Магічний квадрат із 4 чисел. Магічні квадрати (3) – Документ. Що це за загадка

Головна > Документ

МАГІЧНІ КВАДРАТИ

Магічний, або чарівний квадрат - це квадратна таблиця, заповнена числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова.

Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на діагоналях, називається магічною константою, M.

Найменша магічна константа чарівного квадрата 3х3 дорівнює 15, квадрата 4х4 дорівнює 34, квадрата 5х5 дорівнює 65,

Якщо у квадраті рівні суми чисел лише рядках і стовпцях, він називається полумагическим.

Побудова чарівного квадрата 3 х 3 з найменшою

магічною константою

Знайдемо найменшу магічну константу чарівного квадрата 3х3

1 спосіб

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

М = 15.

Число, зареєстроване посередині 15 : 3 = 5

Визначили, що посередині записано число 5.

де n – число рядків

Якщо можеш побудувати один магічний квадрат, то неважко збудувати їх будь-яку кількість. Тому запам'ятаємо прийоми побудови

магічного квадрата 3х3 із константою 15.

1 спосібпобудови. Розстав спочатку по кутах парні числа

2,4,8,6 та посередині 5. Решта процесу проста арифметика

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 спосібрішення

Використовуючи знайдений чарівний квадрат із константою 15, можна задавати безліч різнопланових завдань:

приклад.Побудувати нові різні чарівні квадрати 3 х 3

Рішення.

Склавши кожне число чарівного квадрата, або помноживши його на те саме число, отримаємо новий чарівний квадрат.

приклад 1.Побудувати магічний квадрат 3х3, у якого число, розташоване посередині, дорівнює 13.

Рішення.

Побудуємо знайомий чарівний

квадрат із константою 15.

Знайдемо число, яке знаходиться у

середині шуканого квадрата

13 – 5 = 8.

До кожного числа чарівного

квадрата додамо по 8.

приклад 2.Заповнити клітини чарівних

квадратів, знаючи магічну константу.

Рішення.Знайдемо число,

записане посередині 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

завдання для самостійного вирішення

приклади. 1. Заповнити клітини чарівних квадратів із магічною

константою М =15.

1) 2) 3)

2. Знайди магічну константу чарівних квадратів.

1) 2) 3)

3. Заповнити клітини чарівних квадратів, знаючи магічну константу

1) 2) 3)

М = 24 М = 30 М = ​​27

4 . Побудувати чарівний квадрат 3х3, знаючи, що магічна константа

дорівнює 21.

Рішення. Згадаймо, як будується чарівний 3х3 квадрат за найменшою

константі 15. По крайніх полях записуються парні числа

2, 4, 6, 8, а в середині число 5 (15 : 3).

За умовою треба побудувати квадрат за магічною константою

21. У центрі квадрата має бути число 7 (21 : 3).

Знайдемо, наскільки більше кожен член шуканого квадрата

кожного члена із найменшою магічною константою 7 – 5 = 2.

Будуємо шуканий чарівний квадрат:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Побудувати чарівні квадрати 3х3, знаючи їх магічні константи

М = 42 М = 36 М = 33

М = 45 М = 40 М = ​​35

Побудова чарівного квадрата 4 х 4 з найменшою

магічною константою

Знайдемо найменшу магічну константу чарівного квадрата 4х4

та числа, розташованого посередині цього квадрата.

1 спосіб

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136

136: 4= 34.

де n - Число рядків n = 4.

Сума чисел на будь-якій горизонталі,

вертикалі та діагоналі дорівнює 34.

Ця сума також зустрічається у всіх

кутових квадратах 2×2, в центральному

квадраті (10+11+6+7), у квадраті з

кутових клітин (16+13+4+1).

Для побудови будь-яких чарівних квадратів 4х4 треба: побудувати один

із константою 34.

приклад.Побудувати нові різні чарівні квадрати 4 х 4.

Рішення.

Склавши кожне число знайденого

чарівного квадрата 4 х 4 або

помноживши його на одне і те ж число,

отримаємо новий чарівний квадрат.

приклад.Побудувати магічний

квадрат 4 х 4, у якого магічна

константа дорівнює 46.

Рішення.Збудували знайомий чарівний

квадрат із константою 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

До кожного числа чарівного квадрата

додамо по 3.

Перш ніж приступити до вирішення складніших прикладів на чарівних квадратах 4 х 4 ще раз перевір властивості, якими він володіє, якщо М = 34.

приклади. 1. Заповнити клітини чарівного квадрата з магічною

константою М =38.

Н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 =38-(17+4+14)=3

е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 з =38-(3+12+8)=15

б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 до =38-(6+11+12)=9

якість 1,3,1 характеристики 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2

властивості 1,1,1,1

Відповідь.

Завдання для самостійного вирішення

Заповнити клітини чарівного квадрата з відома магічна

константа

К = 46 К = 58 К = 62

Познайомся з чарівними квадратами 5х5 та 6х6

Існує кілька різних класифікацій магічних квадратів

п'ятого порядку, покликаних хоч якось їх систематизувати. У книзі

Мартіна Гарднера [ГМ90, сс. 244-345] описаний один із таких способів –

за кількістю у центральному квадраті. Спосіб цікавий, але не більше.

Скільки існує квадратів шостого порядку, досі невідомо, але їх приблизно 1.77 х 1019 . Число величезне, тому немає надій перерахувати їх за допомогою повного перебору, а ось формули для підрахунку магічних квадратів ніхто придумати не зміг.

Як скласти магічний квадрат?

Придумано багато способів побудови магічних квадратів. Найпростіше складати магічні квадрати непарного порядку. Ми скористаємося методом, який запропонував французький вчений XVII ст. А. де ла Лубер (De La Loubère).Він заснований на п'яти правилах, дія яких ми розглянемо на найпростішому магічному квадраті 3х3 клітини.

Правило 1. Поставте 1 у середню колонку першого рядка (Мал. 5.7).

Рис. 5.7. Перше число

Правило 2. Наступне число поставте, якщо можливо в клітинку, сусідню з поточною по діагоналі правіше та вище (Рис. 5.8).

Рис. 5.8. Намагаємося поставити друге число

Правило 3. Якщо нова клітина виходить за межі квадрата зверху , то запишіть число в нижній рядок і наступну колонку (Рис. 5.9).

Рис. 5.9. Ставимо друге число

Правило 4. Якщо клітина виходить за межі квадрата праворуч, то запишіть число в першу колонку і в попередній рядок (Рис. 5.10).

Рис. 5.10. Ставимо третє число

Правило 5. Якщо в клітці вже зайнята, то чергове число запишіть під поточною кліткою (Мал. 5.11).

Рис. 5.11. Ставимо четверте число

Рис. 5.12. Ставимо п'яте та шосте число

Знову виконуйте Правила 3, 4, 5, доки не складете весь квадрат (Мал.

Чи не правда, правила дуже прості та зрозумілі, але все одно досить втомливо розставляти навіть 9 чисел. Проте, знаючи алгоритм побудови магічних квадратів, ми зможемо легко перепоручити комп'ютеру всю рутинну роботу, залишивши собі творчу, тобто написання програми.

Рис. 5.13. Заповнюємо квадрат наступними числами

Проект Магічні квадрати (Magic)

Набір полів для програми Магічні квадратиабсолютно очевидний:

// ПРОГРАМА ДЛЯ ГЕНЕРУВАННЯ

// НЕЧЕТНИХ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ

// ЗА МЕТОДОМ ДЕ ЛА ЛУБЕРА

public partial class Form1 : Form

// Макс. розміри квадрата: const int MAX_SIZE = 27; //var

int n=0; // Порядок квадрата int [,] mq; // магічний квадрат

int number = 0; // поточне число для запису квадрат

int col=0; // Текуча колонка int row = 0; // поточний рядок

Метод де ла Лубера годиться для складання непарних квадратів будь-якого розміру, тому ми можемо надати користувачеві можливість самостійно вибирати порядок квадрата, розумно обмеживши при цьому свободу вибору 27 клітинами.

Після того, як користувач натисне заповітну кнопку btnGen Генерувати! , метод btnGen_Click створює масив для зберігання чисел і переходить до методу generate :

//НАТИСНУЄМО КНОПКУ "ГЕНЕРУВАТИ"

private void btnGen_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата:

n = (int) udNum.Value;

//Створюємо масив:

mq = new int;

//генеруємо магічний квадрат: generate();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Тут ми починаємо діяти за правилами де ла Лубера і записуємо перше число – одиницю – у середню клітинку першого рядка квадрата (або масиву, якщо завгодно):

//Генеруємо магічний квадрат void generate()(

// перше число: number = 1;

//колонка для першого числа – середня: col = n/2 + 1;

//Рядок для першого числа - перша: row = 1;

// Заносимо його в квадрат: mq = number;

Тепер ми послідовно прилаштовуємо по клітинах решту – від двійки до n * n:

//переходимо до наступного числа:

Запам'ятовуємо про всяк випадок координати актуальної клітини

int tc=col; int tr = row;

і переходимо до наступної клітини по діагоналі:

Перевіряємо виконання третього правила:

if (row< 1) row= n;

А потім четвертого:

if (col > n) (col=1;

goto rule3;

І п'ятого:

if (mq! = 0) (col = tc;

row=tr+1; goto rule3;

Як ми дізнаємося, що у клітці квадрата вже є число? - Дуже просто: ми передбачливо записали у всі клітини нулі, а числа в готовому квадраті більше за нуль. Значить, за значенням елемента масиву ми одразу ж визначимо, порожня клітина чи вже з числом! Зверніть увагу, що тут нам знадобляться координати клітини, які ми запам'ятали перед пошуком клітини для наступного числа.

Рано чи пізно ми знайдемо відповідну клітинку для числа і запишемо його у відповідний осередок масиву:

// заносимо його у квадрат: mq = number;

Спробуйте інакше організувати перевірку допустимості переходу в но-

ну клітку!

Якщо це число було останнім , програма свої обов'язки виконала, інакше вона добровільно переходить до забезпечення клітиною наступного числа:

//якщо виставлені в повному обсязі числа, то if (number< n*n)

//переходимо до наступного числа: goto nextNumber;

І ось квадрат готовий! Обчислюємо його магічну суму та роздруковуємо на екрані:

) //generate()

Надрукувати елементи масиву дуже просто, але важливо врахувати вирівнювання чисел різної «довжини», адже у квадраті можуть бути одно-, дво- та трицифрові числа:

//Друкуємо магічний квадрат void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Color .Black;

string s = "Магічна сума = " + (n * n * n + n) / 2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("");

// Друкуємо магічний квадрат: for (int i = 1; i<= n; ++i){

s="";

for (int j = 1; j<= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add(""); )//writeMQ()

Запускаємо програму - квадрати виходять швидко і на диво (Мал.

Рис. 5.14. Неабиякий квадратище!

У книзі С.Гудман, С.ХідетніямиВведення в розробку та аналіз алгорит-

мов , на сторінках 297-299 ми знайдемо той самий алгоритм, але в «скороченому» викладі. Він не такий «прозорий», як наша версія, але працює правильно.

Додамо кнопку btnGen2 Генерувати 2! і запишемо алгоритм мовою

Си-шарп метод btnGen2_Click :

//Algorithm ODDMS

private void btnGen2_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата: n = (int )udNum.Value;

//Створюємо масив:

mq = new int;

//генеруємо магічний квадрат: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; if (i %n == 0)

if (row == 1) row = n;

if (col == n) col = 1;

//Побудова квадрата закінчено: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Клацаємо кнопку і переконуємося, що генеруються наші квадрати (Мал.

Рис. 5.15. Старий алгоритм у новому вигляді

Муніципальний загальноосвітній заклад «Гімназія №41»

Магічні квадрати

Керівник: ,

учитель математики

м. Новоуральськ, 2012 рік.

Вступ 3

1. Загальні відомості про магічні квадрати 4

1.1. Поняття магічного квадрата 4

1.2. З історії магічних квадратів.

1.3. Види магічних квадратів 6

2. Розв'язання магічних квадратів 6

2.1. Рішення магічних квадратів (метод Баше де Мезірака) 7

2.2. Постановка задачі 8

2.3. Алгоритм розв'язання магічних квадратів 8

2.4. Доказ алгоритму (в формі алгебри) 9

2.5. Приклад розв'язання магічного квадрата за алгоритмом 10

3. Використання магічних квадратів 11

3.1. Різні випадки узагальнення магічних квадратів 11

3.2. Застосування латинських квадратів 12

4. Загальні висновки 13

5. Висновок 14

6. Список літератури 15

Додаток 1

Додаток 2

Додаток 3

Вступ

На заняттях математичного гуртка ми зіштовхнулися із завданнями, пов'язаними із заповненням клітин квадрата за особливими правилами. Запропоновані числа треба було вписати так, щоб результат задовольняв відразу декільком умовам:

Якщо скласти всі числа у кожному рядку,

Якщо скласти всі числа у кожному стовпці,

Якщо скласти всі числа у двох діагоналях,

то всі ці суми виявляться рівними одному й тому ж числу.

Попри те що, що завдання відрізнялися вихідними числами, порядком чисел, заданістю суми, вони були подібними, а рішення – однотипними.

Виникла ідея не просто вирішити кожне завдання, а й вигадати загальний алгоритм вирішення, а також знайти в літературі історичні відомості про завдання подібного типу.

З'ясувалося, що цікаві для нас фігури називаються магічними квадратами, відомими з давніх часів. Про них і йтиметься у роботі.

Мета роботи:систематизувати відомості про магічні квадрати, розробити алгоритм їх розв'язання.

Завдання:

1. Вивчити історію виникнення магічних квадратів.

2. Виявити види магічних квадратів.

3. Дізнатися про способи розв'язання магічних квадратів.

4. Розробити та довести свій алгоритм рішення.

5. Визначити застосування магічних квадратів.

1.Загальні відомості про магічні квадрати

1.1. Поняття магічного квадрата

Великою популярністю навіть сьогодні користуються магічні квадрати. Це квадрати, в кожну клітку яких вписані числа так, що суми чисел вздовж будь-якої горизонталі, будь-якої вертикалі та будь-якої діагоналі рівні. Найвідомішим вважається магічний квадрат, зображений на гравюрі німецького художника А. Дюрера "Меланхолія" (додаток 1).

1.2. З історії магічних квадратів

Числа настільки увійшли до життя людини, що їм стали приписувати всякі магічні властивості. Вже кілька тисяч років тому у Стародавньому Китаї захопилися складанням магічних квадратів. При археологічних розкопках у Китаї та Індії знайшли квадратні амулети. Квадрат був поділений на дев'ять маленьких квадратиків, у кожному з яких були написані числа від 1 до 9. Чудово, що суми всіх чисел у будь-якій вертикалі, горизонталі та діагоналі дорівнювали одному й тому ж числу 15 (рисунок 1).

Малюнок 1.

У середні віки магічні квадрати були дуже популярними. Один із магічних квадратів зображений на гравюрі знаменитого німецького художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолія». У 16 клітинах квадрата розміщені цифри від 1 до 16, а сума чисел за всіма напрямками дорівнює 34. Цікаво, що два числа в середині нижнього рядка вказують на рік створення картини – 1514. Отримання магічних квадратів було популярною розвагою серед математиків, створювалися величезні квадрати , наприклад, 43x43, що містить числа від 1 до 1849, причому які володіють крім зазначених властивостей магічних квадратів, ще й багатьма додатковими властивостями. Були придумані способи побудови магічних квадратів будь-якого розміру, проте досі не знайдено формули, за якою можна було б знайти кількість магічних квадратів даного розміру. Відомо, і це ви можете легко показати самі, що магічних квадратів розміром 2x2 не існує, магічних квадратів 3x3 одно, інші такі квадрати виходять з нього поворотами і симетріями. Магічних квадратів 4×4 вже 800, а кількість квадратів 5×5 близько до чверті мільйона.

1.3. Види магічних квадратів

Магічний(чарівний квадрат) n 2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та на обох діагоналях однакова.

Напівмагічний квадрат- Це квадратна таблиця nxn, заповнена n 2 числа таким чином, що суми чисел рівні тільки в рядках і стовпцях.

Нормальний– магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n 2.

Асоціативний (симетричний) -магічний квадрат, у якого сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1.

Диявольський (пандіагональний) магічний квадрат- магічний квадрат, у якому також із магічною константою збігаються суми чисел за ламаними діагоналями (діагоналі, що утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.

Існує 48 диявольських магічних квадратів 4×4 з точністю до поворотів та відбитків. Якщо взяти до уваги ще й їхню додаткову симетрію - торичні паралельні переноси, то залишиться лише 3 істотно різних квадрати (рисунок 2).

Рисунок 2.

Пандіагональні квадрати четвертого порядку мають низку додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Досконалих квадратів непарного порядку немає. Серед пандіагональних квадратів подвійної парності вище 4 є досконалі.

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торичних паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів.

2. Рішення магічних квадратів

2.1 Рішення магічних квадратів (метод Баше де Мезірака)

Правила побудови магічних квадратів поділяються на три категорії залежно від того, який порядок квадрата: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює вчетверному непарному числу. Загальний спосіб побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко використовуються різні схеми. Знайти всі магічні квадрати порядку n вдається лише для n ≤ 4.

Для вирішення нормальних магічних квадратів скільки завгодно великого розміру скористаємося методом, описаним в 1612 французьким математиком Клодом Баше де Мезірак. Російський переклад його книги було видано Петербурзі в 1877 р. під назвою «Ігри та завдання, засновані на математиці».

Магічний квадрат зручно будувати на папері у клітку. Нехай n-непарне число, і потрібно побудувати квадрат nхn з числами від 1 до n2 діємо поетапно.

1. Усі числа від 1 до n2 записуємо у клітини по діагоналі (по n чисел у ряд), щоб утворився діагональний квадрат.

2. Виділяємо у його центрі квадрат nхn. Це і є основа (ще не всі клітини наповнені) майбутнього магічного квадрата.

3. Кожен числовий «куточок», що знаходиться поза центральним квадратом, акуратно переносимо всередину - до протилежної сторони квадрата. Числа цих куточків мають заповнити всі порожні клітини. Магічний квадрат збудований.

Наведемо приклад заповнення квадрата 3х3 числами від 1 до 9. Для цього до квадрата намалюємо додаткові клітини, щоб отримати діагоналі. Спочатку заповнимо діагональні клітини числами від 1 до 9 (рисунок 3), потім у порожні клітини квадрата «загнемо куточки» всередину до протилежного боку (рисунок 4).

Малюнок 3. Малюнок 4.

2.2. Постановка задачі.

Опишемо свій спосіб розв'язання магічних квадратів. Зупинимося вивчення математичної моделі магічних квадратів 3x3.

Загальне формулювання завдання.

Є дев'ять чисел. Необхідно розставити їх у клітини квадрата розміру 3x3, так щоб по будь-якій вертикалі, горизонталі та діагоналі суми чисел були рівними.

2.3. Алгоритм розв'язання магічного квадрата

Словесний опис алгоритму

1. Впорядкувати числа за зростанням.

2. Знайти центральне число (п'яте порядку).

3. Визначити пари за правилом: 1 пара - перше число та дев'яте,

2 пари - друге число і восьме,

3 пари - третє число та сьоме,

4 пари – четверте число та шосте.

4. Дізнатися суму чисел (S), яка повинна вийти при додаванні чисел по кожній вертикалі, горизонталі, діагоналі: скласти найменше, центральне, найбільше число, тобто числа 1 пари з центральним числом.

5. Поставити до центру квадрата центральне число.

6. По центральній горизонталі (або вертикалі) у вільні клітини вписати першу пару чисел.

7. По будь-якій діагоналі записати другу пару чисел (так щоб більша кількість першої пари опинилась у стовпчику з меншим числом другої пари).

8. Обчислити число, яке треба записати в один із крайніх стовпчиків, за правилом:

з S відняти суму двох чисел, що містяться в клітинах стовпчика, отримати число.

9. По діагоналі до отриманого числа записати друге число його пари.

10. Вписати в клітини, що залишилися, останню пару чисел за правилом: більше число з пари вписати в рядок з меншим, а менше в порожню клітину, що залишилася.

2.4. Доказ правильності заповнення магічного квадрата

(Рішення завдання у загальному вигляді)

Доведемо, що суми чисел, що знаходяться за вертикалями, горизонталями та діагоналями квадрата в результаті виконання алгоритму, вийдуть рівні.

Нехай після впорядкування кожне наступне число відрізняється від попереднього на постійну величину х. Виразимо всі числа через а1(найменше число) та х:

a1, a2=a1+x,

a3=a2+х=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Знайдемо суму Sі висловимо її через числа а1і х: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Нехай магічний квадрат заповнений за запропонованим алгоритмом.

Доведемо, що суми чисел, розташованих по горизонталі, вертикалі та діагоналі квадрата, рівні S.

По вертикалі:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

По горизонталі:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

По діагоналі:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3а1 +12x=S

Отримали однакові суми. Твердження доведено.

Примітка.

Числа, організовані в такий спосіб, утворюють арифметичну прогресію. У цій послідовності (після впорядкування) а1 – це перший член арифметичної прогресії, х – це різниця арифметичної прогресії. Для чисел, що не становлять арифметичну прогресію, алгоритм не діє.

2.5. Приклад розв'язання магічних квадратів

Дано числа: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Заповнити магічний квадрат цими числами.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Отримали центральне число 5.

3. Пари:1 та 9, 2 та 8, 3 та 7, 4 та 6.

4. S = 5+1+9= 15 - Сума.

8. 15-(9+2)=4

Цей алгоритм суттєво відрізняється від методу Баше де Мезіріака. З одного боку він вимагає додаткових обчислень (брак методу), з іншого боку в нашому методі не потрібні додаткові побудови (діагональний квадрат). Понад те, метод застосуємо як до послідовним натуральним числам від 1 до 9, до будь-яких дев'яти числам, що є членами арифметичної прогресії, у чому бачимо його переваги. Крім того, автоматично визначається магічна константа – сума чисел по кожній діагоналі, вертикалі, горизонталі.

3. Використання магічних квадратів

3.1. Різні випадки узагальнення магічних квадратів

Завдання складання та описи магічних квадратів цікавили математиків з найдавніших часів. Однак повного опису всіх можливих магічних квадратів не отримано і до цього часу. Зі збільшенням розмірів (числа клітин) квадрата швидко зростає кількість можливих магічних квадратів. Серед квадратів великих розмірів є квадрати, що мають цікаві властивості. Наприклад, у квадраті малюнку № 5 рівні між собою як суми чисел у рядках стовпцях і діагоналях, а й суми п'ятірок по «розламаним» діагоналям, пов'язаними малюнку кольоровими лініями.

Малюнок 5. Малюнок 6.

Латинським квадратів називається квадрат n x n клітин, у яких написані числа 1, 2, …, n, до того ж, що у кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються ці цифри за одним разу. На (рисунку 6) зображено два такі латинські квадрати 4x4. Вони мають цікаву особливість: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари чисел, що виходять, виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними. Завдання пошуку ортогональних латинських квадратів вперше поставив Л. Ейлер, причому в такій цікавій формулюванні: «Серед 36 офіцерів порівну уланів, драгунів, гусарів, кірасирів, кавалергардів і гренадерів і крім того порівну генералів, полковників, ручників, майоров, кожен рід військ представлений офіцерами всіх шести рангів. Чи можна побудувати цих офіцерів у автомобілі 6x6 так, щоб у будь-якій колоні зустрічалися офіцери всіх рангів?» (Додаток 2).

Л. Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р. було підтверджено, що такого рішення не існує.

3.2. Застосування латинських квадратів

Магічні та латинські квадрати близькі родичі. Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування, як у математиці, і у її додатках. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати два сорти пшениці на врожайність у цій місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів та вплив двох видів добрив. Для цього розіб'ємо квадратну ділянку на 16 рівних частин (рисунок 7). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, що відповідають нижній горизонтальній смузі, наступний сорт посадимо на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі і т. д. (на малюнку сорт позначений кольором.)

Сільське господарство, сільському господарстві, фізиці, хімії та техніці.

4. Загальні висновки

У ході виконання роботи я познайомився з різними видами магічних квадратів, дізнався спосіб розв'язання нормальних магічних квадратів методом Баше де Мезірака. Оскільки наше рішення магічних квадратів 3х3 відрізнялося від зазначеного методу, але дозволяло щоразу правильно заповнити клітини квадрата, виникло бажання розробити власний алгоритм. Цей алгоритм докладно описаний у роботі, доведений в формі алгебри. Виявилося, що він застосовується не тільки до нормальних квадратів, але і до квадратів розміром 3х3, де числа становлять арифметичну прогресію. Нам вдалося також знайти приклади застосування магічних та латинських квадратів.

Я навчився: вирішувати деякі магічні квадрати, розробляти та описувати алгоритми, доводити твердження в алгебраїчній формі. Я дізнався про нові поняття: арифметична прогресія, магічний квадрат, магічна константа, вивчив види квадратів.

На жаль, ні мій розроблений алгоритм, ні метод Баше де Мезірака не дозволяють вирішувати магічні квадрати розміру 4х4. Тому мені захотілося надалі скласти алгоритм розв'язання таких квадратів.

5. Висновок

У цьому роботі вивчалися магічні квадрати, розглядалася історія їх походження. Було визначено види магічних квадратів: магічний або чарівний квадрат, напівмагічний квадрат, нормальний, асоціативний, диявольський магічний квадрат, досконалий.

Серед існуючих способів їх вирішення обрано метод Баше де Мезіріака, його апробовано на прикладах. Крім того, для розв'язання магічних квадратів 3х3 запропоновано власний алгоритм вирішення, наведено математичний доказ у формі алгебри.

Запропонований алгоритм суттєво відрізняється від методу Баше де Мезіріака. З одного боку, він вимагає додаткових обчислень (брак методу), з іншого боку, не потрібні додаткові побудови. Метод застосовуємо як до послідовним натуральним числам від 1 до 9, до будь-яких дев'яти числам, що є членами арифметичної прогресії, у чому бачимо його переваги. Крім того, автоматично визначається магічна константа – сума чисел по кожній діагоналі, вертикалі, горизонталі.

У роботі представлено узагальнення магічних квадратів – латинські квадрати та описано їхнє практичне застосування.

Ця робота може бути використана на уроках математики як додатковий матеріал, а також на заняттях гуртка та в індивідуальній роботі з учнями.

6. Список літератури

1. Загадки світу чисел / Упоряд. - Д.: Сталкер, 1997.-448с.

2. Енциклопедичний словник молодого математика / Упоряд. - М.: Педагогіка, 1989 -352с.: Іл.

3. Енциклопедія для дітей. Т11. Математика/Голов. ред. - М.: Аванта +, 2000 - 688с.: Іл.

4. Я пізнаю світ: Дитяча енциклопедія: Математика/Упоряд. - та ін - М.: АСТ, 1996. - 480с.: іл.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ,квадратна таблиця з цілих чисел, у якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і з двох головних діагоналей дорівнюють тому самому числу.

Магічний квадрат – давньокитайського походження. Згідно з легендою, за правління імператора Ю (бл. 2200 до н.е.) з вод Хуанхе (Жовтої річки) спливла священна черепаха, на панцирі якої були накреслені таємничі ієрогліфи. а), і ці знаки відомі під назвою ло-шу і рівносильні магічному квадрату, зображеному на рис. 1, б. У 11 ст. про магічні квадрати дізналися в Індії, а потім у Японії, де в 16 ст. магічним квадратам була присвячена велика література. Європейців із магічними квадратами познайомив у 15 ст. візантійський письменник Е.Мосхопулос. Першим квадратом, вигаданим європейцем, вважається квадрат А.Дюрера (рис. 2), зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1. Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять у двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратам приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, пов'язаних з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.

У 19 та 20 ст. інтерес до магічних квадратів спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри та операційного обчислення.

Кожен елемент магічного квадрата називається кліткою. Квадрат, сторона якого складається з nклітин, містить n 2 клітин і називається квадратом n-го порядку. У більшості магічних квадратів використовуються перші nпослідовних натуральних чисел. Сума Sчисел, що стоять у кожному рядку, кожному стовпці і на будь-якій діагоналі, називається постійною квадрата і дорівнює S = n(n 2+1)/2. Доведено, що nі 3. Для квадрата 3-го порядку S= 15, 4-го порядку - S= 34, 5-го порядку - S = 65.

Дві діагоналі, що проходять через центр квадрата, називаються головними діагоналями. Ломаною називається діагональ, яка, дійшовши до краю квадрата, продовжується паралельно першому відрізку від протилежного краю (таку діагональ утворюють заштриховані клітини на рис. 3). Клітини, симетричні щодо центру квадрата, називаються кососиметричними. Такі, наприклад, клітини aі bна рис. 3.

Правила побудови магічних квадратів поділяються на три категорії залежно від того, який порядок квадрата: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює вчетверному непарному числу. Загальний спосіб побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко застосовуються різні схеми, деякі з яких ми розглянемо нижче.

Магічні квадрати непарного порядку можна побудувати з допомогою методу французького геометра 17 в. А.де ла Лубера. Розглянемо цей спосіб з прикладу квадрата 5-го порядку (рис. 4). Число 1 міститься в центральну клітину верхнього рядка. Усі натуральні числа розташовуються в природному порядку циклічно знизу вгору у клітинах діагоналей праворуч наліво. Дійшовши до верхнього краю квадрата (як у випадку числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітки наступного стовпця. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітини рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається одну клітину вниз, після чого процес заповнення триває.

Метод Ф.де ла Іра (1640-1718) заснований на двох початкових квадратах. На рис. 5 показано, як з допомогою цього будується квадрат 5-го порядку. У клітину першого квадрата вписуються числа від 1 до 5 так, що число 3 повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде вправо вгору, і жодне число не зустрічається двічі в одному рядку або в одному стовпці. Те саме ми проробляємо з числами 0, 5, 10, 15, 20 з тією різницею, що число 10 тепер повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде зверху вниз (мал. 5, б). Поклітинна сума цих двох квадратів (рис. 5, в) утворює магічний квадрат. Цей метод використовується при побудові квадратів парного порядку.

Якщо відомий спосіб побудови квадратів порядку mта порядку n, то можна побудувати квадрат порядку mґ n. Суть цього методу показано на рис. 6. Тут m= 3 та n= 3. Найбільший квадрат 3-го порядку (з числами, поміченими штрихами) будується методом де ла Лубера. У клітину з числом 1в (центральну клітину верхнього ряду) вписується квадрат 3-го порядку з чисел від 1 до 9, також побудований методом де ла Лубера. У клітку з числом 2в (праву у нижньому рядку) вписується квадрат 3-го порядку з числами від 10 до 18; у клітинку з числом 3в – квадрат із чисел від 19 до 27 тощо. В результаті ми отримаємо квадрат 9-го порядку. Такі квадрати називаються складовими.

Вступ

Великі вчені давнини вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа та його співвідношення займали найбільші уми людства. «У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив магічні квадрати»- писав Бенджамін Франклін. Магічний квадрат-це квадрат, сума чисел якого в кожному горизонтальному ряду, у кожному вертикальному ряду і по кожній з діагоналей та сама.

Деякі видатні математики присвятили свої роботи магічним квадратам і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриці, порівняння та інші нетривіальні розділи математики.

Мета справжнього реферату – знайомство з різними магічними квадратами, латинськими квадратами та вивчення областей їх застосування.

Магічні квадрати

Повного опису всіх можливих магічних квадратів не отримано й досі. Магічних квадратів 2х2 немає. Існує єдиний магічний квадрат 3х3, тому що решта магічних квадратів 3х3 виходять з нього або поворотом навколо центру, або відображенням щодо однієї з осей симетрії.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

У магічному квадраті 3х3 магічної постійної 15 повинні дорівнювати сумі трьох чисел за 8 напрямками: за 3 рядками, 3 стовпцями та 2 діагоналями. Так як число, що стоїть у центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю та 2 діагоналям, воно входить у 4 з 8 трійок, що дають у сумі магічну постійну. Таке число лише одне: це 5. Отже, число, яке стоїть у центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно дорівнює 5.

Розглянемо число 9. Воно входить лише у 2 трійки чисел. Ми не можемо помістити його в кут, тому що кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю та діагоналі. Отже, число 9 має стояти у якійсь клітині, що примикає до сторони квадрата у її середині. Через симетрію квадрата байдуже, яку зі сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоїть у центральній клітині. По обидва боки від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову-таки не має значення, оскільки одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному відображенні . Інші клітини заповнюються автоматично. Проведена нами проста побудова магічного квадрата 3х3 доводить його єдиність.

Такий магічний квадрат був у стародавніх китайців символом величезного значення. Цифра 5 в середині означала землю, а навколо неї в суворій рівновазі розташовувалися вогонь (2 та 7), вода (1 та 6),

дерево (3 та 8), метал (4 та 9).

Зі збільшенням розмірів квадрата (числа клітин) швидко зростає кількість можливих магічних квадратів такого розміру. Існує 880 магічних квадратів порядку 4 і 275305224 магічних квадратів порядку 5. Причому, квадрати 5х5 були відомі ще в середні віки. Мусульмани, наприклад, дуже благоговійно ставилися до таких квадратів із цифрою 1 у середині, вважаючи його символом єдності Аллаха.

Магічний квадрат Піфагора

Великий вчений Піфагор, який заснував релігійно - філософське вчення, що проголосило кількісні відносини основою сутності речей, вважав, що сутність людини полягає також у числі - дати народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я та його потенційні можливості, розкрити переваги та недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення.

Щоб зрозуміти, що таке магічний квадрат Піфагора і як підраховуються його показники, зроблю його розрахунок на своєму прикладі. А щоб переконатися, що результати підрахунку справді відповідають реальному характеру тієї чи іншої особистості, я спочатку перевірю його на собі. Для цього я робитиму розрахунок за своєю датою народження. Отже моя дата народження 20.08.1986. Складемо цифри дня, місяця та року народження (без урахування нулів): 2+8+1+9+8+6=34. Далі складаємо цифри результату: 3+4=7. Потім із першої суми віднімаємо подвоєну першу цифру дня народження: 34-4=30. І знову складаємо цифри останнього числа:

3+0=3. Залишилося зробити останні додавання - 1-ї та 3-ї та 2-ї та 4-ї сум: 34+30=64, 7+3=10. Отримали числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

і складаємо магічний квадрат так, щоб усі одиниці цих чисел увійшли в комірку 1, всі двійки - в комірку 2 і т. д. Нулі при цьому до уваги не беруться. В результаті мій квадрат виглядатиме таким чином:

Комірки квадрата означають таке:

Осередок 1 - цілеспрямованість, воля, завзятість, егоїзм.

  • 1 - закінчені егоїсти, які прагнуть з будь-якого становища отримати максимальну вигоду.
  • 11 - характер, близький до егоїстичного.
  • 111 – «золота середина». Характер спокійний, поступливий, комунікабельний.
  • 1111 – люди сильного характеру, вольові. Чоловіки з таким характером підходять на роль військових – професіоналів, а жінки тримають свою сім'ю у кулаку.
  • 11111 – диктатор, самодур.
  • 111111 - людина жорстока, здатна зробити неможливе; нерідко підпадає під вплив якоїсь ідеї.

Осередок 2 – біоенергетика, емоційність, душевність, чуттєвість. Кількість двійок визначає рівень біоенергетики.

Двійок немає – відкритий канал для інтенсивного набору біоенергетики. Ці люди виховані та благородні від природи.

  • 2 - звичайні у біоенергетичному відношенні люди. Такі люди дуже чутливі до змін атмосфери.
  • 22 – відносно великий запас біоенергетики. З таких людей виходять добрі лікарі, медсестри, санітари. У сім'ї таких людей рідко у кого трапляються нервові стреси.
  • 222 – знак екстрасенсу.

Осередок 3 – точність, конкретність, організованість, акуратність, пунктуальність, охайність, скупість, схильність до постійного «відновлення справедливості».

Наростання трійок посилює усі ці якості. З ними людині є сенс шукати себе у науках, особливо точних. Перевага трійок породжує педантів, людей у ​​футлярі.

Осередок 4 - здоров'я. Це з екгрегором, тобто енергетичним простором, напрацьованим предками і захищає людини. Відсутність четвірок свідчить про болючість людини.

  • 4 – здоров'я середнє, необхідно гартувати організм. З видів спорту рекомендуються плавання та біг.
  • 44 – здоров'я міцне.
  • 444 і більше – люди з дуже міцним здоров'ям.

Осередок 5 – інтуїція, ясновидіння, що починає проявлятися у таких людей вже на рівні трьох п'ятірок.

П'ятірок немає – канал зв'язку з космосом закрито. Ці люди часто

помиляються.

  • 5 – канал зв'язку відкритий. Ці люди можуть правильно розрахувати ситуацію, щоб отримати з неї максимальну користь.
  • 55 – сильно розвинена інтуїція. Коли бачать «віщі сни», можуть передбачати перебіг подій. Підходящі їм професії - юрист, слідчий.
  • 555 - майже яснозорі.
  • 5555 - яснозорі.

Осередок 6 - заземленість, матеріальність, розрахунок, схильність до кількісного освоєння світу та недовіру до якісних стрибків і тим більше чудес духовного порядку.

Шісток немає - цим людям потрібна фізична праця, хоча вони її, як правило, не люблять. Вони наділені неординарною уявою, фантазією, художнім смаком. Тонкі натури, вони здатні на вчинок.

  • 6 - можуть займатися творчістю чи точними науками, але фізична праця є обов'язковою умовою існування.
  • 66 – люди дуже заземлені, тягнуться до фізичної праці, хоча саме для них вона не обов'язкова; бажана розумова діяльність чи заняття мистецтвом.
  • 666 - знак Сатани, особливий та зловісний знак. Ці люди мають підвищений темперамент, привабливі, незмінно стають у суспільстві центром уваги.
  • 6666 – ці люди у своїх попередніх втіленнях набрали занадто багато заземленості, вони дуже багато працювали і не уявляють своє життя без праці. Якщо в їхньому квадраті є

дев'ятки, їм обов'язково треба займатися розумовою діяльністю, розвивати інтелект, хоча б здобути вищу освіту.

Осередок 7 - кількість сімок визначає міру таланту.

  • 7 - що більше вони працюють, то більше отримують згодом.
  • 77 - дуже обдаровані, музичні люди, мають тонкий художній смак, можуть мати схильність до образотворчого мистецтва.
  • 777 – ці люди, як правило, приходять на Землю ненадовго. Вони добрі, безтурботні, болісно сприймають будь-яку несправедливість. Вони чутливі, люблять мріяти, який завжди відчувають реальність.
  • 7777 – знак Ангела. Люди з таким знаком помирають у дитинстві, а якщо й живуть, то їхньому життю постійно загрожує небезпека.

Осередок 8 – карма, борг, обов'язок, відповідальність. Кількість вісімок визначає ступінь почуття обов'язку.

Вісімок немає – у цих людей майже повністю відсутнє почуття обов'язку.

  • 8 – натури відповідальні, сумлінні, точні.
  • 88 – у цих людей розвинене почуття обов'язку, їх завжди відрізняє бажання допомогти іншим, особливо слабким, хворим, самотнім.
  • 888 – знак великого обов'язку, знак служіння народу. Імператор з трьома вісімками досягає видатних результатів.
  • 8888 - ці люди мають парапсихологічні здібності і виняткову сприйнятливість до точних наук. Їм відкриті надприродні шляхи.

Осередок 9 - розум, мудрість. Відсутність дев'яток - свідчення, що розумові здібності вкрай обмежені.

  • 9 - ці люди повинні все життя наполегливо трудитися, щоб заповнити нестачу розуму.
  • 99 – ці люди розумні від народження. Навчаються завжди неохоче, бо знання даються їм легко. Вони мають почуття гумору з іронічним відтінком, незалежні.
  • 999 – дуже розумні. До вчення взагалі не докладають жодних зусиль. Чудові співрозмовники.
  • 9999 – цим людям відкривається істина. Якщо вони до того ж розвинена інтуїція, всі вони гарантовані від провалу у кожному зі своїх починань. При цьому вони, як правило, досить приємні, тому що гострий розум робить їх грубими, немилосердними та жорстокими.

Отже, склавши магічний квадрат Піфагора і знаючи значення всіх комбінацій цифр, що входять до його осередку, ви зможете достатньо оцінити ті якості вашої натури, якими наділила матінка - природа.

Латинські квадрати

Незважаючи на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати, найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.

Латинським квадратом називається квадрат nхn клітин, у яких написані числа 1, 2,…, n, до того ж, що у кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються ці цифри за одним разу. На рис.3 зображено два такі квадрати 4х4. Вони мають цікаву особливість: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари чисел, що виходять, виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.

Завдання відшукання ортогональних латинських квадратів вперше поставив Л. Ейлер, причому в такому цікавому формулюванні: “Серед 36 офіцерів порівну уланів, драгунів, гусарів, кірасирів, кавалергардів і гренадерів і до того ж порівну генералів, полковників, майоров, капитан кожен рід військ представлений офіцерами всіх шести рангів. Чи можна побудувати всіх офіцерів у карі 6 х 6 так, щоб у будь-якій колоні та будь-якій шерензі зустрічалися офіцери всіх рангів?”

Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р. було підтверджено, що такого рішення не існує. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для інших значень n, тобто якщо число n при розподілі на 4 дасть у залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р. було доведено, що ортогональних квадратів 6 6 немає, і це посилювало впевненість у справедливості гіпотези Ейлера. Однак у 1959 р. допомогою ЕОМ було знайдено спочатку ортогональні квадрати 10х10, потім 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n крім 6, існують ортогональні квадрати nхn.

Магічні та латинські квадрати – близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональні квадрати. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів наступним чином. Поставимо туди число n(a - 1)+b, де а - число у такій клітці першого квадрата, а b - число у такій клітині другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел у рядках та стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.

Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як у математиці, і у її додатках. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на врожайність у цій місцевості, причому врахувати вплив ступеня розрідженості посівів та вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратну ділянку землі на 16 ділянок (рис.4). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, що відповідають нижній горизонтальній смузі, наступний сорт - на чотирьох ділянках, що відповідають наступній смузі, і т. д. (на малюнку сорт позначений кольором). При цьому максимальна густота посівів нехай буде на тих ділянках, які відповідають лівому вертикальному стовпцю малюнка, і зменшується під час переходу вправо (на цьому рисунку відповідає зменшення інтенсивності кольору). А цифри, що стоять у клітинах малюнка, нехай означають:

перша - кількість кілограмів добрива першого виду, що вноситься на цю ділянку, а друга - кількість добрива другого виду, що вноситься. Неважко зрозуміти, що при цьому реалізовані всі можливі пари поєднань як сорти та густини посіву, так і інших компонентів: сорти та добрив першого виду, добрив першого та другого видів, густоти та добрив другого виду.

Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах у сільському господарстві, фізиці, хімії, техніці.

квадрат магічний піфагор латинський

Висновок

У цьому рефераті розглянуті питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, який займав уми багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці та техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць тощо).

Найближчі родичі магічних квадратів – латинські квадрати знайшли численні застосування як у математиці, так і в її додатках при постановці та обробці результатів експериментів. У рефераті наведено приклад постановки такого експерименту.

У рефераті також розглянуто питання про квадрат Піфагора, що представляє історичний інтерес і, можливо, корисний для складання психологічного портрета особистості.

Список літератури

  • 1. Енциклопедичний словник молодого математика. М., "Педагогіка", 1989р.
  • 2. М. Гарднер "Подорож у часі", М., "Світ", 1990р.
  • 3. Фізкультура та спорт № 10, 1998р.

Читайте також