КВАНТОВА ОПТИКА
КВАНТОВА ОПТИКА
Розділ статистичної оптики, що вивчає мікроструктуру світлових полів та оптич. явища, в яких брало видно квант. природа світла. Уявлення про квант. структурі випромінювання запроваджено ньому. фізиком М. Планком у 1900.
Статистич. структуру інтерференц. поля вперше спостерігав С. І. Вавілов (1934), ним же запропоновано термін "мікроструктура світла".
Світлове – складний фіз. об'єкт, стан якого визначається нескінченним числом параметрів. Це відноситься і до монохроматичного випромінювання, яке при класич. опис характеризується повністю амплітудою, частотою, фазою та поляризацією. Завдання повного визначення світлового поля не може бути вирішене через непереборні технічні характеристики. труднощів, пов'язаних із нескінченним числом вимірювань параметрів поля. Доповнить. складності у вирішення цього завдання вносить суттєво квант. хар-р вимірів, тому що вони пов'язані з реєстрацією фотонів фотодетекторами.
Успіхи лазерної фізики та вдосконалення техніки реєстрації слабких світлових потоків визначили розвиток та завдання К. о. Долазерні джерела світла за своїми статистич. св-вам однотипні генераторам шуму, що має гауссівське . Стан їх полів практично повно визначається формою спектра випромінювання та його інтенсивністю. З появою кванту. генераторів та квант. підсилювачів К. о. отримала у своє розпорядження широкий асортимент джерел з дуже різноманітними, у т. ч. не гаусівськими, статистич. хар-ками.
Найпростіша хар-ка поля - його порівн. інтенсивність. Більш повна хар-ка-фція просторово-часового розподілу інтенсивності поля, що визначається з експериментів з реєстрації в часі фотонів одним детектором. Ще повнішу інформацію про стан поля дають дослідження квант. його разл. величин, які вдається частково визначити з експериментів по спільній реєстрації фотонів поля дек. приймачами, або щодо багатофотонних процесів у в-ве.
Центр. поняттями в До. о., що визначають стан поля та картину його флуктуації, явл. т.з. кореляційні ф-ції чи польові корелятори. Вони визначаються як квантовомеханіч. середні від операторів поля (див. КВАНТОВА ТЕОРІЯ ПОЛЯ). Ступінь складності кореляторів визначає ранг, причому, що він вищий, тим паче тонкі статистич. св-ва поля їм характеризуються. Зокрема, ці ф-ції визначають картину спільної реєстрації фотонів у часі довільним числом детекторів. Кореляційні ф-ции грають значної ролі у нелінійної оптиці. Чим вище рівень нелінійності оптич. процесу, тим більш високого рангу корелятори необхідні його описи. Особливого значення К. о. має поняття квантової когерентності. Розрізняють часткову та повну поля. Повністю когерентна хвиля за своїм впливом на системи максимально подібна до класич. монохроматич. хвилі. Це означає, що квант. флуктуації когерентного поля мінімальні. Випромінювання лазерів з вузькою спектральною смугою близько за своїми хар-ками до повністю когерентного.
Дослідження кореляції. ф-цій вищих порядків дозволяє вивчати фіз. у випромінюючих системах (напр., у лазерах). Методи К. о. дають можливість визначати деталі міжмол. вз-ствнй по зміні статистики фотовідрахунків при розсіянні світла серед.
Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. . 1983 .
КВАНТОВА ОПТИКА
Розділ оптики, що вивчає статистич. властивості світлових полів та квантовий прояв цих властивостей у процесах взаємодії світла з речовиною. Уявлення про квантову структуру випромінювання введено М. Планком (М. Planck) у 1900. Світлове поле, як і будь-яке фіз. поле, в силу своєї квантової природи є статистичним об'єктом, тобто його стан визначається в імовірнісному сенсі. З 60-х років. почалося інтенсивне вивчення статистич. розподіл.) Далі, квантовий процес спонтанного народження фотонів є непереборним джерелом суттєвих флуктуацій полів, що вивчаються К. о.; нарешті, сама реєстрація світла фотоприймачами - фотовідліки - є дискретним квантовим. шуми генераторів випромінювання, в середовищі тощо нелінійною оптикою; з одного боку, в нелінійних оптич. процесах відбувається зміна статистич. властивостей світлового поля, з іншого - статистика поля впливає перебіг нелінійних процесів. кореляційними функціями або польовими кореляторами. Вони визначаються як квантово-механіч. середні від операторів поля (див. також Квантова теорія поля.Найпростішими характеристиками поля є його і порівн. інтенсивність. Ці характеристики знаходять із дослідів, напр., інтенсивність світла – за вимірами швидкості фотоемісії електронів у ФЕУ. Теоретично ці величини описуються (без урахування поляризації поля) польовим корелятором в к-ром 
- ермітово пов'язані складові оператора електрич. поля 
у просторово-часовій точці x = (r, t).Оператор
виражається через
- Оператор знищення (див. Вторинне квантування)фотона " k"-ї моди поля U k (r):
Відповідно до цього виражається через оператор народження Знак< . . . >позначає квантове усереднення за станами поля, і якщо розглядається з речовиною, те й за станами речовини. інформація про стан поля міститься в кореляторі G 1,1 (x 1 , x 2). У випадку детальне визначення стану поля вимагає знання кореляц. ф-цій вищих порядків (рангов). Стандартною формою кореляторів, обумовленої її зв'язком з реєстрацією поглинання фотонів, прийнято нормально-упорядковане: 
у к-рой все поператорів народження стоять лівіше за всіх га операторів знищення Порядок корелятора дорівнює сумі n+m.Практично вдається досліджувати корелятори невисоких порядків. Найчастіше це корелятор G 2,2 (х 1 ,х 2 ;х 2 ,х 1),
який характеризує флуктуації інтенсивності випромінювання, його знаходять з експериментів по спільному рахунку фотонів двома детекторами. Подібно до цього визначається корелятор G n,n(x 1 ,. . .х п;х п,. ..x 1) із реєстрації відрахунків фотонів пприймачами або з даних n-Фотонного поглинання. G n,m з п№тможливо тільки в нелінійних оптич. експерименти. У стаціонарних вимірах умова незмінності корелятора G n,mу часі вимагає виконання закону збереження енергії: 
де w 6 частоти гармонік операторів відповідно. Зокрема, G 2,l знаходять із просторової картини інтерференції трихвильової взаємодії в процесі знищення одного та народження двох квантів (див. Взаємодія світлових хвиль).З нестаціонарних кореляторів особливий інтерес представляє G 0,1 (x),
визначальний напруженість квантового поля. Величина G 0,1 (x)| 2 дає значення інтенсивності поля лише спец. випадках, зокрема, для когерентних полів. р(п,T) - можливість реалізації точно пфотовідліків в інтервалі часу Т.Ця характеристика містить приховану інформацію про корелятори довільно високих порядків. Виявлення прихованої інформації, зокрема визначення ф-ції розподілу інтенсивності випромінювання джерелом становить предмет т.з. зворотного завдання рахунку фотонів К. о. Рахунок фотонів -експеримент, що має принципово квантову природу, що виразно проявляється, коли інтенсивність Iреєстрованого поля не флуктує. Навіть у цьому випадку його викликає випадкову в часі послідовність фотовідліків з Пуассона розподілом
де b – характеристика чутливості фотодетектора, т.з. його ефективність. Значення g(x 1 ,х 2) прагне до 1 у міру рознесення просторово-часових точок х 1 та х 2, що відповідає статистич. незалежності фотовідліків у них. При суміщенні точок x 1 =x 2 =xвідмінність g (x, х) від одиниці ( g- 1) характеризує рівень флуктуації інтенсивності випромінювання і проявляється у відмінності чисел збігів фотовідліків, отриманих при одночасної та незалежної їх реєстрації двома детекторами. Флуктуації інтенсивності одномодового поля характеризуються величиною 
де усереднення зручно проводити за станами n> (див. Вектор стану)с матрицею щільності
у к-рій Р п -ймовірність реалізації моди поля в стані пфотонами. Для теплового випромінювання ймовірність Р пзадана Богу- Ейнштейна статистикою:
де порівн. число фотонів у моді 
Це сильно флуктуюче поле, для якого g= 2.
Воно характеризується покладе. кореляцією g- 1>0 одночасної реєстрації двох фотонів. Такі випадки флуктуації інтенсивності, коли g> 1,
зв. в ко. угрупуванням фотонів. g-1=0 представляють поля, що у т. зв. когерентних станах,ук-рих 
Цей спеціально виділений у К. о. клас полів з нефлуктуюючою інтенсивністю генерується, напр., класично електричними зарядами, що рухаються. Когерентні поля наиб. просто описуються у т.з. Р(a)-подання Глаубера (див. Квантова когерентність).У цьому поданні
де
Вираз (**) може розглядатися як відповідний класич. вираз для g,у до-ром Р(a) вважається ф-цією розподілу комплексних амплітуд a класич. поля і для якого завжди Р(a)>0. Останнє призводить до умови g>1, т. е. до можливості класич. полях лише угруповання. Це пояснюється тим, що флуктуація інтенсивності класич. поля викликають одночасно однакову зміну фотовідліків обох фотодетекторах.
Р(a) == d 2 (a - a 0) = d d -
двовимірною d-ф-цією в комплексній площині a. Теплові класичні. поля характеризуються поклад. ф-цією (що і визначає групування в них). Для квантових полів Р(a) - ф-ція речова, але в кінцевій області аргументу а вона може приймати заперечення. значення, тоді вона є т.з. квазіімовірності. Статистика фотовідліків у полів із точно заданим числом N>1 фотонів у моді P n = d nN(d nN - Кронекера символ) є істотно некласичною. Для цього стану g = 1 - 1/N,що відповідає запереченням. кореляції: g- 1 <0. Такие случаи наз. в К. о. антигруппировкой фотонов, к-рую можно объяснить тем, что фотона одним из детекторов уменьшает вероятность фотоотсчёта в другом. Эффект антигруппировки наблюдается и в свете, резонансно рассеянном одним атомом. В этом случае регистрируемые кванты спонтанно рождаются в среднем через определ. интервалы времени и вероятность одноврем. рождения двух квантов равна нулю, что и даёт нулевую вероятность их одноврем. регистрации. многофотонные процессы. К. о. находит всё более широкую область применения. Так, напр., в связи с проектированием оптич. системы для регистрации гравитац. волн и постановкой т. н. невозмущающих оптич. экспериментов, в к-рых уровень флуктуации, в т. ч. квантовых, сводится к минимуму, внимание исследователей привлекают такие состояния поля, наз. "сжатыми", в к-рых флуктуации интересующей величины (подобной интенсивности или фазе идеально стабилизированного лазера) могут быть в принципе сведены до нуля.Літ.:Гл а у б е Р., Оптична когерентність і статистика фотонів, в кн.: Квантова оптика та квантова радіофізика, пров. з англ. та франц., М., 1966; Клаудер Д ж, Сударшан Е., Основи квантової оптики, пров. з англ., М. 1970; Періна Я., Когерентність світла, пров. з англ., М., 1974; Спектроскопія оптичного змішування та фотонів, за ред. Г, Каммінса, Е. Пайка, пров. з англ., М., 1978; Лишка Д. Н., Фотони і, М., 1980; Кросиньяні Би., Ді Порто П., Бертолотті М., Статистичні властивості розсіяного світла, пров. з англ., М., 1980. С. Г. Пржибельський.
Фізична енциклопедія. У 5-ти томах. - М: Радянська енциклопедія. Головний редактор О. М. Прохоров. 1988 .
Дивитись що таке "КВАНТОВА ОПТИКА" в інших словниках:
Розділ оптики, що вивчає статистичні властивості світлових полів (потоків фотонів) та квантові прояви цих властивостей у процесах взаємодії світла з речовиною. Великий Енциклопедичний словник
КВАНТОВА ОПТИКА- розділ теоретичної фізики, що вивчає мікроструктуру світлових полів та оптичні явища, що підтверджують квантову природу світла. Велика політехнічна енциклопедія
Квантовою оптикою називають розділ оптики, що займається вивченням явищ, у яких виявляються квантові властивості світла. До таких явищ відносяться: теплове випромінювання, фотоефект, ефект Комптону, ефект Рамана, фотохімічні процеси, … Вікіпедія
Розділ оптики, що вивчає статистичні властивості світлових полів (потоків фотонів) та квантові прояви цих властивостей у процесах взаємодії світла з речовиною. * * * КВАНТОВА ОПТИКА КВАНТОВА ОПТИКА, розділ оптики, що вивчає статистичні… Енциклопедичний словник
квантова оптика- kvantinė optika statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. quantum optics vok. Quantenoptik, f rus. квантова оптика f pranc. optique quantique, f … Fizikos terminų žodynas
Розділ оптики, що вивчає статистич. властивості світлових полів (потоків фотонів) та квантові прояви цих властивостей у процесах взаємодії світла з речовиною. Природознавство. Енциклопедичний словник
Має наступні підрозділи (список неповний): Квантова механіка Алгебраїчна квантова теорія Квантова теорія поля Квантова електродинаміка Квантова хромодинаміка Квантова термодинаміка Квантова гравітація Теорія суперструн Див.
ТЕПЛОВЕ ВИПРОМІНЕННЯ. КВАНТОВА ОПТИКА
Теплове випромінювання
Випромінювання тілами електромагнітних хвиль може здійснюватися за рахунок різних видів енергії. Найпоширенішим є теплове випромінювання, Т. е. Випускання електромагнітних хвиль за рахунок внутрішньої енергії тіла. Всі інші види випромінювання об'єднуються під загальною назвою «люмінесценція». Теплове випромінювання має місце за будь-якої температури, проте за невисоких температурах випромінюються майже електромагнітні хвилі інфрачервоного спектра.
Оточимо випромінююче тіло оболонкою, внутрішня поверхня якого відображає все випромінювання, що падає на неї. Повітря з оболонки видалено. Відбите оболонкою випромінювання частково чи повністю поглинається тілом. Отже, відбуватиметься безперервний обмін енергією між тілом і випромінюванням, що заповнює оболонку.
Рівноважний стан системи «тіло – випромінювання»відповідає умові, коли розподіл енергії між тілом та випромінюванням залишається незмінним для кожної довжини хвилі. Таке випромінювання прийнято називати рівноважним випромінюванням. Експериментальні дослідження показують, що єдиним видом випромінювання, яке може бути в рівновазі з випромінюючими тілами, є теплове випромінювання. Решта видів випромінювання виявляються нерівноважними. Здатність теплового випромінювання перебувати у рівновазі з випромінюючими тілами обумовлена тим, що його інтенсивність зростає у разі підвищення температури.
Припустимо, що рівновага між тілом та випромінюванням порушена і тіло випромінює енергію більшу, ніж поглинає. Тоді внутрішня енергія тіла зменшуватиметься, що призведе до зменшення температури. Це, у свою чергу, призведе до зменшення енергії, що випромінюється тілом. Якщо рівновага порушиться в інший бік, тобто випромінюваної енергії виявиться менше, ніж поглинається, температура тіла зростатиме доти, доки знову не встановиться рівновага.
З усіх видів випромінювання рівноважним може бути лише теплове випромінювання. До рівноважних станів і процесів застосовуються закони термодинаміки. Тому теплове випромінювання підпорядковується загальним закономірностям, які з принципів термодинаміки. До розгляду цих закономірностей ми перейдемо.
Формула Планка
У 1900 р. німецькому фізику Максу Планку вдалося знайти вид функції, що точно відповідає досвідченим даним. Для цього йому довелося зробити припущення, зовсім далеке від класичних уявлень, а саме, припустити, що електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів), пропорційних частоті випромінювання:
де n - Частота випромінювання; h- Коефіцієнт пропорційності, який отримав назву постійної Планка, h= 6.625×10-34 Дж×с; = h/2p =
= 1.05 × 10–34 Дж × с = 6.59 × 10-14 еВ × с; w = 2pn - кругова частота. При цьому, якщо випромінювання випускається квантами, то його енергія e nмає бути кратною цій величині:
Щільність розподілу радіаційних осциляторів була підрахована Планком класично. Згідно з розподілом Больцмана, кількість частинок N n, енергія кожної з яких дорівнює e n, визначається формулою
, n = 1, 2, 3… (4.2)
де А- Нормувальний множник; k- Постійна Больцмана. Використовуючи визначення середнього значення дискретних величин, отримуємо вираз для середньої енергії частинок, яке дорівнює відношенню повної енергії частинок до повного числа частинок:
де число частинок, що мають енергію . З урахуванням (4.1) та (4.2) вираз для середнього значення енергії частинок має вигляд
.
Наступні перетворення призводять до співвідношення
.
Таким чином, функція Кірхгофа, з урахуванням (3.4), має вигляд
. (4.3)
Формула (4.3) називається формулою Планка. Ця формула узгоджується з експериментальними даними у всьому інтервалі частот від 0 до . В області малих частот, згідно з правилами наближених обчислень, (): 
» і вираз (4.3) перетворюється на формулу Релея - Джинса.
Досвід Боте. Фотони
Щоб пояснити розподіл енергії у спектрі рівноважного теплового випромінювання, достатньо, як показав Планк, припустити, що світло випромінюється квантами. Для пояснення фотоефекту достатньо припустити, що світло поглинається такими ж порціями. Ейнштейн висунув гіпотезу, що світло поширюється у вигляді дискретних частинок, названих спочатку світловими квантами. Згодом ці частки отримали назву фотонів(1926). Гіпотезу Ейнштейна безпосередньо підтвердив досвід Боте (рис. 6.1).
Тонка металева фольга (Ф) містилася між двома газорозрядними лічильниками (Сч). Фольга висвітлювалася пучком рентгенівських променів з невеликою інтенсивністю, під впливом яких вона сама ставала джерелом рентгенівських променів.
Внаслідок малої інтенсивності первинного пучка кількість квантів, що випускаються фольгою, була невелика. При попаданні в лічильник рентгенівських променів запускався спеціальний механізм (М), що робив позначку на стрічці, що рухається (Л). Якби випромінювана енергія поширювалася рівномірно на всі боки, як це випливає з хвильових уявлень, обидва лічильники мали б спрацьовувати одночасно і позначки на стрічці припадали б одна проти іншої.
Насправді ж спостерігалося абсолютно безладне розташування позначок. Це можна пояснити лише тим, що в окремих актах випромінювання виникають світлові частки, що летять то одному, то іншому напрямку. Так було підтверджено існування спеціальних світлових частинок – фотонів.
Енергія фотона визначається його частотою
. (6.1)
Електромагнітна хвиля, як відомо, має імпульс. Відповідно, і фотон повинен мати імпульс ( p). Зі співвідношення (6.1) та загальних принципів відносності випливає, що
. (6.2)
Таке співвідношення між імпульсом та енергією можливе лише для часток з нульовою масою спокою, що рухаються зі швидкістю світла. Таким чином: 1) маса спокою фотона дорівнює нулю; 2) фотон рухається зі швидкістю світла. Сказане означає, що фотон є частинкою особливого роду, відмінну від таких частинок, як електрон, протон і т. п., які можуть існувати, рухаючись зі швидкостями, меншими з, і навіть спочиваючи. Виразивши в (6.2) частоту w через довжину хвилі l, отримаємо:
,
де – модуль хвильового вектора k. Фотон летить у напрямі поширення електромагнітної хвилі. Тому напрямки імпульсу рта хвильового вектора kзбігаються:
Нехай на повністю поглинаючу світло поверхняпадає потік фотонів, що летять нормалі до поверхні. Якщо концентрація фотонів дорівнює N, то на одиницю поверхні падає в одиницю часу Ncфотонів. При поглинанні кожен фотон повідомляє про стінку імпульс р = Е/з. Імпульс, що повідомляється в одиницю часу одиниці поверхні, тобто тиск Рсвітла на стінку
.
твір NЕодно енергії фотонів, укладених в одиниці об'єму, тобто щільності електромагнітної енергії w.Таким чином, тиск, що чиниться світлом на поверхню, що поглинає, дорівнює об'ємній щільності електромагнітної енергії P = w.
При відображенні від дзеркальної поверхніфотон повідомляє їй імпульс 2 р. Тому для абсолютно відображає поверхні P = 2w.
Ефект Комптону
Імпульс фотона занадто малий і не піддається прямому виміру. Однак при зіткненні фотона з вільним електроном величину імпульсу, що передається, вже можна виміряти. Процес розсіювання фотона на вільному електроні називається ефектом Комптону. Виведемо співвідношення, що зв'язує довжину хвилі розсіяного фотона з кутом розсіювання та довжиною хвилі фотона до зіткнення. Нехай фотон із імпульсом рта енергією Е = pcстикається з нерухомим електроном, енергія якого . Після зіткнення імпульс фотона дорівнює і направлений під кутом Q, як показано на рис. 8.1.
Імпульс електрона віддачі буде рівний, і повна релятивістська енергія. Тут ми використовуємо релятивістську механіку, оскільки швидкість електрона може досягати значень, близьких до швидкості світла.
Відповідно до закону збереження енергії 
або 
, перетворюється на вигляд
. (8.1)
Запишемо закон збереження імпульсу:
Звести (8.2) у квадрат: 
і віднімемо цей вираз з (8.1):
. (8.3)
Враховуючи, що релятивістська енергія 
, Можна показати, що права частина виразу (8.2) дорівнює . Тоді після перетворення імпульс фотона дорівнює
.
Переходячи до довжин хвиль p = = h/l, Dl = l - l¢, отримуємо:
,
або остаточно:
Величина називається комптонівською довжиною хвилі. Для електрона комптонівська довжина хвилі l c= 0.00243 Нм.
У своєму досвіді Комптон використав рентгенівське випромінювання з відомою довжиною хвилі та виявив, що у розсіяних фотонів довжина хвилі збільшується. На рис. 8.1 наведено результати експериментального дослідження розсіювання монохроматичного рентгенівського випромінювання на графіті. Перша крива (Q = 0 °) характеризує первинне випромінювання. Інші криві відносяться до різних кутів розсіювання Q, значення яких вказані на малюнку. По осі ординат відкладено інтенсивність випромінювання, по осі абсцис довжина хвилі. На всіх графіках є незміщений компонент випромінювання (лівий пік). Його наявність пояснюється розсіюванням первинного випромінювання пов'язаних електронах атома.
Ефект Комптона і зовнішній фотоефект підтвердили гіпотезу про квантову природу світла, тобто світло дійсно поводиться так, якби він складався з частинок, енергія яких h n та імпульс h/l. Разом про те, явища інтерференції і дифракції світла можна пояснити з позиції хвильової природи. Обидва ці підходи зараз є взаємодоповнюючими один одного.
Принцип невизначеності
У класичній механіці стан матеріальної точки визначається завданням значень координат та імпульсу. Своєрідність властивостей мікрочастинок в тому, що не всім змінних при вимірах виходять певні значення. Так, наприклад, електрон (і будь-яка інша мікрочастка) не може мати одночасно точних значень координати хта компоненти імпульсу. Невизначеності значень хі задовольняють співвідношення
. (11.1)
З (11.1) випливає, що чим менше невизначеність однієї зі змінних ( хабо ), тим більша невизначеність іншої. Можливий такий стан, коли одна зі змінних має точне значення, а інша змінна при цьому виявляється абсолютно невизначеною.
Співвідношення, аналогічне (11.1), має місце для уі , zі , а також для інших пар величин (такі пари величин називаються канонічно пов'язаними). Позначивши канонічно пов'язані величини літерами Аі В, можна написати
. (11.2)
Співвідношення (11.2) називається принципом невизначеності для величин Аі В. Це співвідношення сформулював У. Гейзенберг 1927 р. Твердження у тому, що Добуток невизначеностей значень двох канонічно пов'язаних змінних не може бути по порядку величини меншою за постійну Планку,називається принципом невизначеності .
Енергія та час також є канонічно сполученими величинами
Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю D Емає зайняти інтервал часу, що дорівнює щонайменше .
Співвідношення невизначеності можна проілюструвати таким прикладом. Спробуємо визначити значення координати хмікрочастки, що вільно летить, поставивши на її шляху щілину шириною D х, розташовану перпендикулярно до руху частки.
До проходження частки через щілину її складова імпульсу має точне значення, що дорівнює нулю (щілина за умовою перпендикулярна до напрямку імпульсу), так що , зате координата хчастинки є абсолютно невизначеною (рис. 11.1).
У момент проходження частки через щілину положення змінюється. Замість повної невизначеності координати хз'являється невизначеність D х,але це досягається ціною втрати визначеності значення. Дійсно, внаслідок дифракції є певна ймовірність того, що частка буде рухатися в межах кута 2j, де j – кут, що відповідає першому дифракційному максимуму (максимумами вищих порядків можна знехтувати, оскільки їхня інтенсивність мала порівняно з інтенсивністю центрального максимуму). Таким чином, з'являється невизначеність
.
Краї центрального дифракційного максимуму (першому мінімуму), що отримується від щілини шириною D хвідповідає кут j, для якого
Отже, 
, і отримуємо
.
Рух траєкторією характеризується цілком певними значеннями координат і швидкості в кожний момент часу. Підставивши в (11.1) замість твір , отримаємо співвідношення
.
Очевидно, що чим більша маса частинки, тим менше невизначеності її координати та швидкості і, отже, з тим більшою точністю застосовується поняття траєкторії. Вже для макрочастинки розміром 1 мкм невизначеності значень хі виявляються за межами точності вимірювання цих величин, так що її рух практично не відрізняється від руху по траєкторії.
Принцип невизначеності одна із фундаментальних положень квантової механіки.
Рівняння Шредінгера
У розвиток ідеї де-Бройля про хвильові властивості речовини австрійський фізик Е. Шредінгер отримав у 1926 р. рівняння, назване згодом його ім'ям. У квантовій механіці рівняння Шредінгера грає таку ж фундаментальну роль, як закони Ньютона у класичній механіці та рівняння Максвелла у класичній теорії електромагнетизму. Воно дозволяє знайти вид хвильової функції частинок, що рухаються у різних силових полях. Вид хвильової функції або Y-функції виходить із рішення рівняння, яке виглядає так
Тут m- Маса частки; i- Уявна одиниця; D – оператор Лапласа, результат дії якого на деяку функцію є сумою других похідних за координатами
Буквою Uу рівнянні (12.1) позначено функцію координат та часу, градієнт якої, взятий зі зворотним знаком, визначає силу, що діє на частинку.
Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки. Воно може бути виведено з інших рівнянь.Якщо силове поле, в якому рухається частка, стаціонарне (тобто постійно в часі), то функція Uне залежить від часу та має сенс потенційної енергії. У цьому випадку рішення рівняння Шредінгера складається з двох множників, один з яких залежить лише від координат, інший – лише від часу
Тут Е- Повна енергія частки, яка у разі стаціонарного поля залишається постійною; - Координальна частина хвильової функції. Щоб переконатися у справедливості (12.2), підставимо його у (12.1):
В результаті отримаємо
Рівняння (12.3) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів.Надалі ми матимемо справу тільки з цим рівнянням і для стислості називатимемо його просто рівнянням Шредінгера. Рівняння (12.3) часто записують як
У квантової механіки велику роль грає поняття оператора. Під оператором мається на увазі правило, з якого однієї функції, позначимо її зіставляється інша функція, позначимо її f. Символічно це записується в такий спосіб
тут – символічне позначення оператора (можна було взяти будь-яку іншу літеру з «капелюшком» над нею, наприклад тощо). У формулі (12.1) роль грає D, роль – функція , а роль f- Права частина формули. Наприклад, символ D означає дворазове диференціювання за трьома координатами, х,у,z, з наступним підсумовуванням отриманих виразів. Оператор може, зокрема, бути множенням вихідної функції на деяку функцію U. Тоді , Отже, . Якщо розглядати функцію Uу рівнянні (12.3) як оператор, дія якого на Y-функцію зводиться до множення на U, то рівняння (12.3) можна записати так:
У цьому рівнянні символом позначений оператор, що дорівнює сумі операторів та U:
.
Оператор називають гамільтоніаном (або оператором Гамільтона).Гамільтоніан є оператором енергії Е. У квантовій механіці іншим фізичним величинам також можна порівняти оператори. Відповідно, розглядаються оператори координат, імпульсу, моменту імпульсу тощо. буд. Для кожної фізичної величини складається рівняння, аналогічне (12.4). Воно має вигляд
де – оператор, який можна порівняти g. Так, наприклад, оператор імпульсу визначається співвідношенням
; 
; 
,
або у векторному вигляді, де Ñ – градієнт.
У розд. 10 ми вже обговорювали фізичний сенс Y-функції: квадрат модуля Y -функції (хвильової функції) визначає ймовірність dP того, що частка буде виявлена в межах обсягу dV:
, (12.5)
Оскільки квадрат модуля хвильової функції дорівнює добутку хвильової функції на комплексно пов'язану величину, то
.
Тоді ймовірність виявлення частки обсягом V
.
Для одновимірного випадку
.
Інтеграл від виразу (12.5), взятий по всьому простору від до , дорівнює одиниці:
Справді, цей інтеграл дає можливість того, що частка знаходиться в одній з точок простору, тобто можливість достовірної події, яка дорівнює 1.
У квантовій механіці приймається, що хвильова функція допускає множення на відмінне від нуля довільне комплексне число З, причому і З Y описують один і той же стан частинки. Це дозволяє вибрати хвильову функцію так, щоб вона задовольняла умові
Умова (12.6) називається умовою нормування. Функції, що задовольняють цій умові, називаються нормованими. Надалі ми завжди будемо вважати, що Y-функції, що розглядаються, є нормованими. У разі стаціонарного силового поля справедливе співвідношення
тобто щільність ймовірності хвильової функції дорівнює густини ймовірності координатної частини хвильової функції і від часу не залежить.
Властивості Y -функції: вона повинна бути однозначною, безперервною і кінцевою (за винятком, можливо, особливих точок) і мати безперервну і кінцеву похідну.Сукупність перерахованих вимог має назву стандартних умов.
До рівняння Шредінгера як параметр входить повна енергія частки Е. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння виду мають рішення, задовольняють стандартним умовам, не за будь-яких, лише за деяких певних значеннях параметра (т. е. енергії Е). Ці значення називаються власними значеннями. Рішення, що відповідають власним значенням, називаються власними функціями. Знаходження власних значень та власних функцій, як правило, є дуже важким математичним завданням. Розглянемо деякі найпростіші окремі випадки.
Частка в потенційній ямі
Знайдемо власні значення енергії та відповідні їм власні хвильові функції для частки, що знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенційній ямі (рис. 13.1, а). Припустимо, що частка
може рухатися лише вздовж осі х. Нехай рух обмежений непроникними частинки стінками: х= 0 і х = l. Потенціальна енергія U= 0 всередині ями (при 0 £ х £ l) і поза ями (при х < 0 и х > l).
Розглянемо стаціонарне рівняння Шредінгера. Оскільки Y-функція залежить лише від координати х, то рівняння має вигляд
За межі потенційної ями частка потрапити не може. Тому ймовірність виявлення частки поза ями дорівнює нулю. Отже, і функція y поза ями дорівнює нулю. З умови безперервності слід, що y має дорівнювати нулю і межах ями, тобто.
. (13.2)
Цій умові повинні задовольняти рішення рівняння (13.1).
В області II (0 £ х £ l), де U= 0 рівняння (13.1) має вигляд
Використовуючи позначення 
, прийдемо до відомого з теорії коливань хвильового рівняння
.
Рішення такого рівняння має вигляд
Умову (14.2) можна задовольнити відповідним вибором постійних kта a. З рівності отримуємо 
Þ a = 0.
(n = 1, 2, 3, ...), (13.4)
n= 0 виключено, оскільки при цьому є 0, тобто ймовірність виявлення частки в ямі дорівнює нулю.
З (13.4) отримуємо 
(n= 1, 2, 3, ...), отже,
(n = 1, 2, 3, ...).
Таким чином, отримуємо, що енергія частинки в потенційній ямі може приймати тільки дискретні значення. На рис.13.1, бзображено схему енергетичних рівнів частинки в потенційній ямі. На цьому прикладі реалізується загальне правило квантової механіки: якщо частка локалізована в обмеженій області простору, то спектр значень енергії частки дискретний, за відсутності локалізації спектр енергії безперервний.
Підставимо значення kз умови (13.4) до (13.3) та отримаємо
Для знаходження константи аскористаємося умовою нормування, яка в даному випадку має вигляд
.
На кінцях проміжку інтегрування підінтегральна функція перетворюється на нуль. Тому значення інтеграла можна отримати, помноживши середнє значення (рівне, як відомо, 1/2) на довжину проміжку. Отже, отримуємо . Остаточно власні хвильові функції мають вигляд
(n = 1, 2, 3, ...).
Графіки власних значень функцій за різних nзображені на рис. 13.2. На цьому ж малюнку показана щільність імовірності yy * виявлення частки на різних відстанях від стінок ями.
Графіки показують, що в стані n= 2 частка не може бути виявлена в середині ями і водночас однаково часто буває як у лівій, так і у правій половині ями. Така поведінка частки несумісна з уявленням про траєкторію. Зазначимо, що, згідно з класичними уявленнями, всі положення частки в ямі рівноймовірні.
Рух вільної частки
Розглянемо рух вільної частки. Повна енергія Ечастинки, що рухається, дорівнює кінетичній енергії (потенційна енергія U= 0). Рівняння Шредінгера для стаціонарного стану (12.3) має у цьому випадку рішення
ставить поведінку вільної частки. Таким чином, вільна частка в квантовій механіці описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля з хвильовим числом
.
Імовірність виявити частинку в будь-якій точці простору знайдемо як
,
тобто. ймовірність виявити частинку вздовж осі х скрізь постійна.
Таким чином, якщо імпульс частинки має певне значення, то вона відповідно до принципу невизначеності з рівною ймовірністю може знаходитися в будь-якій точці простору. Інакше кажучи, якщо імпульс частинки точно відомий, ми нічого не знаємо про її місцезнаходження.
У процесі вимірювання координати частка локалізується вимірювальним приладом, тому область визначення хвильової функції (17.1) для вільної частки обмежується відрізком х.Плоскую хвилю не можна вважати монохроматичної, має одне певне значення довжини хвилі (імпульсу).
Гармонійний осцилятор
На закінчення розглянемо завдання про коливання квантового гармонійного осцилятора. Таким осцилятором є частинки, що здійснюють малі коливання біля положення рівноваги.
На рис. 18.1, азображено класичний гармонічний осцилятору вигляді кульки масою m, підвішеного на пружині з коефіцієнтом жорсткості k. Сила, що діє на кульку та відповідальна за її коливання, пов'язана з координатою хформулою. Потенційна енергія кульки є
.
Якщо кульку вивести з положення рівноваги, він робить коливання з частотою . Залежність потенційної енергії від координати хпоказано на рис. 18.1, б.
Шредінгера для гармонічного осцилятора має вигляд
Вирішення цього рівняння призводить до квантування енергії осцилятора. Власні значення енергії осцилятора визначаються виразом
Як і у випадку потенційної ями з нескінченно високими стінками, мінімальна енергія осцилятора відрізняється від нуля. Найменше можливе значення енергії при n= 0 називають енергією нульових коливань. Для класичного гармонійного осцилятора у точці з координатою x= 0 енергія дорівнює нулю. Існування енергії нульових коливань підтверджується експериментами з вивчення розсіювання світла кристалами за низьких температур. Спектр енергій частки виявляється еквідистантним, Т. е. відстань між рівнями енергії і енергії коливань класичного осцилятора є точка повороту частки при коливаннях, тобто. 
.
Графік «класичної» густини ймовірності зображений на рис. 18.3 пунктирною кривою. Видно, що, як і у випадку потенційної ями, поведінка квантового осцилятора істотно відрізняється від класичного поведінки.
Імовірність для класичного осцилятора завжди максимальна поблизу точок повороту, а для квантового осцилятора ймовірність максимальна в своїх власних Y-функцій. До того ж квантова можливість виявляється відмінною від нуля і за точками повороту, що обмежують рух класичного осцилятора.
На прикладі квантового осцилятора знову простежується згадуваний раніше принцип відповідності. На рис. 18.3 зображено графіки для класичної та квантової щільностей ймовірності при великому квантовому числі n. Добре видно, що усереднення квантової кривої призводить до класичного результату.
Зміст
ТЕПЛОВЕ ВИПРОМІНЕННЯ. КВАНТОВА ОПТИКА
1. Теплове випромінювання.............................................. ....................................... 3
2. Закон Кірхгофа. Абсолютно чорне тіло............................................. 4
3. Закон Стефана – Больцмана та закон Вина. Формула Релея – Джинса. 6
4. Формула Планка.............................................. ....................................... 8
5. Явище зовнішнього фотоефекту............................................. ............... 10
6. Досвід Боте. Фотони................................................. .............................. 12
7. Випромінювання Вавилова - Черенкова ............................................ ............ 14
8. Ефект Комптона.............................................. .................................... 17
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ
9. Гіпотеза де Бройля. Досвід Девіссона і Джермера.................. 19
10. Імовірнісний характер хвиль де Бройля. Хвильова функція......... 21
11. Принцип невизначеності.............................................. .................. 24
12. Рівняння Шредінгера.............................................. ......................... 26
Вступ
1. Виникнення вчення про кванти
Фотоефект та його закони
1 Закони фотоефекту
3. Закон Кірхгофа
4. Закони Стефана-Больцмана та усунення Вина
Формули Релея - Джинса та Планка
Ейнштейн для фотоефекту
Фотон, його енергія та імпульс
Застосування фотоефекту у техніці
Тиск світла. Досліди П.Н.Лебедєва
Хімічна дія світла та його застосування
Корпускулярно-хвильовий дуалізм
Висновок
Список літератури
Вступ
Оптика - розділ фізики, в якому вивчається природа оптичного випромінювання (світла), його поширення та явища, що спостерігаються при взаємодії світла та речовини. За традицією оптику прийнято поділяти на геометричну, фізичну та фізіологічну. Ми розглянемо квантову оптику.
Квантовою оптикою називають розділ оптики, що займається вивченням явищ, у яких виявляються квантові властивості світла. До таких явищ відносяться: теплове випромінювання, фотоефект, ефект Комптона, ефект Рамана, фотохімічні процеси, вимушене випромінювання (і, відповідно, фізика лазерів) та ін. Квантова оптика є більш загальною теорією, ніж класична оптика. Основна проблема, що стосується квантової оптики - опис взаємодії світла з речовиною з урахуванням квантової природи об'єктів, а також опису поширення світла в специфічних умовах. Для того, щоб точно вирішити ці завдання, потрібно описувати і речовину (середу поширення, включаючи вакуум) і світло виключно з квантових позицій, проте часто вдаються до спрощень: одну з компонентів системи (світло або речовина) описують як класичний об'єкт. Наприклад, часто при розрахунках пов'язаних з лазерними середовищами квантують тільки стан активного середовища, а резонатор вважають класичним, проте якщо довжина резонатора буде порядку довжини хвилі, то його вже не можна вважати класичною, і поведінка атома в збудженому стані поміщеного в такий резонатор буде набагато складнішою.
1. Виникнення вчення про кванти
Теоретичні дослідження Дж. Максвелла показали, що світло є електромагнітними хвилями певного діапазону. Теорія Максвелла отримала експериментальне підтвердження у дослідах Г. Герца. З теорії Максвелла випливало, що світло, падаючи на будь-яке тіло, чинить на нього тиск. Цей тиск вдалося виявити П. М. Лебедєву. Досліди Лебедєва підтвердили електромагнітну теорію світла. Згідно з роботами Максвелла, показник заломлення речовини визначається формулою n=εμ
−−√, тобто. пов'язаний з електричними та магнітними властивостями цієї речовини ( ε
і μ
- відповідно відносні діелектрична та магнітна проникності речовини). Але таке явище, як дисперсія (залежність показника заломлення від довжини світлової хвилі), теорія Максвелла пояснити не змогла. Це було зроблено Х. Лоренцем, який створив електронну теорію взаємодії світла з речовиною. Лоренц припустив, що електрони під дією електричного поля електромагнітної хвилі здійснюють вимушені коливання з частотою v, яка дорівнює частоті електромагнітної хвилі, а діелектрична проникність речовини залежить від частоти змін електромагнітного поля, отже, і n=f(v). Проте щодо спектра випромінювання абсолютно чорного тіла, тобто. тіла, яке поглинає всі випромінювання будь-якої частоти, що падають на нього, фізика не змогла в рамках електромагнітної теорії пояснити розподіл енергії по довжинах хвиль. Розбіжність між теоретичною (пунктирною) та експериментальною (суцільною) кривими розподілу щільності потужності випромінювання в спектрі абсолютно чорного тіла (рис. 19.1), тобто. Відмінність між теорією та досвідом, була така значна, що його назвали "ультрафіолетовою катастрофою" Електромагнітна теорія не могла також пояснити виникнення лінійних спектрів газів і закони фотоефекту. Рис. 1.1 Нова теорія світла була висунута М. Планком у 1900 р. Згідно з гіпотезою М. Планка, електрони атомів випромінюють світло не безперервно, а окремими порціями – квантами. Енергія кванта Wпропорційна частоті коливань ν
:
W=hν,
де h- Коефіцієнт пропорційності, званий постійною Планкою: h=6,62⋅10-34 Дж з Оскільки випромінювання випромінюється порціями, то енергія атома чи молекули (осцилятора) може приймати лише певний дискретний ряд значень, кратних цілої кількості електронних порцій ω
, тобто. бути рівною hν,2hν,3hνі т.д. Немає коливань, енергія яких має проміжне значення між двома послідовними цілими числами, кратними hν. Це означає, що на атомно-молекулярному рівні коливання відбуваються не з будь-якими значеннями амплітуд. Допустимі значення амплітуд визначаються частотою коливань. Використовуючи це і статистичні методи, М. Планк зумів отримати формулу розподілу енергії у спектрі випромінювання, що відповідає експериментальним даним (див. рис. 1.1). Квантові уявлення про світло, введені в науку Планком, розвинув далі А. Ейнштейн. Він дійшов висновку, що світло не лише випромінюється, а й поширюється у просторі, і поглинається речовиною у вигляді квантів. Квантова теорія світла допомогла пояснити ряд явищ, що спостерігаються при взаємодії світла з речовиною. 2. Фотоефект та його закони Фотоефект виникає при взаємодії речовини з електромагнітним випромінюванням, що поглинається. Розрізняють зовнішній та внутрішній фотоефект. Зовнішній фотоефектназивається явище виривання електронів із речовини під впливом падаючого нею світла. Внутрішнім фотоефектомназивається явище збільшення концентрації носіїв заряду в речовині, отже, і збільшення електропровідності речовини під впливом світла. Приватним випадком внутрішнього фотоефекту є вентильний фотоефект - явище виникнення під дією світла електрорушійної сили в контакті двох різних напівпровідників або напівпровідника та металу. Зовнішній фотоефект було відкрито 1887 р. Г. Герцем, а досліджено детально 1888-1890 гг. А. Г. Столетовим. У дослідах з електромагнітними хвилями Г. Герц зауважив, що проскакування іскри між цинковими кульками розрядника відбувається за меншої різниці потенціалів, якщо один з них висвітлити ультрафіолетовими променями. При дослідженні цього явища Столетовим використовувався плоский конденсатор, одна із пластин якого (цинкова) була суцільною, а друга – виконана у вигляді металевої сітки (рис. 1.2). Суцільна пластина з'єднувалася з негативним полюсом джерела струму, а сітчаста – з позитивним. Внутрішня поверхня негативно зарядженої пластини конденсатора освітлювалася світлом від електричної дуги, спектральний склад якої входять ультрафіолетові промені. Поки конденсатор не висвітлювався, струму в ланцюзі не було. При освітленні цинкової пластини Доультрафіолетовими променями гальванометр Gфіксував наявність струму в ланцюзі. У тому випадку, якщо катодом ставала сітка А,струму в ланцюзі не було. Отже, цинкова пластина під впливом світла випромінювала негативно заряджені частки. До моменту виявлення фотоефекту ще не було нічого відомо про електрони, відкриті Дж. Томсоном лише через 10 років, у 1897 р. Після відкриття електрона Ф. Ленардом було доведено, що негативними зарядженими частинками, що вилітають під дією світла, є електрони, названі фотоелектронами.
Рис. 1.2 Столетов проводив досліди з катодами з різних металів на установці, схема якої показано малюнку 1.3. Рис. 1.3 У скляний балон, з якого викачали повітря, впаювалися два електроди. Всередину балона через кварцове "віконце", прозоре для ультрафіолетового випромінювання, потрапляє світло на катод К. Напруга, що подається на електроди, можна змінювати за допомогою потенціометра і вимірювати вольтметром V.Під впливом світла катод випускав електрони, які замикали ланцюг між електродами, і амперметр фіксував наявність струму ланцюга. Вимірявши струм і напругу, можна побудувати графік залежності сили фотоструму від напруги між електродами I=I(U) (рис. 1.4). З графіка випливає, що: За відсутності напруги між електродами фотострумів відмінний від нуля, що можна пояснити наявністю у фотоелектронів при вильоті кінетичної енергії. При певному значенні напруги між електродами UHсила фотоструму перестає залежати від напруження, тобто. досягає насичення IH.
Рис. 1.4 Сила фотоструму насичення IH=qmaxt, де qmax- максимальний заряд, який переноситься фотоелектронами. Він дорівнює qmax=net, де n- число фотоелектронів, що вилітають з поверхні металу, що висвітлюється за 1 с, e- Заряд електрона. Отже, при фотоструму насичення всі електрони, що залишили за 1 поверхню металу, за цей же час потрапляють на анод. Тому за силою фотоструму насичення можна судити про кількість фотоелектронів, що вилітають із катода в одиницю часу. Якщо катод з'єднати з позитивним полюсом джерела струму, а анод - з негативним, то електростатичному полі між електродами фотоелектрони будуть гальмуватися, а сила фотоструму зменшуватися при збільшенні значення цієї негативної напруги. При певному значенні негативної напруги U3 (його називають напругою, що затримує) фотострум припиняється. Відповідно до теореми про кінетичну енергію, робота затримуючого електричного поля дорівнює зміні кінетичної енергії фотоелектронів: A3=−eU3;Δ Wk=mυ2max2,
eU3=mυ2max2.
Цей вираз отримано за умови, що швидкість υ
≪c, де з- швидкість світла. Отже, знаючи U3 можна знайти максимальну кінетичну енергію фотоелектронів. На малюнку 1.5, анаведено графіки залежності Iф(U)для різних світлових потоків, що падають на фотокатод за постійної частоти світла. На малюнку 1.5 б наведені графіки залежності Iф(U)для постійного світлового потоку та різних частот падаючого на катод світла. Рис. 1.5 Аналіз графіків малюнку 1.5, а показує, що сила фотоструму насичення збільшується зі збільшенням інтенсивності падаючого світла. Якщо за цими даними побудувати графік залежності сили струму насичення від інтенсивності світла, отримаємо пряму, яка проходить через початок координат (рис. 1.5, в). Отже, сила фотона насичення пропорційна інтенсивності світла, що падає на катод If∼ I.
Як випливає з графіків малюнку 1.5, бзменшенні частоти падаючого світла , величина напруги, що затримує, збільшується зі збільшенням частоти падаючого світла. При U3 зменшується, і при деякій частоті ν
0 затримуюча напруга U30 = 0. При ν
<ν
0 Фотоефект не спостерігається. Мінімальна частота ν
0(максимальна довжина хвилі) λ
0) падаючого світла, при якій ще можливий фотоефект, називається червоний кордон фотоефекту.На підставі даних графіка 1.5 бможна побудувати графік залежності U3(ν
) (рис. 1.5, г).
На підставі цих експериментальних даних було сформульовано закони фотоефекту. 1 Закони фотоефекту 1.
Число фотоелектронів, що вириваються за 1с. з поверхні катода, пропорційно інтенсивності світла, що падає на цю речовину. 2.
Кінетична енергія фотоелектронів залежить від інтенсивності падаючого світла, а залежить лінійно з його частоти. 3.
Червона межа фотоефекту залежить від роду речовини катода. 4.
Фотоефект практично безінерційний, тому що з моменту опромінення металу світлом до вильоту електронів проходить час ≈10-9 с. 3. Закон Кірхгофа Кірхгоф, спираючись на другий закон термодинаміки та аналізуючи умови рівноважного випромінювання в ізольованій системі тіл, встановив кількісний зв'язок між спектральною щільністю енергетичної світності та спектральною поглинальною здатністю тіл. Ставлення спектральної щільності енергетичної світності до спектральної поглинальної здатності залежить від природи тіла; воно є для всіх тіл універсальною функцією частоти (довжини хвилі) та температури (закон Кірхгофа): Для чорного тіла , тому із закону Кірхгофа випливає, що R,Tдля чорного тіла дорівнює r,T. Таким чином, універсальна функція Кірхгофа r,Tє не що інше, як спектральна щільність енергетичної світності чорного тілаОтже, згідно із законом Кірхгофа, для всіх тіл відношення спектральної щільності енергетичної світності до спектральної поглинальної здатності дорівнює спектральній щільності енергетичної світності чорного тіла. при тій же температурі та частоті.
Використовуючи закон Кірхгофа, вираз для енергетичної світності тіла (3.2) можна записати як Для сірого тіла (3.2)
Енергетично світність чорного тіла (залежить лише від температури). Закон Кірхгофа визначає лише теплове випромінювання, будучи настільки характерним для нього, що може бути надійним критерієм для визначення природи випромінювання. Випромінювання, яке закону Кірхгофа не підпорядковується, не є тепловим. 4. Закони Стефана-Больцмана та усунення Вина З закону Кірхгофа (див. (4.1)) випливає, що спектральна щільність енергетичної світності чорного тіла є універсальною функцією, тому знаходження її явної залежності від частоти та температури є важливим завданням теорії теплового випромінювання. Австрійський фізик І. Стефан (1835-1893), аналізуючи експериментальні дані (1879), та Л. Больцман, застосовуючи термодинамічний метод (1884), вирішили це завдання лише частково, встановивши залежність енергетичної світності Reвід температури. Відповідно до закону Стефана - Больцмана, тобто. енергетична світність чорного тіла пропорційна четвертому ступені його термодинамічної температури; -
постійна Стефана – Больцмана: її експериментальне значення дорівнює 5,6710 -8Вт/(м 2 До 4). Закон Стефана – Больцмана, визначаючи залежність Rевід температури, що не дає відповіді щодо спектрального складу випромінювання чорного тіла. З експериментальних кривих залежності функції r,Tвід довжини хвилі
за різних температур (рис. 287) слід, що розподіл енергії у спектрі чорного тіла є нерівномірним. Всі криві мають явно виражений максимум, який у міру підвищення температури зміщується у бік коротших хвиль. Площа, обмежена кривою залежності r,Tвід
і віссю абсцис, пропорційна енергетичній світності Reчорного тіла і, отже, за законом Стефана – Больцмана, четвертого ступеня температури. Німецький фізик В. Він (1864-1928), спираючись на закони термо- та електродинаміки, встановив залежність довжини хвилі
max , що відповідає максимуму функції r,T,
від температури Т.Відповідно до закону усунення Вина, (199.2)
тобто довжина хвилі
max , що відповідає максимальному значенню спектральної щільності енергетичної світності r,Tчорного тіла, обернено пропорційна його термодинамічній температурі, b -постійна вина; її експериментальне значення дорівнює 2,910 -3мК. Вираз (199.2) тому називають законом усуненняВина, що воно показує усунення положення максимуму функції r,Tу міру зростання температури в область коротких довжин хвиль. Закон Вина пояснює, чому при зниженні температури нагрітих тіл у їхньому спектрі все сильніше переважає довгохвильове випромінювання (наприклад, перехід білого гартування в червоне при остиганні металу). 5. Формули Релея - Джинса та Планка З розгляду законів Стефана - Больцмана та Вина випливає, що термодинамічний підхід до вирішення задачі про знаходження універсальної функції Кірхгофа r,Tне дав бажаних результатів. Наступна жорстка спроба теоретичного висновку залежності r,Tналежить англійським ученим Д. Релею та Д. Джинсу (1877-1946), які застосували до теплового випромінювання методи статистичної фізики, скориставшись класичним законом рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи. Формула Релея -
Джинса для спектральної щільності енергетичної світності чорного тіла має вигляд (200.1)
де
= kT- середня енергія осцилятора із власною частотою
. Для осцилятора, що здійснює коливання, середні значення кінетичної та потенційної енергії однакові, тому середня енергія кожного коливального ступеня свободи
= kT.
Як показав досвід, вираз (200.1) узгоджується з експериментальними даними тількив області досить малих частот та високих температур. В області великих частот формула Релея - Джинса різко розходиться з експериментом, а також із законом усунення Вина (рис. 288). Крім того, виявилося, що спроба отримати закон Стефана – Больцмана (див. (199.1)) із формули Релея – Джинса призводить до абсурду. Дійсно, обчислена з використанням (200.1) енергетична світність чорного тіла (див. (198.3)) тоді як за законом Стефана - Больцмана Rепропорційна четвертому ступені температури. Цей результат отримав назву "ультрафіолетової катастрофи". Таким чином, у рамках класичної фізики не вдалося пояснити закони розподілу енергії у спектрі чорного тіла. В області великих частот хорошу згоду з досвідом дає формула Вина (закон випромінювання Вина), отримана ним із загальних теоретичних міркувань: де r,T- спектральна щільність енергетичної світності чорного тіла, Зі А -постійні величини. У сучасних позначеннях з використанням постійної Планки, яка в той час ще не була відома, закон випромінювання Вина може бути записаний у вигляді Правильне, що узгоджується з досвідченими даними вираз спектральної щільності енергетичної світності чорного тіла було знайдено 1900 р. німецьким фізиком М. Планком. Для цього йому довелося відмовитися від становища класичної фізики, згідно з яким енергія будь-якої системи може змінюватися безперервно,тобто може приймати будь-які скільки завгодно близькі значення. Відповідно до висунутої Планком квантової гіпотези, атомні осцилятори випромінюють енергію не безперервно, а певними порціями - квантами, причому енергія кванта пропорційна частоті коливання (див. (170.3)): (200.2)
де h= 6,62510-34Джс – постійна Планка. Оскільки випромінювання випускається порціями, то енергія осцилятора
може приймати лише певні дискретні значення,кратні цілому числу елементарних порцій енергії
0:
У цьому випадку середню енергію
осцилятора не можна приймати рівною kT.У наближенні, що розподіл осциляторів за можливими дискретними станами підпорядковується розподілу Больцмана, середня енергія осцилятора а спектральна щільність енергетичної світності чорного тіла Таким чином, Планк вивів для універсальної функції Кірхгофа формулу (200.3)
яка блискуче узгоджується з експериментальними даними щодо розподілу енергії у спектрах випромінювання чорного тіла у всьому інтервалі частот та температур.Теоретичний висновок цієї формули М. Планк виклав 14 грудня 1900 на засіданні Німецького фізичного товариства. Це свято стало датою народження квантової фізики. В області малих частот, тобто при h<<kT(Енергія кванта дуже мала в порівнянні з енергією теплового руху kT), формула Планка (200.3) збігається з формулою Релея – Джинса (200.1). Для підтвердження цього розкладемо експоненційну функцію в ряд, обмежившись для даного випадку двома першими членами: Підставляючи останній вираз у формулу Планка (200.3), знайдемо, що тобто отримали формулу Релея – Джинса (200.1). З формули Планка можна отримати закон Стефана – Больцмана. Згідно (198.3) та (200.3), Введемо безрозмірну змінну x=h/(kt); d x=hd
/(k T); d=kTd x/h.Формула для Reперетворюється на вигляд (200.4)
де так як Таким чином, дійсно формула Планка дозволяє отримати закон Стефана – Больцмана (пор. формули (199.1) та (200.4)). Крім того, підстановка числових значень k, зі hдає для постійної Стефана - Больцмана значення, що добре узгоджується з експериментальними даними. Закон усунення Вина отримаємо за допомогою формул (197.1) та (200.3): Звідки Значення
max , У якому функція досягає максимуму, знайдемо, прирівнявши нулю цю похідну. Тоді, ввівши x=hc/(kTmax ), отримаємо рівняння Вирішення цього трансцендентного рівняння методом послідовних наближень дає x=4,965. Отже, hc/(kTmax )=4,965, звідки тобто отримали закон усунення Вина (див. (199.2)). З формули Планка, знаючи універсальні постійні h, kі с,можна вирахувати постійні Стефана – Больцмана
та Вина b.З іншого боку, знаючи експериментальні значення
і b,можна обчислити значення hі k(саме так і було вперше знайдено числове значення постійної Планки). Таким чином, формула Планка не тільки добре узгоджується з експериментальними даними, але й містить приватні закони теплового випромінювання, а також дозволяє обчислити постійні в законах теплового випромінювання. Отже, формула Планка є повним вирішенням основного завдання теплового випромінювання, поставленого Кірхгофом. Її рішення стало можливим лише завдяки революційній квантовій гіпотезі Планка. 6. Рівняння Ейнштейна для фотоефекту Спробуємо пояснити експериментальні закони фотоефекту, використовуючи електромагнітну теорію Максвелла. Електромагнітна хвиля змушує електрони здійснювати електромагнітні коливання. При постійній амплітуді вектора напруженості електричного поля кількість енергії, отриманої в процесі електроном, пропорційно частоті хвилі і часу "розгойдування". У цьому випадку енергію, рівну роботі виходу, електрон повинен отримати за будь-якої частоти хвилі, але це суперечить третьому експериментальному закону фотоефекту. При збільшенні частоти електромагнітної хвилі більше енергії за одиницю часу передається електронам, і фотоелектрони мають вилітати у більшій кількості, а це суперечить першому експериментальному закону. Отже, ці факти пояснити у межах електромагнітної теорії Максвелла було неможливо. У 1905 р. пояснення явища фотоефекту А. Ейнштейн використовував квантові ставлення до світлі, запроваджені 1900 р. Планком, і застосував їх до поглинання світла речовиною. Монохроматичне світлове випромінювання, що падає на метал, складається з фотонів. Фотон - це елементарна частка, що має енергію W0=hν.Електрони поверхневого шару металу поглинають енергію цих фотонів, при цьому один електрон поглинає повністю енергію одного або декількох фотонів. Якщо енергія фотона W0
дорівнює або перевищує роботу виходу, то електрон вилітає із металу. При цьому частина енергії фотона витрачається на виконання виходу Ав, а решта переходить у кінетичну енергію фотоелектрона: W0=AB+mυ2max2,
hν=AB+mυ2max2 - рівняння Ейнштейна для фотоефекту.
Воно є законом збереження енергії у застосуванні до фотоефекту. Це рівняння записано для однофотонного фотоефекту, коли йдеться про вирив електрона, не пов'язаного з атомом (молекулою). На основі квантових уявлень про світло можна пояснити закони фотоефекту. Відомо, що інтенсивність світла I=WSt, де W- енергія падаючого світла, S- площа поверхні, яку падає світло, t- Час. Згідно з квантовою теорією, ця енергія переноситься фотонами. Отже, W=Nf
hν, де
Розділ підготовлений Пилипом Олійником
КВАНТОВА ОПТИКА- розділ оптики, що вивчає мікроструктуру світлових полів та оптичні явища у процесах взаємодії світла з речовиною, в яких проявляється квантова природа світла.
Початок квантової оптики було покладено М. Планком в 1900 р. Він ввів гіпотезу, яка докорінно суперечить уявленням класичної фізики. Планк припустив, що енергія осцилятора може набувати не будь-які, а цілком певні значення, пропорційні до певної елементарної порції - кванту енергії. У зв'язку з цим випромінювання та поглинання електромагнітного випромінювання осцилятором (речовиною) здійснюється не безперервно, а дискретно у вигляді окремих квантів, величина яких пропорційна частоті випромінювання:
де коефіцієнт отримав згодом назву постійної планки. Визначене з досвіду значення
Постійна Планка - це найважливіша універсальна стала, що грає в квантовій фізиці таку ж фундаментальну роль, як швидкість світла в теорії відносності.
Планк довів, що формулу для спектральної густини енергії теплового випромінювання можна отримати тільки в тому випадку, якщо допустити квантування енергії. Попередні спроби розрахувати спектральну щільність енергії теплового випромінювання призводили до того що, що у області малих довжин хвиль, тобто. в ультрафіолетовій частині спектра виникали необмежено великі значення - розбіжності. Зрозуміло, в експерименті жодних розбіжностей не спостерігалося, і ця невідповідність між теорією та експериментом одержала назву "ультрафіолетової катастрофи". Припущення про те, що випромінювання світла відбувається порціями, дозволило прибрати розбіжності в теоретично розрахованих спектрах і тим самим позбутися "ультрафіолетової катастрофи".
У XX ст. виникло уявлення про світло як про потік корпускул, тобто частинок. Тим не менш, хвильові явища, що спостерігаються для світла, наприклад, інтерференцію та дифракцію, не вдавалося пояснити з погляду корпускулярної природи світла. Виходило, що світло, та й взагалі електромагнітне випромінювання – це хвилі і водночас потік частинок. Об'єднати ці дві точки зору дозволив розвинений до середини 20 ст. квантовий підхід до опису світла. З погляду такого підходу, електромагнітне поле може бути в одному з різних квантових станів. У цьому існує лише один виділений клас станів з точно заданим числом фотонів - фоковские стану, названі так з імені В.А.Фока. У фоківських станах число фотонів фіксовано і може бути виміряно з якоюсь високою точністю. В інших же станах вимірювання числа фотонів завжди даватиме певний розкид. Тому фразу "світло складається з фотонів" не слід розуміти буквально - так, наприклад, світло може знаходитися в такому стані, що з ймовірністю 99% він не містить фотонів, а з ймовірністю 1% він містить два фотони. У цьому одна з відмінностей фотона від інших елементарних частинок - наприклад, кількість електронів в обмеженому обсязі задано точно, і його можна визначити, вимірявши повний заряд і поділивши на заряд одного електрона. Кількість фотонів, що знаходиться в деякому обсязі простору протягом деякого часу, виміряти точно можна в дуже рідкісних випадках, а саме, тільки тоді, коли світло знаходиться у фоковских станах. Цілий розділ квантової оптики присвячений різним способам приготування світла в різних квантових станах, зокрема, приготування світла у фоківських станах є важливим і не завжди можливим завданням.
