7. Shumë pika dhe vija vendosen në një rrafsh. Pranojeni atë ju mund të ndërtoni pika dhe vija të drejta në një plan; Në praktikë, një vizore përdoret për të ndërtuar një vijë të drejtë.

Vija e drejtë shtrihet pafundësisht në të dy drejtimet. Për dreqin. Ndërtohet 4 drejtëza AB; me imagjinatën tuaj mund ta vazhdoni pafundësisht në të dy drejtimet. Nëse ndërtoni ndonjë pikë, për shembull, pikën O, në vijën CD (Figura 4), atëherë vija do të ndahet në 2 pjesë: njëra pjesë shtrihet nga pika O në të djathtë pa fund, dhe tjetra nga pika O në e majta pa fund. Secila prej këtyre pjesëve quhet rreze. Këtu kemi 2 trarë: rreze OD dhe rreze OC.

Ne mund të ndërtojmë rreze të panumërta nëpër çdo pikë.

Nëse marrim 2 pika në një vijë të drejtë, për shembull, në drejtëzën KL (Figura 4) pikat E dhe F, atëherë pjesa e vijës së drejtë midis këtyre pikave quhet segment. Në vizatim kemi segmentin EF.

8. Krahasoni të dhënat e 2 segmenteve AB dhe CD (drafti 5).

Le të lëvizim segmentin CD në mënyrë që pika C të godasë A, dhe ta rrotullojmë atë rreth pikës A derisa segmenti CD të shkojë përgjatë segmentit AB. Kur e arrijmë këtë, vërejmë se ku bie pika D: nëse bie në B, atëherë segmentet tona janë të barabarta; nëse D bie diku midis pikave A dhe B (për shembull, në M), atëherë segmenti CD konsiderohet më i vogël se segmenti AB, dhe nëse pika D bie pas pikës B (për shembull, në N), atëherë segmenti CD është më i madh se segmenti AB.

Ne e kuptojmë “krahasimin” e dy segmenteve në kuptimin e përcaktimit nëse janë të barabartë apo njëri është më i madh se tjetri.

9. Gjeni shumën e dy segmenteve të dhëna.

Janë marrë dy segmente AB dhe CD (Fig. 6); ju duhet të shtoni këto segmente.

Për ta bërë këtë, ne e lëvizim segmentin CD në mënyrë që pika C të godasë B, dhe pastaj e rrotullojmë rreth B derisa të ndjekë vazhdimin e segmentit AB. Vini re se ku bie pika D; nëse godet K, atëherë segmenti BK = CD dhe AK = AB + BK ose AK = AB + CD.

Çdo segment mund të ndahet me pika të ndërmjetme në shumën e disa termave; p.sh.

AB = AC + CD + DE + EF + FB (vizatimi 7)

Kjo është e qartë për ne shuma e segmenteve nuk ndryshon në varësi të rirregullimit të termave .

10. Gjeni ndryshimin midis dy segmenteve.

Jepen dy segmente AB dhe CD (Fig. 8); Është e nevojshme të zbritet segmenti më i vogël CD nga segmenti më i madh AB.

E lëvizim segmentin CD në mënyrë që pika D të godasë pikën B dhe fillojmë ta rrotullojmë rreth B derisa të shkojë në drejtim të BA; Le të vërejmë, kur ta arrijmë këtë, ku pika C do të bjerë në K, atëherë KB = CD dhe AK = AB – KB ose AK = AB – CD.

Ju mund ta shumëzoni këtë segment me 2, 3, 4, etj., pra, ta përsërisni atë si term 2, 3, etj. herë.

Nga paragrafët. 8-10, është e rëndësishme për ne të kuptojmë se 1) konceptet e mëposhtme janë të zbatueshme për segmentet, si dhe për numrat: "e barabartë", "më e madhe se" dhe "më pak se"; 2) konceptet e "shumës dhe ndryshimit të dy segmenteve" kanë një kuptim shumë të caktuar.

Në praktikë, për të ndërtuar një segment të barabartë me një të dhënë, përdoret një busull.

11. Ushtrime. 1. Emërtoni segmentet e mbledhjes dhe shumën e tyre në secilën nga imazhet e mëposhtme; shkruani (vizatimi A).

2. Në të njëjtat vizatime, tregoni se cili segment mund të konsiderohet ndryshimi i dy segmenteve të tjerë; shkruani.

3. Ndani këtë segment në 2, 3 dhe 4 terma; shkruani.

4. Paraqisni këtë segment si diferencë të dy segmenteve të tjerë.

12. Ne mund të ndërtojmë një figurë e përbërë nga dy rreze që dalin nga një pikë, – një figurë e tillë quhet kënd. Për dreqin. Figura 9 tregon një kënd të përbërë nga rrezet OA dhe OB që dalin nga pika O. Kjo pikë quhet kulm i këndit dhe çdo rreze quhet brinjë e saj. Fjala “kënd” zëvendësohet me shenjën ∠. Një kënd quhet me tre shkronja, njëra prej të cilave vendoset në kulm, dhe dy të tjerat diku në anët e këndit - shkronja në kulm vendoset në mes të emrit të këndit. Për dreqin. 9 kemi ∠AOB ose ∠BOA; ndonjëherë një kënd quhet një shkronjë e vendosur në kulmin e saj, duke thënë ∠O. Anët e këndit (rrezet) duhet të konsiderohen se shkojnë pa fund.

Një rast i veçantë i një këndi do të lindë kur anët e tij formojnë një vijë të drejtë; këndi i tillë i veçantë quhet i drejtëzuar ose kënd i kthyer(Figura 12 tregon këndet e drejta AOB dhe A 1 O 1 B 1).

Çdo kënd e ndan rrafshin në 2 pjesë, në dy rajone. Një nga këto pjesë quhet zona e brendshme këndi dhe thoni se shtrihet brenda këndit, dhe tjetri quhet zona e jashtme qoshe dhe thuaj se shtrihet jashtë qoshes. Cila nga këto dy pjesë quhet rajon i jashtëm dhe cila i brendshëm është çështje kushti. Çdo herë duhet të shënoni diçka të brendshme, për shembull, një zonë. Ne do të shënojmë zonën e brendshme të këndit me vija të lakuara të vizatuara në zonën e brendshme midis anëve të këndit; në të zezë 10 shënon rajonet e brendshme të këndeve ABC, DEF dhe të drejtuara ∠KLM.

Është e dobishme të priten qoshet nga një fletë kartoni e hollë: një copë kartoni është një paraqitje e përafërt e një pjese të aeroplanit; duke vizatuar mbi të dy rreze që dalin nga një pikë dhe duke e prerë këtë pjesë përgjatë anëve të këndit të tërhequr, do ta ndajmë copën e kartonit në 2 pjesë; Le të marrim njërën nga këto pjesë, për të cilën duam të supozojmë se ndodhet brenda këndit, dhe të heqim tjetrën - atëherë do të kemi një model të këndit së bashku me rajonin e tij të brendshëm. Për të interpretuar saktë këtë model, duhet mbajtur parasysh se një copë kartoni është një imazh i vetëm një pjese të një aeroplani dhe vetë avioni shtrihet pa fund.

13. Krahasoni dy kënde të dhëna∠ABC dhe ∠DEF (vizatimi 11).

Të "krahasosh" dy kënde do të thotë të përcaktosh nëse këndet janë të barabarta apo njëri është më i madh se tjetri. Për ta bërë këtë, ne do të fillojmë të mbivendosim një kënd në tjetrin në mënyrë që zonat e tyre të brendshme të shkojnë përgjatë njëra-tjetrës: nëse në këtë rast rezulton se është e mundur të arrihet që kulmet dhe anët e këndeve tona të jenë të rreshtuara, atëherë themi që këto kënde janë të barabarta; nëse kulmet në njërën anë të këndeve tona përkojnë, por anët e tjera nuk përkojnë, atëherë këndet nuk janë të barabarta dhe ne lexojmë atë më të vogël si atë, sipërfaqja e brendshme e të cilit përshtatet me zonën e brendshme të tjetrës.

Ushtrimi. Pritini nga letra modelet e qosheve së bashku me zonat e tyre të brendshme dhe, duke i mbivendosur këto modele njëra mbi tjetrën, vendosni mundësinë e rasteve të përshkruara më sipër; Pasi të keni prerë një model të një këndi, më pas prisni një model të një këndi të barabartë me të dhe modele këndesh jo të barabartë me të (pak a shumë).

Le të shohim këndet ABC dhe DEF (Figura 11); zona e brendshme e secilës prej tyre është shënuar në vizatim. Lëvizim ∠DEF në mënyrë që kulmi i tij E të godasë pikën B dhe ana e tij EF të shkojë përgjatë anës BC - atëherë zonat e brendshme të qosheve do të vendosen njëra pas tjetrës. Nëse ana ED shkon përgjatë anës BA, atëherë ∠DEF = ∠ABC; nëse ana ED shkon brenda ∠ABC, për shembull, përgjatë rrezes BM, atëherë ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Është e dobishme të përsëritet i njëjti arsyetim për këndet ABC dhe DEF (me rajonet e brendshme të shënuara) të dhëna në Fig. 11 bis.

Le të zbatojmë metodën e përshkruar të krahasimit të dy këndeve me dy kënde të drejtuara. Le të kemi 2 kënde të drejtuara ∠AOB dhe ∠A1O1B1 (vizatimi 12), zonat e brendshme të të cilave janë shënuar në vizatim. Duke mbivendosur njërin nga këto kënde mbi tjetrin në mënyrë që kulmi O 1 i njërit të bjerë në kulmin O të tjetrit dhe në mënyrë që brinja O 1 A 1 e njërit të shkojë përgjatë brinjës OA të tjetrës, arrijmë në përfundimin. se brinjët e tjera të këtyre këndeve O 1 B 1 dhe OB përputhen, pasi drejtëzat A 1 O 1 B 1 dhe AOB janë drejtëza, pozicioni i të cilave përcaktohet nga dy pika. (Ndonjëherë ata thonë: "OB është një vazhdim i OA" në vend që të thonë se drejtëza AOB është një vijë e drejtë). Prandaj arrijmë në përfundimin:

Të gjitha këndet e drejta janë të barabarta me njëri-tjetrin.

14. Drejtuar ∠AOB (vizatimi 12) e ndan rrafshin në 2 rajone, të brendshme dhe të jashtme. Nëse e përkulni avionin përgjatë vijës së drejtë AOB, atëherë të dyja këto pjesë do të përkojnë. Prandaj, mund të supozojmë se zonat e brendshme dhe të jashtme të një këndi të drejtuar janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Nëse kemi ndonjë kënd jo të korrigjuar, për shembull, ∠DEF (vizatimi 11 ose vizatimi 11 bis), atëherë duke vazhduar njërën nga anët e saj, për shembull, anën DE (nuk vizatohen vazhdime në vizatime), do të shohim se rreth këndit tonë, mund të vërtetohet se ai është ose më pak se i drejtuar (vizatimi 11), ose më i madh se ai (vizatimi 11 bis); Varet se cila nga dy pjesët e aeroplanit merret si rajoni i brendshëm i këndit. Zakonisht zona e brendshme e këndit zgjidhet në mënyrë që ky kënd të jetë më i vogël se ai i drejtuar dhe në këtë rast biem dakord që të mos shënojmë zonën e brendshme të këndit. Ndonjëherë origjina e këndit do të tregojë se rajoni i brendshëm duhet të konsiderohet ajo pjesë e planit që këndi do të jetë më i madh se ai i drejtuar. Këto raste ndonjëherë do të ndodhin në të ardhmen, dhe më pas duhet të shënojmë zonën e brendshme të këndit.

15. Gjeni shumën e dy këndeve: ∠AOB dhe ∠PNM (vizatimi 13), ose shtoni ∠AOB dhe ∠PNM.

Këtu në vizatim zonat e brendshme të qosheve nuk janë shënuar; sipas vërejtjes së paragrafit të mëparshëm, kjo do të thotë se ato duhet të zgjidhen në mënyrë që çdo kënd të jetë më pak se i drejtë dhe ne i shohim qartë këto zona.

Le të lëvizim ∠PNM në mënyrë që kulmi i saj N të përputhet me kulmin O të këndit AOB, dhe duke u rrotulluar rreth pikës O do të sigurojmë që brinja NP të shkojë përgjatë anës OB; atëherë rajonet e brendshme të këndeve tona do të jenë ngjitur me njëra-tjetrën - kjo rrethanë është thelbësore për shtimin e këndeve. Le të vërejmë se si do të shkojë ana NM: le të shkojë, për shembull, përgjatë rrezes OC. Pastaj marrim një ∠AOC të ri, i cili merret si shuma e dy këndeve të dhëna. Mund të shkruajmë:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
dhe 3) (bazuar në 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Ju gjithashtu mund të palosni disa qoshe; Ju mund ta ndani këtë kënd në disa terma. Për dreqin. 14 kemi:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Është e lehtë të ndërtohen dy ose më shumë kënde të aplikuara me njëri-tjetrin në mënyrë që shuma e tyre të jetë e barabartë me këndin e drejtuar. Është e mundur që shuma e disa këndeve të jetë më e madhe se këndi i drejtuar (Fig. 15), duhet të theksohet rajoni i brendshëm i kësaj shume.

Një rast tjetër i veçantë i shtimit të këndeve është i mundur, kur zonat e brendshme të këndeve të shtuara mbulojnë të gjithë rrafshin kur ato aplikohen me njëra-tjetrën. Për dreqin. 16 kemi këto kënde: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF dhe ∠FOA. Në këtë rast, pasi kemi ndërtuar rrezen OM, e cila është vazhdimësi e rrezes OA, shohim se shuma e këndeve tona përbëhet nga dy kënde të drejtuara: 1) të drejtuara ∠AOM, rajoni i brendshëm i së cilës shënohet me një vijë të lakuar. , dhe 2) ∠AOM i drejtuar, rajoni i brendshëm i të cilit është shënuar me vijë të dyfishtë të lakuar. Këtu kemi:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 qoshe të drejtuara.

Ata thone: Shuma e të gjithë këndeve të njëpasnjëshme që rrethojnë një pikë është e barabartë me dy kënde të drejta.

Nëse ka kënde shtesë të tjera nga ato të ndërtuara në vizatim. 16, atëherë ato do të duhet të aplikohen përsëri në ato të mëparshme përgjatë këndit të parë të drejtuar, dhe më pas shuma rezulton të jetë më shumë se dy kënde të drejtuara, të barabarta me tre kënde të drejtuara, më shumë se tre kënde të drejtuara, etj.

16. Gjeni ndryshimin e dy këndeve: ∠AOB dhe ∠MNP (Dev. 17), ose zbres ∠MNP nga ∠AOB, duke supozuar se ∠MNP< ∠AOB.

Le të lëvizim ∠MNP në mënyrë që kulmi i tij N të bjerë në kulmin O të këndit AOB; Duke u rrotulluar rreth pikës O, do të arrijmë që ana NM të shkojë përgjatë anës OB, dhe zonat e brendshme të këtyre këndeve të vendosen njëra mbi tjetrën. Lëreni anën NP të ndjekë rrezen OC; atëherë marrim një ∠AOC të ri, për të cilin dimë se ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, nga i cili, sipas përcaktimit të zbritjes si veprim i kundërt i mbledhjes, marrim:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
por ∠COB = ∠MNP; Kjo është arsyeja pse
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Nga paragrafët. 13-16 duhet të kuptojmë idenë se konceptet e mëposhtme janë të zbatueshme për këndet, si dhe për segmentet: më shumë, më pak, të barabartë, dhe se konceptet e shumës dhe ndryshimit të dy këndeve kanë një kuptim të caktuar.

17. Ushtrime. 1. Ndërtoni dy kënde të lidhura me njëri-tjetrin, emërtoni me shkronja, tregoni shumën e tyre dhe shkruani mbledhjen e këtyre këndeve.

2. Në të njëjtin vizatim, tregoni se njëri nga këndet është ndryshimi midis dy të tjerëve; shkruaje.

3. Në vizatimet e mëposhtme (shih vizatimin B), ∠AOB shprehet me ndryshimin e dy këndeve të tjera.

4. Ndani këtë kënd në 2, 3 dhe 4 terma; shkruani çdo herë; bëni të njëjtën gjë me këndin e drejtuar.

5. Paraqisni këtë kënd si diferencë ndërmjet këndit të drejtëzuar dhe ndonjë këndi tjetër. Çfarë lloj strukture nevojitet për këtë?

6. Shtoni dhe zbritni kënde duke përdorur modele këndore të prera nga letra.

18. Në të ardhmen, ne do të numërojmë shpesh këndet në mënyrë që të shkurtojmë shkronjën duke i quajtur numra. Ne do t'i shkruajmë numrat e këndit brenda secilit kënd afër kulmit.

Le të ndërtojmë ∠AOB (vizatimi 18) dhe ta quajmë ∠1. Le ta shtojmë këtë kënd në një kënd të drejtë. Problemi ka dy zgjidhje: ndërtoni një rreze OC, e cila shërben si vazhdimësi e rrezes OA; atëherë marrim ∠BOC ose ∠2, që plotëson kërkesën, pasi shohim që

∠1 + ∠2 = kënd i drejtuar.

Këtu kemi një shembull të mbledhjes së dy këndeve kur shuma është e barabartë me këndin e drejtuar - kënde të tilla quhen fqinjë: ∠1 dhe ∠2 janë kënde fqinje. Në mënyrë që 2 kënde të quhen "të afërta", është e nevojshme që 1) ato të jenë të lidhura me njëri-tjetrin dhe 2) që shuma e tyre të jetë e barabartë me këndin e drejtë, ose, çfarë është e njëjtë, që këto kënde të kenë një të përbashkët. kulmi (në këndet 1 dhe 2 kulmi i përbashkët O), njëra anë e përbashkët (këndet tona kanë një anë të përbashkët OB) dhe se dy anët e tjera janë vazhdimësi e njëra-tjetrës (OC është vazhdim i OA).

Zgjidhja e dytë e problemit tonë do të merret nëse vazhdojmë anën OB - le të jetë OD vazhdimësi e OB; atëherë marrim një tjetër ∠AOD ose ∠4 ngjitur me ∠1. Le ta quajmë edhe këndin që rezulton COD me ∠3.

Le të shqyrtojmë 2 zgjidhjet e marra për problemin tonë, d.m.th. ∠2 dhe ∠4. Ne shohim veçorinë e vendndodhjes së ∠2 dhe ∠4: ato kanë një kulm të përbashkët O, anët e njërës prej tyre janë vazhdimësi e anëve të tjetrës, përkatësisht OC është vazhdim i OA dhe anasjelltas, dhe OB është një vazhdim i OD dhe anasjelltas - dy kënde të tilla quhen vertikale.

Atëherë ne e dimë se të dyja ∠2 dhe ∠4 secila plotësojnë ∠1 derisa të korrigjohen; nga këtu konkludojmë se

Këtu është një përmbledhje më e detajuar e konsideratës së fundit. Sipas konstruksionit kemi:

1) ∠1 + ∠2 = kënd i drejtuar;
2) ∠1 + ∠4 = kënd i drejtuar.

Shohim që të dy mbledhjet çojnë në të njëjtën shumë (të gjitha këndet e drejta janë të barabarta me njëri-tjetrin), dhe, përveç kësaj, një term (domethënë ∠1) në të dyja mbledhjet është i njëjtë; nga këtu arrijmë në përfundimin se termat e tjerë duhet të jenë të barabartë me njëri-tjetrin, pra ∠2 = ∠4.

Nëse ndërtojmë dy drejtëza të kryqëzuara, fitojmë dy palë kënde vertikale. Për dreqin. 18 kemi drejtëza AC dhe BD, një palë kënde vertikale është ∠2 dhe ∠4, dhe tjetra është ∠1 dhe ∠3. Gjithçka e mësipërme vlen për çdo palë kënde vertikale; për shembull, për çiftin ∠1 dhe ∠3 kemi që secila prej tyre plotëson ∠2 atë të korrigjuar, pra, ∠1 = ∠3. Prandaj kemi teoremën:
Këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Ushtrimi. Ndërtoni tre vija të drejta përmes pikës dhe tregoni këndet vertikale që rezultojnë; shkruani barazinë e tyre.

Segmenti i linjës. Gjatësia e segmentit. Trekëndëshi.

1. Në këtë paragraf do të njiheni me disa koncepte të gjeometrisë. Gjeometria- shkenca e "matjes së tokës". Kjo fjalë vjen nga fjalët latine: geo - tokë dhe metr - masë, për të matur. Në gjeometri, të ndryshme objekte gjeometrike, pronat e tyre, lidhjet e tyre me botën e jashtme. Objektet më të thjeshta gjeometrike janë një pikë, një vijë, një sipërfaqe. Objektet gjeometrike më komplekse, për shembull, figurat dhe trupat gjeometrikë, formohen nga më të thjeshtat.

Nëse aplikojmë një vizore në dy pika A dhe B dhe tërheqim një vijë përgjatë saj që lidh këto pika, marrim segmenti i linjës, që quhet AB ose VA (lexojmë: “a-be”, “be-a”). Pikat A dhe B quhen skajet e segmentit(foto 1). Distanca midis skajeve të një segmenti, e matur në njësi gjatësie, quhet gjatësiaprerjeka.

Njësitë e gjatësisë: m - metër, cm - centimetër, dm - decimetër, mm - milimetër, km - kilometër etj. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Për të matur gjatësinë e segmenteve, përdorni një vizore ose masë shirit. Të matësh gjatësinë e një segmenti do të thotë të zbulosh sa herë një masë e caktuar e gjatësisë përshtatet në të.

E barabartë Këto janë dy segmente që mund të kombinohen duke mbivendosur njëri mbi tjetrin (Figura 2). Për shembull, ju mund të prisni në të vërtetë ose mendërisht një nga segmentet dhe ta lidhni atë me një tjetër në mënyrë që skajet e tyre të përkojnë. Nëse segmentet AB dhe SK janë të barabartë, atëherë shkruajmë AB = SK. Segmentet e barabarta kanë gjatësi të barabarta. E kundërta është e vërtetë: dy segmente me gjatësi të barabartë janë të barabarta. Nëse dy segmente kanë gjatësi të ndryshme, atëherë ato nuk janë të barabarta. Nga dy segmente të pabarabarta, më i vogël është ai që bën pjesë në segmentin tjetër. Ju mund të krahasoni segmentet e mbivendosura duke përdorur një busull.

Nëse e zgjerojmë mendërisht segmentin AB në të dy drejtimet deri në pafundësi, atëherë do të kemi një ide drejt AB (Figura 3). Çdo pikë e shtrirë në një vijë e ndan atë në dysh rreze(Figura 4). Pika C e ndan drejtëzën AB në dysh rreze SA dhe SV. Toska C quhet fillimi i rrezes.

2. Nëse tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz lidhen me segmente, atëherë marrim një figurë të quajtur trekëndëshi. Këto pika quhen majat trekëndësh, dhe segmentet që i lidhin janë partive trekëndësh (Figura 5). FNM - trekëndëshi, segmentet FN, NM, FM - anët e trekëndëshit, pikat F, N, M - kulmet e trekëndëshit. Brinjët e të gjithë trekëndëshave kanë këtë veti: d Gjatësia e çdo brinjë të një trekëndëshi është gjithmonë më e vogël se shuma e gjatësive të dy brinjëve të tjera të tij.

Nëse zgjeroni mendërisht, për shembull, sipërfaqen e një tavoline në të gjitha drejtimet, do të merrni një ide aeroplan. Pikat, segmentet, linjat e drejta, rrezet janë të vendosura në një aeroplan (Figura 6).

Blloku 1. Shtesë

Bota në të cilën jetojmë, gjithçka që na rrethon, të lashtët e quanin natyrë ose hapësirë. Hapësira në të cilën jetojmë konsiderohet tredimensionale, d.m.th. ka tre dimensione. Ata shpesh quhen: gjatësia, gjerësia dhe lartësia (për shembull, gjatësia e një dhome është 4 m, gjerësia e një dhome është 2 m dhe lartësia është 3 m).

Ideja e një pike gjeometrike (matematikore) na jepet nga një yll në qiellin e natës, një pikë në fund të kësaj fjalie, një shenjë nga një gjilpërë, etj. Megjithatë, të gjitha objektet e listuara kanë dimensione, në të kundërt, dimensionet e një pike gjeometrike konsiderohen të barabarta me zero (dimensionet e saj janë të barabarta me zero). Prandaj, një pikë e vërtetë matematikore mund të imagjinohet vetëm mendërisht. Ju gjithashtu mund të tregoni se ku ndodhet. Duke vendosur një pikë në një fletore me një stilolaps, ne nuk do të përshkruajmë një pikë gjeometrike, por do të supozojmë se objekti i ndërtuar është një pikë gjeometrike (Figura 6). Pikat përcaktohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D, (lexo" pika a, pika be, pika tse, pika de") (Figura 7).

Telat e varur në shtylla, një vijë e dukshme horizonti (kufiri midis qiellit dhe tokës ose ujit), një shtrat lumi i paraqitur në hartë, një unazë gjimnastike, një rrjedhë uji që buron nga një shatërvan na japin një ide të linjave.

Ka vija të mbyllura dhe të hapura, vija të lëmuara dhe jo të lëmuara, vija me dhe pa vetëkryqëzim (Figura 8 dhe 9).

Një fletë letre, disk lazer, guaskë topi futbolli, karton kuti paketimi, maskë plastike për Krishtlindje, etj. na jepni një ide sipërfaqet(Figura 10). Kur lyeni dyshemenë e një dhome ose një makine, sipërfaqja e dyshemesë ose e makinës mbulohet me bojë.

Trupi i njeriut, guri, tulla, djathë, top, akull akulli etj. na jepni një ide gjeometrike trupat (Figura 11).

Më e thjeshta nga të gjitha linjat është është e drejtë. Vendosni një vizore në një fletë letre dhe vizatoni një vijë të drejtë përgjatë saj me një laps. Duke e shtrirë mendërisht këtë vijë deri në pafundësi në të dy drejtimet, do të kemi idenë e një vije të drejtë. Besohet se një vijë e drejtë ka një dimension - gjatësi, dhe dy dimensionet e tjera të saj janë të barabarta me zero (Figura 12).

Kur zgjidhni probleme, një vijë e drejtë përshkruhet si një vijë që vizatohet përgjatë një sundimtari me laps ose shkumës. Linjat e drejtpërdrejta përcaktohen me shkronja të vogla latine: a, b, n, m (Figura 13). Ju gjithashtu mund të shënoni një vijë të drejtë me dy shkronja që korrespondojnë me pikat që shtrihen në të. Për shembull, drejt n në figurën 13 mund të shënojmë: AB ose VA, ADoseDA,DB ose BD.

Pikat mund të shtrihen në një vijë (i përkasin një rreshti) ose të mos shtrihen në një vijë (të mos i përkasin një rreshti). Figura 13 tregon pikat A, D, B të shtrira në vijën AB (që i përket vijës AB). Në të njëjtën kohë ata shkruajnë. Lexoni: pika A i përket drejtëzës AB, pika B i përket AB, pika D i përket AB. Pika D i përket edhe drejtëzës m, quhet të përgjithshme pika. Në pikën D drejtëzat AB dhe m priten. Pikat P dhe R nuk i përkasin drejtëzave AB dhe m:

Gjithmonë përmes dy pikave ju mund të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një .

Nga të gjitha llojet e linjave që lidhin çdo dy pika, segmenti, skajet e të cilit janë këto pika, ka gjatësinë më të shkurtër (Figura 14).

Një figurë që përbëhet nga pika dhe segmente që i lidhin ato quhet vijë e thyer (Figura 15). Segmentet që formojnë një vijë të thyer quhen lidhjet vija e thyer dhe skajet e tyre - majat vijë e thyer Një vijë e thyer emërtohet (caktohet) duke renditur të gjitha kulmet e saj sipas renditjes, për shembull, vijën e thyer ABCDEFG. Gjatësia e një vije të thyer është shuma e gjatësive të lidhjeve të saj. Kjo do të thotë se gjatësia e vijës së thyer ABCDEFG është e barabartë me shumën: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Një vijë e mbyllur e thyer quhet shumëkëndëshi, quhen kulmet e tij kulmet e shumëkëndëshit, dhe lidhjet e tij partive shumëkëndësh (Figura 16). Një shumëkëndësh emërtohet (caktohet) duke renditur sipas radhës të gjitha kulmet e tij, duke filluar nga cilido, për shembull, shumëkëndëshi (heptagoni) ABCDEFG, shumëkëndëshi (pentagoni) RTPKL:

Shuma e gjatësive të të gjitha brinjëve të një shumëkëndëshi quhet perimetër shumëkëndësh dhe shënohet me latinishten letërfq(lexo: pe). Perimetrat e shumëkëndëshave në figurën 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Duke shtrirë mendërisht sipërfaqen e një tavoline ose xhami dritareje deri në pafundësi në të gjitha drejtimet, ne marrim një ide të sipërfaqes, e cila quhet aeroplan (Figura 17). Avionët janë caktuar me shkronja të vogla të alfabetit grek: α, β, γ, δ, ... (lexojmë: plani alfa, beta, gama, delta, etj.).

Blloku 2. Fjalori.

Bëni një fjalor termash dhe përkufizimesh të reja nga §2. Për ta bërë këtë, futni fjalë nga lista e termave më poshtë në rreshtat bosh të tabelës. Në tabelën 2, tregoni numrat e termave në përputhje me numrat e rreshtave. Rekomandohet që të rishikoni me kujdes §2 dhe bllokun 2.1 përpara se të plotësoni fjalorin.

Blloku 3. Krijoni korrespondencën (CS).

Figurat gjeometrike.

Blloku 4. Vetëtesti.

Matja e një segmenti duke përdorur një vizore.

Le të kujtojmë se të matësh një segment AB në centimetra do të thotë ta krahasosh atë me një segment 1 cm të gjatë dhe të zbulosh se sa segmente të tilla 1 cm përshtaten në segmentin AB. Për të matur një segment në njësi të tjera të gjatësisë, veproni në të njëjtën mënyrë.

Për të përfunduar detyrat, punoni sipas planit të dhënë në kolonën e majtë të tabelës. Në këtë rast, ju rekomandojmë të mbuloni kolonën e djathtë me një fletë letre. Më pas mund t'i krahasoni gjetjet tuaja me zgjidhjet në tabelën në të djathtë.

Blloku 5. Vendosja e një sekuence veprimesh (SE).

Ndërtimi i një segmenti me gjatësi të caktuar.

opsioni 1. Tabela përmban një algoritëm të përzier (një renditje të përzier veprimesh) për ndërtimin e një segmenti me një gjatësi të caktuar (për shembull, le të ndërtojmë një segment BC = 7cm). Në kolonën e majtë është një tregues i veprimit, në kolonën e djathtë është rezultati i kryerjes së këtij veprimi. Riorganizoni rreshtat e tabelës në mënyrë që të merrni algoritmin e saktë për ndërtimin e një segmenti me një gjatësi të caktuar. Shkruani sekuencën e saktë të veprimeve.

Opsioni 2. Tabela e mëposhtme tregon algoritmin për ndërtimin e segmentit KM = n cm, ku në vend të n Ju mund të zëvendësoni çdo numër. Në këtë opsion nuk ka korrespondencë midis veprimit dhe rezultatit. Prandaj, është e nevojshme të vendosni një sekuencë veprimesh, pastaj për secilin veprim, zgjidhni rezultatin e tij. Shkruani përgjigjen në formën: 2a, 1c, 4b, etj.

Opsioni 3. Duke përdorur algoritmin e opsionit 2, ndërtoni segmente në fletoren tuaj në n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

Blloku 6. Testi i aspektit.

Segmenti, rreze, vijë e drejtë, rrafsh.

Në detyrat e testit të aspektit, nga to formohen fotografitë dhe regjistrimet me numër 1 - 12, të dhëna në tabelën 1. Më pas atyre u shtohen kërkesat e detyrave, të cilat vendosen në test pas fjalës lidhëse “TO”. Përgjigjet e problemave vendosen pas fjalës “BARABARË”. Grupi i detyrave është dhënë në tabelën 2. Për shembull, detyra 6.15.19 është e përbërë si më poshtë: “NËSE problemi përdor Figurën 6 , s Më pas i shtohet kushti numër 15, kërkesa e detyrës është numri 19.”

13) ndërtoni katër pika në mënyrë që çdo tre prej tyre të mos shtrihet në të njëjtën vijë të drejtë;

14) vizatoni një vijë të drejtë nëpër çdo dy pika;

15) zgjeroni mendërisht secilën nga sipërfaqet e kutisë në të gjitha drejtimet deri në pafundësi;

16) numri i segmenteve të ndryshme në figurë;

17) numri i rrezeve të ndryshme në figurë;

18) numri i drejtëzave të ndryshme në figurë;

19) numri i rrafsheve të ndryshme të fituara;

20) gjatësia e segmentit AC në centimetra;

21) gjatësia e segmentit AB në kilometra;

22) gjatësia e segmentit DC në metra;

23) perimetri i trekëndëshit PRQ;

24) gjatësia e vijës së thyer QPRMN;

25) herësi i perimetrave të trekëndëshave RMN dhe PRQ;

26) gjatësia e segmentit ED;

27) gjatësia e segmentit BE;

28) numri i pikave rezultuese të kryqëzimit të vijave;

29) numri i trekëndëshave që rezultojnë;

30) numri i pjesëve në të cilat është ndarë avioni;

31) perimetri i shumëkëndëshit, i shprehur në metra;

32) perimetri i shumëkëndëshit, i shprehur në decimetra;

33) perimetri i shumëkëndëshit, i shprehur në centimetra;

34) perimetri i shumëkëndëshit, i shprehur në milimetra;

35) perimetri i shumëkëndëshit, i shprehur në kilometra;

EQUALS (e barabartë, ka formën):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28

Blloku 7. Le të luajmë.

7.1. Labirinti i matematikës.

Labirinti përbëhet nga dhjetë dhoma me nga tre dyer secila. Në secilën nga dhomat ka nga një objekt gjeometrik (është vizatuar në murin e dhomës). Informacioni për këtë objekt është në "udhëzuesin" e labirintit. Ndërsa e lexoni, duhet të shkoni në dhomën për të cilën është shkruar në manual. Ndërsa ecni nëpër dhomat e labirintit, vizatoni rrugën tuaj. Dy dhomat e fundit kanë dalje.

Udhëzues për në Labirint

1. Ju duhet të hyni në labirint përmes një dhome ku ka një objekt gjeometrik që nuk ka fillim, por ka dy skaje.
2. Objekti gjeometrik i kësaj dhome nuk ka përmasa, është si një yll i largët në qiellin e natës.
3. Objekti gjeometrik i kësaj dhome është i përbërë nga katër segmente që kanë tre pika të përbashkëta.
4. Ky objekt gjeometrik përbëhet nga katër segmente me katër pika të përbashkëta.
5. Kjo dhomë përmban objekte gjeometrike, secila prej të cilave ka një fillim, por jo fund.
6. Këtu janë dy objekte gjeometrike që nuk kanë as fillim e as fund, por me një pikë të përbashkët.

1. Një ide e këtij objekti gjeometrik jepet nga fluturimi i predhave të artilerisë

(trajektorja e lëvizjes).

1. Kjo dhomë përmban një objekt gjeometrik me tre maja, por ato nuk janë malore.

1. Fluturimi i një bumerang jep një ide të këtij objekti gjeometrik (gjuetia

armët e popullit indigjen të Australisë). Në fizikë kjo linjë quhet trajektore

lëvizjet e trupit.

1. Ideja e këtij objekti gjeometrik jepet nga sipërfaqja e liqenit në

mot i qetë.

Tani mund të dilni nga labirinti.

Labirinti përmban objekte gjeometrike: rrafsh, vijë e hapur, drejtëz, trekëndësh, pikë, vijë e mbyllur, vijë e thyer, segment, rreze, katërkëndësh.

7.2. Perimetri i formave gjeometrike.

Në vizatime, theksoni format gjeometrike: trekëndëshat, katërkëndëshat, pesëkëndëshat dhe gjashtëkëndëshat. Duke përdorur një vizore (në milimetra), përcaktoni perimetrat e disa prej tyre.

7.3. Garë stafetë e objekteve gjeometrike.

Detyrat rele kanë korniza boshe. Shkruani fjalën që mungon në to. Pastaj zhvendoseni këtë fjalë në një kornizë tjetër ku tregon shigjeta. Në këtë rast, ju mund të ndryshoni rastin e kësaj fjale. Ndërsa kaloni nëpër fazat e stafetës, plotësoni formacionet e kërkuara. Nëse e plotësoni saktë stafetën, do të merrni fjalën e mëposhtme në fund: perimetër.

7.4. Forca e objekteve gjeometrike.

Lexoni § 2, shkruani emrat e objekteve gjeometrike nga teksti i saj. Pastaj shkruani këto fjalë në qelitë boshe të "fortesës".

Segmentet quhen të barabarta nëse mund të mbivendosen njëri mbi tjetrin në mënyrë që skajet e tyre të përkojnë.

Le të na jepen dy segmente AB dhe CD (Fig.). Le të mbivendosim segmentin AB në segmentin CD në mënyrë që pika A të përputhet me pikën C dhe të drejtojmë segmentin AB përgjatë segmentit CD. Nëse pika B përkon me pikën D, atëherë segmentet AB dhe CD janë të barabartë; AB = CD.

Le të krahasojmë dy segmente KO dhe EM (Fig.).

Le të mbivendosim segmentin KO mbi segmentin EM në mënyrë që pikat K dhe E të përkojnë. Le ta drejtojmë segmentin KO përgjatë segmentit EM. Nëse pika O është diku midis pikave E dhe M, atëherë ata thonë se segmenti EM është më i madh se segmenti KO; segmenti KO është më i vogël se segmenti EM.

Shkruhet kështu: EAT > KO, KO

Ndërtimi i një segmenti të barabartë me një të dhënë duke përdorur një busull.

Ndërtimi i një segmenti të barabartë me një segment të caktuar AB (Fig.) kryhet duke përdorur një busull në këtë mënyrë:

njëra këmbë e busullës vendoset në njërën skaj të segmentit AB, dhe tjetra - në skajin tjetër të saj dhe, pa ndryshuar këndin e busullës, transferojeni atë në një vijë të caktuar të drejtë në mënyrë që fundi i njërës këmbë të shënojë një pikë. N, pastaj fundi i këmbës tjetër të busullës shënon një pikë R në të njëjtën vijë të drejtë. Segmenti NP do të jetë i barabartë me segmentin AB.

Mbledhja dhe zbritja e segmenteve.

Për të gjetur shumën e dy segmenteve, për shembull AB dhe CD (Fig.), duhet të merrni një vijë të drejtë dhe një pikë mbi të, për shembull pikën N (Fig., b), pastaj, duke përdorur një busull, së pari vizatoni segmenti NP në këtë vijë të drejtë nga pika N, e barabartë me segmentin AB, dhe më pas nga fundi i tij në të njëjtin drejtim vendos një segment PM të barabartë me segmentin CD. Segmenti NM do të quhet shuma e segmenteve AB dhe CD.

Është shkruar kështu:

NM = AB + CD.

Në të njëjtën mënyrë, gjendet shuma e disa segmenteve (Fig.)

MN = AB + CD + EF.

Gjatë mbledhjes së segmenteve, si në aritmetikë gjatë mbledhjes së numrave, ndiqen ligjet: komutativ dhe asociativ.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

Për të gjetur ndryshimin midis dy segmenteve AB dhe CD (Fig.),

Është e nevojshme të lini mënjanë një segment më të vogël (CD) në një segment më të madh (AB) nga fundi i tij, për shembull, pika A. Pjesa e mbetur (KB) e segmentit më të madh do të jetë diferenca e këtyre segmenteve:

AB - CD = KV.

Shumëzimi dhe pjesëtimi i një segmenti me një numër të plotë.

a) Shumëzoni segmentin AB me një numër të plotë, për shembull me 5, kjo do të thotë se segmenti AB duhet të merret si term 5 herë (Fig.):

Segmenti MN është prodhimi i segmentit AB dhe numrit 5.

b) Në figurë, segmenti MN është i përbërë nga pesë segmente të barabarta, pra segmenti MN është i ndarë në pesë pjesë të barabarta. Secili prej tyre përbën 1/5 e segmentit MN.

c) Për të ndarë një segment në pjesë të barabarta duke përdorur një busull, bëjeni këtë. Për shembull, nëse ju duhet të ndani një segment në dy pjesë të barabarta, atëherë busulla zhvendoset me sy në mënyrë që hapja e busullës të jetë afërsisht gjysma e segmentit. Më pas, në një segment të caktuar nga fundi i tij, dy segmente vendosen në mënyrë sekuenciale, njëri pas tjetrit, me këtë zgjidhje busull. Nëse shuma rezultuese e segmenteve është më e vogël se ky segment, atëherë zgjidhja e busullës rritet; nëse sasia rezulton të jetë më shumë se ky segment, atëherë zgjidhja e busullës zvogëlohet. Pra, duke korrigjuar gradualisht gabimin, mund të gjeni me saktësi gjysmën e segmentit (Fig.).

Në të njëjtën mënyrë, kryhet një ndarje e përafërt e një segmenti në 3, 4, 5, etj. pjesë të barabarta. Vetëm në këtë rast duhet të merrni 1/3 me sy; 14 ; 1/5... e një segmenti dhe lëmë mënjanë segmentin e marrë 3, 4, 5... herë, varësisht se në sa pjesë të barabarta duhet të ndahet segmenti i dhënë.

Vetia e segmenteve të prera me vija paralele në anët e një këndi

Teorema. Nëse segmente të barabarta shtrihen në njërën anë të një këndi dhe vija paralele vizatohen nëpër skajet e tyre, duke kryqëzuar anën tjetër të këndit, atëherë segmente të barabarta do të vendosen në këtë anë të këndit.

Le të vendosen segmente të barabarta BM = MK = KS (Fig.) në anën AB të këndit ABN dhe vija paralele që kryqëzojnë anën BN të të njëjtit kënd të vizatohen nëpër pikat e ndarjes M, K dhe C.

Në këtë anë u formuan tre segmente: VM', M'K' dhe K'S'. Kërkohet të vërtetohet se VM' = M'K' = K'C'.

Për ta vërtetuar këtë, vizatojmë drejtëza paralele me AB përmes pikave M’ dhe K’. Marrim trekëndëshat ВММ', М'ЭК' dhe К'РС'. Le t'i krahasojmë këta trekëndësha.

Së pari, krahasoni trekëndëshat MVM' dhe M'EK'. Në këto trekëndësha kemi:

∠1 = ∠2, si këndet përkatëse për paralelet BA dhe M'E dhe sekantin BN;

∠3 = ∠4, si kënde akute 1 me brinjë përkatësisht paralele (AB || M'E dhe MM' || KK').

VM = MK sipas ndërtimit;

MK = M'E, si anët e kundërta të një paralelogrami.

Këndet 1 dhe 4 mund të rezultojnë të jenë të dy të mpirë, por në këtë rast ata do të mbeten të barabartë, dhe për këtë arsye vërtetimi i teoremës nuk do të ndryshojë.

Prandaj, BM = M'E. Kështu, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (në anë dhe dy kënde ngjitur). Nga kjo rrjedh se VM' = M'K'.

Gjithashtu mund të vërtetohet se VM’ = K’C’, pra VM’ = M’K’ = K’C’. Gjatë vërtetimit të teoremës, ne filluam të shtrojmë segmente nga kulmi i këndit, por teorema vlen edhe për rastin kur shtrimi i segmenteve nuk fillon nga kulmi i këndit, por nga çdo pikë në anën e tij.

Në këtë rast, kulmi i këndit nuk duhet të shënohet në vizatim (Fig.).

Teorema vlen edhe për rastin kur drejtëzat KO dhe MR janë paralele.

Segmente proporcionale

Nga aritmetika dimë se barazia e dy raporteve quhet proporcion. Për shembull: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 Ne kemi të njëjtën gjë në gjeometri: nëse jepen dy palë segmente, raportet e të cilëve janë të barabartë, atëherë mund të bëhet një proporcion.

Nëse a / b= 4/3 dhe c / d= 4/3 (vizatuar 351), atëherë marrim proporcionin a / b = c / d ;

segmente a, b, c, d quhen proporcionale.

Qëndrimi a / b quhet, si në aritmetikë, relacioni i parë, c / d- relacioni i dytë; A Dhe d quhen terma ekstremë të proporcionit, b Dhe Me- anëtarët e mesëm.

Në një proporcion, raportet mund të ndryshohen; ju mund të riorganizoni anëtarët ekstremë, anëtarët e mesëm; ju mund t'i riorganizoni të dyja në të njëjtën kohë.

Sepse në proporcion a / b = c / d Me shkronja nënkuptojmë numrat që shprehin gjatësinë e segmenteve, atëherë prodhimi i anëtarëve të tij ekstremë është i barabartë me prodhimin e anëtarëve të mesëm. Nga këtu, duke ditur tre termat e proporcionit, mund të gjeni termin e katërt të panjohur të tij. Po, në proporcion a / x = c / d x = a d / c

Le të vëmë re disa veti të tjera të përmasave, të cilat do të duhet të përdoren në të ardhmen gjatë vërtetimit të disa teoremave dhe zgjidhjes së problemeve.

a) Nëse tre anëtarë të një proporcioni janë përkatësisht të barabartë me tre anëtarë të një proporcioni tjetër, atëherë edhe anëtarët e katërt të këtyre përpjestimeve janë të barabartë.

Nëse a / b = c / x Dhe a / b = c / y,Ajo x = y. Me të vërtetë, x = b c / a , në = b c / a, dmth dhe X Dhe në e barabartë me të njëjtin numër b c / a .

b) Nëse termat e mëparshëm janë të barabartë në proporcion, atëherë ata të mëpasshëm janë të barabartë, d.m.th nëse a / x = a / y, Kjo x = y.

Për ta verifikuar këtë, le të riorganizojmë termat e mesëm në këtë proporcion.

Ne marrim: a / a = x / y. Por a / a= 1. Prandaj, dhe x / y = 1.

Dhe kjo është e mundur vetëm nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës janë të barabartë, d.m.th.

x = y.

c) Nëse termat pasardhës janë të barabartë në proporcion, atëherë ata të mëparshëm janë të barabartë, d.m.th x / a = y / a, Kjo x = y.

Jeni të ftuar të verifikoni vetë vlefshmërinë e kësaj prone. Për ta bërë këtë, bëni një arsyetim të ngjashëm me atë të mëparshëm.

Ndërtimi i segmenteve proporcionale

Teorema. Nëse dy drejtëza priten nga tre drejtëza paralele, atëherë raporti i dy segmenteve të marra në një drejtëz është i barabartë me raportin e dy segmenteve përkatëse të drejtëzës tjetër.

Le të priten dy drejtëza EF dhe OP nga tre drejtëza paralele AB, CD dhe MN (Fig.).

Kërkohet të vërtetohet se segmentet AC, CM, BD dhe DN, të mbyllura ndërmjet sekanteve paralele, janë proporcionale, d.m.th.

AC/CM = BD/DN

Le të jetë gjatësia e segmentit AC R, dhe gjatësia e segmentit CM është e barabartë me q.

Për shembull, R= 4 cm dhe q= 5 cm.

Le t'i ndajmë AC dhe CM në segmente të barabarta me 1 cm, dhe nga pikat e ndarjes nxjerrim vija të drejta paralele me drejtëzat AB, CD dhe MN, siç tregohet në figurë.

Më pas, segmente të barabarta do të depozitohen në vijën e drejtë OR, me 4 segmente në segmentin BD dhe 5 segmente në segmentin DN.

Raporti i AC ndaj CM është 4/5, dhe në mënyrë të ngjashme raporti i BD ndaj DN është 4/5.

Prandaj AC/CM = BD/DN.

Kjo do të thotë se segmentet AC, CM, BD dhe DN janë proporcionale. Segmentet AC, AM, BD dhe BN (që mbivendosen me njëri-tjetrin) janë gjithashtu proporcionalë, d.m.th. AC / AM = BD / BN,

meqenëse AC/AM = 4/9 dhe BD/BN = 4/9

Teorema do të jetë e vlefshme për çdo vlerë tjetër numër të plotë R Dhe q.

Nëse gjatësitë e segmenteve AC dhe CM nuk shprehen në numra të plotë për një njësi të caktuar matëse (për shembull, një centimetër), atëherë është e nevojshme të merret një njësi më e vogël (për shembull, një milimetër ose mikron), në të cilën gjatësitë e segmenteve AC dhe CM shprehen praktikisht në numra të plotë.

Teorema e provuar vlen edhe në rastin kur një nga sekantet paralele kalon në pikën e prerjes së këtyre drejtëzave. Vlen edhe në rastin kur segmentet nuk vizatohen drejtpërdrejt njëri pas tjetrit, por pas një intervali të caktuar.