Четные квадраты строить намного сложнее, чем нечетные. Существует множество способов, объясняющих принципы их построения. В этой статье описан увлекательный способ построения магического квадрата 4 х 4.
Начинаем с того, что в крайнюю левую ячейку верхнего ряда вписываем единицу. Двойка располагается в соседней ячейке, а цифры 3 и 4 в последующих. Таким обратом, верхний ряд будет закончен. В следующем ряду вписываются цифры 5, 6, 7 и 8.
Продолжайте, пока не заполните все ячейки (рис. 1).
Рис.1
Затем во всех крайних рядах нужно убрать по два числа из центральных ячеек, то есть и верхнем ряду убираются числа 2 и 3, а в нижнем - 14 и 15. Наконец, в левом крайнем ряду убираются числа 5 и 9, а в правом крайнем - 8 и 12 (рис. 2).
Рис.2 Теперь эти числа можно расположить довольно интересным способом. Числа 2 и 3 занимают ячейки, в которых до этого находились числа 14 и 15. Таким образом, нижний ряд будет состоять из чисел 13,3,2 и 16. По тому же принципу располагаются и числа 14 и 15, то есть они занимают те ячейки, в которых до этого находились числа 2 и 3. В результате верхний ряд будет состоять из чисел 1,15,14 и 4. Надеюсь, вы уже понимаете, как магический квадрат будет строиться дальше. Числа 8 и 12 займут те ячейки, в которых до этого были числа 5 и 9. Наконец, числа 5 и 9 вписываются в две ячейки в крайней правой колонке (рис. 3).
Рис.3 Обратите внимание, что в этом магическом квадрате сумма чисел любого ряда равняется 34.
Таким же способом можно создать квадрат 4*4, просто последовательно расположив шестнадцать чисел, начиная с любого числа. Если построите магический квадрат, где числа будут идти в последовательности 3, 6, 9, 12 и т. д., то вы увидите, что сумма чисел любого ряда будет равняться 102.
Существует множество способов построения четных магических квадратов. Некоторые из них очень сложны, трудоемки и интересны только математикам. К счастью, способ создания магических квадратов янтры, основанный на дате рождения, прост до невозможности.
Задачи:
1. Научить заполнять магические квадраты.
2. Развивать наблюдательность, умение обобщать.
3. Прививать стремление к познанию нового, интерес к математике.
Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор с экраном, презентация PowerPoint (Приложение 1).
В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, располагая их друг за другом или одно под другим, они иногда получали одинаковую сумму. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей – даже в трех, и все суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними и арабы приписывали таким конструкциям таинственные и магические свойства. (слайд 1)
Магические квадраты появились на Древнем Востоке еще до нашей эры. Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 г до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, вдруг появилась большая рыба (в других вариантах – огромная черепаха), у которой на спине был рисунок из двух мистических символов – черных и белых кружочков (слайд 2) , который был осознан затем как изображение магического квадрата порядка 3. (слайд 3)
Первое специальное упоминание о таком квадрате найдено около 1 века до н.э. Вплоть до 10 века н.э. магические квадраты были воплощены в амулетах, заклинаниях. Они использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман. Их можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры.
Итак, под магическими будем понимать квадраты, в которых суммы чисел, стоящих в любом столбце или в любой строке, а также по диагоналям, одинаковы.
До сих пор вы использовали магические квадраты чаще всего для устного счета. При этом несколько чисел, в том числе и центральное, уже расставлены по клеткам квадрата. Требуется расставить остальные числа так, чтобы в любом направлении получилась определенная сумма.
Задача 1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Часть из них расставлена по клеткам Требуется расставить остальные числа, чтобы в сумме получалось 15. (слайд 4)
Оказывается, все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из данного симметрией относительно строки, столбца или диагонали, поэтому во всех квадратах числа расставлены по одним и тем же правилам. (слайд 6)
Можно заметить ряд закономерностей, облегчающих заполнение клеток квадрата или дающих возможность решить задачу при меньшем числе данных в условии.
Например, в условиях задач, подобных предыдущей, не обязательно указывать, какая сумма должна получиться в любом направлении.
Задача 2. Найдите способ, как сосчитать сумму по строчкам, столбцам и диагоналям из предыдущей задачи.
Можно рассуждать следующим образом: сумма чисел в каждой строке одинакова, таких строк 3, значит сумма чисел в каждой строке в три раза меньше суммы всех чисел. Следовательно, в нашем примере, сумма в каждой строке равна 15 (45: 3). Но это число можно найти и другими способами: сложить три центральных числа 4, 5 и 6 или умножить центральное число 5 на 3.
Задача 3. Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Требуется вписать их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении в сумме получилось одно и то же число. Часть чисел уже вписана в квадрат. (слайд 7)
Задача 4. Даны числа 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два их них вписаны в клетки квадрата. Впишите остальные так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число. (слайд 9)
Посмотрим на все три заполненных квадрата и попробуем найти еще ряд закономерностей, которые помогут заполнить квадрат еще с меньшим чисел, вписанных в квадрат. (слайд 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Посмотрите, какое число стоит в центре квадрата? Как оно расположено в ряду данных чисел? (слайд 12 ) (В центре квадрата всегда записывается число, стоящее на пятом месте нашей последовательности, т. е. одинаково удаленное с левого и правого ее краев.)
Можно заметить еще ряд особенностей: в квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности. Покажем пары соответствующих чисел на примере заполнения квадрата числами от 1 до 9: (слайд 13)
Зная это, можно заполнить квадрат, почти не считая.
Посмотрите, как расположены в квадрате числа, стоящие рядом с центральным, а также числа, записанные от них через одно число. Они соединены линиями сверху. (Они расположены по диагоналям квадрата.) А где расположены остальные числа, которые соединены линиями снизу? (Они расположены по вертикали и по горизонтали.)
Давайте проверим, выполняются ли такие закономерности в других квадратах. (слайд 14)
(Да, такие закономерности выполняются.)
Итак, давайте подведем итог. Какие свойства магических квадратов мы выяснили?
1) Чтобы найти сумму чисел в каждом столбце или строке, можно центральное число умножить на 3.
2) В центре квадрата стоит число, записанное в ряду пятым.
3) В квадрате по разные стороны от центрального числа стоят числа, одинаково удаленные от левого и правого краев последовательности.
4) Числа, стоящие рядом с центральным и через одно от него, расположены по диагоналям квадрата. Числа, стоящие с краю и через одно от него, расположены в квадрате по вертикали и по горизонтали.
Задача 5. Даны числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось одно и то же число. (слайд 15)
(Найдем, какая сумма должна получаться в каждом направлении. Для этого умножим центральное число 7 на 3. В результате получим 21. В центр квадрата поставим число 7, по одной диагонали числа 6 и 8, по другой – 4 и 10. Осталось расставить недостающие числа: сумма записанных в первой строке чисел равна 10, до 21 недостает 11, значит, в пустой клетке верхней строки запишем число 11 (первое справа). Тогда в нижней строке запишем число 3 (первое слева). В левый столбик запишем число 5 (21 – (6 + 10)), тогда в правом столбике останется записать число 9. Таким образом, мы расставили все 9 чисел в клетки магического квадрата, при этом ни одно число по условию задачи в квадрате не было поставлено.)
Задача имеет несколько решений, но все квадраты получаются из других симметрией относительно средних линий или диагонали. (слайд 16)
Задача 6. Даны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число.
Один из вариантов решения на слайде. (слайд 17)
Задача 7. Сравните условие задач 1 и 6 и подумайте, как можно было решить задачу, зная решение задачи 1.
(Числа из задачи 6 в два раза больше соответствующих чисел задачи 1. Поэтому можно каждое число квадрата из задачи 1 просто удвоить и получить искомый квадрат.)
Существуют различные способы построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который придумали древние китайцы. Следуя этому методу надо «естественный» числовой квадрат повернуть относительно центра на половину прямого угла (слайд 19) и отделить квадратной рамкой таблицу 3´3. (слайд 20) Числами, записанными вне рамки, и образующими выступы («террасы»), заполняем пустые клетки у противоположной стороны таблицы. (слайд 21)
Аналогично можно построить любой квадрат нечетного порядка. Заполним клетки магического квадрата 5´5 числами от 1 до 25. (слайды 22, 23, 24)
Для построения магического квадрата 4´4 наиболее простым и доступным является следующий метод: в «естественном» квадрате меняются местами дополнительные числа на главных диагоналях, а остальные остаются без изменения. (слайды 25, 26)
Подведение итогов занятия
Какую тайну магических квадратов вы открыли сегодня на занятии? Что вам в этом помогло?
Тестирование с помощью Чатуранги Шорин Александр
5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты
О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой цифре.
Например, цифра 1 – единица, начало всего. Цифра 2 – разделение, противоположность двух полов. 3 – треугольник… И так далее. Это очень благодатная тема, углубляться в которую можно бесконечно.
Поэтому оставим ее и прейдем к магическим квадратам, которые имеют прямое отношение к Чатуранге.
Магическими квадратами называют квадратные таблица из целых чисел, которые обладают уникальными свойствами: например, суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Считается, что магические квадраты изобретены в Древнем Китае, а также были известны в Древней Индии, откуда берёт начало Чатуранга. В частности это доказывает Н. М. Рудин в своей книге «От магического квадрата – к шахматам».
Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н. э.) из вод Хуанхэ (Жёлтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия 1». Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
В 19–20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n 2 + 1)/2. Доказано, что n – 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края. Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.
Магические квадраты можно строить, например, с помощью метода французского геометра 17 в. А. де ла Лубера.
По методу А. де ла Лубера магический квадрат 5?5 можно построить так:
Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
Получается такой магический квадрат:
Можно также воспользоваться методом Ф. де ла Ира (1640–1718), который основан на двух первоначальных квадратах. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.
Из книги Мастер сновидений. Словарь-сонник. автора Смирнов Терентий ЛеонидовичСонник чёрной магии (символы сновидений чёрной магии) Многие духовные искатели, увлечённые популярными эзотерическими концепциями, сами того не подозревают, что в своём развитии сновидений практикуют самую настоящую чёрную магию! Это в самой полной мере относится к
Из книги Практическая магия современной ведьмы. Обряды, ритуалы, пророчества автора Миронова ДарьяТалисманы и магические квадраты Магия талисманов тесно связана с традицией нумерологии. Числа и буквы алфавита, а также специальные символы, без которых не обходится изготовление амулета, оберегают его владельца от плохого воздействия.Многие талисманы имеют вид
Из книги Ритуалы денежной магии автора Золотухина ЗояМагия цифр Ваше магическое числоДля каждого из нас, утверждают нумерологи, существует своеобразный ключик к заветной тайне – магический числовой знак. Чтобы определить его, вам надо сложить все цифры вашей даты рождения.Складывайте до тех пор, пока в итоге не получится
Из книги Узнай свое будущее. Заставь Фортуну работать на себя автора Коровина Елена АнатольевнаСоотношение цифр и букв
Из книги Звезда защиты и Денежный талисман. Антикризисная нумерология автора Коровина Елена АнатольевнаСоотношение цифр и букв Таблица
Из книги Дата рождения - ключ к пониманию человека автора Александров Александр ФедоровичПЕРЕХОДЫ ЦИФР Можно вас поздравить с тем, что все характеристики цифр изучены. Смело приступайте к расчетам дат рождения всех своих близких, друзей, знакомых, незнакомых и врагов. Здорово! Теперь все раскроют свою «скрытую сущность». Начните, конечно же, с себя - и вы сразу
Из книги Славянская кармическая нумерология. Улучши матрицу своей судьбы автора Маслова Наталья НиколаевнаВЗАИМООТНОШЕНИЯ ЦИФР 5 И 9 Последний переход нельзя назвать собственно переходом, так как речь будет идти не о переходе одной цифры в другую, а об усилении одной цифры через другую. Рассмотрим взаимное влияние друг на друга цифр 5 (логика) и 9 (память). Прежде чем мы определим
Из книги Что можно узнать о человеке по дате его рождения и имени автора Зюрняева ТамараСправочник. Значение цифр Это сила характера, янская энергия человека, его солнце. От наличия единиц в матрице зависит целеустремленность человека, его самооценка, наличие у него лидерских качеств, степень его
Из книги Математика для мистиков. Тайны сакральной геометрии автора Шессо РеннаМагия цифр или математика? С глубокой древности люди обращались к числам и придавали им сакральное значение. Разгадать тайну числа – означало разгадать тайну жизни. Еще древнегреческий мудрец Пифагор считал, что все в мире познается через числа.Числам придавали
Из книги Мудры. Все в одной книге. Исполни любое желание автора Левин ПетрГлава № 5 Магические квадраты Мы называем их магическими квадратами или планетарными квадратами. Или печатями, камеями, таблицами. Как и многие другие магические инструменты, они под разными именами известны в различных системах, но как бы их ни называли, они датируются
Из книги Числовой код рождения и его влияние на судьбу. Как просчитать удачу автора Михеева Ирина Фирсовна Из книги О магии смешно, о магии серьезно автора Картавцев ВладиславЭнергия цифр Для того чтобы определить значение числа генетики дня рождения, надо, прежде всего, определить значение самой цифры, ее статус и энергетическое наполнение. По понятиям нашей обыденной жизни «вес» каждого числового значения растет по мере увеличения самой
Из книги Тестирование с помощью Чатуранги автора Шорин АлександрХарактеристика цифр Цифра 1 – красный цвет. Точка реальности, основа, стержень всей цифровой надстройки, определяющий Род того или иного течения энергии. Предназначение цифры 1 – определение значения, важности и весомости возникшей реальности. Так в мире бизнеса на
Из книги автора«Магические доказательства» или «Доказательства магии» «Ты – плохой человек!» Или: «Он – плохой человек» Или: «Он – хороший человек!» Или: «Ты – хороший человек!» Выбирайте! Что Вам более по душе?Не правда ли, смешно наблюдать за «ритуальными зулусскими танцами на
Из книги автора5.2. Магические квадраты в Чатуранге. Чатуранга как гадание 5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой
Из книги автора5.2.2. Магические квадраты в Чатуранге 5.2.2.1 Магия немагического квадрата Любопытно, что самый простой (немагический) квадрат 5?5, где цифры идут просто одна за одной – от 1 до 25 может также обладать необычными свойствами. Так, в этом простом квадрате сумма «Креста Слона»
Маги́ческий , или волше́бный квадра́т - квадратная таблица n × n {\displaystyle n\times n} , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 {\displaystyle 1} до n 2 {\displaystyle n^{2}} . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} .
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , за исключением n = 2 {\displaystyle n=2} , хотя случай n = 1 {\displaystyle n=1} тривиален - квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → {\displaystyle \rightarrow } | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → {\displaystyle \rightarrow } | 15 | ||
| ↙ {\displaystyle \swarrow } | ↓ {\displaystyle \downarrow } | ↓ {\displaystyle \downarrow } | ↘ {\displaystyle \searrow } | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
M (n) = n (n 2 + 1) 2 {\displaystyle M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}Почему это так? |
|
|---|---|
Пусть имеется квадрат со стороной n . {\displaystyle n.} Тогда в нём будет n 2 {\displaystyle n^{2}} чисел. С одной стороны, сумма чисел S = 1 + 2 + 3 + … + n 2 = n 2 2 (n 2 + 1) . {\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).} С другой стороны, S = n M . {\displaystyle S=nM.} Приравняв, получим искомую формулу. |
|
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):
| Порядок n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ Магический квадрат - фокус для вечеринок
✪ Квадрат Паркера
✪ Страница 35 Задание на полях (первый квадрат) – Математика 3 класс Моро – Учебник Часть 1
✪ Магический квадрат - новый метод
✪ Магические квадраты. Открытое занятие.
Субтитры
Исторически значимые магические квадраты
Квадрат Ло Шу
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I », считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный . Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4 ) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия :
|
|
Есть еще несколько подобных примеров:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.
Квадраты с дополнительными свойствами
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат - магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов , то остаётся только 3 существенно различных квадрата:
|
|
|
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4 k + 2 {\displaystyle n=4k+2} ( k = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=1,2,3,\dots } ).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными . Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный . Пример идеального магического квадрата:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4 . В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8 . Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9… и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Построение магических квадратов
Метод террас
Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц» .
Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.
|
Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до N 2 {\displaystyle N^{2}} .
После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.
|
|
Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.
Прочие способы
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n {\displaystyle n} удается только для n ≤ 4 {\displaystyle n\leq 4} , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n > 4 {\displaystyle n>4} . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (i , j) {\displaystyle (i,j)} (где i {\displaystyle i} и j {\displaystyle j} меняются от 1 до n {\displaystyle n} ) поставить число
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . {\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n}})n+((i+2j+2){\bmod {n}}).} [ ]Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижня левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.
Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов, и идеальных магических квадратов 9x9. Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков n = 9 (2 k + 1) {\displaystyle n=9(2k+1)} для k = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=0,1,2,3,\dots } . Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка n > 3 {\displaystyle n>3} . Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3… и совершенных магических квадратов. Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные. Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных) .
Примеры более сложных квадратов
Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:
|
|
|
Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов
В древности великие ученые считали основой сути мира числа. Магический квадрат, секрет которого состоит в том, что сумма чисел в образовавшемся квадрате в каждой горизонтали, в каждой вертикали, и в каждой диагонали одинакова, несет в себе эту суть.
Но полного описания магических квадратов до настоящего времени не существует.
Магический квадрат Пифагора, «притягивающий» энергию богатства, составлен основоположником
Великий ученый, который основал религиозно-философское учение и провозгласил количественные отношения основой вещей, считал, что в дате рождения человека заключается его сущность.
Зная, как работает магический квадрат, можно не только узнать черты характера человека, состояние его здоровья, его интеллектуальные и творческие возможности, но и составить программу его совершенствования и развития. Цифры, которые особым образом записываются в квадрат, притягивают не только богатство, но и необходимые энергетические потоки для человека. К примеру, Парацельс изобразил свой квадрат в виде талисмана здоровья. Цифры образуют три ряда, то есть всего в квадрате девять цифр. Чтобы определить свой нумерологический код, необходимо вычислить эти девять чисел.
Как работает магический квадрат?
Первый горизонтальный ряд квадрата образуют числа: день, месяц и год рождения человека. К примеру, дата рождения человека соответствует 9.08.1971 года. Тогда первое число в квадрате будет 9, которое и записывается в первую ячейку. Второе число является числом месяца, то есть 8.
При этом стоит обратить внимание, если месяц рождения человека соответствует декабрю, то есть числу 12, то его, следовательно, нужно преобразовать с помощью сложения в простое число 3. Третья цифра соответствует числу года. Для этого 1971 необходимо разложить на составные цифры и посчитать их общую сумму, равную 18 и далее упростить 1+8=9. Заполняем верхнее горизонтальное поле квадрата получившимися числами: 9,8,9.
Во второй ряд квадрата записываются числа, соответствующие имени, отчеству и фамилии человека по нумерологии. Каждая буква обладает своим цифровым значением. Цифры можно получить из таблицы соответствия буквы и цифр по нумерологии. Далее нужно просуммировать числа имени, отчества и фамилии и привести их к простым значениям.
Второй ряд квадрата заполняем образовавшимися цифрами. Четвертое число соответствует числу имени, пятое - отчеству, и шестое - фамилии. Теперь получилась вторая строка энергетического квадрата.
Дальнейший принцип того, как работает магический квадрат, основан на астрологии.
Седьмая цифра соответствует номеру знака зодиака человека. Овен является первым знаком под цифрой 1, и далее по порядку до знака Рыб - 12. При заполнении третьего ряда квадрата двузначные числа приводить к простым не следует, они все обладают собственным значением.
Восьмая цифра является номером знака по То есть в нашем варианте 1971 год - это год Кабана.
Девятая цифра представляет собой нумерологический код желания человека. К примеру, человек стремится обладать великолепным здоровьем, следовательно, нужно найти цифры, соответствующие буквам в этом слове. В итоге получается сумма 49, которая затем упрощается сложением до 4. Числа от 10 до 12, как и в случае со знаком зодиака человека, сокращать не требуется. Теперь зная, как работает магический квадрат, можно легко его составить и носить с собой, как талисман или оформить, как картину и повесить дома.
