακή ταχύτητα;

Τι είναι η γωνιακή ταχύτητα στο σχεδιασμό; Και πώς να το δεις και γιατί πρέπει να το προσέξεις;

[Σέργιο]

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, το οποίο είναι ψευδοδιάνυσμα (αξονικό διάνυσμα) και χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός υλικού σημείου γύρω από το κέντρο περιστροφής. Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας είναι ίσο σε μέγεθος με τη γωνία περιστροφής του σημείου γύρω από το κέντρο περιστροφής ανά μονάδα χρόνου:

Victor Poplevko

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός σώματος. Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας είναι ίσο σε μέγεθος με τη γωνία περιστροφής του σώματος ανά μονάδα χρόνου:
,
Το α κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του τεμαχίου, δηλαδή προς την κατεύθυνση προς την οποία θα βιδωθεί ένα στόμιο με δεξιό σπείρωμα εάν περιστρεφόταν προς την ίδια κατεύθυνση.
Η μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας που υιοθετείται στα συστήματα SI και GHS είναι ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. (Σημείωση: τα ακτίνια, όπως όλες οι μονάδες μέτρησης της γωνίας, είναι φυσικά αδιάστατα, επομένως η φυσική διάσταση της γωνιακής ταχύτητας είναι απλά ) . Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται επίσης στροφές ανά δευτερόλεπτο, πολύ λιγότερο συχνά - μοίρες ανά δευτερόλεπτο, μοίρες ανά δευτερόλεπτο. Ίσως, οι στροφές ανά λεπτό χρησιμοποιούνται συχνότερα στην τεχνολογία - αυτό προέρχεται από εκείνες τις στιγμές που η ταχύτητα περιστροφής των ατμομηχανών χαμηλής ταχύτητας προσδιορίστηκε απλώς "χειροκίνητα" μετρώντας τον αριθμό των στροφών ανά μονάδα χρόνου.
Το διάνυσμα της (στιγμιαίας) ταχύτητας οποιουδήποτε σημείου ενός (απολύτως) άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα προσδιορίζεται από τον τύπο:

Πού βρίσκεται το διάνυσμα ακτίνας σε ένα δεδομένο σημείο από την αρχή που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής του σώματος και οι αγκύλες υποδεικνύουν το γινόμενο του διανύσματος. Η γραμμική ταχύτητα (που συμπίπτει με το μέγεθος του διανύσματος της ταχύτητας) ενός σημείου σε ορισμένη απόσταση (ακτίνα) r από τον άξονα περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: v = rω. Εάν χρησιμοποιούνται άλλες μονάδες γωνιών αντί για ακτίνια, τότε στους δύο τελευταίους τύπους θα εμφανιστεί ένας πολλαπλασιαστής που δεν είναι ίσος με ένα.
Στην περίπτωση της επίπεδης περιστροφής, δηλαδή όταν όλα τα διανύσματα ταχύτητας των σημείων του σώματος βρίσκονται (πάντα) στο ίδιο επίπεδο («επίπεδο περιστροφής»), η γωνιακή ταχύτητα του σώματος είναι πάντα κάθετη σε αυτό το επίπεδο, και μάλιστα -αν είναι γνωστό το επίπεδο περιστροφής- μπορεί να αντικατασταθεί από μια βαθμωτή - προβολή σε άξονα ορθογώνιο προς το επίπεδο περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση, η κινηματική της περιστροφής είναι πολύ απλοποιημένη, αλλά στη γενική περίπτωση, η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να αλλάξει κατεύθυνση στον τρισδιάστατο χώρο με την πάροδο του χρόνου και μια τέτοια απλοποιημένη εικόνα δεν λειτουργεί.
Η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
Η κίνηση με διάνυσμα σταθερής γωνιακής ταχύτητας ονομάζεται ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση (στην περίπτωση αυτή, η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν).

Δεδομένου ότι η γραμμική ταχύτητα αλλάζει ομοιόμορφα κατεύθυνση, η κυκλική κίνηση δεν μπορεί να ονομαστεί ομοιόμορφη, επιταχύνεται ομοιόμορφα.

Γωνιακή ταχύτητα

Ας επιλέξουμε ένα σημείο στον κύκλο 1 . Ας φτιάξουμε μια ακτίνα. Σε μια μονάδα χρόνου, το σημείο θα μετακινηθεί σε ένα σημείο 2 . Σε αυτή την περίπτωση, η ακτίνα περιγράφει τη γωνία. Η γωνιακή ταχύτητα είναι αριθμητικά ίση με τη γωνία περιστροφής της ακτίνας ανά μονάδα χρόνου.

Περίοδος και συχνότητα

Περίοδος εναλλαγής Τ- αυτός είναι ο χρόνος κατά τον οποίο το σώμα κάνει μια περιστροφή.

Η συχνότητα περιστροφής είναι ο αριθμός των στροφών ανά δευτερόλεπτο.

Η συχνότητα και η περίοδος συνδέονται μεταξύ τους από τη σχέση

Σχέση με γωνιακή ταχύτητα

Γραμμική ταχύτητα

Κάθε σημείο του κύκλου κινείται με συγκεκριμένη ταχύτητα. Αυτή η ταχύτητα ονομάζεται γραμμική. Η κατεύθυνση του διανύσματος γραμμικής ταχύτητας συμπίπτει πάντα με την εφαπτομένη στον κύκλο.Για παράδειγμα, σπινθήρες από κάτω από μια μηχανή λείανσης κινούνται, επαναλαμβάνοντας την κατεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας.

Σκεφτείτε ένα σημείο σε έναν κύκλο που κάνει μια περιστροφή, ο χρόνος που δαπανάται είναι η περίοδος Τ. Η διαδρομή που διανύει ένα σημείο είναι η περιφέρεια.

Κεντρομόλος επιτάχυνση

Όταν κινούμαστε σε κύκλο, το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι πάντα κάθετο στο διάνυσμα της ταχύτητας, κατευθυνόμενο προς το κέντρο του κύκλου.

Χρησιμοποιώντας τους προηγούμενους τύπους, μπορούμε να εξαγάγουμε τις ακόλουθες σχέσεις

Τα σημεία που βρίσκονται στην ίδια ευθεία που προέρχονται από το κέντρο του κύκλου (για παράδειγμα, αυτά θα μπορούσαν να είναι σημεία που βρίσκονται στις ακτίνες ενός τροχού) θα έχουν τις ίδιες γωνιακές ταχύτητες, περίοδο και συχνότητα. Δηλαδή θα περιστρέφονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά με διαφορετικές γραμμικές ταχύτητες. Όσο πιο μακριά είναι ένα σημείο από το κέντρο, τόσο πιο γρήγορα θα κινηθεί.

Ο νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων ισχύει και για την περιστροφική κίνηση. Εάν η κίνηση ενός σώματος ή ενός συστήματος αναφοράς δεν είναι ομοιόμορφη, τότε ο νόμος ισχύει για στιγμιαίες ταχύτητες. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός ατόμου που περπατά κατά μήκος της άκρης ενός περιστρεφόμενου καρουζέλ είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής της άκρης του καρουσέλ και της ταχύτητας του ατόμου.

Η Γη συμμετέχει σε δύο κύριες περιστροφικές κινήσεις: την ημερήσια (γύρω από τον άξονά της) και την τροχιακή (γύρω από τον Ήλιο). Η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι 1 έτος ή 365 ημέρες. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της από τα δυτικά προς τα ανατολικά, η περίοδος αυτής της περιστροφής είναι 1 ημέρα ή 24 ώρες. Γεωγραφικό πλάτος είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου του ισημερινού και της κατεύθυνσης από το κέντρο της Γης σε ένα σημείο στην επιφάνειά της.

Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η αιτία κάθε επιτάχυνσης είναι η δύναμη. Εάν ένα κινούμενο σώμα έχει κεντρομόλο επιτάχυνση, τότε η φύση των δυνάμεων που προκαλούν αυτή την επιτάχυνση μπορεί να είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, αν ένα σώμα κινείται κυκλικά πάνω σε ένα σχοινί δεμένο πάνω του, τότε η ενεργούσα δύναμη είναι η ελαστική δύναμη.

Εάν ένα σώμα που βρίσκεται σε έναν δίσκο περιστρέφεται με τον δίσκο γύρω από τον άξονά του, τότε μια τέτοια δύναμη είναι η δύναμη τριβής. Εάν η δύναμη σταματήσει τη δράση της, τότε το σώμα θα συνεχίσει να κινείται σε ευθεία γραμμή

Θεωρήστε την κίνηση ενός σημείου σε έναν κύκλο από το Α στο Β. Η γραμμική ταχύτητα είναι ίση με v AΚαι vBαντίστοιχα. Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου. Ας βρούμε τη διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων.

Γωνιακή ταχύτητα- διανυσματικό φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής του σώματος. Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας είναι ίσο σε μέγεθος με τη γωνία περιστροφής του σώματος ανά μονάδα χρόνου:

,

Το α κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του τεμαχίου, δηλαδή προς την κατεύθυνση προς την οποία θα βιδωθεί ένα στόμιο με δεξιό σπείρωμα εάν περιστρεφόταν προς την ίδια κατεύθυνση.

Μονάδαγωνιακή ταχύτητα που υιοθετείται στα συστήματα SI και GHS - ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. (Σημείωση: τα ακτίνια, όπως όλες οι μονάδες μέτρησης της γωνίας, είναι φυσικά αδιάστατα, επομένως η φυσική διάσταση της γωνιακής ταχύτητας είναι απλά). Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται επίσης στροφές ανά δευτερόλεπτο, πολύ λιγότερο συχνά - μοίρες ανά δευτερόλεπτο, μοίρες ανά δευτερόλεπτο. Ίσως, οι στροφές ανά λεπτό χρησιμοποιούνται συχνότερα στην τεχνολογία - αυτό προέρχεται από εκείνες τις στιγμές που η ταχύτητα περιστροφής των ατμομηχανών χαμηλής ταχύτητας προσδιορίστηκε απλά "χειροκίνητα", μετρώντας τον αριθμό των στροφών ανά μονάδα χρόνου.

Το διάνυσμα της (στιγμιαίας) ταχύτητας οποιουδήποτε σημείου ενός (απολύτως) άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα προσδιορίζεται από τον τύπο:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας σε ένα δεδομένο σημείο από την αρχή που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής του σώματος και οι αγκύλες υποδεικνύουν το γινόμενο του διανύσματος. Η γραμμική ταχύτητα (που συμπίπτει με το μέγεθος του διανύσματος της ταχύτητας) ενός σημείου σε μια ορισμένη απόσταση (ακτίνα) από τον άξονα περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: Εάν χρησιμοποιούνται άλλες μονάδες γωνιών αντί για ακτίνια, τότε στα δύο τελευταία τύπους θα εμφανιστεί ένας πολλαπλασιαστής που δεν είναι ίσος με ένα.

• Στην περίπτωση της επίπεδης περιστροφής, δηλαδή όταν όλα τα διανύσματα ταχύτητας των σημείων του σώματος βρίσκονται (πάντα) στο ίδιο επίπεδο («επίπεδο περιστροφής»), η γωνιακή ταχύτητα του σώματος είναι πάντα κάθετη σε αυτό το επίπεδο και σε γεγονός - εάν το επίπεδο περιστροφής είναι γνωστό - μπορεί να αντικατασταθεί από μια βαθμωτή - προβολή σε άξονα ορθογώνιο προς το επίπεδο περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση, η κινηματική της περιστροφής είναι πολύ απλοποιημένη, αλλά στη γενική περίπτωση, η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να αλλάξει κατεύθυνση στον τρισδιάστατο χώρο με την πάροδο του χρόνου και μια τέτοια απλοποιημένη εικόνα δεν λειτουργεί.
• Η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
• Η κίνηση με διάνυσμα σταθερής γωνιακής ταχύτητας ονομάζεται ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση (στην περίπτωση αυτή, η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν).
• Η γωνιακή ταχύτητα (θεωρούμενη ως ελεύθερο διάνυσμα) είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά πλαίσια αναφοράς, ωστόσο, σε διαφορετικά αδρανειακά πλαίσια αναφοράς ο άξονας ή το κέντρο περιστροφής του ίδιου συγκεκριμένου σώματος την ίδια χρονική στιγμή μπορεί να διαφέρει (δηλαδή, το « σημείο εφαρμογής» της γωνιακής ταχύτητας).
• Στην περίπτωση της κίνησης ενός μόνο σημείου σε τρισδιάστατο χώρο, μπορούμε να γράψουμε μια έκφραση για τη γωνιακή ταχύτητα αυτού του σημείου σε σχέση με την επιλεγμένη αρχή:

, όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου (από την αρχή), είναι η ταχύτητα αυτού του σημείου. - διανυσματικό γινόμενο, - βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων. Ωστόσο, αυτός ο τύπος δεν καθορίζει μοναδικά τη γωνιακή ταχύτητα (στην περίπτωση ενός μόνο σημείου, μπορείτε να επιλέξετε άλλα διανύσματα που είναι κατάλληλα εξ ορισμού, διαφορετικά - αυθαίρετα - επιλέγοντας την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής) και για τη γενική περίπτωση (όταν το σώμα περιλαμβάνει περισσότερα από ένα υλικά σημεία) - αυτός ο τύπος δεν ισχύει για τη γωνιακή ταχύτητα ολόκληρου του σώματος (καθώς δίνει διαφορετικές για κάθε σημείο και όταν ένα απολύτως άκαμπτο σώμα περιστρέφεται, εξ ορισμού, η γωνιακή ταχύτητα του η περιστροφή του είναι το μόνο διάνυσμα). Με όλα αυτά, στη δισδιάστατη περίπτωση (την περίπτωση της περιστροφής επιπέδου) αυτός ο τύπος είναι αρκετά επαρκής, σαφής και σωστός, αφού στη συγκεκριμένη περίπτωση η φορά του άξονα περιστροφής προσδιορίζεται σαφώς μοναδικά.

• Στην περίπτωση ομοιόμορφης περιστροφικής κίνησης (δηλαδή κίνησης με σταθερό διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας), οι καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων ενός σώματος που περιστρέφεται με αυτόν τον τρόπο εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις με γωνιακή (κυκλική) συχνότητα ίση με το μέγεθος της γωνιακής διάνυσμα ταχύτητας.

Σύνδεση με πεπερασμένη περιστροφή στο χώρο

. . .

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Lurie A.I. - Μ.: GIFML, 1961. - Σ. 100-136

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

• Divnogorsk
• Κιλοβατώρα

Δείτε τι είναι η "Γωνιακή ταχύτητα" σε άλλα λεξικά:

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, το V.s του. w=Dj/Dt, όπου Dj είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής j κατά τη χρονική περίοδο Dt, και στη γενική περίπτωση w=dj/dt. Διάνυσμα U... ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης ενός αντικειμένου σε σχέση με ένα σταθερό σημείο. Η μέση τιμή της γωνιακής ταχύτητας w ενός αντικειμένου που κινείται από τη γωνία q1 στη γωνία q2 κατά τη διάρκεια του χρόνου t εκφράζεται ως (q2 q1)w)/t. Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, τιμή που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας είναι w=Dj/Dt, όπου Dj είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο Dt... Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Με ομοιόμορφη περιστροφή ενός σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας, πού είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο; t... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

γωνιακή ταχύτητα- Ένα κινηματικό μέτρο της περιστροφικής κίνησης ενός σώματος, που εκφράζεται με ένα διάνυσμα ίσο σε μέγεθος με τον λόγο της στοιχειώδους γωνίας περιστροφής του σώματος προς τη στοιχειώδη χρονική περίοδο κατά την οποία γίνεται αυτή η περιστροφή και κατευθύνεται κατά μήκος του στιγμιαίου άξονα ... ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

γωνιακή ταχύτητα- διανυσματική ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, η απόλυτη τιμή της γωνιακής του ταχύτητας είναι ω = Δφ/Δt, όπου Δφ είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής σε μια χρονική περίοδο Δt. * * * ΓΩΝΙΑ… εγκυκλοπαιδικό λεξικό

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: αγγλ. γωνιακή ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. γωνιακή ταχύτητα, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos Terminų žodynas

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Κάι κούνας σουκάσι τολυγίαι… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

γωνιακή ταχύτητα- kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. γωνιακή ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. γωνιακή ταχύτητα, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas

Γωνιακή ταχύτητα- μια ποσότητα που χαρακτηρίζει την ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν σταθερό άξονα, το V.s του. ω =Δφ/ Δt, όπου Δφ είναι η αύξηση της γωνίας περιστροφής φ κατά τη χρονική περίοδο Δt. Στη γενική περίπτωση, η U. s. αριθμητικά ίσο...... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια