Konsideroni një cilindër rrotullimi me rreze R dhe lartësi h (Fig. 383). Në bazën e këtij cilindri do të gdhendim një shumëkëndësh të rregullt (një gjashtëkëndësh në figurën 383) dhe me ndihmën e tij do të ndërtojmë një prizëm të rregullt të brendashkruar në cilindër. Në të njëjtën mënyrë, mund të përshkruhen prizma të rregullt me ​​një numër të madh arbitrarisht të faqeve anësore rreth një cilindri.

Sipas përkufizimit, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një cilindri merret si kufiri në të cilin zonat e sipërfaqeve anësore të prizmave të rregullt të gdhendura dhe të rrethuara rreth tij priren ndërsa numri i faqeve të tyre anësore dyfishohet pafundësisht (ose rritet përgjithësisht ).

Tani do të vërtetojmë se ekziston një kufi i tillë. Nëse marrim si bazë një prizëm të rregullt të brendashkruar të ndërtuar mbi një trekëndësh të rregullt, atëherë për sipërfaqen anësore të tij do të kemi shprehjen , ku është perimetri i një trekëndëshi të rregullt i brendashkruar në rrethin e bazës së cilindrit. Në . Saktësisht e njëjta llogaritje për prizmin e përshkruar jep të njëjtin rezultat. Pra, zona e sipërfaqes anësore të cilindrit të rrotullimit shprehet me formulën

Sipërfaqja anësore e cilindrit është e barabartë me produktin e gjatësisë së gjeneratorit dhe perimetrit (d.m.th., perimetrit) të bazës.

Problemi 1. Segmenti që lidh pikat diametralisht të kundërta A dhe B të bazave të sipërme dhe të poshtme të cilindrit (Fig. 384) është 10 cm dhe i pjerrët me rrafshin e bazës në një kënd prej 60°. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.

Zgjidhje. Le të vizatojmë një prerje tërthore përmes segmentit L me një plan pingul me bazën e cilindrit. Nga trekëndëshi që kemi

ku gjejmë për sipërfaqen anësore të cilindrit

Problemi 2. Trekëndëshi ABC, kulmet A dhe B të të cilit janë skajet e diametrit të bazës së poshtme të cilindrit, dhe kulmi C është fundi i diametrit të bazës së sipërme pingul me të, barabrinjës me brinjën a,

Gjeni sipërfaqen e sipërfaqeve anësore dhe totale të cilindrit. Zgjidhje. Rrezja e bazës së cilindrit është e barabartë me Lartësia e trekëndëshit ABC (Fig. 385) është e barabartë me dhe gjenerata e cilindrit llogaritet si

Prandaj sipërfaqja anësore e cilindrit është e barabartë me

dhe sipërfaqja totale (e barabartë me shumën e sipërfaqes së sipërfaqes anësore dhe sipërfaqes së dy bazave të cilindrit) është e barabartë me

Ushtrime

1. Diagonalet e faqeve anësore të një paralelipipedi drejtkëndor janë të prirura nga rrafshi i bazës në kënde përkatësisht të barabarta me . Gjeni këndin e prirjes ndaj të njëjtit rrafsh të diagonales së paralelopipedit.

2. Në një paralelipiped të drejtë, këndi i mprehtë i bazës është i barabartë me a, dhe njëra nga anët e bazës është e barabartë me a. Seksioni i tërhequr përmes kësaj ane dhe buzës së kundërt të bazës së sipërme ka sipërfaqe Q dhe rrafshi i tij është i prirur në rrafshin e bazës në një kënd . Gjeni vëllimin dhe sipërfaqen totale të paralelepipedit.

3. Baza e një prizmi trekëndor të pjerrët është një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh dhe projeksioni i njërës nga skajet anësore në rrafshin e bazës përkon me mesataren m të njërës nga këmbët e trekëndëshit. Gjeni këndin e prirjes së brinjëve anësore me rrafshin e bazës nëse vëllimi i prizmit është i barabartë me V.

4. Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor, dy seksione tërhiqen përmes anës së bazës: 1) që përmban anën e kundërt të bazës së sipërme, 2) që përmban qendrën e bazës së sipërme. Në cilën lartësi të prizmit këndi ndërmjet rrafsheve të seksionit ka vlerën më të madhe dhe me çfarë është i barabartë në këtë rast?

Formula e rrezes së cilindrit:
ku V është vëllimi i cilindrit, h është lartësia

Cilindri është një trup gjeometrik që përftohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth anës së tij. Gjithashtu, një cilindër është një trup i kufizuar nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy plane paralele që e kryqëzojnë atë. Kjo sipërfaqe formohet kur një vijë e drejtë lëviz paralelisht me vetveten. Në këtë rast, pika e zgjedhur e vijës së drejtë lëviz përgjatë një lakore të caktuar të planit (udhëzues). Kjo vijë e drejtë quhet gjenerator i sipërfaqes cilindrike.
Formula e rrezes së cilindrit:
ku Sb është sipërfaqja anësore, h është lartësia

Cilindri është një trup gjeometrik që përftohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth anës së tij. Gjithashtu, një cilindër është një trup i kufizuar nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy plane paralele që e kryqëzojnë atë. Kjo sipërfaqe formohet kur një vijë e drejtë lëviz paralelisht me vetveten. Në këtë rast, pika e zgjedhur e vijës së drejtë lëviz përgjatë një lakore të caktuar të planit (udhëzues). Kjo vijë e drejtë quhet gjenerator i sipërfaqes cilindrike.
Formula e rrezes së cilindrit:
ku S është sipërfaqja totale, h është lartësia

Është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy rrafshe paralele dhe një sipërfaqe cilindrike.

Cilindri përbëhet nga një sipërfaqe anësore dhe dy baza. Formula për sipërfaqen e një cilindri përfshin një llogaritje të veçantë të sipërfaqes së bazës dhe sipërfaqes anësore. Meqenëse bazat në cilindër janë të barabarta, sipërfaqja totale e tij do të llogaritet me formulën:

Ne do të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri pasi të njohim të gjitha formulat e nevojshme. Së pari na duhet formula për sipërfaqen e bazës së një cilindri. Meqenëse baza e cilindrit është një rreth, do të duhet të aplikojmë:
Kujtojmë se në këto llogaritje përdoret numri konstant Π = 3,1415926, i cili llogaritet si raport i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Ky numër është një konstante matematikore. Ne gjithashtu do të shikojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së bazës së një cilindri pak më vonë.

Sipërfaqja anësore e cilindrit

Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri është produkti i gjatësisë së bazës dhe lartësisë së saj:

Tani le të shohim një problem në të cilin duhet të llogarisim sipërfaqen totale të një cilindri. Në figurën e dhënë, lartësia është h = 4 cm, r = 2 cm Le të gjejmë sipërfaqen totale të cilindrit.
Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave:
Tani le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një cilindri. Kur zgjerohet, ai përfaqëson një drejtkëndësh. Sipërfaqja e saj llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme. Le të zëvendësojmë të gjitha të dhënat në të:
Sipërfaqja totale e një rrethi është shuma e dyfishit të sipërfaqes së bazës dhe anës:

Kështu, duke përdorur formulat për sipërfaqen e bazave dhe sipërfaqen anësore të figurës, ne mundëm të gjenim sipërfaqen totale të cilindrit.
Seksioni boshtor i cilindrit është një drejtkëndësh në të cilin anët janë të barabarta me lartësinë dhe diametrin e cilindrit.

Formula për zonën e prerjes kryq boshtore të një cilindri rrjedh nga formula e llogaritjes:

Si të llogarisni sipërfaqen e një cilindri është tema e këtij artikulli. Në çdo problem matematikor, duhet të filloni duke futur të dhëna, të përcaktoni se çfarë dihet dhe me çfarë të operoni në të ardhmen, dhe vetëm atëherë të vazhdoni drejtpërdrejt në llogaritjen.

Ky trup vëllimor është një figurë gjeometrike cilindrike, e kufizuar në krye dhe në fund nga dy rrafshe paralele. Nëse aplikoni pak imagjinatë, do të vini re se një trup gjeometrik formohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth një boshti, ku njëra nga anët e tij është boshti.

Nga kjo rrjedh se kurba e përshkruar sipër dhe poshtë cilindrit do të jetë një rreth, treguesi kryesor i të cilit është rrezja ose diametri.

Sipërfaqja e një cilindri - kalkulator në internet

Ky funksion më në fund thjeshton procesin e llogaritjes dhe gjithçka zbret në zëvendësimin automatik të vlerave të specifikuara për lartësinë dhe rrezen (diametrin) e bazës së figurës. E vetmja gjë që kërkohet është të përcaktohen me saktësi të dhënat dhe të mos bëhen gabime gjatë futjes së numrave.

Sipërfaqja anësore e cilindrit

Së pari ju duhet të imagjinoni se si duket një skanim në hapësirën dy-dimensionale.

Ky nuk është asgjë më shumë se një drejtkëndësh, njëra anë e të cilit është e barabartë me perimetrin. Formula e saj ka qenë e njohur që nga kohra të lashta - 2π*r, Ku r- rrezja e rrethit. Ana tjetër e drejtkëndëshit është e barabartë me lartësinë h. Gjetja e asaj që kërkoni nuk do të jetë e vështirë.

Sanësor= 2π *r*h,

ku eshte numri π = 3,14.

Sipërfaqja totale e një cilindri

Për të gjetur sipërfaqen totale të cilindrit, duhet të përdorni atë që rezulton Ana S shtoni sipërfaqet e dy rrathëve, pjesën e sipërme dhe të poshtme të cilindrit, të cilat llogariten duke përdorur formulën S o =2π * r 2 .

Formula përfundimtare duket si kjo:

Skat= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Sipërfaqja e një cilindri - formula përmes diametrit

Për të lehtësuar llogaritjet, ndonjëherë është e nevojshme të kryhen llogaritjet përmes diametrit. Për shembull, ekziston një copë tubi i uritur me diametër të njohur.

Pa e shqetësuar veten me llogaritje të panevojshme, ne kemi një formulë të gatshme. Algjebra e klasës së 5-të vjen në shpëtim.

Sgjinia = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Në vend të r ju duhet të futni vlerën në formulën e plotë r =d/2.

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Të armatosur me njohuri, le të fillojmë të praktikojmë.

Shembulli 1. Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e një pjese tubi të cunguar, domethënë një cilindri.

Kemi r = 24 mm, h = 100 mm. Ju duhet të përdorni formulën përmes rrezes:

Kati S = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Ne konvertojmë në m2 të zakonshme dhe marrim 0,01868928, afërsisht 0,02 m2.

Shembulli 2. Kërkohet të zbulohet zona e sipërfaqes së brendshme të një tubi të sobës së asbestit, muret e të cilit janë të veshura me tulla zjarrduruese.

Të dhënat janë si më poshtë: diametri 0,2 m; lartësia 2 m Ne përdorim formulën për sa i përket diametrit:

S kati = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Shembulli 3. Si të zbuloni se sa material nevojitet për të qepur një çantë, r = 1 m dhe 1 m e lartë.

Një moment, ekziston një formulë:

Ana S = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

konkluzioni

Në fund të artikullit u ngrit pyetja: a janë vërtet të nevojshme të gjitha këto llogaritje dhe shndërrime të një vlere në një tjetër? Pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe më e rëndësishmja, për kë? Por mos neglizhoni dhe harroni formulat e thjeshta nga shkolla e mesme.

Bota ka qëndruar dhe do të qëndrojë mbi njohuritë elementare, përfshirë matematikën. Dhe, kur filloni ndonjë punë të rëndësishme, nuk është kurrë një ide e keqe të rifreskoni kujtesën tuaj për këto llogaritje, duke i zbatuar ato në praktikë me efekt të madh. Saktësia - mirësjellja e mbretërve.

Ka një numër të madh problemesh që lidhen me cilindrin. Në to ju duhet të gjeni rrezen dhe lartësinë e trupit ose llojin e seksionit të tij. Plus, ndonjëherë ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një cilindri dhe vëllimin e tij.

Cili trup është cilindër?

Në kurrikulën e shkollës studiohet një cilindër rrethor, domethënë një në bazë. Por dallohet edhe pamja eliptike e kësaj figure. Nga emri është e qartë se baza e saj do të jetë një elips ose një ovale.

Cilindri ka dy baza. Ato janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe lidhen me segmente që kombinojnë pikat përkatëse të bazave. Ata quhen gjeneratorë të cilindrit. Të gjithë gjeneratorët janë paralel me njëri-tjetrin dhe të barabartë. Ato përbëjnë sipërfaqen anësore të trupit.

Në përgjithësi, një cilindër është një trup i prirur. Nëse gjeneratorët bëjnë një kënd të drejtë me bazat, atëherë flasim për një figurë të drejtë.

Është interesante se një cilindër rrethor është një trup revolucioni. Përftohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth njërës anë të tij.

Elementet kryesore të cilindrit

Elementet kryesore të cilindrit duken kështu.

1. Lartësia. Është distanca më e shkurtër ndërmjet bazave të cilindrit. Nëse është e drejtë, atëherë lartësia përkon me gjeneratën.
2. Rrezja. Përkon me atë që mund të vizatohet në bazë.
3. Boshti. Kjo është një vijë e drejtë që përmban qendrat e të dy bazave. Boshti është gjithmonë paralel me të gjithë gjeneratorët. Në një cilindër të drejtë është pingul me bazat.
4. Seksioni boshtor. Formohet kur një cilindër kryqëzon një plan që përmban një bosht.
5. Plani tangjent. Ai kalon nëpër një nga gjeneratat dhe është pingul me seksionin boshtor, i cili është tërhequr përmes kësaj gjenerate.

Si lidhet një cilindër me një prizëm të gdhendur ose përshkruar rreth tij?

Ndonjëherë ka probleme në të cilat duhet të llogaritni sipërfaqen e një cilindri, por disa elementë të prizmit të lidhur janë të njohur. Si lidhen këto shifra?

Nëse një prizëm është i gdhendur në një cilindër, atëherë bazat e tij janë shumëkëndësha të barabarta. Për më tepër, ato janë të gdhendura në bazat përkatëse të cilindrit. Skajet anësore të prizmit përkojnë me gjeneratorët.

Prizmi i përshkruar ka shumëkëndësha të rregullt në bazën e tij. Ato përshkruhen rreth rrathëve të cilindrit, që janë bazat e tij. Planet që përmbajnë faqet e prizmit prekin cilindrin përgjatë gjeneratorëve të tyre.

Në zonën e sipërfaqes anësore dhe bazës për një cilindër rrethor të djathtë

Nëse hapni sipërfaqen anësore, do të merrni një drejtkëndësh. Anët e tij do të përkojnë me gjeneratën dhe perimetrin e bazës. Prandaj, sipërfaqja anësore e cilindrit do të jetë e barabartë me produktin e këtyre dy sasive. Nëse shkruani formulën, merrni sa vijon:

Ana S = l * n,

ku n është gjeneratori, l është perimetri.

Për më tepër, parametri i fundit llogaritet duke përdorur formulën:

l = 2 π * r,

këtu r është rrezja e rrethit, π është numri "pi" i barabartë me 3.14.

Meqenëse baza është një rreth, zona e saj llogaritet duke përdorur shprehjen e mëposhtme:

S kryesore = π * r 2 .

Në sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes së një cilindri rrethor të djathtë

Meqenëse është formuar nga dy baza dhe një sipërfaqe anësore, duhet të shtoni këto tre sasi. Kjo do të thotë, sipërfaqja totale e cilindrit do të llogaritet me formulën:

Kati S = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Shpesh shkruhet në një formë tjetër:

Kati S = 2 π * r (n + r).

Në zonat e një cilindri rrethor të pjerrët

Sa i përket bazave, të gjitha formulat janë të njëjta, sepse ato janë ende rrathë. Por sipërfaqja anësore nuk jep më një drejtkëndësh.

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri të pjerrët, do t'ju duhet të shumëzoni vlerat e gjeneratorit dhe perimetrin e seksionit, i cili do të jetë pingul me gjeneratorin e zgjedhur.

Formula duket si kjo:

Ana S = x * P,

ku x është gjatësia e gjeneratorit të cilindrit, P është perimetri i seksionit.

Nga rruga, është më mirë të zgjidhni një seksion të tillë që të formojë një elips. Atëherë do të thjeshtohen llogaritjet e perimetrit të tij. Gjatësia e elipsës llogaritet duke përdorur një formulë që jep një përgjigje të përafërt. Por shpesh është e mjaftueshme për detyrat e një kursi shkollor:

l = π * (a + b),

ku "a" dhe "b" janë gjysmëboshtet e elipsës, domethënë distanca nga qendra në pikat e saj më të afërta dhe më të largëta.

Sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes duhet të llogaritet duke përdorur shprehjen e mëposhtme:

Kati S = 2 π * r 2 + x * R.

Cilat janë disa seksione të një cilindri rrethor djathtas?

Kur një seksion kalon nëpër një bosht, sipërfaqja e tij përcaktohet si produkt i gjeneratorit dhe diametrit të bazës. Kjo shpjegohet me faktin se ka formën e një drejtkëndëshi, anët e të cilit përkojnë me elementët e caktuar.

Për të gjetur zonën e seksionit kryq të një cilindri që është paralel me atë boshtor, do t'ju duhet gjithashtu një formulë për një drejtkëndësh. Në këtë situatë, njëra nga anët e saj do të përkojë ende me lartësinë, dhe tjetra do të jetë e barabartë me akordin e bazës. Kjo e fundit përkon me vijën e seksionit përgjatë bazës.

Kur seksioni është pingul me boshtin, duket si një rreth. Për më tepër, zona e saj është e njëjtë me atë të bazës së figurës.

Është gjithashtu e mundur të kryqëzohet në një kënd të boshtit. Pastaj prerja tërthore rezulton në një ovale ose një pjesë të saj.

Shembuj të problemeve

Detyra nr. 1. Jepet një cilindër i drejtë, sipërfaqja e bazës së të cilit është 12,56 cm 2 . Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja totale e cilindrit nëse lartësia e tij është 3 cm.

Zgjidhje. Është e nevojshme të përdoret formula për sipërfaqen totale të një cilindri rrethor të drejtë. Por i mungojnë të dhënat, përkatësisht rrezja e bazës. Por zona e rrethit është e njohur. Nga kjo është e lehtë të llogaritet rrezja.

Rezulton të jetë e barabartë me rrënjën katrore të herësit, i cili përftohet duke ndarë sipërfaqen e bazës me pi. Pas pjesëtimit të 12,56 me 3,14, rezultati është 4. Rrënja katrore e 4 është 2. Prandaj, rrezja do të ketë këtë vlerë.

Përgjigje: Kati S = 50,24 cm 2.

Detyra nr. 2. Një cilindër me një rreze prej 5 cm pritet nga një plan paralel me boshtin. Distanca nga seksioni në bosht është 3 cm Lartësia e cilindrit është 4 cm.

Zgjidhje. Forma e prerjes tërthore është drejtkëndore. Njëra nga anët e saj përkon me lartësinë e cilindrit, dhe tjetra është e barabartë me akordin. Nëse dihet sasia e parë, atëherë duhet gjetur e dyta.

Për ta bërë këtë, duhet të bëhet një ndërtim shtesë. Në bazë vizatojmë dy segmente. Ata të dy do të fillojnë në qendër të rrethit. E para do të përfundojë në qendër të akordit dhe e barabartë me distancën e njohur me boshtin. E dyta është në fund të akordit.

Do të merrni një trekëndësh kënddrejtë. Hipotenuza dhe njëra nga këmbët janë të njohura në të. Hipotenuza përkon me rrezen. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e akordit. Këmba e panjohur e shumëzuar me 2 do të japë gjatësinë e dëshiruar të kordës. Le të llogarisim vlerën e tij.

Për të gjetur këmbën e panjohur, do t'ju duhet të vendosni në katror hipotenuzën dhe këmbën e njohur, të hiqni të dytën nga e para dhe të merrni rrënjën katrore. Katroret janë 25 dhe 9. Dallimi i tyre është 16. Pas marrjes së rrënjës katrore, kjo është këmba e dëshiruar.

Akordi do të jetë i barabartë me 4 * 2 = 8 (cm). Tani mund të llogarisni zonën e seksionit kryq: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Përgjigje: Kryqi S është i barabartë me 32 cm 2.

Detyra nr. 3.Është e nevojshme të llogaritet zona e prerjes kryq boshtore të cilindrit. Dihet se në të është gdhendur një kub me buzë 10 cm.

Zgjidhje. Seksioni boshtor i cilindrit përkon me një drejtkëndësh që kalon nëpër katër kulmet e kubit dhe përmban diagonalet e bazave të tij. Ana e kubit është gjenerata e cilindrit, dhe diagonalja e bazës përkon me diametrin. Produkti i këtyre dy sasive do të japë zonën që duhet të zbuloni në problem.

Për të gjetur diametrin, do t'ju duhet të përdorni njohurinë se baza e kubit është një katror dhe diagonalja e tij formon një trekëndësh kënddrejtë barabrinjës. Hipotenuza e saj është diagonalja e dëshiruar e figurës.

Për ta llogaritur atë, do t'ju duhet formula e teoremës së Pitagorës. Ju duhet të katrorizoni anën e kubit, ta shumëzoni me 2 dhe të merrni rrënjën katrore. Dhjetë në fuqinë e dytë është njëqind. Shumëzuar me 2 është dyqind. Rrënja katrore e 200 është 10√2.

Seksioni është përsëri një drejtkëndësh me brinjë 10 dhe 10√2. Sipërfaqja e saj mund të llogaritet lehtësisht duke shumëzuar këto vlera.

Përgjigju. Seksioni S = 100√2 cm 2.